x - estgv

6. Cálculo Diferencial em IRn
6.1. Função Real de n Variáveis Reais
Consideremos a fórmula que nos dá a área de um triângulo:
A(b, h) =
b×h
2
Como podemos verificar a área de um triângulo depende de duas variáveis:
base (b) e altura (h)
Podemos caracterizar esta função como sendo
A : IR 2 → IR
(b, h) a
b×h
2
que é uma função real de duas variáveis reais.
Definição 1: Seja D ⊆ IR n . Uma função real de n variáveis reais é uma
correspondência tal que
f : D ⊆ Rn → R
( x1 , x2 ,..., xn ) → z = f ( x1 , x2 ,..., xn )
onde:
domínio da função: D
contradomínio da função:
D ' = { f ( x1 , x2 ,..., xn ) : ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ D}
variáveis independentes: x1, x2 ,..., xn
variável dependente: z .
1
Exemplo 1: Dado que a função f ( x, y ) = 6 − (2 x − 2 y ) é uma função que
depende de duas variáveis (x e y), D f ⊆ IR 2 e, por definição vem:
{
= {( x, y ) ∈ IR
} {
}
D f = ( x, y ) ∈ IR 2 : 6 − (2 x − 2 y ) ≥ 0 = ( x, y ) ∈ IR 2 : 2 y ≥ −6 + 2 x =
2
}
: y ≥ −3 + x
6.2. Derivada de Funções Reais de n Variáveis Reais
Uma vez que estamos a estudar funções de várias variáveis, e atendendo à
definição de derivada, faz sentido falar, para estas funções, em derivada
parcial.
Definição 2: Seja f : D ⊆ IR n → IR . A derivada parcial de f em ordem
a xi é a função:
f ( x1, x2 ,..., xi + h,..., xn ) − f ( x1, x2 ,..., xi ,..., xn )
∂f
= lim
.
∂xi h→0
h
Exemplo 2. Sendo a função
f ( x, y ) = x 2 + y 2 uma função de duas
variáveis, no ponto de coordenadas
( x, y ) ,
podemos determinar duas
derivadas parciais. Usando as regras de derivação, vem:
∂f
( x, y ) = 2 x + 0 = 2 x e ∂f ( x, y ) = 0 + 2 y = 2 y
∂x
∂y
2
Exercício 1. Calcule as derivadas parciais da função
g ( x, y, z ) = 2 xy − z 2 + y 2 z − xyz .
Notação:
Dada a função z = f ( x1 , x2 ,..., xn ) a derivada de z em ordem a xi tem as
seguintes notações:
∂z
∂f
( x) =
( x) = f xi ( x)
∂xi
∂xi
Quando calculamos
∂z
( x) significa que consideramos xi variável e as
∂xi
restantes variáveis são consideradas constantes.
Sendo z = f ( x1 , x2 ,..., xn ) uma função que depende de n variáveis,
x1, x2 ,..., xn , também
∂z
( x1 ,..., xn ) são funções que dependem das n variáveis
∂xi
x1, x2 ,..., xn . Assim, faz sentido falar em derivadas de ordem superior.
Vamos considerar o caso de uma função que depende de duas variáveis,
g ( x1 , x2 ) , e calculemos todas as derivadas parciais desta função até à ordem
2.
Vem:
3
• Derivadas de 1ª ordem:
∂g
∂g
( x1 , x2 );
( x1 , x2 )
∂x1
∂x2
• Derivadas de 2ª ordem:
⎞ ∂2 g
∂ ⎛ ∂g
( x1 , x2 ) ⎟ = 2 ( x1 , x2 )
⎜
∂x1 ⎝ ∂x1
⎠ ∂x1
⎞
∂ ⎛ ∂g
∂2 g
( x1, x2 ) ⎟ =
( x1 , x2 ) (1)
⎜
∂x2 ⎝ ∂x1
⎠ ∂x2∂x1
⎞
∂ ⎛ ∂g
∂2 g
( x1, x2 ) ⎟ =
( x1 , x2 ) (1)
⎜
∂x1 ⎝ ∂x2
∂
x
∂
x
1 2
⎠
⎞ ∂2 g
∂ ⎛ ∂g
( x1 , x2 ) ⎟ = 2 ( x1 , x2 )
⎜
∂x2 ⎝ ∂x2
⎠ ∂x2
(1) designam-se por derivadas mistas.
