APLICAÇÃO PRÁTICA DOS PRINCÍPIOS DE GEOMETRIA

APLICAÇÃO DA GEOMETRIA DESCRITIVA
NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA
Ivanildo Fernandes Araujo1, Maria da Conceição Vieira Fernandes2
Universidade Federal da Paraíba1
Departamento de Engenharia Mecânica
Av. Aprígio Veloso, 882, Campus Universitário – Bairro
Universitário
58100-000 – Campina Grande - PB
[email protected]
Universidade Estadual da Paraíba2
Departamento de Matemática e Estatística
Centro de Ciências e Tecnologia - Bodocongó
58100-000 – Campina Grande – PB
[email protected]
Resumo. Este trabalho tem como objetivo principal, ilustrar como alguns princípios da Geometria
Descritiva podem ser aplicados na resolução de vários problemas em diversas áreas da
Engenharia. Apresentamos alguns exemplos práticos e suas soluções gráficas, exemplos estes
construídos a partir da experiência do dia-a-dia, outros adaptados de alguns autores e utilizados
em sala de aula como meio de dinamizar o ensino de GD.
Palavras Chave: Geometria Descritiva, Desenho Técnico, Exercícios Práticos.
1.
INTRODUÇÃO
É muito comum ouvirmos em sala de aula os nossos alunos questionarem o porquê de se estudar determinados
assuntos dentro do programa de Geometria Descritiva. Eles buscam aplicações práticas destes conteúdos para o seu
curso especificamente. Os exemplos aqui apresentados servirão para ilustrar como os princípios da Geometria
Descritiva podem ser aplicados para resolver vários problemas da Engenharia e outras áreas do conhecimento.
Apresentamos alguns exemplos práticos, tais como os casos da antena, da tubulação de ventilação, e outros
exemplos hipotéticos como os casos do aviãozinho, o caso da partida de futebol entre outros. Em todos os exemplos
busca-se explorar, o conteúdo exposto no item das definições teóricas, por meio de alguns exemplos e suas soluções
gráficas, que poderão ter seus resultados confrontados, com os resultados que podem ser obtidos analiticamente em
outras disciplinas.
Estes exemplos foram construídos a partir da experiência do dia-a-dia, outros adaptados de alguns autores, e
utilizados em sala de aula como meio de dinamizar o ensino de GD.
A metodologia consiste em apresentar os problemas em sala de aula após a exposição do conteúdo teórico
relativo ao assunto estudado; discutido os conceitos e esclarecidas as dúvidas remanescentes por parte do alunado
passa-se, então, a desenvolver os exercícios propostos pelo professor, usando como base o sistema de projeção
ortogonal. No fim de cada problema resolvido o aluno está com uma solução que serve de gabarito para sua prática
profissional.
Determinados conceitos e abreviaturas aqui apresentados, não serão explicitados aqui, porque pressupõem o
embasamento adquirido em diversas aulas anteriores, portanto é de conhecimento comum.
2.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1
Verdadeira Grandeza, Direção e Inclinação de Retas.
Nos exemplos apresentados, trabalharemos com dois métodos de determinação da verdadeira grandeza dos
elementos estudados, quais sejam:
- Determinação da Verdadeira Grandeza (VG) por Rotação.
Este método consiste em conserva-se os planos de projeção dados e por um movimento de rotação desloca-se
a reta de maneira a torná-la paralela a um dos planos de projeção; sua projeção sobre esse plano determinará a
verdadeira grandeza procurada. Lobjois[1]
- Determinação da Verdadeira Grandeza por mudança de Plano de Projeção.
Neste método, o objeto permanece imóvel e um Plano Auxiliar de projeção é colocado paralelo ao objeto no
espaço e perpendicular a um dos planos de projeções. A nova projeção obtida nesse plano será a verdadeira grandeza
procurada. Forseth [2] O método para se determinar a verdadeira grandeza de uma reta consiste em:
1. Se a reta não está ainda representada em verdadeira grandeza em qualquer uma das vistas conhecidas,
traçar uma linha de interseção paralela a ela.
2. Projetar a reta através da linha de intersecção para obter a sua imagem em verdadeira grandeza.
Direção é o ângulo formado entre o norte (de frente para o plano vertical - PV) e a projeção horizontal da reta.
