O Quatro é um Quadrado Série Mátema

O Quatro é um Quadrado
Série Mátema
Objetivos
1. Contar um pouco da história do número
quatro e dos números quadrados;
2. Fazer algumas considerações sobre o
famoso teorema de Fermat.
O Quatro é um
Quadrado
Série
Mátema
Conteúdos
História da matemática.
Duração
Aprox. 10 minutos.
Objetivos
1. Contar um pouco da história
do número quatro e dos números
quadrados;
2. Fazer algumas considerações
sobre o famoso teorema de
Fermat.
Sinopse
Através da história O quatro é
um quadrado, a professora
apresenta a Joãozinho e Sofia
uma parte da longa história do
número quatro e dos números
quadrados. O programa mostra
ainda alguns fatos marcantes da
intrigante história envolvendo o
último teorema de Fermat.
Material relacionado
Áudios: Teorema de Fermat;
Experimentos: Qual é a área do
quadrilátero;
Introdução
Sobre a série
A série Mátema levanta aspectos históricos dos fundamentos da
matemática. O contexto da ficção tem o objetivo de tornar o programa
interessante para o ensino médio e para adolescentes, uma vez que
faz uso do estereótipo do Joãozinho, da Sofia e da professora. Em
geral, os assuntos são mais elaborados do que os que são vistos nos
programas de ensino médio. No entanto, o programa traz ricas
informações e tem o devido cuidado com as definições e conclusões
matemáticas.
Sobre o programa
Aqui reproduzimos parte de uma versão do roteiro original do prof.
Dicesar Fernandes que deu origem ao programa.
Primeira Parte:
Oi, gente, estamos novamente com vocês de volta com o
Joãozinho, aquele menino terrível, a Sofia, aquela aluna aplicada, mas
que tem uma queda por atormentar o Joãozinho, e nossa gentil e
simpática professora, para contar mais uma das muitas histórias da
história da matemática.
Hoje, vamos conversar sobre o número quatro, sobre os números
quadrados e sobre um problema relacionado que levou mais de 350
anos para ser resolvido. Esse problema é conhecido como o último
teorema de Fermat. Vamos também falar do notável Euler, de Gauss e
de um nome estranho, Andrew Wiles, aliás, Sir Andrew Wiles. Agora,
acompanhe-nos com nossa história: O QUATRO É UM QUADRADO
Joãozinho:
Chega! Não aguento mais essa música!
Professora:
O que foi Joãozinho?
ÁUDIO
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Sofia:
Não foi nada, professora, ele é um estraga prazeres mesmo.
Joãozinho:
Essa música é de criança! Quem inventou isso? Um,
dois, feijão com arroz...
Professora: Calma, gente! Quem inventou isso não sei. Mas é muito
interessante que existam tantas expressões envolvendo o número
quatro. Pensem só: gritar aos quatro ventos, procurar nos quatro
cantos do mundo, tão certo quanto duas vezes dois é igual a quatro.
Sofia:
Tem outra, professora: melhor um pássaro na mão que
quatro Joãozinhos sentados.
Professora: Sofia, não comece com provocações. O Joãozinho
levantou um assunto muito interessante, que dá muito pano pra
manga e vai acabar no infinito.
Joãozinho:
O que, dona? Só não queria mais ouvir cantar essa
música, não quero acabar no infinito.
Professora:
Acalme-se Joãozinho, isso vai ser em outra aula.
Sofia:
Sei, professora, isso do infinito é meio complicado, mas o
quatro não é um simples número?
Professora: É um simples número, mas é também o primeiro
quadrado perfeito maior que um. Quatro é dois ao quadrado. Para os
pitagóricos, era um número místico, representava os elementos
essenciais: ar, água, terra e fogo.
Joãozinho:
Ei, dona, eu sei que a gente fala dois ao quadrado. Mas
que sentido tem isso?
Professora: Essa linguagem é uma herança dos gregos, Joãozinho.
Os gregos tinham uma visão geométrica das coisas. Pitágoras, e talvez
outros antes dele, contava e calculava com pequenas pedras. Veja que
com quatro pedras você pode formar um quadrado. Cada lado é
definido por duas pedras. Você sabe quando um número é chamado
um quadrado perfeito?
ÁUDIO
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Joãozinho:
Ah, sei lá!
Sofia:
Eu sei! Um número é um quadrado perfeito se for o produto
de outro número por ele mesmo!
Professora: Muito bem, Sofia! Mas você imagina porque esses
números são chamados quadrados perfeitos?
Sofia:
Bem... Isso eu não sei.
Joãozinho:
Se deu mal, sabichona!
