Prof. Chico Vieira - Professor Chico Vieira

CURSO DE RESOLUÇÃO DE PROVAS DO CORPO DE ENGENHEIROS DA MARINHA DE
FÍSICA E MATEMÁTICA DE 2006 ATÉ 2016. Tudo passo a passo com Teoria e em
sequência a resolução da questão !
Prof. Chico Vieira
FÍSICA E MATEMÁTICA
DO CEM
2006 até 2016
Tudo Passo a Passo
Teoria e Questões
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sequência a resolução da questão !
MÓDULO-1: DERIVADAS E INTEGRAIS
AULA-1 GRAVADA:
QUESTÃO DE 2006
Sejam a e b números reais e ( )
(
(
))
)
a) Calcule ( ) (
b) Calcule os Valores de a e b que maximizam ( ) (
)
Questão de 2009
Seja ( )
e(x^3-6x^2) ,
a) Calcule ( )
(2 pontos)
b) Determine os pontos de mínimo local de ( ) (1 ponto)
Questão de 2010
Calcule o(s) ponto(s) de máximo local e o(s) ponto(s) de mínimo local de ( )
AULA-2 GRAVADA:
Questão de 2012
O Coeficiente angular da reta tangente à elipse de equação
a)
b)
c)
d)
e)
no ponto (1,1) é:
2
1/2
0
-1/2
-2
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Questão de 2013
é derivável, crescente e satisfaz ( )
Uma função
f’ (0) é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
Se g(x)=f(sin(f(x))) satisfaz g’(0) = 4, então
-4
1
2
3
4
Questão de 2014
A função (
a)
b)
c)
d)
e)
)
é solução da equação
para:
a=1/2 e a=-1/2
a=2 e a=-2
apenas a=2
apenas a=1/2
a=2 e a=1/2
Questão de 2008
Considere ( )
uma função derivável tal que g’(0)=2.
a) Considere h(x)=g(f(x)) e calcule h’(0). (1 ponto)
b) Calcule ∫
(
)
(1 ponto)
AULA-3 GRAVADA:
Questão de 2007
Para 0 < a < 1, considere
( )
∫ ,
(
)
(
)-
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)
a) Calcule ( ) (
b) Encontre os pontos de máximo local e os pontos de mínimo local de ( ) (
)
Questão de 2012
A área da região ão
*(
)
*
++ é:
√
√
√ )
√ )
√ )
a)
b)
c) (
d) (
e) (
AULA-4 GRAVADA:
Questão de 2013
Qual é a área entre os gráficos de ( )
a)
b)
c)
(
)
(
)
(
)
d)
e)
(
)
(
)
( )
,
?
Questão de 2014
A área de
onde
{*
+
}
{*
+
}
É igual a:
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a)
b)
√
√
c) √
d) 1
e) √
AULA-5 GRAVADA:
Questão de 2016
AULA-6 GRAVADA:
Questão de 2015
AULA-7 GRAVADA:
Questão de 2015
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AULA-8 GRAVADA:
Questão de 2016
AULA-9 GRAVADA:
Questão de 2016
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MÓDULO-2: CINEMÁTICA – LANÇAMENTOS
AULA-1 GRAVADA:
RESUMO DE CINEMÁTICA e QUESTÃO DE 2009
Um ponto Material de massa 1 desloca-se no plano vertical xy (em que y é a coordenada vertical) segundo
)
a equação horária ( ) (
No instante t=1 o ponto começa a
cair em queda livre sob ação exclusiva da força peso, suposta constante, com aceleração da gravidade
g=9.8, até atingir o ponto (1,0) onde um anteparo absorve metade de sua energia mecânica. Após isso o
ponto descola-se em movimento retilíneo e uniforme na reta y=0 com velocidade v=(a,0), a>0. Considere
todas as unidades no sistema internacional. Calcule:
a) A velocidade do ponto no instante t=1 seg. (1 ponto)
b) O tempo gasto pelo ponto no movimento de queda livre entre (1,1) e (1,0). (2 pontos)
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c) A. (1 ponto)
AULA-2 GRAVADA:
QUESTÃO DE 2010
Uma bola é atirada do chão para o alto. Quando ela atinge a altura de 5m, sua velocidade, em m/seg, é
Suponha que a aceleração da gravidade é, em
,
e calcule:
a) A altura máxima que a bola atingirá. (1 ponto)
b) O tempo que levará para a bola atingir o solo. (1 ponto)
c) A distância horizontal percorrida pela bola, após a trajetória atingir o seu ponto mais alto. (0,5
ponto)
QUESTÃO DE 2012
Dois pontos matérias A e B, ambos de massa m, são atirados para cima a partir do solo, na vertical, com
velocidades iniciais
, respectivamente, sujeitos exclusivamente á ação da força peso, num local cuja
aceleração da gravidade é g. A altura máxima atingida pelo ponto material A é o dobro da altura máxima
atingida pelo ponto material B. Então, o quociente
é:
a)
√
b) 2
c) 4
d) ½
e) √
AULA-3 GRAVADA:
QUESTÃO DE 2013
Um projétil é lançado para cima a partir do solo e sua velocidade inicial forma um ângulo de 45º graus com
a horizontal. Quando o projétil atinge a altura de 10m, sua trajetória forma um ângulo de 30º com a
horizontal. A componente horizontal da velocidade inicial do projétil, em m/s é:
a) 0
b)
√
c) 20/3
d)
√
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e)
√
QUESTÃO DE 2014
Um ponto material movimenta-se no espaço com vetor posição dado por ( ) (
) onde t é medido em segundos. A aceleração desse ponto material no instante t=0s é:
a)
b)
c)
d)
e)
Nula
(
(
(
)
)
)
QUESTÃO DE 2014
No espaço xyz, no qual o eixo z é vertical e aponta para cima, um homem de 1.80m de altura está
caminhando sobre o plano horizontal xy, com velocidade constante (3,0,0)m/s. Uma lâmpada, presa ao
ponto (0,0,5)m, está acesa. Sendo assim, a velocidade do ponto da sombra do homem que mais dista da
origem é:
A)
B)
C)
D)
Constante e igual a (5/3.2)(3,0,0)m/s.
