A revolução relativista

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A revolução relativista
Figura 1 - Albert Einstein
Os conceitos newtonianos de espaço e tempo começaram de ser abandonados no século XX. O
espaço newtoniano é um espaço euclidiano. Com o advento da relatividade restrita e da electrodinâmica de
Maxwell (talvez seja mais justo chamar de electrodinâmica de Maxwell-Faraday), Hermann Minkowsky
descobriu que a geometria do espaço-tempo é pseudo-euclidiana e, em sua homenagem, hoje chamamos o
espaço-tempo de espaço de Minkowsky.
Ernest Mach (1838 – 1916), publicou em 1883 um livro que ficou célebre na transição do universo
newtoniano para o relativista. Nesse livro, Mach faz um estudo crítico da mecânica newtoniana. Em
particular, preocupou-se com a noção de movimento absoluto da física newtoniana. Ele acreditava que, como
a aceleração das partículas é sempre medida em relação a algum referencial inercial (as estrelas fixas), a
inércia de uma partícula não seria um atributo inerente a ela, mas deveria depender da distribuição da matéria
no Universo. Esta ideia é hoje conhecida como princípio de Mach, segundo o qual a propriedade de inércia
de qualquer objecto depende da presença e distribuição de outras massas. O próprio Einstein aceitou esta
ideia que formalizou anos depois no seu princípio de equivalência, que está na base da teoria da relatividade
geral. De acordo com esse princípio, numa vizinhança de cada ponto do espaço-tempo, é sempre possível
escolher um referencial no qual a influência gravitacional do ambiente ao seu redor seja nula.
A Relatividade Restrita
Sabemos que a massa dum corpo actua como fonte do campo gravítico. Da mesma forma, uma carga
eléctrica em repouso, actua como fonte do campo eléctrico. Se a carga eléctrica estiver em movimento, além
do campo eléctrico, é criado um campo magnético. Cargas eléctricas aceleradas produzem perturbações no
meio envolvente, que são variáveis com o tempo, chamadas ondas electromagnéticas.
Foi o escocês James Clerk Maxwell (1831-1879) quem provou que a luz é uma onda electromagnética. A
todas as frequências possíveis que uma onda electromagnética pode ter, denominamos de espectro
electromagnético. A palavra espectro (do latim spectrum, que significa fantasma ou aparição) foi usada por
Este material faz parte da dissertação de mestrado em ensino de Astronomia de António Manuel Alves Morais
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Isaac Newton, no século XVII, para descrever a faixa de cores que apareceu quando a luz do Sol, numa
experiência, atravessou um prisma de vidro.
Figura 2 Maxwell
Quando da demonstração dessa propriedade da luz, os físicos do fim do século XIX buscaram uma analogia
entre a luz e o som. Desta forma, buscaram um meio onde a luz se pudesse propagar. A este meio
denominaram éter luminífero ou simplesmente éter que preencheria todo o espaço. Este deveria corresponder
a um sistema de referência absoluto. Deste modo, se o éter está em repouso, a Terra mover-se-ia em relação
a este, com a mesma velocidade com que se movimenta em relação ao Sol. Da mesma forma, este deveria
movimentar-se em relação à Terra estacionária, produzindo uma “corrente de éter”no interior do qual se
moveria a luz. Isto é o análogo dum barco que se movimenta num rio, onde um feixe de luz faz o papel do
barco e o éter, a água do rio. A maneira como dois observadores inerciais, movendo-se com velocidade
relativa constante, descrevem as suas observações do mesmo fenómeno, obedece ao chamado princípio de
relatividade clássico, ou princípio de relatividade de Galileu: “As leis da mecânica são as mesmas para
todos os observadores inerciais que se movem com velocidades relativas constantes”.
Vejamos a importância disto. Seja um acontecimento P no espaço e S e S’ dois referenciais inerciais que se
r
movem com velocidade relativa constante v .
