indução magnética

Física Geral II
Protocolos das Aulas Práticas 2006/2007
DF - Universidade do Algarve
INDUÇÃO MAGNÉTICA
1 Resumo
Um campo magnético de intensidade e frequência variáveis é produzido num solenóide longo.
Dentro deste último são introduzidos enrolamentos mais pequenos nos quais as tensões induzidas
são medidas como função do número de espiras que possuem, do seu raio, da intensidade da
corrente que origina o campo magnético e da frequência a ela associada.
2 Fundamento Teórico
Um enrolamento de N’ espiras de raio r é sujeito à acção de um campo magnético uniforme
produzido por um solenóide. A corrente que percorre o solenóide é alterna, sendo caracterizada
por uma amplitude, I0, e por uma frequência, f.
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r
Vind
B
Nestas condições, a lei de Faraday prevê o aparecimento de uma tensão induzida aos terminais
do enrolamento, dada por:
Vind = Vind 0 cos(2πft + π )
(1)
com Vind 0
µ 0 2 π 2 N' Nr 2 I 0 f
=
. Na expressão anterior N representa o número de espiras do
L
solenóide e L o seu comprimento. µ0 = 4π⋅10-7 V s A-1 m-1 é a permeabilidade magnética do
vazio.
Atendendo a que os aparelhos de medida (multímetros) não têm a capacidade de ler os valores
instantâneos das tensões e das correntes mas apenas os seus valores eficazes, espera-se a
seguinte relação entre os valores eficazes da tensão induzida e da corrente que percorre o
solenóide:
Vind
ef
µ 0 2 π 2 N' Nr 2 I ef f
=
L
(2)
Sendo os valores eficazes da tensão e da corrente os que efectivamente se medem nos
multímetros, a equação (2) será a que se pretende verificar no decorrer do trabalho experimental.
3 Problema experimental proposto
Pretende-se medir a tensão induzida nos enrolamentos em função:
a) da intensidade da corrente que origina o campo magnético;
b) da frequência dessa corrente;
c) do número de espiras das bobines de indução (enrolamentos);
d) dos raios das bobines de indução;
4 Equipamento
Um solenóide longo, cinco bobines de indução, uma fonte de tensão, um relógio/contador
digital, um multímetro digital, um multímetro analógico, fios de ligação.
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5 Procedimento experimental
A figura mostra como efectuar a montagem experimental.
A corrente que passa pelo solenóide longo é medida com o multímetro analógico e o valor da sua
frequência é determinado com a ajuda do relógio/contador digital. A variação desta frequência
provoca uma alteração da corrente que percorre o solenóide. Por esta razão, sempre que a
frequência, f, varia, o valor da corrente, I, deve ser reajustado para que se mantenha constante. O
efeito da variação da frequência da corrente associada ao campo magnético na tensão induzida
deve ser estudado no intervalo de frequências de 1 kHz a 9 kHz dado que, para valores de
f < 0.5 kHz, a ligação da bobine longa é praticamente equivalente a fazer o curto-circuito da
fonte de alimentação; por outro lado, para f > 10 kHz a incerteza nas medições é muito elevada.
A tensão induzida é medida com o multímetro digital.
Aconselha-se que o amperímetro e o voltímetro sejam utilizados nas escalas de 100 mA~ e
200 mV~, respectivamente.
O selector do tipo de sinal do gerador deverá apontar sempre para o sinal sinusoidal.
Os enrolamentos pequenos deverão ser colocadas o mais ao centro possível do solenóide longo.
5.1 Determinação da tensão induzida em função da intensidade da
corrente geradora do campo magnético:
5.1.1 Fixar f=1 kHz nos botões reguladores de frequência do gerador de sinais.
5.1.2 Escolher um dos enrolamentos, ligá-lo ao voltímetro e introduzi-lo no solenóide. Desta
forma já estão fixos os parâmetros: f, N’ e r.
5.1.3 Variar a corrente a partir dos 10 mA com intervalos de 10mA até atingir os 80 mA.
5.1.4 Registar numa tabela o valor da tensão induzida para cada valor da intensidade da
corrente.
