Movimento Periódico

2017
Movimento Periódico
JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO
www.professorgomes.com.br
NOTA DE AULA
PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO
MOVIMENTO PERIÓDICO
1 INTRODUÇÃO
A vibração de um cristal de quartzo em um relógio, a oscilação do pêndulo de um relógio de carrilhão, as
vibrações sonoras produzidas por um clarinete ou pelo tubo de um órgão e as oscilações produzidas pelos pistões no
motor de um automóvel são exemplos de movimentos que se repetem indefinidamente. Esse tipo de movimento,
chamado de movimento periódico ou oscilação, é o assunto deste capítulo. O entendimento do movimento periódico
será essencial para os estudos que faremos sobre as ondas e o som.
Um corpo que executa movimento periódico encontra-se sempre em uma posição de equilíbrio estável. Quando
ele é deslocado dessa posição e libertado, surge uma força ou um torque que o faz retornar à sua posição de equilíbrio.
Quando ele atinge esse ponto, entretanto, pelo fato de haver acumulado energia cinética, ele o ultrapassa, parando em
algum ponto do outro lado e sendo novamente puxado para sua posição de equilíbrio. Imagine uma bola rolando para a
frente e para trás no interior de um recipiente côncavo, ou um pêndulo que oscila de um lado para o outro passando
por sua posição de equilíbrio na vertical.
Neste capítulo concentraremos nossa atenção em dois exemplos simples de sistemas que executam
movimentos periódicos: o sistema massa-mola e o pêndulo. Também estudaremos por que as oscilações diminuem de
intensidade com o tempo e por que algumas oscilações podem se superpor e construir deslocamentos cada vez maiores
quando forças periódicas atuam sobre o sistema.
2 CAUSAS DA OSCILAÇÃO
Na figura 1 vemos um dos sistemas mais simples que podem executar um movimento periódico. Um corpo de
massa m está em repouso sobre um trilho horizontal sem atrito, tal como no caso de um trilho de ar linear, de modo
que ele pode se mover apenas ao longo do eixo Ox. A mola presa ao corpo possui massa desprezível e pode ser
comprimida ou esticada. A extremidade esquerda da mola é mantida fixa e sua extremidade direita está presa ao corpo.
A força da mola é a única força horizontal que atua sobre o corpo; a força vertical normal sempre anula a força
gravitacional.
FIGURA 1 Um sistema que pode ter movimento periódico.
É mais simples definir o sistema de coordenadas com a origem O na posição de equilíbrio para a qual a mola não
está esticada nem comprimida. Então x fornece o componente x do vetor deslocamento do corpo a partir da posição de
equilíbrio e também indica a variação de comprimento da mola. O componente x da aceleração ax é dado por ax = F/m.
A figura 2 mostra diagramas do corpo livre para as três diferentes posições da mola. Quando o corpo é
deslocado da posição de equilíbrio da mola, a força da mola tende a fazer o corpo voltar para a posição de equilíbrio.
Chamamos essa força de força restauradora. Uma oscilação ocorre somente quando existe uma força restauradora que
obriga o sistema a voltar para a sua posição de equilíbrio.
1
FIGURA 2 Exemplo de um movimento periódico. Quando o corpo é deslocado de sua posição de equilíbrio em x = O, a
mola exerce uma força restauradora que o leva de volta à posição de equilíbrio.
Vamos analisar como as oscilações ocorrem nesse sistema. Quando deslocamos o corpo para a direita até a
posição x = A e a seguir o libertamos, a força resultante e a aceleração são orientadas para a esquerda (figura 2a). A
velocidade aumenta até o corpo atingir a posição de equilíbrio O. Quando o corpo está no ponto O, a força resultante
que atua sobre ele é igual a zero; mas devido ao seu movimento, ele ultrapassa a posição de equilíbrio. No outro lado da
posição de equilíbrio, a velocidade do corpo está orientada para a esquerda, porém sua aceleração está orientada para
a direita (figura 2c); consequentemente, a velocidade diminui até o corpo parar. Mostraremos mais adiante que, no
caso da mola ideal, o corpo para no ponto x = -A. A seguir o corpo acelera para a direita, ultrapassa novamente a
posição de equilíbrio e para no ponto x = A, pronto para repetir todo o processo. O corpo está oscilando! Caso não
existisse atrito nem outra força capaz de remover a energia mecânica do sistema, esse movimento se repetiria
eternamente; a força restauradora obrigaria sempre o corpo a voltar para a sua posição de equilíbrio e todas as vezes
ele ultrapassaria essa posição.
Em cada caso, a força pode depender do deslocamento x de diferentes modos. Entretanto, as oscilações sempre
ocorrem quando existe uma força restauradora que obriga o sistema a voltar para a sua posição de equilíbrio.
PERÍODO, FREQUÊNCIA E FREQUÊNCIA ANGULAR
A seguir definimos alguns termos que serão usados na discussão de todos os tipos de movimentos periódicos. A
amplitude do movimento, designada por A, é o módulo máximo do vetor deslocamento do corpo a partir da posição de
equilíbrio; isto é, o valor máximo de lxl. Ela é sempre positiva. Quando a mola da figura 2 for ideal, a amplitude total do
movimento será 2A. A unidade SI de A é o metro. O ciclo é uma oscilação completa, digamos de A até -A e retornando
ao ponto A, ou de O até A, de volta a O, seguindo até -A e retornando a O. Note que o movimento de uma extremidade
a outra (digamos, de A até -A) constitui um hemiciclo e não um ciclo completo.
O período, T, é o tempo correspondente a um ciclo. Ele é sempre positivo. A unidade SI é o segundo. A
frequência, f, é o número de ciclos na unidade de tempo. Ela é sempre positiva. A unidade SI de frequência é o hertz:
1 hertz = 1 Hz = 1 ciclo/s = 1 s-1
Essa unidade foi assim designada em homenagem ao físico alemão Heinrich Hertz (1857-1894), um pioneiro nas
investigações das ondas eletro1llagnéticas.
A frequência angular, ω, é 2π vezes a frequência: ω = 2πf.
Em breve veremos porque ω é uma grandeza útil. Ela representa uma taxa de variação de uma grandeza angular
(não necessariamente relacionada ao movimento de rotação) que é sempre medida em radianos, portanto ela possui
unidades de rad/s. Uma vez que f é em ciclo/s, podemos interpretar o fator 2π como se tivesse unidade de rad/ciclo.
Pelas definições do período T e da frequência f, vemos que cada uma dessas grandezas é o inverso da outra:
f
1
T
[1]
Além disso, da definição de ω,
  2f 
2
T
[2]
3 MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
O tipo mais simples de oscilação ocorre quando a força restauradora Fx é diretamente proporcional ao
deslocamento x da posição de equilíbrio. Isso ocorre quando a mola das figuras 1 e 2 é ideal, ou seja, quando ela
obedece à lei de Hooke. A constante de proporcionalidade k entre Fx e x é a constante da força ou constante elástica da
mola. Nos dois lados da posição de equilíbrio, Fx e x possuem sempre sinais opostos. Na mecânica representamos a força
que atua sobre a mola por Fx = kx. O componente x da força que a mola exerce sobre o corpo possui esse mesmo
módulo, porém com sinal contrário, logo o componente x da força Fx que a mola exerce sobre o corpo é
Fx = −kx (força restauradora exercida pela mola ideal)
[3]
Essa relação fornece corretamente o módulo e o sinal da força, independentemente do valor de x ser positivo,
negativo ou nulo. O gráfico de Fx em função de x é uma linha reta como mostra a figura 3. A constante elástica da mola k
é sempre positiva e suas unidades são N/m ou kg/s2. Supondo que não exista atrito, a equação (3) fornece a força
resultante sobre o corpo.
Quando a força restauradora é diretamente proporcional ao deslocamento da posição de equilíbrio, conforme
indicado na equação (3), a oscilação denomina-se movimento harmônico simples, abreviado por MHS. A aceleração ax =
d2x/dt2 = Fx/m de um corpo que executa um MHS é dada por
2
d2 x
k
ax  2   x
[4]
dt
m
O sinal negativo indica que a aceleração possui sempre sentido contrário ao do deslocamento. Essa aceleração
não é constante, portanto nem pense em usar as fórmulas deduzidas no capítulo de cinemática para o movimento com
aceleração constante. Brevemente mostraremos como resolver essa equação para encontrar o deslocamento x em
função do tempo. Um corpo que executa um movimento harmônico simples constitui um oscilador harmônico.
FIGURA 3 Uma mola ideal exerce uma força restauradora que obedece
à lei de Hooke, Fx = -kx. Uma oscilação com uma força restauradora
desse tipo é chamada de movimento harmônico simples.
Por que o movimento harmônico simples é tão importante? Não se esqueça de que nem todos os movimentos
periódicos constituem um movimento harmônico simples; em movimentos periódicos em geral, a força restauradora
depende do deslocamento de modo mais complicado do que o indicado na equação (3). Contudo, em muitos sistemas a
força restauradora é aproximadamente proporcional ao deslocamento no caso de ele ser suficientemente pequeno
(figura 4). Ou seja, no caso de uma amplitude suficientemente pequena, as oscilações do sistema constituem
aproximadamente um movimento harmônico simples que pode ser descrito pela equação (4). Logo, podemos notar que
o MHS é um modelo simples para descrever diversos tipos de movimentos periódicos, tais como a vibração de um cristal
de quartzo em um relógio, o movimento de um diapasão, a corrente elétrica em um circuito de corrente alternada e as
vibrações dos átomos nas moléculas e nos sólidos.
FIGURA 4 Em muitas oscilações reais, a lei de Hooke se
aplica desde que o corpo não se afaste muito da posição
de equilíbrio. Em tal caso, as oscilações de pequena
amplitude podem ser consideradas aproximadamente
como harmônicas simples.
MOVIMENTO CIRCULAR E AS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
Para explorar as propriedades do movimento harmônico simples, devemos representar a distância x do corpo
que oscila em função do tempo, x(t). A segunda derivada dessa função, d2x/dt2, deve ser igual a (–k/m) multiplicada pela
própria função, conforme exigido pela equação (4). Como já dissemos, as fórmulas deduzidas na cinemática não servem
para este caso, porque a aceleração varia constantemente à medida que x varia. Em vez disso, deduziremos uma
expressão para x(t) usando uma impressionante semelhança entre o MHS e um outro movimento que já estudamos em
detalhe.
A figura 5a mostra a vista do topo de um disco horizontal de raio A com uma bola presa em sua periferia no
ponto Q. O disco gira com velocidade angular ω constante (dada em rad/s), de modo que a bola gira com movimento
circular uniforme. Um feixe de luz horizontal ilumina o disco que gira e projeta sua sombra sobre uma tela. A sombra do
ponto P oscila para a frente e para trás enquanto a bola percorre a circunferência. Agora colocamos um corpo na
extremidade de uma mola ideal, como indicado nas figuras 1 e 2, de modo que o corpo oscile paralelamente à direção
3
do deslocamento da sombra. Mostraremos que o movimento desse corpo e o movimento da sombra são idênticos
quando a amplitude do movimento do corpo é igual ao raio A do disco, e que a frequência angular 2πf do corpo
oscilante é igual à velocidade angular ω do disco que gira. Ou seja, o movimento harmônico simples é a projeção de um
movimento circular uniforme sobre um diâmetro do círculo.
FIGURA 5 (a) Relacionando o movimento circular uniforme e o movimento harmônico simples. (b) A sombra da bola se
move exatamente como um corpo oscilando em uma mola ideal.
Podemos verificar essa importante conclusão determinando a aceleração da sombra no ponto P e comparando
o resultado com a aceleração de um corpo que executa um MHS, dada a equação (4). O círculo, ao longo do qual a bola
se move de modo que sua projeção se superpõe à do movimento oscilatório do corpo, denomina-se círculo de
referência; chamaremos o ponto Q de ponto de referência.
Consideramos o círculo de referência contido em um plano xy, com a origem O no centro do círculo (figura 5b).
No instante t, o vetor OQ que liga a origem ao ponto Q faz um ângulo θ com o sentido positivo do eixo Ox. À medida
que o ponto Q percorre o círculo de referência com velocidade angular ω constante, o vetor OQ gira com a mesma
velocidade angular. Esse vetor girante denomina-se fasor. O componente x do fasor no instante t nada mais é do que a
coordenada x do ponto Q:
x = A cos θ
[5]
Essa relação também fornece a coordenada x da sombra P, que é a projeção do ponto Q sobre o eixo Ox.
Portanto, a velocidade da sombra P ao longo do eixo Ox é igual ao componente x do vetor velocidade do ponto de
referência Q (figura 6a) e a aceleração da sombra P ao longo do eixo Ox é igual ao componente x do vetor aceleração do
ponto de referência Q (figura 6b).
FIGURA 6 A (a) velocidade e (b) a
aceleração da sombra da bola P (veja a
figura 5) são os componentes x
respectivamente dos vetores velocidade e
aceleração da bola Q.

Visto que o ponto Q possui movimento circular uniforme, o vetor aceleração aQ está sempre orientado para o

ponto O. Além disso, o módulo de aQ é constante e dado pelo quadrado da velocidade angular multiplicado pelo raio do
círculo:
aQ = ω2A
[6]

A figura 6b mostra que o componente x de aQ é dado por ax = – aQ cosθ. Combinando esse resultado com as
equações (5) e (6), obtemos a aceleração do ponto P na forma
ax = - aQ cos θ = - ω2A cos θ
[7]
2
ax = -ω x
[8]
A aceleração do ponto P é diretamente proporcional ao deslocamento x e possui sempre sentido contrário a ele.
Essas são precisamente as características básicas do movimento harmônico simples.
4
A equação (8) é exatamente igual à equação (4), que fornece a aceleração de um movimento harmônico
simples, desde que a velocidade angular ω do ponto de referência Q esteja relacionada à constante da mola k e à massa
m do corpo que oscila por
k
k
ou  
[9]
m
m
Temos usado o mesmo símbolo ω para a velocidade angular do ponto de referência Q e para a frequência
angular do ponto oscilante P. Isso é feito porque essas grandezas são iguais! Se o ponto Q executa uma revolução
completa no tempo T, então o ponto P realiza o ciclo completo da oscilação no mesmo intervalo de tempo; portanto, T
é o período da oscilação. Durante o tempo T, o ponto Q se move 2π radianos, logo sua velocidade angular é ω = 2π/T.
Porém, esse resultado é exatamente igual à equação (2), que fornece a frequência angular do ponto P, confirmando
nossa afirmação acerca da interpretação de ω. Essa foi a razão pela qual introduzimos o conceito de frequência angular,
essa é a grandeza que estabelece a conexão entre a oscilação e o movimento circular uniforme. Logo, podemos
interpretar novamente a equação (9) como uma relação para a frequência angular de um corpo de massa m que
executa um movimento harmônico simples sobre o qual atua uma força restauradora com uma constante da mola k:
k

[10]
m
Quando você inicia um corpo oscilando em MHS, não é você quem escolhe o valor de ω; ele é predeterminado
pelos valores de k e de m. As unidades de k são N/m ou kg/s2, logo k/m possui unidades de (kg/s2)/kg = s–2. Quando
extraímos a raiz quadrada da equação (10), obtemos s–1 ou, mais apropriadamente, rad/s, porque se trata de uma
frequência angular (lembre-se de que radiano não é uma unidade verdadeira). De acordo com as equações (1) e (2), a
frequência f e o período T são
 1 k
f

