Cap.11 Trabalho 11.2 Trabalho e energia cinética

Cap.11 Trabalho
Do professor para o aluno ajudando na avaliação de compreensão do capítulo.
É fundamental que o aluno tenha lido o capítulo.
11.2 Trabalho e energia cinética
►
Consultar o arquivo Cap10_Energia.pdf: página 2 até 8.
► Responda a questão Pare E Pense 11.2
Problema 11.16(do livro-texto): Uma partícula de 2,0 kg que se move ao
longo do eixo x experimenta a força representada na figura ao lado. A
velocidade da partícula em x = 0 é de 4,0 m/s. Qual é sua velocidade em x = 2
m e 4 m?
Resp. 5,1 m/s e 4,0 m/s.
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11.3 Calculando e usando trabalho
► O produto escalar de dois vetores: Consultar o arquivo Cap10_Energia.pdf, página 1 até 3.
► Estudar os Exemplos 11.2. O trabalho resultante é positivo. Qual é o significado?
► Leia esta subseção: Força perpendicular à direção de movimento
►Perguntas: (A) A força perpendicular à direção do movimento realiza trabalho? E qual é o papel desta
força no movimento? (B) Apresente 4 exemplos correspondentes ao item (A).
► Responda a questão Pare E Pense 11.3. ( O original em inglês é Um guindaste abaixa ... Neste caso a
resposta é b.) Na edição brasileira, a resposta é c.
► Responda a questão Pare E Pense 11.4
11.4 O trabalho realizado por uma força variável
Consultar o arquivo Cap10_Energia.pdf: página 4.
► Estudar os Exemplos 11.7.
► Estudar os Exemplos 11.8 Incluir as perguntas: (A) A força elástica da mola é F = - k x, e o
deslocamento é na direção x e sentido positivo. O trabalho realizado pela força elástica é positiva ou
negativa? Explicar. (B) Quanto o cubo desloca até atingir o repouso?
11.5 Força, trabalho e energia potencial
► Forças conservativas e não-conservativas
► Energia mecânica
► Consultar o arquivo Cap10_Energia.pdf
► Estudar os Exemplos 11.9
11.6 Obtendo a força a partir da energia potencial
Consultar o arquivo Cap10_Energia.pdf
► Responda a questão Pare E Pense 11.5 ( a derivada indefinida em x = 2m)
Resolver: O gráfico ilustra o comportamento da energia potencial em
função da posição x. Considere que uma partícula, ao passar pela posição
x = 0, possui a energia cinética igual a 1 J e se move para a direita.
Responder: Existe a posição de retorno da partícula no intervalo 0< x < 4?
Se a resposta é sim, calcule esta posição.
11.7 Energia térmica
► Estudar esta seção.
11.8 Conservação da energia
► Energia em um sistema de Partículas
Temos a liberdade de escolher em um sistema os objetos que quisermos. Qualquer que seja o modo como
definimos o sistema, haverá sempre a conservação da energia desde que tenhamos o cuidado de incluir as
energias de todos os componentes do sistema e a energia trocada por este com sua vizinhança.
Na figura, a fronteira do sistema é representada pela superfície retangular.
A energia do sistema interno à fronteira é
representada pela energia cinética, K,
energia potencial, U e energia interna ou
térmica, Eterm. A energia cinética é devido
ao movimento das partes do sistema. A
energia potencial, U, é o resultado da
interação das partes do sistema umas com
as outras através das forças elástica ou
gravitacional ou, ainda, qualquer outra
força conservativa.
A soma das energias cinética com
potencial é a energia mecânica do sistema,
Emec = K + U. A energia do sistema dentro
da fronteira, Esis, é constituída como a soma K + U + Eterm. Esta energia pode ser alterada quando a
vizinhança realizar um trabalho externo, Wext, sobre o sistema. O trabalho, Wext, positivo realizado sobre o
sistema tende a aumentar a energia deste; o trabalho negativo efetuado sobre o sistema pela vizinhança (
equivale ao trabalho positivo realizado pelo sistema sobre a vizinhança) tende a diminuir a energia do
sistema. A energia Eterm realizado dentro da fronteira quando uma parte do sistema atua sobre outra não
altera a energia total, embora possa converter energia de uma forma em outra, por exemplo, potencial em
cinética.
