Dissertação Angelita Schmitt

UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO
DO RIO GRANDE DO SUL
DeFEM – DEPARTAMENTO DE FÍSICA ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA
DeTEC – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA
Angelita Schmitt
MODELAGEM MATEMÁTICA DO CRESCIMENTO TUMORAL E SUA
RELAÇÃO COM SISTEMA IMUNOLÓGICO
Ijuí
2009.
ii
Angelita Schmitt
MODELAGEM MATEMÁTICA DO CRESCIMENTO TUMORAL E SUA
RELAÇÃO COM SISTEMA IMUNOLÓGICO
Dissertação apresentada ao Programa
de Pós Graduação Stricto Sensu em
Modelagem
Matemática,
da
Universidade Regional do Noroeste do
Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ),
como requisito parcial para obtenção
do grau de mestre em Modelagem
Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Gerson Feldmann
Ijuí
2009
iii
A meus pais, Eliseu e Liria
que sempre me apoiaram para
que eu não desistisse de lutar.
A meu orientador,
Prof. Dr. Gerson Feldmann.
iv
AGRADECIMENTOS
A Deus, porque ele é nosso refúgio e fortaleza.
A meus pais, Eliseu e Liria, pelo apoio recebido durante todos os momentos da
minha vida.
Ao Professor Dr. Gerson Feldmann, meu orientador pelos ensinamentos,
amizade e principalmente pelo fato de não ter permitido que eu desistisse em
meio as dificuldades que se apresentaram.
Aos colegas e amigos pela amizade.
Às funcionárias do DeFEM, em especial a Dona Geni, pela prontidão em ajudar.
A todos vocês meu muito obrigada!
v
"Não se pode ensinar tudo a alguém,
pode-se apenas ajudá-lo
a encontrar por si mesmo."
Galileu Galilei, astrônomo italiano
vi
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS .......................................................................................VIII
LISTA DE SIMBOLOS BIOLÓGICOS ............................................................ XIII
LISTA DE SÍMBOLOS MATEMÁTICOS ...................................................... XVII
RESUMO..........................................................................................................XX
INTRODUÇÃO ................................................................................................... 1
CAPÍTULO I - ABORDAGENS RELATIVAS AO CÂNCER .............................. 5
1.1 O que é câncer e como surge ................................................................... 5
1.2 Tipos de câncer ........................................................................................ 14
1.3 Invasão e metástases............................................................................... 15
1.4 Como é o processo de carcinogênese?................................................. 17
1.4.1 Estágio de iniciação................................................................................. 18
1.4.2 Estágio de promoção............................................................................... 19
1.4.3 Estágio de progressão............................................................................. 20
1.5 Agentes cancerígenos ............................................................................. 21
1.6 Formas de tratamento.............................................................................. 23
1.6.1 Cirurgia.................................................................................................... 24
1.6.2 Quimioterapia .......................................................................................... 24
1.6.3 Terapia alvo-dirigida ................................................................................ 25
1.6.4 Radioterapia ............................................................................................ 25
1.6.5 Hormonioterapia...................................................................................... 26
1.6.6 Imunoterapia ........................................................................................... 26
CAPÍTULO II – O SISTEMA IMUNE E O CÂNCER ........................................ 28
2.1 Sistema imune .......................................................................................... 28
2.1.1 Anatomia ................................................................................................. 29
vii
2.1.2 Componentes do sistema imune ............................................................. 30
2.1.2.1 Linfócitos .............................................................................................. 30
2.1.2.1.1 Linfócitos B e T.................................................................................. 30
2.1.2.1.2 Linfócitos NK ..................................................................................... 33
2.1.2.2 Fagócitos mononucleares .................................................................... 34
2.2. Mecanismos de defesa e a imunologia tumoral ................................... 35
2.3 Imunologia tumoral e escape .................................................................. 45
CAPÍTULO III - DINÂMICA DO CRESCIMENTO TUMORAL ......................... 49
3.1 Modelo matemático.................................................................................. 50
3.1.1 Modelo matemático utilizado e modificações..................................... 49
3.2 Pontos de equilíbrio do sistema ............................................................ 58
3.3 Análise de estabilidade do ponto livre de tumor................................... 63
CAPÍTULO IV - SIMULAÇÕES NUMÉRICAS PARA MODELO DE
CRESCIMENTO DE TUMOR........................................................................... 66
4.1 Simulações numéricas para modelo de crescimento de tumor........... 67
CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................... 89
REFERÊNCIAS................................................................................................ 92
APÊNDICE....................................................................................................... 99
viii
LISTA DE FIGURAS
Fig.1. 1 - Representação do esquema do ciclo celular. A estimativa de duração
de cada fase é apenas ilustrativa[28] ................................................................. 8
Fig.1. 2 - Proto-oncogenes e crescimento de uma célula normal. Adaptado de
U.S National Câncer [56].................................................................................... 9
Fig.1. 3 - Representação das formas mutantes dos proto-oncogenes. Adaptado
de U.S National Câncer [56]............................................................................. 10
Fig.1. 4 – Oncogenes. Adaptado de U.S National Câncer [56] ........................ 10
Fig.1. 5 - Genes supressores tumorais. Adaptado de U.S National Câncer [56]
......................................................................................................................... 11
Fig.1. 6 - Genes supressores tumorais. Adaptado de U.S National Câncer [56]
......................................................................................................................... 12
Fig.1. 7 - Genes de reparação do DNA. Adaptado de U.S National Câncer [56]
......................................................................................................................... 13
Fig.1. 8 - Parte superior do quadro representa o controle da divisão celular e na
parte inferior observa-se a perda desse controle. Adaptado de U.S National
Câncer [56]....................................................................................................... 13
Fig.1. 9 - Diferentes tipos de Câncer. Adaptado de U.S National Câncer [56]. 15
Fig.1. 10 - Evolução do câncer [9].................................................................... 17
Fig.1. 11 - Agentes iniciadores [34] .................................................................. 18
Fig.1. 12 - Agentes promotores [34]. ................................................................ 19
Fig.1. 13 - Estágio de progressão do câncer [34]............................................. 20
Fig.1. 14 - Evolução de uma célula cancerosa[51]........................................... 22
Fig.1. 15 - Genes e o câncer. Adaptado de U.S National Câncer Institute [56] 23
ix
Fig.2. 1 - Sistema imune .................................................................................. 29
Fig.2. 2 - Linfócitos B e T ................................................................................. 33
Fig.2. 3 - A resposta imune inata e a adaptativa. ............................................. 35
Fig.2. 4 -Representação das funções efetoras dos linfócitos NK para eliminação
de células tumorais. ......................................................................................... 39
Fig.2. 5 - Vigilância imune contra células tumorais .......................................... 40
Fig.2. 6 - Linfócitos NK e resposta imune para lisar células tumorais. ............. 41
Fig.2. 7 - Mecanismos de citotoxicidade grânulo-associados .......................... 43
Fig.2. 8 - Mecanismos de citotoxicidade mediada por receptores.................... 44
Fig.2. 9 - Uma reação coordenada celular e humoral medeia a destruição das
células tumorais.................................................................................................45
Fig.4. 1 – Representação do Crescimento Tumoral na ausência de sistema
imune variando-se a taxa de crescimento do tumor......................................... 69
Fig.4. 2 - Representação do crescimento tumoral adotando-se a=0,1, variandose a condição inicial (T(0)). .............................................................................. 70
Fig.4. 3 – Crescimento tumoral de um paciente saudável σ = 1,3.10 4 ;
ω = 100 ; T0 = 1.104 , N 0 = 103 e L0 = 10 . ................................................................ 72
Fig.4. 4 - Plano de fase de um paciente saudável σ = 1,3.10 4 ; ω = 100 ;
T0 = 1.10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10 . ............................................................................ 73
Fig.4. 5 - Crescimento tumoral de um paciente com sistema imunológico
debilitado σ = 1,3.102 ; ω = 100 ; T0 = 1.10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10 ............................. 73
Fig.4. 6 - Plano de fase do crescimento tumoral de um paciente com sistema
imunológico debilitado σ = 1,3.102 ; ω = 100 ; T0 = 1.10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10 ........ 74
x
Fig.4. 7 - Crescimento tumoral de um paciente saudável σ = 1,3.10 4 ;.............. 75
Fig.4. 8 – Plano de fase do crescimento tumoral de um paciente saudável
σ = 1,3.104 ; ω = 120 ; T0 = 1.104 ; N 0 = 103 e, L0 = 10 . ........................................... 75
Fig.4. 9 – Crescimento tumoral de um paciente com sistema imunológico
debilitado σ = 1,3.102 ; ω = 120 ; T0 = 1.10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10 ............................ 75
Fig.4. 10 – Plano de fase de crescimento tumoral de um paciente com sistema
imunológico debilitado σ = 1,3.102 ; ω = 120 ; T0 = 1.10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10 ........ 76
Fig.4. 11 - Crescimento tumoral de um paciente com sistema imune debilitado
variando-se a fonte de entrada de linfócitos T CD8 (ω ) ; a = 0,1 ; ................... 77
Fig.4. 12 - Crescimento tumoral de um paciente saudável a = 0, 2 ; σ = 1,3.10 4 ;
ω = 120 ; T0 = 1.10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10 . ............................................................... 78
Fig.4. 13 – Plano de fase do crescimento tumoral de um paciente saudável
a = 0, 2 ; σ = 1,3.10 4 ; ω = 120 ; T0 = 1.10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10 . ............................... 78
Fig.4. 14 – Crescimento tumoral de um paciente com sistema imunológico
debilitado: a = 0, 2 ; σ = 1,3.102 ; ω = 120 ; T0 = 1.10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10 ............. 79
Fig.4. 15 – Plano de fase do crescimento tumoral de um paciente com sistema
imunológico
debilitado:
a = 0, 2
;
σ = 1,3.102
;
ω = 120
;
T0 = 1.10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10 ............................................................................. 79
Fig.4. 16 – Crescimento tumoral de um paciente com sistema imunológico
debilitado
σ = 1,3.102
;
ω = 150
;
T0 = 1.10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10
(T , N , L ) = ( 2,3943x105 ; 2,0046x103 ;1,0327x104 ) ................................................. 80
Fig.4. 17 – Plano de fase do crescimento tumoral de um paciente com sistema
imunológico debilitado σ = 1,3.102 ; ω = 150 ; T0 = 1.10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10 ......... 80
xi
Fig.4. 18 – Crescimento tumoral de um paciente com sistema imunológico
debilitado
σ = 1,3.102
;
ω = 200
;
T0 = 1.10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10
(T , N , L ) = (1,7893x104 ; 3,0256x103 ;1,0312x104 ) ................................................. 81
Fig.4. 19 - Plano de fase do crescimento tumoral de um paciente com sistema
imunológico debilitado σ = 1,3.102 ; ω = 200 e, T0 = 1.10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10 ;
(T , N , L ) = (1,7893x104 ; 3,0256x103 ;1,0312x104 ) ................................................. 81
Fig.4. 20 –Crescimento tumoral de um paciente com sistema imunológico
debilitado σ = 1,3.102 ; ω = 210 ; T0 = 1.10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10 ........................... 82
Fig.4. 21- Plano de fase do crescimento tumoral de um paciente com sistema
imunológico debilitado σ = 1,3.102 ; ω = 210 ; T0 = 1.10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10 ......... 82
Fig.4. 22 - Crescimento tumoral de um paciente com sistema imune debilitado
fazendo-se uma pequena variação na fonte de entrada de linfócitos T CD8
(ω ) ; σ = 1,3.102 ; T0 = 1.104 ; N0 = 103
e, L0 = 10 ................................................... 83
Fig.4. 23 - Dinâmica do crescimento de um tumor de desenvolvimento lento
(parâmetro a=0,1) de paciente saudável variando-se a fonte de entrada de
linfócitos T CD8 (ω ) onde em (a) adotou-se ω = 100 ; em (b) ω = 200 ; em (c)
ω = 300 e, em (d) ω = 400 ................................................................................ 84
Fig.4. 24 - Dinâmica do crescimento de um tumor de desenvolvimento rápido
desenvolvimento (parâmetro a=0,2) de paciente saudável variando-se a fonte
de entrada de linfócitos T CD8 (ω ) onde em (a) adotou-se ω = 100 ; em (b)
ω = 200 ; em (c) ω = 300 e, em (d) ω = 400 ...................................................... 85
Fig.4. 25 - Dinâmica do crescimento de um tumor de desenvolvimento lento
(parâmetro a=0,1) de paciente com sistema imune debilitado variando-se a
xii
fonte de entrada de linfócitos T CD8 (ω ) onde em (a) adotou-se ω = 100 ; em (b)
ω = 200 ; em (c) ω = 300 e, em (d) ω = 400 ...................................................... 86
Fig.4. 26 - Dinâmica do crescimento de um tumor de desenvolvimento rápido
(parâmetro a=0,2) de paciente com sistema imune debilitado variando-se a
fonte de entrada de linfócitos T CD8 (ω ) onde em (a) adotou-se ω = 100 ; em (b)
ω = 300 ; em (c) ω = 600 e, em (d) ω = 900 ...................................................... 87
xiii
LISTA DE SÍMBOLOS BIOLÓGICOS
A seguir é apresentada a lista de símbolos biológicos na ordem em que
os símbolos aparecem nos capítulos subsequentes.
CTL: linfócito T CD8 , célula CD8 ou ainda linfócito citotóxico é um tipo de
célula de defesa
NK: linfócitos NK, célula NK, Natural Killer ou ainda células exterminadoras
naturais é um tipo de célula de defesa
DNA: ácido desoxirribonucleico
RNA: ácido ribonucléico
p.53: gene supressor tumoral
MHC: complexo principal de histocompatibilidade
TNF: Fator de Necrose Tumoral
TCR: receptor de célula T
CD4: glicoproteína dos linfócitos T CD4
CD8: glicoproteína dos linfócitos T CD8
Tc: linfócitos T CD8
pre-Tc: pré linfótico T CD8 (linfócitos T CD8 imaturos)
xiv
TCR-CD3: indica que o TCR estabeleceu uma ligacação com o complexo CD3,
no intuito de realizar a sinalização após o reconhecimento antígeno- MHC
APC: célula apresentadora de antígeno
IL-2:interleucina do tipo 2
IFN-γ: interferon gama
B7:glicoproteína encontrada nas células apresentadoras de antígenos
CD28: receptor para moléculas B7,encontrado nos linfócitos T
CD28-B7: ligação de B7 a CD28, na célula T, dirigem a ativação e expansão de
células T
ADCC:Citotoxidade Celular Dependente de Anticorpo
CD94: receptor inibidor nos linfócitos NK, que pode se ligar a uma ou mais das
moléculas de HLA de classe I expressas pela pessoa, desencadeando o envio
de sinais inibitórios que desligam a citotoxicidade do linfócito NK e a secreção
de citocinas
NKG2: receptores inibidores nos linfócitos NK, que pode se ligar a uma ou mais
das moléculas de HLA de classe I expressas pela pessoa, desencadeando o
envio de sinais inibitórios que desligam a citotoxicidade do linfócito NK e a
secreção de citocinas
KIRs: receptores KIR contêm até três diferentes domínios extracelulares
semelhantes a imunoglobulina, chamados de D0, D1 e D2, e desempenham
xv
papel importante no bloqueio da ativação das linfócitos NK contra células que
expressam a antígenos HLA apropriados, impedindo, assim, a lise celular.
Embora sejam receptores inibitórios, um subgrupo de receptores KIR também
pode desempenhar um papel de ativador em linfócitos NK
IgG: imunoglobulina G, é o anticorpo principal nas resposta imunes
secundárias e a única classe antitoxinas
ADCC:citotoxicidade celular dependente de anticorpo
Fc: porção efetora reconhecida por receptores de imunoglobulinas do sistema
imunológico
Fas: é uma molécula transmembrana, membro da superfamília do fator de
necrose tumoral que interage com CD95L ou FasL para induzir a morte celular
programada ou apoptose
FasL: CD95 L ou FaS ligante que interage com o Fas(CD95) para induzir a
apoptose
CD95: receptor FaS (CD95)
TRAIL é um destes ligantes, muito relacionado ao TNF, e provoca apoptose
em diversas células tumorais
TRAILR: Os receptores do TRAIL, assim como outros codificados por citocinas
indutores de apoptose, ao receberem seus ligantes enviam sinais ativadores a
proteínas denominadas caspases, que levam à apoptose
c-FLIP: protease capaz de regular a apoptose celular
xvi
NO: óxido nítrico
DISC: Complexo de morte via estímulo extracelular ou seja a ligação do TRAIL
a receptores do citoplasma forma o DISC “death-inducing signaling complex”
LAK: atividade destruidora dos linfócitos NK ativados por linfocina
PEC: DC ou células dendríticas
MORT-1:proteína intracitoplasmática que se associa as moléculas FaS para
provocar apoptose
FTC-β ou TGF-β : fator transformador de crescimento beta que secretado em
grandes quantidades por tumores e que inibe uma ampla variedade de funções
dos linfócitos e macrófagos.
xvii
LISTA DE SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
A lista de símbolos matemáticos é apresentada na ordem em que os
símbolos aparecem nos capítulos seguintes.
T(t): denota a população de células tumorais em função do tempo
N(t): denota o total de linfócitos Nk (matadores naturais) efetivos em função do
tempo
L(t): denota o total de linfócitos T CD8 efetivos em função do tempo
