do o método dos elementos finitos

SIMULAÇÃO DE PROBLEMAS DE ELETROHIDRODINÂMICA USANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
MOMENTE, Julio Cesar
Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho (UNESP)
[email protected]
MACHADO, José Márcio
Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho (UNESP)
[email protected]
RESUMO: As descargas corona e a geração de fluxo eletrohidrodinâmico têm sido objeto de estudo de
diversas pesquisas devido à sua grande aplicabilidade em processos industriais. Com o intuito de se
analisar e estudar a fundo estes fenômenos, a simulação computacional das equações que os regem
se faz necessária. O método dos elementos finitos apresenta-se como uma técnica numérica bastante
robusta e precisa para a simulação destas equações e análise destes fenômenos.
PALAVRAS-CHAVE: fluxo eletrohidrodinâmico (EHD), método dos elementos finitos, descargas corona.
ABSTRACT: Corona discharges and electrohydrodynamic flow generation have been widely studied
due to their large industrial applicability. In order to achieve a deep understanding on these phenomena,
a computational simulation of their governing equations need to be performed. Thereby, the finite element method appears as a robust and reliable numerical method to perform this simulation, ensuring a
good analysis of these phenomena.
KEYWORDS: electrohydrodynamic (EHD) flow, finite element method, Corona discharges.
1. INTRODUÇÃO
“A eletrohidrodinâmica é o estudo
das interações entre um campo elétrico e
um campo de fluxo” (Brown e Lai, 2009). A
aplicação de uma grande diferença de potencial entre um conjunto de eletrodos é
capaz de gerar uma descarga elétrica, conhecida como descarga corona, que é capaz de induzir o movimento do fluido, gás
ou líquido, ao redor dos eletrodos. Este fluxo de fluido gerado pelas descargas corona
é chamado de fluxo eletrohidrodinâmico ou,
simplesmente, fluxo EHD. (Zhao e Adamiak,
2009) e (Labergue et al., 2005).
A geração de fluxos EHD tem sido
amplamente estudada para a aplicação em
diversos processos industriais, tais como
bombeamento de fluido, resfriamento de
microcomponentes, coleta de partículas em
suspensão, dentre diversos outros processos (Chang et al., 2009) e (Brown e Lai,
2009). Os diversos estudos realizados têm
mostrado que a aplicação de fluxo EHD a
tais processos industriais têm provido melhorias, como ganho em eficiência e maior
precisão no controle do fluxo, a estes.
As descargas corona e a consequente obtenção de fluxo EHD são regidas
por um conjunto de equações de campo elétrico e de dinâmica de fluidos. A simulação
dessas equações permite que os efeitos
dessas descargas elétricas e do fluxo gerado sejam analisados previamente, permitindo a elaboração de técnicas que busquem
otimizar a sua utilização nos processos industriais (Zhao e Adamiak, 2006) e (Zhao e
Adamiak, 2008).
Os problemas em eletrohidrodinâmica são regidos por equações diferenciais
parciais as quais, em geral, são intrinsecamente não lineares. Além disso, a geometria dos problemas que envolvem a geração
de fluxo EHD, comumente, não é trivial, ou
seja, normalmente a geometria desses problemas não possui características de simeInterciência
& Sociedade
63
MOMENTE, J. C.; MACHADO, J. M.
tria que permitam a simplificação do mesmo
(Stishkov e Chirkov, 2008). Devido a estas
características de não linearidade e geometrias que não permitem simplificações no
modelo, a solução analítica das equações
que regem as descargas corona e a geração de fluxo EHD torna-se impraticável.
A fim de se realizar a simulação
das equações que regem esses efeitos,
métodos numéricos apresentam-se como
uma alternativa factível, visto que a solução
analítica destas equações, normalmente,
não possível de ser obtida. Neste cenário,
o método dos elementos finitos mostra-se
como uma boa opção para a simulação das
equações que regem estes fenômenos. O
método dos elementos finitos é uma técnica
robusta e confiável para a solução de sistemas de equações diferenciais, a qual é
