9-Fontes do Campo Magnetico

9. Fontes do Campo Magnético
9.1. A Lei de Biot-Savart
9.2. A Força Magnética entre dois Condutores Paralelos.
9.3. A Lei de Ampère
9.4. O Fluxo Magnético
9.5. A Lei de Gauss do Magnetismo.
9.6. O Campo Magnético dum Solenóide.
1
• Este capítulo trata da origem (fonte) do campo magnético: cargas em
movimento ou correntes eléctricas.
r
• Lei de Biot-Savart: cálculo de B provocado, num ponto, por um elemento de
corrente
r
• Lei de Biot-Savart + princípio de sobreposição: cálculo de B duma distribuição
de correntes.
r
• Lei de Ampère: cálculo de B para configurações muito simétricas de correntes
permanentes.
r
• A presença dum corpo material modifica, em geral o B que as correntes
eléctricas produzem.
2
9.1. A Lei de Biot-Savart (criação de um campo magnético)
• Um condutor, com uma corrente permanente, exerce uma força sobre um íman
(por exemplo: uma corrente eléctrica num fio condutor pode desviar a agulha
magnetizada de uma bússola).
• A Lei de Biot-Savart diz que se um fio condutor transporta uma corrente
r
constante, o campo magnético criado, dB , num ponto P, associado a um elemento
r
do condutor, ds , tem as seguintes propriedades:
r
r
r
r
dB
1. dB ⊥ ds ( ds está na direcção da I) e
P
r
r
dB ⊥ rˆ (vector unitário dirigido do
I
r̂ θ
elemento condutor até P).
r
r
1
2. dB ∝ 2 (r: distância entre ds e P)
r
r
ds
3
3.
r
dB ∝ I e
r
r
∝
ao
comprimento
ds do elemento condutor.
dB
r
r
4. dB ∝ sen θ; θ: ângulo entre rˆ e ds
⇒ A Lei de Biot-Savart:
K m = cte = 10−7
µ0
Km =
4π
r
r
I ⋅ ds × rˆ
dB = K m
r2
r
dB
r̂
µ 0 = 4π ×10
I
θ
r
ds
Wb
SI
A⋅ m
−7
r
P1
r P2
dB
Wb
Permeabilidade magnética do vazio
A⋅ m
r µ 0 I ⋅ dsr × rˆ
⇒ A Lei de Biot-Savart: dB =
4π
r2
B
! A Lei de Biot-Savart dá-nos o valor do campo magnético criado num ponto
r
d
s
produzido por um pequeno elemento
do condutor.
4
r
O campo magnético total B num certo ponto P, devido a um condutor de
r
dimensões finitas: soma para todo ds :
r µ 0 I dsr × rˆ Integração sobre todo o condutor.
B=
(O integrando é uma grandeza vectorial.)
4π ∫ r 2
Para o caso de um fio condutor muito comprido e direito, a expressão
anterior tem como módulo de campo magnético:
µ0 I
B=
2π r
Lei de Biot-Savart do magnetismo versus Lei de Coulomb da electrostática:
r
¾ O elemento de corrente I ⋅ ds produz um campo magnético. Uma carga
pontual produz um campo eléctrico.
r
r
2
2
E
∝
1
r
¾ dB ∝ 1 r ,
r
¾ O E de uma carga pontual é radial
r
r
r
¾ O dB de um ds é ⊥ ao ds e ⊥ ao r̂
⇒ Exercícios 1,2
5
9.2. A Força Magnética entre dois Condutores Paralelos.
• A força magnética actua sobre um condutor com uma corrente I
colocado num campo magnético externo.
• Uma corrente I num condutor gera o seu próprio campo magnético.
(a) Um fio condutor muito comprido
percorrido por uma corrente produz
linhas de campo magnético que são
concêntricas com esse fio. Se colocarmos
várias agulhas de uma bússola em redor
do fio condutor, repara-se que elas
alinham-se na direcção do campo
magnético criado.
