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ENEM EM FASCÍCULOS - 2013
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
12
CARO ALUNO,
Neste décimo segundo fascículo, trabalharemos com a área de Matemática e suas Tecnologias, buscando mostrar a todos que o estudo
dessa área pode ser muito útil e instigante para o uso cotidiano.
Seguindo nosso raciocínio, trabalharemos, neste fascículo, com três assuntos bem interessantes e sempre presentes no Enem: Análise
Combinatória, Probabilidade e Estatística, buscando refletir sobre o significado desses importantes conceitos e contextualizando-os em
diversos cenários e situações práticas.
Bom estudo para você!
INTRODUÇÃO
Olá, querido estudante,
Neste fascículo, vamos abordar os assuntos de maior
incidência na última prova do Enem: o ensino da probabilidade
e da estatística. Para isso, você terá acesso a uma consistente
fundamentação teórica, acompanhada de situações-problema
dentro das habilidades de Matriz de Referência de Matemática
e suas Tecnologias, matriz essa que serve de base para o Enem.
OBJETO DO CONHECIMENTO
Análise combinatória
Princípio Fundamental da Contagem
(Princípio Multiplicativo)
Dentre as técnicas de contagem, a fundamental e
bastante intuitiva é o Princípio Fundamental da Contagem
(P.F.C.), que apresentaremos através de exemplos.
Eis o que diz o Princípio Fundamental da Contagem:
“Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas, sendo que
a primeira pode ser feita de m modos e, para cada um destes,
a segunda pode ser feita de n modos, então o número de
modos de realizar a ação é dado pelo produto m · n”.
Observação:
No caso das ações com mais de duas etapas, o número de
modos da ação ocorrer é o produto dos números de
possibilidades das respectivas etapas.
Arranjos simples e combinações simples
É importante, antes de iniciarmos os estudos relativos
a arranjo e combinação, entendermos que dois conjuntos são
iguais quando todos os elementos de um são também elementos
do outro conjunto e vice-versa, independentemente da ordem
dos elementos nesses conjuntos. Já duas sequências ordenadas,
somente serão iguais se elas apresentarem, ordenadamente,
os mesmos elementos. Em outras palavras, duas sequências
ordenadas iguais, além de apresentarem os mesmos elementos,
tais elementos devem ocupar, respectivamente, ordens
(posições) iguais. Por exemplo, os seis conjuntos {1, 3, 6},
{1, 6, 3}, {3, 1, 6}, {3, 6, 1}, {6, 1, 3} e {6, 3, 1} são um mesmo
conjunto. Assim, se vamos contá-los, devemos considerá-los
apenas um conjunto (um grupo). Já as seis sequências ordenadas
(1, 3, 6), (1, 6, 3), (3, 1, 6), (3, 6, 1), (6, 1, 3) e (6, 3, 1) são todas
diferentes uma das outras. Se vamos contá-las, devemos
considerá-las 6 grupos ordenados distintos.
Estando, por exemplo, interessados em contar as filas
que podemos formar utilizando sempre as mesmas 3 pessoas
ou a quantidade de números que podemos formar utilizando
sempre os mesmos 3 algarismos, a ordem com que as pessoas
ou algarismos aparecem é relevante, isto é, muda a fila ou o
número. O interesse, nesse caso, está em contar sequências
ordenadas, deve-se contar os arranjos.
Estando, por exemplo, interessado em contar comissões ou
subconjuntos, a ordem com que as pessoas ou elementos aparecem
não é relevante, isto é, não muda a comissão ou o subconjunto.
O interesse, nesse caso, está em contar subconjuntos, deve-se
contar as combinações.
Problema das filas de k pessoas escolhidas dentre
n pessoas possíveis
“Considere 7 pessoas. Quantas são as filas distintas
formadas com 4 dessas pessoas?”
Para o primeiro lugar na fila, temos 7 possibilidades;
para a segunda posição, 6; para a terceira, 5 e, para a quarta
e última posição, 4 possibilidades. Assim, pelo P.F.C., temos
7 · 6 · 5 · 4 = 840 filas.
Cada uma dessas filas é uma sequência ordenada
(diferem pela ordem) e é chamada de arranjo de 7 elementos,
tomados 4 a 4. Pelo exposto, o número de arranjos de 7
elementos, tomados 4 a 4, é igual a 840 e pode ser calculado
em função do número de pessoas dadas (7) e do número de
pessoas em cada fila (4). Esse número de arranjos é dado por:
A 7, 4 =
7!
= 840
(7 − 4 )!
Fascículo
Enem em fascículos 2013
Resumindo:
De modo geral, dado um conjunto com n elementos
distintos, qualquer sequência ordenada de k elementos
distintos, escolhidos dentre os n elementos dados, é chamada
de “arranjo dos n elementos, tomados k a k”, e o número
desses arranjos é dado por:
n!
A n ,k =
(n − k )!
Leia: arranjo de n, k a k.
Problema das comissões de k pessoas, escolhidas
dentre n pessoas possíveis
“Considere 7 estudantes de uma mesma turma. Para
representar a turma perante a direção do colégio, quantas são
as comissões possíveis, formadas com 4 desses estudantes?”
Solução:
Inicialmente, perceba que as comissões {Maria, João,
Pedro, Ivo} e {Pedro, Ivo, João, Maria} são uma mesma comissão,
conta-se apenas uma. Logo, queremos contar subconjuntos.
Se quiséssemos contar sequências ordenadas
(filas) de 4 elementos, escolhidos dentre 7 possíveis,
7!
= 840 filas. Acontece,
encontraríamos A 7, 4 =
(7 − 4 )!
porém, que uma vez escolhidos quatro estudantes dentre
os 7 possíveis, com esses mesmos quatro estudantes
pode-se formar P 4 = 4! = 24 filas distintas (sequências
Exemplo 1:
Fábio, Marcos, Cleiton, Érick, Jonas, Lucas, Ligeirinho e
Vagaroso classificaram-se para a grande final da prova
dos 100 metros rasos que está sendo disputada entre os
alunos das escolas públicas e privadas de certo bairro de
Fortaleza. Segundo a imprensa especializada no assunto,
“os oito classificados são igualmente favoritos, mas como não
pode haver empate, a ordem de classificação vai ser decidida
nos detalhes e isso só o tempo dirá”. Sabendo que somente serão
premiados os três primeiros colocados, recebendo R$ 1.000,00,
R$ 600,00 e R$ 200,00, respectivamente, de quantas formas
possíveis poderá ocorrer a classificação dos premiados? Dessas,
em quantas Vagaroso será premiado? Em quantas Ligeirinho
receberá R$ 1.000,00?
Solução:
Como para um mesmo grupo de pessoas premiadas,
mudando-se a ordem entre elas, muda-se a classificação, o número
de classificações possíveis é um número de arranjos.
I. O número de classificações para os três primeiros lugares
é o número de arranjos de 8 atletas, tomados 3 a 3, ou
seja, A 8,3 =
8!
= 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 336 .
(8 − 3)!
Esquematizando:
8!
= 336
1o lugar, 2o lugar, 3o lugar ⇒ A 8,3 =
(8 − 3)!
A8 , 3
II. Supondo Vagaroso premiado, temos que decidir a
sua posição: 3 possibilidades, para cada uma dessas
possibilidades, podemos usar apenas o P.F.C. para
resolver este item.
Veja:
ordenadas). Isso nos diz que para cada 24 sequências ordenadas
comissão (um subconjunto). Daí, o número correto de comissões
2o lugar 3o lugar
Vagaroso
,
,
↓
↓
fixo
× 6 = 42
7
com 4 estudantes, escolhidos dentre 7 possíveis, que podem
ou
(as que têm os mesmos 4 elementos), conta-se apenas uma
ser formadas é
840
= 35.
24
, 3o lugar
1o lugar , Vagaroso
fixo
↓
↓
7
×
6 = 42
Agora, observe que:
7!
840 A 7, 4 (7 − 4 )!
35 =
=
=
, isto é, o número de comissões
P4
24
4!
ou
(subconjuntos) formadas com 4 pessoas, escolhidas dentre 7
pessoas possíveis, é
Resumindo:
De modo geral, dado um conjunto com n elementos
distintos, qualquer subconjunto de k elementos distintos,
escolhidos dentre os n elementos dados, é chamado de
“combinação dos n elementos, tomados k a k” e o número
dessas combinações é dado por:
n!
n
Cn,k =   =
 k  k!(n − k )!