[11]
2  2 m
1 2
m
T 
 2
[12]
f 
k
Com a equação (12) notamos que para um corpo de massa m maior, com maior inércia, a aceleração é menor;
ele se move mais lentamente e leva um tempo maior para completar um ciclo (figura 7). Em contraste, quando a mola é
mais dura (possuindo um valor elevado da constante da mola k), a força exercida é maior para a mesma deformação x,
produzindo aceleração mais elevada, velocidade maior e um tempo T menor por ciclo.
2 
FIGURA 7 Quanto maior a massa m de cada dente do garfo
do diapasão, menor será a frequência da oscilação,
f
1 k
.
2 m
PERÍODO E AMPLITUDE NO MHS
As equações (11) e (12) mostram que o período e a frequência do movimento harmônico simples são
completamente determinados pela massa m e pela constante da mola k. No movimento harmônico simples, o período e
a frequência não dependem da amplitude A. Para dados valores de k e de m, o tempo de uma oscilação completa não
depende do fato de a amplitude ser pequena ou grande.
A equação (3) mostra por que essa conclusão deveria ser esperada. Um valor maior de A implica também uma
força restauradora maior, porque |x| é maior. Isso faz aumentar a velocidade média ao longo de um ciclo completo,
compensando a distância maior a ser percorrida e resultando no mesmo tempo total.
As vibrações de um diapasão constituem aproximadamente um movimento harmônico simples, o que significa
que sua frequência não depende de sua amplitude. Essa é a razão pela qual o diapasão é usado como padrão para
identificar a altura de um som musical. Se não fosse por essa característica do movimento harmônico simples, seria
5
impossível fazer os relógios mecânicos e eletrônicos que conhecemos funcionarem com precisão, ou tocar a maior parte
dos instrumentos musicais de modo afinado. Quando você encontrar um corpo oscilando com um período que dependa
da amplitude, a oscilação não corresponderá a um movimento harmônico simples.
DESLOCAMENTO, VELOCIDADE E ACELERAÇÃO NO MHS
Precisamos achar o deslocamento x em função do tempo para um oscilador harmônico. A equação (4) para um
corpo que descreve um movimento harmônico simples ao longo do eixo Ox é idêntica à equação (8) para a coordenada
x de um ponto de referência que descreve um movimento circular uniforme com uma velocidade angular constante
dada por   k / m . Da equação (5), vemos que x = A cos θ descreve a coordenada x em ambas as situações. Se em t =
0 o fator OQ faz um ângulo φ com o sentido positivo do eixo Ox, então para qualquer outro instante posterior t esse
ângulo é dado por θ = ωt + φ. Substituindo na equação (5), obtemos
x = A cos (ωt + φ) (deslocamento no MHS)
[13]
onde   k / m . A figura 8 mostra um gráfico da equação (13) para o caso particular φ = 0. O deslocamento x é uma
função periódica do tempo, conforme seria de se esperar em um MHS.
FIGURA 8 Gráfico de x em função de t [ver equação (13)]
em um movimento harmônico simples. No caso mostrado,
φ = 0.
Mediante a relação cos α = sen (α + π/2), poderíamos também ter escrito a equação (13) em termos de uma
função senoidal em vez de usar o co-seno. No movimento harmônico simples, o deslocamento é uma função do tempo
senoidal periódica. Existem muitas funções periódicas, contudo nenhuma delas é tão simples quanto uma função seno
ou co-seno.
O valor da função co-seno está sempre compreendido entre -1 e +1. Assim, na equação (13), o valor de x está
sempre entre -A e +A, o que confirma que A é a amplitude do movimento. O período T corresponde ao tempo de um
ciclo completo da oscilação. A função co-seno se repete todas as vezes que a quantidade entre parênteses na equação
(13) aumenta de 2π radianos. Logo, se começamos no instante t = 0, o tempo T necessário para completar um ciclo é
dado por
k
m
T  2 ou T  2
m
k
que é exatamente a equação (12). Fazendo-se variar m ou k, o período da oscilação varia, conforme indicado nas figuras
9a e 9b.
T 
FIGURA 9 Variações em um movimento harmônico simples. Todos os casos indicados são para φ = 0.
A constante φ indicada na equação (13) denomina-se ângulo de fase. Ela nos informa em que ponto do ciclo o
movimento se encontrava em t = 0 (equivalente a dizer em que ponto da circunferência estava o ponto Q em t = 0).
Vamos designar por x0 a posição em t = 0. Substituindo t = 0 e x = x0 na equação (13), obtemos
x0 = A cos φ
[14]
Se φ = 0, então x0 = A cos0° = A, e o corpo começa em seu deslocamento positivo máximo. Se φ = π, então x0 = A
cosπ = -A, e o corpo começa em seu deslocamento negativo máximo. Se φ = π/2, então x0 = A cos (π/2) = 0, e o corpo
está inicialmente na origem. A figura 10 mostra o deslocamento x em função do tempo para diferentes ângulos de fase.
6
FIGURA 10 Variações do MHS: deslocamento em função
do tempo para o mesmo oscilador harmônico com
diferentes ângulos φ de fase.
Achamos a velocidade vx e a aceleração ax em função do tempo para um movimento harmônico simples
derivando a equação (13) em relação ao tempo:
dx
 Asen(t  )
dt
dv d2 x
ax  x  2  2 Acos(t  )
dt dt
vx 
[15]
[16]
A velocidade vx oscila entre os valores vmáx = +ωA e -vmáx = -ωA, e a aceleração a, oscila entre os valore amáx =
+ω A e -amáx = -ω2A (figura 11). Comparando a equação (16) com a equação (13) é lembrando da equação (9) em que ω2
= k/m, vemos que
2
ax  2x  
k
x
m
que é exatamente a equação (4) do movimento harmônico simples. Isso confirma a validade da equação (13) para x em
função do tempo. Na realidade, já havíamos deduzido a equação (16) de forma geométrica considerando o componente
x do vetor aceleração do ponto de referência Q. Isso foi feito na figura 6b e na equação (7) (lembre-se de que θ = ωt +
φ). Do mesmo modo, poderíamos ter deduzido a equação (15) tomando o componente x do vetor velocidade de Q,
conforme indicado na figura 6a.
Note que o gráfico senoidal do deslocamento em função do tempo (figura 11a) está deslocado em um quarto de
período em relação ao gráfico da velocidade em função do tempo (figura 11b) e em meio período do gráfico da
aceleração em função do tempo (figura 11c). A figura 3 mostra por que isso acontece. Quando o corpo está passando
pela posição de equilíbrio, de modo que seu deslocamento é igual a zero, sua velocidade será vmáx ou –vmáx (dependendo
do sentido do movimento do corpo) e sua aceleração é igual a zero. Quando o corpo está no seu ponto de
deslocamento máximo, x = +A, ou no seu ponto de deslocamento negativo máximo, x = -A, sua velocidade é nula, e o
corpo fica momentaneamente em repouso. Nesses pontos, a força restauradora Fx = -kx e a aceleração do corpo
possuem os módulos máximos. Em x = +A, a aceleração é negativa e igual -amáx· Em x = -A, a aceleração é positiva: ax =
amáx·
FIGURA 11 Gráficos de (a) x em função de t, (b) vx em função de t e (c) ax em função de t para um corpo em MHS. Para o
movimento descrito nestes gráficos, φ = π/3.
Conhecendo-se a posição inicial x0 e a velocidade inicial v0x de um corpo oscilante, podemos determinar a
amplitude A e a fase φ. Vejamos como fazer isso. A velocidade inicial v0x é a velocidade no tempo t = 0; substituindo vx=
v0x e t = 0 na equação (15), temos
v 0x  Asen
[17]
Para achar φ, divida a equação (17) pela equação (14). Essa divisão elimina A, e a seguir podemos explicitar φ:
v 0x Asen

 tg
x0
Acos 
7
 v 
  arctg   0x 
[18]
 x 0 
Também é fácil achar A quando conhecemos x0 e v0x. Vamos esquematizar a dedução e você acrescentará os
detalhes. Eleve ao quadrado a equação (14); divida a equação (17) por ω, eleve o resultado ao quadrado e some com o
quadrado da equação (14). O membro direito será igual a A2(sen2 φ + cos2 φ ), que é igual a A2. O resultado final é
A  x 20 
v20x
2
[19]
Note que, quando o corpo apresenta tanto uma posição inicial x0 quanto uma velocidade inicial v0x diferente de
zero, a amplitude A não é igual ao deslocamento inicial. Isso é razoável; se o corpo está na posição inicial positiva x0 e
você fornece a ele uma velocidade inicial v0x positiva, ele deverá ir além do ponto x0 antes de parar e retornar.
4 ENERGIA NO MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
Podemos aprender ainda mais sobre o movimento harmônico simples levando em conta aspectos relacionados
à energia. Observe novamente o corpo oscilando na extremidade da mola nas figuras 2 e 12. Já dissemos que a força da
mola é a única força horizontal que atua sobre o corpo. A força que a mola ideal exerce sobre um corpo é uma força
conservativa, e as forças verticais não realizam trabalho, de modo que a energia mecânica total do sistema é
conservada. Vamos também supor que a massa da mola seja desprezível.
FIGURA 12 Como a velocidade vx e a aceleração ax ao longo do eixo
Ox variam durante um ciclo de MHS.
A energia cinética do corpo é dada por K = ½ mv2, e a energia potencial da mola é U = ½ kx2, tal como visto em
Mecânica. (Seria útil fazer uma revisão.) Não existe nenhuma força dissipativa realizando trabalho, logo a energia
mecânica total E = K + U é conservada:
1
1
E  mv2x  kx2  Cons tante
2
2
[2]
1
1
1
E  mv2x  kx 2  kA2  Cons tante
2
2
2
[21]
A energia mecânica total E é também relacionada diretamente com a amplitude A do movimento. Quando o
corpo atinge o ponto x = A, seu deslocamento máximo a partir do ponto de equilíbrio, ele para momentaneamente e
depois retoma ao seu ponto de equilíbrio. Ou seja, quando x = A (ou x = -A), vx = 0. Nesse ponto a energia é inteiramente
potencial, e E = ½ kA2 . Como E é constante, ela permanece sempre igual a ½ kA2 em qualquer outro ponto. Combinando
essa expressão com a equação (20), obtemos
Podemos verificar essa equação substituindo x e vx fornecidos pelas equações (13) e (15), e usando a relação ω2
= k/m da equação (9):
8
1
1
1
1
E  mv2x  kx2  m[Asen(t  )]2  k[A cos(t  )]2
2
2
2
2
1 2 2
1 2
E  kA sen (t  )  kA cos2 (t  )
2
2
1
E  kA2
2
(Lembre que sen2α + cos2α = 1.) Portanto, as nossas expressões para o deslocamento e para a velocidade no
movimento harmônico simples são consistentes com a conservação da energia, como era de se esperar. Podemos usar a
equação (21) para explicitar a velocidade vx do corpo em função do deslocamento x:
k
A2  x 2
[22]
m
O sinal ± significa que, em um dado ponto x, o corpo pode estar se deslocando em qualquer um dos dois
sentidos. Por exemplo, quando x = ±A/2, temos
vx  
2
k
3 k
 A
vx  
A2      
A
m
4 m
 2
A equação (22) também mostra que a velocidade máxima vmáx ocorre em x = 0. Usando a equação (10),
  k / m verificamos que
k
A  A
[23]
m
Esse resultado concorda com a equação (15), a qual indica que vx oscila entre -ωA e +ωA.
INTERPRETANDO E, K E U EM MHS
A figura 13 mostra as energias E, K e U para os pontos x = 0, x = ± A/2 e x = ± A. A figura 14 é uma representação
gráfica da equação (21); o eixo vertical indica a energia (cinética, potencial e total) e a posição x é indicada no eixo
horizontal. A curva parabólica mostrada na figura 14a representa a energia potencial U = ½ kx2. A linha horizontal
representa a energia mecânica total E que permanece constante e não varia com a posição x. Essa linha corta a curva da
energia potencial nos pontos x = -A e x = A, nos quais a energia é totalmente potencial, a energia cinética é nula e o
corpo entra momentaneamente em repouso antes de inverter o sentido. Enquanto o corpo oscila entre -A e A, a energia
é continuamente transformada de potencial em cinética e vice-versa.
vmáx 
FIGURA 13 Gráficos de E, K e U em função do deslocamento em MHS. A velocidade do corpo não é constante, portanto
essas imagens do corpo em posições com intervalos espaciais iguais entre si não estão colocadas em intervalos iguais no
tempo.
A figura 14a mostra a conexão entre a amplitude A e a correspondente energia mecânica total E = ½ kA2. Se
tentássemos fazer x maior do que A (ou menor do que - A), U seria maior do que E, e K seria negativa. Porém, K nunca
pode ser negativa, logo x não pode ser maior do que A nem menor do que -A.
9
FIGURA 14 Energia cinética K, energia potencial U e energia mecânica total E em função da posição no MHS. Em cada
ponto x a soma dos valores de K e de U é sempre igual ao valor constante E.
5 APLICAÇÕES DO MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
Até o momento, analisamos muitos exemplos de uma única situação em que ocorre o movimento harmônico
simples (MHS): o caso da mola horizontal ideal ligada a um corpo. Porém, o MHS pode ocorrer em qualquer sistema no
qual exista uma força restauradora diretamente proporcional ao deslocamento a partir da posição de equilíbrio, como
na equação (3), Fx = -kx. A força restauradora pode surgir de diferentes modos em situações variadas, então a constante
elástica k deve ser achada mediante o conhecimento da força resultante que atua sobre o sistema. Depois dessa
determinação, toma-se fácil achar a frequência angular ω, a frequência f e o período T: basta substituir o valor obtido
para k nas equações (10), (11) e (12). Vamos usar esse procedimento para examinar diversos exemplos de movimento
harmônico simples.
MHS NA DIREÇÃO VERTICAL
Suponha que penduremos um corpo de massa m em uma mola suspensa verticalmente de constante elástica k
(figura 15a). As oscilações agora ocorrem na direção vertical; elas ainda constituem um MHS? Na figura 15b o corpo está
suspenso na mola em equilíbrio. Nessa posição, a mola está esticada de um valor Δl suficiente para que a força vertical
da mola sobre o corpo k Δl equilibre o peso do corpo mg:
k Δl = mg
FIGURA 15 Um corpo suspenso na extremidade de uma mola.
Considere x = 0 a posição de equilíbrio e oriente o sentido positivo do eixo Ox de baixo para cima. Quando o
corpo está a uma distância x acima da posição de equilíbrio (figura 15c), a deformação da mola é Δl - x. Logo, a força de
baixo para cima exercida pela mola sobre o corpo é k(Δl - x), e o componente x da força total resultante sobre o corpo é
Fx = k(Δl - x) + (-mg) = -kx
ou seja, uma força resultante orientada de cima para baixo de módulo igual a kx. Analogamente, quando o corpo está
abaixo da posição de equilíbrio, existe uma força resultante orientada de baixo para cima de módulo igual a kx. Em
10
qualquer dos casos, existe uma força restauradora de módulo igual a kx. Quando o corpo se move verticalmente, ele
oscila em MHS com a mesma frequência angular que teria caso estivesse oscilando na horizontal,   k / m . Portanto,
o MHS vertical é essencialmente análogo ao MHS horizontal. A única diferença real é que a posição de equilíbrio (ponto
x = 0) não corresponde mais ao ponto em que a mola não está deformada. O raciocínio anterior também vale quando
um corpo com peso mg é colocado verticalmente sobre uma mola (figura 16) e a comprime até uma distância Δl.
FIGURA 16 Quando o peso mg comprime a mola até
uma distância Δl, a constante da mola é dada por, k =
mg/Δl e a frequência angular do MHS vertical é dada
por   k / m - a mesma que o corpo apresentaria se
estivesse suspenso na mola (veja a figura 15).
ASSOCIAÇÃO DE MOLAS
Agora discutiremos teoricamente as associações de molas em série e em paralelo. Calcularemos a constante
elástica resultante para cada associação.
1) Associação em Série
Consideremos duas molas como indicado na figura 17: uma mola 1 com constante elástica k1 e uma mola 2 com
constante elástica k2.
FIGURA 17 Duas molas de constante elástica k1 e k2.
Assim, aplicando-se uma força F à mola 1 ela sofrerá uma elongação Δx1 tal que:
F = k1 Δx1
e
Δx1 = F/k1
Se aplicarmos esta mesma força à mola 2 teremos:
F = k2 Δx2
e
Δx2 = F/k2
Associando-se estas duas molas em série, como figura 18, e aplicando-se a mesma força F, referida anteriormente, ao
conjunto, teremos que o mesmo se comportará como uma mola equivalente de constante elástica ke e sofrerá uma
elongação Δxe.
FIGURA 18 Associação de duas molas em série.
Acontece que uma força F, aplicada à mola inferior da associação em série, se transmite para a outra mola de tal modo
que cada mola individualmente estará sujeita a uma mesma força F. Assim, a associação sofrerá uma elongação dada
por:
Δxe = Δx1 + Δx2
Para a associação, temos:
F = ke Δxe
e
Δxe = F/ke
Assim, como Δxe = Δx1 + Δx2, teremos:
F/ke = = F/k1 + F/k2
após dividirmos ambos os lados por F, fica:
1 1 1
 
