11 - Análise Dimensional e Semelhança Dinâmica 11.1 Análise

1 11 ‐ Análise Dimensional e Semelhança Dinâmica 11.1 Análise Dimensional A Análise Dimensional é um método de redução do número e da complexidade das variáveis físicas envolvidas num determinado fenómeno físico. O princípio da Análise Dimensional é o Princípio da Homogeneidade Dimensional (PHD) que tem o seguinte enunciado: Todos os termos aditivos de uma equação física devem ter as mesmas dimensões físicas. A dimensão física de uma grandeza física A representa‐se por [A] ou seja ‘A’ entre parêntesis retos. As dimensões fundamentais usadas em termohidrodinâmica (conjunção da termodinâmica e da mecânica de fluidos) são: Massa (M), Comprimento (L), Tempo (T), e temperatura absoluta () ou seja: MLT, a que correspondem respectivamente as unidades m (metro), s (segundo), kg (kilograma) e K (kelvin) no Sistema Internacional de Unidades (SI). Por exemplo a dimensão física de pressão p é: [p] =[Força/área]=[massa][aceleração]/[área]=MLT‐2/L2=ML‐1T‐2. Em alternativa à massa pode usar‐se como grandeza fundamental a força (F=MLT‐2 , M=FL‐1T2), usada no sistema Anglo‐saxónico (English System) e que utiliza as dimensões fundamentais FLT. As unidades fundamentais do sistema Inglês são: libra‐força ( 1 lbf= 4.44822162 N) para força, pé (foot, 1 ft=0.3048 m) para comprimento, segundo (s) para tempo e graus Rankine (R, 1R=2/9 K) para temperatura absoluta. O equivalente para massa é: 1slug=1lbf/(ft s‐2)= 14.5939 kg. A aceleração da gravidade no English System vale g=32.174 ft/s2 enquanto que no SI vale g=9.81 ms‐2. Para uma grandeza A sem dimensões (adimensional), as dimensões representam‐se na forma [A]=1. Todas as grandezas devem ser expressas num sistema coerente de unidades ou seja devem corresponder a produtos de monómios (potências) das unidades fundamentais (ex ms‐2, J/(KgK) etc.) Tem‐se então o seguinte quadro com as dimensões e unidades do Sistema Internacional (SI) Grandeza Dimensões Dimensões (MLT) (FLT) Comprimento L L Tempo T T Massa M FL‐1T2
Área L2 L2 3 Volume L
L3 Velocidade LT‐1 LT‐1
‐2 Aceleração LT
LT‐2 Taxa de deformação T‐1 T‐1 Ângulo 1 (adim) 1 (adim) ‐1 Velocidade angular T
T‐1
‐2 Aceleração angular T
T‐2 Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires Unidades (SI) m (metro) s (segundo) kg (kilograma) m2
m3
ms‐1
ms‐2 (ms‐1)m‐1=s‐1 rad (radianos) s‐1=Hz (Hertz) s‐2=Hz2
2 Força Momento de Força Momento Linear Momento angular Momento de inércia Pressão, Tensão Viscosidade dinâmica Viscosidade cinemática Tensão superficial Energia,Trabalho, entalpia, energia livre Potência, Fluxo de energia e de calor Densidade e massa volúmica Caudal de massa Caudal de volume Temperatura Energia específica, entalpia específica, energia livre específica Energia, entalpia e energia livre por unidade de volume Calor específico Entropia Entropia específica Densidade de fluxo de energia e calor Condutividade térmica Difusibilidade térmica=Condutividade térmica/(entalpia por unidade de volume) MLT‐2 ML2 T‐2 MLT‐1 ML2T‐1 ML2 ML‐1T‐2 ML‐1T‐1 L2T‐1 MT‐2 ML2 T‐2 F FL FT FLT FL T2
FL‐2
FL‐2T L2T‐1 FL‐1
FL N=kgms‐2 Nm kgms‐1=Ns Kgm2 s‐1 =Nms kgm2
