Parte 2

MATEMÁTICA DISCRETA
ARITMÉTICA RACIONAL (2/6)
Carlos Luz
EST Setúbal / IPS
16–22 Abril 2012
Carlos Luz (EST Setúbal / IPS)
Aritmética Racional (2/6)
16–22 Abril 2012
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Divisão Inteira
Teorema
Sendo a, b 2 Z, existem q, r 2 Z tais que
a = bq + r ,
0
r < jb j ,
onde q é o quociente e r é o resto da divisão de a por b. Além disto, os
inteiros q e r são únicos.
Demonstração
Consequência do princípio de boa ordenação de N0 (Ver
Apontamentos!)
Exemplo
Sendo a = 4461 e b = 16, calcular o quociente e o resto da divisão de a
por b.
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Mais exemplos...
Se b < 0, para efectuar a divisão inteira de a por b basta proceder à
divisão de a por b e depois trocar o sinal ao quociente. A condição
a observar neste caso pelo resto é 0 r < b = jb j .
Exemplo
Calcular o quociente e o resto da divisão de:
(a) 25 por 3. (b) 262 por 3. (c) 262 por
3.
Exercício
Sejam a, b 2 Z com b 6= 0. Se dividirmos 2a por 2b obteremos o quociente
q e o resto r . Quais são o quociente e o resto da divisão de a por b?
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Representação de Números em Diferentes Bases
Seja b 2 um inteiro. Dado x 2 N, utilizando repetidamente o
teorema anterior até que se alcance um quociente nulo, obtém-se
x = bq0 + r0
q0 = bq1 + r1
..
.
qn
2
qn
= bqn 1 + rn
1 = bqn + rn
,
com 0
ri < b.
1
Eliminando rectroactivamente os quocientes qi , x pode representar-se
na forma
x = rn b n + rn
1b
n 1
+
+ r1 b + r0 () x = (rn rn
1
r1 r0 )b
Diz-se então que rn rn 1
r1 r0 é a representação de x na base b.
Se b = 10 omite-se habitualmente o índice b na representação. Por
exemplo, o número (2011)10 representa-se simplesmente por 2011.
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Exemplo
Determinemos a representação de 54 na base 2.
r0 !
54
14
0
r1 !
2
27
07
1
r2 !
2
13
1
r3 !
2
6
0
r4 !
Então,
2
3
1
r5 !
2
1
1
2
0
54 = (r5 r4 r3 r2 r1 r0 )2 = (110110)2 .
Exercício
Determine:
a) As representações de 1985 na base 2, na base 5 e na base 11.
b) A representação habitual (na base 10) de (11011101)2 e de (4165)7 .
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Divisibilidade
De…nição
Dados dois inteiros a e b, diz-se que a é divisor de b, e escreve-se ajb, se
existe um inteiro q tal que b = aq.
Em vez de “a é divisor de b” usam-se as expressões “a divide b”,
“b é múltiplo de a” ou “b é divisível por a”.
Pronunciar qualquer destas expressões equivale a dizer que “o resto
da divisão inteira de b por a é zero”.
b
(ou b/a) representa o inteiro q tal que b = aq.
a
Quando a não divide b utiliza-se a notação a - b.
Exemplo
Tem-se 2j6 pois 6 = 2 3. Por outro lado, 2 - 5 pois não existe nenhum
número inteiro que multiplicado por 2 dê 5.
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Exercício
Mostre que aj0 para qualquer a 2 Z, mas 0ja somente quando a = 0.
Resolução: Para qualquer a 2 Z, tem-se 0 = a 0 pelo que aj0. Por
outro lado, se 0ja, existe q 2 Z tal que a = 0 q e, portanto, a = 0.
Exercício
Mostre que se c, d e n são inteiros tais que d jn e c j dn , então c jn e d j nc .
Resolução:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Hipótese: d jn e c j dn
Tese: c jn e d j nc
Passos
Existe s 2 Z : n = ds
Sendo s = dn , existe r 2 Z : s = cr
ds = d (cr )
n = c (dr )
c jn
d j nc
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Justi…cações
d jn
c j dn
Mult. s = cr por d
n = ds e props. com. e ass.
4)
n
c = dr por 4)
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Exercício
Utilize o princípio de indução para mostrar que n2 + 3n é divisível por 2,
para qualquer n 2 N.
Resolução: Seja P (n) a a…rmação “n2 + 3n é divisível por 2”, cuja
validade se pretende provar para qualquer n 2 N.
Se n = 1, n2 + 3n = 12 + 3 1 = 4, pelo que P (1) é verdadeira.
Admitamos que, para k 2 N, P (k ) é verdadeira (isto é, que k 2 + 3k
é divisível por 2) e provemos que P (k + 1) é verdadeira (isto é, que
(k + 1)2 + 3 (k + 1) é divisível por 2).
Demonstração: Tem-se,
(k + 1)2 + 3 (k + 1) = k 2 + 2k + 1 + 3k + 3 = k 2 + 3k + (2k + 4) .
Como, por hipótese de indução, existe q 2 Z tal que k 2 + 3k = 2q,
conclui-se que
k 2 + 3k + (2k + 4) = 2q + 2(k + 2) = 2(q + k + 2),
ou seja, (k + 1)2 + 3 (k + 1) é divisível por 2.
