III Lista Gabarito -2012 - FTP da PUC

III Lista de Exercícios de FÍSICA C
1 – Seja um condutor esférico de raio R carregado com carga Q (positiva).
Calcule:
a)O campo elétrico gerado em pontos internos e externos á esfera.
Interno: Como no interior do condutor E=0, calculamos apenas para pontos
externos. Supor P a uma distância D do centro da esfera, (maior que o raio R).
1 Q
1 Q
E

 0 As  0 4D 2
b)A densidade de carga superficial
Q
 
, onde R é o raio da esfera que está carregada
4R 2
c)O trabalho para transportar
q (positiva) entre dois pontos:
  uma carga

Em geral T   Fext .dl  q  E.dl onde γ é o caminho.


 
E.dl  E.dl cos .
i)internos à esfera
como no interior da esfera E=0, o trabalho é nulo
ii)externos, dispostos a uma mesma distância do centro da esfera.
Considere um caminho entre estes pontos que mantenha sempre a mesma
distância do centro (e já vimos que independe do caminho). Neste caso, o 

ângulo entre as linhas de Campo e o elemento de linha dl que está sempre
tangente em cada ponto do caminho é sempre 90º.. Logo o trabalho é nulo.
  90 0
cos   0
E
T  0, não há gasto energético para executar
tal movimento, independen te do caminho.
dl
iii)externos, dispostos a distâncias distintas do centro da esfera.
A
E ortogonal a dl
E paralelo a dl
B
Separamos o caminho em dois trechos. Em um a
distância ao centro é constante. E é ortogonal a dl
e θ=90º.
Ao longo deste trecho T=0.
No outro, caminhamos ao longo de um raia, E é
paralelo a dl portanto, θ=0 (ou 180).
Separando o caminho em dois trechos estudamos um ao longo do qual a
distância em relação ao centro é constante, e depois caminhamos radialmente.
No primeiro trecho V é constante. No segundo teremos:
T  q  Edl cos 
para   0
T  q  Edl  q  Q
 qQ
4 0
4 0 l
2
dl  qQ
4 0
1
l
2
dl
(1  1 )
B
A
onde chamamos de A e B as distâncias respectivas dos pontos em relação ao
centro
Se Q for positivo T é negativo (estamos ganhando energia do sistema, ou o
sistema está diminuindo sua energia potencial), e se Q for negativo T é positivo
(trabalho da força externa positivo, ele sede energia ao sistema convertida em
energia potencial).
2 – Considere agora uma placa condutora espessa de área A (“infinita”)
carregada com carga Q (positiva). Calcule:
a)O campo elétrico gerado pela placa,
b)A densidade de carga superficial
Sobre a superifície (pontilhada) a densidade de linhas é
constante.
O campo vale:
E 1
0
Q / 2A
como   Q
E 
2A
0
Onde A é a área da placa e a densidade de carga σ é a
metade da densidade de carga para placas sem espessura
pois neste caso as cargas excedentes se dividem nas
duas superfícies externas da placa.
c)O trabalho para transportar uma carga q (positiva) entre dois pontos:
i)internos à placa
Como E=0, T=0
ii)externos, dispostos a uma mesma distância da placa.
Aplicando as mesmas considerações anteriores, para pontos a uma mesma
distância, o elemento de linha dl é ortogonal a E e portanto o produto escalar
sendo 0 entre E e dl (dentro da integral) T=0.
iii)externos, dispostos a distâncias distintas da placa.
Supondo distâncias A e B (vide figura) obtemos: T=   q (B  A)
 0 
A diferentes distâncias pegamos um caminho
com trecho I a distância constante da placa e
II variando a distância, caminhando
paralelamente à linha de Campo de E. Então:
Em I
A