GN :crescimento líquido de células tumorais
a : taxa de crescimento do tumor
1 b : é a capacidade suporte da população de células tumorais
FN (T , N ) : lise tumoral provocada por linfócitos NK
c : taxa de mortalidade de células tumorais devido à ação matadora dos
linfócitos NK
FL (T , L ) :lise tumoral principalmente pela ação dos linfócitos T CD8
d : nível de saturação de matança de células tumorais por linfócitos T CD8
GN :crescimento líquido dos linfócitos NK
σ :constante de produção de linfócitos NK
xviii
f : representa a fração de morte de linfócitos NK
RN (T , N ) : recrutamento de linfócitos NK
g : taxa de recrutamento dos linfócitos NK advindo da interação com células
tumorais que deixaram de expressar MHC Classe I.
h :coeficiente de declividade do recrutamento de linfócitos NK
I N (T , N ) :Inativação de linfócitos NK pelo tumor
ρ : taxa de inativação de linfócitos NK pelas células tumorais
GL :crescimento de linfócitos T CD8
ω :proliferação celular de linfócitos T CD8
m : representa o índice de mortalidade dos linfócitos T CD8
RL (T , L ) : recrutamento/ativação de linfócitos T CD8 por fragmentos de células
tumorais que foram lisadas por outros linfócitos T CD8
j : taxa máxima de recrutamento de linfócitos T CD8 pela expressão de MHC
Classe I (ver capítulo I e II) das células tumorais
k : coeficiente de declividade de linfócitos T CD8
RL ( N , T ) :representa o recrutamento/estimulação de linfócitos T CD8 por restos
de células tumorais lisadas por linfócitos NK
xix
r : taxa de recrutamento de linfócitos T CD8 devido a estimulação de antígenos
tumorais advindos de restos de células tumorais destruídas por linfócitos NK
I L (T , L ) : representa a inativação dos linfócitos T CD8 provocada pelo próprio
tumor.
RESUMO
Neste trabalho apresentamos um modelo matemático para estudo do
tratamento de tumores através da imunoterapia. O crescimento do tumor
é simulado através da utilização de um modelo matemático representado
por um sistema de três equações diferenciais ordinárias, no qual são
consideradas as populações de células tumorais (T) e de dois tipos de
células do sistema imunológico: células matadores naturais (natural killer NK) e linfócitos T CD8 (L). No modelo são considerados os termos de
competição entre as espécies, os termos de ativação e de recrutamento
do sistema imunológico, bem como parâmetros para descrever o grau de
debilidade do sistema imune e a agressividade do tumor. Foi analisada a
estabilidade do sistema linearizado.
As trajetórias do sistema foram
obtidas utilizando-se o método de Runge-kutta na plataforma MatLab. Nas
simulações, foram exploradas as diferenças de estratégia para o
tratamento considerando-se pacientes saudáveis ou debilitados e tumores
de crescimento rápido ou lento.
Palavras-chave: Modelo Matemático, crescimento tumoral, linfócitos NK, linfócitos T
CD8, sistema imunológico.
xxi
Abstract
In this work we present a mathematical model for the study of
tumor treatment by immunotherapy. The tumor growth is simulated
in a model consisting of three ordinary differential equations, that
consider the population of tumor (T) cells and of two types of
immune cells: natural killer (N) and lymphocytes T CD8 (L). In the
model we consider terms of competition between species as well
as activation and recruitment terms. Stability of the model was
investigated, and trajectories were obtained by using a Rungekutta method in a MatLab based code. In our simulations we
explore the different strategies for the tumor treatment in the cases
of healthy or not-healthy patients and for more or less aggressive
tumors.
Keywords: Mathematical Model, tumor growth, NK lymphocytes, CD8 T lymphocytes,
the immune system.
INTRODUÇÃO
O câncer é uma doença que anualmente faz vítimas fatais, sendo a primeira
causa de morte entre as mulheres e a terceira causa de morte entre os homens,
perdendo apenas para os óbitos devidos a causas externas e doenças
cardiovasculares. Logo, surgem inúmeros questionamentos sobre a exata etiologia
dessa doença, formas de tratamento e mecanismos intrínsecos que o organismo
dispõe para se defender dessa doença.
Sabe-se que o câncer é advindo da perda da capacidade normal da célula de
regular sua divisão. As células cancerígenas não param de se multiplicar, e,
consequentemente, crescem sobre outras células, invadem tecidos sadios,
formando massas celulares que são os tumores malignos, podendo estes espalharse para outras regiões do corpo [10,20].
Segundo Parham [40], estima-se que ocorram cerca de 1016 divisões
celulares no corpo humano durante toda a vida para manter a integridade do
organismo, realizar a substituição das células gastas, fazer o reparo de tecidos
danificados e a montagem de respostas imunes contra os patógenos. Portanto, as
possibilidades de desenvolver o câncer ficam aumentadas com o envelhecimento,
pois a cada divisão celular existe a possibilidade de ocorrer um erro na cópia do
DNA e se deixado sem correção, implicará em células mutantes que podem culminar
com o aparecimento do câncer.
Sendo assim, questiona-se: será que as células humanas possuem
mecanismos intrínsecos para evitar a proliferação de células mutantes e em caso
2
afirmativo quais seriam? No entanto, se estes mecanismos falharem, qual o papel do
sistema imune no processo de eliminação das células tumorais? Será que o sistema
imune é eficaz? E se não, quais as possíveis causas da evasão tumoral? Logo,
estas e inúmeras outras perguntas norteiam o estudo de muitos médicos, biólogos,
físicos, matemáticos dentre outros. Como exemplo pode-se citar L.G. de Pillis e
colaboradores [14,15], que elaboraram e validaram um modelo para a resposta
imune ao crescimento de um tumor, a partir de considerações fisiológicas. Os
autores obtiveram valores estimados para os parâmetros presentes no seu modelo.
Um modelo para a resposta do sistema imune também foi elaborado por
Kirschner e Panetta [29], considerando que a ativação das células imunes pode ser
descrita por termos do tipo Michaelis-Menten. Segundo os autores, este tipo de
termo para a ativação é apropriado para indicar a resposta limitada ao tumor e
também poderia ser usado para tumores sólidos, onde a interação entre as células
tumorais e imunes se dá apenas na superfície do tumor.
Neste trabalho apresenta-se um modelo matemático para representar o
crescimento de um tumor considerando a relação que existe entre as células
tumorais e o sistema de defesa do organismo, o sistema imune. No modelo o
sistema imune é formado por linfócitos citotóxicos (conhecidos por T CD8) e por
células naturais-matadoras (denominadas por NK). Considera-se a competição entre
as células tumorais e imunes e a ativação dos linfócitos NK e T CD8, além de termos
de fonte de entrada e morte de cada espécie. Nas simulações realizadas na
plataforma MATLAB, explora-se a capacidade do modelo em apresentar diferenças
de estratégias de tratamento para pacientes saudáveis ou pacientes com sistema
imune debilitado e para tumores de crescimento lento ou rápido.
3
A dissertação está estruturada em quatro capítulos, abordando-se os itens
relacionados a área de interesse do estudo em questão.
No Capítulo I faz-se uma explanação sobre o que vem a ser o câncer,
mecanismos internos que as células possuem para fazer o reparo de danos no DNA,
bem como as possíveis causas da carcinogênese e formas de tratamento.
Já no Capítulo II, aborda-se sobre o sistema imune como um todo,
direcionando-se posteriormente a abordagem para imunologia tumoral, a qual
enfatiza a importância dos linfócitos NK e linfócitos T CD8 na apoptose das células
tumorais. Também no mesmo capítulo faz-se alguns apontamentos sobre possíveis
mecanismos que as células tumorais utilizam para escaparem da resposta imune.
No Capítulo III, apresentar-se um modelo matemático composto por um
sistema de três equações diferenciais ordinárias que procuram representar a relação
das células tumorais, os linfócitos NK e linfócitos T CD8. Neste capítulo também se
faz uma análise em torno dos pontos de equilíbrio e em que situações o sistema
proposto tende a estabilidade.
O Capítulo IV, por sua vez, destina-se as simulações relacionadas ao modelo
em questão, sendo os resultados das mesmas representados graficamente com a
utilização do software MATLABR. Neste capítulo, através das simulações procura-se
comparar a dinâmica do modelo proposto em um paciente com o sistema
imunológico saudável e um paciente com sistema imunológico doente, bem como,
introduz-se um termo de estimulação dos linfócitos T CD8 no intuito de levar o
sistema a um estado de equilíbrio livre de tumor.
4
Conclui-se o trabalho apresentando as considerações finais, nas quais se
veicula algumas sugestões para trabalhos futuros.
Desse modo, pretende-se que o presente trabalho forneça subsídios de real
importância na busca de um tratamento que viabilize a cura ou senão a regressão
do tumor sem tantos efeitos colaterais ao organismo tais como náuseas, intolerância
a alimentos e cheiros, perda de peso e cabelo, dentre outros que por inúmeras
vezes acabam comprometendo, em muito, a qualidade de sobrevida do paciente.
5
CAPÍTULO I - ABORDAGENS RELATIVAS AO CÂNCER
Em relação ao perfil da mortalidade da população brasileira, de acordo com
os dados do Ministério da Saúde [35], 13,7% de todos os óbitos de homens
registrados são devidos ao câncer, ficando atrás apenas das mortes por causas
externas que representam 18,3% dos óbitos e doenças cardiovasculares que
correspondem a 25,6% das mortes. Entre as mulheres com faixa etária de 10 a 49
anos a mortalidade advinda de neoplasias correspondem a 23% dos óbitos, as
doenças do aparelho circulatório representam 21,1% e as causas externas 19,2% da
mortes.
Diante desses índices surgem inúmeros questionamentos: que doença é essa?
Como surge? Tipos de câncer? Possíveis causas? Formas de tratamento? Assim, o
presente capítulo através de uma breve explanação procurará responder a estas
indagações.
1.1 O que é câncer e como surge
O câncer (do latim câncer: disseminação nociva em forma de caranguejo) é
advindo da perda da capacidade normal da célula de regular sua divisão. As células
cancerígenas não param de se multiplicar, consequentemente, crescem sobre
outras células, invadem tecidos sadios, formando massas celulares que são os
tumores malignos, podendo estes espalhar-se para outras regiões do corpo [10,20].
Segundo Peter Parham [40], estima-se que ocorram cerca de 1016 divisões
celulares durante toda a vida para manter a integridade do organismo, realizar a
substituição das células gastas, fazer o reparo de tecidos danificados e a montagem
6
de respostas imunes contra os patógenos. Logo, essas divisões celulares precisam
ser bem-controladas e, caso ocorra um tipo de lesão ao DNA ao longo desse
processo, a célula possui mecanismos que impedem a sobrevivência e a divisão
celular com DNA muito danificado.
Contudo, como o número de duplicações ao longo da vida do ser humano é
expressivo, danos químicos no DNA podem acabar escapando ao maquinário de
reparo. Mas como o controle da divisão celular nunca depende da função de
somente uma proteína, e uma célula não pode se tornar cancerosa pela mutação de
apenas um gene faz-se necessário que ela, acumule múltiplas mutações em genes
relacionados ao controle da multiplicação e da sobrevivência celulares. Quando isso
ocorre, a célula mutante prolifera, formando uma população em expansão de células
mutantes, que eventualmente alteram a fisiologia e a função dos órgãos corporais,
causando as doenças que são coletivamente denominadas câncer.
Ainda de acordo com Parham [40], estima-se que uma célula deve acumular
no mínimo cinco ou seis mutações independentes antes de poder tornar-se
cancerosa. O número real depende do tipo celular dos genes particulares em que as
mutações ocorrem.
Assim, a baixa frequência de mutação e a exigência de
mutações múltiplas significa que cada câncer inevitavelmente origina-se de uma
célula que sofreu transformação maligna, o que explica, porque em órgãos pares
como os pulmões, o câncer inicialmente afeta somente um deles.
A probabilidade de que uma célula humana desenvolva o câncer aumenta de
modo não-linear, uma vez que, faz-se necessário que a célula tenha uma
combinação certa de mutações para que se torne maligna. Portanto, essas
possibilidades ficam aumentadas com o envelhecimento, pois a cada divisão celular
7
existe pode haver um erro na cópia do DNA e se deixado sem correção, implicará
em células mutantes que podem culminar com o aparecimento do câncer.
Para um melhor entendimento sobre como ocorre a formação do câncer é
imprescindível entender o ciclo celular, o qual é dividido em dois momentos: mitose
(divisão celular) e interfase (período em que uma célula não está se dividindo, mas
está preparando todo arsenal para realizar a divisão posterior), momentos estes que
podem ser observados na fig.1.1.
É na interfase que uma célula passa a maior parte da vida. Nesse período
que o DNA cromossômico está em plena atividade, produzindo moléculas de RNA
com instruções para a síntese de proteínas, bem como, ocorre o crescimento celular
e a duplicação das moléculas de DNA para a próxima divisão celular. Assim, com
base no período em que os cromossomos se duplicam, subdivide-se a interfase em
três fases: G1, S e G2 [4,31].
A fase G1 é aquela na qual as células que acabaram de se dividir
permanecem até iniciarem outro ciclo mitótico, com duração variável. Nessa fase
ocorre a síntese de RNA, de proteínas e recuperação do volume normal da célula,
que foi reduzido à metade na mitose. Durante a fase S ocorre a síntese do DNA e
sua duplicação.
Na fase G2 a síntese de DNA já se completou; é a fase que
antecede a mitose [4,28,31].
São erros na fase S, duplicação do DNA que podem acabar provocando o
aparecimento de algum tipo de câncer.
8
Fig.1. 1 - Representação do esquema do ciclo celular. A estimativa de duração
de cada fase é apenas ilustrativa[28]
O organismo humano possui complexos sistemas para estimular ou inibir a
proliferação celular, sendo que a proliferação e a diferenciação normal das células
influenciados por um grupo de genes denominados protooncogenes [28,40].
Estes genes é que codificam os componentes do crescimento normal, dentre
os quais destacam-se os fatores de crescimento, receptores, enzimas sinalizadoras
e fatores de transcrição.
Os fatores de crescimento se ligam a receptores na
superfície celular, que ativam as enzimas de sinalização dentro da célula que, por
sua vez, ativam proteínas especiais chamados fatores de transcrição dentro do
núcleo da célula, tudo isso para estimular o crescimento e proliferação celular,
conforme representado na fig.1.2.
9
Fig.1. 2 - Proto-oncogenes e crescimento de uma célula normal. Adaptado de
U.S National Câncer [56]
Quando ativados incorretamente e fora do momento certo, esses genes dão
origem a vários tipos de câncer (onco, câncer) passando a ser chamados de
oncogenes. Os defeitos no funcionamento dos protooncogenes podem ser
induzidos por modificação acidental na seqüência de bases do DNA (mutação),
aumento do número desses genes (amplificação gênica) ou por alteração na sua
posição, quando eles passam para a proximidade de um gene promotor ativo
[26,54,56], como consequência, as células tornam-se hiperativas, o que pode ser
pode ser observado nas fig.1.3 e fig.1.4.
10
Fig.1. 3 - Representação das formas mutantes dos proto-oncogenes. Adaptado
de U.S National Câncer [56]
Fig.1. 4 – Oncogenes. Adaptado de U.S National Câncer [56]
A segunda classe de genes envolvidos na transformação celular são os genes
supressores tumorais, pois codificam proteínas que impedem a proliferação
11
indesejável de células mutantes [40,56], ou seja, agem como um pedal de freio de
um automóvel. Todavia, se um par de genes supressores tumorais é perdido ou
inativado por mutação, essa ausência funcional permite o desenvolvimento do
câncer. Assim,
indivíduos que herdaram uma cópia defeituosa de um gene
supressor tumoral tem um acréscimo no risco de desenvolver câncer, isso porque
basta somente a segunda cópia sofrer mutação para a pessoa desenvolver câncer
uma vez que já não há mais nenhuma cópia do gene funcional, semelhante a um
carro andando com o pedal do freio que não funciona adequadamente, conforme
representando na fig.1.5.
Fig.1. 5 - Genes supressores tumorais. Adaptado de U.S National Câncer [56]
Existe um gene supressor tumoral típico p.53, que é expresso em resposta ao
dano no DNA e que codifica uma proteína que faz a célula danificada morrer por
apoptose. Outrossim, os cânceres mais frequentes em humanos advém da perda
desse gene ou mutações que interferem com sua função protetora, pois mais de
50% dos casos de câncer humano têm uma mutação nesse gene , revelando sua
importância em proteger o corpo dessa doença e, acredita-se que o gene p.53, na
12
verdade pode ter evoluído como uma defesa celular interna contra o câncer [40,56]
representação esta pode ser observada na fig.1.6.
Fig.1. 6 - Genes supressores tumorais. Adaptado de U.S National Câncer [56]
De acordo com National Cancer Institute [56], há um terceiro tipo de genes
envolvidos no aparecimento do câncer, os chamados de "genes de reparação do
DNA", os quais codificam proteínas cuja função é corrigir erros que surgem quando
as células duplicam seu DNA antes da divisão celular. Logo, mutações em genes de
reparação do DNA podem levar a uma falha na reparação, que, por sua vez, permite
à célula acumular mutações subsequentes que podem levar ao aparecimento do
câncer, conforme representado na fig. 1.7. Por exemplo, pessoas com uma doença
denominada xeroderma pigmentoso em virtude de terem herdado um defeito em um
gene de reparação do DNA não podem efetivamente reparar os danos sofridos pelo
DNA da pele quando as células são expostas à luz solar e, por isso apresentam uma
elevada incidência de câncer da pele. Certas formas de câncer hereditário também
envolvem defeitos de reparo do DNA.
13
Fig.1. 7 - Genes de reparação do DNA. Adaptado de U.S National Câncer [56]
Enfim, o câncer surge quando a(s) célula(s) perdem o controle do crescimento
normal, ou seja, é perdida a homeostase entre as taxas de crescimento de células
novas e a morte de células velhas. Esta perturbação pode resultar de crescimento
descontrolado de células ou perda da capacidade da célula sofrer “apoptose” (autodestruição).
Fig.1. 8 - Parte superior do quadro representa o controle da divisão celular e na
parte inferior observa-se a perda desse controle. Adaptado de U.S National
Câncer [56]
14
1.2 Tipos de câncer
Segundo Peter Parham [40, p.358] “o câncer é uma coletânea de doenças
que ameaçam a vida e são causadas por uma proliferação celular anormal e
invasiva”. Desse forma, é correto frisar que o câncer não é uma doença única, mas
sim um conjunto de mais de 200 patologias, classificadas de acordo com o tecido e
o tipo de células de origem e dentre essas centenas de formas distintas de cânceres,
os três principais subtipos são:
Sarcomas: originam-se do tecido conjuntivo e dos tecidos de suporte, como
osso, cartilagem, músculo, vasos sanguíneos e gordura sendo que alguns