Leia: combinação de n, k a k.
2
2° lugar, 3° lugar Vagaroso
, fixo
↓
↓
7 × 6
= 42
7!
.
4!(7 − 4 )!
Total = 42 + 42 + 42 = 126 classificações.
III. Fixando Ligeirinho em primeiro lugar (recebendo
R$1.000,00), basta escolher os outros 2, dentre os 7
outros atletas. Assim, temos
A 7, 2 =
7!
= 7 ⋅ 6 = 42
(7 − 2)!
classificações para os três primeiros lugares, em que
Ligeirinho aparece na primeira posição.
Esquematizando:
7!
Ligeirinho , 2o lugar , 3o lugar ⇒ A 7,2 =
= 7 ⋅ 6 = 42
(7 − 2)!
fixo
Matemática e suas Tecnologias
A7 , 2
Enem em fascículos 2013
Permutação simples e permutação com repetição
Teoricamente, todo problema de análise combinatória
pode ser resolvido usando-se apenas o Princípio Fundamental
da Contagem. Entretanto, o conhecimento antecipado dos
resultados de alguns problemas que surgirão com relativa
frequência será providencial, facilitando as resoluções de outros
problemas mais sofisticados.
Vejamos, agora, alguns problemas que valem a pena
conhecer seus resultados:
Problema das filas formadas por n objetos distintos
“De quantos modos podemos colocar em fila 4
pessoas?”
Para ocupar o primeiro lugar na fila, temos 4
possibilidades; para o segundo lugar, 3 possibilidades; para o
P3
RJT , E1 , E2 , E3 , E4 , E5 ⇒ P3 ⋅ P6 = 3! ⋅ 6! = 4320 (filas com
P6
os três juntos)
40320 – 4320 = 36000 (filas em que os três não ficam juntos)
Problema das filas formadas por n objetos, sendo
alguns repetidos
“De quantos modos podemos colocar 7 bolas de sinuca em fila,
sendo todas distintas, exceto três delas que são idênticas?”
Solução:
Se as bolas fossem todas diferentes, teríamos 7! filas.
Para qualquer uma dessas filas, se permutarmos apenas as
bolas idênticas, temos 3! filas repetidas, ou seja, para cada 3!
filas, devemos contar apenas uma. Daí, o número correto de
7!
filas é = 840 .
3!
A solução desse problema é uma permutação de
7!
.
3!
terceiro, 2 e, para o quarto e último lugar, 1 possibilidade. Daí,
7 objetos, com repetição de 3, cuja representação é P73 =
usando o P.F.C., temos:
Se fossem 10 bolas diferentes apenas nas cores, sendo 4
azuis, 3 vermelhas, 2 verdes e 1 amarela, a solução seria
uma permutação de 10 objetos, com repetição de 4, 3 e 2,
4 · 3 · 2 · 1 = 4! filas (24 filas)
De modo análogo, com n objetos distintos, podemos
formar n · (n – 1) · (n – 2) · ... · 2 · 1 = n! filas diferentes.
As filas formadas são agrupamentos ordenados (diferem pela
ordem) e são chamadas de permutações simples dos n objetos.
O número total de permutações (de filas) é indicado por:
cuja representação é P104,3,2 =
necessário usar).
Em geral, o número de permutações de n objetos, dos
quais α1 são iguais a X1, α2 são iguais a X2, α3 são iguais a X3,
..., αK são iguais a Xk, é dado por:
Pn = n! (lê-se: permutação de n)
Pnα1, α2 , α3 ,..., αk =
Saiba: permutar n objetos, na prática, significa colocá-los
em fila e fazer todas as trocas possíveis nas posições, significa
obter todas as filas possíveis.
Com o conhecimento do resultado do número de
permutações simples, podemos resolver facilmente problemas,
tais como:
Exemplo 1:
Quantas filas diferentes podemos formar com 8 pessoas, se três
delas, Raquel, Júlia e Tomás, não podem ficar juntas (os três)?
Solução:
Temos um total de P8 = 8! filas, os três ficando juntos ou
não. Agora, supondo o grupo Raquel, Júlia e Tomás (RJT) uma só
pessoa, o número de maneiras delas ficarem juntas é P3 = 3! e o
número de modos de acomodar os seis elementos (o grupo RJT e
as outras 5 pessoas) na fila é P6 = 6!. Pelo P.F.C., temos 3! · 6! filas,
em que os três ficam juntos. Daí, temos 8! – 3! · 6! = 40320 – 4320
= 36000 filas, em que os três não ficam juntos.
Esquematizando:
R, J, T,E1,E2 ,E3 ,E4 ,E5 ⇒ P8 = 8! = 40320 ( total de filas )
P8
10
(note que 1! =1 não é
4! ⋅ 3! ⋅ 2!
n!
α1! ⋅ α2 ! ⋅ α3 ! ⋅ ... ⋅ αk !
Com o conhecimento do resultado do número de
permutações de n objetos, com repetição, podemos resolver
facilmente problemas, tais como:
Exemplo 1:
Quantos são os anagramas da palavra Papagaio que apresentam
as vogais em ordem alfabética?
Solução:
8!
= 3360.
3! ⋅ 2!
Para cada um desses anagramas, permutando só as vogais (A,
O número total de anagramas é P83,2 =
3
A, A, I, O), temos P5 =
5!
= 20 sequências diferentes de vogais, ou
3!
seja, para cada 20 anagramas da palavra Papagaio somente um
tem as vogais em ordem alfabética. Daí, o número procurado
8!
P83,2 3! ⋅ 2! 3360
de anagramas é: 3 =
=
= 168 .
5!
P5
20
3!
Permutação circular e o uso da permutação com
repetição na resolução de problemas diversos
“De quantos modos distintos podemos formar uma mesa de
buraco com quatro pessoas?”
Matemática e suas Tecnologias
3
Enem em fascículos 2013
Solução:
Se fossem filas, teríamos
A
4! = 24 filas distintas. Na mesa de
QUESTÃO COMENTADA
buraco, no entanto, o que importa
é a posição relativa dos jogadores
C-1
H-2
Compreendendo a Habilidade
– Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
B
D
entre si.
Na mesa formada ao lado,
•
por exemplo, saindo de qualquer
No item Galeria de Secretários do portal da Secretaria de
Administração do Governo do Estado de Pernambuco
(www2.sad.pe.gov.br), há registro de 27 nomes de
secretários que dirigiram a secretaria desde 6/1960 até
12/2006. Considerando-se que se queira formar um
conjunto com 7 nomes escolhidos entre os 19 nomes de
secretários que dirigiram a secretaria no período de 6/1960
a 3/1990 e entre os 8 nomes que dirigiram a secretaria no
período de 4/1990 a 12/2006, a quantidade de maneiras
distintas para se selecionar esse conjunto de modo que
contenha exatamente um nome de secretário do primeiro
período especificado é igual a:
a) 19
b) 28
c) 47
d) 114
e) 532
C
jogador (letra) e escolhendo um
sentido para girar (horário), temos 4 filas: (ABCD), (BCDA),
(CDAB) e (DABC). Note que, nessas filas, existem 4 possibilidades
para começar, mas uma vez começada a fila, as outras letras
já ficam determinadas. Portanto, para cada 4 filas diferentes,
devemos contar uma única formação para se jogar buraco.
Sendo assim, o número de mesas formadas é
4!
= 3! = 6 .
4
Observação:
Cada uma das 6 formações obtidas é chamada de permutação
circular de 4 elementos e o número de permutações circulares
de 4 elementos, quando contadas em um só sentido, é dado por:
(PC)4 =
4!
= 3!
4
Comentário
1 no período de 6/1960 a 3/1990 x 6 no período de 4/1990
a 12/2006
Resumindo:
De modo geral, o número de permutações circulares de
n objetos, se consideradas equivalentes disposições que possam
coincidir por rotação, é dado por:
(PC)n =
19 ,1 x
8 ,6
=
19!
8!
19.18! 8.7.6!
= 19 x 28 = 532
x
x
=
(19 − 1)!.1! ( 8 − 6)!.6!
18!.1
2.1.6!
Resposta correta: E
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
n!
= (n − 1)!
n
Exemplo 1:
De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com
4 meninos e 4 meninas, de modo que os meninos e as meninas
se alternem?