E.dl  Edl cos   0
pois  90  V  0
B
Em II

E.dl  Edl cos   Edl
pois  0  T  q  Edl
 qE  dl   q (B  A)
0 

3 – Temos um campo elétrico para pontos próximos a superfícies da Terra para
baixo de 120N/C. Calcule:
a)Qual a densidade de carga superficial da Terra (faça a aproximação para
Campo constante)?
Como já vimos, para pontos próximos a superfície teremos:
E= σ/ε0 e portanto, σ = E.ε0 = 120x8,854x10-12C/m2 = 10,6x10-10 C/m2
b)Qual a carga total da Terra para gerar este campo.
Q= σ.ATerra =10,62x10-10x4π(6,37x106)2=54,15x104C
c)Qual a diferença de potencial entre um ponto na Terra e um ponto a 500m de
altura.
Aplicando o cálculo do exercício anterior, (uma vez que é a mesma
aproximação isto é aproximação para campo constante), temos:
ΔV=-σ/ε0(B-A) = -120x(500) = -60000V
4 – Considere uma nuvem a uma distância h da superfície da Terra, carregada
com uma carga total 5C e área superficial 1km2 e a superfície da Terra com
campo E=120N/C para baixo aproximadamente constante.
a)Como são os campos resultantes para pontos acima e abaixo da nuvem?
O campo da nuvem é:
Abaixo da nuvem para baixo e acima da nuvem para cima pois Q é positiva.
O módulo de E é constante (aproximação para plano infinito) para ponto
próximos da nuvem. Desta forma teremos:
E
1
Q
5