A conservação da energia para o sistema é escrita como
Esis ≡ K + U + Eint
∆Esis = ∆K + ∆U + ∆Eint = Wext
O símbolo Wext representa o trabalho externo total
realizado por todas as forças da vizinhança sobre o
sistema.
► (A) Para ilustrar os princípios apresentados acima,
considere o sistema somente o bloco, interagindo com a
mola e sobre uma superfície horizontal áspera. Ver a
figura ao lado. A figura representa duas transferências de
energia através da fronteira do sistema: o trabalho conservativo ,Wmola , realizado sobre o bloco pela mola e
o trabalho negativo e não-conservativo ,Watrito, realizado sobre o bloco pela força de atrito exercida pela
superfície. Neste sistema, a conservação da energia é
∆K + ∆Eint = Wmola + Watrito
Aqui ∆U = 0 , pois não há variação de energia potencial do sistema dentro da fronteira. A mola não faz
parte do sistema, por isso sua energia potencial não é considerada; a mola é incluída na vizinhança do
sistema através do trabalho conservativo Wmola que ela realiza sobre o sistema. Na figura está representado
que o trabalho realizado pela mola é positivo, supondo que a mola estava comprimida, o que tende a
aumentar a energia do bloco; o trabalho negativo foi realizado pela superfície horizontal, o que tende a
diminuir a energia do sistema.
► (B) O segundo sistema escolhido é constituído do bloco e
da mola, figura ao lado, e neste caso o sistema passa a ter
energia potencial associada à força elástica, ∆U. A força de
atrito é a única força externa ao sistema que realiza trabalho
sobre o sistema. A conservação da energia para esse sistema é
∆K + ∆U + ∆Eint = Watrito
A energia do sistema é K + U + Eint e nesse caso as transferências de energia entre a mola e o bloco não
alteram aquele valor. A força elástica passou a ser a força interna que pode transferir energia mecânica
internamente de uma forma a outra (K <--> U ), mas não pode alterar a energia total do sistema. O trabalho
negativo do atrito, efetuado pela superfície horizontal, pode diminuir a energia do sistema.
► (C) A terceira configuração do sistema, bloco+mola+mesa, é apresentada na figura ao lado. Neste caso
não há força externa, conservativa ou não-conservativa. Não há atribuição de transferências de energia
através da fronteira do sistema. A força de atrito é agora uma
força interna. O trabalho externo é nulo e a conservação da
energia do sistema tem a forma
∆K + ∆U + ∆Eint = 0
No interior do sistema pode haver transferência de energia de forma mecânica U+ K do conjunto bloco+
mola para energia interna do conjunto bloco+mesa, no entanto, a energia total (Emec + Eint) permanece
constante. A força de atrito é uma força não-conservativa e dissipativa. Em um sistema fechado, como
ilustrado, a energia mecânica foi transformada em energia interna pela força de atrito. Nesse caso, não há
conservação de energia mecânica, cuja perda é igualmente o ganho em energia interna.
►Estudar o Exemplo 11.14, página 323.
►
Responda a questão Pare E Pense 11.1:
► Responda a questão Pare E Pense 11.6
► Nota. Nem todas as forças não-conservativas são dissipativas. Por exemplo, a força magnética pode
aumentar a energia mecânica de um sistema.
► Nota. Por conveniência, o rearranjo das moléculas da mola, na expansão ou na contração, está incluída
na energia potencial elástica, U, pois, esta energia poderia estar incluída na energia interna, Eint, do sistema.
No entanto o rearranjo das moléculas do bloco e da mesa está incluído em Eint.
► Estudar o Exemplo 11.14
► Lei geral de conservação da energia
A lei de conservação da energia mecânica pode ser formulada matematicamente como
∆K + ∆U + ∆Eint = Wext
e em termos a energia pode ser transformada de um tipo para outro em um sistema isolado,
Wext=0, mas não pode ser criada ou destruída; a energia total do sistema permanece constante.