k e k 1 k2
11
que é a equação que nos dá a constante elástica equivalente da associação em série de duas molas.
b) Associação em paralelo
Considere o sistema da figura 19 onde um peso P foi suspendido por das duas molas. Note que elas serão
forçadas a sofrer deformações iguais.
FIGURA 19 Associação de duas molas em paralelo.
Aplicando a Lei de Hooke para cada mola, temos:
F1 = k1Δx
e
F2 = k2 Δx
As duas forças somadas são iguais a uma força equivalente Fe que é igual ao peso P. Aplicando a Lei de Hooke ao sistema
equivalente, temos:
Fe = keΔx
Mas Fe = F1 + F2
Com isso teremos:
keΔx = k1Δx + k2Δx
obtendo
ke = k 1 + k 2
A equação acima fornece a constante elástica equivalente para uma associação em paralelo de duas molas.
Por exemplo, ao cortarmos uma mola de constante elástica k, em duas partes iguais, cada parte terá constante
elástica 2k. De fato, sejam k1 e k2 as constantes elásticas das partes. Como são idênticas, temos k1 = k2. Associando as
partes em série, recompomos a mola inicial de constante elástica k. Portanto:
1 1 1
 
k k1 k2
1 1 1
   k1 = 2k
k k 1 k1
Associando-se as partes em paralelo, a mola equivalente tem constante elástica 4k.
MHS ANGULAR
A figura 20 mostra a roda de balanço de um relógio mecânico. A roda possui um momento de inércia I em tomo
de seu eixo. Uma mola helicoidal (chamada de mola cabelo) exerce um torque restaurador τz proporcional ao
deslocamento angular θ a partir da posição de equilíbrio.
FIGURA 20 A roda de balanço de um relógio mecânico. A mola
helicoidal exerce um torque restaurador proporcional ao
deslocamento angular θ a partir da posição de equilíbrio. Logo, o
movimento é um MHS.
Escrevemos τz =-κθ, onde κ (letra grega 'capa') é uma constante denominada constante de torção. Usando o
análogo rotacional da segunda lei de Newton para um corpo rígido, ∑τz =Iαz= Id2/dt2, a equação do movimento é
d2 

  I ou
 
2
dt
I
Essa equação possui forma exatamente igual à da equação (4), que fornece a aceleração de um movimento
harmônico simples, se substituirmos x por θ e k/m por κ/I. Logo, trata-se da forma angular do movimento harmônico
simples. A frequência angular ω e a frequência f são dadas, respectivamente, pelas equações (10) e (11), fazendo-se as
mesmas substituições mencionadas:


1 
e f
I
2 I
[24]
12
O movimento é descrito pela função
θ = Ɵ cos (ωt+ φ)
onde Ɵ desempenha o papel de uma amplitude angular.
É vantajoso que a oscilação de uma roda de balanço seja um movimento harmônico simples. Caso não fosse, a
frequência dependeria da amplitude, e o relógio poderia adiantar ou atrasar quando a mola se desgastasse.
6 O PÊNDULO SIMPLES
Um pêndulo simples é um modelo idealizado constituído por um corpo puntiforme suspenso por um fio
inextensível de massa desprezível. Quando o corpo puntiforme é puxado lateralmente a partir da sua posição de
equilíbrio e a seguir libertado, ele oscila em tomo da posição de equilíbrio. Algumas situações familiares, como uma bola
de demolição presa ao cabo de um guindaste ou uma criança sentada em um balanço (figura 21a), podem ser
consideradas pêndulos simples.
A trajetória do corpo puntiforme (algumas vezes chamado de peso) não é uma linha reta, mas um arco de
circunferência de raio L igual ao comprimento do fio (figura 21b). Usaremos como coordenada a distância x medida ao
longo do arco. Para que a oscilação seja um movimento harmônico simples é necessário que a força restauradora seja
diretamente proporcional à distância x ou a θ (porque x = Lθ). Será que isso está correto?
Na figura 21b, representamos a força sobre o peso em termos do componente radial e do componente
tangencial.
FIGURA 21 A dinâmica de um pêndulo simples.
A força restauradora F é o componente tangencial da força resultante:
Fθ = -mg senθ
[25]
A força restauradora é fornecida pela gravidade; a tensão T atua meramente para fazer o peso puntiforme se
deslocar ao longo de um arco. A força restauradora não é proporcional a θ, mas sim a senθ; logo, o movimento não é
harmônico simples. Contudo, quando o ângulo θ é pequeno, senθ é aproximadamente igual ao ângulo θ em radianos
(figura 22).
FIGURA 22 Em deslocamentos angulares pequenos θ, a força
restauradora Fθ = -mg senθ sobre um pêndulo simples é
aproximadamente igual a -mgθ, isto é, é aproximadamente
proporcional ao deslocamento θ. Assim, para ângulos pequenos,
as oscilações são movimentos harmônicos simples.
Por exemplo, quando θ = 0,1 rad (aproximadamente igual a 6°), sen θ = 0,0998, uma diferença de apenas 0,2%.
Com essa aproximação, podemos escrever a equação (25) na forma
13
x
mg
ou F  
x
[26]
L
L
A força restauradora é então proporcional à coordenada para pequenos deslocamentos, e, então a constante
elástica é representada por k = mg/L. Pela equação (10), a frequência angular ω de um pêndulo simples com amplitude
pequena é dada por
k
mg / L
g



[27]
m
m
L
A frequência e o período correspondentes são dados por
 1 g
f

[28]
2 2  L
1
L
[29]
T   2
f
g
Note que as relações anteriores não envolvem a massa da partícula. Isso ocorre porque a força restauradora,
que é um componente do peso da partícula é proporcional a m. Logo, a massa é cancelada porque aparece em ambos


os membros da equação ∑ F  ma (Esse raciocínio físico é o mesmo usado para mostrar que todos os corpos caem com a
mesma aceleração no vácuo.) Em pequenas oscilações, o período de um pêndulo simples para um dado valor de g é
determinado exclusivamente pelo seu comprimento.
A dependência de L e g indicada nas equações (27), (28) e (29) é exatamente o que era esperado. Um pêndulo
comprido possui um período maior do que um pêndulo curto. Quando g aumenta, a força restauradora toma-se maior,
fazendo aumentar a frequência e diminuir o período. Enfatizamos, mais uma vez, que o movimento do pêndulo simples
é aproximadamente harmônico simples. Quando a amplitude não é pequena, o desvio do comportamento harmônico
simples pode ser significativo. Porém, como estabelecer o limite para 'pequeno'? O período pode ser desenvolvido em
uma série infinita; quando o deslocamento angular máximo é θ, o período T é dado por

L  12
12.32

2 
[30]
T  2
1

sen

sen4  ... 

2
2 2
g 2
2 2 .4
2

Podemos calcular o período com a precisão desejada se tomarmos na série o número de termos necessários.
Convidamos você a mostrar que quando θ = 15° (para cada lado da direção vertical central), o período real é cerca de
0,5% maior do que o período aproximado indicado pela equação (29).
A utilidade de um pêndulo para medir o tempo depende do fato de o período ser aproximadamente
independente da amplitude, desde que a amplitude seja pequena. Portanto, quando um relógio de pêndulo envelhece e
a amplitude das oscilações diminui um pouco, o relógio continua a medir o tempo de modo aproximadamente correto.
F  mg  mg
7 O PÊNDULO FÍSICO
Um pêndulo físico é qualquer pêndulo real, que usa um corpo com volume finito, em contraste com o modelo
idealizado do pêndulo simples, que usa um corpo cuja massa está concentrada em um único ponto. Para oscilações
pequenas, analisar o movimento de um pêndulo físico é quase tão fácil quanto analisar o movimento de um pêndulo
simples. A figura 23 mostra um corpo de forma irregular suspenso por um pivô e girando sem atrito ao redor de um eixo
que passa pelo ponto O.
FIGURA 23 Dinâmica de um pêndulo físico.
14
Na posição de equilíbrio, o centro de gravidade está diretamente abaixo do pivô; na posição indicada na figura,
o corpo está deslocado de um ângulo θ, que nós usaremos como a coordenada do sistema. A distância entre o ponto O
e o centro de gravidade é d; o momento de inércia do corpo em tomo do eixo de rotação passando pelo ponto O é I e a
massa total é igual a m. Quando o corpo é deslocado conforme indicado, o peso mg produz um torque restaurador
τz = - (mg) (d senθ)
[31]
O sinal negativo mostra que o torque restaurador possui sentido anti-horário quando o deslocamento possui
sentido horário, e vice-versa.
Quando o corpo é liberado, ele oscila em tomo da posição de equilíbrio. O movimento não é harmônico simples,
porque o torque restaurador não é proporcional a θ, mas sim a sen θ. Contudo, quando o ângulo θ é pequeno, podemos
novamente aproximar sen θ por θ em radianos, como fizemos ao analisar o pêndulo simples. Dessa forma, o movimento
é aproximadamente harmônico simples.
Com essa aproximação,
τz = -(mgd)θ
A equação do movimento é ∑τz = Iαz, logo
d2 
(mgd)  I z  I 2
dt
2
d
mgd


[32]
2
dt
I
Comparando esse resultado com a equação (4), vemos que o termo (k/m) do sistema massa-mola é análogo ao
termo (mgd/l). Portanto, a frequência angular é dada por
mgd