 2,84 x10 6 N / C =
12
3 2
 0 2 Anuvem 8,8 x10 .2.(10 )
Abaixo e acima da nuvem o campo total será:
abaixo
abaixo :
E total  E nuvem  ETerra
 (2,84 x10 6  120 )N / C
acima :
E total  E nuvem  ETerra
 (2,84 x10 6  120 )N / C
Note que nos dois casos o campo a Terra está aquém da própria precisão do
valor usado para o campo da nuvem. Portanto em ambos os casos prevalecerá
apenas o campo da nuvem.
b)Qual a ddp entre a nuvem e a superfície terrestre?
Considerando que as linhas de Campo são ortogonais à nuvem e à superfície da
Terra então teremos:
ΔV=-∫Edl=2,84x106.h,
Onde h é a distância entre a superfície da Terá e a nuvem
b)Se considerarmos que um raio descarrega a nuvem em aproximadamente
0,01s, qual a corrente elétrica gerada na descarga?
I=ΔQ/Δt =5/0,01=500A
c)Qual a resistência do ar efetiva?
Levando em conta a Lei de Ohm teremos
ΔV=Ri
ΔV/i=R=2,84x106.D/500 = 5,68x103D Ω
5- Quando se considerada o suprimento de energia para um automóvel, a
energia por unidade de massa da fonte de energia é um parâmetro importante.
Utilizando os seguintes dados, compare a energia por unidade de massa (J/kg)
para a gasolina, baterias de chumbo e capacitores.
Gasolina: 126000Btu/gal; densidade=670gk/m3
Bateria de chumbo: 12,0V, corrente = 100A.h, massa = 16,0kg
Capacitor: diferença de potencial a plena carga = 12,0V, capacitância=0,1 F,
massa = 1,0k
Será resolvido em sala em momento oportuno.
6 – Uma determinada nuvem tem uma diferença de potencial de 1,00x108V
relativa a uma árvore. Se durante uma tempestade 50,0C de carga são
transferidos por essa diferença de potencial e 1,0% da energia é absorvida pela
árvore, quanta seiva da árvore pode desaparecer por ebulição?
(considere a seiva a 30º.C iniciais e considere como calor
específico=4186J/kg.o.C e calor latente de vaporização2,26x106 J/kg).
a)A energia transferida é medida pelo trabalho para deslocar a carga de 50,0C
ao longo do campo. Supondo esta descarga “instantânea” - o suficiente para
que possammos considerar a D.D.P. constante durante a descarga, então:
τ= trabalho = -Q∫E.dl = -Q.ΔV = 50,0x1,00x108 =50,0x108J
considerando 1% desta energia:
Etransferida =50,0x106J
Esta energia será gasta para aquecer (de 30 a 100 graus) e depois vaporizar a
seiva.
Para este fenômeno teríamos:
m.c.Δt+m.L=m(4186x70+2,26x106) = m.2553020 J
𝑚 ∗ 2553020 = 50 ∗ 106
≈ 19.6𝑘𝑔
Etransferida =(50,0x106 )= m.2553020
m=(50,0 x106/2553020)≈19,6kg de seiva.
7 – Desejamos fabricar um papel pega-mosca no seguinte esquema: A mosca
(inicialmente neutra) é atraída pelo instinto a um tentador doce eletrizado
(esférico de raio 5cm). Ao pousar no doce adquire em média carga de +0,5µC.
Próximo a este “doce elétrico”, temos um papel pega mosca carregado
negativamente com um campo de 1 N/C.
a)Qual o sinal da carga do doce e como é a força entre este e a mosca logo
após o seu pouso, e qual a intensidade da força a uma distância de 10cm da
superfície do doce, considerando que a carga se redistribui homogeneamente
na superfície total?
b)A mosca é inicialmente atraída ao papel, mas caindo em si, põem-se
bravamente a lutar pela sua sobrevivência. Qual a energia gasta por ela para