É representada pelo símbolo “θ” (theta) e expressa em graus. A determinação do ângulo de direção consiste em medir o
ângulo entre o norte imaginário e a projeção horizontal da reta, a partir de sua origem, no sentido horário. Forseth [2]
Inclinação é o ângulo formado entre a reta e o plano horizontal de projeção. É representada pelo símbolo “Ø”
(phi). É determinada em um plano de projeção perpendicular ao plano horizontal e que mostra a reta em verdadeira
grandeza. Neste plano o ângulo de inclinação estará também em verdadeira grandeza. Ref. [2]
O método utilizado para se determinar a inclinação de uma reta consiste em:
1. Traçar um plano auxiliar paralelo à vista superior da reta dada.
2. Projetar a reta através do plano auxiliar de projeção, obtendo sua projeção em verdadeira grandeza.
3. Medir o ângulo formado entre a projeção em verdadeira grandeza da reta e a linha horizontal que
representa o eixo de intersecção entre os planos auxiliar e horizontal.
Projeção pontual de uma retal é a representação em um plano de projeção onde ela aparece como um ponto.
Para que a projeção pontual de uma reta seja encontrada, deverá ser traçado um plano de projeção perpendicularmente
a uma projeção da reta em verdadeira grandeza. Ref. [2].
O método utilizado para determinação da projeção pontual consiste em:
1. Iniciar com uma projeção da reta em verdadeira grandeza.
2. Traçar um plano de projeção perpendicular à reta em verdadeira grandeza.
3. Projetar essa reta sobre o plano auxiliar de projeção para obter sua imagem pontual.
2.2
Ângulo entre Retas Concorrentes
O ângulo entre duas retas concorrentes é determinado em um plano de projeção onde encontramos as retas em
verdadeira grandeza. Neste plano o ângulo também estará em VG. M..Herrero [3]
O método utilizado para determinação do ângulo entre duas retas concorrentes consiste em:
1. Iniciar com uma projeção da reta em verdadeira grandeza.
2. Traçar um plano de projeção perpendicular à reta em verdadeira grandeza.
Projetar essa reta sobre o plano auxiliar de projeção para obter sua imagem pontual
2.3
Distância Perpendicular entre Duas Retas Reversas
Determinar a distância perpendicular entre duas retas reversas, consiste em se traçar uma terceira reta que
seja perpendicular a estas duas retas. A Verdadeira Grandeza desta terceira reta será, portanto, a distância procurada.
Wellman [4]
Assim, a distância perpendicular entre duas retas reversas, será obtida num plano de projeção que mostra uma
das duas retas em projeção pontual. A partir de então, traça-se uma reta perpendicular à projeção da reta, passando
pela projeção pontual da primeira reta, obtendo-se, assim, a distância entre elas. Em seguida, faz-se o alçamento dos
pontos da reta representante da distância, até os outros planos de projeção.
2.4
Ângulo Diedro
Denomina-se ângulo diedro ao ângulo formado por dois planos que se interceptam. Sua determinação se dará
em um plano de projeção que mostre a projeção pontual da reta interseção e conseqüentemente os Planos em projeção
linear. Nesta Projeção o ângulo poderá ser medido. S. M. Slaby [5]
2.5
Planificação
Consiste em estender a superfície lateral de um sólido sobre um plano sem sofrer nenhuma deformação por
martelamento. Ref. [1]
2.6
Perspectiva
Perspectiva é um desenho ilustrativo que mostra os objetos tais como se apresenta às vistas do observador.
Denomina-se de Perspectiva Cilíndrica Ortogonal, ao sistema de representação no qual o objeto é colocado
com seus três eixos principais, oblíquos em relação ao plano de projeção em que por meio de uma projeção cilíndrica
ortogonal, obtém-se a representação deste objeto sobre o plano de projeção. I. F. Araújo [7]
3
APLICAÇÕES PRÁTICAS
Nesta seção mostraremos as aplicações práticas relacionadas a cada conteúdo apresentado no item 2.1 relativo
à Fundamentação Teoria dos assuntos apresentados em sala de aula.
3.1
Verdadeira Grandeza, Direção e Inclinação de Reta
Caso da Antena
Uma antena de televisão tem altura igual a 45 metros, está amarrada por meio de quatro cabos, conforme mostra a
figura 1. Pede-se determinar:
a) O comprimento de cada cabo;
b) A direção e a inclinação dos cabos.
b
a´
a´
VG da reta AD
determinada por
rotação
f'1
f'1
d´
c´
b'
VG da reta AD
determinada
por rotação
d'1
f´
e´
d´
f´
e´
c´
PV
PV
PH
PH
e
e
θAE
d
d
d1
a,b
f
c
a,b
f
c
e1
Figura 1- Dados do problema.