Constante e igual a (5/1.8)(3,0,0)m/s.
Constante e menor do que a velocidade do homem.
De módulo estritamente crescente e varia linearmente com o tempo.
AULA-4 GRAVADA:
QUESTÃO DE 2015
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MÓDULO-3: INTEGRAIS -
Questões Adicionais para aprender e relembrar !
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AULA-1 GRAVADA:
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AULA-2,3 GRAVADA:
AULA-4,5 GRAVADA:
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MÓDULO-4:
RESUMOS TEÓRICOS (BÁSICO) DE MECÂNICA E TERMOLOGIA
MECÂNICA
1, CONCEITOS BÁSICOS E MRU
2, MRUV
3, LANÇAMENTO VERTICAL
4, COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS
5, LANÇAMENTO HORIZONTAL
6, LANÇAMENTO OBLÍQUO
7, LEIS DE NEWTON
8, ATRITO
9, FORÇA CENTRÍPETA
10, TRABALHO POTÊNCIA E ENERGIA
11, COLISÕES
TERMOLOGIA
1, ESCALAS
2, DILATAÇÃO
3, CALORIMETRIA
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MÓDULO-5:
TERMODINÂMICA
AULA-1 GRAVADA:
RESUMO TEÓRICO
AULA-2 GRAVADA:
QUESTÃO DE 2006
Um sistema é formado por um grama de água que ocupa um volume de 1 cm 3. Durante sua ebulição a 100
ºC, sob uma pressão atmosférica de 1 atm, esse procedimento fornece 1671 cm 3 de volume. Sabendo que
o calor de vaporização da água é de 539 cal/Gr, calcule o aumento de energia interna do sistema.
Dados:
1 cal = 4,186 Joules
1 atm = 1,013*105N/m2
QUESTÃO DE 2007
Uma maquina realizou um ciclo de Carnot usando um gás cuja temperatura no fim do ciclo é de 240 K.
Calcule a temperatura do gás no inicio do ciclo para ter um rendimento de 0,25.
QUESTÃO DE 2009
Um gás ocupa recipiente de volume V submetido a uma pressão P. Esse gás expande-se de forma
adiabática até duplicar o seu volume e verifica-se que a pressão ao final dessa expansão é p/3. Depois esse
gás sofre outra expansão adiabática até seu volume ser 3v. Calcule a pressão do gás ao final dessa nova
transformação (em função de P).
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QUESTÃO DE 2013
Um mol de um gás diatômico ideal, inicialmente à pressão 1 atm e volume 1 litro, sofre uma expansão
adiabática até atingir o dobro do seu volume, seguida de uma contração isotérmica, até retornar ao seu
volume inicial. Para gases diatômicos, o coeficiente de dilatação adiabática é
Neste caso, a
pressão do gás no final do processo é
a)
b)
c)
d)
e)
AULA-3 GRAVADA:
QUESTÃO DE 2014
Dois recipientes iguais têm mesmo volume V0, comunicam-se por um pequeno tubo capilar de volume
desprezível, estão preenchidos com um mesmo gás ideal e estão a temperatura T0 e pressão P0. Uma
transformação é feita mantendo-se a pressão constante em ambos os recipientes, reduzindo-se o volume
do primeiro recipiente à metade, enquanto o segundo recipiente permanece com volume constante. Após
essa transformação, nota-se que a temperatura no primeiro recipiente é 2T 0/3. Então a temperatura no
segundo recipiente é:
a)
b)
c)
d)
e)
T0/2
4T0/5
T0
3T0/2
2T0
QUESTÃO DE 2012
Uma máquina térmica funciona aplicando a um mol de gás ideal, que está a uma temperatura T1 e ocupa
um volume V1, uma sequência de4 transformadores reversíveis na seguinte ordem:
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I – Uma expansão isotérmica até duplicar de volume;
II – Uma transformação isocórica até que temperatura atingir a metade da temperatura inicial;
III – Uma contração isotérmica até retornar ao volume inicial V1; e
IV – Uma transformação isocórica até retornar ao estado inicial.