Figura 3 Movimento relativo entre dois referenciais inerciais
r
r
Seja r o vector posição do acontecimento P, como medido por S; r ' ,o vector posição desse mesmo
r
acontecimento, medido em S’, e R ,o vector posição que dá o deslocamento de S’ relativamente a S que, por
simplicidade no instante inicial, têm as suas origens coincidentes. Da observação da figura (1-7) é simples
concluir que:
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r r r
r = r '+ R
(1)
Como a velocidade é a derivada do vector posição em relação ao tempo:
r r r
V = V '+ v
(2)
e sendo a aceleração a derivada da velocidade em relação ao tempo:
r r
a = a'
(3)
À equação (2) corresponde a lei de transformações de velocidade Galileu. Ao tentar descobrir um referencial
absoluto para a luz, permitiria generalizar essas transformações. Para medir o movimento relativo do éter,
Michelson e Morley elaboraram uma experiência que, repetida várias vezes, deu o mesmo resultado: não se
verificou nenhuma velocidade de arrastamento do éter relativamente à Terra. Para compreender esta
experiência crucial para o estabelecimento da teoria da relatividade restrita, iremos seguir o exemplo dado
em [1] das referências. Consideremos o movimento dum barco num rio cuja corrente tem velocidade
constante relativamente às margens de largura D. Iremos determinar o tempo total de travessia, de maneira a
que o barco atravesse perpendicularmente o rio e desça e suba o rio, percorrendo a mesma distância que a
sua largura.
Figura 4 Composição de velocidades
No caso do barco atravessar perpendicularmente às margens, a lei de adição de velocidades dá:
r
r
r
vB / M = vB / A + v A / M
(4)
r
r
onde vB / M é a velocidade do barco em relação às margens, vB / A é a velocidade do barco em relação às águas
r
e vA / M é a velocidade das águas relativamente às margens. Para simplificar a notação, iremos usar a seguinte
simplificação:
r
r
 vA / M ≡ v
r
r
vB / M ≡ v1
 vr ≡ vr
2
 B/ A
é fácil observar que:
v22 = v 2 + v12
(5)
atendendo a esta equação, podemos escrever:
 v2 
v12 = v22 1 − 2 
 v2 
(6)
 v2 
v1 = v2 1 − 2 
 v2 
(7)
ou
o tempo total de travessia para ir e voltar perpendicularmente é:
t⊥ =
2D
v1
(8)
finalmente:
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2D
t⊥ =
v2
 v2 
1 − 2 
 v2 
(9)
Agora estudemos o caso em que o barco desce paralelamente às margens a mesma distância que a sua
largura, e volta à aposição inicial. Neste caso, o tempo total será:
t// = tida + tvolta
(10)
na ida, as velocidades têm mesma direcção e sentido:
v1 = v2 + v
(11)
D
v2 + v
(12)
v1 = v2 − v
(13)
então:
tida =
na volta, temos:
e o tempo necessário nesse trajecto:
tvolta =
D
v2 − v
(14)
Após algumas simplificações obtemos:
t// =
2D
 v2 
v2 1 − 2 
 v2 
(15)
donde concluímos que os tempos t⊥ e t// não são iguais. Fazendo a relação entre estes tempos:
 v2 
t⊥
= 1 − 2 
t //
 v2 
(16)
A experiência de Michelson e Morley consiste em fazer com que um feixe de luz percorra uma distância
constante em direcções perpendiculares, efectuando trajectos de ida e volta. Se realmente o éter existisse,
haveria uma direcção perpendicular à corrente de éter e outra paralela a esta. Com a analogia do barco,
observamos que os tempos necessários para percorrer essas distâncias seriam diferentes. Se chamarmos de c
r
a velocidade da luz, como a esta velocidade corresponde v2 na nossa analogia então teremos:
t⊥ =
2D
 v2 
c 1 − 2 
 c 
2D
t// =
 v2 
c 1 − 2 
 c 
(17)
(18)
e portanto:
 v2 
t⊥
= 1 − 2 
t //
 c 
(19)
Entretanto, como dissemos, não foi detectada nenhuma corrente de éter. A relação entre estes tempos era
unitária. Este resultado fez ruir a ideia dum referencial absoluto e serviu como ponto de partida para Einstein
criar a teoria da relatividade restrita.
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Figura 5 Aparato experimental original de Michelson e Morley.
No seu trabalho intitulado “ Sobre a electrodinâmica dos corpos em movimento” de 1905, Einstein expõe a
Teoria da Relatividade Restrita (TRR), que se fundamenta em dois postulados:
1 – As leis da Física são as mesmas para todos os observadores inerciais.
2 – A velocidade da luz é constante, não dependendo do movimento relativo entre a fonte e o observador.
O facto de postular a constância da velocidade da luz, faz com que se alterem as transformações de Galileu.