(b) Pela regra da mão direita, se o polegar
estiver na direcção e sentido da corrente,
o encurvamento da mão dá-nos a
direcção do campo magnético.
6
⇒ Dois condutores,
cada qual com uma corrente I, exercerão forças
r
magnéticas Fm um sobre o outro.
• Dois fios condutores rectilíneos, compridos, paralelos, separados de
“a”, com I1 e I2 na mesma direcção, sentidos diferentes (fig. esquerda )
e mesmo sentido (fig. direita).
r
• F que actua sobre um dos condutores é originada pelo outro
m
condutor.
a
7
r
• O fio 2 gera um campo B2 na posição onde está o fio 1.
r
• B2 é ⊥ ao fio 1.
r
r
r r
• A Fm sobre o comprimento l do fio 1 é: F1 = I1 l × B2
•
r r
r
l ⊥ B2 ⇒ F1 = I1lB2
• Ver página 5 ⇒ O campo do fio 2 é:
1
2
B2
l
F1
I1
a
a
I2
µ 0 I2
(r=a)
B2 =
2π a
 µ 0 I 2  lµ 0 I 1 I 2
 =
F1 = I1lB2 = I1l
2π a
 2π a 
⇒ Força magnética por unidade de comprimento:
Fm µ 0 I1 I 2
=
l
2π a
r
r r
• F1 para baixo, para o fio 2 ( l × B2 para baixo)
r
r
• A F2 sobre o fio 2 é igual e oposta à F1 (terceira Lei de Newton) ⇒ os fios
atraem-se mutuamente quando as correntes têm o mesmo sentido.
r
Quando as correntes tem sentidos opostos, as Fm invertem-se e os 2 fios repelem-se.
8
9.3. A Lei de Ampère
• Um condutor com uma corrente gera um campo magnético.
• Quando um fio for percorrido por uma I constante, se o fio
for agarrado pela mão direita, com o polegar na direcção da
r
I, os outros dedos da mão curvam-se na direcção de B .
r
• As linhas de B são circunferências concêntricas com o fio.
r
• B = cte ∀P duma circunferência que tenha o centro no fio
e que esteja num plano ⊥ ao fio.
r
• B ∝I ;
r
dB ∝ 1 r 2
r
B
Ver exemplo das bússolas alinhadas
r
B
r
B é tangente em cada ponto do círculo
9
r r
• Cálculo do B ⋅ ds e a sua soma sobre um círculo centrada no fio.
r r
r r
• Sobre esta curva ds | | B ⇒ B ⋅ ds = B ⋅ ds ⋅ cos 0
•
µ 0I
B = cte =
2π r
sobre este círculo
círculo de raio r
ds
r r
µ 0I
∫ B ⋅ ds = B ∫ ds = 2π r (2π r ) = µ 0 I
→ Lei de Ampère
! O resultado pode ser aplicado ao caso geral de uma curva fechada
arbitrária atravessada por uma corrente constante.
10
r r
• A Lei de Ampère afirma que o integral de linha de B ⋅ ds
sobre
qualquer curva fechada, é igual a µ0I, onde I é a corrente constante
total que passa por qualquer superfície limitada pela curva fechada.
r r
∫ B ⋅ ds = µ 0 I
• Só vale para correntes constantes. Só tem utilidade no cálculo do
campo magnético duma configuração de correntes que tenha um
elevado grau de simetria.
• Analogia com a Lei de Gauss, onde somente tinha utilidade para
calcular o campo eléctrico em
cargas.
r r Q
∫ E ⋅ dA =
ε0
distribuições muito simétricas de
⇒ Exercícios 4,5
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9.4. O Fluxo Magnético
r
dA
• Elemento de área dA duma superfície arbitrária.
