Aula 7 - Energia e potencial Elétrico
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Prof.DanielOrquiza EletromagnetismoI EletromagnetismoI Prof.DanielOrquizadeCarvalho SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Energia e Potencial Elétrico (Capítulo 4 - Páginas 75 a 84no livro texto) • Energia despendida no movimento de uma carga imersa num campo Elétrico. • Diferença de potencial e potencial. EletromagnetismoI 2 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Trabalho e Potencial Elétrico § A Lei de Coulomb pode ser usada (indiretamente) para calcular o campo E de cargas pontuais e pelo princípio da superposição, vimos que é possível chegar a expressões para calcular os campos gerados por distribuições de cargas. § A Lei de Gauss permite simplificar bastante o cálculo da distribuição de campos em problemas com simetrias espaciais. § Agora vamos definir um potencial elétrico V (campo escalar), que está diretamente associado com o campo elétrico E (campo vetorial). § Mais adiante vamos definir expressões que relacionam diretamente este potencial escalar com as fontes de campo (cargas). EletromagnetismoI 3 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Trabalho e Potencial Elétrico § O trabalho diferencial realizado para mover uma carga Q imersa em um campo elétrico E ao longo de uma distância diferencial dl é: ! onde dl = âl dl ! ! dW = −QE ⋅ dl , ① Note que se E e dl forem perpendiculares o trabalho é nulo: ② O sinal negativo é devido à convenção de que o trabalho é realizado por um agente externo (não pelo campo elétrico). § O trabalho necessário para mover a carga por uma distância finita é: W = −Q ∫ EletromagnetismoI final inicial 4 ! ! E ⋅ dl Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Exemplo ! 1 2 2 Dado o campo elétrico: E = 2 (8xyzâx + 4x zây − 4x yâz ) [V / m], z calcule a quantidade diferencial de trabalho exercido no deslocamento de uma carga de 6nC por uma distância ‘diferencial’ de 2µm, começando em P(2,-2,3) e 6 3 2 movimentando-se na direção âl = − âr + ây + âz . 7 7 7 EletromagnetismoI 5 Prof.DanielOrquiza Eletromagnetismo I - Eletrostática SJBV Campo Uniforme § Vamos considerar o trabalho realizado ao longo de um caminho A à B em um campo uniforme. ΔR6 § A integral de linha do campo elétrico para um ΔR5 campo uniforme se reduz a: W = −Q ∫ A B ! ! E ⋅ dl ΔR4 ΔR3 ΔR2 § Se dividirmos o caminho em N segmentos, podemos escrever: ΔR1 E ! ! ! ! ! ! W = −Q E1 ⋅ ΔR1 + E2 ⋅ ΔR2 +... + E N ⋅ ΔRN , ( ) ! fazendo: ΔRN → 0 (N → ∞) EletromagnetismoI 6 Prof.Daniel SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Campo Uniforme ! ! ! ! ! ! ! W = −Q E1 ⋅ ΔR1 + E2 ⋅ ΔR2 +... + E N ⋅ ΔRN , ΔRN → 0 (N → ∞) ( ) ΔR6 § O campo elétrico é uniforme: ! ! ! ! E = E1 = E2 = E N ΔR5 ΔR4 § Além disso, a soma dos vetores distância é: ΔR3 " " " ! RBA = ΔR1 + ΔR2 +... + ΔRN § Assim, o trabalho é independente do caminho! ΔR2 ΔR1 E ! ! W = −Q E ⋅ RBA Isto é válido para um campo uniforme, mas também é válido para qualquer outro campo eletrostático gerador por cargas e distribuições de cargas (Campo Conservativo). SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas Como calculamos o trabalho realizado para mover uma carga ao longo de um caminho circular de raio ‘a’, ao redor de uma linha de cargas? z § Vimos que o campo gerado só possui componente radial: ! E= ρL ρL âρ 2πε 0 ρ § Em coord. cilíndricas: a 0 0 ρ § O trabalho realizado ao se movimentar a carga é: ⎞ 2π ⎛ ρ L W = −Q ∫ ⎜ â ⎟ ⋅ a d φ âφ φ =0 2 πε a ρ ⎝ ⎠ 0 âρ ⋅ âφ = 0 EletromagnetismoI y φ ! E = Eρ âρ x W =0 8 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas Como calculamos o trabalho realizado para mover uma carga ao longo de um caminho radial (do ponto ‘a’ até o ponto ‘b’)? z § Em coord. cilíndricas: ρL 0 0 § O trabalho realizado ao se movimentar a carga é: ⎛ ρL ⎞ W = −Q ∫ ⎜ âρ ⎟ ⋅ d ρ âρ a ⎝ 2πε 0 ρ ⎠ b y ρ § O trabalho W é: Qρ L ⎛ b ⎞ W =− ln ⎜ ⎟ 2πε 0 ⎝ a ⎠ EletromagnetismoI a φ 9 x