2 Conceitos Básicos - DBD PUC-Rio

2
Conceitos Básicos
Este capítulo apresenta, inicialmente, uma revisão sucinta dos conceitos básicos
referentes às fibras ópticas e sobre os sensores à fibra óptica. Enfatiza-se duas técnicas
de sensoriamento: redes de Bragg em fibras ópticas convencionais e interferômetria
modal através de fibras ópticas microestruturadas de alta birrefringência. O Capítulo
inclui também uma seção que trata de compósitos magnetostritivos, o material utilizado
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no desenvolvimento de dois dos sensores de campo magnético propostos neste trabalho.
2.1.
Fibras Ópticas
As fibras ópticas convencionais são formadas por um núcleo cilíndrico de sílica (
),
que está envolvido por uma casca também de sílica ( ), com índice de refração menor
que o do núcleo. O fenômeno responsável por guiar a luz nas fibras ópticas
convencionais é o da reflexão interna total, obtido pela diferença nos índices de refração
do núcleo e da casca. Existem diferentes tipos de fibras ópticas que, por sua vez,
possuem diferentes características construtivas, ditadas essencialmente pelo perfil dos
índices de refração da fibra, pelo diâmetro do núcleo e pela sua habilidade em propagar
um, ou vários modos, sendo otimizadas para determinadas aplicações. A Figura 1
mostra um esquema de uma fibra óptica convencional onde a propagação se dá por
reflexão interna total.
19
x
y
z
Figura 1. Propagação da luz por reflexão interna total em uma fibra óptica convencional.
Um importante parâmetro utilizado nas fibras ópticas é a freqüência normalizada, ou
simplesmente parâmetro , definido a partir dos parâmetros físicos da fibra através da
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expressão (Agrawal, 2002):
2
onde a é o raio do núcleo da fibra óptica,
(1)
e
são os índices de refração do núcleo e
da casca, respectivamente, e λ é o comprimento de onda. Para valores de
< 2,405, em
uma fibra perfeitamente circular e livre de tensões, somente os dois modos HE
polarizado ao longo de , outro polarizado ao longo
podem se propagar. Estes dois modos HE
e HE
, em um sistema cartesiano
(um
),
são degenerados, ou seja, eles têm a
mesma constante de propagação, portanto o regime é monomodo nestas condições.
Quando a geometria da fibra se afasta da simetria cilíndrica, devido a não circularidade
do núcleo e/ou das distribuições de tensões assimétricas, que levam a variações de
índice de refração, estes dois modos não são mais degenerados. Ou seja, as constantes
de propagação ao longo dos dois eixos ortogonais tornam-se diferentes, dando origem a
um fenômeno denominado de birrefringência. As pequenas variações dimensionais e no
formato do núcleo, bem como na distribuição das tensões residuais da fibra geram
perturbações aleatórias na birrefringência. Este fenômeno é comumente chamado de
dispersão dos modos de polarização. A diferença entre os índices efetivos de
propagação destes dois modos é definida como a birrefringência modal de fase ( ),
(Agrawal, 2002):
20
2
Sendo
e
(2)
as constantes de propagação dos modos ortogonalmente polarizados,
os índices efetivos de refração dos modos e
e
a velocidade de propagação da luz no
vácuo. A diferença de fase entre os campos varia linearmente com a distância. Após
uma distância
, chamada de comprimento de batimento, a diferença de fase entre os
dois modos evolui em 2π. O comprimento de batimento para um dado comprimento de
onda é definido como (Agrawal, 2002):
⁄
(3)
Um outro importante parâmetro que descreve as propriedades da polarização numa fibra
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óptica é a birrefringência modal de grupo, definida como a diferença entre os índices de
grupo dos dois modos. O índice de grupo é definido como a razão entre a velocidade da
luz no vácuo e a velocidade de grupo do modo guiado na fibra:
⁄
onde
(4)
é a velocidade de grupo:
(5)
Pode-se obter uma relação entre as velocidades de grupo e de fase, a primeira definida
como a razão entre a
frequência angular e
c⁄ n
o número de onda,
ω⁄ k ,
escrevendo-se:
(6)
onde utilizou-se a relação
2 ⁄ . Substituindo-se
⁄
e
⁄
na
Equação (6) obtém-se:
1
1
1
1
(7)
21
Quando a dispersão é pequena, e
,
(8)
1
Assim, para sinais guiados com baixa dispersão, a Equação (7) pode ser reescrita na
forma:
(9)
Neste caso, pode-se estender a relação acima para a birrefringência de grupo ( )
escrevendo-se (Martynkienet al., 2009):
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(10)
Estas relações são utilizadas nos Capítulos 5 e 6 que tratam de fibras microestruturadas
de alta birrefringência.
