Matemática - UFFS

Universidade Federal da Fronteira Sul
Processo Seletivo
Edital no 001/2011
http://uffs.sel.fepese.org.br
Caderno
de Prova
agosto
7
7 de agosto
das 14 às 17 h
3 h de duração*
40 questões
S06 Matemática
Confira o número que você obteve no ato da inscrição com o que está indicado no cartão-resposta.
* A duração da prova inclui o tempo para o preenchimento do cartão-resposta.
Instruções
Atenção!
Para fazer a prova você usará:
ƒƒ Não é permitido qualquer tipo de consulta durante a realização
da prova.
ƒƒ Para cada questão são apresentadas 5 (cinco) alternativas diferentes de respostas (a, b, c, d, e). Apenas uma delas constitui a
resposta correta em relação ao enunciado da questão.
ƒƒ A interpretação das questões é parte integrante da prova, não
sendo permitidas perguntas aos fiscais.
ƒƒ Não destaque folhas da prova.
ƒƒ este caderno de prova;
ƒƒ um cartão-resposta que contém o seu nome, número de inscrição e espaço para assinatura.
Verifique, no caderno de prova, se:
ƒƒ faltam folhas e a sequência de questões está correta.
ƒƒ há imperfeições gráficas que possam causar dúvidas.
Comunique imediatamente ao fiscal qualquer irregularidade.
Ao terminar a prova, entregue ao fiscal o caderno de prova completo e o cartão-resposta devidamente preenchido e assinado.
.
Universidade Federal da Fronteira Sul
Prova Escrita de Conhecimentos
1. Sejam f : IR  IR e g : IR  IR funções reais.
Considere as afirmativas abaixo:
1. Se f e g são diferenciáveis, então
(f ° g)’(a) = f’(a)∙g’(a).
2. Se f é contínua e lim f(x) > 0, então existe um
x→a
número real δ > 0 tal que f(x) > 0 para todo x
∈ (a – δ,a + δ).
3. Se lim f(x) e lim g(x) não existem, então lim
x→a
x→a
x→a
f(x)∙g(x) não existe.
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas
corretas.
a. ( )
b. ( X )
c. ( )
d. ( )
e. ( )
É correta apenas a afirmativa 1.
É correta apenas a afirmativa 2.
É correta apenas a afirmativa 3.
São corretas apenas as afirmativas 2 e 3.
São corretas as afirmativas 1, 2 e 3.
2. A área limitada pelas curvas y = sen x, y = cos x,
p
x = 0 e x =
é igual a:
4
3. Seja f:[a,b]  IR uma função contínua em [a,b] e
diferenciável em (a,b) cuja derivada é limitada, isto é,
existe um número real M, tal que |f’(x)| ≤ M para todo
x ∈ (a,b).
Considere as afirmativas abaixo:
1. f é uma função limitada.
2. Para todo x, y ∈ (a,b), tais que x < y, existe
f(y) − f(x)
ξ ∈ (x,y) tal que f '(ξ) =
.
y−x
3. f é contínua em (a,b).
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas
corretas.
a. ( )
b. ( )
c. ( )
d. ( )
e. ( X )
É correta apenas a afirmativa 3.
São corretas apenas as afirmativas 1 e 2.
São corretas apenas as afirmativas 1 e 3.
São corretas apenas as afirmativas 2 e 3.
São corretas as afirmativas 1, 2 e 3.
4. Suponha que a posição de uma partícula seja dada
pela equação abaixo:
=
=
s f(t)
a. ( )2.
1
.
2
3
c. ( )
.
2
b. ( )
d. ( X )
2 −1.
e. ( )2 2 .
(40 questões)
t −1
t
onde t é o tempo em segundos e s é dado em metros.
Logo, podemos afirmar que a velocidade da partícula,
no tempo t = 2 é de:
1
a. ( )
2
1
b. ( X )
4
1
c. ( )
6
2
d. ( )
3
3
e. ( )
2
m/s.
m/s.
m/s.
m/s.
m/s.
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Processo Seletivo
5. O valor mínimo da função f:(0,4]  IR, dada por
1
f(x) = 2 é:
x
a. ( )6.
8. Seja f(x,y) : IR2  IR definida por:
x