âρ b Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas Como calculamos o trabalho realizado para mover uma carga ao longo de um caminho radial (do ponto ‘a’ até o ponto ‘b’)? z § E se invertermos o sentido do caminho? (do ponto ‘b’ até o ponto ‘a’) ρL § O elemento de linha muda? § O trabalho realizado ao se movimentar a carga é: ⎛ ρL ⎞ W = −Q ∫ ⎜ âρ ⎟ ⋅ d ρ âρ b ⎝ 2πε 0 ρ ⎠ y a ρ § O trabalho W fica: Qρ L ⎛ b ⎞ W= ln ⎜ ⎟ 2πε 0 ⎝ a ⎠ EletromagnetismoI 10 a φ x âρ b Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Diferença de Potencial e Potencial Elétrico (V) A diferença de potencial elétrico entre os pontos A e B é definida como o trabalho realizado para mover uma carga de teste de B até A, por unidade de carga teste. ! A ! W VAB = = − ∫ E ⋅ dl [V ] B Q • Importante: VAB é positiva se o trabalho é realizado externamente no deslocamento da carga de B até A. E A VAB B EletromagnetismoI 11 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Diferença de potencial ao redor de uma linha infinita de cargas Qual é a diferença de potencial entre os pontos com ‘ρ = b’ até o ponto ‘ρ = a’ Vba? z § O trabalho realizado ao se movimentar a carga de ‘a’ até ‘b’ é: ⎛ ρL ⎞ W = −Q ∫ ⎜ âρ ⎟ ⋅ d ρ âρ a ⎝ 2πε 0 ρ ⎠ b ρL § Realizando a integral: W =− Qρ L ⎛ b ⎞ ln ⎜ ⎟ 2πε 0 ⎝ a ⎠ y ρ § A diferença de potencial é: ⎛a⎞ ρL V= ln ⎜ ⎟ 2πε 0 ⎝ b ⎠ EletromagnetismoI a φ 12 x âρ b Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas Qual é a diferença de potencial VAB entre os pontos com raio ‘ rA’ até o ponto ‘rB’ com relação a uma carga pontual no centro do sistema de coordenadas esféricas? z § O campo gerado pela carga pode ser obtido pela Lei de ! E = Er âr = Coulomb. Q â 2 r 4πε 0 r ρL rA θ § Em coord. esféricas: 0 0 VAB = − ∫ rA rB ! ! E ⋅ dl 13 âr r Q § A diferença de potencial entre os pontos A e B é: EletromagnetismoI rB y φ x Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas Qual é a diferença de potencial VAB entre os pontos com raio ‘ rA’ e raio ‘rB’ com relação a uma carga pontual no centro do sistema de coordenadas esféricas? z § Substituindo a expressão para o Campo Elétrico: ρL ⎛ Q ⎞ VAB = − ∫ ⎜ â ⋅ drâr 2 r⎟ rB ⎝ 4πε 0 r ⎠ rA rA θ § A diferença de potencial VAB fica: r Q Q ⎛1 1⎞ VAB = ⎜ − ⎟ 4πε 0 ⎝ rA rB ⎠ § Note que se rB > rA, a diferença de potencial é positiva. rB âr y φ x (há uma ação externa para trazer a carga de rB até rA) EletromagnetismoI 14 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Diferença de potencial e potencial § A diferença de potencia pode ser expressa em termos dos potenciais em cada ponto. Vab = Va −Vb § A referência de potencial é arbitrária embora existam certas convenções. § No problema do potencial próximo a uma carga pontual, o potencial no infinito é o potencial de referência e é zero § Em outros problemas o potencial da terra é adotado como nulo! EletromagnetismoI 15 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas Qual é a diferença de potencial VAB entre os pontos com raio ‘ rA’ e raio ‘rB’ com relação a uma carga pontual no centro do sistema de coordenadas esféricas? z § A diferença de potencial VAB fica: Q ⎛1 1⎞ VAB = ⎜ − ⎟ 4πε 0 ⎝ rA rB ⎠ ρL rA θ § Se adotarmos o raio rB como infinito, o potencial no infinito é zero e o potencial no ponto A fica: VA = EletromagnetismoI ! Q 1 V (r ) = ! ! 4πε 016r − r ' âr r Q Q 1 4πε 0 rA § Para uma carga pontual em r’, o potencial em r fica: rB y φ x Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Exemplo 1 Dado o campo elétrico: ! E = 6x 2 âx + 6yây + 4 âz [V / m], (a) VMN se os pontos M e N são M(2, 6, -1) e N(-3, -3, 2). (b) VM se V = 0 em Q(4,-2,-35). EletromagnetismoI 17 Prof.DanielOrquiza SJBV Eletromagnetismo I - Eletrostática Exemplo 2 ! 2 Seja G = 3xy âx + 2zây . Dado um ponto inicial P(2, 1, 1) e um ponto final ! ! Q(4, 3, 1), calcule ∫ G ⋅ dl usando como caminho uma: (a) Linha reta (y = x – 1 e z = 1). (b) Parábola (6y = x2+2 e z = 1). EletromagnetismoI 18 Prof.DanielOrquiza