Pa=Nm‐2=kg m‐1s‐2 Pas=Nm‐2s= kg m‐1s‐1 m2s‐1
Nm‐1=kgs‐2 Nm= kgm2 s‐2=J ML2T‐3 FLT‐1
Js‐1= kgm2 s‐3=Nms‐1=W ML‐3 FL‐4T2
kgm‐3
MT‐1 L3T‐1  L2T‐2 FL‐1T L3T‐1 
L2T‐2 kgs‐1
m3s‐1
K (Kelvin) Jkg‐1
ML‐1T‐2 FL‐2
Jm‐3
L2T‐2‐1 ML2 T‐2‐1
L2 T‐2‐1 MT‐3 L2T‐2‐1 FL‐1
L2T‐2‐1
FL‐1 T‐1 m2 s‐2K‐1=Jkg‐1K‐1 JK‐1
Jkg‐1 K‐1 Wm‐2
MLT‐3‐1
L2T‐1 FT‐1‐1 L2T‐1 WK‐1m‐1 m2s‐1
As grandezas intervenientes em física podem ser: Constantes universais: São valores que são constantes em qualquer fenómeno ou sistema físico. Exemplos: Constante da Gravitação Universal, velocidade da luz no vácuo, carga do electrão. Parâmetros: valores que são tomados fixos num certo conjunto de experiências ou num certo âmbito. Variáveis: Grandezas que variam no tempo, no espaço ou em função de outras. As variáveis podem ser independentes ou dependentes. Se A depende de B então escreve‐se A=A(B) sendo ‘B’ a variável independente e ‘A’ a variável dependente. Conforme o âmbito considerado, o que pode ser considerado como parâmetro, pode num âmbito mais geral ser considerado como variável. Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 3 O Princípio da Homogeneidade Dimensional exige que numa equação física, os termos de uma equação tenham dimensões bem definidas. Por exemplo a expressão do deslocamento s de um corpo em movimento uniformemente acelerado com a=aceleração, v=velocidade inicial, t=tempo vem: s=so+vt+at2/2, as dimensões de todos os termos são: [s]=[so]=[vot]=[at2/2]=L (em m=metro). A expressão anterior é válida em física uma vez que todos os termos da soma têm as mesmas dimensões e a expressão final tem igualmente as dimensões de cada termo (L). Uma expressão que não satisfaz ao PHD é por exemplo: st+cos(vt2/a)+exp(t3)sin(at)+t2.5 Na verdade há termos que não têm dimensões bem definidas como st, exp(t3), sin(at). Assim numa expressão, todos os termos têm de ter dimensões físicas bem definidas ou seja, têm de ser dadas por um produto de potências das dimensões fundamentais: MaLbTcd onde a,b,c,d são números inteiros positivos ou negativos (ou zero: M0=L0=T0=0=[1] ). Vemos assim algumas regras tais como: Os argumentos de funções trigonométricas, de exponencial, logaritmo e os expoentes de grandezas, além de outros, têm todos de ser adimensionais, ou seja não têm dimensões físicas. Se A é adimensional então representa‐se [A]=1. Se A,B forem grandezas dimensionais, então só podem ser somáveis se tiverem as mesmas dimensões e [A+B]=[A]=[B]. Há no entanto grandezas com as mesmas dimensões físicas mas cuja soma não tem significado matemático útil (ex. soma das componentes de um vector). Existe apenas um conjunto limitado de funções e operações entre grandezas dimensionais A, B que são consistentes com o PHD. Assim as funções e operações possíveis, assim como as correspondentes dimensões físicas são: Potências inteiras: An (n inteiro), [An ]=[A]n Produtos: AB, [AB]=[A][B] Quocientes: A/B, [A/B]=[A]/[B] Integral: AdB, [AdB]=[A][B] Derivada: dnA /dBn (derivada, n inteiro 1), [dnA /dBn] =[A]/[B]n Mediante certas operações e funções, pode‐se obter grandezas adimensionais. Por exemplo tem‐se a seguinte grandeza adimensional: 1  B
 1 dB