Solução:
Colocando primeiramente as mulheres (M1, M2, M3, M4)
na roda, temos (PC)4 = (4 – 1)! = 6 modos de fazer isto. Entre cada
duas mulheres, agora, devemos colocar um homem. Para colocar
o primeiro homem (H1) na roda, existem 4 possibilidades; para o
segundo, 3; para o terceiro, 2 e, para o quarto, 1, ou seja, existem
P4 = 4! = 24 maneiras de dispor os 4 homens entre as mulheres.
Note que colocando-se os 4 homens numa certa posição
possível entre as mulheres já dispostas, qualquer permutação
que se faça entre os homens muda-se a posição relativa entre os
elementos do grupo, muda-se a roda. Assim, pelo P.F.C., existem
(PC)4 · P4 = 3! · 4! = 6 · 24 = 144 rodas de ciranda possíveis.
4
C C
C-1
H-3
Compreendendo a Habilidade
– Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
01. Um grupo de amigos formado por três meninos – entre
eles Caio e Beto – e seis meninas – entre elas Ana e Beatriz –,
compram ingressos para nove lugares localizados lado a
lado, em uma mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam
sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo
pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam
sentar-se juntos porque querem compartilhar do mesmo
pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas
querem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se
juntos. Com essas informações, o número de diferentes
maneiras que esses amigos podem sentar-se é igual a:
a) 1920
b) 1152
c) 960
d) 540
e) 860
Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2013
C-1
H-2
Compreendendo a Habilidade
– Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
02. Uma reunião no Ministério da Fazenda será composta
por seis pessoas, a Presidenta, o Vice-Presidente e quatro
Ministros. De quantas formas distintas essas seis pessoas
podem se sentar em torno de uma mesa redonda, de modo
que a Presidenta e o Vice-Presidente fiquem juntos?
a) 96
b) 360
c) 120
d) 48
e) 24
DE OLHO NO ENEM
A MÍDIA E A MEGA-SENA ACUMULADA
Entre todas as loterias existentes no Brasil, a Mega-Sena
é, ao menos em determinadas ocasiões, a que desperta o
maior interesse na população. Isso se deve ao fato de as regras
do jogo possibilitarem, de vez em quando, que as quantias
oferecidas como prêmio sejam bastante respeitáveis. Quando
isso ocorre, formam-se filas gigantescas nas casas lotéricas e os
jornais, o rádio e a televisão fazem matérias sobre o assunto,
que tratam desde as chances de que alguém ganhe o prêmio
máximo até o que o felizardo poderá fazer com todo aquele
dinheiro. Os professores que dão aulas de Probabilidade e de
Análise Combinatória são consultados sobre o funcionamento
do jogo e especialmente sobre a eventual existência de alguma
estratégia que melhore as chances de vitória do apostador. Este
artigo é um relato sobre as perguntas que me fizeram e sobre
as respostas que eu fui capaz de dar.
Embora eu acredite que a maioria dos leitores assim
como eu, já tenha tentado a sorte na Mega-Sena, vamos dar
uma breve descrição do jogo para atender aos leitores que,
ou por princípio, ou por serem mais inteligentes do que nós
jogadores, nunca arriscaram. Para apostar, você escolhe um
mínimo de seis e um máximo de quinze dezenas no conjunto
{ 01, 02,..., 60}. Cada aposta simples de seis dezenas custa
dois reais e, portanto, se você marca oito dezenas, estará
8
concorrendo com   = 28 jogos simples e essa aposta custará
6
cinquenta e seis reais. A Caixa Econômica Federal, que
administra o jogo, sorteia seis dezenas distintas e são premiadas
as apostas que contêm 4 (quadra), 5 (quina) ou todas as 6
(sena) dezenas sorteadas. Como é difícil que alguém acerte as
seis dezenas sorteadas, o prêmio é geralmente dividido entre
poucos acertadores. Se num dado concurso ninguém acerta as
seis dezenas, o prêmio fica acumulado para o concurso seguinte.
 60 
Existem  6  resultados possíveis para um sorteio da Mega-Sena.
 
Esse número é maior que 50 milhões (mais precisamente, ele é
igual a 50 063 860) e creio que o leitor concordará comigo que
só mesmo um grande otimista pode acreditar que vai ganhar
com uma única aposta.
As probabilidades de sucesso na Mega-Sena
A pergunta mais frequente:
1. Intuitivamente, o que significa ter uma chance
em cinquenta milhões?
Com o objetivo de fazer com que seus leitores entendam
o que significa essa probabilidade tão pequena, os jornalistas
pedem que façamos comparações com a possibilidade da
ocorrência de outros eventos. É curioso que as comparações
solicitadas quase sempre envolvem um evento auspicioso
(ganhar o prêmio máximo da Mega-Sena) com tragédias
tais como morrer em desastre de avião, ser atingido por um
raio ou morrer de câncer. A maior dificuldade em fazer essas
comparações está no fato de que nem todos os indivíduos da
população têm a mesma probabilidade de sofrer uma dessas
desgraças, enquanto todos os que apostam 6 dezenas têm
a mesma chance de acertar a Mega-Sena. Eu acredito que a
maneira mais fácil de fazer as pessoas entenderem é usando um
outro exemplo puramente aleatório. O número de habitantes do
Brasil é quase igual a três vezes o número de resultados possíveis
do sorteio. Se fosse realizado um sorteio de três prêmios entre
toda a população brasileira, a sua chance de ganhar um deles
seria igual à de ganhar o prêmio máximo da Mega-Sena com
um jogo de seis dezenas.
Flávio Wagner Rodrigues. IME-USP.
OBJETO DO CONHECIMENTO
Probabilidade
Probabilidade I
Ao fazer o seguro de um automóvel, o corretor de
seguros traça o perfil do cliente. Automóveis cujo condutor
principal é homem, tem entre 18 e 25 anos e deixa o carro fora
de estacionamento fechado têm seguro bem mais caro, embora
não seja certo, mas com esse perfil a chance de ocorrer sinistro
ou furto do veículo é considerável.
Um dado honesto foi lançado nove vezes e em todas elas
ocorreu o número 5. João apostou que no décimo lançamento
também daria o número cinco. Embora lançado nas mesmas
condições, nada garante que João ganhará a aposta.
A necessidade de se quantificar os riscos de um
seguro e de avaliar as chances de ganhar em jogos de azar
deram origem ao ramo da Matemática que cria, desenvolve
e, em geral, pesquisa modelos que podem ser utilizados para
estudar experimentos (ou fenômenos) aleatórios. Tal ramo
da Matemática recebe o nome de teoria das probabilidades.
Experimentos aleatórios são experimentos que repetidos sob
as mesmas condições podem produzir, por força do acaso,
resultados diferentes.
Matemática e suas Tecnologias
5
Enem em fascículos 2013
Espaço amostral e evento
Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados
possíveis de um experimento aleatório e é indicado pela letra
grega Ω (lê-se “ômega” ). Já evento é qualquer subconjunto
do espaço amostral. Por exemplo, um casal pretende ter três
filhos, sendo dois homens e uma mulher. Considerando H para
filho e M para filha, temos:
I. conjunto de todos os resultados possíveis para os três
nascimentos (espaço amostral):
Ω = {(H,H,H); (H,H,M); (H,M,H); (M,H,H); (H,M,M);
(M,H,M); (M,M,H); (M,M,M)}, cujo número de elementos
é n(Ω) = 8;
II. subconjunto de Ω desejado (evento):
E = {(H,H,M); (H,M,H); (M,H,H)}, cujo número de
elementos é n(E) = 3.
Se no exemplo anterior o espaço amostral é equiprovável,
a chance de cada evento elementar ocorrer é de uma em oito,
1 1 1 3
isto é, 1 . Já a chance do evento (E) ocorrer é + + = (três
8 8 8 8
8
possibilidades em oito possíveis).
Intuitivamente, quando o espaço amostral é equiprovável,
a probabilidade de um evento E ocorrer, P(E), é dada pela razão
entre o número de casos favoráveis e o número de casos
possíveis:
P (E ) =
n (E )
n(Ω)
=
número de casos favoráveis
número de casos possíveis
No exemplo citado, P(E) =
n(E) 3
= .
n( Ω) 8
Probabilidade
Probabilidade é um número que mede a chance de um
evento acontecer, é um número associado a um evento. Para
a definição da probabilidade de um evento (E) qualquer do
espaço amostral Ω = {a1, a2, ..., an), associaremos a cada evento
elementar {a}, um número real, indicado por P(a1), chamado de
probabilidade do evento elementar {a1}, tal que:
Exemplo 1:
Um dado, cujas faces estão numeradas de 1 a 6, respectivamente,
foi confeccionado de maneira que a probabilidade de uma face
de número par ocorrer é duas vezes mais provável que uma
face de número ímpar. Determine a probabilidade de ocorrer:
a) cada face.
b) um número primo.