► Exemplo 1: Solta - se uma bola de massa m = 0,143kg do alto de um edifício de altura h = 443 m; ela
atinge a velocidade terminal de 42 m/s. Determine a variação de energia interna da bola e do ar circundante
durante a queda até a superfície da Terra.
Solução: Consideramos o sistema como constituído da bola, do ar em que ela se move e da Terra. Nenhuma
força externa atua nesse sistema; pois as forças da gravidade sobre a bola e de resistência do ar sobre ela
são forças internas ao sistema. Podemos escrever a lei de conservação da energia como
∆K + ∆U + ∆Eint = 0
A variação na energia potencial do sistema será
∆U= Uf – Ui = 0 – mgh = -(0,143)(9,80)(443) = - 621 J.
A variação na energia cinética durante a queda é
∆Κ= Kf – Ki =0,50 mv2 -0 = 0,50(0,143)(42)2 = 126 J.
Portanto,
∆Εint = - ∆U - ∆Κ = -(-621) -126 = 495J.
Este aumento na energia interna pode ser observado como elevação de temperatura da bola e do ar
circundante. Neste problema admitimos que o aumento de energia interna permanece dentro do sistema, tal
como foi definido.
► Exemplo 2: Um bloco de4,50kg é lançado para cima em um plano inclinado de 300 com velocidade
v = 5,00m/s. Ele alcança 1,50 m ao longo do plano e sua velocidade se anula no final desta distância. (a)
Qual a energia mecânica perdida pelo bloco nesse processo, devido ao atrito? (b) Depois de parar, o bloco
escorrega de volta à base do plano. Suponha que o atrito produza a mesma perda de energia mecânica no
movimento de volta, qual a velocidade do bloco ao passar na posição inicial?
Solução: Diferentemente do problema anterior, aqui existe uma força externa, a força de atrito, que realiza
um trabalho, Wext. A variação na energia mecânica é
∆E = ∆K + ∆U
E a perda da mesma pode ser escrita como
∆E = −∆Eint + Wext
Lembrar que ∆ Eint é positiva, pois representa o aumento de energia interna do bloco ( não do bloco + o
plano) e Wext é o trabalho externo (negativo\) realizado sobre o bloco pela força de atrito devida ao plano.
(a) A variação de energia potencial é
∆U= Uf – Ui = mgh - 0 = (4,50)(9,80)(1,50)sen(300) = 33 J.
E a da energia cinética entre a base e o topo do plano vale
∆Κ= Kf – Ki =0 - 0,50 mv2 = -0,50(4,50)(5,0)2 = -56 J.
A variação na energia mecânica é portanto,
∆E=-56 +33= -23 J.
(b) Seja ∆E=(Kf – Ki ) + (Uf – Ui ), a variação na energia mecânica no movimento de subida do bloco ao
longo do plano inclinado. No movimento de volta à base, os índices (i) e (f) nas energias, K e U, significam
as posições inicial no topo e na base do plano, respectivamente. Escreve-se, então,
∆E ' = ( K 'f − K i' ) + (U 'f − U i' )
Para calcular a variação total na energia mecânica do sistema devemos somar as duas variações:
∆E + ∆E'.
É necessário observar que, nesta soma, alguns termos são iguais e outros são nulos, Kf =0; K'i = 0; Ui = 0;
Uf' = 0; Uf =U'i'. O resultado da soma é a variação da energia cinética
K 'f − K i = 2∆E
e é 2 ∆E , pois, a perda de energia mecânica é a mesma tanto na subida como na descida.
A energia cinética na base do plano é
A velocidade correspondente é
.
11.9Potência
► Estudar esta seção.
► Estudar os Exemplos 11.16 e 11.17.
. ► Responda a questão Pare E Pense 11.7.
K 'f = 56 + 2(−23) = 10 J
v 'f =
2(10)
4,5
= 2,1m / s