Campo Magnético

Campo Magnético
O fenómeno do magnetismo já era conhecido
na antiga Grécia 800 AC, ao observarem que
certos minerais, Magnetita, atraiam pedaços
de Ferro.
No sec. 17 Gilbert fez a distinção entre a
força magnética e a força electrostática.
Ambas são interacções à distância, variando
a sua intensidade com o inverso do quadrado
da separação entre os corpos.
No sec. 19 Ørsted, Ampère descobriram que uma corrente eléctrica dava
origem a uma força magnética que actuava além da força eléctrica entre as
cargas.
Esta força magnética é transmitida entre cargas em movimento por um agente,
o campo magnético.
Campo indução magnética
r
A existência do campo de indução magnética ( B ) num ponto do espaço pode
ser demonstrada usando uma bússola. Se a agulha da bússola se orientar
numa determinada direcção é porque existe um campo de indução magnética
nesse ponto, cuja direcção é dada pela agulha da bússola.
Repetindo o processo em vários pontos obtemos
linhas de indução magnética, que saem do pólo
norte magnético, entram pelo pólo sul e continuam
dentro do íman até ao pólo norte formando uma curva
fechada.
Observa-se experimentalmente que, quando umar carga eléctrica q entra com
r
velocidade v numa região onde existe um campo B , fica sujeita a uma força:
r
• A força é proporcional ao módulo da velocidade v.
• A força é proporcional à carga q.
•A força é perpendicular ao campo e à velocidade
r
•A força é proporcional a sen θ, onde θ é o ângulo entre a velocidade e B.
Campo indução magnética (Cont.)
As observações anteriores podem-se resumir na expressão
r
r r
F = qv × B
r r
onde v × B é o produto vectorial dos vectores
r r
v e B. A força é
perpendicular ao plano definido por estes vectores sendo a
r
v
direcção dada
pela
regra
da
mão
direita
quando
gira no
r
sentido de B .
A unidade SI do campo de indução magnética é o Tesla (T) ou
Weber/m2
T=
Wb
N
=
m2 A ⋅ m
Diferenças importantes entre as forças eléctricas e as magnéticas:
r
r r
r
• Fre está sempre na direcção do E ; Fm ⊥ B
r
• Fe actua sobre uma partícula carregada, independentemente da v da partícula.
r
r
• Fm actua sobre uma partícula carregada somente se v ≠ 0.
r
r
• Como Fm ⊥ v
o trabalho realizado pela força magnética é nulo, ou seja a
energia cinética da partícula mantém-se constante.
Movimento de partícula carregada num campo magnético
A força magnética não altera a energia cinética de
uma partícula, apenas a direcção da sua velocidade.
A força resultante sobre a partícula carregada é
r
Fm = qvB
Se a velocidade da partícula é perpendicular a um
campo magnético uniforme, em virtude da força
magnética ser sempre perpendicular à velocidade,
a partícula desloca-se segundo uma órbita circular
de raio
v2
qvB = m
r
⇒
mv
r=
qB
O período de rotação e frequência angular do movimento circular são
T=
2π r 2π m
=
v
qB
qB
ω=
(frequência ciclotrão)
m
Movimento de partícula carregada num campo magnético
Se a velocidade da partícula tem uma
componente paralela ao campo magnético a
partícula desloca-se segundo uma órbita em
hélice, cujo passo é
p = v // T =
2π mv //
qB
Uma partícula carregada que se movimenta na presença dum campo
magnético e dum campo eléctrico, fica sujeita à força total que é a força de
Lorentz
r
r
r r
F = qE + qv × B
r
A partícula carregada sofre
r a acção duma força eléctrica qE e também duma
força magnética
r
qv × B.
Força magnética sobre um condutor percorrido
por uma corrente
Seja um segmento condutor rectilíneo;
de comprimento l; área da secção recta
A; percorrido por uma corrente
I, num
r
campo magnético externo B.
A força magnética sobre uma carga q com a velocidade de migração
r
vd
é
r
r
r
Fm = q v d × B
A carga total num elemento infinitesimal do condutor de comprimento dl é
qdN=ρAdl. A força magnética total em dl
D
r r
r
r
r
dFm = ρ ( v d × B) Adl = Idl × B
A força magnética total sobre o condutor é
r
r
D r
Fm = I ∫ dl × B
C
C
Força magnética sobre um condutor percorrido
por uma corrente
Exemplo: Calcular a força total sobre o fio
fechado percorrido pela corrente I.
A força magnética total sobre a parte rectilínea é
r
F1 = I 2 RB
A força magnética sobre um elemento infinitesimal da parte curva é
r r
r
dF2 = I (dl × B) = IB senθ dl = IB senθ Rdθ
A força magnética total sobre a parte curva é
r
π
F2 = IBR ∫ senθ dθ = 2 IBR
0
Como F1 e F2 apontam em sentidos diferentes, a força total sobre o fio é nula.