Solução:
O espaço amostral desse experimento aleatório é
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, não sendo equiprovável. Chamando
a probabilidade de cada face de número ímpar de k, a
probabilidade de cada face de número par será 2k. Daí:
I. P({1}) = P({3}) = P({5}) = k e P({2}) = P({4}) = P({6}) = 2k;
II. P({1}) + P({2}) + ... + P({6}) = 1 ⇒ 3 · k + 3 · (2k) = 1 ⇒ k = 1 .
9
2
1
a) Portanto, P({1}) = P ({3}) = P({5}) = e P({2}) = P({4}) = P({6})= 9 .
9
b) Ocorrer número primo é o evento E = {2, 3, 5}. Daí:
6
I. O evento C, que coincide com o espaço amostral, é dito
evento certo e a sua probabilidade é igual a 1. Veja:
n(C) n
= = 1, ou seja, a probabilidade de o evento
n( Ω ) n
certo ocorrer é 100%.
II. O evento D = { } = ∅ (conjunto vazio) é dito
impossível e a sua probabilidade é igual a zero, veja:
P(C) =
P(D) =
n(D) 0
= = 0 , ou seja, a probabilidade do evento
n( Ω ) n
impossível ocorrer é 0%.
III. Os eventos A e B, tais que A ∩ B = ∅ (a interseção é o conjunto
vazio) e A ∪ B = Ω (a união é o espaço amostral), são ditos
eventos complementares e suas probabilidades são tais que
P(A) + P(B) = 1.
Interseção de eventos independentes
Dois eventos A e B são ditos independentes quando o
fato de ter ocorrido um deles não alterar a probabilidade do
outro ocorrer. Em outras palavras, a probabilidade do evento B
(ou A) ocorrer é a mesma, independentemente de B (ou A) ser
tomado como subconjunto do universo Ω ou como subconjunto
do universo B. Por exemplo, se um casal planeja ter três filhos, o
evento A: “o primeiro filho é homem” e o evento B: “o terceiro
filho é mulher” são eventos independentes.
A ∩ B é o evento que ocorre se, e somente se, os eventos
A e B ocorrerem simultaneamente. No exemplo anterior, A ∩ B é
o evento “o primeiro filho é homem e o terceiro filho é mulher”,
isto é, para ocorrer o evento A ∩ B, o primeiro filho tem que ser
homem e (e ao mesmo tempo) o terceiro tem que ser mulher.
Então, podemos calcular a probabilidade de ocorrer A ∩ B. Veja:
Note:
Ω = {(H,H,H); (H,H,M); (H, M, H); (M,H,H); (H,M,M); (M,H,M);
(M,M,H); (M,M,M)}
n( A ) 4 1
= =
n( Ω ) 8 2
n(B) 4 1
= =
B = {(H,H,M); (H,M,M); (M,H,M); (M,M,M)} ⇒ P(B) =
n( Ω ) 8 2
n( A ∩ B) 2 1
= =
A ∩ B = {(H,H,M); (H,M,M)} ⇒ P( A ∩ B) =
n( Ω )
8 4
A = {(H,H,H); (H,H,M); (H,M,H); (H,M,M)} ⇒P( A ) =
0 ≤ P{a1} ≤ 1, para todo i ∈ {1, 2, ..., n};
P(E) = P({2}) + P({3}) + P({5}) = 2k + k + k = 4k =
Evento certo, evento impossível e eventos
complementares
4
.
9
Observação:
Quando dois eventos A e B são independentes, uma outra
maneira de se calcular a probabilidade deles ocorrerem
simultaneamente (ou sucessivamente) é P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
1
1
No exemplo anterior, P( A ) = , P(B) = e A e B são independentes.
2
2
1 1 1
Então: P( A ∩ B) = P( A ) . P(B) = . = .
2 2 4
Exemplo 1:
Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo
amarelo, outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de
um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz
retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra a um jogador.
Qual a probabilidade de a face que o juiz ver ser vermelha e de
a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela?
Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2013
Solução:
Para o evento VA “escolha do cartão vermelho e
1
amarelo”, a probabilidade é P( VA ) = . Uma vez escolhido
3
o cartão VA, o evento B “juiz ver a face V e o jogador, a face A”
1 1 1
1
tem probabilidade P(B) = . Daí, P( VA ∩ B) = . = é a
3
2 6
2
probabilidade procurada.
QUESTÃO COMENTADA
Sendo A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral
Ω não vazio, A ∪ B (A união B) é o evento que ocorre quando
há ocorrência de A ou de B, isto é, quando ocorre apenas A ou
ocorre apenas B ou, ainda, ocorrem A e B ao mesmo tempo.
Temos dois casos a considerar para o cálculo da probabilidade
de ocorrer A ∪ B:
1) A ∩ B = ∅.
Nesse caso, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) e os eventos A e B são
ditos mutuamente exclusivos. Veja: Uma vez que A e B
são conjuntos disjuntos (A ∩ B = ∅), temos:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
2) A ∩ B ≠ ∅.
Nesse caso, há ocorrência simultânea dos e v e n t o s A e B e
a probabilidade de ocorrer (A ∪ B) é dada por P(A ∪ B) =
P ( A ) + P ( B ) – P ( A ∩ B ) . Ve j a : D a t e o r i a d o s
conjuntos, temos que:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
Como n(Ω) ≠ 0, podemos escrever:
– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística
e probabilidade.
Três amigas participam de um campeonato de arco e flecha.
Em cada tiro, a primeira das amigas tem uma probabilidade
de acertar o alvo de 3/5, a segunda tem uma probabilidade
de acertar o alvo de 5/6, e a terceira tem uma probabilidade
de acertar o alvo de 2/3. Se cada uma das amigas der um
tiro de maneira independente dos tiros das outras duas,
qual a probabilidade de pelo menos dois dos três tiros
acertarem o alvo?
a) 90/100
b) 71/100
c) 71/90
d) 50/100
e) 60/90
Comentário
Primeira
Ω
Terceira
B
A
acertar = 3
5
errar = 1 − 3 = 5 − 3 = 2
5
5
5
Segunda
n( A ∪ B) n( A ) n(B) n( A ∩ B)
=
+
−
⇒
n( Ω )
n( Ω ) n( Ω )
n( Ω)
P( A ∪ B) = P( A ) + P(B) − P( A ∩ B)
H-28
Compreendendo a Habilidade
•
União de eventos
C-7
acertar = 5
6
errar = 1 − 5 = 6 − 5 = 1
6
6
6
acertar = 2
3
errar = 1 − 2 = 3 − 2 = 1
3
3
3
I) Primeira errar e as outras duas acertarem:
1E
A
II) Segunda errar e as outras duas acertarem:
2E
n( A )
150 5
⇒ P( A ) =
=
n( Ω)
240 8
II. P(B) =
n(B)
80 1
⇒ P( A ) =
=
n( Ω)
240 3
III. P( A ∩ B) =
1A
3A
1
3
2
6
×
×
=
6
5
3
90
III) Terceira errar e as outras duas acertarem:
3E
Solução:
Como os 240 entrevistados (n(Ω)= 240) são igualmente
prováveis, temos:
I. P( A ) =
3A
2
5
2
20
×
×
=
5
6
3
90
B
Exemplo 1:
Realizada uma pesquisa sobre o consumo dos refrigerantes
A e B, em certo bairro de Fortaleza, constatou-se que dentre
as 240 pessoas entrevistadas, 150 consomem o refrigerante
A; 80, o refrigerante B e 30 consomem os dois refrigerantes.
Com o objetivo de checar a veracidade das informações
apresentadas, quem encomendou a pesquisa escolheu,
aleatoriamente, um dos entrevistados. Qual a probabilidade da
pessoa escolhida consumir a marca A ou a marca B, segundo a
pesquisa apresentada?