Estas transformações já haviam sido obtidas por Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) e George Francis
FitzGerald (1851-1901) e formam o seguinte grupo de transformações:
x=
x '+ vt
v
1−  
c
2
, y = y ', z = z ', t =
t '+ ( v / c 2 ) x '
v
1−  
c
2
Na posse dessas transformações, Einstein analisou o efeito que elas provocariam em corpos rígidos e
relógios em movimento. Obteve então a contracção do espaço e a dilatação do tempo. Um observador em
r
movimento relativo a um observador com velocidade v medirá um comprimento menor de uma barra
relativamente ao outro observador; também o intervalo de tempo entre dois acontecimentos, medidos em
relógios sincronizados pelos dois observadores em repouso relativamente um ao outro, é maior do que o
observado quando um observador está em movimento relativo, com velocidade constante.
Esta nova cinemática fez nascer uma nova dinâmica, onde Einstein encontrou a famosa equação da relação
entre massa e energia:
E = mc 2
(20)
Esta equação é importante nos processos nucleares. Além disso, o facto de a velocidade da luz ser constante,
tem implicações nas medidas que fazemos nas medições em cosmologia. Se a velocidade da luz não fosse
constante, teríamos de procurar novas unidades de distância que não dependessem da luz. Isto porque toda a
informação que obtemos na Terra é obtida pela análise da luz das estrelas, como veremos no capítulos 2 e 3.
Diagramas de espaço-tempo
Como já dissemos, com o advento da relatividade restrita e da electrodinâmica de Maxwell-Faraday,
Hermann Minkowsky descobriu que a geometria do espaço-tempo é pseudo-euclidiana e, em sua
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homenagem, hoje chamamos o espaço-tempo de espaço de Minkowsky. Minkowsky apresentou o seu
trabalho “Espaço e Tempo” no 80º congresso dos naturalistas e médicos alemães de Colónia em 1908.
No que diz respeito a este trabalho, como a cosmologia estuda a natureza do Universo no espaço e no tempo,
é muitas vezes útil a utilização de diagramas de espaço-tempo, que são uma poderosa ferramenta
naturalmente utilizada em relatividade, sobretudo para ilustrar alguns conceitos que possam ser menos
intuitivos. A manipulação de diagramas de espaço-tempo é útil em diversos problemas de cosmologia, como
os que se encontram relacionados com o estudo dos horizontes cósmicos.
Um diagrama espaço-tempo é um diagrama bidimensional, onde representamos em abcissa a parte espacial
do espaço, e em ordenada o eixo do tempo.
Figura 6 Diagrama de espaço-tempo ilustrando um acontecimento, a linha de universo de uma partícula em
repouso e a linha de universo de uma partícula acelerada.
Um ponto neste espaço bidimensional tem coordenadas x e t fixas e designa-se por acontecimento. Por outro
lado, uma curva neste plano estabelece uma relação entre a coordenada x e a coordenada t, isto é:
x = x(t )
(21)
portanto, (21) representa a posição de uma partícula em diferentes instantes. A esta curva damos o nome de
linha de universo da partícula. O declive (dt/dx) desta curva, num dado ponto, encontra-se relacionado com o
valor da velocidade v da partícula, no instante correspondente, já que:
declive =
dt
1
=
dx dx
dt
(22)
como sabemos que:
v=
dx
dt
(23)
a relação (22) fica escrita como:
declive =
1
v
(24)
que corresponde ao declive duma curva num diagrama de espaço-tempo.
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Figura 7 Diagrama de espaço-tempo representando as linhas de universo correspondentes a partículas com
diferentes velocidades, tal como indicado.
É útil utilizar um sistema de unidades no qual a velocidade da luz c está normalizada, isto é, um sistema no
qual c = 1. Com esta normalização, facilmente se verifica que a linha de universo de um raio luminoso é uma
linha recta cuja direcção faz um ângulo de 45o com a direcção do eixo Ot bem como com a direcção do eixo
Ox
Cone de Luz
O conjunto de todas as linhas de universo nulas que passam por um dado acontecimento P forma
uma superfície cónica a que se dá o nome de cone de luz ou cone nulo desse acontecimento. Todos os
acontecimentos no interior do cone de luz do acontecimento P têm uma separação tipo-tempo relativamente
a P e, portanto, todos esses acontecimentos podem ser atingidos a partir de P, através de uma linha de
universo tipo-tempo, constituindo, por isso, aquilo que se designa por região causal do acontecimento P. Dito
de outra forma, todos os acontecimentos no interior do cone de luz estão causalmente ligados a P. Por outro
lado, todos os acontecimentos no exterior do cone de luz estão separados de P por intervalos tipo-espaço. Isto
significa que estes acontecimentos não podem ser atingidos a partir de P, através de uma linha de universo
tipo-tempo, e, portanto, não se encontram causalmente ligados a P, ou seja, constituem uma região do
espaço-tempo inacessível para P.