Chamando de R a constante universal dos gases perfeitos, o rendimento n e o trabalho W, por ciclo, dessa
maquina são, respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
N = 0,25 e W = RT1
N = 0,25 e W = RT1 ln(2)/2
N = 0,5 e W = ln(2)/2
N = 0,5 e W = RT1 ln(2)/2
N = 0,66 e W = T1 ln(2)/2
AULA-4 GRAVADA:
QUESTÃO DE 2015
QUESTÃO DE 2016
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MÓDULO-6: ESTÁTICA E DINÂMICA DOS FLUIDOS
AULA-1 GRAVADA:
RESUMO TEÓRICO
QUESTÃO DE 2010
Uma caixa de água cilíndrica tem raio de 1m e, no instante t=0, está cheia até 1 metro de altura. Esta caixa
tem um orifício circular de 20cm2 de área na sua base. A pressão no topo da coluna do líquido é de 1 atm, a
água escapa da caixa pelo orifício com uma velocidade de 0,1m/s, e a caixa é realimentada pelo topo de
modo a ficar sempre cheia. Admita que a aceleração da gravidade é g = 10m/s 2, que a densidade da água é
de d = 1g/cm3 e que 1 atm = 105 N/m2.
a) Calcule a velocidade de entrada da água no tanque. (1,5 ponto)
b) Determine a pressão da água no orifício de saída. (1 ponto)
AULA-2 GRAVADA:
QUESTÃO DE 2013
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Um reservatório de 4 metros de altura, com a sua extremidade superior aberta, encontra-se cheio com um
fluido incompressível de densidade
Se o reservatório possui em sua base um pequeno
orifício circular, então a velocidade de escape na região cilíndrica do jato de saída é
a) 2m/s
b) √ m/s
c) √ m/s
d) 13 m/s
e) 20 m/s
RESUMO TEÓRICO e QUESTÃO DE 2012
Sobre um plano horizontal estão apoiados dois tanques cilíndricos, (A e B), ambos com 10 cm de raio,
unidos, à altura do plano de apoio, por um cano horizontal cilíndrico de 1cm de reio e 10 litros de volume.
Dentro deste cano há um êmbolo livre para se mover horizontalmente, separando os tanques A e B. São
despejados 20 litros de um liquido de densidade
no tanque A e 20 litros de um liquido de densidade
no outro tanque. Se, ao entrar em equilíbrio, a altura da coluna de líquido no recipiente A for de
cm, então a razão entre
será:
a)
b)
c)
d)
e)
0,66
1
1,5
2,2
AULA-3 GRAVADA:
QUESTÃO DE 2014
Dois cilindros são feitos de mesmo material, sendo que o raio da base do primeiro cilindro é de 10cm e sua
altura é de 5 cm, enquanto, para o segundo cilindro, o raio da base é de 5 cm e sua altura é de 10 cm. O
primeiro cilindro flutua com 50% de seu volume submerso num tanque com um líquido de densidade d 1, e
o segundo cilindro flutua com 75% de seu volume submerso num tanque com um líquido de densidade d 2.
Então, a razão d1/d2 é:
a)
b)
c)
d)
e)
1/3
2/3
1
3/2
2
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AULA-4 GRAVADA:
QUESTÃO DE 2015
AULA-5 GRAVADA:
QUESTÃO DE 2016
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MÓDULO-7: LEIS DE NEWTON - ATRITO E FORÇA CENTRÍPETA
AULA-1 GRAVADA:
QUESTÃO DE 2012
Um sólido, inicialmente em repouso a 20 metros de altura do solo, inicia um movimento de queda, sem
atrito e sujeito apenas à ação da gravidade g=10m/s2, vinculado a uma rampa inclinada plana que forma
um ângulo de 45º com a vertical. O sólido abandonou essa rampa quando estava a uma altura de 10
metros do solo, e passou então a se mover em queda livre. A distância percorrida horizontalmente pelo
sólido, após deixar a rampa inclinada até atingir o solo, foi de:
a) √ m
b)
c)
d)
e)
(√
)m
√ m
m
QUESTÃO DE 2012
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Por um orifício, em uma mesa horizontal, passa uma corda inextensível de massa desprezível e com 1
metro de comprimento. Essa corda une duas esferas de 3 kg, uma das quais se move sobre a superfície da
mesa em movimento circular uniforme, de forma que a outra permanece em repouso, suspensa 50 cm
abaixo da mesa. Qual é a velocidade angular da esfera em movimento circular uniforme?