Professora: É porque, a exemplo do quatro, pegando pedrinhas ou
fazendo pontos num papel, podemos construir outros quadrados,
completando o quadrado do quatro. Aliás, os gregos estudavam não
só os números quadrados, mas também os triangulares, os
retangulares, os pentagonais e assim em diante. Mas hoje estamos
falando apenas dos números quadrados.
Sofia:
Mas, professora, o que é estudar um número quadrado, ou
outro qualquer?
Professora: Estudar esses números é procurar propriedades dos
mesmos, Sofia. Por exemplo, note que quatro é igual a um mais três.
Nove é três ao quadrado, mas também é um mais três mais cinco.
Qual é então o próximo número quadrado?
Sofia:
Bem... Vamos ver é...
Joãozinho:
Vai, sua espertalhona, vai...
Sofia:
DEZESSEIS! Dezesseis, que é quatro ao quadrado e é também
um mais três mais cinco mais sete.
Joãozinho:
Exibida...
Professora:
Por favor, Joãozinho, chega de provocações.
ÁUDIO
O Quatro é um Quadrado I 5/14
Sofia:
Professora! Eu calculei o próximo quadrado perfeito. É vinte e
cinco. Cinco ao quadrado.
Professora: Muito bem, mas note que vinte cinco também é um
mais três mais cinco mais sete mais nove. A soma dos cinco primeiros
números ímpares.
Sofia:
Que interessante! Os números quadrados são somas de
números ímpares!
Professora: Isso é um exemplo da aritmética que os gregos faziam.
Uma outra propriedade é que todo número retangular é soma de dois
números triangulares.
Joãozinho:
disso?
Professora, isso é lindo, mas o que eu ganho sabendo
Professora: Já te mostro o que você vai ganhar, Joãozinho... Mas,
apesar de que estudar as propriedades dos números, ou seja, a teoria
dos números, tenha sido por um bom tempo uma das partes da
matemática sem aplicações, hoje as coisas estão completamente
mudadas. A teoria dos números é muito importante, por exemplo, na
criptografia.
Sofia:
Essas histórias de criptas me assustam!
Professora: Nada haver, Sofia. Criptografia é uma ciência. Por
exemplo, vocês já viram, nos supermercados, que todos os produtos
têm uma etiqueta com muitas barrinhas. Aquelas barrinhas contém
várias informações, como o preço do produto. Isso é uma informação
criptografada. As barrinhas são distribuídas de acordo com leis
baseadas na teoria dos números.
Sofia:
Puxa, professora, a teoria dos números parece muito
interessante.
Professora: É verdade. Além disso, as propriedades dos números
que são usadas nas barrinhas já tinham sido estudadas por Gauss. No
ÁUDIO
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entanto, Gauss não tinha idéia para que essa propriedades serviam. E
vejam que Gauss era um homem prático, pois era também astrônomo.
Joãozinho:
Sofia:
Prático? Mas astrônomo não vive no mundo da lua?
Eu disse, é melhor ter um pássaro na mão que...
Bem, amigos, acho melhor fazermos um pequeno intervalo para o
Joãozinho e a Sofia esfriarem os ânimos. Depois voltaremos a falar de
quadrados. Aproveitem esse tempo e desenhem os primeiros
quadrados perfeitos, começando com o um e depois conservando o
anterior no canto esquerdo inferior completem em novos quadrados.
Depois, contem os pontos que formam esses quadrados. Bem, façam
isso que nós voltamos logo!
Segunda Parte:
Estamos de volta. O Joãozinho e a Sofia se entenderam depois que
a professora teve uma longa conversa com cada um. E agora, o que
será que eles descobrirão? Bom, ouçam a seguir o segundo bloco do
nosso programa de hoje.
Sofia:
Professora, por falar em quadrados, eu ouvi dizer que o
teorema de Pitágoras não é do Pitágoras. É verdade?
Professora: Parece que sim, Sofia. Casos particulares do chamado
teorema de Pitágoras já eram conhecidos desde, pelo menos, 1600
anos antes de Cristo, tanto no Egito quando na Mesopotâmia. A tripla
3, 4 e 5 era usada no Egito para construir triângulos retângulos. Na
Mesopotâmia, pelo menos o caso dos triângulos isósceles era
conhecido.
Joãozinho:
professora?
Mas porque então é chamado teorema de Pitágoras,
Professora: Para ser sincera eu não sei, e não acredito que alguém
saiba, Joãozinho. Pitágoras formou uma seita mística, com umas
regras curiosas que seus membros deviam respeitar. Depois da morte
de Pitágoras, a seita foi desfeita por problemas de poder. Mas
ÁUDIO
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pequenos grupos ou indivíduos, que se denominavam pitagóricos,
continuaram existindo, pelo menos até o século cinco depois de
Cristo. Como a geometria euclidiana continuava em moda e o teorema
da hipotenusa é um dos teoremas mais importantes, provavelmente foi
uma maneira dos pitagóricos homenagearem o mestre. Mesmo nos
Elementos de Euclides não há qualquer referência ao nome de
Pitágoras. Mas o que é realmente importante é o teorema e os
problemas associados. Por exemplo, achar triplas de números naturais
como x, y e z, tais que o quadrado de z seja decomposto na soma do
quadrado de x mais o quadrado de y.