 2
f(x,y) =  x + y 2

0

se (x,y) ≠ (0,0)
se (x,y) = (0,0)
b. ( )4.
Então
1
c. ( ) .
2
1
d. ( ) .
4
1
e. ( X )
.
16
a. ( ) é igual a –1.
b. ( ) é igual a 0.
c. ( ) é igual a
6. Considere as afirmativas abaixo:
1. Se f : IR  IR é uma função integrável, então f
é contínua.
2. A área abaixo do gráfico da função f:[–7,7]  IR,
dada por f(x) = x7, é igual a zero.
3. Se f : IR  IR é uma função contínua, então,
x
d
f(t)dt = f(x) .
para todo x ∈ (–1,1), vale que
dx ∫0
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas
corretas.
a. ( )
b. ( X )
c. ( )
d. ( )
e. ( )
lim f(x,y) :
(x,y)→(0,0)
É correta apenas a afirmativa 1.
É correta apenas a afirmativa 3.
São corretas apenas as afirmativas 1 e 3.
São corretas apenas as afirmativas 2 e 3.
São corretas as afirmativas 1, 2 e 3.
1
.
2
d. ( ) é igual a 1.
e. ( X ) não existe.
9. O limite
xln(1− y 3 ) + x y
é igual a:
(x,y)→(1,0)
e y − 2x
lim
a. ( X ) –1.
1
b. ( )– .
2
c. ( )0.
1
d. ( ) .
2
e. ( )1.
10. A soma dos valores que a função
f(x,y) = x2 + y2 – 8x + 2y + 7
7. Assinale a alternativa que indica o resultado
­correto para lim+ 2ln(x) + 2 .
atinge em seu(s) mínimo(s) local(is) é:
a. ( )∞
b. ( )4
c. ( X ) 2
d. ( )0
e. ( ) Não existe.
a. ( X ) –10.
b. ( )–8.
c. ( )4.
d. ( )8.
e. ( )10.
x→0
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11. A equação do plano tangente à superfície de
equação z = 1− x 2 − y 2 no ponto (0,0,1) é:
15. Seja (fn) uma sequência de funções, onde
fn : [0,1]  [0,1] é definida por fn(x) = xn.
a. ( )
b. ( )
c. ( X )
d. ( )
e. ( )
Considere as afirmativas abaixo:
x = 1.
y = 1.
z = 1.
z = x.
z = x + y.
12. O valor de
p
2
∫ ∫
0
p
2
x
sen(y 2 )dydx é:
3
a. ( )– .
2
1
b. ( )– .
2
1
.
2
3
e. ( ) .
2
d. ( X )
1 ex
∫∫
0 0
x dydx é:
Considere as afirmativas abaixo:
1. Se (fn) converge uniformemente, então (fn)
converge pontualmente.
2. Se (fn) é uma sequência limitada e (fn) converge pontualmente para a função f, então (fn)
converge uniformemente para f.
14. A inclinação da reta tangente à curva
y = sen2x – ln x no ponto (p,ln
1
b. ( X ) – .
p
c. ( )0.
1
d. ( ) .
p
É correta apenas a afirmativa 2.
É correta apenas a afirmativa 3.
São corretas apenas as afirmativas 1 e 2.
São corretas apenas as afirmativas 2 e 3.
São corretas as afirmativas 1, 2 e 3.
16. Seja (fn) uma sequência de funções, onde
fn : [0,1]  IR.
a. ( )–2.
b. ( )–1.
c. ( )0.
d. ( X ) 1.
e. ( )2.
a. ( )–p.
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas
corretas.
a. ( X )
b. ( )
c. ( )
d. ( )
e. ( )
c. ( )0.
13. O valor de
1. (fn) converge uniformemente para a
função zero em [0,1].
2. (fn) converge pontualmente para a
função zero em [0,1).
3. (fn) converge pontualmente para
uma função contínua em [0,1].
1
) é:
p
3. Se fn são integráveis para todo n, e (fn) converge uniformemente para a função f, então f
é integrável.
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas
corretas.
a. ( )
b. ( )
c. ( )
d. ( X )
e. ( )
É correta apenas a afirmativa 1.
É correta apenas a afirmativa 2.
É correta apenas a afirmativa 3.
São corretas apenas as afirmativas 1 e 3.
São corretas as afirmativas 1, 2 e 3.
e. ( )p.
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17. Considere as afirmativas abaixo sobre a sequência
(an), onde an = (–1)n+1:
20. Um vetor perpendicular simultaneamente a


