REVISÃO – Lista 08 – Funções I Algumas definições Função

NOME:
PROFESSOR(A): Ana Luiza Ozores
ANO: 3º
DATA:
Nº:
REVISÃO – Lista 08 – Funções I
Algumas definições
Função: Dizemos que f é uma função de A em B se para todo elemento x de A, existe um único
elemento y de B tal que ( x, y)  f .
Função sobrejetora: imagem igual ao contra domínio.
Função injetora: para todo x1  x2 , temos f ( x1 )  f ( x2 ) .
Função bijetora: sobrejetora e injetora.
Função par: f ( x)  f ( x) .
Função ímpar: f ( x)   f ( x) .
Função constante: função do tipo f ( x)  k .
Função polinomial do 1º grau ou função afim:

Função do tipo f ( x)  ax  b , onde a  0 ;

A equação também pode ser dada por y  yo  a( x  xo ) ;

O gráfico da função é uma reta;

A raiz é dada por x  

 é a inclinação da reta medida a partir do eixo x no sentido anti horário;

a  tg é o coeficiente angular;

b é o coeficiente linear a representa a intersecção da reta com o eixo y;

Crescimento:
b
.
a
(i) Se a  0 a reta é crescente;
(ii) Se a  0 a reta é decrescente.
Função polinomial do 2º grau ou função quadrática:

Função do tipo f ( x)  ax2  bx  c , onde a  0 ;

O gráfico da função é uma parábola;

As raízes são dadas por x 

Raízes reais:
b 
, onde   b2  4ac ;
2a
(i) Se   0 , existem duas raízes reais;
(ii) Se   0 , existe uma raiz real;
(iii) Se   0 , não existem raízes reais.

Concavidade:
(i) Se a  0 , a concavidade é para cima;
(ii) Se a  0 , a concavidade é para baixo.


 b
O vértice é dado por   ;   e é utilizado para calcular ponto de máximo ou de mínimo da
 2a 4a 
função.
Exercícios básicos
1. Construa o gráfico da função f ( x)  x  2 .
2. Determine a função do 1º grau que passa pelos pontos (2,5) e (0,1) .
3. Faça a análise de sinal da função f ( x)  6  2 x .
4. Construa o gráfico da função f ( x)  x 2  5x  6 .
5. Faça a análise de sinal da função f ( x)   x 2  x  2 .
6. Determine a função do 2º grau que passa pelos pontos (3,0) , (0,9) e (2,1) .
Exercícios de Vestibular
7. (FUVEST) O número de pontos comuns aos gráficos das funções
f ( x)  x 4  3 e
g ( x)   x 2  2 x é:
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0
8. (FUVEST) Para que a parábola y  2 x 2  mx  5 não intercepte a reta y  3 , devemos ter:
a)  4  m  4
b) m  3 ou m  4
d) m  5 ou m  5
e) m  0
c) m  5 ou m  5
12
x 1 .
9. (FUVEST) Considere a função f dada por f ( x) 
x9 5