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P
Figura 8 Regiões interiores e exteriores ao cone de luz de um dado observador. A região interior divide-se em
duas sub-regiões: cone de luz do passado e cone de luz do futuro. A região exterior é a região de afastamento
absoluto ou região inacessível, ou seja, é a região constituída por todos os acontecimentos que não se encontram
causalmente ligados ao observador.
Por estas razões se diz que todos os acontecimentos na parte superior do interior do cone de luz constituem o
futuro absoluto de P, enquanto que os que se encontram no interior do cone, mas na sua parte inferior,
constituem o seu passado absoluto. Essas regiões podem ainda ser designadas, respectivamente, por cone de
luz do futuro e por cone de luz do passado. As restantes regiões do espaço-tempo, isto é, as que se encontram
no exterior do cone de luz do observador, são, relativamente a P, designadas por regiões de afastamento
absoluto ou por regiões inacessíveis.
Horizontes cosmológicos
Os modelos cosmológicos são construídos e desenvolvidos com base no que observamos no
Universo. Assim, é de importância fundamental saber qual a região do espaço-tempo cósmico que, em
determinado instante, podemos observar, ou, de forma equivalente, qual a região que, nesse mesmo instante
se encontra para além do alcance dos nossos detectores.
Convém distinguirmos a região do Universo que observamos, o Universo observado, que depende da
capacidade dos detectores que possuímos (olhos, lunetas, telescópios, radiotelescópios, etc.), e a região que
potencialmente podemos observar, o Universo observável. Esta última região é aquela com a qual estamos
em contacto causal e que depende das propriedades do espaço-tempo cósmico. Como é fácil de se perceber,
o Universo observado encontra -se contido no Universo observável.
Quando observamos o Universo com os poderosos telescópios actuais, não vemos as galáxias distribuídas no
passado até distâncias infinitas. O facto de não podermos ver as galáxias distribuídas até ao infinito nada tem
a ver com questões tecnológicas, isto é, com a capacidade dos telescópios, mas sim com o facto da
velocidade da luz e a idade do universo serem finitas. Apenas temos acesso a uma determinada região na
qual ocupamos a posição central. É a fronteira desta região que normalmente se designa por horizonte. Para
além dele não nos é possível observar. De acordo com a sua posição, observadores em galáxias diferentes
terão horizontes distintos.
O estudo sistemático e detalhado dos horizontes cósmicos é relativamente recente. Wolfgang Rindler, em
1956, foi talvez o primeiro a efectuar uma análise profunda e detalhada sobre a importância dos horizontes
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em cosmologia. Para determinar o que podemos ou não observar, teremos que especificar a natureza do que
queremos observar: galáxias, enxames, explosões de supernovas, etc.Isto é, podemos pretender observar
objectos com um “tempo de vida” muito curto, como por exemplo a explosão de uma supernova, ou objectos
que perduram no tempo, como por exemplo uma galáxia. Os objectos do primeiro tipo estão associados a
acontecimentos, tal como os definimos anteriormente, enquanto que os objectos que se mantêm durante um
longo período de tempo estão associados a linhas de universo, que não são mais do que cordas de
acontecimentos.
O “tempo de vida” dos objectos que pretendemos observar conduziu Rindler a considerar os dois tipos de
horizontes seguintes:
horizonte de acontecimentos: como o nome indica está associado a acontecimentos
horizonte de partícula: associado às linhas de universo dos objectos que poderemos eventualmente observar.
Assim, podemos interpretar o horizonte de partícula como sendo a superfície de uma “esfera”, cujo centro é
ocupado pelo observador. Em cada instante, esta superfície divide todo o espaço em duas regiões: a região no
interior da esfera, na qual se encontram todos os objectos observáveis, e a região exterior que contém todos
os objectos não observáveis. Este horizonte define o limite do Universo observável.
Por outro lado, o horizonte de acontecimentos consiste numa fronteira que divide todos os acontecimentos
em dois grupos: um deles é constituído pelos acontecimentos que são observáveis, independentemente do
instante em que isso seja possível, o outro grupo é constituído pelos acontecimentos que nunca poderão ser
observados, isto é, acontecimentos não observáveis.