Portanto, P (k + 1) é verdadeira e, assim, P (n) é verdadeira, 8n 2 N.
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Proposição
Sejam a, b, c, d números inteiros. Mostre que:
(a)
aja e 1ja.
(b) ajb sse ( a) jb sse aj ( b ).
(c) Se c 6= 0 então ajb sse ac jbc.
(d) Se ajb então ajbc.
(e) Se ab jc então ajc e b jc.
(f) Se ajb e b jc então ajc.
(g) Se ajb e c jd então ac jbd.
(h) Se ajb e ajc então aj (bx + cy ) , para quaisquer x, y 2 Z.
(i) Se ajb e b ja então a =
(j) Se aj1 então a =
b.
1.
(k) Se a, b 2 N e ajb então a
b.
(l) O número de divisores de um inteiro não nulo é …nito.
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Demonstração
[Demonstração (de algumas alíneas)] Prova de (b): Por de…nição, se ajb
existe q 2 Z tal que b = aq ; então b = ( a)( q ), donde sai que
( a) jb, igualmente por de…nição. Inversamente, se ( a) jb, existe q 2 Z
tal que b = ( a)q (porquê?), ou seja, b = a( q ) e, portanto, ajb
(porquê?).
Analogamente se demonstra que ajb sse aj( b ).
Prova de (f): Por de…nição, se ajb e b jc existem q1 , q2 2 Z tais que
b = aq1 e c = bq2 . Assim, c = (aq1 ) q2 = a (q1 q2 ) = aq, com
q = q1 q2 2 Z; logo, ajc.
Prova de (h): Por de…nição, se ajb e ajc existem q1 , q2 2 Z tais que
b = aq1 e c = aq2 . Sendo x, y 2 Z, tem-se,
bx + cy = (aq1 ) x + (aq2 ) y = a (q1 x ) + a (q2 y ) = a (q1 x + q2 y ) ,
com (q1 x + q2 y ) 2 Z . Portanto, por de…nição, aj (bx + cy ) .
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Máximo Divisor Comum
Um inteiro d é um divisor comum dos inteiros a e b se dividir ambos,
isto é, d ja e d jb.
De…nição
Sejam a e b inteiros não ambos nulos. Ao maior dos divisores comuns de a
e b chama-se máximo divisor comum de a e b. Representa-se este
número por mdc(a, b ).
Exemplos
Os divisores comuns de 12 e 18 são 1, 2, 3 e 6, donde
mdc(18, 12) = 6.
Também mdc(12, 8) = 4 pois os divisores comuns de 12 e 8 são
2 e 4.
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O Algoritmo de Euclides (cerca de 330 a.C. – 260 a.C.)
Lema
Se a = bq + r então mdc(a, b ) = mdc(b, r ).
Exemplo
Calcular mdc(444, 210).
444 210 ) 444 = 210 2 + 24 )
210 24 ) 210 = 24 8 + 18 )
24 18 )
24 = 18 1 + 6 )
18 6 )
18 = 6 3 )
mdc(444, 210) = mdc(210, 24)
mdc(210, 24) = mdc(24, 18)
mdc(24, 18) = mdc(18, 6)
mdc(18, 6) = 6.
Conclui-se assim que mdc(444, 210) = 6.
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O Algoritmo de Euclides (cont.)
Se a, b 2 N0 , o algoritmo de Euclides consiste na seguinte sequência
de divisões inteiras:
a = bq1 + r1 ,
0
r1 < b
b = r1 q2 + r2 ,
0
r2 < r1
r1 = r2 q3 + r3
..
.
rk
4
rk
3
rk
2
= rk
= rk
= rk
0
+ rk
1 + rk
r3 < r2
3 qk 2
2,
0
rk
2
2 qk
1,
0
rk
1
< rk
< rk
3
2
1 qk .
O algoritmo tem de parar pois cada resto ri é menor que precedente.
Se o resto rk é zero, o máximo divisor comum é igual a rk
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Consequência Importante do Algoritmo de Euclides
Teorema
Sejam a e b inteiros não ambos nulos e seja d = mdc(a, b ). Então,
existem inteiros x e y tais que
d = xa + yb,
isto é, d é uma combinação linear inteira de a e b.
Exemplo
Escreva o mdc(444, 210) na forma 444x + 210y , com x, y 2 Z.
6 = 24
18
1
= 24 (210 24 8)
= (444 210 2) 9
1 = 24
9
210 = 444
210
9 + 210
|{z}
x
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( 19).
| {z }
y
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Caracterização Alternativa do mdc
Teorema
Sejam a e b inteiros não ambos nulos. Tem-se d = mdc(a, b ) se e só se:
(i) d ja e d jb; (ii) Se c ja e c jb, então c jd; (iii) d > 0.
Exemplo
O número 6 é um divisor comum de 24 e 36 mas não é o máximo divisor
comum pois 12j24, 12j36 mas 12 - 6. De facto, 12 = mdc(24, 36).
Exercícios
(a) Sejam a e b inteiros não ambos nulos. Mostre que se existem inteiros
x e y tais que ax + by = 1, então mdc(a, b ) = 1.
(b) Sendo a e b inteiros não ambos nulos e c 2 N, mostre que
mdc(ca, cb ) = c mdc(a, b ).
(c) Mostre que se mdc(a, b ) = d, então mdc(a/d, b/d ) = 1.
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