tipos estão representados na fig.1.9;
Carcinomas: incluem as formas mais frequentes de câncer humano e
procedem dos tecidos epiteliais, como a pele e os tecidos glandulares da
mama e da próstata. Os carcinomas que procedem do tecido glandular são
chamados de adenocarcinomas.
Leucemias e linfomas: inclui os cânceres dos tecidos formadores das
células sangüíneas e são caracterizados pela dilatação dos nódulos linfáticos,
a invasão do baço e da medula e a superprodução de glóbulos brancos
imaturos[56], podendo se observar na fig.1.9 alguns tipos mais frequentes.
15
Fig.1. 9 - Diferentes tipos de Câncer. Adaptado de U.S National Câncer [56].
Assim, os cientistas utilizam uma variedade de nomes técnicos para distinguir
os diversos tipos de carcinomas, sarcomas, linfomas e leucemias. Em geral, esses
nomes são criados por meio de diferentes prefixos para o local onde o câncer
começou seu crescimento descontrolado. Por exemplo, o prefixo "osteo" significa
osso, por isso um câncer nos ossos resultante é chamado de um osteossarcoma.
Do mesmo modo, o prefixo "adeno" significa glândula, de forma que um câncer de
células glandulares é chamado adenocarcinoma - por exemplo, um adenocarcinoma
mamário[56].
1.3 Invasão e metástases
Cânceres são capazes de se espalharem por todo o corpo por meio de dois
mecanismos: invasão e metástase.
16
De acordo com o National Cancer Institute [56], invasão refere-se à migração
direta e penetração de células cancerígenas em tecidos vizinhos. Todavia, além de
se disseminar localmente a partir de seu ponto de origem, as células cancerosas
podem penetrar em vasos sanguíneos e linfáticos e, através destes, ser
transportadas até locais distantes, onde iniciam novos focos de crescimento
canceroso. Esse modo de disseminação é denominado metástase, com o local de
origem sendo denominado tumor primário e os locais de disseminação denominados
tumores secundários [40].
Sabe-se que em uma célula normal a mitose (divisão da célula adulta em
duas) é realizada controladamente dentro das necessidades do organismo. Por
razões desconhecidas, certas células reproduzem-se com uma velocidade maior,
desencadeando o aparecimento de massas celulares (neoplasias) ou tumores. Nas
neoplasias malignas o crescimento é mais rápido, desordenado e infiltrativo; as
células não guardam semelhança com as que lhes deram origem e têm capacidade
de se desenvolver em outras partes do corpo, fenômeno este denominado
metástase, que é a característica principal dos tumores malignos, conforme pode
ser observado na fig.1.10.
17
1. O desenvolvimento do
tumor começa quanto a
célula (A) sofre mutação
genética que a faz se
replicar, quando deveria
cessar o processo de
multiplicação.
2 . A célula alterada e
suas
descendentes
aparentemente
são
normais.
A
anormalidade está na
multiplicação
excessiva
(hiperplasia). Depois
de anos, uma em um
milhão destas células
anormais (B) sofre
outra mutação, que a
faz perder o controle
sobre
seu
crescimento.
3 . Além de proliferar
excessivamente,
a
descendência tem forma
e função diferentes. O
tecido onde está a célula
é
considerado
com
displasia. Depois de
algum tempo, as células
com displasia sofrem
uma mutação mais rara
que altera ainda mais
seu comportamento (C).
4. O crescimento e
a
forma
das
células se tornam
ainda
mais
anormais
e
o
tumor é formado.
Se não ultrapassar
as barreiras de seu
tecido de origem é
chamado
de
câncer in situ ou
localizado.
O
tumor
pode
permanecer assim,
mas em muitos
casos de câncer,
algumas
células
cancerosas sofrem
mais
mutações
(D).
5.As
mutações
podem dar ao tumor
capacidade
para
invadir outros tecidos
e liberar células no
sangue ou na linfa.
Essas
céluas
invasoras
se
estabelecem
em
outros
órgãos
formando
novos
tumores
( metástases). As
metástases
podem
matar
ou
atingir
órgãos vitais.
Fig.1. 10 - Evolução do câncer [9]
1.4 Como é o processo de carcinogênese?
Carcinogênese é um termo geral utilizado para denotar o desenvolvimento de
uma neoplasia. Esta por sua vez, significa literalmente novo crescimento, mas pode
ser entendido como um aumento autônomo do número de células [49].
O processo de carcinogênese (formação de câncer), envolve múltiplas etapas
(estágios), no qual uma série de erros genéticos irreversíveis que ocorrem numa
célula vão se acumulando até que culmine em algum tipo de câncer. Geralmente, se
dá lentamente, podendo levar vários anos para que uma célula cancerosa prolifere e
18
dê origem a um tumor visível. Esse processo de indução do câncer passa por vários
estágios antes de uma célula normal ser transformada em uma célula maligna.
1.4.1 Estágio de iniciação
É o primeiro estágio da carcinogênese. Nele as células sofrem o efeito dos
agentes cancerígenos ou carcinógenos que provocam modificações em alguns de
seus genes, fig 1.11. Nesta fase as células se encontram, geneticamente alteradas,
porém ainda não é possível se detectar um tumor clinicamente. Encontram-se
"preparadas", ou seja, "iniciadas" para a ação de um segundo grupo de agentes que
atuará no próximo estágio [17,25,26,51].
Fig.1. 11 - Agentes iniciadores [34]
A iniciação envolve mutação do DNA celular resultando na ativação de
oncogenes e/ou na inativação de genes supressores tumorais, sendo provocada na
maioria dos casos por agentes genotóxicos ambientais, tais como produtos químicos,
radiações e vírus, podendo ainda os oncogenes ser ativados através de
amplificações gênicas e/ou translocações cromossômicas [57].
É conveniente frisar que a iniciação torna-se mais frequente em células que
se dividem intensamente, uma vez que nessas células é maior a possibilidade de
que eventuais danos no DNA escaparem ao mecanismo de reparo, tornando o
prejuízo permanente e irreversível. Além disso, a iniciação é um processo aditivo,
depende da dose de agentes cancerígenas, pois o aumento da dose aumenta a
19
incidência e a multiplicidade das neoplasias e reduz o período da sua manifestação.
Contudo, nem todas as células de um organismo vivo, expostas a um agente
iniciador serão iniciadas ainda que sofreram mutações por que os genes que
regulam a diferenciação terminal também devem ter sido mutados. Outrossim, ainda
existe a iniciação espontânea, advinda de mutações espontâneas, no entanto esse
tipo é menos frequente [39].
1.4.2 Estágio de Promoção
É o segundo estágio da carcinogênese. Nele, as células geneticamente
alteradas, ou seja, "iniciadas", sofrem o efeito dos agentes cancerígenos
classificados como oncopromotores, fig. 1.12.
Em algumas pessoas, porém, há
também defeitos genéticos herdados que podem disparar o mecanismo de uma
célula cancerosa em potencial [17,25,26, 51].
Fig.1. 12 - Agentes promotores [34].
A célula iniciada é transformada em célula maligna, de forma lenta e gradual.
Para que ocorra essa transformação, é necessário um longo e continuado contato
com o agente cancerígeno promotor. A suspensão do contato com agentes
promotores muitas vezes interrompe o processo nesse estágio. Esses agentes
cancerígenos são demonstrados em alguns tumores como causa e efeitos, sendo o
mais conhecido a nicotina contida no cigarro que aumenta em 12 vezes as chances
de câncer de pulmão. Em outros tipos de câncer, essa identificação de causa e
20
efeito ainda não foi definida, por essa razão as causas da doença são ainda um
grande objeto de estudo no campo da oncologia.
Esse estágio não envolve mudanças moleculares na estrutura do DNA e
definida como operacionalmente reversível, de longa duração e período no qual
ocorre a expansão clonal das células [49].
A promoção segue a iniciação e envolve o processo de ativação desses
genes latentes e embora ocorra durante um longo período de tempo, é reversível em
seus estágios iniciais desde que ocorra a interrupção do contato com agentes
promotores [57].
1.4.3 Estágio de progressão
Progressão envolve dano genético que resulta na conversão de tumores
benignos em neoplasias malignas capazes de invadir os tecidos adjacentes e
distantes metasterização [57].
Este estágio se caracteriza pela multiplicação descontrolada e irreversível das
células alteradas, conforme representado na fig.1.13. O câncer já está instalado,
evoluindo até o surgimento das primeiras manifestações clínicas da doença
[17,25,26,51].
Fig.1. 13 - Estágio de progressão do câncer [34]
21
Assim, ficou evidenciado que a iniciação envolve a formação de uma linha de
células mutantes através de uma alteração na informação genética de uma linhagem
celular. A promoção envolve a divisão da célula-mãe para produzir muitas cópias
(clones). Contudo, alguns clones podem sofrer mais mutações e proliferar mais
rapidamente do que as outras, processo denominado progressão. Essas células, por
isso, começam a ser mais numerosas que as outras. Este processo é repetido e as
células tumorais se tornam mais agressiva após cada ciclo, em um processo
denominado seleção clonal. Após 4-6 ciclos a neoplasia torna-se agressivo o
suficiente para se tornarem malignos [52].
1.5 Agentes cancerígenos
O câncer não é uma evolução inevitável do envelhecimento, prova disso é
que um grande contingente de idosos não têm câncer. Esse fato evidencia que além
dos fatores genéticos existem fatores ambientais que exercem influência sobre o
risco do desenvolvimento do câncer.
De maior importância para a população em geral são as agressões
ambientais que aumentam o número de mutações sofridas pelo corpo. Os agentes
químicos e físicos que lesam o DNA de modo a causar uma taxa aumentada de
mutação são denominados mutagênicos e esses, por sua vez, aumentam o risco do
desenvolvimento do câncer sendo os chamados carcinógenos [40].
São efeitos cumulativos de diferentes agentes os responsáveis pelo início,
promoção, progressão e inibição do tumor. A carcinogênese é determinada pela
exposição a esses agentes, em uma dada frequência e período de tempo, e pela
interação entre eles. Devem ser consideradas, também, as características
individuais, que facilitam ou dificultam a instalação do dano celular. O período de
22
latência varia com a intensidade do estímulo carcinogênico, com a presença ou
ausência dos agentes oncoiniciadores, oncopromotores e oncoaceleradores, e com
o tipo e localização primária do câncer. Portanto, a presença dos agentes
cancerígenos, por si só, não pode ser responsabilizada pelo desenvolvimento dos
tumores. Há, porém, casos em que isto acontece. O carcinoma de bexiga, por
exemplo, se desenvolve em 100% dos destiladores de benzidina que se expõem a
esta substância de forma intensa e contínua, e o câncer de pulmão, que é
consequência do tabagismo crônico, ocorrendo entre fumantes, em mais de 90%
dos casos.
Agente oncoiniciador - é capaz de provocar diretamente o dano genético das
células, iniciando o processo de carcinogênese, é chamado agente iniciador ou
oncoiniciador. Como exemplo de inciador temos o benzopireno, um dos
componentes da fumaça do cigarro e alguns vírus oncogênicos, entre outros [25,26].
Agente oncopromotor - atua sobre as células iniciadas, transformando-as em
malignas [25,26].
Agente oncoacelerador - caracteriza-se pela multiplicação descontrolada e
irreversível das células alteradas. Atua no estágio final do processo [25,26].
Fig.1. 14 - Evolução de uma célula cancerosa[51].
23
Assim sendo, agentes químicos, radiação, vírus, hereditariedade, todos
contribuem para o desenvolvimento do câncer por desencadear mudanças em
genes da célula fazendo com que uma pessoa fique mais suscetível ao câncer,
conforme esquematizado na fig.1.15.
Fig.1. 15 - Genes
e o câncer. Adaptado de U.S National Câncer Institute [56]
Os carcinógenos químicos tendem a causar mutações devido a substituições
de um único nucleotídeo no DNA. A radiação, por sua vez, tende a produzir uma
forma maior de dano, como rupturas no DNA, nucleotídeos com ligações cruzadas,
recombinação anormal e translocações cromossômicas. Certos vírus também têm o
potencial de transformar as células e estão associados a cerca de 15% dos
cânceres humanos, sendo chamados de vírus oncogênicos [40].
1.6 Formas de tratamento
Para tratar o câncer, os médicos recorrem à inúmeras formas de tratamento
dentre as quais destacam-se: cirurgia, quimioterapia, terapia alvo dirigida,
24
radioterapia, hormonioterapia e imunoterapia, tratamentos utilizados de forma
isolada ou combinada, dependendo do tipo celular do órgão de origem e do grau de
invasão do tumor.
1.6.1 Cirurgia
A cirurgia consiste na remoção do tumor através do método cirúrgico,
podendo este método estar associado a outras formas de tratamento do tumor,
quimioterapia e/ou radioterapia.
Dependendo
do
estadiamento
do
tumor
pode-se
ou
não
remover
cirurgicamente todas as células tumorais, isto porque quando se tratar de tumores
em estágio avançado ela muitas vezes somente é utilizada para reduzir o tamanho
da massa tumoral, uma vez que a remoção total em estágios avançados nem
sempre é possível.
1.6.2 Quimioterapia
A quimioterapia é uma modalidade de tratamento que utiliza medicamentos
específicos para a destruição das células cancerosas. Como atuam em diversas
etapas do metabolismo celular, as medicações alcançam as células malignas em
qualquer parte do organismo com o objetivo de diminuir ou cessar a atividade do
tumor [55].
A aplicação da quimioterapia é definida pelo médico oncologista e pode ser
realizada durante a internação ou em ambulatório. O tratamento quimioterápico pode
ser realizado com um único medicamento ou através da combinação de vários deles
(mistura de drogas e doses), por via intravenosa (na veia ou por catéteres) ou via
oral (comprimidos ou cápsulas).
25
O tratamento pode ter indicação como terapia exclusiva, adjuvante ou neoadjuvante. A terapia exclusiva é quando o principal tratamento adotado para
combater o câncer é o de quimioterapia. Adjuvante, é geralmente o tratamento
complementar aplicado após o tratamento primário, como a cirurgia, por exemplo. E,
neo-adjuvante é o que precede a cirurgia, utilizado para diminuir o tumor e a
agressividade do procedimento [54].
1.6.3 Terapia Alvo-Dirigida
O conceito de terapia alvo-dirigida remonta de longa data, formulado por Paul
Erlich em 1910, designando drogas com a capacidade de atingir alvos celulares
específicos com poucos efeitos colaterais para o hospedeiro, a “magic bullet” ou bala
mágica [42]. Logo, a grande diferença com a quimioterapia é que, teoricamente, a
terapia dirigida, por ser específica, poupa um grande número de células normais,
causando menos efeitos colaterais, pois a atuação desses medicamentos está
dirigida a alvos específicos presentes na célula tumoral e muitas vezes ausentes na
normal [38].
1.6.4 Radioterapia
De acordo com o Instituto Nacional de Câncer, a radioterapia é um método
capaz de destruir células tumorais, empregando feixe de radiações ionizantes. Uma
dose pré-calculada de radiação é aplicada, em um determinado tempo, a um volume
de tecido que engloba o tumor, buscando erradicar todas as células tumorais, com o
menor dano possível às células normais circunvizinhas, à custa das quais se fará a
regeneração da área irradiada.
Há duas maneiras de utilizar radiação contra o câncer
26
•
Teleterapia: utiliza uma fonte externa de radiação com isótopos radioativos ou
aceleradores lineares[45];
•
Braquiterapia: que é o tratamento através de isótopos radioativos inseridos
dentro do corpo do paciente, geralmente através de cápsulas de metal, onde
será liberada a radiação ionizante [48].
1.6.5 Hormonioterapia
Alguns tumores como os de mama, próstata e endométrio expressam
receptores hormonais, ou seja, eles crescem por conta da presença hormonal.
A hormonioterapia é um tratamento que tem como objetivo impedir a ação
destes hormônios. De que forma? Bloqueando ou suprimindo os efeitos do hormônio
sobre o órgão alvo (órgão sobre o qual atua), por exemplo, o estrógeno, que é o
hormônio responsável pela proliferação celular no caso do tumor da mama [19].
1.6.6 Imunoterapia
A imunoterapia é uma forma de tratamento do câncer que promove a
estimulação do sistema imunológico, através do uso de substâncias que modificam a
resposta biológica [16,37,40,41,47].
Durante muitos anos, médicos acreditavam que o sistema imunológico só
fosse eficaz na luta contra as doenças infecciosas causadas por agentes invasores
como bactérias e vírus. Mas recentemente observou-se que o sistema imunológico
pode desempenhar um papel central na defesa do organismo contra o câncer.
Apesar desse papel ainda não estar bem elucidado, há indícios de que em muitos
pacientes com câncer o ritmo do crescimento tumoral e a sua propagação é
desacelarada pela interação com o sistema imunológico [41].
27
De acordo com Mary L. Disis [16] a imunoterapia no tratamento contra o
câncer consiste essencialmente em estimular o sistema imune através de uma
variedade de reagentes, tais como vacinas, infusão de linfócitos T, ou citocinas.
Estes reagentes atuam por meio de vários mecanismos: estimulando a resposta
antitumoral, quer através do aumento do número de células efetoras ou produzindo
um ou mais mediadores solúveis, como linfocinas; diminuindo mecanismos
supressores da resposta imune; alterando células tumorais para aumentar a sua
imunogenicidade e torná-las mais suscetíveis às defesas imunológicas ou ainda
melhorando a tolerância as drogas citotóxicas ou radioterapia.
A imunoterapia parece oferecer uma nova dimensão no tratamento do câncer,
uma vez que, baseia-se em mobilizar e reforçar a tendência natural do organismos
em reagir a presença de células tumorais, podendo a imunoterapia ser ativa ou
passiva dependendo das substâncias utilizadas e os seus mecanismos de ação
[21,22,23,24].
28
CAPÍTULO II – O SISTEMA IMUNE E O CÂNCER
Quando as defesas intracelulares falham entram em ação outros mecanismos
de defesa que objetivam a eliminação das células tumorais, uma vez que, processos
homeostáticos intracelulares são capazes de identificar células geneticamente
alteradas e processar a sua destruição.
Nesse capítulo será feita uma abordagem sobre o Sistema Imune e sua ação
anti-tumoral. Para tal, primeiramente será feita uma breve explanação sobre o
sistema imune como um todo para facilitar o entendimento da secção
subsequentemente que será direcionada à imunologia tumoral, bem como
mecanismo de escape que as células tumorais usam burlar o sistema imune.
2.1 Sistema Imune
A principal função do sistema imune é defender o organismo contra
microrganismos e moléculas estranhas. Os microrganismos, as células cancerosas e
os tecidos ou órgãos transplantados são interpretados pelo sistema imune como
algo contra o qual o corpo deve ser defendido. Logo, segundo Stites e Terr [53], o
sistema imune deve discriminar o “não-próprio” do “próprio”, o que é realizado
através das moléculas do complexo principal de histocompatibilidade (CPH; em
inglês, MHC, de major histocompatibility complex), uma vez que, ao que tudo indica
cada antígeno, seja próprio ou não-próprio, reconhecido pelos linfócitos T somente
em conjunto com moléculas do MHC. Assim, os linfócitos T CD4 reconhecem
antígenos em conjunto com moléculas de classe II, enquanto os linfócitos T CD8
reconhecem antígeno no contexto das moléculas de classe I do MHC.