[33]
I
A frequência f é ω/2π, e o período T é dado por
I
[34]
T  2
mgd
A equação (34) é a base para a determinação do momento de inércia de um corpo com forma complicada.
Inicialmente, localizamos o centro de gravidade do corpo efetuando testes de equilíbrio. A seguir, o corpo é suspenso de
modo que possa girar livremente em tomo de um eixo, e medimos o período T das oscilações com amplitude pequena.
Usando-se a equação (34), o momento de inércia I em tomo desse eixo pode ser calculado a partir de T, da massa m e
da distância dentre o eixo e o centro de gravidade. Pesquisadores de biomecânica usam esse método para calcular o
momento de inércia das pernas de animais. Essa informação é importante para analisar como um animal caminha.
8 OSCILAÇÕES AMORTECIDAS
Os sistemas oscilantes ideais que foram discutidos até o momento não possuíam atrito. Nesses sistemas as
forças são conservativas, a energia mecânica total é constante e, quando o sistema começa a oscilar, ele continua
oscilando eternamente sem nenhuma diminuição da amplitude.
Os sistemas reais sempre possuem alguma força não conservativa e a amplitude das oscilações vai diminuindo
com o tempo, a menos que seja fornecida alguma energia para suprir a dissipação da energia mecânica. Um relógio de
pêndulo mecânico continua a oscilar porque a energia potencial acumulada em uma mola ou em sistema de pesos
suspensos é usada para suprir a dissipação da energia mecânica no pivô e nas engrenagens. Porém, a mola acaba se
desgastando, ou os pesos acabam atingindo o final de seus percursos. Então não existe mais energia disponível, e a
amplitude das oscilações diminui até o pêndulo parar.
A diminuição da amplitude provocada por uma força dissipativa denomina-se amortecimento e o movimento
correspondente denomina-se oscilação amortecida. O caso mais simples a ser examinado em detalhe é um oscilador
harmônico simples com uma força de atrito amortecedora diretamente proporcional à velocidade do corpo que oscila.
Esse comportamento ocorre no escoamento de um fluido viscoso, tal como em um amortecedor ou no caso do atrito
entre superfícies lubrificadas com óleo. Nesse caso, existe uma força de atrito adicional que atua sobre o corpo, dada
por Fx = -bvx, onde vx = dx/dt é a velocidade e b é uma constante que descreve a intensidade da força de
amortecimento. O sinal negativo indica que a força possui sempre um sentido contrário ao da velocidade.
Portanto, a força resultante sobre o corpo é dada por
∑Fx = -kx - bvx
[35]
e a segunda lei de Newton para o sistema é
dx
d2 x
kx  bv x  max ou  kx  b  m
[36]
dt
dt
15
A equação (36) é uma equação diferencial para x; a única diferença entre ela e a equação (4) que fornece a
aceleração no MHS é que ela possui um termo adicional -bdx/dt. Essa equação pode ser resolvida facilmente pela teoria
das equações diferenciais, porém não daremos os detalhes dessa solução aqui. Quando a força de amortecimento é
relativamente pequena, o movimento é descrito por
x  Ae(b/2m)t cos('t  )
[37]
A frequência angular ω' é dada por
k
b2
 2
[38]
m 4m
Podemos verificar que a equação (37) é uma solução da equação (36) calculando a primeira e a segunda
derivadas de x, substituindo o resultado na equação (36) e conferindo se o membro esquerdo é igual ao membro
direito. Esse procedimento é muito simples, porém trabalhoso.
O movimento descrito pela equação (37) difere do caso sem amortecimento de dois modos. Primeiro, a
amplitude Ae-(b/2m)t não é constante e diminui com o tempo por causa do fator decrescente e-(b/2m)t. A figura 24 é um
gráfico da equação (37) para um ângulo de fase φ = 0; ela mostra que, quanto maior for o valor de b, mais rapidamente
diminuirá a amplitude. Segundo, a frequência angular ω', dada pela equação (38), não é mais igual   k / m e sim
ligeiramente menor. Ela tende a zero quando b é tão grande que
k
b2
 2  0 ou b  2 km
[39]
m 4m
Quando a equação (39) é satisfeita, ocorre o chamado amortecimento crítico. O sistema não oscila mais e, ao
ser deslocado e libertado, retoma para sua posição de equilíbrio sem oscilar.
' 
FIGURA 24 Gráfico do deslocamento em função do tempo de um
oscilador com leve amortecimento e com um ângulo de fase φ = 0.
As curvas mostram dois valores da constante de amortecimento b.
A condição b maior do que 2 km corresponde ao superamortecimento. Novamente o sistema não oscila,
porém retoma para sua posição de equilíbrio mais lentamente do que no caso do amortecimento crítico. Para o caso do
superamortecimento, as soluções da equação (36) possuem a seguinte forma:
x  C1e a t  C2e a t
onde C1 e C2 são constantes que dependem das condições iniciais, e a1 e a2 são constantes determinadas por m, k e b.
Para b menor do que o valor crítico, quando a equação (37) é satisfeita, a condição denomina-se
subamortecimento. O sistema oscila com uma amplitude que diminui continuamente.
Em um diapasão vibrando ou na corda de um violão, geralmente deseja-se o menor amortecimento possível. Em
contraste, o amortecimento tem um efeito benéfico no sistema de suspensão de um automóvel. As forças de
amortecimento de um carro dependem da velocidade e impedem que ele oscile eternamente ao passar por alguma
saliência em seu caminho (figura 25). Para o maior conforto do passageiro, o sistema deve ser criticamente amortecido
ou ligeiramente subamortecido. Amortecimento demais produzirá um resultado oposto ao esperado; se a suspensão
estiver superamortecida e o carro passar por outra saliência logo após a primeira, as molas da suspensão ainda estarão
comprimidas devido ao primeiro solavanco e não conseguirão absorver completamente o impacto.
1
2
16
FIGURA 25 Amortecedor de um carro. O fluido viscoso produz
uma força de amortecimento que depende da velocidade relativa
entre as duas extremidades da unidade.
ENERGIA EM OSCILAÇÕES AMORTECIDAS
Nas oscilações amortecidas, a força do amortecimento não é conservativa; a energia mecânica do sistema não é
constante e diminui continuamente, tendendo a zero depois de um tempo longo. A fim de deduzir uma expressão para
a taxa de variação da energia, inicialmente escrevemos uma expressão para a energia mecânica total E em qualquer
instante:
1
1
E  mv2x  kx2
2
2
A derivada da equação anterior em relação ao tempo é dada por:
dv
dE
dx
 mv x x  kx
dt
dt
dt
Porém, dvx/dt = ax e logo, dx/dt = vx, então
dE
 v x (max  kx)
dt
Pela equação (36), max + kx = - bdx/dt,= -bvx, logo
dE
 v x (bv x )  bv2x
[40]
dt
O membro direito da equação (40) é sempre negativo, independentemente de vx ser positivo ou negativo. Isso
mostra que, quando o corpo se move, a energia diminui continuamente, embora com uma taxa não uniforme. O termo
bv2x = (-bvx) vx (força vezes velocidade) é a taxa com a qual a força do amortecimento realiza trabalho (negativo) sobre
o sistema (ou seja, é a potência do amortecimento). Ela é igual à taxa de variação da energia mecânica total do sistema.
Um comportamento semelhante ocorre em circuitos elétricos contendo indutores, capacitares e resistores.
Existe uma frequência natural da oscilação, e a resistência desempenha o papel da constante de amortecimento b. Em
tais circuitos é desejável a minimização do amortecimento, mas o amortecimento não pode ser eliminado
completamente.
9 OSCILAÇÕES FORCADAS E RESSONÂNCIA
Quando um oscilador amortecido é deixado livre, suas oscilações tendem a parar. Porém, podemos manter
constante a amplitude das oscilações aplicando uma força que varia periodicamente, com dado período e uma
frequência fixa. Como exemplo, considere uma criança oscilando no balanço de um playground. Você pode manter
constante a amplitude das oscilações se fornecer à criança um pequeno empurrão ao final de cada ciclo. Essa força
adicional é chamada de força propulsora.
OSCILAÇÕES AMORTECIDAS COM UMA FORÇA PROPULSORA PERIÓDICA
Quando aplicamos uma força propulsora variando periodicamente com uma frequência angular ωd a um
oscilador harmônico amortecido, o movimento resultante é uma oscilação forçada ou uma oscilação com força
propulsora. Trata-se de um movimento diferente do ocorrido quando simplesmente deslocamos o sistema da sua
posição de equilíbrio e o deixamos livre; nesse caso, o sistema oscila com uma frequência angular natural ω'
determinada por m, k e b, como na equação (38). Contudo, no caso de uma oscilação forçada, a frequência angular da
oscilação da massa é igual à frequência angular da força propulsora ωd. Essa frequência não é igual à frequência angular
17
ω’ com a qual o sistema oscilaria caso não estivesse submetido à ação da força. Quando você segura as cordas do
balanço da criança, pode forçá-la a oscilar com qualquer frequência que desejar.
Suponha que você force o oscilador a vibrar com uma frequência angular ωd igual à frequência angular ω' com a
qual ele oscilaria sem a ação de nenhuma força. O que ocorreria? O oscilador teria uma tendência natural a oscilar com
uma frequência angular ω = ω', então é de se esperar que a amplitude da oscilação seja maior do que a amplitude
existente quando as frequências são muito diferentes. Uma análise detalhada e dados experimentais mostram que isso
é exatamente o que ocorre. O caso mais simples a ser analisado é o de uma força que varia senoidalmente, com a forma
F(t) = Fmáx.cos ωdt. Quando variamos a frequência angular ωd da força propulsora, a amplitude da oscilação forçada
resultante varia de modo interessante (figura 26). Quando existe um amortecimento muito pequeno (b pequeno), a
amplitude tende a crescer fortemente até atingir um pico agudo, quando a frequência angular ωd da força propulsora
torna-se igual à frequência angular natural ω'. Quando o amortecimento é aumentado (b maior), o pico se torna mais
largo, a amplitude se torna menor e se desloca para frequências menores.
FIGURA 26 Gráfico da amplitude A da oscilação forçada de um oscilador harmônico amortecido em função da
frequência angular ωd da força propulsora. O eixo horizontal indica a razão entre a frequência angular ωd e a frequência
angular   k / m da oscilação natural não amortecida. Cada curva apresenta um valor diferente da constante de
amortecimento b.
Podemos deduzir uma expressão que mostra como a amplitude A da oscilação forçada depende da frequência
angular de uma força propulsora senoidal, que possui um valor máximo Fmáx. Isso exige a solução de equações
diferenciais que você ainda não está preparado para resolver, porém o resultado obtido é:
Fmáx
A
[41]
(k  m2d )2  b2 2d
Quando k − mωd2 = 0 (o primeiro termo sob o sinal da raiz quadrada for igual a zero), o valor de A torna-se
máximo para '  k / m . A altura da curva nesse ponto é proporcional a 1/b; quanto menor for o amortecimento,
mais elevado se torna o pico. No caso extremo de baixas frequências, quando ωd = 0, obtemos A = Fmáx/k. Esse resultado
era de se esperar, porque ele corresponde a uma força constante Fmáx e a um deslocamento constante A = Fmáx/k.
A RESSONÂNCIA E SUAS CONSEQUÊNCIAS
A ressonância é o fenômeno que ocorre quando existe um pico de amplitude provocado por uma força cuja
frequência está próxima da frequência da oscilação natural do sistema. A física está repleta de exemplos de ressonância;
um desses exemplos é criar oscilações com grande amplitude empurrando uma criança em um balanço com uma
frequência igual à frequência da oscilação natural do balanço. As fortes vibrações que ocorrem em um carro quando o
motor gira em determinadas rotações, ou quando a velocidade das rodas atinge determinados valores, são exemplos
familiares de ressonâncias. Um alto-falante barato geralmente produz um ruído desagradável quando uma nota musical
coincide com a frequência da oscilação natural da caixa ou do cone do alto-falante. Em capítulos posteriores
estudaremos outros exemplos de ressonância que envolvem som. Circuitos elétricos também apresentam ressonância:
os circuitos de sintonia do rádio ou da televisão respondem fortemente a ondas que possuam uma frequência próxima
18
da frequência de ressonância do respectivo circuito, e esse fato é usado para selecionar uma emissora e rejeitar as
outras.
A ressonância de um sistema mecânico pode ser destrutiva. Uma tropa de soldados, em certa ocasião, destruiu
uma ponte porque a atravessou em passo de marcha; a frequência da marcha era próxima da frequência da vibração
natural da ponte, e o crescimento das amplitudes da oscilação resultante foi suficiente para quebrá-la. Desde que
ocorreu esse desastre, os soldados são orientados a não marcharem de modo cadenciado ao atravessar uma ponte. Há
alguns anos, as vibrações do motor de um avião atingiram uma frequência próxima da frequência de ressonância das
asas do avião. As oscilações se somaram e as asas se partiram.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01 Um transdutor ultrassônico (uma espécie de alto-falante), usado para diagnóstico médico, oscila com uma
frequência igual a 6,7 MHz = 6,7 . 106 Hz. Quanto dura uma oscilação e qual é a frequência angular?
SOLUÇÃO
Usando as equações (1) e (2), obtemos
1
1
T 
 1,5.107 s
6
f 6,7.10
  2f  2.(6,7.106 )  4,2.107 rad / s
Trata-se de uma vibração muito rápida, com valores elevados de f e ω e um valor pequeno para T. Em uma vibração
lenta, f e ω são pequenos, e T é elevado.
02 Uma partícula move-se ao longo de um eixo Ox, obedecendo à função x = 2 cos π t (SI), em que x é a elongação e t é
o tempo. Obtenha:
a) a amplitude, a pulsação, o período, a frequência e a fase inicial do movimento;
b) os valores máximos da velocidade escalar e da aceleração escalar da partícula;
c) o gráfico da elongação em função do tempo, no intervalo de t = 0 a t = 2 s.
SOLUÇÃO
a) Temos: x = 2 cos π t e x = A cos (ω t + ϕ0). Comparando essas expressões, termo a termo, vem:
A = 2 m (amplitude)
ω = π rad/s (pulsação)
2
2


 T 2 s
T
T
1
1
f   f   f  0,5 Hz
T
2
0  0
b) Temos: vmáx = ω A e amáx = ω2 A, então:
vmáx = π · 2 ⇒ vmáx = 2π m/s
amáx = π2 · 2 ⇒ amáx = 2π2 m/s2
c) Vamos calcular a elongação nos instantes t = 0, t = 0,5 s,
t = 1 s, t = 1,5 s e t = 2 s:
t = 0 ⇒ x = 2 cos (π · 0) ⇒ x = 2 m
t = 0,5 s ⇒ x = 2 cos (π · 0,5) ⇒ x = 0
t = 1 s ⇒ x = 2 cos (π · 1) ⇒ x = –2 m
t = 1,5 s ⇒ x = 2 cos (π · 1,5) ⇒ x = 0
t = 2 s ⇒ x = 2 cos (π · 2) ⇒ x = 2 m
Agora, vamos construir o gráfico pedido:
19
03 Uma partícula realiza um MHS (movimento harmônico simples) segundo a equação x = 0,2 cos (π/2 + π/2 t), no SI. A
partir da posição de elongação máxima, o professor Gomes pede que se determine o menor tempo que esta partícula
gastará para passar pela posição de equilíbrio.
SOLUÇÃO
Δt = T/4
ω = 2π/T ⇒ π/2 = 2π/T ⇒ T = 4s
Portanto: Δt = T/4 = 4/4 ⇒ Δt = 1 s
04 Uma partícula move-se obedecendo à função horária x = 2 cos (4π t + π/2), com x em metros e t em segundos.
Determine:
a) o período do movimento;
b) a velocidade escalar da partícula em t = 1 s;
c) a aceleração escalar da partícula em t = 5 s.
SOLUÇÃO
a) ω = 2 π/T ⇒ 4 π = 2π/T ⇒ T = 0,5 s
b) v = – ω A sen (ω t + ϕ0)
v = – 4 π · 2 sen (4 π · 1 + π/2) ⇒ v = – 8 π m/s
c) a = – ω2 A cos (ω t + ϕ0)
a = – 16 π2 · 2 · cos (4 π · 5 + π/2) = –16 π2 · 2 · 0 ⇒ a = 0
05 A figura abaixo representa um corpo mantido em repouso, preso a uma mola ideal e apoiado em uma superfície
plana e horizontal.
A mola está comprimida de 10 cm. No instante t = 0, o corpo é abandonado e passa a realizar um movimento harmônico
simples em torno da posição de equilíbrio O, que é a origem do eixo Ox, completando duas oscilações por segundo.
Determine a função horária da velocidade escalar (v) desse corpo.
SOLUÇÃO
v = –ω A sen(ωt + ϕ0)
• A = 10 cm = 0,1 m
• f = 2 Hz ⇒ ω = 2 πf = 2 π.2 ⇒ ω = 4 π rad/s
• x = A cos(ωt + ϕ0)
Em t = 0, x = –A: –A = A cos ϕ0 ⇒ cos ϕo = –1 ⇒ ϕ0 = π rad
Portanto:
v = –4 π · 0,1 sen(4 π t + π)
06 Duas partículas executam movimentos harmônicos simples com uma mesma amplitude e período ao longo da
mesma linha. Qual é a diferença de fase entre elas, se elas cruzam quando o seu alongamento é metade da amplitude?
SOLUÇÃO
No instante t em que as partículas passam uma pela outra, x1 = x2 = xm/2, em que
x1 = xm cos(ωt +φ1) e x2 = xm cos(ωt +φ2).
A conclusão é que cos(ωt + φ1) = cos(ωt + φ2) = 1/2 e, portanto, as fases (os argumentos dos cossenos) são iguais a π/3
ou –π/3.
Sabemos também que no instante t as partículas estão se movendo em sentidos opostos. Como as velocidades das
partículas no instante t são
v1 = −xm ω sen(ωt +φ1) e v2 = −xm ω sen(ωt +φ2)
devemos ter sen(ωt + φ1) = –sen(ωt + φ2). Para isso, as fases devem ter sinais opostos. Assim, uma das fases é π/3 e a
outra é −π/3 e a diferença de fase é π/3 − (−π/3) = 2π/3.
07 Qual é a equação do MHS representado no gráfico a seguir?
20
SOLUÇÃO
Do gráfico, temos que: A = 4 cm, T = 8 s α0 = -π/2 e ω = π/4 rad/s, então, a equação x = A sen (ωt + α0) pode ser escrita
como:


x  4sen  t   cm
2
4
08 A extremidade esquerda de uma mola horizontal é mantida fixa. Ligamos um dinamômetro na extremidade livre da
mola e puxamos para a direita (figura a); verificamos que a força que estica a mola é proporcional ao deslocamento e
que uma força de 6,0 N produz um deslocamento igual a 0,030 m. A seguir removemos o dinamômetro e amarramos a
extremidade livre a um corpo de 0,50 kg, puxamos o corpo até uma distância de 0,020 m, o libertamos e observamos o
MHS resultante (figura b).
a) Calcule a constante da mola.
b) Calcule a frequência, a frequência angular e o período da oscilação.
SOLUÇÃO
a) Quando x = 0,030 m, a força que a mola exerce sobre o dinamômetro é F = – 6,0 N. Usando a equação (3),
F
6,0
k x 
 200N / m
x
0,030
b) Substituindo m = 0,50 kg na equação (10), encontramos

k
200

 20 rad / s
m
0,50
A frequência f é
f
 20

 3,2ciclos / s  3,2Hz
2 2
O período T é o inverso da frequência f:
1 1
T 
 0,31s
f 3,2
09 Vamos retornar à mola horizontal discutida no exercício anterior. A constante da mola é k = 200 N/m, e a mola está
ligada a um corpo de massa m = 0,50 kg. Desta vez, forneceremos ao corpo um deslocamento inicial de +0,015 m e uma
velocidade inicial de +0,40 m/s.
a) Calcule o período, a amplitude e o ângulo de fase do movimento.
b) Escreva as equações para o deslocamento, a velocidade e a aceleração em função do tempo.
SOLUÇÃO
a) O período é exatamente igual ao obtido no exercício anterior, T = 0,31 s. Em um movimento harmônico simples o
período não depende da amplitude, somente dos valores de k e de m. No exercício anterior, descobrimos que ω = 20
rad/s. Logo, conforme a equação (19),
A  x2 0 
v20x
(0,40)2
2