De modo análogo se definiriam as derivadas de ordem superior à 2ª.
Notação: Dada a função z = f ( x1 , x2 ,..., xn ) as derivadas de z de ordem
superior têm as seguintes notações:
∂2 f
( x) = f xi x j ( x)
∂xi ∂x j
∂3 f
∂x 2i ∂x j
( x) = f x j xi xi ( x)
∂3 f
( x) = f xi x j xi ( x)
∂xi ∂x j ∂xi
4
Os dois tipos de notação têm convenções diferentes para indicar a ordem de
derivação, assim:
∂2 f
( x) : Ordem da direita para a esquerda
∂xi ∂x j
f xi x j ( x) : Ordem da esquerda para a direita
Exemplo 3. Para a função f ( x, y ) = x ⋅ ln( y ) temos:
Derivadas de 1ª ordem:
∂f
∂f
x
( x, y ) = ln( y) ; ( x, y ) = .
∂x
∂y
y
Derivadas de 2ª ordem:
∂2 f
∂2 f
x
∂x
∂y
y2
( x, y ) = 0;
2
( x, y ) = −
2
∂2 f
∂2 f
1
1
( x, y ) = ;
( x, y ) =
y ∂y∂x
y
∂x∂y
6.3. Acréscimos e Diferenciais
Seja
z = f ( x1 , x2 ,..., xn ) .
Consideremos
∆x = (∆x1 , ∆x2 ,..., ∆xn )
o
acréscimo nas variáveis independentes x1 , x2 ,..., xn .
Ao acréscimo ∆x corresponde o acréscimo ∆z na variável dependente z ,
sendo
∆z = f ( x + ∆x) − f ( x) .
5
Definição 3: Seja z = f ( x1 , x2 ,..., xn ) uma função real de n variáveis
reais.
O
vector
de
diferenciais
dx = (dx1, dx2 ,..., dxn )
nas
variáveis
independentes x1 , x2 ,..., xn é definido por dx = ∆x , i. é,
dx1 = ∆x1 , dx2 = ∆x2 ,..., dxn ∆xn
com ∆x o vector dos acréscimos nas variáveis independentes.
O diferencial dz na variável dependente z é definido por
dz =
∂f
∂f
∂f
( x)dx1 +
( x)dx2 + ... +
( x)dxn .
∂x1
∂x2
∂xn
Atendendo à definição anterior e sabendo que dz = ∆z quando ∆x → 0
concluímos que
f ( x + ∆x ) − f ( x ) ≈ dz ⇔ f ( x + ∆x ) ≈ f ( x ) + dz .