29
2.1.1 Anatomia
A anatomia do sistema imune pode ser observada na fig.2.1 e, de acordo com
Stites e Terr [53] as células que formam o sistema imune (leucócitos) estão
distribuídas pelo organismo, no entanto, sua predominância é maior nos órgãos
linforreticulares, tais como os linfonodos, baço, medula óssea, timo e tecidos
linfóides associados às mucosas das vias gastrintestinais e respiratórias. Assim,
segundo Motta Junior [36], existe uma variedade de locais onde podemos encontrar
tecidos linfóides. O tecido linfóide pode estar acumulado formando os linfonodos que
se interpõem entre os vasos linfáticos do corpo, pode fazer parte do parênquima de
órgãos maciços como o baço, o timo ou as placas de Peyer do íleo. As tonsilas
(amígdalas) são formadas puramente por tecido linfóide. Alguns órgãos não
possuem tecido linfóide, mas tem uma grande população de macrófagos prontos
para agir e fazer a “limpeza” do local, como por exemplo o pulmão (macrófagos
alveolares), o fígado (células de Kuppfer), o cérebro (micróglias) e a pele (células de
Langehans).
Fig.2. 1 - Sistema imune [7]
30
2.1.2 Componentes do sistema imune
O sistema imune é composto por células e substâncias solúveis.
As substâncias solúveis são moléculas que não estão contidas em células,
mas dissolvidas em um líquido (por exemplo: plasma). As principais substâncias
solúveis são os anticorpos, as proteínas do complemento e as citocinas. Algumas
substâncias solúveis funcionam como mensageiros para atrair e ativar outras
células[7].
As células do sistema imune são os leucócitos, que por sua vez, subdividemse em várias outras linhagens: Granulócitos, Fagócitos mononucleares e Linfócitos.
Somente se estará fazendo uma abordagem sobre os linfócitos e os fagócitos
mononucleares, uma vez que, de acordo com Stites e Terr [53] os linfócitos e os
fagócitos mononucleares desempenham um papel central na resposta imune.
2.1.2.1 Linfócitos
Existem três linhagens distintas de linfócitos : B, T e NK.
2.1.2.1.1 Linfócitos B e T
Segundo Junqueira e Carneiro [28], os linfócitos B se originam na medula
óssea e por movimentação amebóide penetram nos capilares sanguíneos, sendo
levados para outros órgãos linfóides, exceto o timo, onde proliferam quando ativados
por antígenos e se diferenciam em plasmócitos, produtores de anticorpos.
Constituem 5-10% dos linfócitos do sangue. Contudo, convém frisar que alguns
linfócitos B quando ativados não se diferenciam em plasmócitos, tornando-se
linfócitos B da memória imunitária.
31
Outra linhagem de linfócitos são os linfócitos T, os quais representam de 6575% dos linfócitos do sangue. Seus precursores originam-se de células stem na
medula óssea, penetram no sangue e são retidos no timo, onde diferenciam-se
linfócitos T maturos que expressam moléculas funcionalmente importantes como o
TCR, CD4 e CD8. Assim, o timo produz grandes números de linfócitos T antígenoespecíficos, maturos, os quais novamente carregados pelo sangue vão ocupar áreas
definidas nos outros órgãos linfóides.
Nestas estruturas os linfócitos T se
diferenciam nas subpopulações: T CD4, T CD8, T-supressora e T-memória [28].
De acordo com Peter Parham [40,46], duas classes principais de linfócitos T
podem ser diferenciados por sua expressão a glicoproteínas de superfície celular
CD4 e CD8. Os linfócitos T que expressam a glicoproteína CD8 são denominados
linfócitos T CD8 e, reconhecem somente células que transportam seu peptídico
correspondente, apresentado por uma molécula MHC de classe I. Já os linfócitos T
que expressam a glicoproteína CD4 são denominadas linfócitos T CD4 e secretam
citocinas que ajudam a ativar outros tipos de células do sistema imune e respondem
a antígenos peptídicos apresentados por antígenos MHC classe II.
Os linfócitos T CD4 possuem a função de estimular os outros linfócitos T e
também a transformação dos linfócitos B em plasmócitos. Isso torna-se possível
porque
possuem CD4 e, assim, reconhecem um macrófago ativado e enviam
estímulos para os outros linfócitos.
Os
linfócitos
T-supressores
inibem
apresentando o término da resposta imune.
a
resposta
humoral
e
celular,
32
Em conjunto os linfócitos T CD4 e T-supressor são chamados de células
reguladoras.
Os linfócitos T CD8 (Tc) que saem do timo são pre-Tc e possuem TCR que
pode reconhecer o antígeno, mas não são maduras e não podem destruir até “se
ativarem”. Para se tornarem ativas requerem dois sinais: reconhecimento pelo TCRCD3 do antígeno específico associado com MHC Classe I à superfície do APC e
exposição a citocinas (IL-2 e IFN-γ). Contudo, além do primeiro sinal de ativação,
elas necessitam de coestimulação CD28-B7 para não entrarem em anergia, uma vez
que, moléculas B7 reforçam o sinal do TCR e induzem positivamente a ativação dos
linfócitos T por isso recebendo a designação de “segundo sinal”, sem o qual os
linfócitos T não são capazes de responder de maneira adequada e, se eles
reconhecem seu antígeno de uma forma não estimulante, tornam-se inativos,
produzindo um estado de tolerância imunológica. A estimulação do CD28
comprovadamente prolonga e aumenta a produção do IL-2 (responsável pela
indução de proliferação dos linfócitos T) e de outras citocinas. A IL-2 também é de
importância fundamental na ativação dos linfócitos T, favorecendo a produção do
IFN-γ, o qual age como sinal positivo de retroalimentação para muitas respostas
imunes [46,47].
Esses linfócitos T CD8, por sua vez, produzem as chamadas perforinas, as
quais abrem orifícios nas membranas plasmáticas provocando a lise celular.
Também fazem a apresentação dos antígenos estranhos aos linfócitos T CD4, para
que estes façam a estimulação necessária.
Os linfócitos T podem reagir como células de memória, reagindo com rapidez
à reintrodução do antígeno e estimulando o aparecimento dos linfócitos T CD8.
33
Diante do exposto, ficou evidenciado que a diferenciação entre os linfócitos
pequenos B e T (fig.2.2) e, também seus subtipos, torna-se possível graças à
presença de proteínas integrais específicas em suas membranas, as quais acabam
conferindo a cada qual, funções específicas na resposta imune.
Fig.2. 2 - Linfócitos B e T [32]
2.1.2.1.2 Linfócitos NK
Os linfócitos NK são uma subpopulação de linfócitos que se originam de uma
célula precursora na medula óssea e possuem a capacidade de lisar (destruir) certas
células tumorais, sem a imunização deliberada do hospedeiro pelo tumor e células
infectadas por vírus [40,53].
Os linfócitos NK fazem parte de 10-15% dos linfócitos do sangue.
Reconhecem e destróem tanto tumores autólogos (próprios) como alogênicos, sem
que estes expressem algum antígeno ativador da resposta imune específica, pois
não há reconhecimento de epítopos e nem formação de células monoclonais
específicas ou qualquer memória imunológica (que é sempre específica). Assim, tem
sido sugerido que essa atividade dos linfócitos NK pode ser importante na vigilância
34
imunológica, impedindo metástases de tumores através do sangue, apesar de
haverem controvérsias quanto a esse detalhe [36,47,53].
2.1.2.2 Fagócitos Mononucleares
Os macrófagos e seus precursores circulantes, os monócitos, exercem papéis
centrais na imunidade inata e na adquirida e são células efetoras importantes para a
eliminação de microorganismos. Realizando a fagocitose e funcionando como
células acessórias para a ativação das respostas adquiridas, constituem um dos
mais importantes tipos de células fagocíticas e células apresentadoras de antígenos
do organismo [44].
Os monócitos são células intermediárias, destinadas a formar os macrófagos
[28]. Segundo Stites e Terr [53], os monócitos e macrófagos, podem servir como
apresentadora de antígeno para os linfócitos T, por ingestão e degradação de
antígenos estranhos.
Assim, dentro do sistema imune aferente o macrófago tem papel chave de
célula apresentadora de antígeno. Restos celulares tumorais são fagocitados,
processados e apresentados ao sistema imune específico. Esta apresentação é feita
junto com os antígenos de classe II do MHC. No sistema imune eferente, o
macrófago armado pelo seu receptor Fc de IgG específica é um dos sistemas dos
protagonistas na lise por ADCC (Citotoxidade Celular Dependente de Anticorpo).
Monócitos e macrófagos de um indivíduo normal podem ter reatividade espontânea
contra células tumorais após ativação, independente do reconhecimento de
antígenos tumorais definidos anteriormente, mas ligada a uma estrutura expressa na
célula macrofágica responsável por esta função. A atividade antitumoral natural
macrofágica é pequena mas aumenta muito após ativação por linfocinas,
35
principalmente interferon Gama, endotoxinas ou outras substâncias que induzem
várias transformações bioquímicas e morfológicas nos macrófagos [21,22,23].
2.2. Mecanismos de defesa e a imunologia tumoral
Existem dois tipos de mecanismos de defesa contra agentes invasores: a
imunidade inata, também conhecida como imunidade natural e a imunidade
adaptativa [40, 47, 53].
A imunidade inata segundo Dranoff [18] funciona como a primeira linha de
defesa contra a infecção. É composta por fatores solúveis, tais como proteínas do
complemento, e diversos componentes celulares, incluindo granulócitos (basófilos,
eosinófilos e neutrófilos), mastócitos, macrófagos, células dendríticas e linfócitos NK.
A resposta imune adaptativa é mais lenta para se desenvolver, mas se manifesta
como uma maior especificidade antigênica e de memória. É constituída por
anticorpos, linfócitos B, Linfócitos T CD4 e linfócitos T CD8.
Linfócitos NK e
linfócitos T abrangem a interface inata e da imunidade adaptativa. A representação
dos envolvidos na imunidade inata e adaptativa pode ser observada na Fig.2.3:
Fig.2. 3 - A resposta imune inata e a adaptativa. Adaptado [18]
36
Outro detalhe que merece ser salientado é que para as células da imunidade
inata entrarem em ação não se faz necessário um contato prévio com o antígeno, o
que é de suma importância na imunologia tumoral, pois do contrário a proliferação
de células cancerosas seria muito mais intensa. E, para comprovar a veracidade
dessa afirmação, cientistas observaram que leucócitos periféricos de indivíduos
normais são capazes de impedir o crescimento de células tumorais in vitro, e mesmo
destruí-las [23].
Macrófagos são frequentemente encontrados no microambiente de tumores.
Quando estimulados por citocinas pró-inflamatórias, os macrófagos são ativados
podendo secretar citocinas com atividade tumoricida, a qual induz a morte por
apoptose, sendo que o processo de apoptose é frequentemente seguido de
fagocitose dos corpos apoptóticos e subsequente criação de um ambiente antiinflamatório. Contudo, estas condições tendem a ser menos eficientes na geração
de uma resposta imunogênica do que quando a morte das células tumorais ocorre
por necrose, que é acompanhada da persistência de um contexto pró-inflamatório.
Apesar de dados controversos advindos da literatura, pesquisas mais recentes,
evidenciaram que o infiltrado de macrófagos em tumores, está associado antes a
uma aceleração na progressão de tumores do que realmente sua contenção [11].
Os linfócitos NK também agem na imunidade natural contra tumores. Neste
caso, eles reconhecem antígenos da célula tumoral através do receptor dos
linfócitos NK, devido ao fato da célula tumoral não estar mais expressando
moléculas do complexo de histocompatibilidade (MHC), sendo mais frequente em
células metastáticas. Entretanto, quando células apresentam o MHC em níveis
37
normais, a função da célula NK é inibida em virtude dos receptores inibitórios de
células NK [11].
Isso se justifica, de acordo com Peter Parham [40], em virtude dos linfócitos
NK individuais expressarem diferentes tipos de receptor inibidor em suas superfícies,
uma vez que, cada linfócito NK maduro na circulação manifesta no mínino um
receptor inibidor, que pode se ligar a uma ou mais das moléculas de HLA de classe I
expressas pela pessoa, desencadeando o envio de sinais inibitórios que desligam a
citotoxicidade do linfócito NK e a secreção de citocinas, consequentemente,
protegendo as células normais do ataque das células NK. Todavia, células que
perderam a expressão do MHC de classe I tornam-se suscetíveis ao ataque dos
linfócitos NK.
Esses receptores inibidores nos linfócitos NK humanos são de dois tipos. O
primeiro tipo são heterodímeros de CD94 e NKG2, com características das lectinas
tipo C, sendo codificados por uma família de genes no cromossomo humano 12. O
segundo tipo são membros da superfamília das imunoglobulinas, conhecidos como
receptores semelhantes a imunoglobulinas para células assassinas (KIRs)
codificados por uma família de genes no cromossomo humano 19. Para ambos os
tipos de receptor, a união de um ligante MHC de classe I aos domínios
extracelulares produz um sinal inibidor [40].
Assim, alguns produtos dos alelos de classe I do sistema HLA podem
proteger as células-alvo, enquanto outros podem potencializar destruição mediada
pelos linfócitos NK, prova disso é que, modificações em ligantes HLA KIRespecíficos em células tumorais espontâneas e em células vírus-infectadas podem
ser responsáveis pela destruição NK-mediada destas células [47].
38
Outra linha de ação dos linfócitos NK baseia-se na capacidade que os
mesmos possuem de se ligar a alvos revestidos com anticorpos IgG e de destruí-los
através de seus receptores para IgG (citotoxicidade celular dependente de
anticorpo(ADCC)). Logo, como os macrófagos, linfócitos NK apresentam receptores
de Fc, reconhecendo assim células tumorais opsonizadas por anticorpos. A lise
celular dá-se por liberação de grânulos intracelular dos linfócitos NK, enriquecidos
em perforinas. A extrusão de perforinas dos linfócitos NK e sua inserção na
membrana da célula tumoral está associada a morte da célula-alvo [11,40,47].
Conforme esquematizado na fig.2.4, existem três formas de ação dos
linfócitos NK sobre as células tumorais. Em (a), observa-se os linfócitos NK fazendo
a exocitose de perforina e granzimas para provocar a morte das células tumorais.
Isto ocorre devido a estimulação feita através de citocinas, como o interferon gama
( IFN - γ ) , que estimula a ação da imunidade adaptativa no intuito da eliminação das
células tumorais. Em poucos minutos grânulos citotóxicos são direcionados para as
células tumorais, e a perforina contida nesses grânulos é secretada, perturbando a
membrana das células tumorais, permitindo a entrada de proteases conhecidas
como granzimas. As duas mais abundantes granzimas, A e B, têm sido implicados
na mediação da apoptose de células-alvo. Através de sinalização induzem esta
atividade ativando receptores, enquanto receptores inibitórios tentam impedi-la. Já
em (b) pode-se observar a morte através do receptor-ligante. Alguns linfócitos NK
expressam FaS ligante (FasL) ou TNF
relacionado apoptose induzindo-ligante
(Trail). Estes ligam-se e ativando seus receptores, FaS e TRAIL receptor (TRAILR),
respectivamente, que são expressas por células tumorais. Esta interação induz
apoptose de células tumorais. A proteína c-FLIP (FLICE proteínas inibidoras) fazem
a indução da apoptose em blocos através desta via. Em (c) pode-se visualizar a
39
ação dos linfócitos NK através da via do óxido nítrico e secreção do interferon gama
( IFN - γ )
, consequentemente exercendo atividade antitumoral. O óxido nítrico (NO)
é uma das mais poderosas moléculas efetoras no sistema imunitário, e pode regular
a função das células NK citotóxicas contra células tumorais [50].
Fig.2. 4 -Representação
das funções efetoras dos linfócitos NK para eliminação
de células tumorais. Adaptado [50]
Ainda explanando sobre os mecanismos de indução da apoptose de células
tumorais pelos linfócitos NK, Mehlen & Puisieux [33] comentam que existem pelo
menos dois mecanismos para realizar a apoptose. Assim, se um ligante NKG2D é
detectado na superfície das células tumorais, os linfócitos liberam perforina e, na
falta de reconhecimento NKG2D ligante, os linfócitos NK podem produzir o fator de
necrose tumoral (TNF) relacionados a apoptose induzida pelo ligante TRAIL –
TRAIL-R ou CD95L-CD95 e, consequentemente, desencadeando a morte das
células tumorais por apoptose induzida (DISC), fig.2.5.
40
Fig.2. 5 - Vigilância imune contra células tumorais. Adaptado [33]
Os linfócitos NK em repouso, isoladas de indivíduos normais, destróem
apenas uma limitada faixa de tumores, mas podem ser ativados por certas citocinas,
por exemplo IL-2 (uma interleucina),
para aumentar sua atividade citotóxica e
proliferar, consequentemente, adquirindo a capacidade de destruir essencialmente
todos os tipos celulares de tumor, sem causar dano à maioria dos tecidos normais.
Esse fenômeno é chamado atividade destruidora ativada por linfocina (LAK).
Em se tratando de linfócitos NK é interessante salientar que, segundo Smyth
et al [50], os mesmos formam uma primeira linha de defesa contra patógenos ou
células cancerígenas e, ao receberem sinais de alerta ou perigo emitidos pelas
células tumorais, eles respondem a esses sinais através da produção de moléculas
efetoras que podem tanto diretamente suprimir o crescimento tumoral e/ou transmitir
informações importantes para o resto do sistema imunitário. Para tal, a figura a
seguir esquematiza o processo em que os linfócitos NK reconhecem alguns sinais
ou alertas de perigo produzidos pelas células tumorais, fazendo com que as
41
mesmas influenciem o desenvolvimento de resposta imunitária adaptativa dos
linfócitos T e B que constituem imunidade específica e de memória imunológica a
tumores e agentes patogênicos. Além disso, a lise de células cancerosas
provocadas pelos linfócitos NK pode fornecer antígenos tumorais para células
dendríticas, que os leva até os linfócitos T CD8 (CTLs) nos gânglios linfáticos. As
citocinas, como o interferon gama ( IFN − γ ) , que são produzidos por linfócitos NK
ativados, ativa os linfócitos T CD8(CTL) e linfócitos T CD4. Isto leva à proliferação
dos linfócitos T CD4 e a produção de citocina. Ativadas os linfócitos NK1.1+T (NKT)
também podem induzir a atividade antitumoral de linfócitos NK. As citocinas
produzidas pelas células NK também podem regular a atividade antitumoral das
células B, as quais acabam produzindo anticorpos antitumorais conforme pode ser
observado na fig.2.6.
Fig.2. 6 - Linfócitos NK e a resposta imune desencadeada para lisar células
tumorais. Adaptado [50]
Os linfócitos T CD8 reconhecem antígenos específicos pelas moléculas do
MHC sendo que a maioria dos linfócitos T CD8 reconhecem o antígeno apresentado
42
no contexto de moléculas de classe I do MHC [3, 47]. Assim, os linfócitos T CD8
destróem as células tumorais via reconhecimento por seus receptores do antígeno
tumoral específico presente no receptor MHC tipo I na superfície da célula tumoral,
uma vez que o propósito básico do receptor MHC I é apresentar antígenos
peptídicos endógenos (próprios) em uma superfície celular. Logo, linfócitos T
tumorais antígeno-específicos ligam-se ao complexo antigênico do receptor tumoral
MHC I e destróem a célula tumoral via liberação de grânulos contendo granzimas B,
perforina e via indução da apoptose através do mecanismo FaS.