a) √ m/s
b) 10 Rad/s
c) 10m/s
d)
e) √
√ Rad/s
Rad/s
AULA-2 GRAVADA:
QUESTÃO DE 2016
QUESTÃO DE 2015
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MÓDULO-8: ENERGIA E TRABALHO
AULA-1 GRAVADA:
QUESTÃO DE 2007
Uma mola de constante elástica k e cumprimento natural d é presa na vertical a um ponto 0 pela
sua extremidade superior. Um ponto material P de massa m é colocado na extremidade livre da
mola. A aceleração da gravidade no local é constante e igual a g. Suponha que as únicas forcas que
atuam no sistema são a força elástica da mola e o peso.
a)
b)
Determine a posição de equilíbrio desse sistema (2 pontos)
Considere o movimento de P que começa com velocidade
no ponto em que a mola está
em seu comprimento natural. Calcule o ponto mais baixo desse movimento de P. (2 pontos)
Questão de 2013
Uma mola de comprimento natural 3 m e de constante elétrica 10N/m tem uma extremidade fixada
a 10 m do solo e, em sua outra extremidade, está preso um corpo de 2 Kg. No instante , esse corpo se
encontra a uma altura de 9 m do solo, com velocidade nula. Sabendo que o movimento subseqüente desse
corpo se dá sobre a reta vertical em que a mola se encontra a que tal corpo sofre apenas a ação das forças
elétrica e gravitacional, qual é a intensidade da velocidade máxima que esse corpo atingirá em seu
movimento?
a)
√ m/s
b)
√ m/s
c)
m/s
d)
m/s
√ m/s
AULA-2 GRAVADA:
QUESTÃO DE 2014
Duas esferas de mesma massa m estão unidas por uma mola de constante elástica k e comprimento
natural L sobre um plano horizontal. As velocidades da primeira e da segunda esfera no instante t são
dadas, respectivamente, por ( ) e ( ). No instante inicial , a distância entre as esferas é
,e
|| ( )|| | ( )||
, com ( )
( ). Se num instante
a distância entre as esferas é
, então:
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a) || ( )||
b) || ( )||
c) || ( )||
d) || ( )||
e) || ( )||
AULA-3 GRAVADA:
QUESTÃO DE 2016
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MÓDULO-9: COLISÕES
AULA-1 GRAVADA:
RESUMO TEÓRICO
QUESTÃO DE 2006
Num local em que a aceleração da gravidade é constante e igual
um projétil de massa 5
kg é lançado obliquamente com velocidade inicial de 10m/seg, fazendo um ângulo com a horizontal de 30 0.
Despreze a resistência do ar e suponha que não há nenhum tipo de atrito. Quando o projétil está no ponto
mais alto de sua trajetória ele explode e divide-se em duas partículas de massas respectivamente 2 kg e 3
kg. A partícula de massa 3 kg após a explosão descreve um movimento vertical de queda livre a partir do
repouso.
a) Calcule quanto tempo após o lançamento acontece a explosão. (2 pontos)
b) Calcule a velocidade da partícula de 2 kg logo após a explosão. ( 2 pontos)
QUESTÃO DE 2008
Uma chapa quadrada de lado 6 cm tem vértices a= (0,0), B=(6,0), C(6,6). Uma partícula de massa
parte do vértice A, no instante
em movimento retilíneo em direção ao centro da placa, com
velocidade constante v de módulo 1 cm/seg. Ao atingir o centro da placa,
choca-se com duas outras
partículas
, ambas de massa . Após o choque
fica em repouso,
move-se com velocidade
constante
paralelamente ao lado AB aproximando-se de CD, enquanto
move-se com velocidade
constante paralelamente a AD na direção de BD. Suponha que o sistema dado é isolado.
a) Determine a equação horária de no movimento entre A e o centro da placa. (1 ponto).
b) Calcule o tempo gasto por para ir de A até o centro da placa. (1 ponto).
c) Calcule as velocidades e de e após o choque. (2 pontos).
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MÓDULO-10: CALCULO VETORIAL - PARTE-1: CÁLCULO DE
TRABALHO POR INTEGRAL DE LINHA
AULA-1 GRAVADA:
Questão de 2012
) (
O trabalho realizado pela força (
) para transportar um ponto material de
massa unitária do ponto (0,1,0) ao ponto (1,0, ) pela curva ( ) (
),
, é:
a)
b)
c)
d)
e)
Questão de 2013
Qual
( )
é
(
a
integral
)
de
linha
?
do
campo
(
)
(
)
ao
longo
a)
b)
c)
d)
e)
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da
curva
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sequência a resolução da questão !