5.1.5 Realizar a experiência 3 vezes.
5.2 Determinação da tensão induzida em função da frequência da
corrente geradora do campo magnético:
5.2.1 Fixar uma corrente de 30 mA no botão regulador da amplitude do sinal no gerador.
5.2.2 Ligar o enrolamento referido em 5.1.2 ao voltímetro e introduzi-lo no solenóide. Desta
forma já estão fixos os parâmetros: I, N’ e r.
5.2.3 Variar f a partir de 1 kHz, com intervalos de 0.5 kHz, até atingir os 8 kHz.
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5.2.4 Registar numa tabela o valor experimental da tensão induzida para cada valor de f.
5.2.5 Realizar a experiência 3 vezes.
5.3 Determinação da tensão induzida em função do número de
espiras da bobine de indução:
5.3.1 Fixar uma corrente de 30 mA no botão regulador da amplitude do sinal no gerador.
5.3.2 Fixar uma frequência de 1 kHz nos botões reguladores de frequência do gerador de
sinais.
5.3.3 Escolher as bobines de modo que o raio, r, se mantenha constante mas que o número de
espiras, N’, varie (tipicamente 3 bobines). Deste modo já estão fixos os parâmetros: I, f, e
r. Para cada uma das bobines escolhidas (i.é, para cada N’) medir a tensão induzida e
registar numa tabela os valores obtidos.
5.3.4 Realizar a experiência 3 vezes.
5.4 Determinação da tensão induzida em função do raio das bobines
de indução:
5.4.1 Fixar uma corrente de 30 mA no botão regulador da amplitude do sinal no gerador.
5.4.2 Fixar uma frequência de 1 kHz nos botões reguladores de frequência do gerador de
sinais.
5.4.3 Escolher as bobines de modo que o número de espiras, N’, se mantenha constante mas
que o raio, r, varie (tipicamente 3 bobines). Desta forma já estão fixos os parâmetros: I, f,
e N’.
5.4.4 Para cada uma das bobines escolhidas, isto é, para cada r, medir a tensão induzida e
registar numa tabela os valores obtidos.
6 Análise dos resultados obtidos
6.1 Intensidade de corrente variável:
6.1.1 Calcular os valores médios das tensões induzidas obtidas no ponto 5.1 e construir uma
tabela desses valores em função da intensidade da corrente.
6.1.2 Construir um gráfico da tensão induzida em função da intensidade da corrente com base
na tabela obtida no ponto anterior.
6.1.3 Ajustar ao gráfico uma recta de regressão linear, determinando os valores de a1 e a0 bem
como dos erros a eles associados, δa1 e δa0.
6.1.4 Calcular os valores teóricos dos coeficientes a1t e a0t.
6.1.5 Verificar se a1t.e a0t estão nos intervalos [a1+δa1, a1-δa1] e [a0+δa0, a0-δa0]
respectivamente.
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6.2 Frequência da corrente variável:
6.2.1 Calcular os valores médios das tensões induzidas obtidas no ponto 5.2 e construir uma
tabela desses valores em função da frequência do campo magnético.
6.2.2 Construir um gráfico da tensão induzida em função da frequência com base na tabela
obtida no ponto anterior.
6.2.3 Ajustar ao gráfico uma recta de regressão linear, determinando os valores de a1 e a0 bem
como dos erros a eles associados, δa1 e δa0.
6.2.4 Calcular os valores teóricos dos coeficientes a1t e a0t.
6.2.5 Verificar se a1t.e a0t estão nos intervalos [a1+δa1, a1-δa1] e [a0+δa0, a0-δa0]
respectivamente.
6.3 Número de espiras das bobines de indução variável:
6.3.1 Calcular os valores médios das tensões induzidas obtidas no ponto 5.3 e construir uma
tabela desses valores em função do número de espiras.
6.3.2 Ajustar ao gráfico uma recta de regressão linear, determinando os valores de a1 e a0 bem
como dos erros a eles associados, δa1 e δa0.
6.3.3 Calcular os valores teóricos dos coeficientes a1t e a0t.
6.3.4 Verificar se a1t.e a0t estão nos intervalos [a1+δa1, a1-δa1] e [a0+δa0, a0-δa0]
respectivamente
6.4 Raio das bobines de indução variável:
6.4.1 Calcular os valores médios das tensões induzidas obtidas no ponto 5.4 e construir uma
tabela desses valores em função do raio das bobines.