Assim, de acordo com Roitt et al [47] após a ligação ao seu alvo, o linfócito T
CD8 direciona seus grânulos (perforinas e granzimas) à membrana alvo. Em
seguida, na presença de Ca2+, os conteúdos dos grânulos são liberados na fenda
entre as duas células. Assim os monômeros da perforina ligam-se à membrana da
célula-alvo e sofrem polimerização, formando os canais de poliperforina (canais
transmembrana).
Posteriormente enzimas degradativas ou outras substâncias
tóxicas são liberadas pelo linfócito T CD8, passam através dos canais
transmembrana ocasionando dano a célula alvo.
Algumas granzimas (conjunto de serina esterases), também liberadas durante
a exocitose dos grânulos e que se tornam ativas após a liberação, também podem
interagir com as vias intracelulares das células-alvo, ativando mecanismos que
desencadeiam a apoptose e degradação do DNA [47], podendo essa contribuição
das proteínas desses grânulos para a citotoxicidade ser observada na figura 2.7.
43
O
linfócito
T
CD8
sofre
degranulação, liberando perforina e
várias
enzimas
nas
vizinhanças
imediatas da membrana da célulaalvo. Na presença de Ca+2, ocorre a
polimerização
perforina,
formando
poliperforina
Enzimas
enzimática
na
da
canais
de
célula-alvo
(1).
degradativas
ou
outras
substâncias tóxicas liberadas pelos
linfócitos T CD8 passam através dos
canais causando dano à célula-alvo(2)
[47].
Fig.2. 7 - Mecanismos de citotoxicidade grânulo-associados
Contudo, existem situações em que os linfócitos T CD8 são incapazes de
expressar o gene da perforina, tendo a citotoxicidade reduzida, mas não eliminada.
Estes achados levaram à identificação de um grupo de moléculas que podem
sinalizar diretamente a apoptose, das quais as mais amplamente conhecidas são
FaS(CD 95) e o receptor para TNF (fator de necrose tumoral). O ligante de
FaS(FasL) é expresso nos linfócitos T CD4 e T CD8 maduros após a ativação. A
ligação de FaS induz o agrupamento das moléculas FaS, a associação a uma
proteína intracitoplasmática, MORT-1 e, em última análise, o alvo é apoptose. A
estrutura do FaS assemelha-se àquela do receptor de TNF, particularmente porque
ambos contêm “domínios intracitoplasmáticos da morte”, que são encontrados em
várias proteínas reguladoras da sobrevida das células [47], o que pode ser
observado na fig.2.8.
44
O ligante Fas (FasL) nos linfócitos T
CD8 provoca a agregação de Fas na
célula-alvo, o que permite a associação
às proteínas intracelulares (por exemplo,
MORT-1), que iniciam uma cadeia de
eventos que resultam na apoptose. Fas
possui quatro domínios extracelulares
(do tipo receptor NGF) e um “domínio
intracelular da morte”. A morte celular
também pode ser sinalizada pelo TNF
(fator de necrose tumoral), ligando-se ao
receptor TNF do tipo I (TNF-1), que
pertence à mesma família do receptor de
FaS. [47]
Fig.2. 8 - Mecanismos de citotoxicidade mediada por receptores [47]
Dessa forma, de acordo com Dranoff [18] e conforme esquematizado na
fig.2.9, seguindo a estimulação, os linfócitos NK podem lisar células de tumores
através da ação das perforinas e/ou granzimas ou ainda induzindo apoptose-ligantes,
tais como-fator de necrose tumoral (TNF)- induzindo apoptose -ligante (Trail). Os
linfócitos NK secretam interferon gama (IFN-γ), que inibe a proliferação de células de
tumores, aumenta a apoptose das células de tumor, melhora a apresentação
antígenos tumorais e inibe a angiogênese. NKT células também executam
citotoxicidade e produção citocina. Linfócitos T CD8 podem lisar tumores através de
morte ligantes, tais como a TRAIL, e ação de perforina e/ou granzima. T CD4 podem
diferenciar em linfócitos T helper 1 (TH1) células que secretam IFN-γ e TNF-β ou T
helper 2 (TH2) células que secretam interleucinas (IL-4, IL-5, IL-6, e IL-10 IL-13).
Esta última função reforça e aumenta a produção de anticorpos células pelas células
B. Macrófagos podem lisar tumores através da produção de óxido nítrico e espécies
reativas de oxigênio.Os granulócitos também possuem formas diferenciadas para
provocar a lise tumoral.
45
Fig.2. 9 - Uma reação coordenada celular e humoral leva a destruição das
células tumorais. Adaptado [18]
Diante do exposto, ficou evidenciado que os linfócitos NK e T CD8 são
importantes mediadores da imunidade antitumoral, tal como eles são, em última
instância, responsável pela destruição das células malignas.
2.3 Imunologia tumoral e escape
Embora o sistema imune possa limitar o crescimento expansivo de alguns
tumores, os cânceres raramente são vencidos pelo sistema imune em virtude de
falhas no reconhecimento e/ou na ativação do sistema imune. Assim, para tentar
entender as inúmeras facetas que as células tumorais utilizam para evadir-se da
resposta imune, tem sido propostas muitas explicações.
46
De acordo com Roitt et al e Correa [12,47], o mais óbvio é que o tumor é nãoimonogênico e se isto é verdadeiro, então o escape pode ser resultado não da
ausência de antígenos tumorais potenciais, mas de que as células tumorais serem
fracas apresentadoras de antígenos. Ainda segundo o mesmo autor, a indução das
respostas imunes exige coestímulos que podem ser moléculas de superfície celular
ou citocinas secretadas pelas células apresentadoras de antígenos. A molécula B7,
presente em células apresentadoras de antígeno especializadas, é atualmente
conhecida como um coestímulo chave que atua através de seu contrarreceptor
CD28 na superfície do linfócito T, uma vez que, experimentalmente a apresentação
dos complexos antígeno peptídico-MHC para o receptor do linfócito T na ausência
de coestímulo pela molécula B7 pode levar à anergia.
As células tumorais também podem não apresentar as moléculas necessárias
para a adesão dos linfócitos como o LFA-1 e LFA-3 ou ICAM-1 ou podem ainda
expressar moléculas antiadesivas como as mucinas. As células tumorais podem
também secretar citocinas imunossupressoras que podem suprimir respostas
imunes antitumorais. Um exemplo de produto tumoral imunossupressivo é o fator
transformador de crescimento beta (FTC-β, TGF-β), secretado em grandes
quantidades por muitos tumores e que inibe uma ampla variedade de funções dos
linfócitos e macrófagos [12,40,47].
A perda de antígenos do MHC constitui um mecanismo particularmente
importante de escape, pois leva a uma incapacidade de apresentação de antígenos
peptídicos tumorais[40,47].
Isso torna-se possível porque, de acordo com Peter Parham [40], à medida
que o tumor cresce, as células tumorais adquirem mutações diferentes e, assim, o
47
tumor torna-se geneticamente heterogêneo, variação esta que pode levar a uma
ação de seleção, a qual pode ter vinculação com crescimento mais rápido e
metástase, ou ainda pode haver seleção pela resposta imune. Por exemplo, uma
resposta de linfócitos T CD8 matará as células que apresentam antígenos tumorais
e supõe-se que em torno de 50% dos tumores humanos possuem defeitos na
expressão de um ou mais dos seus alótipos HLA de Classe I, indicando que foram
sujeito a essa seleção.
Ainda seguindo o raciocínio de Parham[40], a perda da expressão do HLA de
classe I poderia tornar um tumor suscetível ao ataque dos linfócitos NK, mas na
maioria dos indivíduos a perda de um único alótipo HLA-A, B ou C, algo comum em
tumores humanos, não torna as células tumorais suscetíveis às células NK.
Carlos Augusto Correa [12], aponta mais algumas razões que podem justificar
o escape tumoral:
•
a maioria das células tumorais humanas não expressa moléculas do MHC
classe II , não pode ativar diretamente linfócitos T CD4+ tumor-específicos e
como a atividade antitumoral dos linfócitos T CD8 é em parte dependente de
sinais fornecidos pelos linfócitos T CD4, se as APC profissionais
infiltrarem
adequadamente
estes
tumores,
captarem
e
não
apresentarem
antígenos tumorais, ativando linfócitos T CD4, então não ocorrerá
diferenciação antitumoral máxima dos linfócitos T CD8;
•
um hospedeiro pode ser tolerante a alguns antígenos tumorais devido à
exposição neonatal a tais antígenos ou porque a célula
tumoral pode
apresentar seus antígenos ao sistema imune de forma tolerogênica;
48
•
a perda de expressão de superfície dos antígenos tumorais em decorrência
de ligação a anticorpo, chamada modulação antigênica, leva à resistência
adquirida contra mecanismos efetores imunes. A modulação antigênica devese à endocitose ou a “ecdise” dos complexos antígeno-anticorpo. Se a
modulação antigênica for causada por um anticorpo antitumoral que não fixa
complemento, poderá proteger as células tumorais de outros anticorpos
ativadores de complemento. A modulação antigênica talvez seja mais
relevante como problema que complica as tentativas de imunoterapia passiva
com anticorpos antitumorais;
•
Os antígenos da superfície celular do tumor podem estar escondidos do
sistema imune por moléculas do glicocálice, inclusive mucopolissacarídeos
contendo ácido siálico. Este processo chamado mascaramento antigênico e
pode ser uma consequência do fato de que as células tumorais costumam
expressar mais destas moléculas do glicocálice do que as células normais.
Semelhantemente, alguns tumores podem se defender do sistema imune
ativando o sistema de coagulação, assim se investindo como “casulo de
fibrina”.
Enfim, as células tumorais possuem mecanismos que propiciam a evasão do
sistema imune. Entretanto, ainda restam muitas dúvidas a respeito de como isso
ocorre e como evitar essa evasão.
CAPÍTULO III - DINÂMICA DO CRESCIMENTO TUMORAL
Neste capítulo será apresentado um modelo utilizado para descrever o
crescimento tumoral. Para tal, representar-se-á através de um Sistema de Equações
Diferenciais Ordinárias a interação das células tumorais, linfócitos NK e linfócitos T
CD8, o qual foi proposto por De Pillis e Radunskaya [14,15] . Contudo, o modelo
proposto por De Pillis e Radunskaya sofreu algumas modificações para torná-lo mais
simples, no entanto, buscando manter as características propostas pelos
idealizadores. Na sequência, far-se-á uma análise deste modelo, averiguando em
que situações o sistema proposto tende a estabilidade, bem como os pontos de
equilíbrio do referido sistema.
Neste trabalho apresenta-se um modelo matemático para representar o
crescimento de um tumor, considerando a relação que existe entre as células
tumorais e o sistema de defesa do organismo, o sistema imune. No modelo o
sistema imune é formado por linfócitos citotóxicos (conhecidos por T CD8) e por
células naturais-matadoras (denominadas por NK). Considera-se a competição entre
as células tumorais e imunes e a ativação dos linfócitos NK e T CD8, além de termos
de fonte de entrada e morte de cada espécie. Nas simulações realizadas na
plataforma MATLAB, explora-se a capacidade do modelo em apresentar diferenças
de estratégias de tratamento para pacientes saudáveis ou pacientes com sistema
imune debilitado e para tumores de crescimento lento ou rápido.
3.1 Modelo matemático
Um modelo matemático pode representar o objeto de estudo e a modelagem
matemática é utilizada para a obtenção e validação de modelos, pois a modelagem
50
consiste na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos e
resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real [6].
A aplicação de modelos matemáticos no estudo da dinâmica tumoral pode
auxiliar na elaboração e aperfeiçoamento de novos métodos de tratamento do
câncer. Para tal, durante décadas estudiosos [1,2,5,13,14,15,27,29,30] vêm
concentrando esforços no sentido de encontrar um modelo de fácil interpretação e
que simule através de cálculos matemáticos a realidade que se apresenta com
relação ao câncer.
L.G. de Pillis e colaboradores [14,15], elaboraram e validaram um modelo
para a resposta imune e sua relação com o crescimento de um tumor e a partir de
considerações fisiológicas os autores obtiveram valores estimados para os
parâmetros presentes no seu modelo.
Um modelo para a resposta do sistema imune também foi elaborado por
Kirschner e Panetta [29], considerando que a ativação das células imunes pode ser
descrita por termos do tipo Michaelis-Menten. Segundo os autores, este tipo de
termo para a ativação é apropriado para indicar a resposta limitada ao tumor e
também poderia ser usado para tumores sólidos, onde a interação entre as células
tumorais e imunes se dá apenas na superfície do tumor.
3.1.1 Modelo matemático utilizado e modificações
A seguir será apresentado um modelo matemático para representar a
dinâmica do crescimento tumoral considerando a relação que existe entre as células
tumorais e o sistema imune. Onde de acordo com De Pillis e Radunskaya[14,15]:
T(t): denota a população de células tumorais em função do tempo;
51
N(t): denota o total de linfócitos Nk (matadores naturais) efetivos em função
do tempo;
L(t): denota o total de linfócitos T CD8 efetivos em função do tempo.
Para descrever a relação existente entre as diferentes linhagens de células
considera-se que:
•
Taxa de crescimento do número de células tumorais
( dT
dt ) =
crescimento logístico ( GT ) - fração de células que morrem pela competição entre
células tumorais e linfócitos NK
( F (T , N ) ) – fração de morte de células tumorais
N
provocada pela competição com os linfócitos T CD8 ( FL (T , L ) ) ;
•
Taxa de crescimento do número de linfócitos NK
( dN
dt ) =
crescimento líquido de linfócitos NK ( GN ) + recrutamento de linfócitos NK pela
existência de células tumorais ( RN (T , N ) ) - inativação de linfócitos NK provocada
pela competição com o tumor ( I N (T , N ) ) ;
•
Taxa de crescimento do número de linfócitos T CD8
( dL dt )
=
crescimento líquido de linfócitos T CD8 ( GL ) + recrutamento de linfócitos T CD8 por
fragmentos tumorais advindos da ação dos próprios linfócitos T CD8 ( RL (T , L ) ) +
recrutamento linfócitos T CD8 pela existência de fragmentos tumorais advindos da
ação dos linfócitos NK ( RL ( N , T ) ) - Inativação dos linfócitos T CD8 provocada pelo
próprio tumor ( I L (T , L ) ) .
52
A descrição do modelo de forma simplificada está representada a seguir:
T = GT − FN (T , N ) − FL (T , L )
N = GN + RN (T , N ) − I N (T , N )
(3.1)
L = GL + RL (T , L ) + RL ( N , T ) − I L (T , L )
Na ausência de uma resposta de sistema imune, a dinâmica do
crescimento tumoral pode ser descrita seguindo o Modelo Verhulst,
representada pela equação de crescimento logístico:
GT = aT (1 − bT )
(3.2)
Onde:
a = taxa de crescimento do tumor
1 b = é a capacidade suporte da população de células tumorais.
Entretanto, sabe-se que quando da existência de células tumorais ocorre
a interação entre estas e o sistema Imune, uma vez que, este último possui
mecanismos efetores que podem provocar a lise das células tumorais através
de células da imunidade inata (linfócitos NK) ou por intermédio da imunidade
adaptativa (linfócitos T CD8).
Referindo-se a ação dos linfócitos NK, estes reconhecem antígenos da
célula tumoral através do receptor da célula NK, em virtude da célula tumoral
não estar mais expressando moléculas do complexo de histocompatibilidade
53
(MHC). Logo, este tipo de lise tumoral não necessita do desencadeamento de
complexos processos de reconhecimento, proliferação e diferenciação do
sistema imune, sendo esta lise, no modelo, representada pelo termo:
FN (T , N ) = cNT
(3.3)
Onde
c = taxa de mortalidade de células tumorais devido à ação matadora dos
linfócitos NK.
Todavia, quando ocorre o reconhecimento pelo sistema imune de
antígenos tumorais se desencadeia uma resposta imunológica adaptativa que
pode provocar a lise tumoral principalmente pela ação dos linfócitos T CD8,
representada pelo termo FL (T , L ) :
De acordo com De Pillis e Radunskaya [14,15]
λ
(L T ) T
FL (T , L ) = d
λ
s + (L T )
(3.4)
Para facilitar os cálculos concernentes ao modelo e fazendo-se uma
análise de que essa mudança não provocaria alterações que comprometessem
o modelo inicialmente proposto por De Pillis e Radunskaya [14,15], a fração de
morte de células tumorais provocada pela competição com os linfócitos T CD8
ficou assim representada:
FL (T , L ) = dLT
Onde:
(3.5)
54
d = nível de saturação de matança de células tumorais por linfócitos T
CD8.
A dinâmica dos linfócitos NK, é descrita a seguir:
O crescimento líquido dos linfócitos NK é representado por:
GN = σ − fN
(3.6)
Onde f representa a fração de morte de linfócitos NK e σ é uma
constante de produção de linfócitos NK.
De acordo com De Pillis e Randunskaya [14] σ = eC . O parâmetro e
indica a fração de linfócitos circulantes que se modificam em linfócitos NK e C
refere-se a quantidade de linfócitos circulantes. Logo, conforme [14] um
paciente saudável σ = 1,3.10 2 , pois, e = 2,08.10 −7 e C = 6.1010 . Um paciente
doente, ou seja, sistema imunológico debilitado, σ = 1,3.10 2 , pois nesse caso
ocorre uma redução no número de linfócitos circulantes C = 6.108 .
O recrutamento de linfócitos NK, segundo De Pillis e Radunskaya [14,15]
é dado por:
RN ( T , N ) = g
T2
N
h +T2
(3.7)
O termo que representa o recrutamento de linfócitos NK no nosso
modelo foi simplificado, ficando assim representado:
RN ( T , N ) = g
T
N
h +T
(3.8)
55
Onde:
g = taxa de recrutamento dos linfócitos NK advindo da interação com
células tumorais que deixaram de expressar MHC Classe I.
h = coeficiente de declividade do recrutamento de linfócitos NK
Inativação de linfócitos NK pelo tumor:
I N (T , N ) = ρ NT
(3.9)
Sendo que ρ = taxa de inativação de linfócitos NK pelas células
tumorais.
Por sua vez, a dinâmica dos linfócitos T CD8 é descrita na sequência:
O crescimento celular de linfócitos T CD8 consiste em um termo de
entrada ω e taxa de morte, ficando o crescimento líquido assim representado:
GL = ω − mL
(3.10)
sendo que m representa o índice de mortalidade dos linfócitos T CD8.
De Pillis e Radunskaya [14,15] não apresentam em seus modelos um
termo de entrada de linfócitos T CD8 ω , tendo este termo sido incluído no
modelo proposto para simular a estimulação do sistema imune.
Linfócitos T CD8 podem ser ativados/recrutados por fragmentos de
células tumorais que foram lisadas por outros linfócitos T CD8. Segundo De
56
Pillis e Radunskaya [15], a equação que representa o referido recrutamento é
assim representada:
RL (T , L ) = j
D 2T 2
L
k + D 2T 2
(3.11)
onde
l
(L T )
D=d
l
s + (L T )
(3.12)
Também procura-se simplificar a referida equação, ficando a mesma
assim representada:
RL (T , L ) =
jT
L
k +T
(3.13)
Onde
j = taxa máxima de recrutamento de linfócitos T CD8 pela expressão de
MHC Classe I (capítulo I e II) das células tumorais.
k = coeficiente de declividade de linfócitos T CD8
Pode ocorrer o recrutamento/estimulação de linfócitos T CD8 por restos
de células tumorais lisadas por linfócitos NK [15].
RL ( N , T ) = rNT
(3.14)
r = taxa de recrutamento de linfócitos T CD8 devido a estimulação de
antígenos tumorais advindos de restos de células tumorais destruídas por
linfócitos NK.
57
Inativação dos linfócitos T CD8 provocada pelo próprio tumor, segundo
De Pillis e Randunskaya [15]:
I L (T , L ) = qLT
(3.15)
Onde
q = taxa de inativação de linfócitos T CD8 provocada pelas células
tumorais.
De acordo com De Pillis e Randunskaya[15], o sistema que representa a
dinâmica tumoral é assim representado:
 dT
 dt = aT (1 − bT ) − cNT − D