 A B  1 2
 B 2 dA  A dB  
 B   A
Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 4 Uma função arbitrária de p variáveis adimensionais 1, 2,…,p é adimensional, é fisicamente válida e satisfaz ao PHD. Às variáveis adimensionais é costume chamar números pi, uma vez que a sua dimensão é a mesma das constantes matemáticas como o  (pi). As relações entre números adimensionais ou números pi podem ser de vários tipos tais como equações algébricas, equações diferenciais, equações integro‐diferenciais (juntando derivadas e integrais) etc. Para o ilustrar consideremos 3 números pi na forma: 1 
1 dv
at
s
; 2 
; 3 
vo d ln t
vo
so ,
em que s,so são deslocamentos, v,vo são velocidades, a=aceleração, t=tempo. Uma função ou uma equação envolvendo esses p=3 números pi é perfeitamente admissível em física e satisfaz ao PHD. Uma relação algébrica entre números pi envolve apenas funções algébricas (potências, polinómios, funções trigonométricas etc.), como no seguinte exemplo: sinh 1   exp  2   sin  31  ou
f 1 ,  2 ,  3   sinh 1   exp  2   sin  31   0 Uma equação diferencial envolve derivadas como no exemplo: d1
 exp  2   sin  31  ou
d 3
f  1 ,  2 ,  3  
d 1
 exp  2   sin  31   0
d 3
Uma equação integro‐diferencial envolve integrais e derivadas como no exemplo: 1
  3 (u) du 
1
d 1
 tgh  3 2  ou
d 3
1
f  1 ,  2 ,  3     3 (u ) du 
1
d 1
 tgh  3 2   0
d 3
Qualquer relação f(q1,q2,…,qn)=0 entre n grandezas físicas q1,q2,…,qn (constantes, parâmetros, variáveis dependentes ou independentes) com determinadas dimensões físicas cada uma, pode exprimir‐se como uma relação g(1,2,…,p)=0 entre p<n números adimensionais 1,2,…,p. Estas grandezas adimensionais são obtidas a partir das n grandezas dimensionais através de funções e operações consistentes com o PHD (produtos, potências, quocientes, derivada e integrais). Este resultado será formalizado e enunciado no Teorema  de Buckingham da Análise Dimensional. Antes vamos ilustrar alguns problemas de análise dimensional. Os problemas consistem em: 1) Determinar quantos números pi (valor de p); 2) Quais os números pi e como obtê‐los. Por vezes não há uma forma única de obter os números pi e 3) Qual a relação g entre os números pi. Existem situações em que a função f entre as grandezas dimensionais é conhecida e outras em que é desconhecida. Se f é conhecida, então o processo de obtenção de g chama‐se Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 5 adimensionalização. Não conhecendo a relação f, então a análise dimensional permite pelo menos simplificar o problema afirmando que existe uma relação g (desconhecida) entre um menor número p<n de variáveis e que caracteriza o fenómeno ou o problema. Essa relação g deverá ser obtida recorrendo aos princípios fundamentais da física ou então de forma experimental ou empírica. Uma relação entre números pi do tipo: g(1,2,…,p)=0, contêm em si uma grande generalidade e está na base da Semelhança Dinâmica ou de um modo mais geral a Semelhança Física. Dois fenómenos físicos (problemas, escoamentos de fluidos, situações) são fisicamente semelhantes se possuírem iguais valores dos números pi. Esses dois fenómenos são caracterizados por grandezas dimensionais tais que a sua combinação fornece os mesmos valores dos números pi. Assim, qualquer conclusão sobre um dos fenómenos, expressa por uma relação do tipo g(1,2,…,p)=0, é imediatamente generalizada ao fenómeno fisicamente semelhante. Este princípio é o Principio da Semelhança Física e está na base da construção de protótipos em laboratório que podem fornecer conclusões sobre um modelo. Em geral os protótipos são muito mais pequenos, controláveis e económicos que o modelo (Ex. protótipo laboratorial do estuário de um rio; protótipo de um petroleiro). A construção de protótipos dinamicamente semelhantes aos modelos é muito útil em mecânica de fluidos. A simplificação do problema por via da Análise Dimensional permite poupar tempo e custos. Para proceder á análise dimensional é necesário construir a Matriz Dimensional D que permite obter os números pi. Matriz dimensional D Consideremos um conjunto de n variáveis dimensionais q1,q2,…,qn (podem também ser adimensionais), envolvidas num fenómeno físico. Cada variável tem dimensões bem definidas por potências das unidades fundamentais ou seja:  qi   M  L T   
i
i
i
i
,  i , i ,  i ,  i inteiros , i=1,...,n
11.1
A matriz dimensional é a matriz rectangular (n linhas x 4 colunas) com as potências das unidades fundamentais: Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 6  M
q 
 1 1
D   q2  2