(0,015)

 0,025m
2
(20)2
21
Para achar o ângulo de fase φ, usamos a equação (18):
 v 
0,40


  arctg   0x   arctg  
  53  0,93rad
 (20).(0,015) 
 x 0 
b) O deslocamento, a velocidade e a aceleração em qualquer instante são dados pelas equações (13), (15) e (16),
respectivamente. Substituindo os valores, obtemos
x = (0,025 m) cos [(20 rad/s)t - 0,93 rad]
vx = - (0,50 m/s) sen [(20 rad/s)t - 0,93 rad]
ax = - ( 10 m/s2) cos [(20 rad/s)t - 0,93 rad]
A velocidade varia senoidalmente entre -0,50 m/s e +0,50 m/s, e a aceleração varia senoidalmente entre -10 m/s2 e +10
m/s2.
10 Deixa-se o quilograma-padrão (1,0 kg) oscilar livremente na extremidade de uma mola ideal, sendo que ele o faz com
frequência igual a 1,0 Hz. Em seguida, retira-se o quilograma-padrão e coloca-se, em seu lugar, um corpo de massa
desconhecida m, que oscila com frequência igual a 0,50 Hz. Determine a massa m.
SOLUÇÃO

1 k
1 
1 k  2 1
m
f
2
 m  4kg

2 m 
1
1 k
0,5  2 m
11 Um corpo está preso a uma mola, como mostra a figura abaixo:
Se o corpo é deslocado para x = 10,0 m e liberado a partir do repouso no tempo t = 0, ele irá oscilar com amplitude A =
0,10m e ângulo de fase φ = 0.
a) Suponha agora que em t = 0 o corpo esteja em x = 0,10 m e movendo-se para a direita, conforme a figura. Nessas
condições, a amplitude é maior, menor ou igual, se comparada ao valor anterior de 0,10 m? E o ângulo de fase é maior
do que zero, menor do que zero ou igual a zero?
b) Suponha, desta vez, que em t = 0 o corpo esteja em x = 0,10 m e movendo-se para a esquerda, conforme a figura.
Nessas condições, a amplitude é maior, menor ou igual, se comparada ao valor anterior de 0,10 m? E o ângulo de fase é
maior do que zero, menor do que zero ou igual a zero?
SOLUÇÃO
a) A > 0,10 m, φ < 0;
b) A > 0,10 m, φ > 0. Em ambas as situações, a velocidade inicial v0x no eixo Ox em t = 0 não é nula. Portanto, pela
equação (19), a amplitude A  x 2  v2x / 2 é maior do que a coordenada inicial no eixo Ox x0 = 0,10 m. Pela equação
(18), o ângulo de fase é dado por φ = arc tg (–v0x/ωx0), sendo positivo se a grandeza –v0x/ωx0 (o argumento da função
arco tangente) for positivo, e negativo se –v0x/ωx0 for negativo. Na parte (a) x0 e v0 são ambos positivos, portanto –
v0x/ωx0 < 0 e φ < 0. Na parte (b), x0 é positivo e v0x é negativo, portanto –v0x/ωx0 > 0 e φ > 0.
12 a) Para dobrar a energia total em um sistema massa-mola que oscila em MHS, de que fator deve a amplitude
aumentar?
b) De que fator irá variar a frequência devido a esse aumento na amplitude?
SOLUÇÃO
a) Para aumentar a energia total E= ½ kA2 de um fator 2, a amplitude A deve ser aumentada de um fator 2 .
b) Não se altera. Como se trata de um MHS, a variação da amplitude não exerce nenhum efeito sobre a frequência.
13 Um corpo de massa M está preso à extremidade de uma mola e oscila na vertical. Despreze a resistência do ar.
Determine o período das oscilações em função da constante da mola k, de M e de m(massa da mola).
SOLUÇÃO
Tudo se passa como se tivéssemos uma mola ideal de massa desprezível, ligada a um corpo de massa M mais um corpo
de massa m' equivalente à massa da mola considerada. Contudo, m' não é igual a m, porque a velocidade de vibração
das espiras da mola de massa m não é constante. Vamos resolver este problema com o chamado método da massa
efetiva, que é um método muito usado em diversas partes da Física. O método consiste em determinar a energia
22
cinética total do sistema que está sendo estudado, e associar a esta energia cinética o valor (m'v2/2), onde m' é a massa
equivalente do sistema. Para determinar a massa equivalente devemos, portanto, calcular a energia cinética da mola.
Seja L o comprimento da mola e dz o comprimento de um elemento da mola de massa infinitesimal dm. A energia
cinética infinitesimal deste elemento de massa será:
v2
(i)
dEc  m dm
2
onde vm, é a velocidade do elemento de massa dm. A densidade linear da mola é dada pela relação entre a massa da
mola e o comprimento L da mola. Deste modo, o elemento de massa dm pode ser escrito na forma:
m
(ii)
dm  dz
L
Por outro lado, a velocidade vm do elemento de massa dm varia linearmente, desde zero na extremidade superior da
mola até a velocidade v na extremidade inferior da mola. Donde se conclui que a velocidade de cada elemento é dada
por:
z
(iii)
vm  v
L
Substituindo-se as relações (ii) e (iii) na equação (i), tem-se:
mv 2
Ec  3
2L
L
 y dy
2
0
Integrando-se esta equação, obtém-se:
1m
1
Ec    v 2  m' v 2
2 3 
2
Da equação anterior, vimos que a energia cinética da mola é igual a energia cinética de um corpo de massa m’ = m/3
preso na extremidade da mola e se deslocando com uma velocidade v. Podemos, então, substituir o sistema
considerado por um sistema constituído por uma mola de massa desprezível, sustentando uma massa efetiva dada por:
mef = m' + M
onde m' = m/3 é a massa equivalente da mola. Este raciocínio também pode ser estendido para o sistema massa-mola
oscilando sobre um plano horizontal. O período das oscilações do sistema considerado, oscilando na vertical, será,
portanto, dado pela expressão:
m
M  (m / 3)
T  2 ef  2
k
k
14 Um bloco com 4 kg de massa está em repouso apoiado num plano horizontal sem atrito, preso a uma mola ideal de
constante elástica 400 N/m (figura a). Quando o bloco é afastado 0,5 m de sua posição inicial e abandonado, ele oscila
em movimento harmônico simples (figura b).
Determine:
a) o período do movimento do bloco;
b) a energia mecânica do sistema massa-mola;
c) a representação gráfica do valor algébrico da força resultante, em função da elongação;
d) a representação gráfica da energia potencial e da energia cinética, em função da elongação.
SOLUÇÃO
a) O período é dado por:
m
T  2
k
Sendo m = 4 kg e K = 400 N/m, temos:
4
T  2
 T  0,2s
400
23
b) A energia mecânica do sistema é dada por:
kA2
Em 
2
Sendo K = 400 N/m e a amplitude A = 0,5 m, temos:
400.0,52
Em 
 Em  50J
2
c) O valor algébrico da força resultante é dado por:
F = –K x ⇒ F = –400x (SI)
d) A energia potencial é dada por:
kx2
EP 
 EP  200x 2
2
A energia cinética é dada por:
Ec = Em – Ep ⇒ Ec = 50 – 200x2 (SI)
Representando graficamente, obtemos:
15 Uma caixa de massa M está sobre um piso horizontal. O coeficiente de atrito entre a caixa e o piso é igual a μ. Dentro
da caixa encontra-se um corpo de massa "m" que pode mover-se sem atrito na parte inferior da caixa. Este corpo é
fixado à parede por meio de uma mola cuja constante elástica é k. Determine a amplitude de oscilação do corpo para a
caixa começar a mover-se sobre o piso?
SOLUÇÃO
Na figura abaixo representamos as forças envolvidas:
Na iminência de movimento temos:
F = fat(máx) com F = kA e fat(máx) = μN com N = (m + M)g, logo:
kA = μ(m + M)g, logo A = μ(m + M)g/k
24
16 Um corpo de massa m1 está ligado a uma das extremidades da mola (de constante elástica K) indicada na figura
abaixo. Na outra extremidade da mola existe um corpo de massa m2. Despreze o atrito. Determine a frequência do
movimento harmônico simples resultante quando o sistema é posto a oscilar.
SOLUÇÃO
Seja I o comprimento normal da mola, isto é, o comprimento da mola quando ela não está sob tensão. A partir desta
posição de equilíbrio, suponha que a massa m1 seja deslocada de uma distância x; de acordo com a figura abaixo
podemos escrever:
x = x 1 – x2 – l
(i)
Aplicando-se a segunda lei de Newton ao bloco de massa m1 e usando-se da lei de Hooke, tem-se:
 d2x 
m1  21   kx
(ii)
 dt 
De acordo com a terceira lei de Newton, a mola exerce sobre m1 uma força igual e contrária à força exercida sobre m2.
Aplicando-se a segunda lei de Newton sobre o corpo de massa m2, obtém-se:
 d2 x 
m2  22   kx
(iii)
 dt 
Multiplicando-se a relação (ii) por m2 e a relação (iii) por m1 e subtraindo-se membro a membro as equações
resultantes, encontra-se:
d2
m1m2 2  x1  x2   kx(m1  m2 )
(iv)
dt
De acordo com a relação (i), tem-se:
d2 x d2

(x1  x2 )
dt2 dt2
Usando a relação anterior vemos que a equação (iv) se reduz a:
 k 
d2 x
  x
(v)
2
dt
 Mr 
onde Mr, é a massa reduzida dada por:
m .m
Mr  1 2
(vi)
m1  m2
Examinando a equação (v), vemos que o problema das oscilações de um oscilador harmônico com duas massas em suas
extremidades é análogo ao problema do oscilador com somente uma massa igual a Mr. Então vemos facilmente que a
frequência das oscilações deste sistema é dada por:
1 k
f
2 Mr
onde a massa Mr é dada pela equação (vi). Em muitos problemas da Física Molecular e de Física Nuclear o conceito da
massa reduzida é muito importante para estudar sistemas de duas partículas. Por exemplo, considere uma molécula
diatômica; podemos estudar as oscilações desta molécula com o modelo deste problema em função da massa reduzida
dada pela equação (vi).
17 Duas molas de comprimento natural 0,2 m cada uma e de constante elástica k1 = 1 N/m e k2 = 3 N/m,
respectivamente, estão ligadas por um de seus extremos a um bloco de massa 1 kg que pode se mover, sem atrito,
sobre uma superfície horizontal. As outras extremidades das molas se unem a dois postes fixos localizados a 0,1 m dos
extremos das molas, como mostrado na figura abaixo.
25
a) Encontre a posição de equilíbrio do bloco quando as molas forem presas aos postes fixos.
b) Mostre que a constante elástica do conjunto de molas é de 4 N/m.
c) Se deslocarmos ligeiramente o bloco de sua posição de equilíbrio e deixá-lo oscilar, qual será seu período de
oscilação?
SOLUÇÃO
a) Ao ligar seus extremos livres aos postes fixos, as forças elásticas sobre o bloco são iguais, logo:
k1x1 = k2x2 ⇒ x1 = 3x2
Porém x1 + x2 = 0,1 + 0,1 = 0,2, portanto, x1 = 0,15 m e x2 = 0,05 m
O bloco, então, se encontrará situado a uma distância do poste da esquerda de d = 0,15 + 0,2 = 0,35 m e do poste da
direita de d = 0,05 + 0,2 = 0,25 m.
b) Ao movermos o bloco de uma distância x para a direita da posição de equilíbrio achada anteriormente, teremos:
F = F1 – F2 = k1(0,15 + x) – k2(0,05 – x) = kx
k1.0,15 + k1.x – k2.0,05 + k2.x = kx
como k1.0,15 = k2.0,05, teremos finalmente que:
k1.x + k2.x = kx
logo k = k1 + k2 = 4 N/m
c) O período de oscilação do sistema será:
m
1
T  2
 T  2
 T s
k
4
18 O corpo de massa m é deslocado de uma distância x para baixo no plano inclinado a partir de sua posição de
equilíbrio e, então, é solto em repouso (ver figura abaixo). Considere a mola, os cabos e a roldana como ideais. Encontre
a frequência de vibração do corpo.
SOLUÇÃO
Observe a figura abaixo:
Dela, temos que:
T/2 = K(2Δx) ⇒ T = 4KΔx
mgsenθ – T = ma
No equilíbrio:
mgsenθ = 4K(xeq – l0) ⇒ xeq – l0 = mgsenθ / 4K
Portanto:
- 4Kx = ma ⇒ a = - (4K/m)x ⇒ ω2 = 4K/m
Logo: f = (1/π)(K/m)1/2
26
19 Uma corda vertical de comprimento L = 1 m é tensionada devido a uma massa de 20 kg ligada ao seu extremo como
mostra a figura abaixo. No centro da corda há uma pequena massa de 1 g. Movemos a pequena massa de sua posição
de equilíbrio por uma pequena distância x e a deixamos ir livremente.
a) Mostre que a pequena massa se move em M.H.S.;
b) Determine sua frequência angular de vibração.
SOLUÇÃO
a) Como a massa de 20 kg é muito maior do que a massa de 1 g, podemos desprezar o efeito do seu peso, e teremos o
diagrama de corpo livre mostrado na figura abaixo.
Aplicando a segunda lei de Newton às componentes horizontais:
ma = -2T senα
onde, por geometria:
senα = x/L/2 = 2x/L
Onde obtemos:
F = -4Tx/L
Então precisamos determinar a tensão T da corda. Para determinar isolamos o corpo de 20 kg ao qual está ligado à
corda. Se a pequena massa sofre uma pequena oscilação, podemos assumir que esse corpo quase não se move, então:
∑Fy = 0 ⇒ Tcosα – Mg = 0
Além disso, se a oscilação é muito pequena, o ângulo também é muito pequeno, por isso podemos aproximar:
cos α = 1
Então:
Tcosα - Mg = 0 ⇒ T - Mg = 0 ⇒ T = Mg
Se substituirmos esta expressão, teremos o movimento da pequena massa:
F = -4(Mg/L) x
Como podemos ver, temos a expressão de um movimento harmônico simples, como queríamos provar.
b) Na equação da frequência angular teremos:
k
4Mg
com k = 4Mg/L, então  
. Substituindo os valores obtemos: ω = 885,4 rad/s