Exemplo 4: O diferencial total para w = f ( x, y, z , u ) , atendendo a que
dx = ∆x, dy = ∆y, dz = ∆z , du = ∆u
é:
dw =
∂w
∂w
∂w
∂w
( x, y, z , u )dx +
( x, y, z , u )dy +
( x, y, z , u )dx +
( x, y, z , u )du
∂x
∂y
∂z
∂u
6
Exemplo
Um
5:
valor
aproximado
f ( x, y ) = x 2 - 2 xy + 3 y quando
( x, y )
para
o
acréscimo
de
varia de ( −2,3) para ( −2.02,3.01) ,
pode ser calculado usando diferenciais. Atendendo a que:
dx = ∆x = −2.02 − (−2) = −0.02; dy = ∆y = 3.01 − 3 = 0.01
∂f
∂f
( x, y ) = 2 x − 2 y ⇒ (−2,3) = −4 − 6 = −10
∂x
∂x
∂f
∂f
( x, y ) = −2 x + 3 ⇒ (−2,3) = 4 + 3 = 7
∂y
∂y
Vem
∂f
∂f
(−2,3)dx + (−2,3)dy =
∂x
∂y
= −10 × (−0.02) + 7 × 0.01 = 0.2 + 0.07 = 0.27
∆f ≈ df =
6.4. Teorema da Derivada da Função Composta
Teorema 1:
• z = f ( x1 , x2 ,..., xn )
função
diferenciável
nas
n
variáveis
x1, x2 ,..., xn
• xi = gi (t1 , t2 ,..., tm ) função diferenciável nas
m variáveis
t1 , t 2 ,..., tm
• gi , i = 1,..., m funções com derivadas parciais contínuas
Então
∂z ∂z ∂x1 ∂z ∂x2
∂z ∂xn
, i = 1,..., m
=
+
+ ... +
∂ti ∂x1 ∂ti ∂x2 ∂ti
∂xn ∂ti
7
Exemplo 6: Sendo u ( s, r ) = s 2 + r
com s ( x, y ) = ln( x ⋅ y ) e r ( x, y ) = e xy ,
vem
∂u
∂u ∂s ∂u ∂r
⎛1⎞
( x, y ) =
+
= (2 s ) ⎜ ⎟ + 1. ye xy =
∂x
∂s ∂x ∂r ∂x
⎝ x⎠
.
1
2ln(
x
⋅
y
)
= 2ln( x ⋅ y ) + ye xy =
+ ye xy
x
x
Corolário 1:
• z = f ( x1 , x2 ,..., xn )
função
diferenciável
nas
n
variáveis
x1, x2 ,..., xn
• xi = g i (t ) função de uma variável com derivada contínua.
Então
∂z ∂z ∂x1 ∂z ∂x2
∂z ∂xn
=
+
+ ... +
∂t ∂x1 ∂t ∂x2 ∂t
∂xn ∂t
Exemplo 7: Sendo u ( x, y ) = ln( x ⋅ y ) com x(t ) = 3t 2 e y ( t ) = t 2 + 1 , vem
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y
=
+
=
∂t ∂x ∂t ∂y ∂t
1
1
2t
6t
t
= 6t +
= 2+
=
2
2
x
y 2 t 2 + 1 3t
t +1 t +1
2
t
2t 2 + 2 + t 2 3t 2 + 2
= + 2
=
= 3
2
t t +1
t (t + 1)
t +t
8
6.6. Noção de Gradiente e de Hessiana
Definição 4: Seja f : D ⊆ IR n → IR e x = ( x1, x2 ,..., xn ) ∈ int ( D ) .
O vector Gradiente ∇f ( x ) e a Matriz Hessiana ∇ 2 f ( x ) = H ( x ) são
definidos, respectivamente, por
⎡ ∂f
⎤
⎢ ∂ x ( x )⎥
1
⎢
⎥
f
∂
⎢
( x )⎥
∇ f (x ) = ⎢ ∂ x 2
⎥
⎢
⎥
M
⎢ ∂f
⎥
(
)
x
⎢
⎥
⎢⎣ ∂ x n
⎥⎦
e
⎤
⎡ ∂2 f
∂2 f
∂2 f
x
x
x
L
(
)
(
)
(
)
⎥
⎢
2
x
x
x
x
∂
∂
∂
∂
x
∂
2
1
n
1
1
⎥
⎢
2
2
2
⎥
⎢ ∂ f
∂ f
∂ f
x)
x
x
K
(
(
)
(
)
2
⎥.