T2
 dN
= σ − fN + g
N − ρ NT

h+T2
 dt
 dL
jD 2
=
−
mL
+
L − qLT + rNT

k + D2
 dt
(3.16)
Onde
λ
(L T ) T
D=d
λ
s + (L T )
Contudo, fazendo-se as simplificações, o sistema de equações
diferenciais ficou assim expresso:
 dT
 dt = aT (1 − bT ) − cNT − dLT

T
 dN
= σ − fN + g
N − ρ NT

h +T
 dt
jT
 dL
 dt = ω − mL + k + T L + rNT − qLT

(3.17)
58
3.2 Pontos de equilíbrio do sistema
O modelo proposto possui três tipos de pontos de equilíbrio: livre de
tumor (i), quase morte (ii,iii) e coexistência(iv).
•
Ponto livre de tumor se caracteriza pela eliminação das células
tumorais pelo sistema imune.
•
Quase morte assim denominado em virtude das células de defesa do
Sistema Imune linfócitos NK ou linfócitos T CD8 tenderem a zero, o
que indica a incapacidade do organismo em eliminar as células
tumorais, bem como estar o organismo suscetível a qualquer doença
oportunista.
•
Coexistência assim chamado pelo fato de coexistirem três linhagens
de células consideradas no modelo. Contudo, na prática quando as
células de defesa não conseguem eliminar as células tumorais, pode
ocorrer por um determinado período de tempo uma situação de
coexistência. Entretanto, a existência de células tumorais por um
longo período de tempo, associado a mutações, pode levar ao
aparecimento de metástases.
Para encontrar os pontos de equilíbrio do sistema (3.17), designados por
(T*,N*,L*), faz-se
dT
dN
dL
=0;
=0 e
= 0 , obtendo-se:
dt
dt
dt
59

 0 = aT * (1 − bT * ) − cN *T * − dL*T *

T*

*
0
fN
g
N * − ρ N *T *
=
σ
−
+

*
h +T

*

jT
*
L* + rN *T * − qL*T *
0 = ω − mL +
k +T*

i)
(3.18)
Procura-se nesse caso um ponto de equilíbrio do tipo
(T
*
1
) (
)
, N 1* , L*1 = 0, N 1* , L*1 , ou seja, T1* = 0, portanto, a população
de células tumorais é igual a zero, mas os linfócitos NK e T
CD8 sobrevivem.
Da segunda equação do sistema (3.17) tem-se:
0 = σ − fN 1* ⇒ N 1* =
σ
f
Da terceira equação do sistema (3.17) tem-se:
0 = ω − mL*1 ⇒ L*1 =
ω
m
Os pontos de equilíbrio para a situação supra descrita são:
(T
*
1
ii)
 σ ω
, N1* , L*1 =  0, , 
 f m
)
(
) (
(3.19)
)
Procura-se agora T2* , N 2* , L*2 = T2* ,0, L*2 , ou seja, quando a
população de linfócitos NK é igual a zero:
Da primeira equação do sistema (3.17) tem-se:
60
0 = aT 2* (1 − bT 2* ) − dL *2 T 2*
a − dL*2
=A
ab
T2* =
Da terceira equação do sistema (3.17):
0 = ω − mL*2 +
jT2* *
L2 − qL*2T2*
*
k + T2
ω
L*2 =
jT2*
m−
+ qT2*
*
k + T2
ω
L*2 =
m−
jA
+ qA
k+A
Considerando-se:
m−
jA
+ qA = u ( A )
k+A
logo,
L*2 =
ω
u ( A)
Desse modo, tem-se:
(T
*
2

ω 
, N 2* , L*2 =  A, 0,


u ( A ) 

)
(3.20)
61
Considera-se (T3* , N 3* , L*3 ) = (T3* , N 3* ,0 )
iii)
Da primeira equação do sistema (3.17):
0 = aT3* (1 − bT3* ) − cN 3*T3*
a − cN 3*
T =
=B
ab
*
3
Da segunda equação do sistema (3.17):
0 = σ − fN 3* + g
N 3* =
N 3* =
T3*
N 3* − ρN 3*T3*
*
h + T3
σ


T3*
f
−
g
+ ρT3* 

*
h + T3


σ
B


f
−
g
+ ρB 

h+B


Considerando-se :
B


f
−
g
+ ρ B  = u ( B ) , tem-se:

h+B

N 3* =
σ
u ( B)
Logo, obtém-se:
62
(T
*
3
iv)


σ
, N 3* , L*3 =  B,
,0
 u ( B ) 


)
Pode-se ainda ter o ponto de equilíbrio de coexistência
(T
*
4
) (
, N 4* , L*4 = T4* , N 4* , L*4
)
0 = aT4* (1 − bT4* ) − cN 4*T4* − dL*4T4*
T4* =
a − cN 4* − dL*4
=C
ab
Da segunda equação do sistema (3.17):
0 = σ − fN 4* + g
N 4* =
N 4* =
T4*
N 4* − ρN 4*T4*
h + T4*
σ


T4*
f
−
g
+ ρT4* 

*
h + T4


σ
C


 f − g h + C + ρC 


Considerando-se :
C


 f − g h + C + ρ C  = u ( C ) , tem-se:
N 4* =
(3.21)
σ
u (C )
Da terceira equação do sistema (3.17):
63
0 = ω − mL*4 +
L*4 =
L*4 =
jT4* *
L + rN 4*T4* − qL*4T4*
* 4
k + T4
ω

jT
*
* *
+
qT
−
rN
T4 
m −
4
4
*
k
+
T
4


*
4
ω


jC
σ
m − k + C + qC − r f (C ) C 


Considerando-se :


jC
σ
+ qC − r
C  = s ( C ) , tem-se:
m −
k +C
f ( C ) 

