Sistemas Digitais Sistemas de numeração e aritmética binária LEEC

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Problema 1
a) Converta o número real 123,625 em base decimal para representação em bases binária e hexadecimal.
b) Calcule a soma dos números hexadecimais 35E e E7, sabendo que representam números inteiros em complemento para 2,
com 10 bits e 8 bits, respectivamente. Diga, justificando, se existe overflow. (nota: deverá efectuar extensão aritmética de
sinal)
Problema 2
a) Que número (em base 10) é representado por:
i) 74h (base 16) com 8 bits e em complemento para dois ?
ii) 74h (base 16) com 7 bits e em complemento para dois ?
b) Sabendo que, multiplicar um número X representado em binário por 2N, equivale a deslocar os seus bits N posições para a
esquerda, calcule o resultado da multiplicação de 6 por BCh, sabendo que 6xBCh = (22 + 21)xBCh e que BCh representa,
em hexadecimal, um número de 8 bits em complemento para dois. Qual é o número mínimo de bits necessário para
representar o resultado ?
Problema 3
a) Determine a representação binária em complemento para dois e em complemento para um dos números decimais -137 e
89.
b) Efectue a subtracção binária dos números hexadecimais F23(h) e do dobro de 76(h), sabendo que se encontram em
representação de complemento para dois. Qual o número de bits mínimo necessário para apresentar o resultado
correctamente?
Problema 4
Considere a sequência de dígitos 10101
a) Diga qual é o seu valor se essa sequência representar:
i) um número inteiro em base 2 com 6 bits e em complemento para dois
ii) um número inteiro em base 2 com 5 bits e complemento para dois
iii) um número inteiro sem sinal em base 2
b) Determine o número com 6 bits representado em complemento para dois, que adicionado ao número 10101 representado
em complemento para dois com 5 bits, dá o resultado -2. Efectue as operações aritméticas em binário que achar
convenientes.
Problema 5
a) Indique justificando o resultado da adição binária dos números A=011001 e B=110011, ambos representados em
complemento para dois com 6 bits. Efectue os cálculos que achar convenientes em binário
b) Adicionando os números X=0101 e Y=1111 obtém-se um resultado com 4 bits igual a 0100. Diga, justificando, se ocorre
overflow nessa operação se X e Y representarem números:
i) inteiros em base 2 com 4 bits e sem sinal
ii) inteiros em complemento para dois com 4 bits
Problema 6
a) Num sistema digital pretende-se representar e processar em binário valores de temperatura compreendidos entre -30º C e
+50º C, utilizando uma representação em complemento para 2. Diga, justificando, qual é o número mínimo de bits
necessário para representar essas grandezas, considerando que se pretende efectuar operações de adição e subtracção entre
2 valores de temperatura sem que ocorra overflow.
b) Qual é o valor representado pelo número em hexadecimal 5F16 se este representar um número:
i) inteiro com 8 bits em complemento para 2
ii) inteiro com 7 bits em sinal e grandeza
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Problema 7
Considere a sequência de dígitos 101
a) Diga qual é o seu valor se essa sequência representar:
i) um número inteiro em base 8.
ii) um número inteiro em base 16 com 9 bits e complemento para dois.
b) Determine o número com 6 bits representado em complemento para dois, que adicionado ao número 01001 representado
em complemento para dois com 5 bits, dá o resultado -2. Efectue as operações aritméticas em binário que achar
convenientes.
Problema 8
Considere X=110100112 e Y=E716 que representam números inteiros com sinal em complemento para dois com 8 bits.
a) Diga, justificando, se pode ocorrer overflow na adição de X com Y.
b) Efectue a adição de X com Y em binário, e indique se ocorre ou não overflow.
c) Qual é o maior número negativo representado em complemento para 2 com 8 bits que adicionado ao o número X provoca
overflow? Justifique.