θ
r
B
r
• B : campo nesse elemento
r r
• Fluxo magnético através do elemento: B ⋅ dA
r
• dA : é um vector ⊥ à superfície e cujo módulo é
igual à área
• O fluxo magnético φm através da superfície é assim:
r r
φ m = ∫ B ⋅ dA
r
Caso especial:
r plano de área A, campo uniforme B que faz um ângulo θ com
o vector dA:
φ m = B ⋅ A ⋅ cos θ
fluxo através do plano
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r
• Se B estiver no plano ⇒ θ = 90° , φm = 0
r
dA
r
B
r
dA
r
• Se B ⊥ ao plano ⇒ θ = 0° , φm = B·A (valor máximo)
r
B
Unidades SI → [B]: Wb/m2 ou T ⇒ [φ]: weber (Wb)
1 Wb = 1 T·m2
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9.5. A Lei de Gauss do Magnetismo
• φe ≡ qi/ε0 , o número de linhas do campo eléctrico que atravessam a superfície
depende somente da carga líquida no interior da superfície. → as linhas do
campo eléctrico principiam em cargas eléctricas.
• Nos campos magnéticos, as linhas são
contínuas e são curvas fechadas: as
linhas do campo magnético provocado
por uma corrente não principiam nem
acabam em ponto nenhum.
• Em ∀ superfície fechada o número de
linhas que entram = número de linhas
que saem ⇒ φm(líquido) = 0
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• A Lei de Gauss do magnetismo afirma que o fluxo magnético líquido
através de qualquer superfície fechada é sempre nulo:
r r
∫ B ⋅ dA = 0
• Afirmação baseada no facto experimental de nunca se terem observado
pólos magnéticos isolados (ou monopolos), que talvez não existam mesmo.
• As únicas fontes conhecidas dos campos magnéticos são os dipolos
magnéticos (espiras de corrente), mesmo nos materiais magnéticos.
• Todos os efeitos magnéticos nos meios materiais podem ser explicados em
termos dos momentos de dipolo magnéticos (espiras de corrente efectivas)
associadas aos electrões e aos núcleos.
⇒ Exercício 8
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9.6. O Campo Magnético dum Solenoide
• Um solenóide é constituído por um fio condutor comprido, enrolado em
r
forma duma hélice ⇒ é possível ter um B razoavelmente uniforme, num
pequeno volume no interior do solenóide, caso as espiras estejam
suficientemente juntas.
• Se as espiras forem muito espaçadas, cada qual pode ser encarada como uma
r
espira circular, e o B resultante é igual à soma vectorial dos campos
produzidos por cada uma das espiras, daí as de cima cancelarem as de baixo.
N
S
espiras espaçadas
Os campos magnéticos cancelam-se
espiras muito cerradas
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• Solenóide ideal: espiras muito juntas e comprimento grande em comparação
r
r
com o raio das espiras ⇒ B no exterior é fraco comparado com o B no
r
interior; no interior B é uniforme numa região de grande volume.
r
• Lei de Ampère: B no interior do solenóide ideal
r
B no interior é uniforme e paralelo ao eixo
r
••••• • r
B no exterior = 0
b
a
d
r
B
l
c
B
r r b r r c r r d r r a r r
∫ B ⋅ ds = ∫ B ⋅ ds + ∫ B ⋅ ds + ∫ B ⋅ ds + ∫ B ⋅ ds
a
b
= Bl
c
=0
r
r
B ⊥ ds
d
=0
r r
B=0
=0
r
r
B ⊥ ds
r r
∫ B ⋅ ds = µ 0 I
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r r
∫ B ⋅ ds = Bl = µ 0 NI
; N: nº espiras no comprimento l ⇐ Lei de Ampère
Corrente total que atravessa a área limitado pelo
rectângulo = I em cada espira × nº de espiras.
N
B = µ 0 I = µ 0n I
l
n: nº de espiras por unidade de comprimento
Só vale para os pontos numa vizinhança do centro dum solenóide
muito comprido.
pólo norte
⇒ Exercício 9
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