⎢
2
∇ f ( x ) = ∂x1∂x2
x
x
∂
∂
x
∂
n 2
2
⎥
⎢
M
M
M
⎥
⎢
2
2
2
⎥
⎢ ∂ f
∂ f
∂ f
(x )
(x ) L
(x ) ⎥
⎢
∂x2 ∂xn
∂xn 2
⎥⎦
⎢⎣ ∂x1∂xn
Teorema 2: Teorema de Schwarz: Seja f : D ⊆ IR n → IR tal que
• f x1 , f x2 ,..., f xn e f xi x j existem numa bola aberta centrada em
(
)
x 0 = x10 , x20 ,..., xn0 ∈ int (D )
• f x1 , f x2 ,..., f xn e f xi x j são contínuas em x 0
então
( )
( )
( )
∃ f x j xi x 0 e f x j xi x 0 = f xi x j x 0 .
9
Nota: O Teorema de Schwarz garante a igualdade das derivadas mistas sob
determinadas condições.
Exercício 2: Calcule o gradiente e a hessiana das funções
2.1: f ( x, y, z ) = − z 3 − x 2 − 3 y 2 + 3 yz + 2 x
2.2: f ( x, y ) = ln( x + y ) + ln( x − y )
2.2: f ( x, y, z , t ) = x y z t
6.7. Extremos de Funções não Condicionadas
Definição 5: Chamamos menor principal de ordem k, ∆ k , de uma
matriz quadrada A de ordem n
(k ≤ n )
ao menor cuja diagonal é
constituída pelos primeiros k elementos da diagonal principal de A.
⎡1 0 − 1⎤
Exemplo 8: Sendo A = ⎢2 − 1 3 ⎥ os seus menores principais são
⎢
⎥
⎢⎣4 1
2 ⎥⎦
∆ 1 = 1 = 1; ∆ 2 =
1 0
= −1 ; ∆ 3 = A = −11
2 −1
Exercício 3: Identifique os menores principais das seguintes matrizes
⎡2
⎢2
3.1: ⎢
⎢0
⎢
⎣0
0 − 1 0⎤
1 − 1 0⎥
⎥
3 0 1⎥
⎥
3 − 2 0⎦
⎡0
⎢1
3.2: ⎢
⎢0
⎢
⎣0
1 0 0⎤
0 1 0⎥
⎥
1 0 1⎥
⎥
0 1 0⎦
10
Definição 6: Seja A uma matriz simétrica. Considerando a cadeia dos
menores principais da matriz A, dizemos que
• A matriz A é definida positiva se ∆ k > 0 ; k = 1, 2,..., n , i. é,
∆ 1 > 0 , ∆ 2 > 0 , ... , ∆ n > 0
• A matriz A é definida negativa se ( −1) ∆ k > 0 ; K = 1, 2,..., n , i. é,
k
∆ 1 < 0 , ∆ 2 > 0 , ... , (− 1)n ∆ n > 0
• Se pelo menos existe um menor nulo, então nada se conclui.
• A matriz A é indefinida em todos os restantes casos.
Exercício 4: Averigúe a natureza das seguintes matrizes:
⎡2
⎢2
4.1: ⎢
⎢− 1
⎢
⎣0
2 − 1 0⎤
1 3 3⎥
⎥
3 0 4⎥
⎥
3 4 0⎦
⎡5
⎢1
4.2: ⎢
⎢0
⎢
⎣0
1 0 0⎤
0 1 0⎥
⎥
1 0 1⎥
⎥
0 1 6⎦
Teorema 3. Condições de Optimalidade de 1ª Ordem
Seja f : D ⊆ IR n → IR uma função com derivadas parciais de 1ª ordem.
Se
f possui um extremo local em x 0 ∈ int (D )
então
( )
∇f x 0 = 0 .
Teorema 4. Condições suficientes de optimalidade de 2ª ordem:
11
Seja f : D ⊆ IR n → IR uma função com derivadas parciais de 2ª ordem
contínuas em x 0 ∈ int (D )
( )
( )
o Se ∇f x 0 = 0 e ∇ 2 f x 0 é definida positiva
Então
f possui um mínimo local em x 0 .