AULA-2 GRAVADA:
Questão de 2009
Seja (
)
(
(
) )(
)
Calcule a integral de linha
∫
Em que y é a curva
percorrida uma vez no sentido anti-horário.
Questão de 2010
Considere o campo de vetores
(
)
(
)(
)
,
Onde é um parâmetro real.
) ao longo do segmento de reta que une os pontos A=(0,0) e
a)
Calcule a integral de linha de (
B=(1,2), percorrido no sentido de A para B. (1 ponto)
b)
Determine o(s) valor(ES) de para os quais o campo F(x,y) deriva de potencial (isto é, o campo é
conservativo). (1,5 ponto)
MÓDULO-11: CALCULO VETORIAL - PARTE-2: GRADIENTE ROTACIONAL -DIVERGENTE- LAPLACIANO
AULA-1 GRAVADA:
Questão de 2007
Seja F(x,y,z)=(2x+y,x+z,y+2z).
a) Calcule o rotacional de F. (1 ponto) GRAVADO
b) Calcule a integral de linha ∫
onde ( )
(
)
. (2 pontos) GRAVADO
NA AULA 2
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Questão de 2009
)
Determine os valores de a E R para os quais (
(
)
parciais
em que
é o laplaciano de f.
resolve a equação a derivadas
Questão de 2012
Os valores de K para os quais o campo vetorial (
são:
a)
b)
c)
d)
e)
)
(
) tem rotacional nulo
√
√
AULA-2 GRAVADA:
Questão de 2012
definida por (
Seja
a)
b)
c)
d)
e) (
(
(
(
(
) (
)
(
) (
)
) (
)
)
)
(
) Então o laplaciano de u é:
(
)
(
)
)
)
Questão de 2007
Seja F(x,y,z)=(2x+y,x+z,y+2z).
a) Calcule o rotacional de F. (1 ponto) GRAVADO NA AULA 1
b) Calcule a integral de linha ∫
onde ( )
(
)
. (2 pontos) GRAVADO
AULA-3 GRAVADA – DERIVADA DIRECIONAL:
Questão de 2013
Quais são os pontos da circunferência
em que o gradiente de (
)
tem módulo
máximo?
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a) (0,-1) e (0,1)
b) (-1,0) e (1,0)
√
c) .
√
/
√
.
√
/
d) (1,0) e (0,1)
e)
(
(
) e (0,-1)
) e (0,-1)
MÓDULO-12: EDO – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E ORDINÁRIAS
AULA-1 GRAVADA:
Questão de 2014
A solução da equação diferencial ordinária
( )
Então, f(0) é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
( ), com condições iniciais ( )
e
( )
é
, ( )
,
-4
-3
-2
-1
0
Questão de 2012
O valor de
( )
a)
b)
c)
em R para o qual a solução ( ) do problema de valor inicial
, satisfaz ( )
(
)
(
(
é:
)
)
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(
d)
e)
)
Questão de 2013
Se a solução de
então m é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
, satisfazendo ( )
e
( )
, é limitada no intervalo ,
-2
-1
0
1
2
AULA-2 GRAVADA:
Questão de 2010
Determine os valores de
são limitadas.
para os quais todas as soluções da equação diferencial
Questão de 2007
Para n=123,... considere o problema de valor inicial:
( )
( )
a) Calcule ( ) (1 ponto)
b) Calcule o período de ( ). (1 ponto)
c) Calcule
(1 ponto)
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,,
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Questão de 2006
Considere a equação diferencial
a) Mostre que ( )
b) Calcule a solução geral de
é uma solução dessa equação (1ponto)
. ( 1 ponto)
MÓDULO-13: ELETRICIDADE
AULA-1 GRAVADA - ELETROSTÁTICA :
Questão de 2006
Nos pontos (0,0) (0,a) e (0,-a) colocam-se cargas de intensidade, respectivamente, -2q, +q e +q, onde q>0 e
a>0.
a) Calcule o potencial elétrico gerado por essa distribuição de cargas nos pontos P de coordenadas
(x,y), x>0. (1 ponto)
b) Calcule o campo elétrico gerado pela distribuição de cargas acima nos pontos P de coordenadas
(x,0), x>0. (2 pontos)
AULA-2 GRAVADA - ELETROSTÁTICA :
QUESTÃO DE 2009
Um dipolo está colocado nos pontos (1,0) e (-1,0) com cargas respectivamente +q e –q.
a) Calcule o valor do potencial elétrico gerado pelo dipolo no ponto (x,y). (1 ponto) GRAVADO
b) Determine os pontos em que o potencial gerado pelo dipolo é zero. (1 ponto) GRAVADO
c) Considere a circunferência C de centro (1,0) e raio r>0. Prove que se P=(x,y) está em C, com
,
existe um outro ponto em C, e apenas um, onde o potencial gerado pelo dipolo é igual ao potencial
em P. (1 ponto) AINDA FALTA GRAVAR
AULA-1 GRAVADA - ELETROMAGNETISMO :
Questão de 2016
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QUESTÕES QUE AINDA SERÃO GRAVADAS
CÁLCULO VETORIAL
Questão de 2008
Sejam (
)
a)
Calcule (
b)
Considere (
(
)
)
(
)
( (
.