....
 qn  n
L T 

1  1 1 
2  2  2 


 n  n  n 
11.2
Na primeira linha escreveram‐se as grandezas fundamentais (MLT) servindo apenas de auxiliar para o preenchimento. A primeira coluna é apenas auxiliar onde se escreveu a sequência das grandezas. Se alguma coluna (dos ,, ou ) for nula ou seja se existir alguma grandeza fundamental não interveniente no conjunto das grandezas, então pode eliminar‐se essa coluna da matriz dimensional. Por exemplo se todas as n grandezas forem meramente cinemáticas, não intervêm nem a massa (M) nem a temperatura () na análise dimensional e teremos apenas as grandezas funda,mentais L,T. Teorema  de Buckingham da Análise Dimensional Uma relação f(q1,q2,…,qn)=0 entre n grandezas físicas q1,q2,…,qn (constantes, parâmetros, variáveis dependentes ou independentes), pode exprimir‐se como uma relação g(1,2,…,p)=0 de p=n‐m grandezas adimensionais onde m é característica da matriz dimensional = rank(D)=mn. A característica é o número de linhas ou colunas linearmente independentes e coincide com o número de grandezas fundamentais intervenientes: 1,2,3 ou 4. A análise dimensional só pode aplicar‐se quando p>0 ou seja o número de variáveis n é extritamente superior ao número de grandezas fundamentais (ex. n=4>m=3, logo p=4‐3=1). Método do Produto de Potências da Análise Dimensional No caso em que as n grandezas q1,q2,…,qn são dimensionais (não são adimensionais), então os números pi são da forma de monómios das n grandezas. Há então que determinar os expoentes racionais a que são elevadas as grandezas fundamentais de forma a obter grandezas adimensionais. Assim constrói‐se um número adimensional na forma: Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 7 n
 j  q1 q2 ...qn   qi
a1 j
a2 j
anj
aij
( produtório ou pietório das grandezas q)
i 1
n
 n aij   n
aij 
 j    qi     qi     M i Li T  i  i
 i 1
  i 1
 i 1

n

i aij
 M i1
n
n
n

aij

 i ij  i ij  i ij
Li1 T i1  i1  M 0 L0T 0 0  1, j  1,..., p
a
a
a
11.4 As potências inteiras aij satisfazem a equações da forma: n
0    i aij
 Para
i 1
n
0    i aij
n
M  ; 0    i aij
 Para L 
i 1
 Para T 
i 1
n
;
0    i aij
 Para  
i 1
11.5
As potências aij (incógnitas a determinar) podem ser não inteiras, isto é serem números fraccionários. Em geral podem formar‐se vários conjuntos independentes de números pi, uma vez que o número m de equações é inferior ao número (p x m) de incógnitas e o problema fica indeterminado. Para levantar esta indeterminação recorre‐se ao método do produto de potências e que consiste no seguinte: 1 – Seleccionar m=rank(D) das n grandezas com dimensões diferentes e que contenham, no seu conjunto as m dimensões internvenientes. Estas são as chamadas variáveis repetidas e devem ser escolhidas como bem relevantes para o problema. Sejam essas as primeiras m variáveis: q1, q2,…,qm. Caso não sejam rearranja‐se a matriz dimensional de modo a colocar as dimensões dessas grandezas nas primeiras m linhas da matriz dimensional D. 2 – As p=n‐m grandezas adimensionais obtêm‐se na forma de quocientes entre as grandezas não usadas (não repetidas) e monómios das grandezas repetidas ou seja: j 
qm  j
a
a
a
q1 1 j q2 2 j ...qmmj
, j  1,..., p  n  m
11.6 3 – As potências a que são elevadas as grandezas repetidas são dadas por um sistema bem determinado de m x p equações nas potências aij: Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 8 m
 m  j    i aij
 Para
i 1
m
 m  j    i aij
m
M  ;  m  j    i aij
 Para L 
i 1
m
 Para T 
;
i 1
 m  j    i aij
 Para  
i 1
Ilustração da aplicação da Análise Dimensional e do Método do Produto de Potências Exemplo 1 : Período do Pêndulo (Relação entre Parâmetros) Consideremos um pêndulo sem atrito de massa m, comprimento l, sujeito à aceleração gravítica g e com oscilações máximas M. O período  do pêndulo é função de l, m, g e M. Tem‐se n=5 grandezas: l, m, g, M e  relacionadas entre si. As dimensões são: [m]=M, [l]=L, [g]=LT‐2, [M]=1, []=T. Admite‐se não conhecida à priori a relação entre os 5 parâmetros. Escolhamos as m=3 grandezas repetidas: m, l, g. A matriz dimensional, com característica m=3 é:  M L T
m 1 0 0 