m
mL
27
20 Os dois planos da figura abaixo não tem atrito. Mostrar que, se um corpo sem velocidade inicial é liberado de uma
4
2h
altura h, o movimento resultante é periódico, mas não harmônico e o período é dado por T 
.
sen  g
Sugestão: (Mostre que a força que age sobre o corpo é constante. O período é de 4 vezes o tempo de queda).
SOLUÇÃO
A figura abaixo representa a força que atua na esfera em todo o instante:
A força resultante que atua sobre o corpo tem direção do plano inclinado e aponta para o ponto de equilíbrio. Seu
módulo é dado por Fr = mgsenα. Esta força em todo o momento é constante e não depende da distância do ponto de
equilíbrio, em consequência este movimento oscilatório não é harmônico simples.
Da figura, a aceleração com que a esfera se move é:
F mgsen
a r 
 gsen
m
m
Também da figura, a distância percorrida entre A e B é:
h
d
sen
Por outro lado, o tempo entre A e B é:
1
d  v 0 t  at2
2
h
1
 0  (gsen)t2
sen
2
2h 1
t
g sen
Logo, o período do movimento oscilatório que o corpo realiza é:
4
2h
T  4t 
sen g
21 Considere um sistema composto por uma massa m e uma mola de constante elástica k. Se a mola é cortada ao meio,
e a mesma massa m é posta a oscilar na metade da mola, determine:
a) A nova constante da mola k'.
b) O novo período de oscilação.
SOLUÇÃO
a) Suponhamos que a mola original seja formada por duas molas iguais de constante k’ cada uma e cujo equivalente seja
k. Pela relação da associação de molas, temos que (ver figura a abaixo):
28
1/k = 1/k’ + 1k’ ⇒ k’ = 2k
b) Então para o esquema mostrado na figura b teremos:
m
m
T  2
 T  2
k'
2k
22 Na figura abaixo é mostrada uma massa m = 4 kg que repousa em uma superfície horizontal sem atrito, preso entre
duas molas de constante elástica k = 200 N/m. As molas estão fixadas nos pinos A e B, e tem um comprimento natural L0
= 15 cm.
Determine
a) A força restauradora para um pequeno deslocamento x.
b) A frequência angular do movimento para pequenos valores de x.
SOLUÇÃO
a) Da decomposição das forças como na figura abaixo, encontramos que:
ΣFy = 2Fsenθ = 2k(L – L0)senθ
Para pequenos deslocamentos θ << 5° temos que:
senθ = tgθ = x/L
de onde obtemos:
(L  L 0 )
F  2k
x
L
b) Do resultado anterior encontramos a constante elástica equivalente do sistema e como consequência, a frequência
angular:
k eq
(L  L 0 )
100
 
 5 rad / s
k eq  2k
 k eq  100 N / m e então  
L
m
4
23 Um pêndulo simples de comprimento l = 3 m tem uma massa de m = 3 kg, que por sua vez está ligado a uma mola,
cuja constante elástica K = 47π2 N/m, ao qual sem deformação permite que o pêndulo permaneça na sua posição de
equilíbrio como na figura abaixo. Calcule o período das pequenas oscilações para esse sistema de pêndulo-mola.
Considere g = π2 m/s2.
29
SOLUÇÃO
Para pequenas oscilações o movimento é harmônico simples. Para isso ocorrer a massa sofrerá uma força do tipo F’ =
k’x sendo k’ a constante elástica do sistema e x a deformação ou deslocamento.
Pela figura abaixo vemos que
F’ = ΣF
k'x = kx + mgsenθ
No entanto para pequenas oscilações, teremos:
senθ = tgθ = θ = x/l
logo
k'x = kx + mg(x/l)
k' = k + mg/l
Finalmente podemos encontrar a fórmula da frequência
do oscilador da seguinte expressão:
1 k'
f
2 m
1 k g
f

2 m l
Substituindo os valores, encontramos: f = 5 Hz
24 Na figura, a polia móvel tem massa desprezível e sem atrito.
O Professor Gomes pede que se determine
a) A constante elástica da mola equivalente do sistema.
b) O período de oscilação do sistema.
SOLUÇÃO
Analisando cinematicamente, se a polia móvel desce uma distância x (deformação da mola), então um ponto A da corda
desce de uma distância 2x. A tensão na mola é F = kx e a tensão na corda é equivalente a T = kexe, onde ke é a constante
equivalente e xe é a deformação equivalente (ver figura abaixo).
Como ∑Fy = 0 ⇒ 2T = F ⇒ 2kexe = kx
No entanto, sabemos que xe = 2x, logo
2ke(2x) = kx ⇒ ke = k/4
Com isso, o período de oscilação da massa m é:
m
m
m
T  2
 2
 4
ke
k/4
k
25 Um corpo de massa m, preso a uma mola de constante elástica K, executa um movimento harmônico simples ao
longo de um eixo horizontal Ox. As elongações do corpo variam de x = –A até x = A. Determine a elongação quando a
energia cinética do bloco iguala-se à energia potencial elástica, indicando o resultado num gráfico dessas energias em
função da posição.
30
SOLUÇÃO
Em  EP  EC
kA 2 kx2 kx2


2
2
2
pois EP  EC
2x 2  A 2
x
A
2
26 Se a massa do oscilador é m = 4 kg, e a sua energia cinética varia com a posição x, de acordo com o gráfico abaixo,
determine o período de oscilação da massa.
SOLUÇÃO
O período de oscilação é dado por:
m
T  2
k
Do gráfico, a amplitude é A = 1 m.
Pela conservação da energia mecânica, temos:
EMP = EMN
EC(máx) = EP(máx)
200 = kA2/2 ⇒ 200 = k(1)2/2 ⇒ k = 400 N/m
Então:
4
T  2
400

T s
5
27 Os amortecedores de um carro velho de 1000 kg estão completamente gastos. Quando uma pessoa de 980 N sobe
lentamente no centro de gravidade do carro, ele se abaixa 2,8 cm. Quando essa pessoa está dentro do carro durante
uma colisão com um obstáculo, o carro oscila verticalmente com MHS. Considerando o carro e a pessoa uma única
massa apoiada sobre uma única mola, calcule o período e a frequência da oscilação.
SOLUÇÃO
Quando a força aumenta de 980 N, a mola sofre uma compressão adicional de 0,028 m e a coordenada x do carro varia
em -0,028 m. Portanto, a constante da mola efetiva (incluindo o efeito da suspensão toda) é
F
980
k x 
 3,5.10 4 N / m
x
0,028
A massa da pessoa é p/g = (980 N)/(9,8 m/s2) = 100 kg. A massa total que oscila é m = 1000 kg + 100 kg = 1100 kg. O
período T é
m
1100
T  2
 2
 1,11s
k
3,5.104
e a frequência é
31
f
1
1

 0,90Hz
T 1,11
28 Calcule o período de oscilação de um pêndulo simples com 1,6 m de comprimento, que executa pequenas oscilações
num local onde g = 10 m/s2. Despreze influências do ar e considere π igual a 3.
SOLUÇÃO

O período pedido é calculado pela expressão: T  2
g
2
Temos: π = 3, ℓ = 1,6 m e g = 10 m/s .
1,6
 T  2,4s
Então: T  2.3.
10
29 Um pêndulo simples realiza oscilações de pequena amplitude na superfície da Terra, com período igual a 2,0 s.
a) Se esse pêndulo realizasse oscilações de pequena amplitude na superfície da Lua, qual seria o seu período? Considere
gLua = 1/6 gTerra.
b) Esse pêndulo oscilaria se estivesse preso ao teto de um elevador em queda livre?
SOLUÇÃO
a)
 
TT  2

g T  TT
gL
1

 
gT
6
  TL
TL  2

gL 
TL  6TT  6.2  TL  4,9s
b) Não, porque, no interior de um elevador em queda livre, a gravidade aparente é nula.
30 A figura representa um pêndulo simples, de período igual a T. Colocando-se um prego (P) na posição indicada, o
pêndulo, na máxima elongação para a esquerda, fica com a configuração indicada pela linha pontilhada, voltando depois
à sua configuração inicial. Qual é o período de oscilação desse sistema?
SOLUÇÃO
• Quando o pêndulo não está encostado no prego, seu comprimento é: ℓ = 40,0 cm (período T).
• Quando o fio encosta no prego, passamos a ter um pêndulo de comprimento ℓ‘ = 10,0 cm (período T’). Como ℓ‘ = ℓ/4 ,
então T’ = T/2 .
• O período de oscilação do sistema é TS: TS = T/2 + T’/2 = T/2 + T/4 ⇒ TS = 3T/4
31 Determine o período de oscilação de um pêndulo simples quando o ponto de suspensão se move:
a) verticalmente para cima com a aceleração de módulo igual a a;
b) verticalmente para baixo, com a aceleração a;
c) horizontalmente, com aceleração a.
SOLUÇÃO
Para pequenas oscilações de um pêndulo simples, o período é dado por:
ml
(i)
T  2
p
onde p é o peso, ou seja, é a soma das forças inerciais que atuam sobre o objeto. No caso do pêndulo simples com o
ponto de suspensão fixo, temos: p = mg.
a) Quando o ponto de suspensão se move verticalmente para cima, com aceleração a, o peso é dado por:
32
p = m(g +a)
(ii)
l
(g  a)
b) Quando o ponto de suspensão se move verticalmente para baixo, com aceleração a, temos:
p = m(g – a)
(iii)
l
Substituindo-se a equação (iii) na relação (i), obtém-se: T  2
(g  a)
Neste caso, o período do pêndulo é maior do que o período do mesmo pêndulo quando o ponto de suspensão está fixo.
c) Neste caso, a aceleração a é perpendicular a g, e a aceleração resultante possui módulo dado por: (a2 + g2 )1/2. Logo:
Substituindo-se a equação (ii) na relação (i), tem-se: T  2
p  m a2  g2
(iv)
Substituindo-se a relação (iv) na equação (i), tem-se: T  2
l
2
g  a2
Neste caso o período do pêndulo simples é menor do que o período do pêndulo simples em que o ponto de suspensão
permanece em repouso.
32 Determine a frequência de oscilação de um pêndulo simples com comprimento L = 0,5 m, que se encontra preso ao
teto de um carro e que acelera horizontalmente com a = 7,5 m/s2, como visto na figura abaixo. Adote g = 10m/s2.
SOLUÇÃO
A frequência de oscilação é dada por:
1 g ef
f
2 L
Pela figura a baixo calculamos a gravidade efetiva como:
g ef  g2  a2  12,5 m / s2
Com isso, teremos: f 
1 12,5
5
 f   Hz
2 0,5
2
33 Um pêndulo simples de comprimento L é preso a um carrinho que escorrega sem atrito para baixo, em um plano
inclinado de um ângulo α com a horizontal, como mostra a figura. Determine o período de oscilação do pêndulo sobre o
carrinho.
SOLUÇÃO
Teremos que fazer uma mudança de referência de g, veja a imagem:
33
A aceleração da gravidade pode ser decomposta em:
1) Componente paralelo ao plano inclinado = g.senα
2) Componente na direção do fio do pêndulo (perpendicular ao plano inclinado) = g.cosα
Esta componente na direção do fio é a responsável pelo período do mesmo. Assim a aceleração da gravidade
responsável pelo período vale g' = g.cosα. Logo
L
L
T  2
 2
g'
g.cos 
34 Suponha que o corpo da figura 23 seja uma barra uniforme de comprimento L suspensa em uma de suas
extremidades. Calcule o período de seu movimento.
SOLUÇÃO
O momento de inércia de uma barra uniforme em relação a um eixo passando em sua extremidade é I = 1/3 ML2. A
distância entre o pivô e o centro de gravidade é d = L/2. Pela equação (34), temos:
1 2
ML
2L
3
T  2
 2
L
3g
Mg
2
35 Na figura abaixo, uma régua de um metro oscila em torno de um ponto fixo em uma das extremidades, a uma
distância h do centro de massa da régua.
a) Qual é o período de oscilação T?
b) Qual é a distância L0 entre o ponto fixo O da régua e o centro de oscilação?
SOLUÇÃO
A régua não é um pêndulo simples, porque a massa não está concentrada na extremidade oposta ao ponto fixo; a régua
I
é, portanto, um pêndulo físico. O período de um pêndulo físico é dado pela equação T  2
, que exige o
mgh
conhecimento do momento de inércia da régua em relação ao ponto fixo. Vamos tratar a régua como uma barra
uniforme de comprimento L e massa m. Nesse caso, I = ICM + mh2 = 1/12 mL2 + m(1/2 L)2 = 1/3 mL2, l = 1/3 mL2 a
I
distância h da equação T  2
é L/2. Substituindo esses valores, obtemos
mgh
1 2
mL
I
2L
2(100)
T  2
 2 3
 2
 2
 1,64 s
1
mgh
3g
3(9,8)
mg( L)
2
Observe que este resultado não depende da massa m do pêndulo.
34
b) Estamos interessados em determinar o comprimento L0 do pêndulo simples (desenhado na figura b), que possui o
mesmo período que o pêndulo físico (a régua) da figura a. Igualando as equações
1 2
mL
L
2L 0
L
I
2L
3
T  2
 2
 2
e T  2
, obtemos T  2 0  2
1
g
mgh
3g
g
3g
mg( L)
2
Podemos ver, por inspeção, que L0 = 2/3 L = 2/3(100 cm) = 66,7cm. Na figura a o ponto P está a essa distância do ponto
fixo O. Assim, o ponto P é o centro de oscilação da barra para o ponto fixo dado.
36 Um avião está voando em linha reta a uma altitude constante. Se uma rajada de vento soprar e erguer o nariz do
avião, o nariz oscilará para cima e para baixo até que o avião volte à sua posição original. Essas oscilações são de que
tipo?
a) não amortecidas
b) subamortecidas
c) criticamente amortecidas
d) superamortecidas
SOLUÇÃO
As oscilações são subamortecidas com uma amplitude decrescente em cada ciclo de oscilação, como mostrado na figura
24. Se as oscilações não fossem amortecidas, elas continuariam indefinidamente com a mesma amplitude. Se elas
fossem amortecidas criticamente ou superamortecidas, o nariz não oscilaria para cima e para baixo, e sim retornaria
suavemente à posição de equilíbrio original, sem ultrapassá-la.
37 Quando submetido a uma força propulsora com uma frequência próxima à sua frequência natural, um oscilador com
amortecimento muito fraco apresenta uma resposta muito maior do que o mesmo oscilador com amortecimento mais
forte. Quando submetido a uma força propulsora com uma frequência muito maior ou muito menor do que sua
frequência natural, qual oscilador apresentará uma resposta maior:
a) aquele com amortecimento muito fraco ou
b) aquele com amortecimento mais forte?
SOLUÇÃO
a) A figura 26 mostra que a curva da amplitude em função da frequência angular da força propulsora é ascendente em
todas as frequências à medida que a constante de amortecimento b diminui. Logo, para valores fixos de k e m, o
oscilador com o menor amortecimento (menor valor de b) apresentará a maior resposta diante de qualquer frequência
da força propulsora.
38 Para o oscilador amortecido da figura abaixo, m = 250 g, k = 85 N/m e b = 70 g/s.
a) Qual é o período do movimento?
b) Qual é o tempo necessário para que a amplitude das oscilações amortecidas se reduza à metade do valor inicial?
c) Quanto tempo é necessário para que a energia mecânica se reduza à metade do valor inicial?
SOLUÇÃO
a) Como b << km = 4,6 kg/s, o período é aproximadamente o de um oscilador não-amortecido.
m
De acordo com a equação T  2
, temos:
k
35
m
0,25
 2
 0,34 s
k
85
b) A amplitude num instante t é dada na equação x(t) = xme- bt/2mcos(ω’t + ) como xme- bt/2m.
A amplitude é xm no instante t = 0; assim, devemos encontrar o valor de t para o qual xme- bt/2m = ½ xm.
Cancelando xm e tomando o logaritmo natural da equação restante, temos ln(1/2) do lado direito e ln(e- bt/2m) = -bt/2m
do lado esquerdo. Assim,
1
1
2mln
2(0,25)ln
2
2 5 s
t
b
0,070
Como T = 0,34 s, isso corresponde a cerca de 15 períodos de oscilação.
1
1
c) De acordo com a equação E(t)  kxm2 ebt/m , a energia mecânica no instante t é kxm2 ebt/m .
2
2
1
11