)
)
(
)(
(
)) e calcule a integral de linha ∫
)
, onde c é o contorno do
trapézio de vértices A=(0,1), B=(17,1), c=(5,0) e D=(0,0), percorrido uma vez no sentido anti-horário (2
pontos)
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Questão de 2006
Considere o campo vetorial (
)
(
).
a) Calcule o divergente de F. (1 ponto) GRAVADO
b) Calcule o rotacional de F. (1 ponto) GRAVADO
c) Calcule ∫
( )
, onde A é semi-esfera
e n é o vetor normal
unitário que aponta para o centro de A. (1 ponto) AINDA NÃO GRAVADO
Questão de 2007
Seja ( )
a) Calcule ( ) (1 ponto)
)
(
b) Considere (
) x e y em R, e calcule o gradiente de u. (1 ponto)
Series
Questão de 2008
Seja
,
-
, definida por ( )
, se
( )
Determine a expansão em série de Fourier de H(x).
Questão de 2009
Determine os valores de x E R para os quais a série ∑
converge (m E N).
Questão de 2013
Se m E ]0,1[ e
( )
∑
então f’ (1) é igual a
a) m
b) 0
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c)
d)
e)
Questão de 2014
O raio de convergência da série de potências ∑
)
é igual a:
a)
b)
c) 1
d) e
e)
Cálculo Numérico
Questão de 2006
Considere a tabela abaixo em que a é um número real.
Calcule os valores de a para os quais o polinômio interpolador dessa tabela tem grau 2.
Questão de 2008
Considere a tabela da função F(x)
x
F(x)
0
-1
1
a+1
2
1
3
a+3
Onde a é um parâmetro real.
a) Calcule ∫
( )
pelo método de Simpson. (1,5 ponto)
b) Calcule o valor do parâmetro a para o qual o grau do polinômio interpolador da tabela acima é o
menor possível. (1,5 ponto)
Questão de 2010
Considere ( )
.
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( )
a) Use o método dos trapézios e calcule uma aproximação de ∫
b) Use o método de Simpson e calcule uma aproximação de ∫
( )
(1 ponto)
(1,5 ponto)
Questão de 2012
(
Ao aproximar-se ∫
. /
a)
b)
c)
d)
e)
(
(
(
(
(
e
( )
)
pelo método de Simpson sem repetições, usando as aproximações
, obtém-se:
)
)
)
)
)
Questão de 2014
Observe a tabela a seguir:
x
F(x)
-2
0
-1
3
1
2
0
O polinômio interpolador da tabela acima tem grau 2, sendo assim, é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Questão de 2013
Observe a tabela abaixo:
0
1
( )
1
m
Se o polinômio interpolar dessa tabela tem grau um, então m é igual a
2
-3
a) -2
b) -1
c) 0
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d) 1
e) 2
Álgebra Linear
Questão de 2014
A transformação linear
tem polinômio característico ( )
a imagem do triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1) por T tem área igual a:
a) 1/6
b) 1/3
c) 3
d) 6
, sendo assim,
ESTÁTICA E PROPABILIDADE
Questão de 2012
Uma classe de 20 estudantes fez uma prova e a média aritmética das notas obtidas foi 6.5. Escolheu-se um
grupo de 5 estudantes e verificou-se que a média aritmética das notas obtidas por esses estudantes nessa
prova foi 8,0.. Nessas condições, a média aritmética das notas obtidas nessa prova pelos 15 outros
estudantes da classe foi:
a)
b)
c)
d)
e)
5,0
6,0
6,125
6,25
6,5
Questão de 2013
Um dado comum de seis faces numeradas de 1 a 6, honesta (balanceado), é lançado três vezes em
sequência. A probabilidade de que o produto dos úmeros obtidos nesses lançamentos seja par é
a)
b)
c)
d)
1/8
1/6
1/2
5/6
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e) 7/8
Questão de 2014
Em uma urna ha 1000 cartões numerados de 0 a 999. Sorteando um desses cartões ao acaso, a
probabilidade desse cartão ter um número divisível por 4 é:
a)
b)
c)
d)
e)
1/4
1/3
1/2
2/3
3/4
ENERGIA E TRABALHO
QUESTÃO DE 2014
Num plano xz, um ponto material de massa M é deslocado de forma que sua posição, em cada instante t, é
)
(
) ,
dada por ( ) (
. Sobre esse corpo agem uma força constante
e uma força F2, que é sempre perpendicular à sua velocidade instantânea, e que não se anula. Se
e
são os trabalhos realizados pelas forças
e , respectivamente, e T é o trabalho realizado pelo sistema
de forças (
) ao longo desse movimento, então é correto afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
COLISÕES
QUESTÃO DE 2010
Duas esferas, A e B, têm massa 1 Kg e 2 Kg respectivamente. Imediatamente antes de colidirem, a
velocidade de A é
, e a velocidade de B é
, ambas medidas em m/s.