( )
( )
o Se ∇f x 0 = 0 e ∇ 2 f x 0 é definida negativa
Então
f possui um máximo local em x 0 .
( )
( )
o Se ∇f x 0 = 0 e ∇ 2 f x 0 é indefinida
Então
f possui um ponto sela em x 0 .
Exemplo 9: Determine, caso existam, os extremos relativos da seguinte
função
f ( x1, x2 , x3 , x4 ) =
1 2
2
2
3
x1 + 3 x2 + 5 x3 + x4 − 2 x1x2 + 2 x1x3 − 2 x2 x3 − 3 x4
2
• Condições de 1ª ordem:
⎧ x1 = 0
⎡ x1 − 2 x2 + 2 x3 ⎤
⎪x = 0
⎢ 6 x − 2x − 2x ⎥
2
1
3
⎥ = 0 ⇔ ⎪⎨ 2
∇f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = ⎢
⎢10 x3 + 2 x1 − 2 x2 ⎥
⎪ x3 = 0
⎢
⎥
⎪⎩ x4 = ±1
3 x42 − 3
⎣
⎦
Logo
P(0,0,0,1) e Q(0,0,0,−1) são pontos críticos
• Condições de 2ª ordem:
12
0 ⎤
⎡ 1 −2 2
⎢− 2 6 − 2 0 ⎥
2
⎥
∇ f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = ⎢
⎢ 2 − 2 10
0 ⎥
⎢
⎥
0
0 6 x4 ⎦
⎣0
¾ P(0,0,0,1)
⎡ 1 −2 2
⎢− 2 6 − 2
2
∇ f (0,0,0,1) = ⎢
⎢ 2 − 2 10
⎢
0
0
⎣0
→
0 ⎤ L2 +2 L1 ⎡1 − 2
0 ⎥ L3 −2 L1 ⎢0 2
⎢
⎥
⎢0 2
0⎥
⎢
⎥
6⎦
⎣0 0
2
2
6
0
→
0 ⎤ L3 − L2 ⎡1 − 2
⎢0 2
0⎥
⎥
⎢
⎢0 0
0⎥
⎥
⎢
6⎦
⎣0 0
0⎤
0⎥
⎥
0⎥
⎥
6⎦
2
2
4
0
Logo ∇ 2 f (0,0,0,1) é definida positiva ⇒ f (0,0,0,1) = −2 é mínimo local.
¾ Q(0,0,0,−1)
0 ⎤
⎡ 1 −2 2
⎢− 2 6 − 2 0 ⎥
2
⎥
∇ f (0,0,0,−1) = ⎢
⎢ 2 − 2 10 0 ⎥
⎢
⎥
0
0 − 6⎦
⎣0
Logo ∇ 2 f (0,0,0,−1) é indefinida ⇒ Q(0,0,0,−1) é ponto sela.
Exercício 5: Calcule através da teoria dos menores principais, caso existam,
os extremos e/ou os pontos sela da função f ( x, y, z ) =
1 2
x + yz − x − z .
2
6.8. Extremos de Funções Condicionadas: Multiplicadores de Lagrange
13
O método dos multiplicadores de Lagrange, permite obter os pontos nos
quais uma função sujeita a determinadas condições, pode ter extremos.
(
)
Teorema 5: Seja x 0 = x10 , x20 ,..., xn0 um extremo da função f ( x1 , x2 ,..., xn )
sujeita às restrições g i ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0 ; (i = 1,2,..., m ) .
Se
(
) (
)
(
)
(
L x1 , x 2 ,..., x n , λ1 , λ2 ,..., λm = x1 , x 2 ,..., x n + λ1 g 1 x1 , x 2 ,..., xn + ... + λm g m x1 , x 2 ,..., xn
Então
(
) (
)
)
∃ λ0 = λ01 , λ02 ,..., λ0m : ∇L x0 , λ0 = 0 .