v = (1,1,0) e u = (0,1,1) é:
1. (an) converge para zero.
a. ( X ) ( 2 ,– 2 , 2 ).
2. (an) possui uma subsequência que converge
para 1.
b. ( )( 2 ,– 2 ,– 2 ).
3. (an) não converge.
c. ( )( 2 , 2 ,– 2 ).
d. ( )(1,1,1).
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas
corretas.
e. ( )(–1,1,1).
a. ( )
b. ( )
c. ( )
d. ( X )
e. ( )
21. A área do paralelogramo determinado pelos veto

res v = (1,2,1) e u = (0,–1,1) é:
É correta apenas a afirmativa 1.
É correta apenas a afirmativa 2.
São corretas apenas as afirmativas 1 e 2.
São corretas apenas as afirmativas 2 e 3.
São corretas as afirmativas 1, 2 e 3.
18. Considere as afirmativas abaixo:
1. Se uma sequência de números reais é convergente, então ela é limitada.
2. Toda sequência limitada de números reais é
convergente.
3. Toda sequência limitada de números reais
possui uma subsequência convergente.
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas
corretas.
a. ( )
b. ( )
c. ( X )
d. ( )
e. ( )
É correta apenas a afirmativa 1.
É correta apenas a afirmativa 3.
São corretas apenas as afirmativas 1 e 3.
São corretas apenas as afirmativas 2 e 3
São corretas as afirmativas 1, 2 e 3.
19. A soma dos cem primeiros termos da sequência
(an), onde an = n para todo n = 1, 2, 3, … é:
a. ( )4950.
b. ( )5000.
c. ( X ) 5050.
d. ( )5550.
e. ( )10001.
Página 6
a. ( )1.
b. ( )2.
c. ( )3.
d. ( ) 2 .
e. ( X ) 11 .
22. Considere as afirmativas abaixo:
1. Toda função afim é uma aplicação linear de IR
em IR.
2. Toda aplicação linear de IR em IR pode ser
representada por uma função afim.
3. Se f : IR  IR é uma função afim, então f(0) = 0.
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas
corretas.
a. ( )
b. ( X )
c. ( )
d. ( )
e. ( )
É correta apenas a afirmativa 1.
É correta apenas a afirmativa 2.
É correta apenas a afirmativa 3.
São corretas apenas as afirmativas 1 e 2.
São corretas as afirmativas 1, 2 e 3.
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23. Considere as afirmativas abaixo:
1. A função f(x) = log x é limitada.
x
1
2. Para todo x ∈ (0,∞), logx = ∫ dt .
t
1
3
3. ∫ logx = −2
1
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas
corretas.
a. ( )
b. ( X )
c. ( )
d. ( )
e. ( )
É correta apenas a afirmativa 1.
É correta apenas a afirmativa 2.
São corretas apenas as afirmativas 1 e 2.
São corretas apenas as afirmativas 1 e 3.
São corretas apenas as afirmativas 2 e 3.
24. Considere as afirmativas abaixo:
1. A funçao f(x) = ex é crescente.
2. Existe x ∈ IR tal que ex = 0.
3. lim e x = 0 .
x→−∞
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas
corretas.
a. ( )
b. ( )
c. ( X )
d. ( )
e. ( )
É correta apenas a afirmativa 1.
São corretas apenas as afirmativas 1 e 2.
São corretas apenas as afirmativas 1 e 3.
São corretas apenas as afirmativas 2 e 3.
São corretas as afirmativas 1, 2 e 3.
25. O volume do paralelepípedo determinado pelos