A colisão é inelástica e dissipa 50% da energia do sistema em calor.
Logo após a colisão, B tem velocidade
, com
.
a) Determine a energia cinética e a quantidade de movimento do sistema imediatamente antes da
colisão. (1 ponto)
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b) Calcule . (1,5 ponto)
QUESTÃO DE 2012
Dois pontos materiais, A e B, de massas
e
, respectivamente, movem-se num plano horizontal e
sofrem uma colisão no instante
, na origem do sistema de coordenadas. Sabe-se que, imediatamente
antes da colisão, A tinha velocidade
(
), e B encontrava-se em repouso. Se, após a colisão, A
andou sobre uma linha reta até chegar ao ponto (1m,-2m), então a razão r-Ei/Ef entre as energias cinéticas
do ponto A imediatamente antes e imediatamente após a colisão foi:
a)
b)
c)
d)
e)
8/9
5/7
1/2
1
5/4
ROTAÇÃO E MOMENTO ANGULAR
QUESTÃO DE 2013
Uma barra de densidade uniforme e de comprimento 1 m está presa na origem do sistema de coordenadas
por seu ponto médio, e gira no plano horizontal com velocidade angular constante k. Se
são
as intensidades dos momentos angulares dessa barra em relação, respectivamente, à origem, ao ponto 1m
k, ao ponto 2m k e ao ponto 10 k, então
a)
b)
c)
d)
e)
DINÂMICA + CÁLCULO
QUESTÃO DE 2013
Um corpo de massa M move-se num plano horizontal sob a ação de um campo de forças central f, dado
)
(
)
(
)
por (
sendo
uma função contínua e estritamente
negativa. Considere as medidas coerentes com o sistema internacional MKS. Se num instante a posição
do corpo é
e sua velocidade é
e num instante sua posição é
e sua velocidade
é
(
), então vale a igualdade:
a) Ab = -1
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b) Ab = √
c) Ab3 = √
d) Ab3 = -12 h(0,a)
e) Ab3 = -22 h (b,b)
ELETROSTÁTICA
QUESTÃO DE 2007
As duas placas paralelas e iguais de um capacitor imerso no ar estão separadas por 1mm. Qual deve ser a
área das placas para que esse capacitor tenha capacidade de 1 Farad?
Dado: Constante de permissividade
QUESTÃO DE 2009
Um dipolo está colocado nos pontos (1,0) e (-1,0) com cargas respectivamente +q e –q.
d) Calcule o valor do potencial elétrico gerado pelo dipolo no ponto (x,y). (1 ponto) GRAVADO
e) Determine os pontos em que o potencial gerado pelo dipolo é zero. (1 ponto) GRAVADO
f) Considere a circunferência C de centro (1,0) e raio r>0. Prove que se P=(x,y) está em C, com
,
existe um outro ponto em C, e apenas um, onde o potencial gerado pelo dipolo é igual ao potencial
em P. (1 ponto) AINDA FALTA GRAVAR
QUESTÃO DE 2010
Um ponto material A de carga 0,1 mC e massa 100 kg, encontra-se, no instante t=0, S=(0,1,0) e tem
velocidade inicial V=(3,0,0). Outro ponto material de carga negativa está fixo no ponto o=(0,0,0). Admita
que a constante de Coulomb é k = 9 x 109 N.m2/C2.