ØAE
PH
PA1
ØAC
c1
VG da Reta AE
determinadas por
mudança de plano
VG
a1
Figura 1a- Resolução do problema – Caso da
Antena
3.2
Ângulo entre Retas Concorrentes
O caso do jogo de futebol
No último jogo de futebol entre Brasil e Japão, na Copa das Confederações, aconteceu uma falta próxima a
grande área do Japão. O atacante do Brasil, na posição “A”, cobrou uma falta sem barreira, fez com tal maestria que a
bola bateu na trave superior, no ponto “B” (definir onde você julgar conveniente), mas por sorte do goleiro, a bola caiu
na posição “C” onde se encontrava um jogador japonês, que defendeu a bola. Supondo que a trajetória descrita pela
bola seja retilínea (figura 2), pede-se:
a) Representar as projeções ortogonais do percurso da bola;
b) Determinar o comprimento e ângulo entre as retas descritas pelo percurso da bola;
b’
PV
PV
a’
PH
a’
c’
PH
c’
b
PA1 PH
b1
c
VG
c
PA2
a
a1=c1
a
Figura 2 – Dados do problema
a2
b2
Ø=60o
c2
Figura 2a – Resolução do problema de ângulo entre Retas
3.3
Ângulo Diedro
Para exemplificar a determinação do ângulo diedro mostramos o caso do aviãozinho de papel.
Dadas as projeções vertical e horizontal do aviãozinho de papel, formado pelos planos ABC e ACD, pede-se
determinar:
a) O ângulo entre as asas do avião;
b) A visibilidade entre as arestas visíveis das asas.
b’
b’
a’
a’
d’
d’
c’
c’
PV
PV
PH
PH
a
a
b
b
d
d
PA1 PA2
c
PH
c
Figura 4 – Dados do
Problema
a1
VG
PA1
c2, a2
c1
d2
b2
d1
b1
Ângulo
diedro
Figura 4a – Resolução do Problema de
determinação do ângulo diedro
3.4
Intersecção e Planificação de Sólidos
Problema do Tubo de Ventilação - adaptado de Ref. [5]
Na figura 5 os pontos A e B representam os centros de dois orifícios circulares, separados entre si, localizados
no piso do pavimento. Estes orifícios são para acomodar dois tubos de ventilação, cujas passagens dão fluxos de ar com
o pavimento superior. Os dois tubos são ligados entre si por meio de um tubo de ventilação simples, que é localizado,
no pavimento inferior, em linha centralizado entre os furos A e B. A conexão é feita com 90 graus, na forma de
ramificação em Y. As vigas que suportam o piso são separadas entre si, o suficiente para que os tubos dêem acesso até
o piso. (os tubos devem ser centralizados entre as vigas).
A Piso superior
B
Vigas
Tubo de ventilação
C
Piso
inferior
Conexão em Y
Figura 5 - Perspectiva ilustrativa do problema – Caso do tubo de ventilação
Desenhe uma ramificação em Y feita de lâmina de metal que satisfará as condições propostas e também siga
um afastamento entre os canos de ramificação e as vigas do pavimento.
Dados para o desenho proposto:
1. Comprimento mínimo dos tubos dos ventiladores para admitir o afastamento entre os canos da
ramificação em Y e as vigas do pavimento.
2. Linhas de intersecção entre os tubos e as componentes da ramificação em Y.
3. Desenvolvimento das superfícies dos tubos e também dos componentes da ramificação Y que podem ser
feitos por uma lâmina de metal.
a´
b´
Piso
Viga
c´
PV
PH
a
c
b
Figura 6 – Dados do problema do tubo de ventilação
Procedimentos
1.
Desenhe um círculo correspondente ao diâmetro do furo com centro em A, B,e C, e complete a vista superior
dos tubos de ventiladores.
2. Projete círculos para a vista superior dos tubos.
3. Trace arcos dos cantos das vigas do compartimento para fixar o afastamento pedido.
4. Desenhe linhas tangentes aos arcos com ângulo de 45º.
5. Complete a vista frontal dos tubos e a ramificação em Y.
Linhas de Intersecção
6. As linhas de intersecção entre os tubos de ventilação e os componentes da ramificação em Y podem ser
determinados pela interseção entre as geratrizes dos cilindros. Uma vez que os tubos e os componentes da
ramifica em Y são partes de cilindros como diâmetro, as linhas de interseção são curvas planas (as quais são
elipses neste caso, vendo em cortes nas vistas). Quando as verdadeiras grandezas dos cilindros, são vistas
como linhas de intersecção, aparecem como linhas retas (o aluno pode provar isto por meio de uma linha
paralela aos planos para o eixo do cilindro determinando com isso a VG da secção).
Planificação dos cilindros
7. Tomando como base as geratrizes dos cilindros em VG traçamos uma linha perpendicular a estas, e
retificamos as circunferências dos cilindros e o eixo médio da conexão em Y.