Aos números λ1 , λ2 ,..., λm , chamamos multiplicadores de Lagrange
O teorema anterior afirma que os extremos da função f sujeita às m restrições
g i ( x1 , x2 ,..., xn ), só podem ocorrer em pontos de estacionaridade da nova
função L( x1 , x2 ,..., xn , λ1 , λ2 ,..., λm ) .
Existe um processo analítico para decidir se um ponto de estacionaridade x 0
da função L( x, λ ) é máximo ou mínimo da função f ( x ) , sujeita às condições
g i ( x ) ; (i = 1,2,..., m ):
Considere-se a matriz
14
⎡0
0
0 ⎞
⎛
HL ⎜ x ,λ ⎟ = ⎢ T
⎝
⎠ ⎢⎣ J g
⎡
⎢ 0
⎢
⎢ M
⎢ 0
J ⎤ ⎢
g
⎥ = ⎢ ∂g
2
∇ ⎥ ⎢ 1 x0
L⎦
⎢ ∂x1
⎢
⎢ M
⎢ ∂g 1 0
⎢ ∂x x
⎣ n
∂g
L
()
()
0
O
M
K
0
∂g
L
O
L
∂g
∂x
∂g
∂2L
x0
∂x 2
1
()
x0
L
M
()
O
∂g
∂x
1
m
∂x
()
m
∂x
∂x
1
x0
∂g
L
∂x
1
( )
x 0 , λ0
∂x ∂x
n
m
()
x0
n
M
( )
∂2L
∂x ∂x
1
x 0 , λ0
x0
n
M
O
x0
n
x 0 , λ0
1
M
∂2L
L
∂x 2
n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
()
( )
m
∂2L
L
1
M
()
1
( )
x 0 , λ0
n
onde
⎡ ∂g ⎤
J g = ⎢ i ⎥ , (i = 1,2 ,..., m ; j = 1,2 ,..., n ),
⎢⎣ ∂x j ⎥⎦ (x0 )
J gT é a transposta de J g ,
(
)
0 é a matriz nula e ∇ 2L é a matriz hessiana de L em x0 , λ0 ,
∆ k o menor principal de ordem k da matriz
H
⎛ x 0 , λ0 ⎞
⎟
⎜
L
⎝
⎠
Então
m
⎧∆ 2 m + 1 > 0
⎪
par ⇒ ⎨
⎪
⎩∆ 2 m + 1 < 0
⎧∆ 2 m + 1 < 0
⎪
m ímpar ⇒ ⎨
⎪
⎩∆ 2 m + 1 > 0
( 0 )é mínimo
∆ 2m+ 2 > 0
∆ 2m + 3 > 0
...
∆m+n > 0 ⇒ f x
∆ 2m+ 2 > 0
∆ 2m + 3 < 0
...
(− 1)m + n ∆ m + n > 0 ⇒
( 0 )é máximo
f x
( 0 )é mínimo
∆ 2m+ 2 < 0
∆ 2m + 3 < 0
...
∆m+n < 0 ⇒ f x
∆ 2m+ 2 < 0
∆ 2m + 3 > 0
...
(− 1)m + n ∆ m + n < 0 ⇒
( 0 )é máximo
f x
15
Exemplo 10. Calcule os extremos de f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 sujeita às
restrições x 2 + y 2 + 2 z − 18 = 0 e x + y − 4 = 0 .
