7.6. Descrição das atividades em sala de aula 7.6.6

7.6. Descrição das atividades em sala de aula
7.6.6. Sessão 06: Introduzindo os conceitos de: Derivação implícita, Reta tangente e
Reta normal a uma curva em um ponto.
Data: 03/05/2010, Horário: 07h30min. . Turma: T14 do curso de Engenharia Elétrica,
Cálculo A – MTM 1019.
7.6.6.1. Atividade 06: Situação-Problema – Lentes, tangentes e normais.
Fonte: James Stewart, vol. 01, Cengage Learning, 2008. Retas tangentes e normais,
Derivação implícita. Página 191.
Lentes, tangentes e normais – Na lei que descreve como a luz muda de direção ao
passar por uma lente, os ângulos importantes são aqueles que a luz forma com a reta
perpendicular à superfície da lente, no ponto, de incidência. Nesse ponto, essa reta é
chamada normal à superfície. A normal é a reta perpendicular àquela que tangencia a
curva no ponto de incidência.
Com relação à situação problema acima:
(a) Mostre o que é derivação implícita. Como se calcula a derivação implícita de uma
função 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 0.
(b) Como se determina o coeficiente angular de uma reta tangente ou reta normal a uma
curva 𝑓𝑓 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 0 em um ponto P dessa curva.
Derivação implícita:
1. Derive os dois lados da equação em relação à x, considerando y como uma
função derivável de x.
2. Reúna os termos que contém 𝑑𝑑𝑑𝑑 ⁄𝑑𝑑𝑑𝑑 em um dos lados da equação.
3. Encontre 𝑑𝑑𝑑𝑑 ⁄𝑑𝑑𝑑𝑑 .
Objetivo da Atividade:
Entender a regra, o cálculo e a aplicação da derivação implícita de uma função
em um ponto.
Quando não podemos colocar uma equação da forma 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 0 na forma
explícita 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) para derivá-la na forma usual, podemos ainda determinar 𝑑𝑑𝑑𝑑 ⁄𝑑𝑑𝑑𝑑 por
meio da derivação implícita.
Exemplo: Derivando explicitamente. Determinar 𝑑𝑑𝑑𝑑 ⁄𝑑𝑑𝑑𝑑 se 𝑦𝑦 2 = 𝑥𝑥.
Solução: A equação 𝑦𝑦 2 = 𝑥𝑥 define duas funções deriváveis em x, com x > 0, isto é:
Y1 =+√𝑥𝑥 e y2 = -√𝑥𝑥
Derivando essas duas funções, temos:
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Figura 18: Pontos de tangência da parábola 𝑦𝑦 2 = 𝑥𝑥.
> Comentário do professor:
Imagine se soubéssemos apenas que a equação 𝑦𝑦 2 = 𝑥𝑥 definiu uma ou mais
funções de x para x > 0. Sem saber quais são essas funções. Seria possível
determinar 𝑑𝑑𝑑𝑑 ⁄𝑑𝑑𝑑𝑑 ?
A resposta é sim, é possível.
O aluno Paulo Henrique pergunta:
Como será feita essa derivada, professor?
Professor:
Para determinar a derivada 𝑦𝑦 ′ , simplemente derivamos os dois lados da equação
em relação a x, considerando 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) como uma função derivável de x:
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Essa fórmula sozinha fornece as derivadas que calculamos para as duas soluções
explícitas acima. Usando o software maple, temos:
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Orientações do professor:
A dinâmica dessa atividade foi através do questionamento professor-aluno e alunoprofessor na construção desse novo conhecimento.
Situação-problema: Tangente e normal ao fólio de Descartes:
Mostre que o ponto P(2,4) está na curva do fólio de Descartes 𝑥𝑥 3 + 𝑦𝑦 3 − 9𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0. Em
seguida encontre a reta tangente e a reta normal à curva nesse ponto.
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> O aluno Bruno pergunta: Como se escreve no software maple a notação de função
implícita?
Professor: A notação de função implícita é a seguinte:
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Professor: Como acharemos os coeficientes angulares da tangente e da normal?
Resposta do aluno Leopoldo: É necessário calcular a derivada da função 𝑓𝑓, pois ela
nos dá o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto considerado. (solução
abaixo.)
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Figura 19: Reta tangente e normal ao Fólio de Descartes.
Solução apresentada pelos alunos do grupo 01(Gustavo, Jean e Leopoldo):
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Figura 20: Reta tangente e normal ao folio de Descartes.
Conclusões do grupo 01:
Seguindo as orientações dadas pelo professor conseguimos resolver a
situação problema acima, até, com certo grau de facilidade. Pois seguindo as
orientações do livro do software maple, resolvemos o problema proposto. Através do
livro do software maple, páginas: 11, 166, 176, 126 e 127, conseguimos resolver o
problema. Com os conhecimentos prévios existentes na estrutura cognitiva,
conseguimos através da aprendizagem por descoberta, resolver esse problema.
Portanto, houve uma aprendizagem significativa.
Outros grupos também resolveram o problema de forma similar, essas soluções não
serão apresentadas aqui nesse texto.
Conclusões do professor:
A aprendizagem significativa aconteceu na resolução dessa atividade, porque a
estrutura cognitiva do aluno recebeu novas informações, que foram iteradas com seus
conhecimentos subsunçores e descobriram tantas outras por descoberta. O
conhecimento anterior transformou-se em significados e que são substantivos. Logo,
realmente aconteceu a aprendizagem significativa.