Problema 9
Num sistema digital para aquisição de dados, pretende-se representar e processar em binário valores inteiros de tensão eléctrica
compreendidos entre -220 V e +220 V, utilizando uma representação em complemento para 2.
a) Diga, justificando, qual é o número mínimo de bits necessário para representar os valores da tensão.
b) Considerando que se pretende obter o resultado (correcto!) de operações de adição e subtracção entre quaisquer 2 valores
de tensão, diga qual é o número mínimo de bits necessário para representar esse resultado.
c) Represente em binário e complemento para dois os números X=200 e Y=-100, e efectue em binário a subtracção X-Y,
utilizando o número mínimo de bits necessário para obter o resultado correcto.
Problema 10
Pretende-se construir um sistema electrónico para prever o estado
do tempo com base na medida da variação de pressão atmosférica
verificada nas últimas 6 horas. O sistema é formado por um
sensor de pressão atmosférica com saída digital Pa, um sistema
de memória que armazena o historial da pressão e fornece, em
cada instante, o valor da pressão atmosférica P6h existente há 6
horas, e um circuito subtractor para calcular a variação de pressão
Vp.
sensor
de
pressão
Pa
subtractor
sistema
de
memória
Vp
P6h
a) Sabendo que a pressão atmosférica Pa medida pelo sensor de pressão (em mBar) é positiva e nunca ultrapassa o valor
110010, diga, justificando, qual é o número mínimo de bits necessários para representar essa grandeza.
b) Sabendo que a variação de pressão Vp (positiva ou negativa) nunca excede 40 mBar em valor absoluto, indique,
justificando, qual o número mínimo de bits necessário para representar, em complemento para dois, essa variação de
pressão.
c) Sabendo que o valor actual de pressão é 923 mBar e há 6 horas atrás era de 957 mBar, obtenha o valor da variação de
pressão (pressão actual Pa menos a pressão há 6 horas atrás P6h) efectuando a operação de subtracção em binário e tendo
em conta as respostas dadas nas alíneas anteriores.
Nota: 92310 = 11100110112 e 95710 = 11101111012.
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Problema 11
a) Dado o número hexadecimal 1A016, diga qual é o seu valor se representar:
i) um número inteiro em complemento para dois com 9 bits.
ii) um número inteiro em complemento para dois com 10 bits
b) Obtenha o resultado da adição, efectuada em complemento para dois com 9 bits, entre o número dado em a) e –2710.
c) Determine qual é a constante inteira positiva de 6 bits que é necessário adicionar a valores representados em complemento
para dois com 6 bits, para que passem a representar números inteiros positivos (sem sinal) com 6 bits no intervalo [0,+63].
Problema 12
a) Dados os números hexadecimais X=CB16 e Y=B816, efectue a subtracção binária X-Y e indique o valor do resultado (em
decimal) se:
i) X e Y forem números representados em complemento para dois com 8 bits.
ii) X e Y forem números inteiros sem sinal com 8 bits.
b) Obtenha a representação de 4.310 em binário usando 4 bits para a parte inteira e 5 bits para a parte decimal, e indique o erro
dessa representação.
c) Sabendo que o produto de um número X pela constante inteira 3 pode ser obtido através da operação X.(2+1)=2X+X, e que
multiplicar por 2 corresponde a deslocar de um bit para a esquerda a representação binária de um número, obtenha o
resultado de 3xCB16 usando esta estratégia, efectuando todas as operações em binário e utilizando o menor número de bits
necessário para representar correctamente esse resultado.
Problema 13
Pretende-se codificar as coordenadas de latitude e longitude de determinados locais usando o sistema binário em complemento
para 2. As latitudes variam entre –90 (90º Sul) e +90 (90º Norte). As longitudes variam entre –180 (180º Oeste) e +180
(180º Este).
a) Indique o número mínimo de bits necessários à codificação da latitude e longitude.
b) Tendo-se optado por codificar a latitude e longitude com 8 e 10 bits respectivamente, indique as coordenadas da cidade de
Melbourne: 38º Sul (-38), 145º Este (+145).
c) Admitindo a representação referida em b), calcule em binário a diferença de latitudes das ilhas de Spitzbergen (78º Norte =
4E16) e Falkland (52º Sul = CC16). Comente o resultado.
Problema 14
a) Considere o número binário 100000002. Diga qual é o seu valor se:
i) representar um número inteiro sem sinal.
ii) representar um número inteiro com sinal em complemento para dois com 8 bits.
b) Considere os números A=000101112 e B=001011112
i) Efectue a subtracção A-B em binário.
ii) Comente o resultado obtido admitindo que A, B e o resultado são números inteiros sem sinal.
iii) Comente o resultado obtido admitindo que A, B e o resultado são números inteiros com sinal representados em
complemento para dois com 8 bits.
Problema 15
a) Considere o número binário 100101112. Diga qual é o seu valor se:
i) representar um número inteiro com sinal, numa representação sinal e grandeza com 8 bits.
ii) representar um número inteiro com sinal em complemento para dois com 8 bits.
b) Considere que A=1018 é um número inteiro com sinal representado em complemento para dois com 7 bits.
i) Determine o maior número positivo que numa representação em complemento para dois com 7 bits pode ser subtraído
ao número A sem que ocorra overflow
ii) Justifique a seguinte afirmação: “Numa representação em complemento para dois com 7 bits, pode ser adicionado
qualquer número positivo ao número A sem que ocorra overflow”.
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Problema 16
O sistema electrónico de navegação de um barco à vela é composto, entre outros equipamentos, por uma bússola e um
catavento electrónicos (ver figura). A bússola indica a direcção do norte (Db, entre -180 e +180 graus) e o catavento indica a
direcção do vento (Dv, entre -180 e +180 graus), ambas em relação ao eixo longitudinal do barco.
catavento
Dv
9
N
Db
W
E
sistema
electrónico
de
navegação
9
S
bússola
a) Mostre que são necessários 9 bits para representar em complemento para dois cada um dos valores referidos com uma
resolução de 1 grau. Utilizando toda a gama permitida por esse número de bits, qual seria a resolução mínima (em graus)
com que se poderiam representar essas grandezas?
b) Quando o barco está a navegar para Este (Db=-90º), qual é o valor binário produzido pela bússola electrónica, considerando
que a unidade mínima representada é 1º ? E qual é esse valor se for utilizada toda a gama (9 bits) para representar os
valores compreendidos entre -180º e +180º?
c) A direcção real do vento (em relação ao norte) pode ser obtida calculando a diferença entre os valores da direcção do barco
(Db) e da direcção do vento em relação ao barco (Dv). Determine a direcção real do vento quando o barco navega para Sul
(Db=-180º) e o catavento indica uma direcção do vento igual a Dv=+170º, efectuando a operação aritmética em binário
com 9 bits. Comente o resultado obtido.
Problema 17
O sistema de controlo de temperatura de um equipamento de teste de circuitos integrados contém uma unidade que compara o
valor da temperatura do circuito a testar, T, com o valor desejado para o teste, Tset. A temperatura T do circuito pode
variar entre -20ºC e +60ºC e o valor Tset pode ser ajustado entre -100ºC e +100ºC.
a) Mostre que, numa representação em complemento para dois, são necessários 8 bits para representar Tset e 7 bits para
representar T.
b) A unidade de comparação realiza a subtracção Tset-T produzindo um resultado (1 bit) que é 1 se for Tset<T e 0 se for
Tset≥T. Considerando que esse resultado é o bit mais significativo (b7) da diferença Tset-T, realizada em complemento
para 2 com 8 bits, diga, justificando, se desta forma se obtém sempre o resultado correcto, atendendo à gama de valores
indicada para Tset e T.
c) Admita que T=-50 e que Tset=+78. Represente esses valores em complemento para dois, respectivamente com 7 e 8 bits, e
efectue a operação de subtracção Tset-T em binário.
Problema 18
a) O valor X, quando representado em complemento para dois com 16 bits, e em notação hexadecimal, escreve-se EAF5.
Diga, justificando, qual é a representação dos seguintes valores, nas representações referidas:
i) -X (o simétrico de X) em binário e em complemento para dois com 16 bits
ii) o quociente inteiro de X/8 em hexadecimal e em complemento para dois com 16 bits
b) Considere os números A e B, representando grandezas com sinal. O número A é igual a 1110011, representado em
complemento para dois com 7 bits; o número B, representado em sinal e grandeza com 7 bits é dado por 1110011. Obtenha
o resultado A+B
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