6.4.2 Ajustar ao gráfico uma recta de regressão linear, determinando os valores de a1 e a0 bem
como dos erros a eles associados, δa1 e δa0.
6.4.3 Calcular os valores teóricos dos coeficientes a1t e a0t.
6.4.4 Verificar se a1t.e a0t estão nos intervalos [a1+δa1, a1-δa1] e [a0+δa0, a0-δa0]
respectivamente.
6.5 Tirar conclusões a partir dos resultados obtidos e fazer uma
análise sucinta sobre as causas das discrepâncias entre os
valores teóricos e os experimentais.
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7 Apêndice: Indução magnética
r
Vind
B
Considere um enrolamento de N’ espiras circulares -de raio r- mergulhado num campo
magnético uniforme -de intensidade B- de forma que o eixo do enrolamento é paralelo ao campo
magnético.
O fluxo do campo magnético através de cada uma das espiras será dado por:
r r
Φ = ∫ B ⋅ dS
S
r
sendo dS o elemento de área orientado associado ao círculo descrito pela espira. Para o caso
presente pode escrever-se:
Φ = ∫SBdS = B∫SdS = Bπr 2 .
O fluxo total através do enrolamento será então dado por:
Φ tot = N' Φ = N' Bπr 2 .
De acordo com a lei da indução de Faraday a tensão induzida aos terminais do enrolamento será
dada por:
Vind = −
dΦ tot
⇔
dt
⇔ Vind = − N' πr 2
dB
dt
(2')
Se o campo magnético for contínuo, isto é, não variar no tempo, não haverá tensão induzida no
enrolamento. Se, pelo contrário, o campo for alterno, e portanto o seu módulo variar no tempo,
haverá uma tensão induzida no enrolamento.
Consideremos que o campo magnético é produzido por um solenóide cilíndrico de comprimento
L, superior ao do enrolamento. Admite-se que o solenóide é constituído por N espiras
compactamente justapostas.
Mostra-se que o campo magnético no interior do solenóide é aproximadamente uniforme
(paralelo ao eixo do mesmo) e de módulo:
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B = µ0
N
I
L
(3')
onde µ0 = 4π⋅10-7 V s/A m é a permeabilidade magnética do vazio. A tensão induzida no
enrolamento (2’) será então dada por:
N dI
⇔
L dt
µ 0 N' Nπr 2 dI
=−
L
dt
Vind = − N' πr 2 µ 0
⇔ Vind
(4')
Quando a corrente introduzida no solenóide é sinusoidal, isto é, da forma:
I = I 0 sen(ωt )
(5')
a tensão induzida no enrolamento será:
µ 0 N' Nπr 2
Vind = −
I 0 ω cos(ωt ) ⇔
L
µ 0 N' Nπr 2 I 0 2 πf
⇔ Vind = −
cos(ωt ) ⇔
L
⇔ Vind = Vind cos(ωt + π)
0
com Vind 0
(6')
µ 0 2 π 2 N' Nr 2 I 0 f
.
=
L
Verifica-se portanto que a tensão induzida será também sinusoidal.
Na prática os aparelhos de medida não nos permitem aceder aos valores instantâneos da corrente
imposta no solenóide nem da tensão induzida no enrolamento. Tem-se apenas acesso aos valores
eficazes dessas grandezas, dados por:
Vind → Vind =
ef
I → I ef =
Vind
0
2
I0
2
Em termos dos valores eficazes podemos escrever:
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µ 0 2 π 2 N' Nr 2 I 0 f
⇔
L
µ 0 2 π 2 N' Nr 2 2I ef f
⇔ 2 Vind =
⇔
L
µ 0 2 π 2 N' Nr 2 I ef f
⇔ Vind =
L
Vind =
0
ef
ef
(7')
onde as várias grandezas significam:
Vindef
N’
r
N
L
Ief
f
→ valor eficaz da tensão induzida no enrolamento (valor efectivamente medido através
do multímetro).
→ número de espiras do enrolamento.
→ raio do enrolamento.
→ número de espiras do solenóide que produz o campo magnético.
→ comprimento da zona do solenóide coberta por espiras.
→ valor eficaz da corrente introduzida no solenóide (valor efectivamente medido
através do multímetro).
→ frequência da corrente introduzida no solenóide.
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