L*4 =
ω
s (C )
Diante do exposto, o ponto de equilíbrio da coexistência das três
linhagens de células tem a seguinte forma:
(T
*
4

σ
ω 
, N 4* , L*4 =  C ,
,
 u ( C ) s ( C ) 


)
(3.22)
3.3 Análise de estabilidade do ponto livre de tumor
É de nosso interesse, no presente trabalho, estudar o ponto de equilíbrio
livre de tumor. Em um trabalho futuro se pode obter uma função de controle
para levar o sistema ao ponto de equilíbrio livre de tumor.
64
Pretende-se mostrar quais as condições para que o sistema seja estável
no ponto de equilíbrio. Para tal, primeiramente o sistema (3.17) será
representado na forma linearizada:
x = Jx(t ) ,
[
]
Onde, x(t ) = T (t ) N (t ) L(t ) e J é a matriz Jacobiana, que pode ser
T
escrita da seguinte forma:
 ∂T
 ∂T

∂T
J =
 ∂N

 ∂T
 ∂L
∂N
∂T
∂N
∂N
∂N
∂L
∂L 
∂T 

∂L 
∂N 

∂L 
∂L 
(3.23)
Resolvendo as derivadas, o Jacobiano (3.23) tem a forma:
 a − 2abT − cN − dL
−cT



ghN

− ρN
gT ( h + T )
2
J =  (h + T )
−f +
− ρT
2

(h + T )

 jkL

− qL + rN
rT
 ( k + T )2







0



jT ( k + T )

−m +
−
qT
2

(k + T )

− dT
(3.24)
Escrevendo a equação x = Jx(t ) , ao redor do ponto de equilíbrio livre de
 σ ω
tumor T1* , N 1* , L*1 =  0, ,  , obtém-se o seguinte sistema linearizado:
 f m
(
)
65
cσ
ω

a
d
−
−
 T  
f
m
  
  
  
gσ
σ
−ρ
  
fh
f
 N  = 

 
  
 L   j ϖ − q ω + r σ
   mk
m
f
  

0
−f
0

0 
T 
 
 
 
 
0  N 
 
 
 L
−m   
 
 

(3.25)
Logo, a equação característica do sistema (3.17) no ponto de equilíbrio
livre de tumor é obtida através de :
det ( A − I λ ) =0
a−
cσ
ω
−d −λ
f
m
σ
gσ
−ρ
fh
f
0
0
− f −λ
0
0
−m − λ
=0
(3.26)


cσ
ω
− d − λ  ( − f − λ )( − m − λ ) = 0
a −
f
m


(3.27)
j
ϖ
mk
−q
ω
m
+r
σ
f
A equação característica para esse ponto é:
Da equação (3.27), têm-se os autovalores:
λ1 = a −
cσ
ω
−d
, λ2 = − f e λ3 = − m
f
m
(3.28)
66
Assim, o equilíbrio livre de tumor é estável desde que os autovalores
sejam negativos, uma vez que, o ponto crítico x = 0 do sistema linear é
assintoticamente estável se os autovalores são reais e negativos ou têm parte
real negativa. No entanto, se os autovalores são reais e um deles é positivo, ou
se ambos têm parte real positiva o sistema linear é instável [8]. Desse modo,
para garantir que λ 2 < 0 e λ3 < 0 , f > 0 e m > 0 .Outro detalhe que deve ser
levado em consideração para garantir a estabilidade do sistema é que λ1 < 0 ,
se e somente se:
a−
ω
cσ
− d <0, então λ1 < 0
f
m
λ1 < 0 ⇔ a <
cσ
ω
+d
f
m
A equação a <
( a ) com
cσ
ω
+d
relaciona a taxa de crescimento do tumor
f
m
o coeficiente de ação dos linfócitos NK para eliminação das células
tumorais (cσ f ) e, a lise tumoral provocada pelos linfócitos T CD8,
representada pelo termo d ω m . Concluindo-se que λ1 < 0 , se e
somente se a taxa de crescimento do tumor for menor do que a soma
da relação existente entre o crescimento líquido dos linfócitos NK e linfócitos T
CD8.
CAPÍTULO IV - SIMULAÇÕES NUMÉRICAS PARA MODELO DE
CRESCIMENTO DE TUMOR
A simulação é uma técnica na qual se utiliza um computador e através
deste procura-se encontrar um modelo que melhor represente o sistema em
estudo, ou seja, procura-se simular o funcionamento de um sistema real em
situações que é muito caro ou difícil o experimento na situação real, isso
porque os modernos programas de computador permitem construir modelos
nos quais é possível visualizar na tela o funcionamento do sistema em estudo
tal como em um filme o que reduz custos e riscos [43].
Neste capítulo pretende-se utilizar esta técnica para um modelo que
representa a dinâmica do crescimento tumoral exposto no capítulo III, sendo
que o presente capítulo apresentará as simulações concernentes ao modelo
em questão através do software MATLABR.
4.1 Simulações numéricas para modelo de crescimento de tumor
Considerando que o modelo utilizado é bastante similar ao modelo
apresentado por Kirchner e Panetta [29], aproveitam-se os mesmos valores de
parâmetros. Em alguns casos, a literatura apresenta uma grande variedade de
valores para o mesmo parâmetro e assim utilizam-se valores mais apropriados
para o modelo proposto. Além disso, um estudo de sensibilidade do modelo
também permitiu definir os valores dos parâmetros restantes. Desse modo,
considera-se o seguinte conjunto de parâmetros:
68
e = 2, 08.10 −7
b = 1,0200.10-9
c = 3,23.10-7
d = 5,8
f = 4,12.10-2
g = 2,5.10-2
h = 2,02.107
m = 2.10-2
q = 3,42.10-10
ρ = 1.10−7
a = 0,514
σ = 1,3.104 (paciente saudável)
k = 2.107
r = 1,10. 10-7
σ = 1,3.102 (paciente sistema imune debilitado)
ω = 100 (para os cálculos iniciais, sendo que posteriormente este
parâmetro sobre alterações)
Em particular, o parâmetro
a segundo [14,15] é igual a 0,514. Contudo,
deve-se ter cuidado na determinação do valor desse parâmetro, uma vez que,
para garantir a estabilidade do ponto de equilíbrio livre de tumor deve satisfazer
a condição λ1 < 0 ⇔ a <
cσ
ω
+ d , logo o parâmetro
f
m
a fica na dependência da
variação de todos os parâmetros presentes na condição exposta, conforme
discutido no Capítulo III. Após um estudo da sensibilidade do modelo, o valor
adotado para esse parâmetro foi a = 0,1 para tumores de crescimento lento e
a = 0, 2 para tumores de crescimento rápido, ou seja, mais agressivos.
Primeiramente faz-se simulações desconsiderando a interação das
células tumorais e o sistema imune, ou seja, o organismo não reage à
presença do tumor nem no sentido de competição por nutrientes e espaço,
nem por situação do tipo presa-predador, conforme equação 3.2, do Capítulo III.
69
Assim, adotando-se como condição inicial T ( 0 ) = 104 , mas variando-se o
parâmetro
a , que no modelo proposto possui relação com a taxa de
crescimento do tumor, obtém-se os gráficos a seguir:
Fig.4. 1 – Representação do Crescimento Tumoral na ausência de sistema
imune variando-se a taxa de crescimento do tumor.
Pode-se observar claramente nesse gráfico (fig.4.1) que a equação do
crescimento tumoral na ausência de sistema imune atinge, com o passar dos
dias atinge a capacidade suporte (1 b ) , dado por T=9,809.108 e, quanto maior o
valor do parâmetro
a , que representa a velocidade de crescimento da massa
tumoral, mais rapidamente as células tumorais atingem a capacidade suporte.
Em outra situação variamos a condição inicial T ( 0 ) , adotando a = 0,10 ,
obtém-se:
70
Fig.4. 2 - Representação do crescimento tumoral adotando-se a=0,1,
variando-se a condição inicial (T(0)).
O que se pode perceber na fig. 4.2 que mesmo variando a condição
inicial, o crescimento tumoral tende a capacidade suporte T=9,809.108 o que
evidencia que tumores maiores chegam em um período de tempo menor a
capacidade suporte.
No entanto, sabe-se que biologicamente sempre haverá interação entre
as células tumorais e o sistema de defesa e, se este último não existisse o
organismo humano seria condenado a morte, não só por causa do câncer mas
pelas doenças oportunistas as quais está exposto diariamente.
Diante do exposto, considerando a presença do sistema imune e
levando-se em consideração um tumor de crescimento lento a = 0,10 , e os
valores adotados para os demais parâmetros conforme exposto no início deste
capítulo, o sistema (3.17) pode ser escrito da seguinte forma:
71
dT
= 0,1T (1 − 1,02.10− 9 T ) − 3,23.10 − 7 NT − 5,8 LT
dt
dN
T
= 1,3.104 − 4,12.10−2 N + 2,5.10−2
− 1.10−7 NT
7
dt
2,02.10 + T
(4.1)
dL
3, 75.10 −2 T
= 100 − 2.10 −2 L +
L + 1,10.10 −7 NT − 3, 42.10 −7 LT
7
dt
2.10 + T
Todavia, os parâmetros a, σ e ω podem sofrer modificações, uma vez
que os mesmos se relacionam a taxa de crescimento do tumor, taxa de entrada
de linfócitos Nk e taxa de entrada de linfócitos T CD8, respectivamente, sendo
que os dois últimos possuem estreita relação com a saúde do paciente.
Para um paciente saudável o ponto livre de tumor pode ser escrito:
( 0;
)
3,15.105 ; 5.103 .
(T
*
1
 σ ω
, N1* , L*1 =  0, , 
 f m
)
A seguir serão apresentadas simulações do sistema (3.17), levando-se
em consideração que:
•
Um paciente saudável no que se relaciona ao sistema imunológico,
σ = 1,3.104 , pois baseado em [14] σ = eC , sendo que o parâmetro e ,
indica a fração de linfócitos circulantes que se modificam em linfócitos
NK e C refere-se a quantidade de linfócitos circulantes. Logo, de
acordo com [14] um paciente saudável e = 2,08.10 −7 e C = 6.1010 .
72
•
Um paciente doente, ou seja, sistema imunológico debilitado, σ = 1,3.10 2 ,
pois nesse caso ocorre uma redução no número de linfócitos circulantes
adotando-se C = 6.108 .
Nas simulações a seguir adota-se ω = 100 e como condições iniciais:
T0 = 10 4 , N 0 = 103 e L0 = 10 .
Fig.4. 3 – Crescimento tumoral de um paciente saudável σ = 1,3.10 4 ;
ω = 100 ; T0 = 104 , N 0 = 103 e L0 = 10 .
73
Fig.4. 4 - Plano de fase de um paciente saudável σ = 1,3.10 4 ; ω = 100 ;
T0 = 1.10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10 .
Fig.4. 5 - Crescimento tumoral de um paciente com sistema imunológico
debilitado σ = 1,3.102 ; ω = 100 ; T0 = 10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10
74
Fig.4. 6 - Plano de fase do crescimento tumoral de um paciente com
σ = 1,3.102
;
ω = 100
;
sistema
imunológico
debilitado
4
3
T0 = 10 ; N 0 = 10 e, L0 = 10
Fazendo-se a análise das fig.4.3, 4.4, 4.5 e 4.6, conclui-se que nas
fig.4.3 e fig.4.4 o sistema tende ao ponto de equilíbrio livre de tumor
(T , N , L ) = ( 0;
3,15.105 ; 5.103 ) pois o sistema imunológico desse indivíduo tende
a eliminar as células tumorais. Já nas fig.4.5 e fig.4.6 o sistema tende ao ponto
de coexistência, (T , N , L ) = ( 7,4193.103 ; 3,1002.103 ; 5,1294.103 ) não ocorrendo a
eliminação do tumor. Entretanto, convém salientar que a situação de
coexistência em termos biológicos não é benéfica, pois tumores estão sujeitos
a novas mutações as quais podem acabar propiciando a estes condições de
metastatização.
Adotando-se as mesmas condições iniciais das simulações supra, no
entanto, variando o termo de entrada ω = 120 , obteve-se os seguintes gráficos:
75
Fig.4. 7 - Crescimento tumoral de um paciente saudável σ = 1,3.10 4 ; ω = 120 ;
T0 = 10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10
Fig.4. 8 – Plano de fase do crescimento tumoral de um paciente saudável
σ = 1,3.104 ; ω = 120 ; T0 = 104 ; N 0 = 103 e, L0 = 10 .
Fig.4. 9 – Crescimento tumoral de um paciente com sistema imunológico
debilitado σ = 1,3.102 ; ω = 120 ; T0 = 10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10
76
Fig.4. 10 – Plano de fase de crescimento tumoral de um paciente com
sistema
imunológico
debilitado
σ = 1,3.102
;
ω = 120
;
4
3
T0 = 10 ; N 0 = 10 e, L0 = 10
Fazendo a análise das fig.4.7, 4.8, 4.9 e 4.10, concluiu-se que no
paciente saudável (fig.4.7 e 4.8) o tumor foi eliminado em um período de tempo
menor do que no paciente com sistema imune debilitado (fig.4.9 e 4.10).
Também convém destacar que para uma eliminação mais rápida e eficaz das
células tumorais faz-se necessário uma fonte de entrada maior de linfócitos T,
pois observando as fig.4.9 e 4.10 do paciente com sistema imune debilitado
percebe-se que o sistema tende a eliminar o tumor, mas em um tempo
relativamente grande, o que propicia tempo suficiente para a ocorrência de
mutações que podem culminar com metástases.
77
Fig.4. 11 - Crescimento tumoral de um paciente com sistema imune
debilitado variando-se a fonte de entrada de linfócitos T CD8 (ω ) ; a = 0,1 ;
σ = 1,3.102 ; T0 = 104 ; N 0 = 103 e, L0 = 10
Analisando a fig.4.11 a qual representa a dinâmica do crescimento lento
de um tumor de um paciente com sistema imune debilitado conclui-se que
conforme aumenta a fonte de entrada de linfócitos T CD8 ocorre um acréscimo
na apoptose celular (morte das células tumorais), o que evidencia que a
utilização da imunoterapia tende a ser promissora no tratamento do câncer.
Seguindo as mesmas condições iniciais, ω = 120 , mas variando a taxa
de crescimento tumoral que é representada no nosso modelo por a =0,2 um
paciente saudável com uma pequena estimulação do sistema imunológico
consegue eliminar as células tumorais conforme se pode perceber nas fig.4.12
e fig.4.13. Todavia, um paciente com sistema imunológico debilitado não
consegue eliminar o tumor com uma pequena estimulação do sistema de
defesa, o que se pode observar nas fig.4.14 e 4.15:
78
Fig.4. 12 - Crescimento tumoral de um paciente saudável
a = 0, 2 ; σ = 1,3.10 4 ; ω = 120 ; T0 = 10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10
Fig.4. 13 – Plano de fase do crescimento tumoral de um paciente saudável
a = 0, 2
;
σ = 1,3.104
;
ω = 120
;
T0 = 10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10
;
(T , N , L ) = ( 0; 3,1553.105 ; 6,00. 103 )
Fig.4. 14 – Crescimento tumoral de um paciente com sistema imunológico
debilitado: a = 0, 2 ; σ = 1,3.102 ; ω = 120 ; T0 = 10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10 ;
(T , N , L ) = ( 5,0072.105 ; 1,4338.105 ; 1,0333. 104 )
Fig.4. 15 – Plano de fase do crescimento tumoral de um paciente com
sistema imunológico debilitado: a = 0, 2 ; σ = 1,3.102 ; ω = 120 ;
T0 = 10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10
80
Adotando-se taxa de crescimento tumoral a =0,2 e ω = 150 , obtém-se a
figura a seguir:
Fig.4. 16 – Crescimento tumoral de um paciente com sistema imunológico
debilitado σ = 1,3.102 ; ω = 150 ; T0 = 10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10
(T , N , L ) = ( 2,3943x105 ; 2,0046x103 ;1,0327x104 )
Fig.4. 17 – Plano de fase do crescimento tumoral de um paciente com
sistema imunológico debilitado σ = 1,3.102 ; ω = 150 ;
T0 = 10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10
(T , N , L ) = ( 2,3943x105 ; 2,0046x103 ;1,0327x104 )
81
Fig.4. 18 – Crescimento tumoral de um paciente com sistema imunológico
debilitado σ = 1,3.102 ; ω = 200 ; T0 = 10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10
(T , N , L ) = (1,7893x104 ; 3,0256x103 ;1,0312x104 )
Fig.4. 19 - Plano de fase do crescimento tumoral de um paciente com
sistema imunológico debilitado σ = 1,3.102 ; ω = 200 e,
T0 = 10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10 ; (T , N , L ) = (1,7893x10 4 ; 3,0256x103 ;1,0312x104 )
Pode-se observar nas fig.4.16, 4.17, 4.18 e 4.19 que o paciente com
sistema de defesa debilitado com uma estimulação média não consegue
eliminar
um tumor de crescimento rápido e o sistema tende ao ponto de
coexistência conforme especificado nas figuras em questão. Convém enfatizar
novamente o detalhe de que não sendo eliminado o tumor, o mesmo está
sujeito a novas mutações e, consequentemente podem ocorrer metástases.
82
Nas fig.4.20 e fig.4.21, ω = 210 , o comportamento do sistema indica a
sutil eliminação do tumor de crescimento rápido.
Fig.4. 20 –Crescimento tumoral de um paciente com sistema imunológico
debilitado σ = 1,3.102 ; ω = 210 ; T0 = 10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10
(T , N , L ) =
( 0;3,1553.10 ;
3
1,0500.104 )
Fig.4. 21- Plano de fase do crescimento tumoral de um paciente com
sistema imunológico debilitado σ = 1,3.102 ; ω = 210 ;
T0 = 10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10
(T , N , L ) =
( 0;3,1553.10 ;
3
1,0500.104 )
83
Na fig.4.22, que a seguir será apresentada procurou-se simular a
dinâmica do crescimento tumoral de um tumor de crescimento rápido, fazendose a variação da fonte de entrada de linfócitos T CD8 (ω ) .
Fig.4. 22 - Crescimento tumoral de um paciente com sistema imune
debilitado fazendo-se uma pequena variação na fonte de entrada de
linfócitos T CD8 (ω ) ; σ = 1,3.102 ; T0 = 10 4 ; N 0 = 103 e, L0 = 10
Analisando a figura supra conclui-se que quanto maior a estimulação do
sistema imune mais rápida e eficaz é apoptose das células tumorais.
84
Fig.4. 23 - Dinâmica do crescimento de um tumor de desenvolvimento
lento (parâmetro a = 0,1 ) de paciente saudável variando-se a fonte de
entrada de linfócitos T CD8 (ω ) onde em (a) adotou-se ω = 100 ; em (b)
ω = 200 ; em (c) ω = 300 e, em (d) ω = 400
85
Fig.4. 24 - Dinâmica do crescimento de um tumor de desenvolvimento
rápido
desenvolvimento (parâmetro a = 0, 2 ) de paciente saudável
variando-se a fonte de entrada de linfócitos T CD8 (ω ) onde em (a)
adotou-se ω = 100 ; em (b) ω = 200 ; em (c) ω = 300 e, em (d) ω = 400
86
Fig.4. 25 - Dinâmica do crescimento de um tumor de desenvolvimento
lento (parâmetro a = 0,1 ) de paciente com sistema imune debilitado
variando-se a fonte de entrada de linfócitos T CD8 (ω ) onde em (a)
adotou-se ω = 100 ; em (b) ω = 200 ; em (c) ω = 300 e, em (d) ω = 400
87
Fig.4. 26 - Dinâmica do crescimento de um tumor de desenvolvimento
rápido (parâmetro a = 0, 2 ) de paciente com sistema imune debilitado
variando-se a fonte de entrada de linfócitos T CD8 (ω ) onde em (a)
adotou-se ω = 100 ; em (b) ω = 300 ; em (c) ω = 600 e, em (d) ω = 900
Analisando as fig.4.23, 4.24, 4.25, 4.26 percebe-se que quanto maior a
entrada de linfócitos T CD8 mais rápida é eliminação das células tumorais.
Enfim, pode-se perceber através das simulações feitas que a utilização
da imunoterapia no tratamento do câncer tende a ser promissora desde que
levado em consideração que diferentes tipos de tumores para serem
eliminados necessitam de maior ou menor estimulação do sistema imune, bem
88
como, organismos imunodeprimidos necessitam de uma estimulação extra do
seu sistema imune para que consigam eliminar o câncer.
CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste trabalho apresentou-se um modelo matemático para representar o
crescimento de um tumor considerando a resposta do sistema de defesa do
organismo, o sistema imune. No modelo proposto o sistema imune é formado
por linfócitos citotóxicos (conhecidos por T CD8) e por células naturaismatadoras (denominadas linfócitos NK). Considerou-se a competição entre as
células tumorais e imunes e a ativação das células NK e T CD8, além de
termos de fonte de entrada e morte de cada espécie. Nas simulações,
explorou-se a capacidade do modelo em apresentar diferenças de estratégias
de tratamento para pacientes saudáveis ou com sistema imunológico debilitado
e para tumores de crescimento lento ou rápido.
A resolução do modelo que representa a dinâmica do crescimento de
tumores, foi apresentada no capítulo III, onde foram encontrados os pontos de
equilíbrio do sistema: ponto livre de tumor se caracteriza pela eliminação das
células tumorais pelo sistema imune; quase morte assim denominado em
virtude das células de defesa do sistema imune (linfócitos NK ou linfócitos T
CD8), tenderem a zero, o que indica a incapacidade do organismo humano em
eliminar as células tumorais, bem como estar o organismo suscetível a
qualquer doença oportunista; coexistência assim chamado pelo fato de
coexistirem a presença das três linhagens de células consideradas no nosso
modelo. Contudo, na prática quando as células de defesa não conseguem
eliminar as células tumorais, pode ocorrer por um determinado período de
90
tempo uma situação de coexistência e, a existência de células tumorais por um
longo período de tempo, associado a mutações, pode ocasionar metástases.
Mostrou-se ainda no capítulo III para quais valores de parâmetros o
ponto de equilíbrio livre do tumor é localmente estável. Este ponto de equilíbrio
representa o estado no qual o paciente considera-se curado, possuindo estreita
relação com parâmetros biológicos, em particular o parâmetro
a o qual
representa a taxa de crescimento tumoral que segundo De Pillis e Radunskaya
é igual a 0,514. Contudo, para garantir a estabilidade do ponto de equilíbrio
livre de tumor deve-se satisfazer a condição λ1 < 0 ⇔ a <
parâmetro
cσ
ω
+ d , logo o
f
m
a fica na dependência da variação de todos os parâmetros
presentes na condição exposta, conforme discutido no Capítulo III e após um
estudo da sensibilidade do modelo, o valor adotado para esse parâmetro foi
a = 0,1 para tumores de crescimento lento e a = 0, 2 para tumores de
crescimento rápido, ou seja, mais agressivos.
Os resultados obtidos através das simulações sugerem que pacientes
com sistema imune saudável conseguem eliminar tumores com maior eficácia
do que pacientes com sistema imune debilitado e, mesmo tumores mais
agressivos em pacientes saudáveis podem ser eliminados através de pequena
estimulação imunológica que no nosso modelo é representada pela fonte de
entrada de linfócitos T CD8 ω .
Pacientes com sistema imune debilitado necessitam de uma fonte de
entrada maior de linfócitos T CD8 para obter a apoptose das células tumorais e,
quando se trata de tumores mais agressivos a fonte de entrada de linfócitos T
91
CD8 é expressiva e, se assim não o for, o sistema tende ao ponto de equilíbrio
da coexistência e, a existência de células tumorais por um longo período pode
propiciar o aparecimento de metástases.
Convém salientar que a modelagem matemática e as simulações
computacionais concernentes ao modelo de crescimento proposto no presente
estudo podem servir de ferramenta de grande valia em função simularem o
funcionamento de um sistema real e, com isso fazer a proposição de
estratégias que objetivem a eliminação das células cancerígenas ou
acrescentar anos de vida aos pacientes acometidos pelo câncer, o que
representa economia de recursos, tempo e riscos.
Sugere-se para o aprimoramento do modelo proposto, em trabalhos
futuros, a inserção de uma equação que representa os linfócitos circulantes e a
determinação mais precisa do termo de entrada de linfócitos T CD8 (ω ) o qual
procura simular o comportamento do sistema com estimulação imunológica.
Logo, o termo de entrada (ω ) poderia ser substituído no modelo por uma
função que represente o uso efetivo da imunoterapia no combate ao câncer,
uma vez que citocinas podem estimular os linfócitos T CD8 ou outras células
do sistema imune a eliminar ou controlar a proliferação de células tumorais.
Adicionalmente, sugere-se a aplicação de técnicas de controle ótimo ao
modelo através de um função de controle pela metodologia do controle linear
feedback e aplicado de forma contínua por partes com o objetivo de indicar
estratégias otimizadas de estimulação do sistema imune no intuito de levar o
sistema ao ponto de equilíbrio livre de tumor.
92
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Received
13th
January
©
99
APÊNDICE
DETERMINAÇÃO DOS PONTOS DE EQUILÍBRIO
O modelo proposto possui três tipos de pontos de equilíbrio: livre de
tumor (i), quase morte (ii,iii) e coexistência(iv).
•
Ponto livre de tumor se caracteriza pela eliminação das células
tumorais pelo sistema imune.
•
Quase morte assim denominado em virtude das células de defesa do
Sistema Imune linfócitos NK ou linfócitos T CD8 tenderem a zero, o
que indica a incapacidade do organismo em eliminar as células
tumorais, bem como estar o organismo suscetível a qualquer doença
oportunista.
•
Coexistência assim chamado pelo fato de coexistirem três linhagens
de células consideradas no modelo. Contudo, na prática quando as
células de defesa não conseguem eliminar as células tumorais, pode
ocorrer por um determinado período de tempo uma situação de
coexistência. Entretanto, a existência de células tumorais por um
longo período de tempo, associado a mutações, pode levar ao
aparecimento de metástases.
Para encontrar os pontos de equilíbrio do sistema (3.17), designados por
(T*,N*,L*), faz-se
dT
dN
dL
=0;
=0 e
= 0 , obtendo-se:
dt
dt
dt
100

 0 = aT * (1 − bT * ) − cN *T * − dL*T *

T*

*
0
fN
g
N * − ρ N *T *
=
σ
−
+

*
h +T

*

jT
*
L* + rN *T * − qL*T *
0 = ω − mL +
k +T*

i)
(4.2)
Procura-se nesse caso um ponto de equilíbrio do tipo
(T
*
1
) (
)
, N 1* , L*1 = 0, N 1* , L*1 , ou seja, T1* = 0, portanto, a população
de células tumorais é igual a zero, mas os linfócitos NK e T
CD8 sobrevivem.
Da segunda equação do sistema (3.17) tem-se:
0 = σ − fN 1* ⇒ N 1* =
σ
f
Da terceira equação do sistema (3.17) tem-se:
0 = ω − mL*1 ⇒ L*1 =
ω
m
Os pontos de equilíbrio para a situação supra descrita são:
(T
*
1
ii)
 σ ω
, N1* , L*1 =  0, , 
 f m
)
(
) (
(4.3)
)
Procura-se agora T2* , N 2* , L*2 = T2* ,0, L*2 , ou seja, quando a
população de linfócitos NK é igual a zero:
Da primeira equação do sistema (3.17) tem-se:
0 = aT 2* (1 − bT 2* ) − dL *2 T 2*
101
0 = aT 2* (1 − bT 2* ) − dL *2 T 2*
0 = a (1 − bT2* ) − dL*2T2*
a (1 − bT2* ) − dL*2 = 0
a (1 − bT2* ) = dL*2
dL*2
(1 − bT ) =
a
*
2
dL*2
− bT =
−1
a
*
2
− bT2* =
dL*2 − a
a
dL*2 − a
a
T2* =
−b
T2* =
a − dL*2
=A
ab
Da terceira equação do sistema (3.17):
jT2* *
0 = ω − mL +
L2 − qL*2T2*
*
k + T2
*
2
jT2* *
ω − mL +
L2 − qL*2T2* = 0
*
k + T2
*
2
102


jT2*
ω + L − m +
− qT2*  = 0
*
k + T2


*
2
−ω
jT2*
−m+
− qT2*
*
k + T2
L*2 =
ω
L*2 =
jT2*
m−
+ qT2*
*
k + T2
ω
L*2 =
jT2*
m−
+ qT2*
*
k + T2
ω
L*2 =
m−
jA
+ qA
k+A
Considerando-se:
m−
jA
+ qA = u ( A )
k+A
logo,
L*2 =
ω
u ( A)
Desse modo, tem-se:
(T
*
2

ω 
, N 2* , L*2 ) =  A, 0,


u ( A ) 

(4.4)
103
Considera-se (T3* , N 3* , L*3 ) = (T3* , N 3* ,0 )
iii)
Da primeira equação do sistema (3.17):
0 = aT3* (1 − bT3* ) − cN 3*T3*
a (1 − bT3* ) − cN 3* = 0
a (1 − bT3* ) = cN 3*
(1 − bT ) = cNa
*
3
− bT3* =
*
3
cN 3*
−1
a
cN 3* − a
− bT =
a
*
3
cN 3* − a
a
T3* =
−b
a − cN 3*
T =
=B
ab
*
3
Da segunda equação do sistema (3.17):
0 = σ − fN 3* + g
T3*
N 3* − ρN 3*T3*
*
h + T3
104
T3*
N 3* − ρN 3*T3*
*
h + T3
0 = σ − fN 3* + g
σ − fN 3* + g
T3*
N 3* − ρN 3*T3* = 0
*
h + T3

T3*
*
σ + N − f + g
−
ρ
T
=0
3
h + T3*


*
3


T*
N 3* − f + g 3 * − ρT3*  = −σ
h + T3


N 3* =
N 3* =
N 3* =
−σ


T3*
−
f
+
g
− ρT3* 

*
h + T3


σ


T3*
+ ρT3* 
f −g
*
h + T3


σ
B


 f − g h + B + ρB 


Considerando-se :
B


 f − g h + B + ρ B  = u ( B ) , tem-se:
N 3* =
σ
u ( B)
Logo, obtém-se:
105
(T
*
3
iv)


σ
, N 3* , L*3 ) =  B,
,0
 u ( B ) 


(4.5)
Pode-se ainda ter o ponto de equilíbrio de coexistência
(T
*
4
) (
, N 4* , L*4 = T4* , N 4* , L*4
)
0 = aT4* (1 − bT4* ) − cN 4*T4* − dL*4T4*
0 = aT4* (1 − bT4* ) − cN 4*T4* − dL*4T4*
0 = a (1 − bT4* ) − cN 4* − dL*4
a (1 − bT4* ) − cN 4* − dL*4 = 0
a (1 − bT4* ) = cN 4* + dL*4
(1 − bT4* ) =
− bT4* =
cN 4* + dL*4
a
cN 4* + dL*4
−1
a
cN 4* + dL*4 − a
− bT =
a
*
4
cN 4* + dL*4 − a
a
T4* =
−b
a − cN 4* − dL*4
T =
=C
ab
*
4
Da segunda equação do sistema (3.17):
106
0 = σ − fN 4* + g
T4*
N 4* − ρN 4*T4*
*
h + T4
0 = σ − fN 4* + g
T4*
N 4* − ρN 4*T4*
*
h + T4
σ − fN 4* + g
fN 4* − g
T4*
N 4* − ρN 4*T4* = 0
*
h + T4
T4*
N 4* + ρN 4*T4* = σ
*
h + T4


T*
N 4*  f − g 4 * + ρT4*  = σ
h + T4


N 4* =
N 4* =
N 4* =
σ


T4*
+ ρT4* 
f −g
*
h + T4


σ
C


 f − g h + C + ρC 


σ
C


 f − g h + C + ρC 


Considerando-se :
C


 f − g h + C + ρ C  = u ( C ) , tem-se:
N 4* =
σ
u (C )
107
Da terceira equação do sistema (3.17):
0 = ω − mL*4 +
ω − mL*4 +
jT4* *
L + rN 4*T4* − qL*4T4*
* 4
k + T4
jT4* *
L + rN 4*T4* − qL*4T4* = 0
* 4
k + T4
jT4* *
mL −
L4 + qL*4T4* − rN 4*T4* = ω
*
k + T4
*
4


jT4*
L*4 m −
+ qT4* − rN 4*T4*  = ω
*
k + T4


L*4 =
L*4 =
ω


jT
+ qT4* − rN 4*T4* 
m −
*
k + T4


*
4
ω


jC
σ
m − k + C + qC − r f (C ) C 


Considerando-se :


jC
σ
+ qC − r
C  = s ( C ) , tem-se:
m −
k +C
f ( C ) 

L*4 =
ω
s (C )
Diante do exposto, o ponto de equilíbrio da coexistência das três
linhagens de células tem a seguinte forma:
108
(T
*
4

σ
ω 
, N 4* , L*4 ) =  C ,
,
 u ( C ) s ( C ) 


(4.6)