l 0 1 0 
D
  g 0 1  2
 0 0 1 


 M 0 0 0 
Os números pi, em número p=n‐m=5‐3=2 são da forma: 1 

, 2 
m a1 l a2 g a3
M
mb1 l b2 g b3
,
Em termos de dimensões tem‐se:  
1   a a a
 m l   g 
 
 2   b Mb b
 m  l   g 
1
1
2
2
3
3
T
M 0 L0T 1
 a1 a2

1 ,
M L ( LT 2 ) a3 M a1 L( a2  a3 )T 2 a3
M
M 0 L0T 0
 b1 b2

1
M L ( LT 2 )b3 M b1 L(b2 b3 )T 2b3
donde se tem 2 sistemas lineares de equações a 3 equações, um sistema para cada número pi: Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 9 0  a1
0  b1


0  a2  a3 ; 0  b2  b3
1  2a
0  2b
3
3


a1  0
b1  0


 a2  1/ 2 ; b2  0
a  1/ 2
b  0  3
 3
Os números pi são da forma: 1  
g
;  2  M
l
A relação entre os 2 números pi escreve‐se nas formas equivalentes:  g
0  g  
, M
l


g
 g *  M    
  
l

l *
g  M 
g
Onde g é uma função implícita entre 1 e 2 e g* é uma função de 2=M. Deste modo, a Análise Dimensional mostra‐nos o facto não trivial de o período do pêndulo ser independente da massa e directamente proporcional à raiz quadrada do comprimento l do pêndulo. A física fundamental, neste caso a mecânica, fornece‐nos a forma da função g*. Em primeira aproximação tem‐se: ~
  M2 
  M2 
l
*
2  1 
  g  M  ~ 2  1 

16
16  g



Para ângulos pequenos ou seja M<<1, tem‐se 
~
l
2
g
ou seja a independência do número 2=M. Neste caso a relação entre números pi vem: g(1)=0 ou seja 1=k=constante matemática=2. 1  
g
l
k   k
l
g
A relação de semelhança corresponde à igualdade dos números pi. Neste caso, sejam consideradas duas situações (l1,m1,g1,M1,1) e (l2,m2,g2,M2,2) dinamicamente semelhantes ou seja com os dois números pi idênticos. Admitamos g1=g2=g. Assim: 1  1
g
g
2
l1
l2
;  2  M  M1  M 2 Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 10 Ou seja os ângulos máximos são iguais. A inferência de 2 pode ser obtida a partir de 1 sem conhecer a função implícita g*. Tem‐se então:  2   1
l2
l1
Tal significa que se poderá obter o período de oscilação de um pêndulo (2) conhecendo o período de oscilação de um outro pêndulo (1) e os comprimentos de ambos os pêndulos. Exemplo 2 : Velocidade Angular do Pêndulo (Relação entre Parâmetros e Variáveis dependentes e independentes) Admite‐se que a velocidade angular  de um pêndulo em oscilação é função do ângulo  que o pêndulo faz com a vertical, do comprimento l do pêndulo, da massa, da aceleração gravítica g e do ângulo máximo M. A velocidade angular =d/dt é uma variável dependente da variável independente contínua  e de certos parâmetros (l,m,g,M). Tem‐se então uma relação implícita entre n=6 grandezas cujas dimensões físicas são: []=[M]=1 (adim), []=T‐1, [m]=M, [l]=L, [g]=LT‐2. Vamos utilizar o Método do Produto de Potências para obter as grandezas adimensionais. Ter‐se‐á então p=n‐m=6‐3=3 grandezas adimensionais. A matriz dimensional é:  M
m 1