vetores u = (1,0,1), v = (0,–2,1) e w = (1,1,0) é:
26. O volume do paralelepípedo determinado pelos
pontos A(0,1,0), B(0,0,1), C(–1,2,1) e D(1,1,1) é (são):
1
a. ( ) unidades.
3
1
b. ( ) unidades.
2
c. ( ) 1 unidade.
d. ( ) 2 unidades.
e. ( X ) 3 unidades.
27. Dado o sistema abaixo:
1
x + y + 2z =

2
3x + 2y − z =
4x + 3y + az =
b

A soma dos valores de a e b para que o sistema tenha
infinitas soluções é:
a. ( )5.
b. ( X ) 4.
c. ( )3.
d. ( )1.
e. ( )0.
28. Dada a matriz abaixo:
2 1 3 
A =  3 1 2 
0 1 −1
a. ( )0
1
b. ( ) unidades de volume.
2
c. ( X ) 1 unidade de volume.
d. ( ) 2 unidades de volume.
e. ( ) 3 unidades de volume.
A soma dos autovalores dessa matriz é:
a. ( )–2
b. ( )0
c. ( )1
d. ( X ) 2
e. ( )3
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29. Assinale a alternativa correta, em relação a um
sistema de equações lineares com duas equações e
três incógnitas.
31. Seja T : IR4  IR4 a transformação linear dada por
T(x, y, z, w) = (0, x, y, z). O núcleo (ou espaço nulo) de T
é dado por todos os vetores da forma:
a. ( ) Um sistema deste tipo é sempre impossível
(isto é, não possui solução)
b. ( ) Um sistema deste tipo é sempre possível e
indeterminado.
c. ( ) Um sistema deste tipo é sempre possível e
determinado.
d. ( ) Em geral, sistemas deste tipo são possíveis e
determinados (isto é, possuem solução unica),
mas é possível que sistemas deste tipo sejam
possíveis e indeterminados.
e. ( X ) Em geral, sistemas deste tipo são possíveis
e indeterminados (isto é, possuem infinitas
soluções), mas é possível que sistemas deste
tipo sejam impossíveis (isto é, não possuam
solução).
a. ( X )
b. ( )
c. ( )
d. ( )
e. ( )
32. Seja T : IR3  IR4 a transformação linear dada por
T(x, y, z) = (x, 0, y, y). A imagem de T consiste de todos
os vetores da forma:
a. ( )
b. ( )
c. ( )
d. ( X )
e. ( )
30. Considere as afirmações abaixo:
1. Seja A uma matriz n × n. Se zero for um autovalor de A, então A é inversível.
2. Se A é uma matriz simétrica real n × n, então
A + iI é uma matriz inversível, onde I denota a
matriz identidade n × n.
3. Seja A uma matriz real n × n. Se os vetores x
e y em IRn são autovetores de A, então x + y
também é autovetor de A.
{(0, 0, 0, w) : w ∈ IR}
{(0, x, y, z) : x, y, z ∈ IR}
{(x, 0, 0, 0) : x ∈ IR}
{(x, y, z, 0) : x, y, z ∈ IR}
{(x, y, z, w) : x, y, z, w ∈ IR}
{(0, z, 0, 0) : z ∈ IR}
{(x, 0, y) : x, y ∈ IR}
{(x, y, z) : x, y, z ∈ IR}
{(x, 0, y, y) : x, y ∈ IR}
{(x, 0, y, z) : x, y, z ∈ IR}
33. Considere as afirmativas abaixo:
1. Um subespaço de IR2 gerado por um único
vetor é uma reta.
2. {(0,1),(1,1)} é um conjunto gerador de IR2.
3. Se todo vetor x de um espaço vetorial X é uma
combinação linear de v e w, então o conjunto
de vetores {u, v, w} gera o espaço vetorial X.
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas
corretas.
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas
corretas.
a. ( )
b. ( X )
c. ( )