A energia mecânica é ½ kxm2 no instante t = 0; assim, devemos encontrar o valor de t para o qual kxm2 ebt/m   kxm2  .
2
22

Dividindo ambos os membros dessa equação por ½ kxm2 e explicitando t como no item anterior, obtemos
1
1
mln
(0,25)ln
2
2  2,5 s
t

b
0,070
Este valor é exatamente metade do tempo calculado no item (b), ou cerca de 7,5 períodos de oscilação. A figura abaixo
foi desenhada para ilustrar esse exemplo.
T  2
EXERCÍCIOS PARA RESOLVER
01 Forneça diversos exemplos da vida cotidiana de movimentos que possam ser aproximadamente considerados
harmônicos simples. Em que aspectos eles diferem do MHS?
02 Que condições devem ser atendidas para um movimento oscilatório seja harmônico simples?
03 Você pode escrever a equação da posição de oscilador harmônico em função seno ou cosseno indistintamente? Em
que se diferem ambas as formas? Quando usar uma ou outra?
04 Por que dizemos que a frequência angular do oscilador harmônico é uma característica das propriedades físicas do
sistema?
05 A corda de um piano emite um lá médio vibrando com uma frequência primária igual a 220 Hz.
a) Calcule o período e a frequência angular.
b) Calcule a frequência angular de uma soprano emitindo um lá uma oitava acima, que é igual a duas vezes a frequência
da corda do piano.
06 Se um objeto sobre uma superfície horizontal, sem atrito, é preso a uma mola, deslocado e depois libertado, ele irá
oscilar. Se ele for deslocado 0,120 m da sua posição de equilíbrio e libertado com velocidade inicial igual a zero, depois
de 0,800 s verifica-se que o seu deslocamento é de 0,120 m no lado oposto e que ele ultrapassou uma vez a posição de
equilíbrio durante esse intervalo. Ache
a) a amplitude,
b) o período,
c) a frequência.
36
07 A extremidade de um diapasão executa 440 vibrações completas em 0,500 s. Calcule a frequência angular e o
período do movimento.
08 O deslocamento de um objeto oscilando em função do tempo é mostrado na figura abaixo. Quais são
a) a frequência;
b) a amplitude;
c) o período;
d) a frequência angular desse movimento?
09 A peça de uma máquina está se movendo em MHS com uma frequência igual a 5,0 Hz e amplitude igual a 1,80 cm.
Quanto tempo leva para a peça ir de x = 0 até x = –1,80 cm?
10 Quando um corpo de massa desconhecida é ligado a uma mola ideal cuja constante é igual a 120 N/m, verifica-se
que ele oscila com uma frequência igual a 6,0 Hz. Ache
a) o período,
b) a frequência angular,
c) a massa do corpo.
11 Um oscilador harmônico possui massa de 0,500 kg e uma mola ideal cuja constante é igual a 140 N/m. Determine
a) o período,
b) a frequência,
c) a frequência angular das oscilações.
12 Um bloco de 2,0 kg sem atrito está preso a uma mola ideal cuja constante é igual a 300 N/m. Em t = 0 a mola não
está comprimida nem esticada, e o bloco se move no sentido negativo com 12,0 m/s. Determine
a) a amplitude,
b) o ângulo de fase.
c) Escreva uma equação para a posição em função do tempo.
13 A ponta da agulha de uma máquina de costura se move com MHS ao longo de um eixo Ox com uma frequência igual
a 2,5 Hz. Em t = 0 os componentes da posição e da velocidade são, respectivamente, +1,1 cm e –15 cm/s.
a) Ache o componente da aceleração da agulha para t = 0.
b) Escreva equações para os componentes da posição, da velocidade e da aceleração do ponto considerado em função
do tempo.
14 Um objeto de 0,400 kg em MHS possui uma aceleração ax = –2,70 m/s2 quando x = 0,300 m. Qual é a duração de uma
oscilação?
15 Uma massa de 0,500 kg oscilando em uma mola tem a velocidade em função do tempo dada por vx(t) = (3,60 cm/s)
sen [(4,71 s–1)t – π/2]. Qual é
a) o período;
b) a amplitude;
c) a aceleração máxima da massa;
d) a constante da mola?
16 Uma massa de 1,50 kg oscilando em uma mola tem o deslocamento em função do tempo dado pela equação
x (t) = (7,40 cm) cos [(4,16 s–1)t – 2,42]. Encontre
a) o tempo de uma vibração completa;
37
b) a constante elástica da mola;
c) a velocidade máxima da massa;
d) a força máxima sobre a massa;
e) a posição, velocidade e aceleração da massa em t = 1,00 s;
17 Um bloco de 0,10 kg oscila para frente e para trás, ao longo de uma linha reta, numa superfície horizontal sem atrito.
Seu deslocamento a partir da origem é dado por x = (10 cm) cos[(10 rad/s)t + (π/2 rad)]
a) Qual a frequência de oscilação?
b) Qual a velocidade máxima alcançada pelo bloco? Em que valor de x isto acontece?
c) Qual a aceleração máxima do bloco? Em que valor de x isto ocorre?
d) Que força, aplicada no bloco, resulta nesta dada oscilação?
18 Um oscilador harmônico possui frequência ω e amplitude A.
a) Quais são os valores dos módulos da posição e da velocidade quando a energia potencial elástica for igual à energia
cinética? (Suponha que U = 0 no equilíbrio.)
b) Quantas vezes isso ocorre em cada ciclo? Qual é o intervalo de tempo entre duas ocorrências consecutivas?
c) No momento em que o deslocamento é igual a A/2, qual é a fração da energia total do sistema referente à energia
cinética e a qual fração corresponde à energia potencial?
19 Um corpo de 0,500 kg, ligado à extremidade de uma mola ideal de constante k = 450 N/m, executa um movimento
harmônico simples com amplitude igual a 0,040 m. Calcule:
a) a velocidade máxima do corpo;
b) a velocidade do corpo quando ele está no ponto x = – 0,015 m;
c) o módulo da aceleração máxima do corpo;
d) a aceleração do corpo quando ele está no ponto x = – 0,015 m;
e) a energia mecânica total do corpo quando ele está em qualquer ponto.
20 O Professor Gomes observa um objeto movendo-se em MHS. Quando o objeto é deslocado até 0,600 m à direita de
sua posição de equilíbrio, sua velocidade é igual a 2,20 m/s para a direita, e sua aceleração é igual a 8,40 m/s2 para a
esquerda. A que distância máxima desse ponto irá o objeto se mover antes de parar momentaneamente e depois
recomeçar a se mover para a esquerda?
21 Em uma mesa horizontal, sem atrito, uma caixa com o lado superior aberto de massa igual a 5,20 kg é suspensa em
uma mola ideal horizontal de constante igual a 375 N/m. Dentro da caixa há uma pedra de 3,44 kg. O sistema está
oscilando com uma amplitude de 7,50 cm. Quando a caixa alcança sua velocidade máxima, a pedra é subitamente içada
na vertical da caixa sem tocar nela. Encontre
a) o período do movimento resultante da caixa;
b) a amplitude do movimento resultante da caixa.
c) Sem fazer nenhum cálculo, diga se o novo período é maior ou menor do que o inicial. Como você sabe disso?
22 Uma caixa contendo uma pedrinha é presa a uma mola ideal horizontal e está oscilando em uma mesa de ar sem
atrito. Quando a caixa atinge a sua distância máxima do ponto de equilíbrio, a pedrinha é subitamente içada na vertical
sem que a caixa seja movida. Diga quais das seguintes grandezas aumentarão, diminuirão ou permanecerão inalteradas
no movimento subsequente da caixa:
a) frequência;
b) período;
c) amplitude;
d) a energia cinética máxima da caixa;
e) a velocidade máxima da caixa.
Justifique cada resposta.
23 A figura abaixo representa um sistema conservativo.
38
O corpo é deslocado até a posição –A e, em seguida, liberado, passando a oscilar entre as posições –A e A. Complete a
tabela abaixo com os valores das energias cinética e potencial do corpo nas posições dadas.
Utilizando esses valores, esboce um gráfico das curvas das energias cinética e potencial em função da posição. Trace as
duas curvas em um mesmo sistema de eixos coordenados.
24 Uma partícula de massa m realiza um movimento harmônico simples de amplitude A, em torno da posição de
equilíbrio, O. Considerando nula a energia potencial para a partícula em O, calcular a elongação para a qual a energia
cinética é igual ao dobro da energia potencial.
25 Quando a massa m1 é suspensa por uma determinada mola A e a massa menor m2 é suspensa pela mola B, as molas
são distendidas da mesma distância. Se os sistemas forem colocados em movimento harmônico simples vertical com a
mesma amplitude, qual deles terá mais energia?
26 Uma caixa conectada a uma mola encontra-se inicialmente em equilíbrio na posição a quando é deslocada em uma
distância D até a nova posição b, de onde é abandonada a partir do repouso. Sabendo que a caixa demora um tempo t
para mover-se de b até a, determine sua velocidade ao passar novamente pelo ponto a.
27 Uma partícula em movimento harmônico simples oscila com frequência de 10 Hz entre os pontos L e -L de uma reta.
No instante t1 a partícula está no ponto 3 L/2 caminhando em direção a valores inferiores, e atinge o ponto - 2 L/2 no
instante t2. Determine o tempo gasto nesse deslocamento.
28 A equação x = 1,0sen (2,0t) expressa a posição de uma partícula em unidades do sistema internacional. Qual seria a
forma do gráfico v (velocidade) versus x (posição) desta partícula?
29 Um rapaz tem duas namoradas - que descarado! Para visitar uma delas ele pega o trem Norte-Sul (NS) e para visitar a
outra, pega o trem Sul-Norte (SN). Ele sabe que a frequência dos dois trens é a mesma: cada um passa de hora em hora.
Daí, como gosta igualmente das duas gatas, decide chegar todo dia na estação em um horário totalmente ao acaso e
pegar o primeiro trem que surgir (NS ou SN). Dessa forma acha que visitará cada namorada o mesmo número de vezes.
No entanto, depois de alguns dias verifica que está visitando uma delas cinco vezes mais que a outra! Como isso é
possível, se os trens passam com a mesma frequência?
30 Uma mola de constante k = 40 N/m e massa m = 300 g possui uma de suas extremidades presa ao teto. Na outra
extremidade existe um corpo de massa M = 1 kg. Calcule:
a) a massa efetiva deste oscilador harmônico;
b) o período das oscilações.
31 No problema anterior, qual seria o período das oscilações se a massa da mola fosse desprezada?
32 A figura 1 mostra um cilindro de raio R = 0,20 m em repouso e um bloco de massa m = 0,10 kg, suspenso por uma
mola de constante elástica k. Junto ao bloco existe um dispositivo que permite registrar sua posição no cilindro. Em um
determinado instante, o bloco e puxado para baixo e solto. Nesse mesmo instante, o cilindro começa a girar com
aceleração angular constante α = 0,80 rad/s2 de tal maneira que a posição do bloco é registrada no cilindro, conforme a
figura 2. Determine
a) o período T de oscilação do bloco em segundos;
b) o valor da constante elástica k da mola em N/m;
c) a deformação da mola em metros antes de o bloco ter sido puxado;
39
d) a amplitude total em metros do movimento de oscilação, apresentado no gráfico da figura 2, sabendo-se que a
energia potencial elástica máxima do conjunto bloco-mola é de 2,0 J.
Dados:
Módulo da aceleração da gravidade (g) = 10 m/s2;
 2  10
33 Na situação esquematizada na figura, as molas A e B são idênticas e têm massas desprezíveis e constantes elásticas
k  16 2N / m . Um pequeno bloco rígido de massa igual a 4,0 kg é comprimido contra o aparador da mola A, que sofre
uma deformação de 50 cm. O bloco não está preso à mola mas apenas encostado. Este bloco é abandonado do repouso,
passando a oscilar em trajetória retilínea sobre o plano horizontal perfeitamente liso sem sofrer os efeilos do ar.
Considere como período o tempo total gasto pelo bloco desde que parte do repouso em contato com a mola A até o
instante em que volta ao repouso novamente em contato com a mola A. Admita que não haja perda de energia
mecânica na interação do bloco com as duas molas.
Supondo-se que a distância entre os aparadores na situação de relaxamento das molas é igual a π m, o Professor Gomes
pede:
a) calcular a máxima velocidade escalar atingida pelo bloco;
b) determinar o período de oscilação do bloco;
c) traçar o gráfico da velocidade escalar do bloco em função do tempo, abrangendo, pelo menos, um ciclo das
oscilações.
34 Uma bola de massa m = 9 kg, sujeitos a uma mola de constante elástica é k = 16kπ2 N/m executa oscilações
harmônicas de amplitude A = 40 cm. A uma distância A/2 da posição de equilíbrio se coloca uma placa de aço de grande
massa em que a bola colide elasticamente. Determine o período das oscilações, neste caso.
35 Uma bola de massa m é ligada a duas faixas elásticas de comprimento L, cada uma sob tensão T, como mostrado na
figura abaixo. A bola é deslocada de uma pequena distância na perpendicular ao comprimento das faixas. Suponha que
a tensão não muda.
Demonstre que
40
a) A força restauradora é dada por -(2T/L)y.
b) O sistema apresenta movimento harmônico simples com uma frequência angular  
2T
.
mL
36 Um pêndulo simples de massa m é suspenso verticalmente a partir de O por uma haste rígida sem massa de
comprimento L (ver figura abaixo). A haste é conectada a uma mola de constante elástica k a uma distância h de O. A
mola tem seu comprimento relaxado quando o pêndulo está na vertical. Escreva a equação diferencial de movimento e
determine a frequência angular para pequenas oscilações deste pêndulo.
37 Um pêndulo simples é suspenso por um pino em uma parede vertical. O pêndulo é afastado da parede para uma
posição horizontal (figura abaixo) e liberado. A bola atinge a parede. Sendo o coeficiente de restituição 2/ 5 , qual é o
número mínimo de colisões após as quais a amplitude de oscilação se torna menor que 60°?
38 Na figura, a polia móvel tem massa desprezível e não há atrito.
Determine
a) A constante elástica da mola equivalente.
b) O período de oscilação do sistema.
39 Determinar a frequência natural do sistema de polias mostrado na figura abaixo. Assumir que não há atrito entre
cabo e polias e as massas das polias e do cabo são desprezíveis.
41
40 Dois blocos (m = 1,22 kg e M = 18,73 kg) e uma determinada mola (k = 344 N/m) estão arranjados numa superfície
horizontal, sem atrito, como mostra a figura. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é de 0,42. Determine a
amplitude máxima possível do movimento harmônico simples para que não haja deslizamento entre os blocos?
41 Que alterações você pode fazer num oscilador harmônico para dobrar a velocidade máxima da massa oscilante?
42 Um bloco de massa M preso a uma mola de constante k descreve um movimento harmônico simples horizontal com
uma amplitude A. No instante em que o bloco passa pela posição de equilíbrio, um pedaço de massa de vidraceiro de
massa m cai verticalmente sobre o bloco de uma pequena altura e gruda no bloco.
a) Calcule a nova amplitude e o período,
b) Repita a parte (a) supondo que a massa caia sobre o bloco no momento em que ele está na extremidade de sua
trajetória.
43 Uma caixa de massa M está sobre uma mesa horizontal. No teto da caixa, por meio de uma mola de rigidez k, está
suspenso um bloco de massa "m". Com que amplitude de oscilação do bloco a caixa vai começar a saltar sobre a mesa?
44 Os sistemas (A) e (B) mostrados abaixo estão oscilando em movimento harmônico simples. O Professor Gomes pede
que se determine a razão dos períodos TA/TB dos sistemas (A) e (B).
42
45 Uma mola de constante k possui n espiras iguais e seu comprimento total é L. Partimos a mola em duas, sendo os
comprimentos das partes tais que L1 = nL2, onde n é um número qualquer.
a) Determine a relação entre a constante k1 da mola de comprimento L1 e a constante k2 da mola de comprimento L2.
b) Determine k1 e k2 em função de n e de k.
c) Calcule k1 e k2, para n = 1. Sugestão: considere a associação da mola de constante k1 com a outra mola de constante
k2.
46 Um corpo de massa M está preso à extremidade de uma mola de constante k e oscila na vertical com uma frequência
f1. A mola é cortada pela metade e o mesmo corpo é suspenso numa das metades; a nova frequência das oscilações é
igual a f2. Calcule f2 em função de f1 nos seguintes casos:
a) a massa da mola é desprezível;
b) a massa da mola antes de ser partida era igual a m e não pode ser desprezada.
47 A figura mostra uma instalação de um sistema de molas onde a constante de mola é k = 400 N/m. Determine o
período de oscilação da plataforma de massa m = 11 kg.
48 Duas partículas oscilam, com movimento harmônico simples, ao longo de um mesmo segmento de reta, de
comprimento L. Elas têm o mesmo período de 1,50 s e fases que diferem de 30,0°.
a) Qual será a distância entre elas (em termos de L)?
b) Qual será a distância entre elas, 0,500 s depois que a partícula atrasada deixar um dos extremos da trajetória?
c) Elas estão se movendo no mesmo sentido, uma se aproximando da outra, ou estão se afastando neste instante?
49 Dentro de um veículo de testes da Nasa, uma bola de 3,50 kg é puxada por uma mola horizontal ideal fixa a uma
mesa livre de atrito. A constante da mola é 225 N/m. O veículo tem uma aceleração constante igual a 5,0 m/s2, e a bola
não está oscilando. De repente, quando a velocidade do veículo chegou a 45,0 m/s, seus motores são desligados, o que
elimina a sua aceleração, mas não a sua velocidade. Calcule
a) a amplitude
b) a frequência das oscilações resultantes da bola.
c) Qual será a velocidade máxima da bola em relação ao veículo?
50 A escala de uma balança de mola que indica de zero até 200 N possui comprimento igual a 12,5 cm. Um peixe
pendurado na extremidade inferior da mola oscila verticalmente com 2,60 Hz. Qual é a massa do peixe? Despreze a
massa da mola.
43
51 Um pêndulo simples possui na Terra um período igual a 1,60 s. Qual é o período na superfície de Marte onde g = 3,71
m/s2?
52 Quando um corpo que oscila preso a uma mola horizontal passa por sua posição de equilíbrio, sua aceleração é igual
a zero. Quando o peso de um pêndulo simples oscilando passa pela posição de equilíbrio, sua aceleração é igual a zero?
53 Um pêndulo simples, constituído de uma barra e um disco, está fixado em um quadro de madeira, que pode cair
livremente ao longo de dois arames que o dirigem.
O pêndulo foi inclinado, em relação à posição de equilíbrio, num ângulo α e liberado. No momento, em que o pêndulo
passa pela posição mais baixa, soltam o quadro, que, então, cai livremente. Como se movimentará o pêndulo
relativamente ao quadro? O atrito e a resistência do ar podem ser desprezados.
54 Um pêndulo simples está suspenso no teto de um elevador parado e seu período é determinado.
Descreva as mudanças, se houver, do período quando o elevador
a) acelera para cima;
b) acelera para baixo;
c) move-se com velocidade constante;
d) cai livremente.
55 Na figura abaixo, o carrinho desloca-se com uma aceleração de a = 4 m/s2 por o plano inclinado formando um ângulo
de α = 30° em relação à horizontal. Determine o período do pêndulo de comprimento L = 50 cm para pequenas
oscilações (g = 10 m/s2).
56 Na figura a seguir, os blocos de massa m1 = 9 kg e m2 = 16 kg estão ligados através de uma mola de constante elástica
k = 576 N/m. A mola é comprimida por um fio. Determinar o período de oscilação dos blocos, ao queimar o fio.
44
57 O corpo de massa m é deslocado uma distância x para baixo no plano inclinado a partir de sua posição de equilíbrio
e, então, é solto em repouso. Considere a mola, os cabos e a roldana ideais. Determine a função horária que descreve o
movimento do corpo se ele parte da posição de equilíbrio subindo o plano.
58 Determine o período de oscilação de uma bola que desliza sem atrito por meio do sistema formado por dois planos
inclinados de ângulos de 30° e 60°, como mostra a figura abaixo. A altura, h, a partir do qual o movimento é iniciado é
de 5 m e g = 10 m/s2.
59 Por que um cão com pernas curtas (como o da raça Chihuahuas) caminha dando passos mais frequentes do que um
cão com pernas altas (como o cão dinamarquês)?
60 Uma barra de conexão de 1,80 kg de um motor de automóvel é suspensa por um eixo horizontal mediante um pivô
em forma de cunha como indicado na figura abaixo. O centro de gravidade da barra determinado por equilíbrio está a
uma distância de 0,200 m do pivô. Quando ela executa oscilações com amplitudes pequenas, a barra faz 100 oscilações
completas em 120 s.
Calcule o momento de inércia da barra em relação a um eixo passando pelo pivô.
61 Um pêndulo é formado prendendo-se uma haste longa e fina de comprimento L e massa m em um dado ponto, que
está a uma distância d acima do centro da haste.
a) Ache o período deste pêndulo em termos de d, m, L e g, considerando-se que oscile com uma pequena amplitude.
O que acontece ao período, se
b) d é reduzido?
c) L é aumentado?
d) m é aumentada?
62 O Professor Gomes deseja suspender um aro fino usando um prego e fazer o aro executar uma oscilação completa
com ângulo pequeno a cada 2,0 s. Qual deve ser o valor do raio do aro?
45
63 Mostre que a expressão do período de um pêndulo físico se reduz ao caso do pêndulo simples quando o pêndulo
físico for constituído de uma partícula de massa m presa na extremidade de um fio sem massa de comprimento L.
64 Uma massa de 2,20 kg oscila em uma mola de constante igual a 250,0 N/m com um período de 0,615 s.
a) Esse sistema é amortecido ou não? Como você sabe disso? Se for amortecido, encontre a constante de
amortecimento b.
b) Esse sistema é não amortecido, subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido? Como você sabe que
é assim?
65 Uma força de amortecimento Fx = -bvx, atua sobre um objeto de 0,300 kg que se move preso na extremidade de uma
mola cuja constante é k = 2,50 N/m.
a) Se a constante b tem um valor igual a 0,900 kg/s, qual é a frequência da oscilação do objeto?
b) Para qual valor da constante b o movimento é criticamente amortecido?
66 Um ovo de 50,0 g fervido durante muito tempo está preso na extremidade de uma mola cuja constante é k = 25,0
N/m. Seu deslocamento inicial é igual a 0,300 m. Uma força de amortecimento Fx = -bvx atua sobre o ovo e a amplitude
do movimento diminui para 0,100m em 5,0 s. Calcule o módulo da constante de amortecimento b.
67 Uma força propulsora variando senoidalmente é aplicada a um oscilador harmônico amortecido de massa m e
constante elástica da mola k. Se a constante de amortecimento possui valor b1, a amplitude é A1 quando a frequência
angular da força propulsora é igual a k / m . Em termos de A1 qual é a amplitude para a mesma frequência angular da
força propulsora e a mesma amplitude da força propulsora Fmáx quando a constante de amortecimento for:
a) 3b1?
b) b1/2?
Respostas
01 O movimento de um pêndulo, a projeção do movimento circular uniforme, o movimento oscilatório de um corpo
suspenso por uma mola e de uma corda de violão são exemplos típicos onde o movimento harmônico simples acontece.
02 A partícula oscila sob a ação de forças de restauradoras que obedecem à lei de Hooke.
03 Sim, existem duas formas de escrever, dependendo do seno e do cosseno. Eles diferem em uma pequena defasagem
de 90°. Dependendo das condições iniciais do problema, podemos usá-la de uma forma ou de outra. Estas condições
são a posição inicial e o sentido inicial das partículas quando começam a oscilar.
04 Porque é igual à raiz quadrada do quociente k/m, que são constantes físicas do oscilador.
05 a)T = 4,54.10-3 s e ω = 1380 rad/s b) 2760 rad/s
06 a) 0,12 m
b) 1,60 s
c) 0,625 Hz
07 T = 1,14.10-3 s e ω = 5,53 rad/s
08 a) 0,0625 Hz
b) 10 cm
c) 16 s
d) 0,393 rad/s
09 0,050 s
10 a) 0,167 s
b) 37,7 rad/s
c) 0,0844 kg
11 a) 0,375 s
b) 2,66 Hz
c) 16,7 rad/s
12 a) 0,98 m
b) π/2 rad
c) x = (-0,98) sen(12,2t) m
13 a) -2,71 m/s2
b) vx = (-22,9 cm/s) sen[(15,7 rad/s)t + 0,715 rad)] e ax = (- 359 cm/s2) cos[(15,7 rad/s)t + 0,715
rad)]
14 2,09 s
15 a) 1,33 s
b) 7,64 mm
c) 0,169 m/s2
d) 11,1 N/m
16 a) 1,51 s
b) 26,0 N/m
c) 30,8 cm/s
d) 1,92N
e) x = -0,0125 m, vx = - 30,4 cm/s
2
e ax = 0,216 m/s
17 a) 1,6 Hz
b) 1,0 m/s em x = 0
c) 10,0 m/s2 em x = ±10 cm
d) –(10N/m)x
18
A
A
a) x =
ev=
b) Duas vezes em cada ciclo. Δt = π/2ω
c) ¾ e ¼ respectivamente.
2
2
19 a) 1,20 m/s
b) ±1,11m/s
c) 36 m/s2
d) 13,5 m/s2
e) 0,360 J
20 0,240 m
21 a) 0,740 s
b) 0,0582 m
46
c) Dado que T  2
22 a) aumentará
23
m
, então como a constante elástica permanece a mesma e m diminui, então T diminui.
k
b) diminuirá
c) aumentará
d) aumentará
e) aumentará
24
3
3
25 O sistema de massa m1.
26 π.D/2Δt
27 0,029 s
28 elipse
29 A frequência é a mesma mas os instantes da passagem de cada trem diferem numa proporção de 5 para 1.
Digamos que o trem NS passa nas horas exatas (5:00, 6:00, 7:00 etc) e o trem SN passa dez minutos depois (5:10, 6:10,
7:10 etc). Fica fácil de ver que, em cada hora, o rapaz tem 10 minutos para pegar o trem SN e 50 minutos para pegar o
trem NS. A chance dele pegar o trem NS será 5 vezes maior que a de pegar o trem SN.
x  A
30 a) mefetiva = 1,1 kg;
b) T = 1,04 s.
31 0,99 s.
32 a) 0,5 s
b) 16 N/m
33 a) π m/s
b) 3,0 s
c)
c) 0,0625 m
d) 0,4375 m
34 1 s
35 Demonstração
36
mL2
  (kh2  mgL)  0 e  
g kh2