Fontes de campo magnético. Lei de Biot-Savart
As observações de Ørsted da criação de um campo magnético por uma
corrente eléctrica, permitiram a unificação da força magnética e eléctrica.
Com base nessas observações Ampère sugeriu que fossem igualmente
correntes eléctricas circulares, de dimensões moleculares, as responsáveis
pelos os fenómenos magnéticos nos meios materiais.
Lei de Biot-Savart
r
O campo de indução magnética dB criado
num ponto P por umr elemento infinitesimal
de comprimento, dl , de um condutor
percorrido por uma corrente I
r
r µ 0 Idl × rˆ
dB =
4π r 2
onde µ0= 4π10-7 N/A2 é a permeabilidade do vácuo.
Lei de Biot-Savart (Cont.)
r
O campo de indução magnética total B criado num ponto P por um condutor
percorrido por uma corrente I
r
r µ0 I dl × rˆ
B=
4π C∫ r 2
Supondo que n é a densidade de portadores no elemento de comprimento dl
do condutor, A a área da sua secção recta, então o nº de portadores
portadores em dl é dN=nAdl. Se v é a velocidade de deriva dos portadores, a
intensidade de corrente pode-se escrever como I=qnAv. O campo magnético é
r
r
r µ0 qnA v dl × rˆ µ0nAdl qvr × rˆ µ0dN qvr × rˆ
dB =
=
=
2
2
4π
r
4π
r
4π
r2
No caso especial de uma única carga (dN=1) o campo criado no ponto P
r µ0 qvr × rˆ
B=
4π r 2
Exemplo 1: Calcular o campo de indução magnética no centro de um anel
percorrido por uma corrente I.
O campo criado pelo elemento dl no centro do anel é
r µ0 I dl
dB =
xˆ
2
4π R
O campo total no centro do anel é
r µ0 I
B=
4π
µ0 I
dl
ˆ
x
=
∫anel R 2 2 R xˆ
Força magnética entre condutores com corrente
Um condutor no qual circula uma corrente quando colocado num campo de
indução magnética fica sujeito à acção de uma força. Por outro lado uma
corrente produz um campo magnético no espaço circundante.
Assim dois condutores cada qual com a sua corrente vão
exercer uma força um sobre o outro. Se as correntes têm
o mesmo sentido os condutores atraem-se, caso
contrário repelem-se.
No caso de dois condutores paralelos com correntes I1 e
I2, separados de uma distância d, cada um deles fica
sujeito a uma força
F = I LB
12
2
1
onde L é o comprimento do condutor e B1 o campo
magnético criado por I1 a uma distância d
B1 =
µ0 I 1
2πd
A força por unidade de comprimento é
F12 µ0 I1 I 2
=
L
2πd
Lei de Ampère.
Como as linhas de indução magnética são fechadas, o integral de linha do
campo de indução magnética ao longo de um percurso fechado pode ser
diferente de zero.
r r
∫ B ⋅ dl = µ 0 I C
C
onde IC é a corrente que atravessa qualquer superfície limitada pelo percurso
fechado C. A lei de Ampère só é válida para correntes constantes, ou seja na
ausência de campos eléctricos variáveis.
A lei de Ampère pode ser usada para calcular o campo de indução magnética
para distribuições de corrente com um certo grau de simetria, tal como
acontecia com a lei de Gauss no caso do campo eléctrico.
Assim é necessário que utilizar curvas fechadas onde o campo seja tangente e
de módulo constante.
Exemplo: Calcular o campo de indução magnética em todo o espaço criado
por um fio rectilíneo de raio R, percorrido por uma corrente constante I0
uniformemente distribuída pela secção recta do fio.
Por simetria , o campo deve ser tangente aos
círculos tangentes e perpendiculares ao fio. O
integral de linha ao longo de um circulo de raio r, é
r r
∫ B ⋅ dl = B ∫ dl = 2π rB
C
C
Para r>R a corrente que atravessa a circunferência
limitada pelo circulo é a corrente total no fio Ic=I0.
r r
∫ B ⋅ dl = µ 0 I 0
⇒ B=
C
µ0 I 0
2πr
Para r<R, a corrente que atravessa a circunferência
não é I0, devendo ser calculada usando a densidade
de corrente no fio
I C = J ⋅ πr 2 =
I0
2
⋅
π
r
πR 2
⇒ B=
µ0 I 0
2πR
2
r
Exemplo: Calcular o campo de indução
magnética no interior de um solenóide
percorrido por uma corrente constante I0.