capaz de lidar com não linearidades e geometrias não regulares apresentando boa
precisão nos resultados (Davies, 1980).
O objetivo deste trabalho é realizar
a implementação do método dos elementos finitos para se realizar a simulação das
equações regentes dos problemas de eletrohidrodinâmica.
2. Fundamentação Teórica
Quando uma grande diferença de
potencial é aplicada a um par de eletrodos,
presencia-se a formação de um campo elétrico suficientemente forte para formar uma
camada de ionização ao redor dos eletrodos (Moreau, Léger e Touchard, 2006). Esta
diferença de potencial tem de ser da ordem
de milhares de volts. Devido ao forte campo elétrico formado entre os eletrodos, uma
pequena parcela do fluido que está presente ao redor desses se ioniza, formando uma
camada de plasma não-térmico (Brown e
Lai, 2009).
A presença deste forte campo elétrico e da camada de ionização faz com que
haja o deslocamento de íons de um eletrodo
ao outro. Neste deslocamento, os íons chocam-se com as partículas neutras do fluido
e acabam por produzir um deslocamento
deste fluido. (Zhao e Adamiak, 2005). A toda
esta configuração de formação da camada
de ionização e deslocamento de íons devido o campo elétrico é dado o nome de des-
64
carga corona (Labergue et al., 2005).
A ocorrência de descargas corona,
normalmente, ocorre em eletrodos de grande curvatura, também conhecidos como
sharp electrodes. Uma configuração de eletrodos bastante utilizada para a geração de
descargas corona é composta por um par
de eletrodos, sendo que um deles é aterrado e ao outro é aplicado um alto valor de
tensão. Este último é denominado de eletrodo corona e é ao redor dele que se forma
a camada de ionização (Zhao e Adamiak,
2005).
A geração de fluxo EHD pode ser
influenciada por diversos fatores, tais como
o valor de tensão aplicada ao eletrodo corona, a geometria dos eletrodos, a distância
de separação e o fluido que cerca os eletrodos (Brown e Lai, 2009). Estes fatores
podem influenciar na eficiência da geração
do fluxo, na velocidade do fluxo gerado e
na corrente estabelecida pelo deslocamento de íons de um eletrodo ao outro. Todos
estes aspectos devem ser analisados ao se
aplicar uma configuração de geração de fluxo EHD a algum processo industrial, visto
que estes possuem impacto direto no ganho ou melhoria esperados para o processo
(Moreau, Léger e Touchard, 2006).
Um aspecto importante a ser analisado é o tipo de camada de plasma que
se forma ao redor do eletrodo corona. Há
dois tipos possíveis de descargas de plasma. Descargas do tipo glow são descargas
de plasma que ficam contidas no entorno
do eletrodo corona, proporcionando uma
geração mais uniforme de fluxo EHD, à
baixa velocidade. Descargas do tipo spark
estendem-se de um eletrodo ao outro na
forma de uma faísca ou raio. Estas descargas produzem velocidades maiores de
fluxo EHD, mas não são uniformes e nem
constantes, durando por menor período de
tempo. Desta forma, é preferível realizar a
geração de fluxo EHD através de descargas
do tipo glow, mesmo que estas apresentem
menor velocidade do fluxo e limitação no
valor de tensão aplicado (Moreau, Léger e
Touchard, 2006).
A geração de fluxo EHD pode ser
dividida em duas partes, no que diz respeito
às equações que regem este efeito, a parte
elétrica e a parte de fluxo (Zhao e Adamiak,
Interciência
& Sociedade
Simulação de problemas de eletrohidrodinâmica usando o método dos elementos
finitos
⇒
K∇ ⋅
2006). As grandezas envolvidas na parte
elétrica são o campo elétrico, a densidade
espacial de carga e a corrente elétrica. Para
as equações do fluxo as grandezas envolvidas são a velocidade do fluxo, as forças
atuantes, a pressão e o campo de temperaturas (Adamiak, Atrazhev e Atten, 2005).
Neste trabalho têm-se desenvolvido apenas a simulação das equações da
parte elétrica, para que, com resultados
consistentes desta
 simulação possa-se ini- 
∇
⋅
K
E
0 de⇒fluxo
K∇
⋅
ciar a abordagem da=parte
do proqE


blema.
= 0 ⇒ ∇ ⋅
= 0 ⇒
qE
qE
As equações que regem a parte elétrica do problema são a equação de
Poisson, Eq. 1,
(
( )
∇ 2Ö
=
−
)
( )
(1)
=
q
(


KE + u
)
− D∇
(2)
q

onde j é a densidade de corrente, K é a

mobilidade dos íons, E é o campo elétrico,

u é a velocidade do fluxo e D é o coeficiente de difusão de íons. E, finalmente,
a equação de conservação da carga ∇ ⋅ j
. (Zhao e Adamiak, 2008), (Feng, 1999) e
(Zhao e Adamiak, 2005).
Aplicando-se a equação de conservação de carga à equação de densidade
de corrente temos:
∇ ⋅
(
q

KE +
q

u − D∇
q
)
=
0
(3)
Aplicando-se, então o divergente à
equação 3 obtém-se:


.
∇ ⋅
K
E
+ u ⋅ ∇ − ∇ ⋅ D∇
q
(
∇
− ∇ ⋅
(D∇ )
q
)
=
(
0
(4)
Temos na equação 4 três termos,
o primeiro corresponde ao termo de condução, o segundo ao termo de convecção e
o terceiro ao termo de difusão. Os termos
de convecção e difusão possuem pouca influência no valor da equação, sendo o termo de difusão o preponderante. Sendo assim, com o intuito de simplificar a equação,

=
0
(5)
Aplicando-se o divergente e sabendo que a mobilidade de íons K é constante, temos:
( KE )

∇ ⋅
=
0
=
⇒ ∇ ⋅

E + ∇ q
q∇ ⋅
0
⇒

E
q

⋅ E
( )
K∇ ⋅
( E)
=
0
⇒
=
0
q
)

q
=
0
⇒

E +
q∇ ⋅
(6)
Deste desenvolvimento resulta que
o conjunto de equações 7 rege a parte elétrica de problemas em eletrohidrodinâmica
(Martins e Pinheiro, 2011).
∇ 2Ö = − q / å0


∇
⋅
∇
⋅
E
+
E
=
q
q
onde Φ é o potencial elétrico, ϱ q é a densidade espacial de carga e ε0 é a permissividade do meio. A equação de densidade de
corrente, Eq. 2,

j
(�KE )
∇ ⋅
( )
/ å0
q
desconsideramos os termos de convecção
e difusão, obtendo-se (Martins e Pinheiro,
2011):
0
(7)
O Método dos Elementos Finitos
(MEF) foi a técnica escolhida para realizar a simulação destas equações. O MEF
apresenta-se como uma técnica numérica
para a resolução de equações e sistemas
de equações diferenciais com boa precisão
e robustez (Feng, 1999).
A ideia central do método dos elementos finitos é a divisão do domínio do
problema em regiões pequenas, onde se
possa resolver o problema através de uma
aproximação que torne a solução mais fácil.
Quão menores forem as partes em que o
domínio for dividido quão mais preciso será
o resultado da simulação. Utilizando-se desta estratégia, o MEF é capaz de solucionar
problemas lineares e não lineares (Davies,
1980) e (Azevedo, 2003).
O método dos elementos finitos é
dividido
= 0 em três etapas. A etapa de pré-processamento, que corresponde à definição
do problema, especificação da geometria e
condições de contorno e a geração da malha de elementos finitos, que é o conjunto
das regiões em que o domínio foi dividido. A
etapa de processamento, na qual se realiza
a solução do problema para cada um dos
elementos da malha e constrói-se a solução
do problema como um todo com base nas
contribuições de cada elemento. Por fim, a
etapa de pós-processamento contempla a
Interciência
& Sociedade
65
MOMENTE, J. C.; MACHADO, J. M.
análise dos resultados e a obtenção de informações sobre o problema com base nos
resultados obtidos (Cardoso, 1995).
3.Trabalhos relacionados
Muitas pesquisas têm sido realizadas com o intuito de prover um completo
entendimento das descargas corona e da
geração de fluxo EHD a fim de que estes
fenômenos possam ser utilizados em processos industriais de forma a garantir uma
melhoria nestes.
O bombeamento de fluidos é um
processo em que a geração de fluxo EHD
é capaz de prover melhorias significativas
no que diz respeito ao controle do fluxo e a
dimensão do aparato utilizado para o bombeamento. Dispositivos de bombeamento
de fluidos EHD, que utilizam a geração de
fluxo EHD para realizar o bombeamento,
possuem controle do fluxo de alta precisão,
além de poderem ser utilizados dispositivos
em escala reduzida (Adamiak et al., 2007)e
(Moon, Hwang e Geum, 2009).
A aplicação de geração de fluxo
EHD para bombeamento de fluido tem sido
estudada para aplicação na indústria farmacêutica para a produção de fármacos e
também para o resfriamento de microcomponentes eletrônicos. A utilização de fluxo
EHD, nestes casos, mostrou-se mais eficiente do que os dispositivos que utilizam
partes mecânicas móveis (Adamiak et al.,
2007)e (Moon, Hwang e Geum, 2009).
Outra importante aplicação de descargas corona e fluxos EHD é na coleta de
partículas em suspensão. Sistemas de filtros de micropartículas utilizam descargas
corona e fluxos EHD há alguns anos. Contudo, somente com os recentes avanços em
termos de poder computacional, o estudo da
eficiência e otimização destes fenômenos
pôde ser completamente realizado (Zhao e
Adamiak, 2008) (Farnoosh, Adamiak e Castle, 2011).
No trabalho desenvolvido por
Zhang et al. (2011), acerca de precipitadores eletrostáticos (dispositivos para coleta
de partícula em suspensão por meio da geração de fluxo EHD e descargas corona),
mostrou-se a melhora na taxa de coleta de
partículas menores que 10 (micrometros),
66
que são extremamente prejudiciais a saúde.
Há ainda a aplicação das descargas corona no controle ativo de fluxo em
aeronaves. As descargas corona são utilizadas para modificar o fluxo de ar que percorre uma aeronave a fim de reduzir a força
de arrasto sofrida pela aeronave (El-Kharaby e Colver, 1997).
A utilização das descargas corona
tem mostrado resultados bastante satisfatórios, sendo capaz de, além de reduzir o
arrasto sofrido pela aeronave, aumentar a
força de sustentação, deixando a aeronave mais estável, e, como consequência da
redução do arrasto, promover uma redução
no gasto de combustível. (Labergue et al.,
2005) e (El-Kharaby e Colver, 1997).
Por fim, a geração de fluxo EHD
e as descargas corona são utilizadas em
dispositivos de propulsão eletrostática, tais
como levitadores eletrostáticos (Zhao e
Adamiak, 2004).
Dispositivos de propulsão eletrostática têm sido estudados para a aplicação
na fabricação de telas de cristal líquido,
LCD, pois, segundo o estudo realizado por
Woo e Higuchi (2010), estes dispositivos
são capazes de prover uma força de sustentação uniforme, o que permite que a camada de separação entre as duas placas
de vidro que formam uma tela de cristal
líquido seja reduzida, tornando possível a
produção de telas mais finas e com maior
eficiência energética.
4. Desenvolvimento
O presente trabalho contempla a
execução de três etapas para que uma análise da parte elétrica de problemas de geração de fluxo EHD seja realizada. As etapas
são: modelagem, geração do modelo e das
malhas e resolução pelo método dos elementos finitos.
4.1 Geração de modelos e malhas
A primeira etapa a ser executada
foi a criação dos modelos gráficos do domínio do problema. Esta representação gráfica é a especificação geométrica do domínio
com todas as características de posição,
elementos, materiais e fronteiras. Estes
Interciência
& Sociedade
Simulação de problemas de eletrohidrodinâmica usando o método dos elementos
finitos
modelos foram construídos utilizando-se
o software Blender (disponível em <http://
blender.org>), um software para a criação
de modelos tridimensionais de objetos e
estruturas. A figura 1 mostra dois modelos
gerados pelo Blender. A figura 1.a. mostra o
modelo de um capacitor de placas paralelas
e a figura 1.b mostra o modelo de um dispositivo de bombeamento de fluidos cuja configuração de eletrodos não é trivial (Moon,
Hwang e Geum, 2009).
Após os modelos terem sido cria-
dos, as respectivas malhas de elementos
finitos foram criadas utilizando-se o software TetGen (disponível em <http://tetgen.
org>),um software para a geração de malhas de elementos finitos tetraédricas. Para
que esta geração de malhas fosse executada, houve a necessidade de se realizar a
conversão do formato suportado pelo Blender para o formato de arquivo aceito pelo
TetGen. Esta conversão foi realizada por
meio de uma programa em linguagem C escrito para este projeto.
a)
b)
Figura 1: Modelos geométricos para aplicação do método dos elementos finitos.
A figura 2 mostra as malhas de
elementos finitos geradas pelo TetGen. A
figura 2.a mostra a malha de elementos tetraédricos do capacitor de placas paralelas.
A figura 2.b mostra a malha de elementos
tetraédricos do dispositivo de bombeamento de fluidos (Moon, Hwang e Geum, 2009).
A figura 2 mostra as malhas de
elementos finitos geradas pelo TetGen. A
figura 2.a mostra a malha de elementos tetraédricos do capacitor de placas paralelas.
A figura 2.b mostra a malha de elementos
tetraédricos do dispositivo de bombeamento de fluidos (Moon, Hwang e Geum, 2009).
a)
b)
Figura 2: Modelos de malhas gerados pelo software.
4.2 Modelagem
A etapa de modelagem consiste
em transformar as equações regentes do
problema em uma forma que seja possível
de ser implementada computacionalmente.
Neste trabalho realizou-se a modelagem tridimensional de problemas de eletrohidrodinâmica, utilizando malhas de elementos tetraédricos, ou seja, o domínio do problema
Interciência
& Sociedade
67
MOMENTE, J. C.; MACHADO, J. M.
foi dividido em pequenos tetraedros, dentro
dos quais se fez a análise do problema.
Sendo o resultado obtido para cada elemento combinado, ao final, para a obtenção
da solução geral.
Para tanto, o método de resíduos
ponderados (ou método de Galerkin) foi utilizado para converter as equações que regem a parte elétrica do problema em uma
forma matricial, que é facilmente implementado computacionalmente (Feng, 1999).
este trabalho realizou-se a simulação da equação de Laplace, Eq. 8,
∇ 2Ö
=
0
(8)
que rege a parte elétrica de problemas onde
não há densidade de carga no ambiente. A
equação de Laplace em sua forma matricial
é dada pela equação 9,
[S]V= 0
(9)
onde a matriz [S] é dada facilmente encontrada na literatura (Silvester e Ferrari, 1996).
4.3 Resolução pelo método dos elementos
finitos
Com a malha gerada e as equações em sua forma matricial, o problema
foi resolvido utilizando o método dos elementos finitos, o qual foi implementado em
linguagem C, utilizando aproximações lineares para o cálculo da equação de Laplace
em cada elemento.
Seguindo a metodologia do método
dos elementos finitos, uma solução global
foi construída com base nos elementos da
malha. Os valores de potencial elétrico foram calculados para todos os nós da malha,
permitindo uma análise do comportamento
do potencial para o capacitor de placas pa-
ralelas. Este exemplo mais simples foi utilizado devido a possibilidade de validação
com modelos teóricos já conhecidos, o que
não seria possível para o modelo do dispositivo e bombeamento de fluidos proposto
por Moon, Hwang e Geum. (2009).
5. RESULTADOS
Depois de gerados o modelo e a
malha de elementos finitos e ao término da
execução do método dos elementos finitos,
obtém-se os valores de potencial para o
modelo. Neste trabalho foi realizada a simulação da equação de Laplace, Eq. 8, para o
capacitor de placas paralelas.
Para o modelo do capacitor foi
gerada uma malha de mais de 13 mil elementos tetraédricos, a qual foi utilizada para
gerar a solução pelo método dos elementos
finitos.
Com o intuito de validar os resultados obtidos pela implementação do método dos elementos finitos, foi realizada uma
comparação de um modelo com as mesmas
dimensões no software LevSoft (software
para a simulação de problemas de eletromagnetismo para modelos em duas dimensões produzido pelo Instituto de Estudos
Avançados do Departamento de Ciência e
Tecnologia Aeroespacial – IEAv DCTA).
Devido a restrições do software, o
modelo executado no LevSoft é um modelo
em duas dimensões, o que não compromete a validação, pois o modelo do capacitor
de placas paralelas pode ser planificado
sem perda de qualidade da solução.
O resultado obtido para o modelo
tridimensional e a comparação com o resultado obtido pelo LevSoft são mostrados na
figura 3.
Figura 3: Comparação de resultados para o modelo do capacitor de placas paralelas.
68
Interciência
& Sociedade
Simulação de problemas de eletrohidrodinâmica usando o método dos elementos
finitos
Conforme mostrado na figura 3, a
implementação do método dos elementos
finitos gerou bons resultados, bastante próximos dos resultados obtidos pelo software
LevSoft, que é um software específico para
o cálculo de problemas de eletromagnetismo e do qual obtém-se resultados confiáveis. É possível ainda observar que, nas
regiões externas às placas do capacitor,
há uma discrepância de resultados, o que
pode ser explicado pelo fato de a simulação
efetuada neste trabalha ser tridimensional,
permitindo uma análise mais detalhada do
comportamento do campo elétrico.
Além da precisão do método implementado, como pode ser notado na figura
3, esta implementação também é computacionalmente interessante, pois demanda
um curto tempo de execução para gerar os
resultados. A simulação foi efetuada em
uma máquina com 8GB de memória RAM,
processador intel® core i7, com sistema
operacional linux OpenSuse 12.1 e levou
cerca de 2 minutos para concluir os cálculos
e fornecer o resultado. A geração da malha
também se deu de forma rápida, aproximadamente 30 segundos, utilizando as mesmas configurações. Estes resultados são
bastante expressivos, principalmente por
utilizar somente códigos desenvolvidos durante o projeto e, para a modelagem e geração das malhas softwares livres e de fácil
obtenção;
6. CONCLUSÕES
Como pode ser visto os problemas
em eletrohidrodinâmica são de grande interesse devido à sua grande aplicabilidade
em processos industriais, onde a geração
de fluxo EHD e as descargas corona podem gerar melhorias e tornar tais processos
mais confiáveis.
Um dos grandes desafios da simulação de problemas em eletrohidrodinâmica
é a dificuldade em se resolver as equações
que os regem devido às suas características de não linearidade e de modelos geralmente assimétricos, não permitindo simplificações. Neste sentido o método dos
elementos finitos se apresenta como uma
alternativa confiável e robusta para simular
essas equações.
Conforme mostrado pelos resultados obtidos, a solução encontrada pelo
programa desenvolvido neste projeto apresenta-se bastante próxima da encontra pelo
software LevSoft, que possui resultados validados com resultados teóricos.
O presente trabalho mostra um
avanço no que diz respeito à realização de
simulação computacional de modelos tridimensionais. Como trabalhos futuros pretende-se realizar a simulação do conjunto de
equações da parte elétrica de problemas
EHD com a presença de densidade espacial de carga, o que representa uma dificuldade adicional, pois a validação deve ser
realizada com base em resultados experimentais e a simulação deve contemplar a
não linearidade das equações.
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Julio Cesar Momente é bacharel em ciência da computação pela Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, UNESP, Câmpus de São José do Rio Preto/SP. Atua na área de eletromagnetismo computacional.
José Márcio Machado é professor Doutor da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, UNESP,
Câmpus de São José do Rio Preto/SP. Atua na área de eletromagnetismo computacional e soluções de alto-desempenho para problemas de bioinformática.
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Interciência
& Sociedade