Sofia:
Eu só conheço uma tripla, professora: 3, 4 e 5.
Professora: Mas existem muitas, Sofia. 15, 20 e 25 é uma tripla. 7,
24 e 25 é outra ... Na realidade, a construção dessas triplas, chamadas
triplas pitagóricas, têm uma história muito interessante.
Joãozinho:
Ah, é? E que história é essa, professora?
Professora: Olha, Joãozinho, por volta de 1650, havia em Toulouse,
na França, um advogado que era representante da justiça real
chamado Pierre de Fermat. Fermat, apesar de ser advogado e de viver
envolvido com leis, gostava muito de matemática. Na verdade, ele
gostava tanto de estudar matemática que acabou entrando para a
história da matemática, por vários motivos. Um deles está ligado aos
quadrados e triplas pitagóricas. Um dos teoremas que Fermat provou é
o seguinte: se um número primo tem a forma 4n+1, então é a
hipotenusa de apenas uma tripla pitagórica, mas seu quadrado é a
hipotenusa de duas triplas, seu cubo a hipotenusa de três triplas, e
assim por diante. Mas na realidade, ele é mais conhecido por um
teorema que ele não provou.
Sofia:
Que teorema é esse, professora?
Joãozinho:
Que mania de querer saber teoremas dessa menina.
Professora: Joãozinho! Bem, o livro que Fermat mais gostava tinha
por título justamente a palavra Aritmética. Esse livro foi escrito por
Diofanto de Alexandria. Diofanto viveu no século dois ou três depois
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de Cristo. A Aritmética de Diofanto trata de vários problemas
envolvendo números, e a edição que Fermat possuía tinhas generosas
margens. Exatamente nessas margens é que Fermat escreveu a
maioria de seus teoremas, sem demonstrações.
Sofia:
Se fosse o Joãozinho sabe-se lá o que ele ia escrever nas
margens!
Joãozinho:
Você tem certeza que quer saber?
Professora: Meninos! Bem, um dos problemas proposto no livro de
Diofanto era sobre as triplas pitagóricas: dividir um quadrado na soma
de dois quadrados. Em outras palavras, dado um número quadrado,
decompô-lo na soma de dois quadrados. Fermat escreveu ao lado:
“Mas um cubo não pode ser decomposto na soma de dois cubos; um
número elevado a quatro não pode ser decomposto na soma de dois
números elevado a quatro, e assim por diante”. Em outras palavras,
não existem triplas pitagóricas para potências maiores que dois.
Simples, não é?
Sofia:
Parece simples, professora, mas Fermat demonstrou isso em
algum lugar?
Professora: Na margem, ao lado do problema de Diofanto, Fermat
escreveu em seguida: descobri uma demonstração maravilhosa desse
teorema, mas é muito extensa e não cabe nesta margem. Ninguém viu
essa demonstração
Joãozinho:
gigantesca?
Ah, não acredito! Essa demonstração por acaso era
Sofia:
Mas, professora, como é que a gente vai confiar que um
número cubo não pode ser decomposto na soma de dois números
cubos?
Professora: Bem, depois da morte de Fermat, seu filho publicou uma
nova edição da Aritmética de Diofanto, incluindo todas as 48
anotações feita pelo seu pai. A partir disso, os matemáticos ficaram
intrigados com as observações e logo começaram a fazer as
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demonstrações dessas observações, uma por uma. Mas uma delas
resistiu. Justamente aquela em que Fermat afirmava não existir triplas
pitagóricas para potências maiores que dois. Alguns começaram a
duvidar se ele tinha mesmo demonstrado o teorema ou ainda se ele
era válido ou não. E ficou conhecido como o último teorema de
Fermat.
Sofia:
Mas alguém conseguiu demonstrar, professora?
Professora: Muitos tentaram! Euler, um dois mais notáveis
matemáticos da história demonstrou os casos n=3 e n=5. Já Gauss
desdenhou do assunto. Alguns chegaram a oferecer fortunas para
quem conseguisse demonstrar o último teorema de Fermat. Um
alemão, no começo do século vinte, ofereceu uma recompensa de cem
mil marcos, uma fortuna então.
Sofia:
E ninguém conseguiu provar o teorema de Fermat e
desistiram de tentar?