l 0

D  g 0
 0

 0
 0
 M
T
0 0 
1 0

1  2
0 1  
0 0
0 0 
L
Escolhamos como grandezas repetidas: l, m, g. A massa m apenas intervêm numa das grandezas pelo que não combina com nenhuma outra e portanto o problema é independente da massa do pêndulo. Os números pi são: 1  
l
g
;  2   ;  3   M , donde 1 se exprime como uma função dos outros dois números pi na formas equivalentes: 
l
 f  ,  M    
g
A mecânica fornece a função explicitamente: Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires g
f  ,  M  l
11 
1/2
g
g
2  cos    cos  M    . f  ,  M  
l
l
Exemplo 3 : Escoamento de um fluido (Relação entre Parâmetros e Variáveis dependentes e independentes) e adimensionalização de equações Sejam (u,v,w) as componentes da velocidade segundo (x,y,z) respectivamente. Consideremos a equação Euleriana do momento linear vertical num referencial inercial de um fluido viscoso incompressível de densidade uniforme 0. A taxa local de variação da velocidade vertical w vem escrita como: w
w
w
w
1 p
 u
v
w

 0 z
t
x
y
z
 


Advecção=Força inercial
 2w 2w 2w 

g   2  2  2 

 x  y  z
Força gravítica

Força do gradiente
de pressão
Força vis cos a
As variáveis dependentes (u, v, w, p) dependem das variáveis independentes espaciais e temporal (x, y, z, t). Têm‐se ainda os parâmetros: g, 0 (aceleração gravítica e densidade) e a viscosidade cinemática =/0. Ao contrário dos dois exemplos anteriores, aqui é conhecida uma relação entre as variáveis na forma de uma equação diferencial parcial, a qual é válida num certo domínio espacial e é sujeita a certas condições fronteira e condições iniciais. Pelo Teorema  de Buckingham, existe uma relação entre grandezas adimensionais. O tamanho do domínio espacial no qual ocorre o escoamento é um parâmetro natural que condiciona a forma do escoamento. Seja L0 o valor (em termos de ordem de grandeza) das 3 dimensões espaciais do domínio (e.g comprimento de uma turbina). Admitimos para simplificar que a tamanho do domínio é da mesma ordem de grandeza nas 3 dimensões (x,y,z). Chama‐se a L0 a escala espacial do escoamento. Deste modo as variáveis espaciais adimensionalizadas são: x' 
x
y
z
; y'  ; z' 
L0
L0
L0
Os valores x’, y’ e z’ são variáveis que são da ordem de 1, uma vez que L0 é uma escala espacial da mesma ordem de grandeza de x, y, e z. O valor da velocidade nas 3 componentes admite uma escala U ou seja, as componentes adimensionalizadas da velocidade vêm: Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 12 u'
u
v
w
; v'  ; w' 
U
U
U
As velocidades adimensionalizadas u’, v’, e w’ correspondentes a u, v e w são igualmente da ordem de 1. Num caso concreto, as escalas das diferentes componentes da velocidade poderão ser diferentes (ex. escoamento da atmosfera à escala planetária). Escolhendo a escala espacial L0 e a escala de velocidade U, a escala temporal é T0=L0/U ou seja o tempo que uma partícula leva para percorrer a escala espacial L0 do domínio à velocidade típica U (escala de velocidade). O tempo adimensionalizado é: t'
t
 L0 / U  Para a variação de pressão escolhemos uma escala p e portanto a pressão será adimensionalizada na forma: p'
p
p A adimensionalização das variáveis levou à introdução dos parâmetros adicionais U, L, p. Têm‐se então uma relação entre os 6 parâmetros: U, L, p, g, 0 e , as 4 variáveis independentes x,y,z,t e as 4 variáveis dependentes u,v,w e p num total de n=14 variáveis: 0  f  x, y , z , t , u , v, w, p, U , L, p, g ,  0 , 
Pelo Teorema  de Buckingham, a relação anterior escreve‐se em termos de n‐m=14‐3=p=11 variáveis adimensionais. Dentre essas 11 variáveis, 4 são variáveis independentes adimensionalizadas e 4 são variáveis dependentes adimensionalizadas no total de 8: x ', y ', z ', t ', u ', v ', w ', p '
As outras 3 grandezas adimensionais surgem naturalmente da adimensionalização da equação ou seja á mudança de variáveis dimensionais para variáveis adimensionais. Procede‐se ás substituições: x  x ' L0 ; y  y ' L0 ; z  z ' L0 ; t  t ' L0 / U ;
u  u 'U ; v  v 'U ; w  w 'U ; p  p ' p
Assim tem‐se por exemplo: Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires , 13 w
Uw '
U 2 w '


t t  L0 / U  L0 t ' e multiplicando por L0/U2, obtem‐se a equação adimensionalizada: w '
w '
w '
w '  p  p '  gL       2 w '  2 w '  2 w ' 
 u '
v'
 w'