L mL2
37 4
38
47
a) k/5
b) T  2
5m
k
39
f
k1k 2
1
4  m(k1  k2 )
40 x = 0,24 m
41 A velocidade máxima do oscilador é vm = ωxm. As possibilidades de duplicar essa velocidade seriam (i) duplicando a
amplitude xm, (ii) trocar a mola de constante k por outra de constante 4k, (iii) trocar a massa m por outra massa m/4.
Claro, há inúmeras possibilidades de alterar k e m tal que ω’= 2ω
42
a) A '  A
M
Mm
b) A’ = A
T  2
Mm
k
T  2
Mm
k
43
(M  m)g
k
44 1/2
45 a) k2 = nk1;
46
A
a) f1 = f2 2 ;
b) k1 = k(1 + n)/n, k2 = k(1 + n);
b) f2  f1
c) k1 = k2 = 2k
12M  4m
6M  m
47 0,1 π s
48 a) 0,433 L
b) 0,183 L
c) se aproximando.
49 a) 0,0778 m
b) 1,28 Hz
c) 0,624 m/s
50 6,0 kg
51 2,6 s
52 Não.
53 O pêndulo irá se mover como se não existisse a gravidade. O mesmo girará com velocidade angular constante.
54
● Se o elevador mover-se com aceleração de módulo a dirigida para cima, o período de oscilação do pêndulo será

.
T  2
ga
● Se o elevador mover-se com aceleração de módulo a dirigida para baixo (a < g), o período de oscilação será

.
T  2
g a
● Se o elevador permanecer em repouso ou mover-se em movimento retilíneo e uniforme, o período de oscilação do

pêndulo será T  2
.
g
● Se o elevador estiver em queda livre, o pêndulo não oscilará.
55 1,5 s
56 π/5s
57 x = x0 sen(ωt); ω = 2(k/m)1/2
58 6,208 s
59 Basta imaginarmos as pernas dos cães como sendo pêndulos (físicos no caso). Aquele que tiver pernas menores terá
períodos menores, considerando sua perna uma haste; portanto o eixo de rotação passa por uma das extremidades de
I
suas pernas junto ao corpo. Sendo assim o momento de inércia desse (Chihuahuas) será menor e como T 
, ele

terá passos mais frequentes que um de pernas mais longas.
60 0,129 kg.m2
61
48
a) T  
(L2  12d2 )
3gd
b) Reduzindo-se o valor de d, o período tende a diminuir até um valor mínimo em d  L / 2 3 . Neste ponto, o período é
L
igual Tmin  2
. Diminuindo-se ainda mais o valor de d, o período tende rapidamente ao infinito.
g 3
c) O período aumenta linearmente com o aumento de L, para L >> d.
d) Como T não depende de m, o período é constante em relação à variação de m.
62 0,496 m
63 Demonstração
64 a) O sistema é amortecido. b = 13,3 kg/s.
b) Uma vez que o movimento tem um período o sistema oscila e é subamortecido.
65 a) 0,393 Hz
b) 1,73 kg/s
66 0,0220 kg/s
67 a) A1/3
b) 2A1
49