x 1 x
x5
a) Determine o domínio de f.
b) Resolva a inequação f ( x)  0 .
10. (UNICAMP) A troposfera, que é a primeira camada da atmosfera, entende-se do nível do mar até
a altitude de 40 000 pés; nela, a temperatura diminui 2C a cada aumento de 1 000 pés na
altitude. Suponha que em um ponto A, situado ao nível do mar, a temperatura seja de 20C .
Pergunta-se:
a) Em que altitude, acima do ponto A, a temperatura é de 0C ?
b) Qual é a temperatura a 35 000 pés acima do mesmo ponto A?
11. (FUVEST) Os pontos (0,0) e (2,1) estão no gráfico de uma função quadrática f. O mínimo de f é
1
assumido no ponto de abscissa x   . Logo, o valor de f (1) é:
4
a)
1
10
b)
2
10
c)
3
10
d)
4
10
e)
5
10
12. (VUNESP) Um ônibus de 40 lugares transporta diariamente turistas de um determinado hotel
para um passeio ecológico pela cidade. Se todos os lugares estão ocupados, o preço de cada
passagem é R$20,00. Caso contrário, para cada lugar vago será acrescida a importância de
R$1,00 ao preço de cada passagem. Assim, o faturamento da empresa de ônibus, em cada viagem,
é dado pela função
f ( x)  (40  x)(20  x) , onde x indica o número de lugares vagos
( 0  x  40 ). Determine:
a) Quantos devem ser os lugares vagos no ônibus, em cada viagem, para que a empresa obtenha
o faturamento máximo.
b) Qual é o faturamento máximo obtido em cada viagem.
13. (FUVEST) Seja f a função que associa, a cada número real x, o menor dos números x  3 e
 x  5 . Assim, o valor máximo de f (x) é:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) 7
14. (FUVEST) Um estacionamento cobra R$6,00 pela primeira hora de uso, R$3,00 por hora
adicional e tem uma despesa diária de R$320,00. Considere-se um dia em que sejam cobradas, no
total, 80 horas de estacionamento. O número mínimo de usuários necessário para que o
estacionamento obtenha lucro nesse dia é:
a) 25
b) 26
c) 27
d) 28
e) 29
15. (UNICAMP) A função y  ax2  bx  c , com a  0 , é chamada função quadrática.
a) Encontre a função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A(0,2) , B(1,1) e C (1,1) .
b) Dados os pontos A( xo , yo ) , B( x1 , y1 ) e C ( x2 , y2 ) , mostre que, se xo  x1  x2 e se os pontos
A, B e C não pertencem a uma mesma reta, então existe uma única função quadrática cujo
gráfico passa pelos pontos A, B e C.
16. (VUNESP) A função de variável real satisfaz a condição f ( x  2)  2 f ( x)  f (1) , qualquer que
seja a variável x. Sabendo-se que f (3)  6 , determine o valor de:
a) f (1)
b) f (5)
17. (FUVEST) Se f : IR  IR é da forma f ( x)  ax  b e verifica f ( f ( x))  x  1 para todo x real,
então a e b valem, respectivamente:
a) 1 e
1
2
b)  1 e
1
2
c) 1 e 2
d) 1 e  2
e) 1 e 1
18. (FUVEST) Seja f uma função tal que f ( x  3)  x 2  1 , para todo x real. Então f (x) é igual a:
a) x 2  2
b) 10 3x
c)  3x 2  6 x  20
d) x 2  6 x  10
e) x 2  6 x  16
19. (VUNESP) As funções f e g são tais que g ( f ( x))  x para todo número real x. O ponto (4,0)
pertence ao gráfico de g. Uma possível descrição da função f é:
a) f ( x)  x  4
b) f ( x)  4 x  2
d) f ( x)  x  4
e) f ( x) 
1
x
4
c) f ( x)  4 x
20. (FUVEST) O conjunto solução de ( x 2  7 x  15)(x 2  1)  0 é:
a) 0
b) [3,5]
c) IR
d) [1,1]
21. (FUVEST) As funções f e g são dadas por f ( x) 
f (0)  g (0) 
e) IR
3
4
x  1 e g ( x)  x  a . Sabe-se que
5
3
1
1
. O valor de f (3)  3g   é:
3
5
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
22. (FUVEST) De um retângulo de perímetro 32 e lados x e y, com x  y , retira-se um quadrado de
lado x.
a) Calcule a área remanescente em função de x.
b) Determine x para que essa área seja a maior possível.
23. (VUNESP) Uma função quadrática tem o eixo dos y como eixo de simetria. A distância entre os
zeros da função é de 4 unidades, e a função tem  5 como valor mínimo. Esta função quadrática
é:
a) y  5x 2  4 x  5
d) y 
5 2
x 5
4
c) y 
b) y  5 x 2  20
e) y 
5 2
x  5x
4
5 2
x  20
4
24. (ITA) Sejam IR o conjunto dos números reais e f uma função de IR em IR. Se B  IR e o
conjunto f 1 ( B)  {x  IR | f ( x)  B} , então:
a) f ( f 1 ( B))  B
b) f ( f 1 ( B))  B se f é injetora
d) f 1 ( f ( B))  B se f é sobrejetora
c) f ( f 1 ( B))  B
e) n.d.a.
25. (ITA) Consideremos as seguintes afirmações sobre uma função f : IR  IR .
(1) Se existe x  IR tal que f ( x)  f ( x) então f não é par.
(2) Se existe x  IR tal que f ( x)   f ( x) então f é ímpar.
(3) Se f é par e ímpar então existe x  IR tal que f ( x)  1 .
(4) Se f é ímpar então f  f (f composta com f) é ímpar.
Podemos afirmar que estão corretas as afirmações de números:
a) 1 e 4
b) 1, 2 e 4
c) 1 e 3
d) 3 e 4
e) 1, 2 e 3
Respostas
1.
2.
y  3x  1
3.
y  0 se x  3 , y  0 se x  3 e y  0 se x  3
4.
5.
y  0 se x  1 ou x  2 , y  0 se x  1 ou x  2 e y  0 se  1  x  2
6.
y   x2  6x  9
7. E
8. A
9. a) IR  {5,  1, 0,1}
b) S ]  7,  5[]0,1[]1,  [
10. a) 10 000 pés b)  50C
20. C
11. C
21. E
12. a) 10 lugares
b) R$900,00
22. a) 16x  2 x 2
13. C
23. D
14. C
24. A
15. a) y   x 2  2 b) demonstração
25. A
16. a) 2
17. A
18. D
19. D
b) 14
b) 4