8. Sobre esta retificação, traçamos, espaçadamente, as geratrizes com a distância real entre elas. Transportamos
os comprimentos das geratrizes, a partir de suas VG,
9. Por fim traçamos as linhas curvas que descrevem as intersecções entre os elementos da conexão.
90º
Desenvolvimento da
superfície lateral do
cilindro AE =BD
Fabricar 2 peças
Desenvolvimento da
superfície lateral do
cilindro CF
Desenvolvimento da
superfície lateral do
cilindro EF= DF
Fabricar 2 peças
Figura 7 –Solução do problema do tubo de ventilação
3.5
Perspectiva - adaptado de I.F. Araújo [7]
Para demonstrar este exemplo de perspectiva, tomamos como base uma peça, da figura 8. Representamos este
sólido em suas vistas principais (PV e PH). Em seguida posicionamos o observador colocando o ângulo horizontal (θ =
45º ou outro qualquer), observe que teremos quatro posições possíveis, no PH. Perceba que o observador estar
posicionado no sentido das projetantes, formando ângulo de 45º com o PV. Projetamos as linhas visuais e
posicionamos o plano auxiliar primário (PA1), perpendicular a estas linhas projetantes. Sobre as projetantes
transportamos, as cotas de cada vértice do objeto, para o PA1. Contudo, a partir do PA1 o observador, também, pode
assumir infinitas posições, onde usamos como exemplo, o ângulo vertical φ = 30º.
Para determinar a projeção do PA2, posicionamos o observador, medindo o ângulo vertical φ = 30º, com o
eixo do PA1 e traçamos as linhas projetantes, no sentido do ângulo traçado, em seguida posicionamos o plano auxiliar
secundário (PA2), perpendicular a estas linhas projetantes e transportamos para este plano, as distâncias dos vértices do
objeto na projeção horizontal até o eixo do PA1.
Podemos, de maneira análoga, variar a combinação dos ângulos horizontal e vertical do observador, e
determinarmos uma perspectiva isométrica, dimétrica ou trimétrica.
X
1
PV
Z
PH
2
θ = 45°
Y
PA2
PA1
2
1
PH
PA1
Ø=30°
Figura 8: Perspectiva de uma peça - θ = 45°, Ø=30°
4.
REFERÊNCIAS
[1]
[2]
[3]
[4]
C. H. Lobjois, Desenvolvimento de Chapas, Hemus, São Paulo: 1977. p. 3-19.
K. Forseth, Projetos de Arquitetura, Hemus Editora, SP: 1987, p. 22-45.
M. B. Herrero, Geometria Descriptiva Aplicada, Urmo, Servilla, Espanha: 1975, p. 13-48.
B. L. Wellman, Technical descriptive geometry. 2ª Edição, McGraw-Hill Book Company, New York, 1957, p.
585-605.
S. M. Slaby, Descriptive geometry, Barnes & Noble, Inc. New York, 1957, p. 245-240.
F. E. Gisecke, Technical drawing. sixth edition Collier Macmillan International Editions, Ltd. 1967, p. 85
I. F. Araujo, “Determinação das perspectivas cilíndricas ortogonais por mudança de plano de projeção,” in III
Congresso Internacional de Engenharia Gráfica nas Artes e no Desenho e no 14ª Simpósio de Geometria
Descritiva e Desenho Técnico, Ouro Preto, 2000.
[5]
[6]
[7]
5.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com o desenvolvimento deste trabalho, pôde-se observar a contribuição que foi dada, no sentido de aumentar
a motivação e empenho dos alunos em sala de aula, demonstrando que a Geometria Descritiva não constitui pura
abstração na mente dos professores que a ensinam. Os exemplos aqui apresentados demonstram a relação do conteúdo
da disciplina com aplicações práticas e concretas, na realidade da vida profissional do Engenheiro.
A principal contribuição deste trabalho foi a dinamização das atividades em sala de aula, tornando-as mais
próximas da realidade prática, contribuindo com o aumento do nível motivacional dos alunos em estudarem e
aprenderem Geometria Descritiva para uma melhor formação do Engenheiro.
APLICATION OF DESCRIPTIVE GEOMETRY FOR SOLVING PROBLEMS
OF ENGINEERING
Abstract..This paper has as principal goal, how we can aplicate a few principals of Descriptive
Geometry for solving problems in various areas of knowledge. We show a few practical examples and
graphical solutions, these examples were created with the day and day experience, other were adapted
from other people and used in classroom with the intuition to dynamize the Descriptive Geometry
learning.