Professora: Pelo contrário, Sofia. Mesmo os insucessos nas
tentativas contribuíam para o avanço da matemática. E como Euler,
outros também deram suas contribuições. Por exemplo, um
matemático chamado Wagstaff demonstrou que o teorema era
verdadeiro de n=3 até n=125.000. Incrível, não? Posteriormente, em
1983, um matemático de nome Faltings demonstrou que para n maior
que três, se existissem as triplas, elas seriam em número finito.
Sofia:
difícil.
Pelo jeito a demonstração do teorema de Fermat é muito
Professora: Dificílima. No entanto, apareceu um matemático inglês,
nascido em 1953, chamado Andrew Wiles, professor numa importante
universidade americana. Wiles era bem conhecido entre especialistas.
Em 1993, ele agendou três conferências na universidade de
Cambridge. Mesmo sem ter anunciado o tema sobre o qual iria falar,
suas conferências foram bastante concorridas. Surpreendentemente,
Wiles anunciou que tinha a demonstração completa do último teorema
de Fermat! Tinha trabalhado sete anos quase em segredo e a
demonstração ocupava nada menos que duzentas páginas. Certamente
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não caberia na margem do livro de Diofanto, como observou o próprio
Fermat.
Sofia:
Então a história teve um final feliz?
Professora: Sabe que ainda não? Encontraram uma falha na
demonstração de Andrew Wiles.
Joãozinho:
Nossa, essa história não tem fim!
Professora: É, mas Wiles não desistiu. Trabalhou mais um ano e
conseguiu corrigir a falha. Os especialistas concordaram. Finalmente,
em 1994, 358 anos depois de Fermat ter escrito sua observação na
margem do livro de Diofanto, o último teorema de Fermat estava
demonstrado. A demonstração é tão difícil que somente poucos
especialistas conseguem acompanhar as idéias de Andrew Wiles.
Joãozinho:
Professora, eu não entendo o porquê de tanto esforço
por causa de um teoreminha, de um mísero teoreminha!
Pois é, Joãozinho, você pode não entender, mas esse teorema
colocou Andrew Wiles na história da matemática. Foi um feito tão
extraordinário que a rainha da Inglaterra fez dele um cavaleiro do
reino. Agora o professor de matemática Andrew Wiles chama-se Sir
Andrew Wiles.
Bem, amigos, essa foi mais uma das histórias da professora, da
Sofia e do Joãozinho. Muito obrigado pela atenção e até a próxima
história das muitas histórias da matemática.
Sugestões de atividades
Antes da execução
Sugere-se antes da execução do áudio que o professor aborde
questões referentes aos referentes aos números quadrados
ÁUDIO
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Definições:
Quadrado perfeito: É um número inteiro que representa o produto de
um outro número inteiro por ele mesmo.
Propriedades:
Os números quadrados podem ser formados por somas de
números ímpares.
1 = 12
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 42
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6 2
M
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + L + ( 2n − 1) = n 2
Ou seja, a soma dos primeiros n números ímpares é igual a n 2 .
Depois da execução
Sugere-se ao professor, após a execução do áudio, construir as formas
quadráticas propostas no intervalo dos blocos.
Exercício proposto:
O primeiro quadrado perfeito é o um:
Total de pontos = 1 x 1 = 1.
Aumentando-se uma unidade a cada lado temos o
próximo quadrado perfeito, o quatro:
Total de pontos do quadrado = 2 x 2 = 4.
Acrescentando mais uma unidade a cada lado do quadrado temos:
ÁUDIO
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Total de pontos do
quadrado = 3 x 3 = 9.
Seguindo a mesma lógica
teremos:
Total de pontos do
quadrado = 4 x 4 = 16
Total de pontos
do quadrado = 5 x 5 = 25
Desafio:
Sabendo que o quadrado de 102 é 10404
calcular o quadrado de 103:
Solução:
Recorrendo-se a forma
quadrado perfeito temos:
(a + b )2
algébrica
do
= a 2 + 2ab + b 2
Fazendo a = 102 e b = 1 , temos:
1032 = (102 + 1)2
2
2
1032 = 102
{ + 2 ⋅ 102 ⋅ 1 + 1
10404
1032 = 10404 + 204 + 1
1032 = 10609
Sugestões de leitura
H. Eves (2007). Introdução à história da matemática. Editora
Unicamp.
S. Singh (2010). O Último Teorema de Fermat. Editora Record.
ÁUDIO
O Quatro é um Quadrado I 13/14
Sites recomendados:
O último teorema de Fermat, (Pág. Visitada em 20/07/2011, 10:00h)
http://www.archive.org/details/Pfilosofiao_ultimo_teorema_de_fermat284;
Ficha técnica
Autor William Martins Vicente
Revisão Samuel Rocha de Oliveira
Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva
Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Caio José Colletti Negreiros
Vice-diretor Verónica Andrea González-López
ÁUDIO
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