2A
1A
2A
1
3
5
15
×
×
=
5
5
6
90
IV) As três acertarem:
1A
2A
3A
3
5
2
30
×
×
=
5
6
3
90
n( A ∩ B)
30
1
⇒ P( A ∪ B) =
=
n( Ω )
240 8
Logo, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B) ⇒ P(A ∪ B) =
5 1 1
5
+ − ⇒ P( A ∪ B) = .
8 3 8
6
V) Prob. =
20
6
15 30 20 + 6 + 15 + 30 71
+
+
+
=
=
90 90 90 90
90
90
Resposta correta: C
Matemática e suas Tecnologias
7
Enem em fascículos 2013
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
C-1
H-2
H-28
C-7
Compreendendo a Habilidade
– Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística
e probabilidade.
03. Uma urna possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4 amarelas e 2 verdes.
Tirando-se simultaneamente 3 bolas, qual o valor mais próximo
da probabilidade de que as 3 bolas sejam da mesma cor?
a) 11,53%
b) 4,24%
c) 4,50%
d) 5,15%
e) 3,96%
C-7
H-29
Compreendendo a Habilidade
– Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como
recurso para a construção de argumentação.
O que você acha que o candidato deve fazer visando
maximizar a probabilidade de ganhar o carro? Você acha que ele
deve permanecer com a porta que escolhera inicialmente, deve
trocar de porta, ou tanto faz?
Convidamos você a pensar um pouco mais.
Fizemos então uma simulação. No computador,
realizamos uma série de 1000 experiências, arrumando os
bodes ao acaso e fazendo com que o animador, no caso de
haver dois bodes nas portas não escolhidas pelo candidato,
selecionasse ao acaso a porta para abrir. Determinamos então
quantas vezes o candidato ganharia o prêmio se adotasse a
estratégia de sempre trocar de porta. A resposta, para surpresa
de muitos, foi 667, o que fez com que o grupo do “deve trocar”
exclamasse “não disse?”
Chamemos os bodes de A e B e chamemos o carro de C.
A árvore de probabilidades a seguir mostra, no primeiro estágio,
a escolha inicial do candidato e, no segundo, o bode exibido
pelo animador. O terceiro estágio mostra a segunda escolha do
candidato.
1
A
04. O total de funcionários em uma repartição pública é igual
a 6. João e sua esposa trabalham nesta repartição em que
será formada uma comissão de 3 funcionários escolhidos
aleatoriamente. A probabilidade de que no máximo um
deles, João ou sua esposa, faça parte da comissão é:
1
a)
5
3
c)
5
3
e)
10
1/3
1
B
1/2 A
1/3
C
1/2
1/2
A
1/6
(1)
1/2
C
1/6
(2)
1/2
B
1/6
(3)
1/2
C
1/6
(4)
1/2
B
1/12
(5)
1/2
C
1/12
(6)
1/2
A
1/12
(7)
1/2
C
1/12
(8)
A
1/3
2
b)
5
4
d)
5
B
Observe que o candidato ganha trocando de porta
DE OLHO NO ENEM
nos casos (2) e (4), portanto, com probabilidade igual a
OS DOIS BODES
Em um programa de televisão, o candidato é solicitado a
escolher uma entre três portas fechadas. Atrás de uma delas, há
um prêmio, mais precisamente um carro, e atrás de cada uma
das outras duas, há um bode. Se você está pensando que esse é
um programa dominical de alguma estação de televisão brasileira,
vamos logo avisando que está enganado, trata-se de um programa
de televisão italiana.
Depois de o candidato ter escolhido a porta que deseja,
mas antes de abri-la, o animador do programa, que sabe onde
estão os bodes, abre uma das portas que não foram escolhidas e
mostra que há um bode atrás dela.
É claro que ele sempre pode fazer isso, pois, se atrás da
porta que o candidato escolheu há um bode, ainda há outro bode
atrás de uma das outras portas e, se atrás da porta escolhida pelo
candidato estiver o prêmio, atrás das outras portas há bodes e ,
nesse caso, o animador escolhe ao acaso uma dessas portas para
abrir.
Então, nesse momento, o candidato está com a mão na
maçaneta de uma porta fechada, rezando para que ali esteja o
carro; há uma outra porta fechada e há uma porta aberta que
mostra um bode. Aí então se faz uma crueldade com o candidato.
O animador pergunta ao candidato se ele deseja trocar a porta que
ele havia escolhido pela outra porta que ainda permanece fechada.
2
.
6
O candidato ganha sem trocar de porta nos casos (6) e (8), com
probabilidade igual a
8
B
1
.
6
Logo, a probabilidade de ganhar trocando de porta é o
dobro da probabilidade de ganhar sem trocar. Então, a melhor
estratégia é sempre trocar de porta!
A árvore mostra também que, depois de exibido o
bode, a probabilidade de ganhar o carro é igual a
1
, soma
2
das probabilidades dos casos (2), (4), (6) e (8). A probabilidade
de ganhar o carro antes de ser exibido o bode é igual a
1
.
3
OBJETO DO CONHECIMENTO
Estatística
A Estatística é uma área do conhecimento que utiliza
teorias probabilísticas para explicação de eventos, estudos
e experimentos. Tem por objetivo obter, organizar e analisar
dados, determinar as correlações que apresentem, tirando delas
suas consequências para descrição e explicação do que passou
e previsão e organização do futuro.
Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2013
A Estatística é também uma ciência e prática de
desenvolvimento de conhecimento humano através do uso de
dados empíricos. Baseia-se na teoria estatística, um ramo da
Matemática aplicada. Na teoria estatística, a aleatoriedade e
incerteza são modeladas pela teoria da probabilidade. Algumas
práticas estatísticas incluem, por exemplo, o planejamento, a
sumarização e a interpretação de observações, porque o objetivo
da Estatística é a produção da “melhor” informação possível
a partir dos dados disponíveis. Alguns autores sugerem que a
Estatística é um ramo da teoria da decisão.
Estuda-se Estatística para aplicar seus conceitos como
auxílio nas tomadas de decisão diante de incertezas, justificando
cientificamente as decisões. Os princípios estatísticos são
utilizados em uma grande variedade de situações – no
governo, nos negócios e na indústria, bem como no âmbito
das ciências sociais, biológicas e físicas. A Estatística presta-se a
aplicações operacionais e de pesquisas, sendo efetiva não só em
experimentos de laboratório, mas também em estudos fora dele.
A Estatística compreende o planejamento e a execução
de pesquisas, a descrição e a análise dos resultados e a
formulação de predições com base nesses resultados.
Distribuição de frequências com dados agrupados
Um radar, instalado num trecho de uma rodovia,
registrou as velocidades de 50 veículos. As velocidades, em
quilômetros por hora, estão indicadas neste quadro:
62
123
95
123
81
123
60
72
86
108
109
84
121
60
128
77
91
51
100
63
104
107
63
117
116
69
116
82
95
72
94
84
123
52
90
100
79
101
98
110
79
92
73
83
74
125
56
86
98
76
Se tentássemos elaborar o quadro de distribuição
de frequências utilizando esses dados, pouco ou nada poderíamos concluir, pois eles são muito diferentes. Nesses casos,
é interessante agrupá-Ios em classes ou intervalos, escolhendo-se
convenientemente a amplitude dos intervalos.
Estatística é o campo do conhecimento científico que trata da
coleta e análise de dados com o fim de se obter conclusões para
tomada de decisões.
No exemplo, podemos agrupar as velocidades em
intervalos de amplitude 10. Como o menor valor é 51 km/h, a
primeira classe será [50, 60[.
Obtemos, assim, o seguinte quadro de
frequências:
A Estatística pode ser dividida em:
• Estatística Descritiva ou Dedutiva;
Classe
Velocidade(km/h)
fi
fr (%)
• Inferência Estatística ou Indutiva.
1
[50, 60[
3
6
2
[60, 70[
6
12
3
[70, 80[
8
16
4
[80, 90[
7
14
5
[90, 100[
8
16
6
[100, 110[
7
14
7
[110, 120[
4
8
8
[120, 130[
7
14
50
100%
Tipos de Variáveis
Algumas variáveis como sexo, grau de instrução e estado
civil apresentam como possíveis realizações uma qualidade (ou
atributo) do indivíduo pesquisado. São denominadas de Variáveis
Qualitativas. Outras variáveis tais como tempo na empresa, idade
e salário apresentam como possíveis valores, números resultantes
de uma contagem ou mensuração. Estas são chamadas Variáveis
Quantitativas.
Total
Classificação das variáveis em Estatística
Variáveis
Qualitativas
(atributos)
Nominais
Ordinais
ExemExemplos:
plos:
– grau de
instrução;
– sexo;
– cor;
– status
– religião.
social.
Quantitativas
(numéricas)
Discretas
Contínuas
Exemplos:
– nº de funcionários;
– quantidade de
alunos.
Exemplos:
– peso;
– altura;
– salário.
A velocidade máxima permitida no referido trecho da
estrada é 90 km/h. Como há uma tolerância de 10 km/h, os
veículos só serão multados a partir de 100 km/h. Quantos por
cento desses veículos foram multados?
Observando o quadro, temos:
• 7 veículos com velocidade no intervalo [100, 110[
• 4 veículos com velocidade no intervalo [110, 120[
• 7 veículos com velocidade no intervalo [120, 130[
18 veículos foram multados
Matemática e suas Tecnologias
9
Enem em fascículos 2013
Observação:
O ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais é
denominado ponto médio do intervalo. Por exemplo, a velocidade
dos veículos na classe 5 [90, 100[ pode ser representada por:
90 + 100
x5 =
= 95 km / h
2
O intervalo real [a, b[ também é representado, em Estatística, pela
b.
notação a
Histograma de frequências
Quando se trata da representação gráfica de distribuição
de frequências com dados agrupados, vamos utilizar um novo
tipo de gráfico, denominado histograma de frequências
absolutas.
Histograma é um gráfico formado por um conjunto
de colunas retangulares. No eixo das abscissas, marcamos as
classes, cujas amplitudes correspondem às bases dos retângulos.
No eixo das ordenadas, marcamos as frequências absolutas,
que correspondem às alturas dos retângulos. Os pontos médios
das bases dos retângulos coincidem com os pontos médios dos
intervalos das classes.
Considerando a distribuição de frequências das
velocidades do exemplo anterior, dos 50 veículos examinados
na rodovia, temos:
Qual foi a média diária de livros vendidos durante essa
semana?
Para resolver esse problema, devemos fazer:
28 + 23 + 22 + 27 + 25 + 13 138
=
= 23 .
6
6
O número 23 é chamado média aritmética dos números
28, 23, 22, 27, 25 e 13.
Isso significa que, se a venda diária dessa semana fosse
sempre a mesma, ou seja, 23 livros por dia, obteríamos o mesmo
total de livros vendidos: 138.
Assim, na quarta e no sábado, a venda da livraria foi
abaixo da média, enquanto na segunda, quinta e sexta foi
acima da média.
Média aritmética (x) dos valores x1, x2, x3, ..., xn é o
quociente entre a soma desses valores e o seu número total n:
x=
x1 + x 2 + x 3 + ... + xn
n
Média aritmética ponderada
A tabela a seguir mostra a distribuição dos salários de uma empresa.
Salário (em R$)
600
900
1.200
1.800
4.500
Total
Número de funcionários
12
7
5
6
8
38
Qual a média salarial dos funcionários dessa empresa?
Observando a tabela, a média salarial x desses
funcionários pode ser calculada da seguinte forma:
600 · 12 + 900 · 7 + 1.200 · 5 + 1.800 · 6 + 4.500 · 8
=
12 + 7 + 5 + 6 + 8
66.300, 00
= 1.744, 73
=
38
x=
fi
8
7
6
5
4
3
2
1
50
60
70
80
90
100
110
120
Velocidade (km/h)
130
Observe que sobre cada um dos intervalos foi construído
Portanto, a média salarial dos funcionários dessa
empresa é R$ 1.744,73.
Essa média é conhecida como média aritmética
ponderada e o número de vezes que o salário se repete é
denominado peso.
A média aritmética ponderada facilita o cálculo de
médias quando há valores que se repetem várias vezes. Nesse
caso, multiplicamos os valores pelo número de vezes (peso)
que eles ocorrem.
n
um retângulo de área proporcional à frequência absoluta
respectiva.
x=
x1f1 + x 2f2 + ... + xnfn
ou x =
f1 + f2 + ... + fn
Medidas de tendência central
i= 1
n
∑ fi
i= 1
Mediana (Md)
Média aritmética
Acompanhe a situação a seguir.
Uma livraria vende a seguinte quantidade de livros de
literatura durante uma certa semana:
Segunda
Terça
Quarta
Quinta
Sexta
Sábado
28
23
22
27
25
13
10
∑ xifi
As nove classes de 3ª série do ensino médio de uma escola têm,
respectivamente: 37, 28, 40, 41, 45, 37, 37, 41 e 44 alunos.
Colocando esses dados em ordem crescente:
28, 37, 37, 37,
↓
4 valores
Matemática e suas Tecnologias
40,
↓
mediana
41, 41, 44, 45,
↓
4 valores
Enem em fascículos 2013
A distribuição tem um número ímpar (9) de dados. Há
quatro valores à esquerda de 40 e quatro valores à direita de 40.
Dizemos que o valor central dessa distribuição, 40, é a mediana.
Indicamos:
Md = 40
Observe que o número de irmãos varia entre 0 e 5 e o
número que aparece mais vezes é o 2, isto é, 13 alunos têm
2 irmãos. Dizemos que 2 é a moda desse conjunto de valores
e indicamos:
Mo = 2
O valor que ocupa a posição central de um conjunto de valores,
colocados em ordem crescente ou decrescente de
grandeza, é chamado mediana.
E se o conjunto tiver um número par de elementos?
Aí a história é outra. Vejamos. Se nosso conjunto for o seguinte:
{10, 20, 30, 40, 50, 60}
Quantos elementos há? Seis elementos. Temos, pois:
n = 6. Um número par de elementos! Sempre que isso ocorrer,
ou seja, sempre que houver um número par de elementos no
conjunto, significa que haverá duas posições centrais!
Estas posições centrais poderão ser encontradas da
seguinte forma:
⇒ 1ª Posição Central: (n/2)
⇒ 2ª Posição Central: a vizinha posterior.
Nesse caso, em que n = 6, teremos:
⇒ 1ª Posição Central: (n/2) = 6/2 = 3ª Posição!
⇒ 2ª Posição Central: a vizinha posterior = 4ª Posição!
As duas posições centrais estão, portanto, identificadas.
Resta descobrir quais são os dois elementos que as ocupam e
vejam o que será feito para calcularmos a mediana. Teremos:
{10, 20, 30, 40, 50, 60}
Moda de um conjunto de valores é o valor que aparece
um maior número de vezes, ou seja, é o valor de maior
frequência absoluta.
Um conjunto de valores pode ter uma só moda, duas
modas, três modas etc., ou nenhuma moda. Para ilustrar,
observe as notas de recuperação em Português obtidas por três
classes de uma escola e suas respectivas modas:
Classe
Notas
Moda
3º A
4, 5, 6, 7, 8, 8, 9
8
3º B
3, 5, 6, 6, 7, 7, 9
6e7
3º C
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
não tem
Medidas de dispersão
Para caracterizar um conjunto de dados em Estatística,
nem sempre são suficientes a média, a moda e a mediana.
Em alguns casos, temos de recorrer a outros parâmetros,
que são chamados medidas de dispersão. Vamos estudar três
dessas medidas: desvio médio, variância e desvio padrão.
Desvio médio (dm)
4ª Posição ⇒ 40
3ª Posição ⇒ 30
Md = (30 + 40) /2
Md = 35
Vamos considerar o quadro seguinte, que nos mostra
as notas de Matemática de um aluno durante um ano letivo:
Ou seja, se n é um número par, descobriremos quais
são os dois elementos que ocupam as duas posições centrais,
somaremos esses elementos e dividiremos o resultado desta
soma por dois. Assim, chegaremos à mediana do conjunto! Esse
valor 35 não é um dos elementos! E, no entanto, é a mediana!
