Problemas sobre Ondas Electromagnéticas

Faculdade de Engenharia
Problemas sobre Ondas
Electromagnéticas
Parte II
ÓPTICA E ELECTROMAGNETISMO
MIB
Maria Inês Barbosa de Carvalho
Setembro de 2007
ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
Faculdade de Engenharia
ÓPTICA E ELECTROMAGNETISMO – MIB 2007/2008
INCIDÊNCIA
PROBLEMAS PROPOSTOS
1. Uma onda electromagnética plana de 200 MHz tem polarização linear segundo x e uma intensidade
do campo eléctrico de 10 Vm−1 . A onda incide perpendicularmente num meio dieléctrico, com
εr = 4 e que ocupa a região definida por z ≥ 0.
dieléctrico
Ei
0
z
a) Escreva uma expressão para o fasor do campo eléctrico da onda incidente, sabendo que o
campo tem um máximo positivo em z = 0 quando t = 0.
b) Calcule os coeficientes de reflexão e de transmissão.
c) Escreva as expressões dos fasores campo eléctrico das ondas reflectida, transmitida e do campo
total na região z ≤ 0.
d) Determine a percentagem da potência média incidente que é reflectida pela interface e a que
é transmitida para o segundo meio.
2. Uma onda plana e uniforme com polarização linear segundo x, amplitude 10 V/m e frequência
1.5 GHz, que se propaga no ar, incide perpendicularmente a uma superfı́cie perfeitamente condutora
localizada em z = 0.
a) Obtenha as expressões fasoriais e temporais para os campos eléctrico e magnético no ar.
b) Determine a localização mais próxima da superfı́cie condutora onde o campo magnético é
sempre nulo.
3. Considere que a região z > 0 está preenchida com ar, enquanto a região z < 0 está preenchida com
um dieléctrico com ı́ndice de refracção 2. No dieléctrico propaga-se uma onda caracterizada por
~ = ûx E0 e−jπ(4y+3z) .
E
a) Indique a direcção de propagação da onda incidente na interface e determine o correspondente
ângulo de incidência.
b) Determine o fasor do campo magnético da onda incidente.
1
ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
Faculdade de Engenharia
ÓPTICA E ELECTROMAGNETISMO – MIB 2007/2008
c) Determine o coeficiente de reflexão e o fasor do campo eléctrico da onda reflectida.
d) Determine a expressão do fasor do campo eléctrico no ar.
4. Uma onda que se propaga no ar com polarização perpendicular incide obliquamente numa interface
plana ar-vidro segundo um ângulo de incidência de 30◦ . A frequência da onda é de 600 THz
(1 THz = 1012 Hz), o que corresponde à luz verde, e o ı́ndice de refracção do vidro é 1.6. Se a
amplitude do campo eléctrico da onda incidente for de 50 Vm−1 , determine:
a) Os coeficientes de reflexão e transmissão.
~ eH
~ no vidro.
b) As expressões dos vectores E
5. A região do espaço definida por y < 0 encontra-se preenchida com um material não magnético
(meio 1) e nela propaga-se uma onda plana de frequência 1.5 GHz caracterizada pelo fasor
~ i (x, y) = ûz E0 e−j4π(4x+3y) (V/m).
E
Esta onda incide obliquamente na interface com a região y > 0, a qual está preenchida com ar.
a) Classifique o estado de polarização desta onda relativamente ao plano de incidência.
b) Determine a permitividade relativa do meio 1 e o ângulo de incidência.
c) Obtenha o fasor do campo magnético desta onda.
d) Determine os coeficientes de transmissão e de reflexão, e obtenha os fasores dos campos
eléctricos da onda reflectida e da onda no ar.
6. Uma onda plana propaga-se no ar e é caracterizada pelo seguinte fasor
~ i (x, z) = 0.2e−j(3x+4z) (0.6ûz − 0.8ûx )
H
(A/m).
Esta onda incide num plano perfeitamente condutor situado em z=0. Determine:
a) A frequência e o ângulo de incidência;
~ i;
b) O fasor E
c) Os fasores dos campos eléctrico e magnético da onda reflectida;
d) A localização dos pontos de máxima amplitude do campo eléctrico no ar;
e) O valor médio do vector de Poynting no ar. Qual a direcção do transporte da energia?
7. Uma onda plana propaga-se no ar (meio 1) com polarização perpendicular ao plano de incidência
e incide no meio 2 de permitividade εr = 5 com um ângulo de 30◦ .
a) Determine o coeficiente de reflexão.
b) Se a onda incidir do meio 2 para o meio 1, determine o ângulo de reflexão total.