Para calcular o campo magnético usando
a lei de Ampère vamos considerar a
curva rectangular de lados l e w.
Como fora do solenóide o campo diminui
com o quadrado da distância, podemos
considerar B=0 no lado 3. Nos lados 2 e
4 temos que B⊥dl, então
r r
∫ B ⋅ dl =
C
r r
∫ B ⋅ dl = B
lado 1
∫ dl = Bl
lado 1
Se N é o nº de espiras no comprimento l,
a corrente total que atravessa o
rectângulo é Ic=NI0. Então o campo é
r r
N
⇒
B
⋅
d
l
=
Bl
=
µ
NI
B = µ0 I 0
0
0
∫C
l
Lei de Ampère generalizada
Quando a corrente I que atravessa um
condutor varia no tempo, por exemplo
durante a carga de um condensador,
a lei de Ampère conduz a uma
contradição.
Considerando duas superfícies S1 e S2 limitadas pela mesma curva P, o
integral de linha do campo sobre a trajectória P deve ser proporcional à
corrente total através de qualquer superfície limitada por P.
Quando se considera S1 temos
r r
∫ B ⋅ dl = µ 0 I S1
P
Porém quando se considera S2 não há corrente através desta superfície, logo
r r
∫ B ⋅ dl = 0
P
Lei de Ampère generalizada (Cont.)
Maxwell resolveu este problema assumindo que o campo magnético pode ser
produzido por correntes e também por campos eléctricos variáveis no tempo.
Assim introduziu um termo adicional na lei de Ampère designado por corrente
de deslocamento
dφ E
Id = ε0
dt
onde
r r
φ E = ∫∫ E ⋅ dS
Assim através de qualquer superfície na Lei de Ampère teremos sempre uma
combinação da corrente de condução e de deslocamento que a atravessa
r r
dφ E
∫P B ⋅ dl = µ 0 I + µ 0ε 0 dt
Lei de Gauss do magnetismo
• Nos campos magnéticos, as linhas de indução
magnética são contínuas e são curvas fechadas.
• Qualquer que seja a superfície fechada o número
de linhas que entram = número de linhas que
saem. Ou seja, o fluxo magnético através de
qualquer superfície fechada é nulo,
r r
∫ B ⋅ dS = 0
S
• Esta afirmação está baseada no facto experimental de nunca se terem
observado pólos magnéticos isolados (ou monopolos).
Campo magnético na matéria
• Os átomos têm dipolos magnéticos devido ao
movimento dos seus electrões.
• Os próprios electrões têm dipolos magnéticos
intrínsecos associados ao seu spin.
• O momento magnético total de cada átomo
depende da disposição dos electrões no seu
interior.
• Em geral estes dipolos magnéticos alinham-se
paralelamente ao campo magnético exterior, e
tendem
a
aumentar
o
módulo
do
campo
(contrariamente ao que acontece aos dipolos
eléctricos)
Campo magnético na matéria (Cont.)
É possível classificar os materiais em três categorias:
• Diamagnéticos, não têm os dipolos magnéticos permanentes. Quando
é aplicado um campo externo são induzidos dipolos magnéticos na
direcção oposta à do campo externo, sendo ligeiramente repelidos pelo
campo.
• Paramagnéticos, têm dipolos magnéticos permanentes mas na
ausência de campo externo estão orientados aleatoriamente, devido à
agitação
térmica.
O
alinhamento
é
proporcional ao
campo e
inversamente proporcional à temperatura (Lei de Curie).
• Ferromagnéticos, têm com momentos magnéticos atómicos fortes
que tendem a se alinhar paralelamente uns aos outros mesmo quando é
aplicado um campo externo fraco. Este alinhamento permanece depois
do campo externo ter sido removido.
substâncias
atingem
uma
magnetização espontânea.
temperatura
No entanto quando estas
critica,
perdem
a
sua
Campo magnético na matéria (Cont.)
No caso das substâncias diamagnéticas e paramagnéticas o campo
induzido, Bi, é proporcional ao campo externo, B0,
r
r
Bi = χ m B0
onde χm é a susceptibilidade magnética do material que é positiva
nos
materiais paramagnéticos e negativa nos diamagnéticos. O campo total no
interior do material é
r r
r
r
B = B0 + Bi = (1 + χ m ) B0
O campo externo B0 é devido à distribuição de corrente livre
r
r
∫ B0 ⋅ dl = µ 0 I 0
r
r
B
⇒ ∫
⋅ dl = µ 0 I 0
1+ χm
r r
⇒ ∫ B ⋅ dl = µ 0 (1 + χ m ) I 0
A permeabilidade magnética do material define-se como
definindo-se o campo magnético como
r r
H=B
µ
[A/m]
µ=µ0(1+χm),