2.2.
Fibras ópticas especiais: “Fibras ópticas microestruturadas”
As fibras ópticas podem apresentar diferentes estruturas formando o núcleo e a casca.
Além disso, podem ser dopadas com diversos tipos de material, dependendo de sua
aplicação. Elas também podem apresentar diversos tipos de perfis de índice de refração.
Nesta seção, descrevemos uma nova classe de fibras ópticas que têm atraído a atenção
da
comunidade
científica.
Trata-se
das
fibras
ópticas
microestruturadas
(Microstructured Optical Fibres – MOF), também conhecidas como fibras de cristal
fotônico (Photonic Crystal Fibres – PCF).
Uma fibra óptica microestruturada externamente é muito parecida com uma fibra óptica
convencional. A diferença é encontrada na seção transversal da fibra microestruturada,
que possui furos microscópicos no plano perpendicular ao seu eixo, estendendo-se ao
longo de todo o comprimento da fibra. Estes buracos de ar formam uma microestrutura
periódica, de baixo índice de refração em torno de um núcleo que pode ser sólido ou
22
oco. Devido às suas singulares microestruturas, estas fibras podem apresentar um
grande número de propriedades ópticas não comuns em fibras ópticas convencionais. A
presença dos buracos cria novos graus de liberdade que permitem controlar a
propriedade e a sensibilidade da fibra sob diferentes parâmetros físicos de interesse,
uma flexibilidade que fibras ópticas convencionais não podem proporcionar (Russell,
2006; Cerqueira, 2010).
2.2.1.
Classificação
Baseadas nos mecanismos de propagação da luz, as fibras ópticas microestruturadas
podem ser divididas em duas classes: fibras com guiamento por reflexão interna total
para fibras de núcleo sólido (Knight et al., 1997; Russell, 2003) e fibras com guiamento
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por bandgap fotônico, para fibras de núcleo oco (Cregan et al., 1999). Os diferentes
mecanimos condução estão ilustrados na Figura 2.
2
2
1
1
1
2
Figura 2. Propagação da luz por (a) reflexão interna total em fibra microestruturada de núcleo
sólido (b) Bandgap Fotonico em fibra microestruturada de núcleo oco,
1
1,45 (sílica) e
2
0
(ar).
2.2.2.
Propriedades ópticas
A presença, a distribuição e o tamanho destes buracos são responsáveis pelo
confinamento e pela condução da luz. Através de diferentes arquiteturas é possível
definir e controlar propriedades ópticas especiais como: a dispersão (Knight et al.,
2000), birrefringência (Ortigosa-Blanch et al., 2000), e não linearidade (Birks et al.,
1997). Estas propriedades especiais levaram ao desenvolvimento de diversas aplicações
23
nas áreas de comunicações ópticas (Peucheret et al., 2003), óptica não-linear (Benabid
et al., 2002), e sensoriamento (Jensen et al., 2005; Hoo et al., 2002; Monro et al., 2001).
Apesar de muitas vezes tratar-se de uma propriedade óptica indesejada, todas as fibras
ópticas apresentam certo grau de birrefringência. No entanto, em muitas aplicações de
sensoriamento remoto e aplicações que precisam de luz linearmente polarizada, um
elevado
grau
de
birrefringência
é
desejado.
A
birrefringência
em
fibras
micorestruturadas baseia-se geralmente numa forma assimétrica do núcleo ou do
revestimento (Ortigosa-Blanch et al., 2000). As fibras ópticas microestruturadas têm se
mostrado boas candidatas para este tipo de aplicações (Bock et al., 2006). Devido ao
elevado contraste entre os índice de refração da sílica e do ar, a possibilidade de
introduzir grandes assimetrias na estrutura da PCF e o uso de um único material na
fabricação das fibras, tornou-se possível criar fibras microestruturadas de alta
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birrefringência ( B
10 ) com baixa sensibilidade à temperatura (Nasilowski, et al.,
2005), uma característica muito importante para diversas aplicações. [Andrew et al.,
2004] em sensoriamento, permitindo eliminar a sensibilidade cruzada entre a
temperatura e outros mensurandos de interesse. Cabe ressaltar que, nas MOFs, a
birrefringência é fortemente dependente do comprimento de onda. Portanto, a suposição
habitual que a birrefringência de grupo e de fase sejam iguais em fibras ópticas pode
nem sempre ser verdadeira (Statkiewicz et al., 2004; Antkowiak et al., 2005; Legré et
al., 2003).
2.3.
Sensores à Fibra Óptica
Os sensores à fibra óptica são dispositivos que são baseados, como o próprio nome diz,
em fibras ópticas. São utilizados para o sensoriamento de diferentes propriedades, ou
parâmetros físicos, tais como: campo acústico, campo magnético, campo elétrico,
corrente elétrica, temperatura, pressão, posição, ângulo, deformação, etc. (Culshaw et
al., 2004). O princípio de funcionamento dos sensores à fibra óptica baseia se na
modulação de algum parâmetro da luz confinada na fibra através do fenômeno físico
que deseja-se analisar. A luz pode ser modulada em fase, intensidade, polarização e
freqüência. Cada uma destas é potencialmente sensível a determinadas grandezas
físicas.
24
Os sensores à fibra óptica podem ser classificados de várias maneiras. Podem ser, por
exemplo, agrupados em duas categorias principais: extrínsecos, e intrínsecos. Nos
sensores denominados intrínsecos, a modulação dos parâmetros da luz ocorre no próprio
corpo da fibra. Isso significa que a própria fibra é o elemento sensor. Nos sensores
extrínsecos, a modulação dos parâmetros da luz ocorre por meio de um elemento sensor
externo, ou seja, a fibra óptica é usada apenas como canal de transporte da radiação até
o local de monitoração.
O esquema básico de um sensor a fibra óptica consiste em uma fonte de luz, acoplada à
fibra, a qual interage de maneira direta, ou indireta, com o exterior, modificando algum
parâmetro físico. Finalmente, chega a um detector no qual é analisado e correlacionado
com o mensurando.
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Os sensores à fibra óptica também podem ser subdivididos de uma forma geral em
sensores de intensidade e sensores interferométricos. Os sensores de intensidade são
baseados na modulação da intensidade, ou do comprimento de onda. Já os sensores
interferométricos fazem uso de mecanismos baseados na modulação da polarização, do
comprimento de onda e da fase.
Em geral, o desempenho, em termos da resolução obtida para um dado mensurado por
um sensor interferométrico, é muito maior que o obtido por um sensor de intensidade.
Sensores interferométricos a fibra óptica são extremamente sensíveis, sendo utilizados
em aplicações que demandam elevado desempenho. Sua alta resolução faz destes
sensores ideais para aplicações em controle. Diferentes tipos de fibras existem e podem
ser usadas para construir interferômetros. Duas abordagens diferentes são geralmente
empregadas. Uma consiste em dividir e recombinar dois feixes coerentes
monocromáticos que se propagam em fibras diferentes (Jackson et al., 1989; Jones,
2002). A outra abordagem é conhecida como interferômetro modal. Consiste em
explorar a diferença de fase entre os dois modos que se propagam numa mesma fibra
óptica, normalmente os dois primeiros modos LP e LP . [Canning et al., 2004]
Os dois protótipos de sensores de campo magnético apresentados neste trabalho, ambos
empregando como elemento atuador um compósito magnetostritivo, baseiam-se em dois
mecanismos distintos: modulação da freqüência através do uso de redes de Bragg à fibra
25
óptica, e na modulação da fase, através de um interferômetro modal numa fibra óptica
microestruturada de alta birrefringência. A seguir serão apresentados brevemente os
fundamentos teóricos relacionados com os sensores baseados em redes de Bragg,
interferômetro modal e materiais magnetostritivos.
2.3.1.
Sensores à Fibra Óptica Baseados em Redes de Bragg
O sensor baseado em redes de Bragg em fibras ópticas convencionais é um sensor
intrínseco no qual a luz é modulada em freqüência. As redes de Bragg em fibra óptica
(FBG, em inglês, Fiber Bragg Grating) constituem-se em modulações periódicas no
índice de refração do núcleo da fibra, ao longo da direção longitudinal (Othonos et al.,
1999; Meltz et al., 1989). A existência dessa modulação provoca a reflexão seletiva de
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uma banda estreita de luz, centrada no comprimento de onda de Bragg,
, dado pela
relação:
2
Onde
Λ
(9)
é o índice de refração efetivo do modo de propagação da luz e
é o período
espacial da modulação no índice de refração do núcleo da fibra. O comprimento de onda
de Bragg varia em consequência de deformações longitudinais ou variações de
temperatura. O deslocamento espectral, Δ
à temperatura,
,e
, pode ser descrito pela equação:
Δ
Onde
, associado à deformação longitudinal,
1
(10)
Δ
representa o coeficiente efetivo relativo ao efeito foto-elástico,
de expansão térmica, e
o coeficiente
o coeficiente termo-óptico da fibra. Para fibras de sílica com
núcleo dopado com Germânio (Ge),
0,22,
0,55
10
°C-1 e
8,6
10‐ °C-1.
A Figura 3 mostra a rede sendo iluminada por uma fonte de luz de banda larga. Uma
faixa estreita do espectro da luz, centrada no comprimento de onda de Bragg, é refletida,
sendo o restante transmitida. Qualquer deformação na rede de Bragg, ou alteração do
26
índice de refração do modo guiado será observada através da variação da posição do
comprimento de onda Bragg, dada pela Equação (10).
2
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Figura 3. Representação esquemática da rede de Bragg e das respostas espectrais de
transmissão e de reflexão.
É a variação do comprimento da onda de Bragg, descrita pela Equação (10), que permite
o uso de FBG como sensores de deformação ou temperatura. Os sensores a rede de
Bragg são interrogados, registrando-se as variações no comprimento de onda de Bragg
através, por exemplo, de analisadores de espectro óptico. Na região espectral de
1550 nm a sensibilidade para a aplicação da tensão longitudinal é de aproximadamente
1,2 pm para uma deformação relativa de 1 microstrain (i.e., 1μm/m), enquanto que o
deslocamento do comprimento de onda de Bragg, por efeito da temperatura é da ordem
de 13,7 pm/oC (Othonos et. al., 1999).
Do ponto de vista da instrumentação, a vantagem no uso desta tecnologia de
sensoriamento está no fato de que a informação a respeito do agente atuando sobre a
rede de Bragg está espectralmente codificada (Hill et. al., 1997; Kashyap et. al., 1999).
Isso permite determinar a magnitude desse agente sem sistemas de referência para a
potência óptica. Outra vantagem, é a possibilidade da multiplicação no comprimento da
onda de um grande número de FBGs, permitindo a realização de sensores multipontuais, ou quase distribuídos. A multiplexação permite monitorar estruturas com
grandes dimensões como, por exemplo, cabos de transmissão de energia elétrica,
barragens, óleodutos, e estatores entre outros.
27
2.3.2.
Sensor interferométrico modal baseado numa fibra óptica de alta
birrefringência
O sensor interferométrico baseado numa fibra óptica monomodo de alta birrefringência
é um sensor intrínseco no qual a luz é modulada em fase. A birrefringência intrínseca
associada a este tipo de fibra óptica dá lugar a dois modos ortogonalmente polarizados
com constates de propagação diferentes. Deste modo, pode-se considerar a luz viajando
neste guia de onda como a soma de dois campos elétricos ortogonalmente polarizados.
O campo elétrico linearmente polarizado faz um ângulo
com um dos eixos principais
de polarização. Deste modo, os campos na entrada da fibra podem ser escritos como:
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(11)
α são a amplitude e a fase da luz entrando na fibra. Quando a luz se propaga
Onde
na fibra, os dois modos ortogonais apresentam uma diferença de fase, devido à
birrefringência da fibra. Assim na saída da fibra os campos tem a forma:
(12)
Sendo:
(13)
2 ⁄ é o numero de onda da luz propagando-se na fibra, λ é o comprimento de
onda da luz ,
é o comprimento da fibra, e
,
são os índices de refração efetivos
para os dois modos. Assim, se colocarmos um polarizador na saída, fazendo um ângulo
com um dos eixos principais de polarização, o campo resultante será:
1
1
2
2
(14)
28
A intensidade da luz detectada:
1
(15)
Substituindo
1
2
1
2
2
2
(16)
Se ambos, polarizador e analisador estão orientados a 45 com o mesmo eixo
principal de polarização
45 , a intensidade é:
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1
2
2
17
Em termos da diferença de fase entre os dois modos:
1
2
Onde
2
(18)
é a diferença de fase.
Através de diferentes mecanismos externos, tais como: temperatura e pressão, entre
outros, pode-se induzir mudanças no índice de refração e consequentemente mudanças
nas constantes de propagação dos dois modos em taxas diferentes, resultando em
mudanças da birrefringência. Estas mudanças podem ser escritas como:
Δ
Onde
e
são os índices dos modos induzidos pelo agente externo e
(19)
e
são os
índices para casos em que não existem agentes externos agindo sob a fibra. A variação
da diferença de fase entre os as duas polarizações da luz na fibra é diretamente
proporcional à variação da birrefringência e é escrita como:
(20)
29
Onde
é o comprimento da fibra que está sendo afetado. Assim, a sensibilidade de fase
à aplicação de uma perturbação ( ) sobre um comprimento ( ) de fibra óptica será
dado por:
(21)
2.4.
Materiais Magnetostritivos
Os materiais magnetostritivos são materiais que se deformam devido a uma mudança no
estado da magnetização do material. Este tipo de comportamento foi descoberto
primeiramente no ferro por James Joule em 1840. O ferro exibe um máximo de
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deformação magnética induzida, denominada “magnetostrição” da ordem de 10 ppm.
Uma classe especial de materiais magnetostritivos, denominados “materiais com
magnetostrição gigante” são aqueles que apresentam uma deformação da ordem de
1000 ppm. (Tabela 1). O material com magnetostrição gigante, amplamente usado e
comercialmente disponível, é o Terfenol-D. Este material, constituído por uma
composição de Terbium (Tb), Ferro (Fe) e Dysprosium (Dy), foi desenvolvido pelo
Naval Ordinance Laboratory na década de 60.
Tabela 1. Valores aproximados das propriedades do Terfenol-D e do Ferro.
Terfenol D
Ferro
Magnetostrição máxima (λ )
1200 ppm
20 ppm
Modulo de Young ( )
25-35 GPa
~190 GPa
28 MPa
150 - 430 MPa
3- 10
> 1000
Tensão de escoamento (
)
Permeabilidade relativa ( )
O comportamento magnetostritivo dos materiais ferromagnéticos a nível atômico é
relativamente complexo e sai do propósito deste trabalho. No entanto, do ponto de vista
macroscópico, este pode ser entendido se considerarmos o material como um conjunto
de minúsculos imãs permanentes, aqui denominados de domínios. Quando o material
não está magnetizado, os domínios encontram-se arranjados aleatoriamente. Como
30
resultado da presença de um campo eletromagnético (H) os domínios reorientam-se
paralelamente entre si, dando origem ao efeito da magnetostrição conforme
esquematizado na Figura (4) (Clark, 1980).
Figura 4. Representação esquemática da magnetostrição.
Pode-se, então, afirmar que a magnetostrição é devida ao acoplamento entre os estados
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elásticos e magnéticos do material. Abaixo da temperatura Curie, a estrutura cristalina
dos materiais magnetostritivos torna-se ferromagnética e, consequentemente, todos os
materiais ferromagnéticos apresentam magnetostrição até um certo ponto.
A aplicação de um campo magnético sob um material magnetostritivo não afeta
somente o estado magnético, mas também o estado mecânico do material. Uma
deformação é produzida quando um campo magnético atua sobre uma barra de material
magnetostritivo. No caso unidimensional, a magnetostrição é definida nos termos da
deformação longitudinal, :
(22)
A aplicação de um campo no sentido positivo, ou negativo, resulta numa resposta
positiva de deformação do núcleo do material magnetostritivo, significando que o
material está aumentando no comprimento paralelo ao campo aplicado. Os dipolos
magnéticos se alinham, paralelos ao campo aplicado, seja ele positivo, ou negativo,
resultando portanto numa mesma direção (±180°) dos dipolos magnéticos e a mesma
variação positiva no comprimento.
O desempenho dos materiais magnetostritivos é afetado pela aplicação de tensões
mecânicas, por exemplo, a aplicação de uma pré-tensão tem como principal efeito um
aumento na potencialidade total de deformação do material. Sem uma pré-carga, os
domínios magnéticos no material estão orientados aleatoriamente, o que afeta o
31
tamanho ou o comprimento do corpo. Aplicando-se uma pré-tensão, os domínios
magnéticos giram perpendicularmente à carga aplicada e, deste modo, o comprimento
na direção da carga é reduzido. Portanto, quando um campo magnético for aplicado, os
domínios magnéticos podem girar desde a direção perpendicular à de aplicação da précarga até tornarem-se paralelas a mesma, levando o corpo a apresentar uma deformação
maior do que aquela verificada sem o pré-carregamento. Este efeito pode ser
quantificado observando-se as curvas da Figura 5. O valor da inclinação e do pico da
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curva de magnetização aumentarão com a pré-carga até atingir um ponto máximo
Figura 5. Curvas e representação esquemáticas da magnetostrição em função do campo
magnético aplicado, com e sem compressão.
2.4.1.
Magnetismo
O campo magnético
é gerado sempre que há uma carga elétrica em movimento num
condutor, ou devido a um ímã permanente. A indução magnética, ou densidade de fluxo
magnético
é uma quantidade vetorial que representa o modo como um meio responde
a um campo magnético. Todos os materiais irão responder com alguma indução. A
propriedade que quantifica a indução magnética
, sobre a influência de um dado
campo magnético,
. A lei constitutiva que relaciona a
é a permeabilidade do meio
indução com o campo de um dado meio é:
(23)
32
É im
mportante nootar que na maioria dos meios maagnéticos, μ não é umaa constante.. Pelo
contrrário, trata-se de uma quantidade dependentee da intensiidade do caampo magn
nético,
da teensão mecâânica e da temperaturaa. Em muittas análisess é comum considerarr uma
expreessão difereencial para a permeabillidade, ou seeja, a inclinnação da currva caracterrística
.
(24)
A peermeabilidadde relativa se
s define coomo:
(25)
A quual quantifiica a razãoo entre a permeabilidaade do meiio e do esppaço livre, onde
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H/m (Henrri/metro). A permeabillidade relatiiva do ar é aproximam
mente
iguall a do espaçço livre. Asssim
.
Um material alltamente peermeável é aquele no
o qual um grande fluuxo magnéttico é
d
camp
po magnéticco. Exempplos de maaterial
induzzido sob a influênciaa de um dado
altam
mente perm
meáveis são as ligass de ferro
o-níquel-moolibdênio, qque apreseentam
perm
meabilidadess relativas da
d ordem de
d
. Assim, um
m solenóide com um núcleo
n
destaa liga irá gerrar um fluxo magnéticoo
vezes
v
mais intenso
i
do qque no ar.
O fluuxo magnétiico, através de uma supperfície difeerencial
é definido ccomo:
(26)
d densidadee de fluxo magnético.
m
e dennominado de
2.4.2
2.
Mag
gnetização
o
Nesta seção irem
mos consideerar o quantto um materrial magnétiico contribuui para a ind
dução
e
sobre a influênccia de um
m campo m
magnético. Essa
magnnética quanndo este está
contrribuição é representada
r
a pela maggnetização
mom
mentos dipollares magnééticos (Grifffiths, 1999).
, que se define
d
comoo a densidad
de de
33
(27)
Onde,
é a indução magnética e
é a intensidade de campo magnético. Em
magnetismo, é freqüente classificar-se os materiais em função do sinal da magnetização.
No caso da contribuição ser positiva, o campo magnético se reforça no interior do
material (como acontece nos materiais paramagnéticos e ferromagnéticos, por
exemplo). No entanto, quando a contribuição é negativa, o campo magnético se debilita
no
interior
do
material
(como
ocorre
nos
materiais
diamagnéticos).
Nos
supercondutores, a indução magnética é nula, assim a magnetização é sempre da mesma
magnitude e a direção do campo aplicado, de sentido contrário.
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2.4.3.
Relação entre ,
e
Para demonstrar a relação entre a indução e o campo magnético vamos considerar uma
barra de material magnético com fluxo
no centro, comprimento
e área da seção
transversal igual a S (Jiles, 1998), o momento de dipolo magnético é igual a
⁄
. De acordo com a definição de (27), a magnetização em um imã pode ser dada
por:
(28)
Se considerarmos que a seção transversal do imã é uniforme, da Equação (26) o fluxo e
a indução estão relacionadas por
, assim a indução no imã é
(29)
A indução magnética total consiste em duas contribuições, a primeira pelo campo
magnético aplicado e a outra contribuição é a magnetização do material. Da equação
(23) a contribuição do campo assume que não existe outro material que não seja o ar.
34
(30)
Assim, indução total é dada pela soma vetorial da contribuição da magnetização,
equação (29) e a contribuição do campo, a Equação (30).
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(31)