É importante referir que não basta definirmos acontecimentos e linhas de universo para definirmos os
horizontes. Estes só ficam completamente determinados ou definidos quando especificamos o modelo de
Universo ou modelo cosmológico que adoptamos.
A teoria da relatividade Geral
A teoria da relatividade geral de Einstein (TRG) é a sua teoria de gravitação. Uma ideia central na
relatividade geral é a do princípio da equivalência. Já discutimos o problema da massa inercial e
gravitacional no contexto da gravitação newtoniana. Recordemos que o facto experimental demonstrado por
Galileu, de que os corpos caem na superfície da Terra com a mesma aceleração, já implica a igualdade das
massas inercial e gravitacional.
O princípio da equivalência formulado por Einstein em 1907, diz o seguinte: “Em um pequeno laboratório
em queda livre em um campo gravitacional, as leis da Física são as mesmas que as observadas em um
referencial inercial, na ausência dum campo gravitacional”. O facto de o laboratório ser “pequeno” está
relacionado com o facto de campos gravitacionais reais serem apenas localmente constantes. O campo
gravítico dum planeta, como a Terra, não é constante. Admitindo a simetria esférica, esse campo é radial, e
diminui com o inverso do quadrado da distância ao seu centro a partir da superfície. Note-se que este
princípio considera que mi = mg.
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r
g
Figura 9 Localmente, o campo gravítico é uniforme.
r
g
Figura 10 Entretanto, globalmente, o campo gravítico terrestre não é uniforme.
Outra maneira de enunciar o princípio de equivalência [2]: campos gravíticos uniformes são equivalentes a
referenciais que aceleram uniformemente relativamente a referenciais inerciais. Actualmente, este princípio
de equivalência é denominado princípio de equivalência fraco. O adjectivo “fraco” é usado devido a este
princípio se referir somente ao campo gravítico. Por outro lado, existe o princípio de equivalência forte; este
princípio diz que podemos descobrir como todas as outras forças da Natureza se comportam num campo
gravitacional, postulando que as suas leis num referencial em queda livre são idênticas às suas leis na TRR,
isto é, na ausência de campos gravitacionais.
Do ponto de vista histórico, é importante salientar o desenvolvimento do cálculo tensorial pelo matemático
italiano Gregório Ricci- Cubastro (1853-1925) e seu assistente Tullio Levi-Civita (1873- 1941) que são as
ferramentas matemáticas da TRG e os trabalhos feitos por Einstein com Marcel Grossmann (1878-1936). É
devido ao auxílio de Grossmann [3] que Einstein conseguiu a transição para a geometria de Riemmann.
Einstein provou que a geometria de Minkowsky é alterada devido à presença dum campo gravitacional. Com
isto, e com a ajuda de Grossmann, mostrou que o espaço-tempo quadridimensional, devido à interacção com
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a gravitação, é um espaço curvo quadridimensional Riemmanniano. Em 1915, Einstein termina a estrutura de
TRG. A sua publicação será em 1916 na revista Annalen der Physik. Em 1917, irá fazer a primeira aplicação
da TRG à cosmologia, o denominado modelo de universo de Einstein. O modelo de Einstein é um modelo
homogéneo e isotrópico. Devido à sua equação original não admitir soluções estáticas, isto é, soluções
matemáticas que fornecessem um universo imutável no tempo e como não se conhecia a expansão do
universo (a expansão só foi descoberta em 1923), Einstein introduziu um termo repulsivo denominado de
constante cosmológica (Λ). Desta forma, obteve um universo estático. Com a descoberta da recessão das
galáxias por Hubble, em 1923, Einstein considerou um erro a introdução dessa constante na equação de
campo da gravitação. Entretanto, essa constante desempenha actualmente um papel importante na
cosmologia.
Referências
[1] Pauli, Ronald Ulysses; Mauad, Farid Carvalho & Heilmann, Hans Peter. Física - Volume 4 – EPU,
Editora pedagógica e Universitária Ltda – São Paulo, Brasil ,
[2] Berry, M.V. Principles of cosmology and gravitation. Adam Hilger. 1989
[3] Pais, Abraham. Subtil é o Senhor – Editora Gradiva, Série Ciência Aberta.
Crédito ou fonte das figuras
Figura 1 - http://fisica.fc.ul.pt/figleg.html
Figura 2 - http://www.th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/maxwell.jpg
Figura 5 – http://www.upscale.utoronto.ca/JPU200Y/Class04.html
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