a) Determine a força que age sobre A. (1 ponto)
b) Calcule o valor de para que a trajetória de A seja uma circunferência com centro na origem,
percorrida com velocidade angular constante. (1,5 ponto)
QUESTÃO DE 2012
Num plano horizontal estão duas esferas, A e B, de cargas Qa=lnC e Qb=-1mC, fixas nos pontos (-1m, 1m) e
(-1m, -1m), respectivamente. Uma esfera C de massa 10Kg e carga 2mC está ligada a uma das
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extremidades de uma mola ideal de constante elástica k=1000N/m e comprimento natural 1m, que tem
sua outra origem, em equilíbrio de forças, então o ponto P estará na posição:
a) (-1m, 0m)
b) ( √
c) ((
)
√
d) (
√
e) (
( √
)
)
)
) )
QUESTÃO DE 2013
Três corpos A, B e C, de cargas não nulas qA, qB e qC, respectivamente, encontram-se alinhados, sendo que
o corpo B está eqüidistante dos outros dois. Se a resultante das forças elétricas em cada um dos corpos é
nula, então
a)
b)
c)
d)
e)
2qA = - qB = qC
qA = qB = - qC
qA = - 4qB = 2qC
qA = - 2qB = -qC
qA = - 4qB = qC
QUESTÃO DE 2014
Quatro cargas elétricas Q1,Q2, Q3 e Q4 estão colocadas nos pontos P1, P2, P3, e P4, sendo que P1, P2 e P3 são
vértices de um triangulo eqüilátero, e P4 é o baricentro desse triangulo. Se a resultante das forças em cada
uma das cargas é nula, então:
a)
b)
c)
d)
Exatamente duas cargas são negativas, e ambas estão em vértices do triângulo eqüilátero.
Todas as cargas têm o sinal, mas não o mesmo módulo.
Todas as cargas têm o mesmo módulo, mas não o mesmo sinal.
A carga colocada no baricentro do triangulo tem 3 vezes o modulo das cargas que estão colocadas
nos vértices.
e) As cargas colocadas nos vértices do triangulo são necessariamente iguais, e a carga colocada no
baricentro tem outro sinal.
ELETROMAGNETISMO
QUESTÃO DE 2008
Um elétron de 10eV gira com velocidade V=(1.9)x106 m/seg num plano perpendicular a uma indução
magnética de 10-4 weber/m2.
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Dados: Massa do elétron: m=(9.1)x10-31kg intensidade da carga do elétron: g=(1.6)x10-19C
a) Determine o raio da órbita. (1 ponto)
b) Calcule a freqüência do elétron (1 ponto)
c) Determine o sentido da rotação do elétron visto por um observador que olha na mesma direção e
sentido do campo magnético. ( 1 ponto)
QUESTÃO DE 2012
Um pequeno ímã, orientado de forma a ter seu pólo positivo para cima, é solto em queda livre dentro de
um tubo cilíndrico de cobre, mantendo-se com a mesma orientação durante sua queda. Nestas condições,
é correto afirmar que a queda do ímã:
a) Não gera corrente elétrica no tubo, pois cobre não é um material ferromagnético e, portanto, não é
atraído por campos magnéticos. A única forma que age sobre o ímã é a da gravidade.
b) Gera uma corrente elétrica anti-horária, quando vista de cima, no tubo de cobre. A corrente criada
gera um campo magnético secundário que desacelera a queda do objeto.
c) Gera uma corrente elétrica horária, quando vista de cima, no tubo de cobre. A única força que age
sobre o ímã é a da gravidade.
d) Gera correntes elétricas com sentidos opostos no tubo de cobre abaixo e acima da posição do ímã.
As correntes criadas geram um campo magnético secundário que desacelera a queda do objeto.
e) Gera correntes elétricas com sentidos opostos no tubo de cobre abaixo e acima da posição do ímã.
A única força que age sobre o ímã é a da gravidade.
QUESTÃO DE 2013
Uma bobina condutora é colocada em uma região onde há um campo magnético vertical de intensidade
B=10 T. A bobina é ligada a um amperímetro e está inicialmente em repouso, com seu eixo orientado
também na vertical. São dados os cenários:
I – A bobina inicia um movimento retilíneo uniforme na direção vertical com velocidade não nula.
II – A bobina passa a ser rodada ao redor do seu eixo com velocidade angular uniforme.
III – A bobina passa a ser rodada ao redor de um eixo horizontal com velocidade angular uniforme.
Dentre os cenários citados acima, o amperímetro irá registrar correntes elétricas não nula
a)
b)
c)
d)
e)
Somente no cenário I
Somente no cenário II
Somente no cenário III
Somente nos cenários I e II.
Nos cenários I, II e III.
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QUESTÃO DE 2014
Um elétron se encontra no espaço xyz, no qual o eixo z é vertical e aponta para cima, e esse elétron está
inicialmente na posição (-1,0,0) cm e com velocidade (1,0,0)cm/s. Há dois imãs iguais, um deles está na
posição (0,1,0) cm e tem o pólo norte apontado para a origem, e o outro está em (0,-1,0) cm e tem o polo
sul apontando para a arigem. Logo após o instante inicial, a trajetória do elétron:
a)
b)
c)
d)
Desvia-se para cima
Desvia-se para baixo
Permanece na direção (1,0,0)
Desvia-se para a região y > 0.
e)
Desvia-se para a região y < 0.
E ALGUMAS QUESTÕES DAS PROVAS DE 2015 E 2016
Ficha atualizada 5 de Março
Investimento para obter o curso em vídeoaulas livre para assistir em 2017 é R$150,00 taxa única
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