voar de uma distância de 2 cm à uma distância de 30 cm, onde estaria livre do
campo do papel?
a)Como a força entre o papel e a mosca é atrativa a carga adquirida por ela
deve ser positiva. Logo o doce também é positivo. Portanto a força entre o
doce e a mosca é repulsiva.
Para calcular tal força podemos ou calcular o campo gerado pelo doce no ponto
dado considerar a carga do doce como se estivesse num ponto no centro do
doce e utilizar a lei de Coulomb.
Calculando o Campo do doce:
F=qEdoce
Edoce = 1/ε0 Q/A, onde A é a área da superfície que passa pelo ponto dado,
sobre a qual a densidade de linhas e portanto o campo é constante. No caso
pela simetria do problema a superfície é uma casca esférica de raio
R=(5+10+0,5)cm=(15,5)cm=(15,5x10-2)m
Edoce=(1/8,854x10-12).Qdoce./4.π.(15,5x10-2)2
𝑄𝑑𝑜𝑐𝑒
1
𝐸=
∗
−12
8.854 ∗ 10
4 ∗ 𝜋 ∗ (15.5 ∗ 10−2 )2
5000000000000000000 𝑄𝑑𝑜𝑐𝑒
𝐸=
4254347 𝜋
≈ 3.74 ∗ 1011 ∗ 𝑄𝑑𝑜𝑐𝑒
Para obter o Qdoce, vamos considerar que após o contato a carga total se
redistribuiu homogeneamente na superfície total isto é do doce e da mosca
juntas.
𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
𝜎𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 =
𝐴𝑚𝑜𝑠𝑐𝑎 + 𝐴𝐷𝑜𝑐𝑒
Como 𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑄𝑚𝑜𝑠𝑐𝑎 + 𝑄𝑑𝑜𝑐𝑒 = 0.5 ∗ 10−6 + 𝑄𝑑𝑜𝑐𝑒
0.5 ∗ 10−6 + 𝑄𝑑𝑜𝑐𝑒
0.5 ∗ 10−6 + 𝑄𝑑𝑜𝑐𝑒
=
𝐴𝑚𝑜𝑠𝑐𝑎 + 𝐴𝐷𝑜𝑐𝑒
4 ∗ 𝜋 ∗ (0.5 ∗ 10−2 )2 + 4 ∗ 𝜋 ∗ (5 ∗ 10−2 )2
Esta será a densidade superficial tanto do doce como da mosca.
𝑄
Igualando o resultado acima com 𝜎𝑑𝑜𝑐𝑒 = 𝑑𝑜𝑐𝑒⁄𝐴
𝐷𝑜𝑐𝑒
𝑄𝑑𝑜𝑐𝑒
0.5 ∗ 10−6 + 𝑄𝑑𝑜𝑐𝑒
=
𝐴𝐷𝑜𝑐𝑒 4 ∗ 𝜋 ∗ (0.5 ∗ 10−2 )2 + 4 ∗ 𝜋 ∗ (5 ∗ 10−2 )2
𝑄𝑑𝑜𝑐𝑒
0.5 ∗ 10−6 + 𝑄𝑑𝑜𝑐𝑒
=
4 ∗ 𝜋 ∗ (5 ∗ 10−2 )2 4 ∗ 𝜋 ∗ (0.5 ∗ 10−2 )2 + 4 ∗ 𝜋 ∗ (5 ∗ 10−2 )2
1
𝑄𝑑𝑜𝑐𝑒 =
𝐶
20000
Resolvendo agora para a mosca:
𝑄𝑑𝑜𝑐𝑒 𝑄𝑚𝑜𝑠𝑐𝑎
=
𝐴𝐷𝑜𝑐𝑒 𝐴𝑚𝑜𝑠𝑐𝑎
1
𝑄𝑚𝑜𝑠𝑐𝑎
20000
=
−2
2
4 ∗ 𝜋 ∗ (5 ∗ 10 )
4 ∗ 𝜋 ∗ (0.5 ∗ 10−2 )2
1
𝑄𝑚𝑜𝑠𝑐𝑎 =
2000000
Logo, achando Edoce
𝐸𝑑𝑜𝑐𝑒 ≈ 3.74 ∗ 1011 ∗ 𝑄𝑑𝑜𝑐𝑒
1
𝐸𝑑𝑜𝑐𝑒 ≈ 3.74 ∗ 1011 ∗
20000
Desta forma:
A força sobre a mosca será:
𝐸𝑑𝑜𝑐𝑒 ≈ 1,87 × 107 𝑁⁄𝐶
𝐹 = 𝑄𝑚𝑜𝑠𝑐𝑎 ∗ 𝐸𝑑𝑜𝑐𝑒
1
𝐹=
∗ 1.87 ∗ 107
2000000
187
𝐹=
𝑁
20
𝐹 = 9.35𝑁
b)Considerando o vôo numa trajetória ortogonal ao papel e portanto paralela (e
oposta, portanto ganhando um sinal negativo no produto escalar de E por dl) às
linhas de Campo temos:
𝜏 = −𝑄𝑚𝑜𝑠𝑐𝑎 ∫ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑑𝑜𝑐𝑒 . ⃗⃗⃗
𝑑𝑙 =
= −𝑄𝑚𝑜𝑠𝑐𝑎 ∫ 𝐸. 𝑑𝑙. 𝑐𝑜𝑠(𝜃)
= 𝑄𝑚𝑜𝑠𝑐𝑎 ∗ 𝐸 ∫ 𝑑𝑙
−2
30∗10
1
7
=
∗ 1.87 ∗ 10 ∗ ∫
𝑑𝑙
2000000
2∗10−2
= 2.618𝐽
c) A ddp é dada por:
Δ𝑉 = − ∫ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑑𝑜𝑐𝑒 . ⃗⃗⃗
𝑑𝑙
30∗10−2
7
= 1.87 ∗ 10 ∗ ∫
𝑑𝑙
2∗10−2
5
Δ𝑉 = 52,36 ∗ 10 𝑉
8 – Considere um capacitor de placas paralelas de área A=10cm que distam
uma d=2cm uma da outra. Podemos considerar a energia armazenada no
capacitor inicialmente suas placas neutras então transportamos pequenas
quantidades de carga e leva de uma placa a outra. Fazendo este procedimento
ao final teremos uma placa carregada com carga +Q e a outra com carga –Q. A
trabalho executado neste processo é a energia acumulada no capacitor. Mostre
que esta energia é:
Será resolvido em classe no momento oportuno.