Resolução:
(
)
L( x , y , z , λ1 , λ2 ) = x 2 + y 2 + z 2 + λ1 x 2 + y 2 + 2 z − 18 + λ2 ( x + y − 4 ) ⇒
⎧2 x + 2 xλ1 + λ2 = 0
⎪
⎪2 y + 2 yλ1 + λ2 = 0
⎪
∇L( x , y , z , λ1 , λ2 ) = 0 ⇔ ⎨2 z + 2λ1 = 0
⎪ 2
2
⎪ x + y + 2 z − 18 = 0
⎪⎩ x + y − 4 = 0
(1)
(2 )
(3)
(4 )
(5 )
Subtraindo à equação (1) a equação (2 ) , obtemos:
2( x − y ) + 2( x − y )λ1 = 0 ⇔ 2( x − y )(1 + λ1 ) = 0 ⇔ x = y ∨ λ1 = −1
• Se x = y , vem:
⎧2 x + 2 xλ1 + λ2 = 0
⎧λ2 = 16
⎪2 z + 2 λ = 0
⎪λ = −5
1
⎪
⎪
⇔⎨ 1
⇒ ( x , y , z , λ1 , λ2 ) = (2 ,2 ,5 ,−5 ,16 )
⎨ 2
=
z
5
+
−
=
2
x
2
z
18
0
⎪
⎪
⎪⎩ x = 2
⎪⎩2 x − 4 = 0
• Se λ1 = −1 , vem:
⎧λ2 = 0
⎧− − − − − −
⎧− − − − − −
⎪z = 1
⎪− − − − − −
⎪− − − − − −
⎪
⎪
⎪
⇔
⇒
⇔
⎨
⎨ 2
⎨
2
2
x
0
x
4
=
∨
=
⎪ x + y − 16 = 0
⎪
⎪2 x − 8 x = 0
⎪⎩ y = 4 − x
⎪⎩− − − − − −
⎪⎩− − − − − −
⇒ ( x , y , z , λ1 , λ2 ) = (0 ,4 ,1,−1,0 ) ∨ ( x , y , z , λ1 , λ2 ) = (4 ,0 ,1,−1,0 )
16
Temos m = 2 (2 restrições), n = 3 (3 variáveis) donde
∆2 m +1 = ∆m + n = ∆5 e H L
(x , y , z , λ , λ )
1
2
⎡0
⎢0
= ⎢2 x
⎢
⎢2 y
⎣⎢ 2
0
2x
0
1
1 2 + 2λ
1
2y
1
0
2⎤
0⎥
0⎥
0
1
0
2 + 2λ
0
0
0
⎥
⎥
2⎦
⎥
1
Então
⎡0
⎢0
• ( x , y , z ,λ1 , λ2 ) = (2 ,2 ,5 ,−5 ,16 ) ⇒ H L (2 ,2 ,5 ,−5 ,16 ) = ⎢4
⎢4
⎢
⎣2
∆5 = −64 < 0 ⇒ f (2 ,2 ,5 ) = 33 é máximo
⎡0
⎢0
• ( x , y , z , λ1 , λ2 ) = (0 ,4 ,1,−1,0 ) ⇒ H L (0 ,4 ,1,−1,0 ) = ⎢0
⎢8
⎢
⎣2
∆5 = 128 > 0 ⇒ f (0 ,4 ,1) = 17 é mínimo
⎡0
⎢0
• ( x , y , z , λ1 , λ2 ) = (4 ,0 ,1,−1,0 ) ⇒ H L (4 ,0 ,1,−1,0 ) = ⎢8
⎢0
⎢
⎣2
0
0
1
1
0 4
4
0 1
1
1 −8 0
1 0 −8
2⎤
0⎥
0⎥
0⎥
0
2⎦
0
1
0
0
0
8
1
0
0
0
⎥
2⎤
0⎥
0⎥
0⎥
⎥
0 0 0 2⎦
0
0
1
1
8
1
0
0
0
1
0
0
2⎤
0⎥
0⎥
0⎥
⎥
0 0 0 2⎦
∆5 = 128 > 0 ⇒ f (4 ,0 ,1) = 17 é mínimo
Exercício 6: Calcule através dos multiplicadores de Lagrange, caso existam,
os extremos e/ou os pontos sela da função f ( x , y , z ) = x 2 + 3 y 2 + 5 z 2 sujeita à
restrição 2 x + 3 y + 5 z = 18 .
