PUCRS PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA CURSO DE ENGENHARIA CIVIL RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS (MECÂNICA DOS SÓLIDOS) EXERCÍCIOS Prof. Almir Schäffer PORTO ALEGRE JULHO DE 2007 1 PUCRS - FENG Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer Aula 1 – Mar/2006 1) Calcular as reações vinculares da viga bi-apoiada da figura seguinte. P1=4 kN P2=6 P3=8 A C D 2,0 5,0 m B 3,0 2) Calcular as reações vinculares da viga engastada da figura seguinte. P1=10 kN P2=5 60 A C 2,0 B 3,0 m 2 3) Calcular as reações vinculares do pórtico da figura seguinte. P1=10 kN A 2 B P2=8 1 P3=8 3 3m 3 C 4) Calcular as reações vinculares da viga bi-apoiada da figura seguinte. P A a C b B 5) Calcular as reações vinculares da viga do exercício 1, usando o PSE (Princípio da Superposição dos Efeitos) e os resultados do exercício 4. 3 PUCRS - FENG Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer Aula 2 – Mai/2006 1) Calcular as coordenadas dos centros de gravidade das áreas das figuras seguintes e localizar os mesmos nas figuras. Cotas em cm. Y a) Y b) 2 2 8 10 2 4 2 4 X Y c) 2 2 2 2 X 2 Y d) 3 5 3 1 1 3 X 3 X 4 Y e) Y f) 2 4 4 2 2 3 X 1 1,5 1,5 X 3 1) Calcular as coordenadas dos centros de gravidade das linhas das figuras seguintes e localizar os mesmos nas figuras. Cotas em cm. Y a) 10 11 5 X X 5 Y c) Y b) 2 3 2 Y d) 60 3 60 40 X 40 X 5 PUCRS - FENG Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer Aula 3 – Mar/2006 1) Calcular os esforços solicitantes nas seções S1, S2 e S3 da viga bi-apoiada da figura seguinte. P1=4 kN S1 A P2=6 S2 S3 C 1 1 P3=8 D 1 4 2 B 1 5m 2 3 2) Calcular os esforços solicitantes nas seções S1, S2 e S3 da viga engastada da figura seguinte. P1=10 kN P2=5 S1 60 S2 A S3 C 1 1 2 B 1 1 3 1 6 3) Calcular os esforços solicitantes nas seções S1, S2 e S3 do pórtico da figura seguinte. P1=10 kN S1 2 1 A S2 1 B 0,5 0,5 1 P2=8 S3 3 3m 3 C P3=8 7 PUCRS - FENG Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer Aula 4 – Mar/2006 1) Traçar os diagramas de forças cortantes e momentos fletores para a viga engastada da figura seguinte. P A B 2) Traçar os diagramas de forças cortantes e momentos fletores para a viga biapoiada da figura seguinte. P A C B a b 3) Traçar o diagrama de forças normais para a barra da figura seguinte P1=5 kN A B 4m C 4m 8m P2=10 kN 8 4) Traçar os diagramas de forças cortantes e momentos fletores para a viga biapoiada da figura seguinte. q = 2 kN/m A B 12 m 5) Traçar os diagramas de forças cortantes e momentos fletores para a viga biapoiada da figura seguinte. A 3 P=8 kN P=8 kN C D 4 B 3 10 m 6) Traçar o diagrama de forças normais para o cabo de guerra da figura sabendo que o mesmo encontra-se em equilíbrio. A 0,3 kN B 0,6 C D 0,4 E X 0,2 9 PUCRS - FENG Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer Aula 5 – Mar/2006 1) Uma barra prismática de 50 m de comprimento tem seção transversal retangular de 3 cm por 1 cm e está submetida a um esforço de tração de 4 000 kgf. A barra é de aço com tensão máxima admissível de 1 400 kgf/cm2 e módulo de elasticidade longitudinal de 2 100 000 kgf/cm2. P P 1 cm 50 m 3 Quesitos. a) Verificar se a barra se encontra (ou não) em boas condições de segurança. b) Calcular o alongamento da barra. c) Calcular o alongamento específico da barra. d) Se a barra apresentar uma certa reserva de segurança, calcular o valor máximo admissível de P para a mesma. 