NOME: PROFESSOR(A): Ana Luiza Ozores ANO: 3º DATA: Nº: REVISÃO – Lista 13 – Matrizes, determinantes e complexos Algumas definições Representação: Amxn é uma matriz de m linhas por n colunas. Transposta de uma matriz: trocam-se as linhas pelas colunas. Adição de matrizes: soma-se termo a termo. Multiplicação de matrizes: só é possível se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. Inversa de uma matriz: A A1 I onde A é uma matriz quadrada e I é a matriz identidade. Determinante de uma matriz A pela regra de Sarrus: Classificação dos sistemas lineares: Possível e determinando (SPD): possui uma única solução. Possível e indeterminado (SPI): possui infinitas soluções. Impossível (SI): não possui solução. Regra de Cramer: seja A a matriz dos coeficientes de um sistema linear, então x1 xn Axn A A , x2 Ax2 A , ..., , onde Axi é a matriz obtida a partir de A substituindo-se a i-ésima coluna pelos termos independentes. Números complexos: Ax1 São da forma z a bi e seu conjugado é da forma z a bi , onde i 2 1 . 2 Módulo ou valor absoluto: z a 2 b 2 e z z z . Forma polar ou trigonométrica: z (cos i sen ) , onde z , cos Operações na forma polar: z1 z2 1 2 (cos(1 2 ) i sen (1 2 )) . z1 1 (cos(1 2 ) i sen (1 2 )) . z2 2 z n n (cosn i sen n ) . 2k 2k Se n z , então k n cos i sen n n a 2 0 1 3 4 0 1. Calcule o produto de matrizes 1 2 0 . 2 1 1 3 3 4 1 1 2 2 1 . 1 1 x 2 y 3z 1 3. Resolva o sistema 3x y 4 z 8 . 5 y 6 z 3 87 1 i 4. Simplifique . 1 i 5. Determine as raízes cúbicas de z i . Exercícios de Vestibular 6. (FUVEST) Considere as matrizes: 1) A (aij ), 4 7 , definida por aij i j 2) B (bij ), 7 9 , definida por bij i 3) C (cij ), C AB O elemento c63 a) é 112 b) é 18 c) é 9 d) é 112 b , onde 0 k n 1 . Exercícios básicos 2 2. Calcule o determinante 3 e sen e) não existe . sen sen 7. (FUVEST) A matriz sen 0 cos cos 4 1 0 b) 2n , n Z a) n , n Z d) 0 1 0 0 é inversível se, e somente se, 0 0 1 0 n , n Z x 8. (FUVEST) O número de raízes da equação 0 3 4 3x b) 1 2 n , n Z e) R 0 3x a) 0 c) c) 2 1 2 0 é: 3 d) 3 e) 4 9. (FUVEST) A é uma matriz quadrada de ordem 2, inversível, e det(A) é o seu determinante. Se det(2 A) det( A2 ) , então det(A) será igual a: a) 0 b) 1 c) 1 2 d) 4 e) 16 x y 2 z 0 10. (FUVEST) O sistema linear x y z 1 não admite solução, se for igual a: x y z 3 a) 0 b) 1 c) 1 d) 2 e) 2 x log 2 y log 3 a 11. (FUVEST) O sistema linear x log 4 y log 9 a a) tem solução única, se a 0 b) tem infinitas soluções, se a 2 c) não tem solução, se a 3 d) tem infinitas soluções, se a 4 e) tem solução única, se a 9 12. (FUVEST) Dado o número complexo z 3 i , qual é o menor valor do inteiro n 1 para o qual z n é um número real? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 13. (FUVEST) Sabendo que é um número real e que a parte imaginária do número complexo 2i é zero, então é: 2i a) 4 b) 2 c) 1 d) 2 e) 4 14. (FUVEST) Sejam a, b e c três números estritamente positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo ABC, cujos vértices são A (a,0) , B (0, b) e C (c,0) , é igual a b, então o valor de b é: a) 5 b) 4 c)3 d) 2 e) 1 15. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária ( i 2 1 ) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a i) 4 é um número real? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) infinitos 0 1 1 16. (FUVEST) O determinante da inversa da matriz A 1 2 0 é: 1 4 3 5 a) 52 5 b) 48 5 c) 5 48 d) 5 52 e) 5 48 a b 1 2 17. (FUVEST) Se as matrizes A e B são tais que AB BA , pode-se afirmar que: c d 0 1 a) A é inversível b) det( A) 0 d) c 0 e) a d 1 c) b 0 x 4 z 7 18. (FUVEST) x 3 y 8 então x y z é igual a: y z 1 a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2 x (c 1) y 0 19. (FUVEST) O sistema , onde c 0 , admite uma solução ( x, y) com x 1 . Então cx y 1 o valor de c é: a) 3 b) 2 c) 1 d) 1 e) 2 20. (FUVEST) Uma matriz real A é ortogonal se AAt I , onde I indica a matriz identidade e At 1 indica a transposta de A. Se A 2 y a) 1 4 b) 3 4 c) x é ortogonal, então x 2 y 2 é igual a: z 1 2 d) 3 2 e) 3 2 21. (VUNESP) Para que valores reais de p e q o seguinte sistema não admite solução? 3x py 4 z 0 x y 3z 5 2 x 3 y z q a) p 2 e q 5 b) p 2 e q 4 d) p 2 e q 5 e) p 2 e q 5 c) p q 1 22. (FUVEST) O polinômio x 4 x 2 2 x 6 admite 1 i como raiz, onde i 2 1 . O número de raízes reais deste polinômio é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 23. (FUVEST) Se A é uma matriz 2 2 inversível que satisfaz A2 2 A , então o determinante de A será: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 24. (FUVEST) Dentre os números complexos z a bi , não nulos, que têm argumento igual a aquele cuja representação geométrica está sobre a parábola y x 2 é: a) 1 i b) 1 i c) 1 i d) 2 2i e) 2 2i 25. (ITA) O valor da expressão | 1 z |2 | 1 z |2 , sendo z um número complexo, é: a) 5, se | z | 1 b) 4, se | z | 1 d) 2, para todo z e) 3, se Re( z ) 0 c) 0, se Im(z ) 0 Respostas 1. 9 18 16 2 5 4 2. 2 3. S 1,3,2 4. i 5. 1 i , 2 3 i 3 i e 3 2 2 2 2 6. E 13. E 20. E 7. A 14. E 21. D 8. A 15. C 22. A 9. D 16. C 23. E 10. E 17. D 24. A 11. C 18. E 25. B 12. C 19. B , 4