17
6.9. Exercı́cios
1. Calcule o gradiente das seguintes funções:
1
1
a) f (x, y, z) = − x2 + 4xy 2 + 4zy 2 − z 2
2
2
c) f (x, y, z) =
b) f (t, v, u) =
p
2
ln(tv) − u2 et + u3 − v 2
x2
+ zx − 2
y−1
2. Calcule a matriz hessiana das seguintes funções:
a) f (x, y) = ln(x + y) − ex+y
b) f (x, y, z) = x2 y − 3zxy + 2x + 1
3. Determine os extremos e os pontos sela para as seguintes funções:
a) f (x, y) = x2 + 4y 2 − x + 2y
b) f (x, y, z) = −x3 + 3xz + 2y − y 2 − 3z 2
c) f (x, y, z) = −z 3 − x2 − 3y 2 + 3yz + 2x
4. Use os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos de f sujeitos aos vı́nculos
indicados.
a) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , x − y + z = 6
b) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , x − y = 1, y 2 − z 2 − 1 = 0
c) f (x, y, z) = x + y + z, x2 + y 2 + z 2 = 27
5. Considere a função real de duas variáveis reais definida por f (x, y) = x2 − 2x + y 2 + 2y − 1
sujeita à condição −2x + 2y = 1.
1 1
é ponto crı́tico de f sujeita à restrição dada,
a) Verifique que o ponto P0 − ,
4 4
5
quando o multiplicador de Lagrange é λ = − .
4
1 1
b) Mostre que f sujeita à restrição dada tem um mı́nimo local em P0 − ,
.
4 4
6. Considere a função real de duas variáveis reais f (x, y) = x2 + y 2 − 2x − 2y.
a) Mostre que f admite um único mı́nimo e determine-o.
b) Determine o valor do real β para o qual o mı́nimo da função z = f (x, y) sujeita à
condição de ligação x + y = β é igual ao mı́nimo de f encontrado na alı́nea anterior.
1
7. Sobre uma função g(x, y, z) sabe-se que os únicos pontos que satisfazem a condição
▽g(x, y, z) = 0 são (0, 0, 1) e (0, 0, −1) e que

−2 2 0


▽ g(x, y, z) =  2 2 0

0 0 6z
2





Indique, justificando devidamente o valor lógico das seguintes afirmações:
a) Os pontos crı́ticos de g são apenas (0, 0, 1) e (0, 0, −1).
b) A representação analı́tica de g pode ser g(x, y, z) = −x2 + y 2 + z 3 + 2xy − 3z
c) g tem um máximo local em (0, 0, −1)
d) O ponto (1, 2, 3) é ponto sela de g.
e) ▽2 g(0, 0, 1) é definida negativa.
8. Sabe-se que o gradiente de uma função f é ▽f (x, y, z) =
h
α x+y z
iT
, α ∈ IR
T
∂f
∂f
∂2f
a) Mostre ▽ f (x, y, z).▽f (x, y, z) = ▽f (x, y, z)−
(x, y, z) − (x, y, z)
(x, y, z)
∂x
∂x
∂x∂z
2
b) Determine, se possı́vel, os valores de α para os quais f admite pontos crı́ticos. No
caso de existir α, quantos pontos crı́ticos existem?
9. Um empresário estima que as vendas anuais, em milhares de unidades, são em função
dos valores investidos em publicidade na televisão e rádio. A função que especifica esta
relação é
V (x, y) = 50x + 50y − 10x2 − 15y 2 − 10xy
onde x é o valor, em milhões de euros, gastos na publicidade na rádio e NV = V (x, y) é o
número de unidades, em milhares, vendidas anualmente.
a) Determine quanto deve o empresário gastar no total em publicidade na televisão e na
rádio de forma a maximizar as vendas anuais. Neste caso, quantas unidades espera
o empresário vender?
b) Sabendo que, para 2007, o investimento previsto em publicidade é de 1.5 milhões de
euros, determine a quantia que deve gastar em publicidade na televisão e a quantia
que deve gastar em publicidade na rádio de forma a maximizar o número de unidades
vendidas.
2