 2 





U  
UL    2 x '  2 y '  2 z ' 
t '
x '
y '
z '   0U 2  z ' 



-2
1
Fr
Eu
Re
onde aparecem os 3 números pi que faltam na análise: Eu=
 Força do gradiente de pressão 
p


  Número de Euler
0U 2 
Força inercial

1/2
 Força inercial 
U

Fr 
  Número de Froude
gL0  Força gravítica 
UL0 Força inercial
UL

 Número de Reynolds
Re= 0 


Força viscosa
A equação re‐escreve‐se na forma condensada e adimensional: w ' 
Dw '
 p ' 
'2
 v '  '  w ' 
 Eu 
 Fr 2  Re1 
w'







t
'
Dt
'

z
'


~1



~1
~1
~1
~1
, onde se usou o operador Gradiente (’) e Laplaciano (’2) adimensionalizados. Os termos em que surgem apenas variáveis adimensionalizadas são da ordem de 1 por construção (na equação usa‐se o símbolo ~1). A solução das equações depende crucialmente dos números adimensionais Eu, Fr e Re e do valor relativo entre eles. Em certos casos pode‐se desprezar termos na equação simplificando‐a. Assim por exemplo, se a força gravítica e a força viscosa forem ambas muito inferiores à força inercial então: 1/2
 Força inercial 
-2
Fr  
  1; Fr  1
 Força gravítica 
Força inercial
Re=
 1; Re-1  1
Força viscosa
E obtem‐se uma equação apenas dependendente do número de Euler: Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 14 Dw '
 p ' 
 Eu 

z '  . Dt '


~1
~1
que tem duas possibilidades: 1) Eu~1 2) Dw’/dt’~0 (se Eu<<1) . Não é possível Eu>>1 porque não haverá força para equilibrar o gradiente de pressão. Se as forças dominantes forem a força gravítica e do gradiente de pressão, então observa‐se o equilíbrio hidrostático  p ' 
2
 Eu 
  Fr  0 .
 z ' 
11.2 ‐ Semelhança Geométrica, Cinemática e Dinâmica O Teorema Pi de Buckingham permite simplificar o estudo e a avaliação quantitativa e qualitativa de um fenómeno físico através de: poupança de tempo e de custos; auxílio no planeamento de uma experiência e fornecimento de relações que permitem converter informação obtida num protótipo laboratorial em informação sobre um modelo real. Força de arrasto sobre barco Consideremos por exemplo a medição da força de atrito F (drag) produzida sobre um barco de comprimento L, sujeito à gravidade g, deslocando‐se à velocidade V sobre um fluido de densidade  e viscosidade dinâmica . Tem‐se n‐m=6‐3=p=3 números pi relacionando os parâmetros ,V,L,,F,g. A matriz dimensional é: 


V

D  L


F
g

M L T 
1  3 0 
0 1 1 

0 1 0
1 1 1  
1 1 2 
0 1  2
Executando a análise dimensional e escolhendo , V e L como variáveis repetidas, obtêm‐se os números pi: Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 15  1  Cd 
F
Força de arrasto ou de atrito

=Coeficiente de arrasto
2
 U / 2 L (Pressão Dinâmica × Área de exposição)
2
 2  Re 
UL
 Número de Reynolds

 3  Fr 
U
 Número de Froude
gL
Para cada escolha de 3 variáveis repetidas, assim haverá um conjunto de 6‐3=3 números pi e portanto há várias possibilidades de números pi todas igualmente válidas. Escolheram‐se noentanto 3 dos mais usuais (Fr, Re, Cd). A relação implícita entre os números pi pode escrever‐se nas formas equivalentes: Cd 
F
U 2 L2