2) Calcular o esforço de tração máximo admissível num cabo de aço de 12 mm de diâmetro, formado por sete fios de 4 mm de diâmetro cada um e o alongamento do cabo para 12 mm este esforço. A tensão de segurança do aço do cabo é de 5 000 kgf/cm2 e o módulo de elasticidade é de 2 000 000 kgf/cm2. O comprimento do cabo é de 100 m. 4 mm 10 3) Calcular o diâmetro dos montantes de uma prensa (de aço) para um esforço máximo de 200 tf e o Montante alongamento por eles sofrido com C. Prova este esforço. A tensão de segurança do aço da prensa é de 1 000 kgf/cm2 e o 100 cm Êmbolo Macaco módulo de elasticidade do aço é de 2 100 000 kgf/cm2. 4) Uma viga AB é suspensa, por suas extremidades, por tirantes de aço. A' A viga, cujo peso G é de 2 000 kgf, B' Tirante Tirante G deve suportar uma carga P de 10 000 P kgf, como se mostra na figura. Calcular a área mínima necessária a seção do tirante mais solicitado sendo a tensão de segurança do aço dos tirantes de 1 400 kgf/cm2. A B C 2,50 D 2,50 3,50 5,00 m 1,50 11 PUCRS - FENG Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer Aula 6 – Mar/2006 1) Uma barra, formada por três trechos prismáticos de seção retangular, está submetida a um esforço de tração de 10 000 kgf. A barra é de alumínio com tensão máxima admissível de 750 kgf/cm2 e módulo de elasticidade longitudinal de 800 000 kgf/cm2. Verificar se a barra se encontra em boas condições de segurança e, em caso afirmativo, calcular o alongamento da mesma. Cotas em cm. P A B m C D Corte m-n P 2 6 2 n 300 400 300 2,5 2) Uma barra prismática tem seção transversal quadrada de 8 cm de lado e é carregada com cargas P como se mostra na figura. A barra é de pinho com tensão de ruptura (à tração) de 240 kgf/cm2 e módulo de elasticidade longitudinal de 100 000 kgf/cm2. Calcular o valor máximo admissível de P para a barra, usando um coeficiente de segurança 4, e o alongamento da mesma para este valor de P. Cotas em cm. A P B C P 250 P 500 Seção D 250 P 8 8 12 3) Duas barras de aço (AC e BC), articuladas suportam nas uma extremidades, carga de 45 tf A conforme a figura. Calcular a área B 4 mínima necessária para a seção da devendo-se usar β C de escoamento do aço igual a 2 400 e 4 α barra mais solicitada, sendo a tensão kgf/cm2 3 3 P um coeficiente de segurança 2. 4) A comporta AB da figura, que pode se considerada articulada em A, tem NA máx. largura de 3 m e está submetida à B pressão hidrostática. Em C ela é 1,50 C presa por um tirante de aço, fixado Tirante numa parede, em D. Calcular a área mínima necessária para a seção do tirante, com um 3,00 A coeficiente de segurança 2, sendo a tensão de escoamento do aço igual a 5 000 kgf/cm2. 5) Um elevador, de 1 000 kgf de peso Polia e 500 kgf de capacidade de carga, é suspenso por 4 cabos de aço de 0,6 Cabos cm2 de área útil cada um. Qual o coeficiente de segurança dos cabos se a tensão de escoamento do aço dos cabos é de 18 000 kgf/cm2 e a Elevador aceleração máxima do elevador de 2 m/s2. P D 13 PUCRS - FENG Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer Aula 7 – Abr/2006 1) Um tubo de ferro fundido, para água, de 20 cm de diâmetro interno, deve ser submetido à uma pressão interna de 14 kgf/cm2. Qual deve ser a espessura mínima da parede do tubo, para que não seja ultrapassada a tensão admissível à tração, do ferro fundido, de 245 kgf/cm2? p t di t de 2) Qual a máxima pressão com a qual se pode armazenar um gás num reservatório esférico de aço de 20 m de diâmetro interno e 1 cm de espessura de parede? A tensão de segurança do aço é de 800 kgf/cm2. p 14 3) O tanque de um compressor de ar é formado por um cilindro fechado nas extremidades por calotas semi esféricas. O diâmetro interno do cilindro é de 60 cm e a pressão interna, do ar, é de 35 kgf/cm2. O material, de que é feito o cilindro, é aço com limite de escoamento de 2 400 kgf/cm2 e o coeficiente de segurança à utilizar é 4. Pede-se determinar a espessura da parede do cilindro. p 4) Um cilindro de ar comprimido, para laboratório, está, normalmente, com a pressão de 160 kgf/cm2 por ocasião da entrega. A espessura da parede do cilindro deve ser de 16 mm. O aço de que é feito o cilindro tem limite de escoamento de 2 500 kgf/cm2. Adotando um coeficiente de segurança 2,5, qual o máximo diâmetro externo para o cilindro? 5) Calcular o diâmetro mínimo necessário para o êmbolo de um macaco hidráulico para uma força P de 5 000 kgf. O macaco é alimentado por um tubo de cobre de 9,5 mm de diâmetro externo e de 1,5 mm de espessura de parede. A tensão de segurança do cobre é de 600 kgf/cm2. P D Êmbolo Macaco p Óleo Tubo 15 PUCRS - FENG Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer Aula 8 – Abr/2006 1) Um fio é suspenso de dois pontos num mesmo nível, afastados de 100 m, com uma flecha de 5 m. O fio pesa 0,613 kgf/m. Calcular a força de tração (H) no fio. V H g A V B f H C l/2 l/2 2) Qual a mínima flecha com a qual se pode lançar um cabo pesando 4 kgf/m, entre dois apoios em nível, afastados de 200 m, se a força horizontal nos apoios não deve ultrapassar 2 000 kgf. 3) Um fio deve ser estendido entre dois pontos com uma flecha de 8% do afastamento entre os mesmos. O fio pesa 0,900 kgf/m e a força de tração no fio não deve ultrapassar 395 kgf. Estando os dois pontos num mesmo nível, qual o máximo afastamento que pode ser usado entre os mesmos. 16 4) Um fio de cobre, de 5 mm de diâmetro, pesando 0,167 kgf/m, é suspenso de dois pontos num mesmo nível, afastados de 400 m, com uma flecha de 25 m. Quesitos: a) calcular as forças, vertical e horizontal, exercidas pelo fio sobre os apoios; b) calcular os valores, exato e aproximado, da força de tração máxima no fio; e c) verificar se o fio se encontra (ou não) em boas condições de segurança, considerando uma tensão máxima admissível para o cobre de 600 kgf/cm2. 5) Um cabo de uma rede de transmissão de energia elétrica é lançado entre duas torres, A e B, afastadas de 400 m, com uma flecha de 40 m. Qual deve ser a flecha do cabo entre as torres B e C, afastadas de 300 m, se for desejado que não surja nenhuma força horizontal produzida pelo peso próprio do cabo no topo da torre B? f' f g A B l C l' 6) Com uma flecha de 100 cm e uma tensão de segurança de 600 kgf/cm2, qual o maior vão que se pode admitir entre dois postes de uma linha de transmissão de cobre. O peso específico do cobre é de 8 500 kgf/m3. 17 PUCRS - FENG Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer Aula 9 – Abr/2006 1) Emprega-se um rebite para ligar duas barras de aço como se indica na figura. Se o rebite tem diâmetro de 3/4" e a carga P é de 3 tf, qual a tensão de cisalhamento no rebite? rebite P A B P 2) O dispositivo da figura é empregado para determinar a resistência ao cisalhamento de uma junta colada. Se a carga P, no instante da ruptura é de 1 100 kgf, qual a tensão de ruptura, por cisalhamento, da junta? P A 1,5 4,0 cm B C 18 3) Considere-se o pino de 1,27 cm de diâmetro da junta da figura. A força P é de 3 400 kgf. Calcular a tensão de cisalhamento nas seções do pino. pino P P B A 4) Em estruturas de aço é comum empregar o dispositivo da figura com a finalidade de transmitir as cargas das vigas para os pilares. Se a reação da pilar P viga é de 10 000 kgf, se são usados cantoneira quatro rebites na ligação e se a tensão de segurança do aço dos rebites ao cisalhamento é de 1 100 kgf/cm2, qual o rebite diâmetro mínimo necessário para a seção dos rebites. 5) O aço de baixo teor de carbono P usado em estruturas tem um limite de resistência ao cisalhamento da ordem de 3 160 kgf/cm2. Calcular a força P necessária para fazer um furo circular punção d=2,5 chapa de 2,5 cm de diâmetro numa chapa desse aço de 1 cm de espessura. Calcular também a compressão no punção. tensão de t=1 cm 19 6) As polias são, em geral, ligadas aos eixos através de chavetas como se chaveta mostra na figura. Seja M = 11 500 1 A kgf.cm o momento de torção aplicado à 1 polia, sejam 1 x 1 x 8 cm as dimensões B O da chaveta que liga a polia ao eixo e polia M seja 5 cm o diâmetro do eixo. Calcular a M tensão de cisalhamento na chaveta. eixo 7) Calcular o número de rebites necessários para fixar a viga nos pilares. A força P aplicada na viga é de 11,5 tf e o peso próprio da viga, neste caso, pode ser desprezado. Os rebites devem ter 1,27 cm de diâmetro e a tensão de segurança ao cisalhamento do aço dos rebites é de 800 kgf/cm2. P pilar A Corte C-C viga cant. reb. C 3 2 5m B C reb. cant. 20 PUCRS - FENG Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer Aula 10 – Mai/2006 1) Calcular a máxima tensão de flexão no poste da figura e verificar se o mesmo se encontra (ou não) em boas condições de segurança. A tensão máxima admissível no aço do poste é de 1 400 kgf/cm2, tanto na tração como na compressão. A H2 = 200 kgf H1 = 300 kgf Corte CC Fio 8,00 m C C de = 20 cm B di = 18 cm 2) Calcular o lado “a” mínimo necessário para a prancha de madeira de pinho da figura. A tensão de segurança do pinho, na flexão, é de 80 kgf/cm2. P = 160 kgf P Corte CC C A C C 2,50 2,50 5,00 m B a 30 cm 21 3) Calcular o valor máximo admissível de P para o feixe de molas da figura. As lâminas do feixe, num total de 5, têm seção retangular de 10 cm x 1 cm. A tensão de escoamento do aço é de 6 000 kgf/cm2 e o coeficiente de segurança a utilizar é 3. Cotas em cm. P P Seção do feixe em B B A A' eixo 5 10 roda 2.P 20 20 20 20 20 100 200 4) Calcular o diâmetro mínimo necessário para o eixo do vagão de trem da figura. A tensão de segurança do aço é de 800 kgf/cm2. P = 10 000 kgf. Cotas em cm. P P Seção do eixo Mancal Eixo Roda Trilho 20 80 R 20 R d 22 PUCRS - FENG Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer Aula 11 – Mai/2006 1) Um eixo de aço, de 5 cm de diâmetro, está submetido à um momento de torção de 19 000 kgf.cm. A tensão de segurança do aço do eixo, ao cisalhamento, é de 800 kgf/cm2. Calcular a tensão de cisalhamento máxima no eixo e verificar se o mesmo se encontra (ou não) em boas condições de segurança. Mt d 2) Um eixo de aço, de seção circular oca de 8 cm de diâmetro externo e 6 cm de diâmetro interno, está submetido a um momento de torção de 54 000 kgf.cm. O aço do eixo tem tensão de segurança ao cisalhamento de 800 kgf/cm2 e módulo de elasticidade transversal de 800 000 kgf/cm2. Verificar se o eixo se encontra em boas condições de segurança e calcular o ângulo de torção unitário do mesmo. di de 23 3) Num eixo de aço, de seção circular cheia, atua um momento torsor de 250 m.kgf. A tensão limite de proporcionalidade ao cisalhamento do aço do eixo é de 1 600 kgf/cm2, em relação à qual deve-se usar um coeficiente de segurança 2. Calcular o diâmetro mínimo necessário para a seção do eixo. d 4) Um eixo de aço, com 2 m de comprimento e 4,5 cm de diâmetro, está submetido à um momento de torção de 10 000 kgf.cm. O aço do eixo tem tensão de segurança ao cisalhamento de 800 kgf/cm2 e módulo de elasticidade transversal de 800 000 kgf/cm2. Calcular a tensão de cisalhamento máxima no eixo e o ângulo de torção do mesmo. Verificar se o eixo se encontra (ou não) em boas condições de segurança. (Nash, p. 86, ex. 5). d 24 5) Um eixo de aço tem 3 m de comprimento e transmite um momento de torção de 250 tf.cm. O módulo de elasticidade transversal do aço é de 840 000 kgf/cm2 e a tensão máxima admissível ao cisalhamento é de 840 kgf/cm2. Qual o diâmetro mínimo que se pode dar ao eixo se o ângulo de torção unitário do mesmo deve ser limitado a 0,5o/m. (Nash, p. 88, ex. 8). d 6) Dois eixos, A e B, de mesmo comprimento, são feitos com um mesmo aço (mesmo G e mesmo τ ). O eixo A tem seção circular cheia com diâmetro de 6 cm e o eixo B tem seção circular oca com diâmetros externo e interno de 10 e 8 cm, respectivamente. Comparar: a) os volumes de aço gastos na fabricação dos dois eixos; b) as resistências dos dois eixos; e c) os ângulos de torção unitários para um mesmo Mt. A B d di de 25 PUCRS - FENG Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer Aula 12 – Jun/2007 1) Um veículo, com potência de 60 HP, alcança, no plano, uma velocidade máxima de 120 km/h. Calcular a resistência oferecida pelo ar ao deslocamento do veículo nessa velocidade. v R = a.v + b.v 2 F F' 2) Qual a potência máxima, em HP, que um eixo de aço de 6 cm de diâmetro, pode transmitir com a velocidade angular de 250 rpm. A tensão de segurança do aço, ao cisalhamento, é de 800 kgf/cm2. (Nash, p. 98, ex. 22). d 26 3) Um eixo de seção variável, como se indica na figura, é de aço com G = 0,84E06 kgf/cm2. Determinar a tensão máxima de cisalhamento em cada um dos trechos de seção constante e os giros das seções B e A. (~ Nash, p. 93, ex. 13). A B 0,6 tf C 0,9 tf d = 10 d = 7,5 100 cm 0,6 tf 0,9 tf 80 120 cm 4) O eixo da figura compõem-se de um trecho de latão e outro de alumínio, com 60 cm de comprimento cada. O diâmetro do eixo é constante e igual à 6 cm. O limite de proporcionalidade ao cisalhamento do latão é de 1 000 kgf/cm2 e o do alumínio 1 550 kgf/cm2. Adota-se um coeficiente de segurança 2 em relação à essas tensões. Se o deslocamento angular (giro) da extremidade direita do eixo è limitado à 1o, qual o máximo momento que pode ser aplicado ao eixo? Os valores de G, para o latão e para o alumínio, são 350 000 e 280 000 kgf/cm2, respectivamente. (~ Nash, p. 94, ex. 14). A B C F Latão Alumínio b d = 6 cm F 60 cm 60