Moda (Mo)
Feita uma pesquisa para saber o número de irmãos
que cada um dos 30 alunos de uma classe possui, obteve-se o
seguinte quadro:
0, 2, 3, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 2, 2, 3,
4, 2, 2, 3, 1, 3, 2, 5, 2, 4, 4
Bimestre
1º
2º
3º
4º
Notas
5
8
6
9
Vamos calcular a média aritmética desse aluno:
x=
5 + 8 + 6 + 9 28
=
=7
4
4
Calculemos, agora, as diferenças entre cada uma das
notas e a média. Essas diferenças são chamadas desvios para
a média ( xi − x ) :
•
•
•
•
x1 − x = 5 − 7 = −2
x 3 − x = 6 − 7 = −1
x2 − x = 8 − 7 = 1
x4 − x = 9 − 7 = 2
Fazendo a contagem, obtemos a tabela:
Número de irmãos
Frequência absoluta
0
3
1
6
2
13
3
4
4
3
5
1
A média aritmética dos valores absolutos dos desvios para a
média é uma medida de dispersão chamada desvio médio,
que se indica por dm.
n
dm =
dm =
∑ xi − x
i=1
n
x1 − x + x 2 − x + x 3 − x + x 4 − x
Matemática e suas Tecnologias
4
=
−2 + 1 + −1 + 2
4
=
6
= 1,5
4
11
Enem em fascículos 2013
Variância (Va)
Daí:
O valor que corresponde à média aritmética dos
quadrados dos desvios em relação à média recebe o nome de
variância, valor esse que se indica por Va.
H = 45 – M
188
15
∑(H) + ∑(M) 188
=
H+M
15
13H + 12M 188
=
45 3
15 1
13H + 12M = 564
n
Va =
I. H + M = 45 ∴
∑ fi ( xi − x )2
II. X Total =
i= 1
n
∑ fi
i= 1
No mesmo exemplo:
(x − x)
(x − x)
2
1
3
2
( x − x ) = (1)
( x − x ) = (2)
2
= ( −2)2 = 4
2
2
= ( −1)2 = 1
4
2
=1
2
=4
Desvio padrão (s)
s=
XM = 12
∑(M)
= 12
M
∑(M) = 12M
Substituindo:
13(45 − M) + 12M = 564
585 − 13M + 12M = 564
585 − 564 = M
M = 21 e H = 45 − M
H = 45 − 21
H = 24
Por tan to :
H × M = 21 × 24
= 504
4 + 1+ 1+ 4 10
Va =
=
= 2,5
4
4
A raiz quadrada da variância chama-se desvio padrão do
conjunto de dados, valor que representamos por s.
Cálculo adicional:
i) XH = 13
ii)
∑(H)
= 13
H
∑(H) = 13H
Resposta correta: C
Va
No mesmo exemplo:
s = 2,5 = 1,58
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Então, para as notas do aluno considerado, temos:
• média aritmética: x = 7
• variância: Va = 2,5
• desvio médio: dm = 1,5
• desvio padrão: s = 1,58
QUESTÃO COMENTADA
C-7
C-7
H-27
Compreendendo a Habilidade
– Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um
conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados
agrupados (não em classes) ou em gráficos.
•
(Uece/2012.1) A média aritmética das idades dos 45 alunos do
188
. Se a média aritmética das idades
5° Ano de um colégio é
15
das meninas é 12 anos e a dos meninos é 13 anos, então, o
produto do número de meninos pelo número de meninas é:
Obs.: Considere as idades dos alunos em número inteiro de anos.
Por exemplo, se a idade de João é 12 anos, 7 meses e 4 dias a
idade a ser considerada é 12 anos.
a) 494
d) 406
b) 500
e) 420
c) 504
Comentário
Vamos definir
•
•
•
•
Σ(H) = Somatório das idades, em anos, dos alunos do sexo masculino.
Σ(M) = Somatório das idades, em anos, dos alunos do sexo feminino.
H = número de alunos do sexo masculino.
M = número de alunos do sexo feminino.
12
H-29
Compreendendo a Habilidade
– Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como
recurso para a construção de argumentação.
05. (Enem/2012) A tabela a seguir mostra a evolução da receita
bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas
(ME) que se encontram à venda.
ME
2009
(em milhares
de reais)
2010
(em milhares
de reais)
2011
(em milhares
de reais)
Alfinetes V
200
220
240
Balas W
200
230
200
Chocolates X
250
210
215
Pizzaria Y
230
230
230
Tecelagem Z
160
210
245
Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas
na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita bruta
anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe
as duas empresas de maior média anual.
As empresas que este investidor escolhe comprar são:
a) Bala W e Pizzaria Y.
b) Chocolates X e Tecelagem Z
c) Pizzaria Y e Alfinetes V.
d) Pizzaria Y e Chocolates X.
e) Tecelagem Z e Alfinetes V.
Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2013
C-7
H-27
Corpo da tabela
Compreendendo a Habilidade
– Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um
conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados
agrupados (não em classes) ou em gráficos.
06. Um produtor de café irrigado em Mina Gerais recebeu
um relatório de consultoria estatística, constando, entre
outras informações, o desvio padrão das produções de
uma safra dos talhões de sua propriedade. Os talhões têm
a mesma área de 30 000 m2 e o valor obtido para o desvio
padrão foi de 90 kg/talhão. O produtor deve apresentar
as informações sobre a produção e a variância dessas
produções em sacas de 60 kg por hectare (10 000 m2).
A variância das produções dos talhões expressa em (saca/
hectare)2 é:
a) 20,25
b) 4,50
c) 0,71
d) 0,50
e) 0,25
É o conjunto de linhas e colunas que contém informações sobre
a variável em estudo.
a) Cabeçalho da coluna: parte superior da tabela que
especifica o conteúdo das colunas.
b) Coluna indicadora: parte da tabela que especifica o
conteúdo das linhas.
c) Linhas: retas imaginárias que facilitam a leitura, no
sentido horizontal, de dados que se inscrevem nos seus
cruzamentos com as linhas.
d) Casa ou Célula: espaço destinado a um só número.
e) Total: deve ser sempre destacado de alguma forma.
f) Laterais da tabela: não devem ser fechadas. Caso as
feche, passa a ser chamada de “quadro”.
g) Número: preferencialmente utilizar separador de 1000
(por exemplo: 1.854.985 ao invés de 1854985).
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
DE OLHO NO ENEM
C-1
NORMAS PARA A CONSTRUÇÃO DE
TABELAS
Tabelas estatísticas
Um dos objetivos da Estatística é sintetizar os valores
que uma ou mais variáveis podem assumir para que tenhamos
uma visão global da variação das mesmas.
H-2
C-1
TÍTULO DA TABELA
– Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
01. Um anagrama de uma palavra é obtido trocando-se a
ordem de suas letras, não importando se o resultado tem
ou não significado em nosso idioma. Colocando em ordem
alfabética todos os anagramas da palavra PROVA, a posição
ocupada pela palavra PROVA é a:
b) 63a
a) 62a
a
c) 64
d) 65a
a
e) 66
Elementos de uma tabela
A tabela se apresenta da seguinte forma:
Compreendendo a Habilidade
H-2
Compreendendo a Habilidade
– Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
02. Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou
seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também,
que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão
numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam
determinadas por estes sete pontos é igual a:
a) 24
b) 28
c) 15
d) 16
e) 32
CORPO DA TABELA
RODAPÉ
Exemplo:
Tabela 1 – Produção de Café Brasil – 1991 a 1995
Anos
Produção (1000 t)
1991
2535
1992
2666
1993
2122
1994
3750
1995
2007
C-1
IBGE
Título da tabela
Conjunto de informações, as mais completas possíveis,
respondendo às perguntas: O quê?, Quando? e Onde?,
localizado no topo da tabela, além de conter a palavra “Tabela”
e sua respectiva numeração.
H-2
Compreendendo a Habilidade
– Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
03. Um estudo indica que, nas comunidades que vivem em
clima muito frio e com uma dieta de baixa ingestão de
gordura animal, a probabilidade de os casais terem filhos do
sexo masculino é igual a 1 . Desse modo, a probabilidade
4
de um casal ter dois meninos e três meninas é igual a:
45
37
b)
a)
216
64
1
135
d)
c)
64
512
9
e)
16
Matemática e suas Tecnologias
13
Enem em fascículos 2013
H-28
C-7
ENTRADA
Compreendendo a Habilidade
– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística
e probabilidade.
ISAAC
Figura II
1
3
2
1
1
A probabilidade de se retirar dessa urna, aleatoriamente,
uma cartela contemplando a configuração da figura II,
com a exigência adicional de que cada coluna (vertical) e
cada um dos subquadrados destacados contenham todos
os algarismos (1, 2, 3 e 4) é:
1
1
b)
a)
16
⋅
4
! 4! 4!
12 ⋅ 4!4!4!
1
c) 18 ⋅ 4!4!4!
Compreendendo a Habilidade
H-2
H-28
C-7
1
20 ⋅ 4!4!4!