Re,
Fr


f
F
f  Re, Fr 


2
 U 2 / 2  L2
A função f pode ser obtida experimentalmente através de protótipos em que se avalie o coeficiente de arrasto Cd em função de vários valores do número de Reynolds (Re) e do número de Froude (Fr). 11.2.1 Semelhança Física A semelhança física entre dois fenómenos: modelo real (representado por m) e protótipo laboratorial (representado por p) significa a igualdade entre os parâmetros adimensionais do modelo e do protótipo. Por exemplo no caso discutido em que dois parâmetros são independentes, ter‐se‐ia: Fr(modelo)=Fr(protótipo)=Fr
 Cd (modelo)  Cd (protótipo)=Cd

Re(modelo)=Re(protótipo)=Re
A semelhança física é composta de semelhança geométrica, cinemática e dinâmica. Por vezes é difícil construir protótipos que sejam inteiramente semelhantes ao modelo real havendo por isso semelhança incompleta. Semelhança Geométrica Semelhança geométrica é a semelhança física para parâmetros adimensionais envolvendo apenas grandezas espaciais, por exemplo razões entre dimensões físicas (e.g. razão entre comprimento e altura). A razão entre a dimensão do protótipo e a dimensão do modelo real é o factor de escala. Pontos homólogos são pontos em posições semelhantes. Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 16 Semelhança Cinemática A semelhança cinemática é a semelhança entre números pi envolvendo velocidades e tempos. Estes números pi podem ser: 1) Quocientes entre diferentes componentes da velocidades (E.g. Vx/Vy) 2) Quocientes entre tempos característicos (E.g. quociente entre período de rotação e período de translação). A semelhança cinemática garante que no modelo e no protótipo, pontos homólogos se desloquem para pontos homólogos em tempos homólogos. Ex: um automóvel real à velocidade vm percorre o seu comprimento Lm no mesmo tempo  em que um protótipo à velocidade vp percorre o seu comprimento Lp. Deste modo o factor de escala =Lp/Lm=vp/vm. Semelhança dinâmica A semelhança cinemática é a semelhança entre números pi envolvendo forças. Os números pi são quocientes entre diferentes tipos de forças (E.g. força de pressão/força inercial =Eu) ou quocientes entre diferentes componentes do mesmo tipo de forças (E.g força de pressão segundo x /força de pressão segundo z). Discussão da Semelhança Física no problema da força de arrasto sobre barco Considere‐se um protótipo com factor de escala =Lp/Lm. A igualdade dos números de Froude conduz a: Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 17 Um
Fr 
gLm
Up

gL p

Up
Um

Lp
Lm
  1/ 2
A igualdade dos números de Reynolds leva a: Re 
U m Lm
m

U p Lp
p

 p U p Lp

  3/ 2
 m U m Lm
A escolha de um determinado fluido viscoso para o protótipo impõe a sua viscosidade cinemática p e portanto imporá o factor de escala. Se se escolher o factor de escala, então a semelhança completa (igualdade dois a dois de Fr e Re) imporá a escolha de uma viscosidade cinemática p ou seja de um fluido apropriado para protótipo, o qual pode não existir dado que não há fluidos para qualquer viscosidade desejada. Outra possibilidade é optar por uma semelhança incompleta, isto é exigir a semelhança para apenas um sub‐conjunto de números pi, neste caso Re e/ou Fr. Por exemplo para igualdade do número de Reynolds: Re 
U m Lm
m

U p Lp
p
1
 p  Lp 
 p 1


   
m
U m  m  Lm 
Up
Deste modo, se os fluidos do modelo e protótipo ferem idênticos (ex. água), então se o factor de escala for =1/100, a velocidade no protótipo terá de ser 100 vezes superior. A igualdade de números de Froude leva a: 1/2
Up
U p  Lp 
Um


 
Fr 
U m  Lm 
gLm
gLp
  1/2
A discussão de qual o número mais relevante (Fr ou Re) depende de cada situação. Este problema pretende ilustrar situações de semelhança incompleta que exigem algum planeamento e decisão. Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 18 11.3 ‐Números Adimensionais mais relevantes em mecânica de Fluidos Fornece‐se uma lista dos números adimensionais relevantes em mecânica de fluidos Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires 19 Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires