Capa - Curso Anglo

O
Anglo
Resolve
A Prova da
Segunda
Fase da
Fuvest
É trabalho pioneiro.
Prestação de serviços com tradição e confiabilidade.
Construtivo, procura colaborar com as Bancas Examinadoras
em sua tarefa árdua de não cometer injustiças.
Didático, mais do que um simples gabarito, auxilia o estudante em seu processo de aprendizagem.
A segunda fase da Fuvest consegue, de forma prática, propor
conjuntos distintos de provas adequadas às carreiras. Assim,
por exemplo, o candidato a Engenharia da Escola Politécnica
USP faz, na segunda fase, provas de Língua Portuguesa (40
pontos), Matemática (40 pontos), Física (40 pontos) e Química (40 pontos). Já aquele que pretende ingressar na Faculdade de Direito USP fará somente três provas: Língua Portuguesa (80 pontos), História (40 pontos) e Geografia (40 pontos).
Por sua vez, o candidato a Medicina terá provas de Língua Portuguesa (40 pontos), Biologia (40 pontos), Física (40 pontos)
e Química (40 pontos).
Com esse critério, embora o conjunto de provas varie de uma
carreira para outra, o total de pontos possível não excede a
160, que será somado à pontuação obtida pelos candidatos
na primeira fase, para efeito de classificação final.
Vale lembrar que a prova de Língua Portuguesa é obrigatória
a todas as carreiras.
Apresentamos, neste fascículo de O Anglo Resolve, a tabela
sobre a relação carreira /provas e a resolução comentada das
questões. No final, a análise dos nossos professores.
FUVEST
TABELA DE CARREIRAS E PROVAS
ÁREA DE HUMANIDADES
CARREIRAS
ÁREA DE CIÊNCIAS BIOLÓGICAS
PROVAS DA 2ª FASE E
RESPECTIVOS NÚMEROS
DE PONTOS
PROVAS DA 2ª FASE E
RESPECTIVOS NÚMEROS
DE PONTOS
CARREIRAS
Administração – São Paulo
Administração – Ribeirão Preto
Arquitetura – São Carlos
Arquitetura – São Paulo
Artes Cênicas (Bacharelado)
Artes Cênicas (Licenciatura)
LP(40), M(40), H(40), G(40)
LP(40), M(40), H(40), G(40)
LP(80), H(40), HE(40)
LP(40), F(20), H(20), HE(80)
LP(40), HE(120)
LP(40), H(40), HE(80)
Ciências Biológicas – São Paulo
Ciências Biológicas – Ribeirão Preto
Ciências Biológicas – Agrobiologia – Piracicaba
Ciências dos Alimentos – Piracicaba
Educação Física – Bacharelado
Enfermagem – São Paulo
LP(40), Q(40), B(40)
LP(40), Q(40), B(40)
LP(40), Q(40), B(40)
LP(40), Q(40), B(40)
LP(40), A
LP(40), B(40), Q(40)
Artes Plásticas
Audiovisual
Biblioteconomia
Ciências Contábeis – São Paulo
Ciências Contábeis – Ribeirão Preto
Ciências Sociais
Direito
Economia – São Paulo
Economia – Ribeirão Preto
Economia Agroindustrial – Piracicaba
Editoração
Filosofia
LP(40), H(40), HE(80)
LP(40), H(40), HE(80)
LP(40), H(40)
LP(40), M(40), H(40), G(40)
LP(40), M(40), H(40), G(40)
LP(40), H(40), G(40)
LP(80), H(40), G(40)
LP(40), M(40), H(40), G(40)
LP(40), M(40), H(40), G(40)
LP(40), M(40), H(40), G(40)
LP(40), H(40)
LP(80), H(40), G(40)
Enfermagem – Ribeirão Preto
Engenharia Agronômica – ESALQ
Engenharia Florestal – Piracicaba
Esporte – Bacharelado
Farmácia e Bioquímica – São Paulo
Farmácia e Bioquímica – Ribeirão Preto
Fisioterapia – São Paulo e Ribeirão Preto
Fonoaudiologia – São Paulo
Fonoaudiologia – Bauru
Medicina (São Paulo) e Ciências Médicas (Ribeirão Preto)
Medicina Veterinária
Nutrição
LP(40), B(40), Q(40)
LP(40), M(40), Q(40), B(40)
LP(40), M(40), Q(40), B(40)
LP(40), A, HE(80)
LP(40), F(40), Q(40), B(40)
LP(40), Q(40), B(40)
LP(40), F(40), Q(40), B(40)
LP(80), F(40), B(40)
LP(40), F(40), Q(40), B(40)
LP(40), F(40), Q(40), B(40)
LP(40), F(40), Q(40), B(40)
LP(40), F(40), Q(40), B(40)
Geografia
Gestão Ambiental – Piracicaba
História
LP(40), H(40), G(40)
LP(40), B(40), H(40)
LP(40), H(40), G(40)
Odontologia – São Paulo
Odontologia – Ribeirão Preto
Odontologia – Bauru
LP(40), F(40), Q(40), B(40)
LP(40), F(40), Q(40), B(40)
LP(40), F(40), Q(40), B(40)
Jornalismo
Letras – Básico
LP(40), H(40), G(40)
LP(80), H(40), G(40)
Psicologia – São Paulo
Psicologia – Ribeirão Preto
LP(40), M(40), B(40), H(40)
LP(80), B(40), H(40)
Música – São Paulo e Ribeirão Preto
Oficial Polícia Militar do Estado de São Paulo
Pedagogia – São Paulo
Pedagogia – Ribeirão Preto
Publicidade e Propaganda
Relações Internacionais (Bacharelado)
LP(40), HE(120)
LP(40)
LP(80), H(40)
LP(80), H(40), G(40)
LP(40), H(40)
LP(80), H(40), G(40)
Terapia Ocupacional – São Paulo e Ribeirão Preto
Zootecnia – Pirassununga
LP(40), B(40), H(40)
LP(40), M(40), Q(40), B(40)
Relações Públicas
Turismo
LP(40), H(40)
LP(40), H(40), G(40)
LEGENDA
LP – Língua Portuguesa
M – Matemática
F – Física
Q – Química
B – Biologia
H – História
G – Geografia
A – Aptidão
HE – Habillidade Específica
ÁREA DE EXATAS E TECNOLOGIA
CARREIRAS
PROVAS DA 2ª FASE E
RESPECTIVOS NÚMEROS
DE PONTOS
Ciências daTerra (Geologia e Geofísica)
Ciências Exatas – São Carlos (licenciatura)
Computação – São Carlos
Engenharia Aeronáutica – São Carlos
Engenharias – São Carlos (Elétrica, Mecânica, Produção Mecânica)
LP(40), M(40)
LP(40), M(40)
LP(40), M(40), F(40)
LP(40), M(40), F(40)
LP(40), M(40), F(40)
Engenharia, Computação e Matemática – Bacharelados Aplicada e Computacional – São Paulo
Engenharia Civil – São Carlos
Engenharia de Alimentos – Pirassununga
Física – São Paulo e São Carlos (Bacharelado), Meteorologia e Matemática – (Bacharelados), Estatística e Matemática – São Paulo
Física Médica – Ribeirão Preto
Informática – São Carlos
Matemática e Física – São Paulo (Licenciatura)
Matemática (Bacharelado e Licenciatura), Matemática Aplicada e Computação Científica – São Carlos
Oceanografia – São Paulo
Química – São Paulo
Química – São Carlos
Química – Ribeirão Preto
LP(40), M(40), F(40), Q(40)
LP(40), M(40), F(40)
LP(40), M(40), F(40), Q(40)
LP(40), M(40), F(40)
LP(40), M(40), F(40)
LP(40), M(40), F(40)
LP(40), M(40), F(40)
LP(40), M(40), F(40)
LP(40), M(40), B(40), Q(40)
LP(40), M(40), F(40), Q(40)
LP(40), Q(40)
LP(80), Q(40)
Matemática
QUESTÃO 01
Carlos, Luís e Sílvio tinham, juntos, 100 mil reais para investir por um ano. Carlos escolheu uma aplicação que rendia 15% ao ano. Luís, uma que rendia 20% ao ano. Sílvio aplicou metade de seu dinheiro
em um fundo que rendia 20% ao ano, investindo a outra metade numa aplicação de risco, com rendimento anual pós-fixado. Depois de um ano, Carlos e Luís tinham juntos 59 mil reais; Carlos e Sílvio, 93 mil
reais; Luís e Sílvio, 106 mil reais.
a) Quantos reais cada um tinha inicialmente?
b) Qual o rendimento da aplicação de risco?
RESOLUÇÃO:
Indicando as quantias, em milhares de reais, que Carlos, Luís e Sílvio tinham, após este ano,
por x, y e z, nessa ordem, temos:
123
x +y
x +z
y +z
2x + 2y
= 59
= 93
= 106 +
+ 2z = 258
∴
x + y + z = 129
x + y + z = 129 e y + z = 106 ⇒
⇒
x + y + z = 129 e x + z = 93
x + y + z = 129 e x + y = 59
⇒
x = 23
y = 36
z = 70
a) Indicando as quantias, em milhares de reais, que Carlos, Luís e Sílvio tinham, inicialmente, por
c, l e s, nessa ordem, temos:
c ⋅ 1,15 = x
c ⋅ 1,15 = 23 ∴ c = 20
l ⋅ 1,2 = y
l ⋅ 1,2 = 36 ∴ l = 30
De c + l + s = 100, c = 20 e l = 30, temos s = 50.
Resposta: Carlos, Luís e Sílvio tinham inicialmente, nessa ordem, 20 mil, 30 mil e 50 mil reais.
b) Sendo r% o rendimento da aplicação de risco, temos: 25 ⋅ 1,2 + 25(1 + r%) = 70
Dessa igualdade, podemos concluir que r = 60.
Resposta: 60%
RESOLUÇÃO:
Maria quer cobrir o piso de sua sala com lajotas quadradas, todas com lado de mesma medida inteira,
em centímetros. A sala é retangular, de lados 2m e 5m. Os lados das lajotas devem ser paralelos aos lados da sala, devendo ser utilizadas somente lajotas inteiras. Quais são os possíveis valores do lado das
lajotas?
Sendo l a medida, em cm, do lado das lajotas, podemos concluir, do enunciado, que l é um divisor
comum de 200 e 500.
l cm
123
l cm
123
QUESTÃO 02
200 cm
500 cm
Como o máximo divisor comum de 200 e 500 é 100, podemos afirmar que l deve ser um divisor de 100.
O número 100 (= 22 ⋅ 52) possui 9 divisores positivos: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100.
Esses são os possíveis valores de l.
Resposta: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100.
FUVEST/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
5
QUESTÃO 03
Um tabuleiro tem 4 linhas e 4 colunas. O objetivo de um jogo é levar uma peça da casa inferior esquerda
(casa (1, 1)) para a casa superior direita (casa (4, 4)), sendo que esta peça deve mover-se, de cada vez, para
a casa imediatamente acima ou imediatamente à direita. Se apenas uma destas casas existir, a peça irá
mover-se necessariamente para ela. Por exemplo, dois caminhos possíveis para completar o trajeto são
(1, 1) → (1, 2) → (2, 2) → (2, 3) → (3, 3) → (3, 4) → (4, 4) e (1, 1) → (2, 1) → (2, 2) → (3, 2) → (4, 2) →
(4, 3) → (4, 4).
4
3
2
1
1
2
3
4
a) Por quantos caminhos distintos pode-se completar esse trajeto?
b) Suponha que o caminho a ser percorrido seja escolhido da seguinte forma: sempre que houver duas
opções de movimento, lança-se uma moeda não viciada; se der cara, a peça move-se para a casa à direita e se der coroa, ela se move para a casa acima. Desta forma, cada caminho contado no item a) terá
uma certa probabilidade de ser percorrido. Descreva os caminhos que têm maior probabilidade de
serem percorridos e calcule essa probabilidade.
RESOLUÇÃO:
a) Podemos representar o caminho (1, 1) → (1, 2) → (2, 2) → (2, 3) → (3, 3) → (3 ,4) → (4, 4) pela
seqüência (d, c, c, d, c, d), onde d significa mover a peça para uma casa imediatamente à direita, e c, para uma casa imediatamente acima.
Os caminhos distintos são as permutações dos elementos dessa seqüência. Assim:
6!
P6(3, 3) =
= 20
3! ⋅ 3!
Resposta: 20
b) Os caminhos de maior probabilidade são aqueles em que há o menor número de deslocamentos
até os de opção única, isto é, (d, d, d, c, c, c) e (c, c, c, d, d, d).
A probabilidade de cada um deles é:
1 1 1
1
⋅ ⋅ ⋅ 1⋅ 1⋅ 1 =
2 2 2
8
Resposta: Os caminhos são:
(1, 1) → (2, 1) → (3, 1) → (4, 1) → (4, 2) → (4, 3) → (4, 4)
e
(1, 1) → (1, 2) → (1, 3) → (1, 4) → (2, 4) → (3, 4) → (4, 4).
E a probabilidade de cada um é
QUESTÃO 04
1.
8
—
Sejam A = (0, 0), B = (8, 0) e C = (–1, 3) os vértices de um triângulo e D = (u, v) um ponto do segmento BC .
—
Sejam E o ponto de intersecção de AB com a reta que passa por D e é paralela ao eixo dos y e F o ponto
—
de intersecção de AC com a reta que passa por D e é paralela ao eixo dos x.
a) Determine, em função de u, a área do quadrilátero AEDF.
b) Determine o valor de u para o qual a área do quadrilátero AEDF é máxima.
6
FUVEST/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
RESOLUÇÃO:
Admitindo 0 u 8, temos a figura:
y
C (–1, 3)
D (u, v)
F (xF, v)
A (0, 0)
↔
1) Coeficiente angular da reta BC : mBC =
E (u, 0)
B (8, 0)
3–0
1
= – .
–1 – 8
3
1
↔
Equação da reta BC : y – 0 = – (x – 8)
3
∴
y=
8–x
.
3
8–u
↔
.
Como D(u, v) pertence à reta BC , temos que v =
3
↔
2) Coeficiente angular da reta AC: mAC =
↔
Equação da reta AC: y – 0 = – 3(x – 0)
x
1
3–0
= – 3.
–1 – 0
∴
y = – 3x.
v
↔
Como F(xF, v) pertence à reta AC, temos que: xF = – .
3
Assim, FD = u – xF
∴
 v
FD = u –  – 
 3
∴
FD = u +
v
.
3
a) A área S do quadrilátero AEDF é:
(FD + AE) ⋅ DE
S=
2
v


+ u ⋅ v
u +


3
S=
2
S = uv +
v2
6
De 1 e 2 , vem: S =
2
1
( – 17u 2 + 128u + 64).
54
 1
( – 17u 2 + 128u + 64)}
Resposta: 
 54
b) Para que a área do quadrilátero AEDF seja máxima, devemos ter:
128
64
54
u=–
∴ u=
17
 – 17 
2⋅

 54 
Resposta:
64
17
Nota: foi admitido 0 u 8 para que exista o quadrilátero AEDF.
QUESTÃO 05
As raízes do polinômio p(x) = x3 – 3x 2 + m, onde m é um número real, estão em progressão aritmética.
Determine
a) o valor de m;
b) as raízes desse polinômio.
FUVEST/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
7
RESOLUÇÃO:
a) Sendo (x1, x2, x3) a progressão aritmética definida pelas raízes do polinômio, temos que
x1 + x2 + x3 = 3 (Girard).
Sendo r a razão dessa progressão, temos:
x2 – r + x2 + x2 + r = 3
3x2 = 3 ∴ x2 = 1
Como o número 1 é uma raiz, temos p(1) = 0.
13 – 3 ⋅ 12 + m = 0
∴
m=2
Resposta: 2
b) Temos, ainda, que x1 ⋅ x2 ⋅ x3 = –m (Girard)
(x2 – r) ⋅ x2 ⋅ (x2 + r) = –2
(1 – r) ⋅ 1 ⋅ (1 + r) = –2
1 – r2 = –2
r2 = 3
∴
r= ± 3
Logo, as raízes são os números 1 –
Resposta: 1 –
QUESTÃO 06
3,1e1+
3,1e1+
3.
3.
— —
O triângulo retângulo ABC, cujos catetos AC e AB medem 1 e 3, respectivamente, é dobrado de tal forma
—
—
que o vértice C coincida com o ponto D do lado AB . Seja MN o segmento ao longo do qual ocorreu a
dobra. Sabendo que ND̂B é reto, determine
C
N
M
A
D
B
— —
a) o comprimento dos segmentos CN e CM ;
b) a área do triângulo CMN.
RESOLUÇÃO:
Sendo CN = x e CM = y, do enunciado temos a figura:
C
y
α
x
N
1
M
β
No triângulo retângulo BAC, temos:
2
2
1) (BC) = 1 + ( 3 )
2) tg β =
1
3
∴
2
∴
A
Logo, α = 60º.
a) No triângulo retângulo BDN, vem:
sen β =
DN
BN
∴
1
x
=
2 2–x
∴
x=
2
3
∴
y=
2
3
No triângulo retângulo DAM, vem:
sen β =
Resposta: CN =
8
FUVEST/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
2
3
AM
DM
∴
e
CM =
1 1– y
=
2
y
2
3
x
α
β
D
B
3
BC = 2
β = 30º.
y
b) A área S pedida é:
1
S = ⋅ (CN)(CM) ⋅ sen 60º
2
S=
Resposta:
QUESTÃO 07
RESOLUÇÃO:
1 2 2
3
⋅ ⋅ ⋅
2 3 3 2
∴
3
9
S=
3
9
Determine as soluções da equação (2cos 2 x + 3senx)(cos 2 x – sen 2 x) = 0 que estão no intervalo [0, 2 π].
(2 – 2 sen2 x + 3 sen x) ⋅ (1 – sen2 x – sen2 x) = 0
sen x = 2 (não convém)
2 sen2 x – 3 sen x – 2 = 0
ou
sen x = –
1
2
Ou:
1 – 2 sen2 x = 0
∴
sen2 x =
1
2
∴
sen x = ±
π
3π
4
π 3π 7π 5π 7π
QUESTÃO 08
4
,
4
,
6
,
4
,
4
4
2
2
7π
– 2
6
2
5π
4
Resposta:
2
2
–1
2
11π
7π 6
4
11 π
6
e
Na figura abaixo, as circunferências C1 e C2 , de centros O1 e O2 , respectivamente, se interceptam nos
pontos P e Q. A reta r é tangente a C1 e C2 ; a reta s passa por O1 e O2 e β é o ângulo agudo entre r e s.
Sabendo que o raio de C1 é 4, o de C2 é 3 e que sen β = 1 , calcule:
5
C1
s
P
C2
α O2
O1
β
Q
r
a) a área do quadrilátero O1QO2P;
b) sen α , onde α = QÔ2 P.
RESOLUÇÃO:
Do enunciado, temos a figura:
C1
s
P
O1
1
D
3
r
C
4
C2
3
α/2
β
Q
O2
3
B
β
A
FUVEST/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
9
No triângulo retângulo O1O2D, temos:
DO1
1
1
∴
=
∴ O1O2 = 5
O1O2
5 O1O2
sen β =
Sendo O1O2 = 5, PO1 = 4 e PO2 = 3, segue-se que:
(O1O2)2 = (PO1)2 + (PO2)2
Logo, PO1O2 é um triângulo retângulo em P.
Assim:
a) A área do quadrilátero O1QO2P é:
1

2 ⋅  ⋅ 3 ⋅ 4 , ou seja, 12.
2

Resposta: 12
b) No triângulo retângulo O1O2P, temos que:
sen
α
2
=
α 3
4
e cos
= .
5
2
5
Então:
sen α = 2 ⋅ sen
sen α = 2 ⋅
sen α =
Resposta:
QUESTÃO 09
α
2
⋅ cos
α
2
4 3
⋅
5 5
24
25
24
25
Um bloco retangular (isto é, um paralelepípedo reto-retângulo) de base quadrada de lado 4cm e altura
20 3cm, com 2 de seu volume cheio de água, está inclinado sobre uma das arestas da base, formando
3
um ângulo de 30° com o solo (ver seção lateral abaixo). Determine a altura h do nível da água em relação
ao solo.
4
20
3
h
30º
RESOLUÇÃO:
Do enunciado, temos a figura:
4
20
3
2
M
30º
B
A
h
60º
30º
C
10
FUVEST/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
D
H
No prisma de base quadrada de lado 4 e altura H, cujo volume é igual a
retangular com altura igual a 20 3 , podemos concluir que H =
2
do volume do bloco
3
2
40 3
.
⋅ 20 3 , ou seja, H =
3
3
No triângulo retângulo MAB, temos que:
tg 30° =
AB
2
∴
Logo, BC = AB + H
AB
3
=
2
3
∴
∴
AB =
2 3
3
BC = 14 3
Do triângulo retângulo CDB, vem:
sen 60° =
h
BC
h
3
=
2
14 3
∴
∴
h = 21
Resposta: 21 cm
QUESTÃO 10
São dados, abaixo, os pontos A e M e a reta s. Sabe-se que o ponto A é vértice de um paralelogramo ABCD;
—
—
o lado AB está na reta s; M é o ponto médio do lado BC e o ângulo CÂB tem medida 30°. Usando régua
e compasso, construa esse paralelogramo. Descreva e justifique sua construção.
M
s
A
RESOLUÇÃO:
Enunciado gráfico (Rascunho)
r
t
C
D
N
M
30°
A
s
B
Descrição e justificativa
1. Pelo ponto M, traçar a reta r paralela à reta s.
2. Obter o ponto N no encontro da reta r com a reta t, obtida construindo-se um ângulo de 30° com
→
vértice no ponto A e lado As.
—
—
Propriedade: Se as retas r e s são paralelas e M é ponto médio de BC, então N é ponto médio de AC.
—
3. Obter o ponto C no encontro da reta t com a circunferência de centro N e raio AN.
4. Obter o ponto B no encontro da reta CM com a reta s.
—
5. Obter o ponto D—no encontro da circunferência de centro C e raio AB com a circunferência de
centro A e raio BC.
FUVEST/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
11
Propriedade: Os lados opostos de um paralelogramo têm medidas iguais.
t
D
C
N
r
M
30°
A
12
FUVEST/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
s
B
Comentário
Prova muito bem elaborada e abrangente. As questões são criativas, porém algumas estão
muito trabalhosas.
A questão de construção geométrica é um exemplo de como se pode avaliar a capacidade de
resolver uma situação nova com o conhecimento adquirido.
FUVEST/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
13
Incidência
ASSUNTO
Aritmética
Construção Geométrica
Equação Algébrica
Geometria Analítica
Geometria do Espaço
Geometria Plana
Porcentagem
Probabilidade
Trigonometria
Nº DE QUESTÕES
1
2
3
4
FUVEST/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
15