1
4! 4! 4! 4!
e)
C-1
d)
– Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística
e probabilidade.
05. Uma lanchonete prepara sucos de 3 sabores: laranja, abacaxi
e limão. Para fazer um suco de laranja, são utilizadas 3 laranjas
e a probabilidade de um cliente pedir esse suco é de 1/3.
Se, na lanchonete, há 25 laranjas, então a probabilidade de
que somente, para o décimo cliente, não haja mais laranjas
suficientes para fazer o suco dessa fruta é:
a) 1
c)
e)
C-7
1
38
b)
d)
C-7
SAÍDA
Cristais
c)
1
35
d)
1
28
e)
1
21
H-28
Compreendendo a Habilidade
– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística
e probabilidade.
3
2
Compreendendo a Habilidade
– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística
e probabilidade.
06. O diagrama a seguir mostra uma sala do jogo Os Labirintos
da Simetria. Isaac, o herói do jogo, entra na sala por
um portão no extremo esquerdo da sala e precisa sair
pelo portão que está no extremo direito da sala e que
inicialmente está fechado.
14
1
39
2
37
H-28
b)
1
39
Corrente de ar
No corredor entre os dois portões há sete cristais, cada
um com uma cor do arco-íris: Vermelho, Laranja, Amarelo,
Verde, Azul, Índigo e Violeta. A cada partida as posições
dos cristais são sorteadas, com igual probabilidade para
cada uma das ordens possíveis. Para que o portão de saída
se abra, Isaac precisa tocar os sete cristais exatamente na
ordem acima. Na sala há uma corrente de ar da esquerda
para a direita. Assim, Isaac pode mover-se facilmente da
esquerda para a direita, mas para mover-se da direita para a
esquerda ele precisa acionar as suas Hélices Mágicas. Cada
vez que ele aciona as Hélices ele gasta uma carga. Para
tocar um cristal, Isaac deve desligar as Hélices e se depois
de tocar um cristal ele precisar se mover novamente para
a esquerda ele precisará gastar outra carga. Assim, por
exemplo, se num jogo a posição dos cristais for:
Amarelo – Laranja – Índigo – Verde – Violeta – Vermelho
– Azul, então Isaac chegará gratuitamente ao cristal
Vermelho, gastará uma carga para voltar até o Laranja e
uma segunda para voltar até o Amarelo. Depois disso, ele
se moverá gratuitamente até o Verde e daí até o Azul. Isaac
gastará uma terceira carga para voltar até o Índigo e depois
se moverá gratuitamente até o Violeta e de lá para o portão
de saída, finalmente aberto. Neste exemplo, para passar
pela sala, Isaac gastou três cargas. Considerando agora uma
sala com cristais em posições sorteadas aleatoriamente, a
probabilidade de que Isaac precise gastar exatamente uma
carga para passar pela sala, é:
1
a) 42
04. Uma urna contém todas as cartelas, do tipo da figura I,
totalmente preenchidas com os algarismos 1, 2, 3 e 4,
de forma que cada linha (horizontal) contempla todos os
quatro algarismos.
Figura I
Corrente de ar
07. Em uma população de aves, a probabilidade de um
1
animal estar doente é
. Quando uma ave está doente,
25
1
a probabilidade de ser devorada por predadores é
, e,
4
quando não está doente, a probabilidade de ser devorada
1
. Portanto, a probabilidade de uma ave
por predadores é
40
dessa população, escolhida aleatoriamente, ser devorada
por predadores é de:
a) 1,0%
b) 2,4%
c) 4,0%
d) 3,4%
e) 2,5%
Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2013
C-6
H-25
a)
b)
c)
d)
e)
Compreendendo a Habilidade
– Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
08. Observe os gráficos a seguir e responda.
“A vida em um ponto de bala”
“Em meio à onda de banditismo, o cidadão comum
enfrenta o dilema: Devo ter uma arma ou não?”
Pesquisa feita pelo Instituto Vox Populi, conforme tabela
abaixo, constatou que existem muitas armas nas mãos dos
brasileiros.
QUEM TEM ARMA
C-6
1180000
2500000
3000000
1680000
2587500
H-26
Compreendendo a Habilidade
– Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como
recurso para a construção de argumentos.
09. Dois torneiros mecânicos, Paulo e João, concorrendo a uma
vaga em uma metalúrgica, submeteram-se ao seguinte
teste de precisão: cada um deles construiu quatro rodas de
ferro, que deveriam ter 5 cm de diâmetro. A tabela abaixo
descreve o desempenho de cada um.
Pesquisa Vox Populi* mostra que, de
cada quartoze brasileiros, um possui arma
Veja os números (em %)
tem
arma
7
não
tem
não
respondeu
90
3
Paulo
João
1ª roda
Diâmetro (em cm)
4,5
4,4
2ª roda
Diâmetro (em cm)
5,2
5,3
3ª roda
Diâmetro (em cm)
5,2
5,0
4ª roda
Diâmetro (em cm)
5,1
5,3
Média dos
diâmetros ( x )
5,0
5,0
Desvio médio
Absoluto dos
Diâmetros
0,25
0,3
QUEM TEM ARMA DIZ QUE:
usa para
defesa pessoal
já foi
assaltado
é um costume
de família
usa por
outros motivos
não revelou
53
16
10
Como os diâmetros médios foram iguais, o critério de
desempate será a regularidade, isto é, quem teve o
desempenho mais regular merece a vaga. Com base nos
dados apresentados na tabela acima, conclui-se que deve
ser escolhido para vaga o candidato:
a) João, pois foi o único que conseguiu construir uma roda
do diâmetro exato.
b) Paulo, por apresentar maior dispersão.
c) João, por apresentar maior dispersão .
d) Paulo, por apresentar menor dispersão.
e) João, por apresentar menor dispersão.
16
3
QUEM NÃO TEM ARMA DIZ QUE:
já pensou
em ter uma
não pensa
em ter uma
não
respondeu 1
14
85
C-7
H-30
Compreendendo a Habilidade
– Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos
de estatística e probabilidade.
* Pesquisa realizada em São Paulo, Rio de Janeiro
e Belo Horizonte, com 1465 entrevistas
Sabendo que a população do Brasil é de aproximadamente
150 milhões de habitantes, o número aproximado de
brasileiros que possuem arma e já foram assaltados é:
10. Para decidir por um de dois modelos de lâmpada um
fabricante realiza um teste, com 5 exemplares de cada
modelo, medindo o tempo de uso (em horas) sem que as
lâmpadas queimem. Os dados obtidos foram postos na
tabela seguir.
Matemática e suas Tecnologias
15
Enem em fascículos 2013
TEMPO DE USO ININTERRUPTO, EM HORAS
Modelo
A
B
Lâmpada 1
2000
2000
Lâmpada 2
1800
2000
Lâmpada 3
1600
1500
Lâmpada 4
2000
1500
Lâmpada 5
1800
2200
Como os dois modelos apresentaram a mesma média de
duração, o fabricante resolveu optar pelo modelo “mais
confiável”, isto é, aquele cujo desempenho foi mais regular.
Comparando os dados da tabela é correto inferir que:
a) o modelo de lâmpada a ser escolhido é o A, pois possui
menor média.
b) o modelo de lâmpada a ser escolhido é o B, pois possui
mediana e média mais próximas entre si.
c) ambos os modelos possuem desempenho idênticos, sendo
portanto indiferente a escolha de qualquer modelo.
d) o modelo de lâmpada a ser escolhido é o A, pois possui
menor desvio-médio absoluto.
e) o modelo de lâmpada a ser escolhido é o B, pois possui
menor desvio-médio absoluto.
ANOTAÇÕES
GABARITOS
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01
02
03
04
05
06
a
d
e
d
d
e
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01
02
03
04
05
c
d
d
a
e
06
07
08
09
10
a
d
d
d
d
Expediente
Supervisão Gráfica: Andréa Menescal
Supervisão Pedagógica: Marcelo Pena
Gerente do SFB: Fernanda Denardin
Coordenação Gráfica: Felipe Marques e Sebastião Pereira
Projeto Gráfico: Joel Rodrigues e Franklin Biovanni
Editoração Eletrônica: Erbínio Rodrigues
Ilustrações: Erbínio Rodrigues e João Lima
Revisão: Kelly Gurgel
OSG.: 73714/13
16
Matemática e suas Tecnologias