8. As três regiões mostradas na figura são formadas por dieléctricos perfeitos. Para uma onda que
se propaga no meio 1 e que incide perpendicularmente na interface situada em z = −d, qual a
combinação de εr2 e d que não origina reflexão? Exprima as suas respostas em função de εr1 , εr3 e
da frequência f da onda.
2
ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
Faculdade de Engenharia
ÓPTICA E ELECTROMAGNETISMO – MIB 2007/2008
z = −d
z=0
εr2
Meio 1
Meio 3
-
z
Meio 2
εr1
¾
εr3
-
d
9. Considere uma onda electromagnética plana a incidir perpendicularmente numa lente de vidro de
uma máquina fotográfica, cuja constante dieléctrica é εr = 2.5, como mostra a figura A. Admita
que a lente tem uma espessura infinita de modo a poder desprezar as reflexões na interface de saı́da
vidro-ar.
ar
vidro
material
dieléctrico
ar
onda
incidente
vidro
onda
incidente
Figura A
Figura B
a) Calcule a percentagem de potência que é reflectida pela lente?
b) A esta lente é aplicada uma camada dieléctrica de quarto de comprimento de onda (figura B),
com o objectivo de eliminar reflexões da luz visı́vel correspondente ao amarelo (λ0 = 560 nm,
onde λ0 é o comprimento de onda no vazio). Determine a constante dieléctrica deste material.
Qual a espessura da camada dieléctrica?
c) Nas condições da alı́nea anterior, que percentagem de potência de luz azul (λ0 = 475 nm)
incidente é reflectida pela lente?
SOLUÇÕES
1.
~ i = 10e−j 4π
3 z û
a) E
x
(V/m)
b) Γ = − 31
τ = 23
~ r = − 10 ej 4π
3 z û
c) E
(V/m)
x
3
8π
20
~ t = e−j 3 z ûx (V/m)
E
3 ³
´
1 j 4π
~ ar = 10 e−j 4π
3 z −
E
e 3 z ûx
3
d)
2.
(V/m)
Pref
Pinc = 11.1%
Ptran
Pinc = 88.9%
~ ar (z) = −j20 sin(10πz)ûx (V/m)
a) E
~ ar (z) = 1 cos(10πz)ûy (A/m)
H
6π
¡
¢
~ ar (z, t) = 20 sin(10πz) cos ωt − π ûx (V/m)
E
2
~ ar (z, t) = 1 cos(10πz) cos(ωt)ûy (A/m)
H
6π
b) z = −0.05 m
3
ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
Faculdade de Engenharia
3.
ÓPTICA E ELECTROMAGNETISMO – MIB 2007/2008
a) âni = 0.8ûy + 0.6ûz
θi = 53.1o
~i =
b) H
E0 −jπ(4y+3z)
(0.6ûy
60π e
− 0.8ûz )
(A/m)
j153o
c) Γ⊥ = e
~ r = E0 ej153o e−jπ(4y−3z) ûx
E
(V/m)
~ ar = 0.47E0 ej76.5 e−9.8z e−j4πy ûx
d) E
o
4.
(V/m)
a) Γ⊥ = −0.274
τ⊥ = 0.726
£
¤
~
b) E(x,
z, t) = 36.3 cos 12π × 1014 t − 6.4π × 106 (0.950z + 0.313x) ûy (V/m)
£
¤
~
H(x,
z, t) = 0.154 cos 12π × 1014 t − 6.4π × 106 (0.950z + 0.313x) (0.313ûz −0.950ûx )
5.
(A/m)
a) polarização perpendicular
b) εr1 = 4
θi = 53.1o
~i =
c) H
E0 −j4π(4x+3y)
(−0.8ûy
60π e
o
+ 0.6ûx ) (A/m)
o
d) τ = 1.39ej46.1
Γ = ej92.3
o
j92.3
−j4π(4x−3y)
~ r = E0 e
E
e
ûz (V/m)
j46.1o −12.5πy −j16πx
~
Ear = 1.39E0 e
e
e
ûz (V/m)
6.
15
a) f = 2π
× 108
θi = 36.9o
Hz
~ i = 24πe−j(3x+4z) ûy
b) E
(V/m)
~ r = −24πe
c) E
ûy (V/m)
−j(3x−4z)
~
Hr = −0.2e
(0.6ûz + 0.8ûx ) (A/m)
−j(3x−4z)
d) z =
π
8
+
kπ
4 ,
k inteiro
~med,ar = 5.76π sin2 (4z)ûx
e) S
7.
(W/m2 )
a) Γ = −0.4313
b) θc = 26.6o
8. εr2 =
9.
a)
√
εr1 εr3 ,
Pref
Pinc
d = n λ42 =
4f
nc
√
εr2
(n ı́mpar)
= 5.07%
b) εd = 1.5811
d = 111.3 nm
c)
Pref
Pinc
= 0.41%
4