d. ( )
e. ( )
a. ( )
b. ( )
c. ( )
d. ( X )
e. ( )
É correta apenas a afirmativa 1.
É correta apenas a afirmativa 2.
São corretas apenas as afirmativas 1 e 2.
São corretas apenas as afirmativas 1 e 3.
São corretas apenas as afirmativas 2 e 3.
Página 8
É correta apenas a afirmativa 2.
São corretas apenas as afirmativas 1 e 2.
São corretas apenas as afirmativas 1 e 3.
São corretas apenas as afirmativas 2 e 3.
São corretas as afirmativas 1, 2 e 3.
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34. Seja F(IR) o espaço vetorial das funções reais.
Dados os conjuntos:
S = {f ∈ F(IR) : f(x) = f(2x), ∀x ∈ IR}
T = {f ∈ F(IR) : f(0) > 0}
U = {f ∈ F(IR) : f(x) = f(–x), ∀x ∈ IR}
V = {f ∈ F(IR) : f(0) = 1}
Assinale a alternativa correspondente aos conjuntos
que são subespaços de F(IR).
a. ( X )
b. ( )
c. ( )
d. ( )
e. ( )
SeU
TeV
S, V e T
Somente U
Todos os subconjuntos são subespaços de
F(IR).
37. Considere as afirmativas abaixo:
1. lim ln(x) = 1
x→+∞
2. lim+ ln(x) = −∞
x→0
3. A função ln (–x) é uma função decrescente.
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas
corretas.
a. ( )
b. ( )
c. ( )
d. ( X )
e. ( )
É correta apenas a afirmativa 3.
São corretas apenas as afirmativas 1 e 2.
São corretas apenas as afirmativas 1 e 3.
São corretas apenas as afirmativas 2 e 3.
São corretas as afirmativas 1, 2 e 3.
1
38. O lado de um triângulo equilátero de altura cm
6
mede:
35. Seja f(x) = ax2 + bx + c.
a. ( ) 3 cm
Se f(1) = 4 e f(–1) = 0, então a soma a + c é igual a:
b. ( ) 6 cm
a. ( )–1.
b. ( )0.
c. ( )1.
d. ( X ) 2.
e. ( )4.
36. Sabendo-se que a população inicial de uma certa
espécie é de 12 indivíduos e que a população triplica
a cada dia, podemos afirmar que o número de dias
necessários para que a população seja igual a 78732
indivíduos é:
a. ( )
b. ( )
c. ( X )
d. ( )
e. ( )
20 dias.
10 dias.
8 dias.
7 dias.
5 dias.
3
cm
3
6
d. ( )
cm
6
3
e. ( X )
cm
9
c. ( )
39. A dimensão do subespaço vetorial de IR4 gerado
pelos vetores (1, –1, 4, –5), (2, 1, 5, –1), (0, 1, –1, 3) e
(3, 4, 5, 6) é:
a. ( )5.
b. ( )4.
c. ( X ) 3.
d. ( )2.
e. ( )1.
Página 9
Processo Seletivo
40. Considere as afirmativas abaixo:
1. Num triângulo qualquer, o quadrado do lado
oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos
quadrados dos outros dois lados, menos duas
vezes o produto de um desses lados pela projeção do outro sobre ele.
2. Todo quadrilátero convexo que tem dois lados
paralelos é um paralelogramo.
3. Todo quadrilátero que tem dois lados adjacentes e dois ângulos consecutivos congruentes
é retângulo.
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas
corretas.
a. ( X )
b. ( )
c. ( )
d. ( )
e. ( )
É correta apenas a afirmativa 1.
São corretas apenas as afirmativas 1 e 2.
São corretas apenas as afirmativas 1 e 3.
São corretas apenas as afirmativas 2 e 3.
São corretas as afirmativas 1, 2 e 3.
Página 10
Página
em Branco.
(rascunho)
Página
em Branco.
(rascunho)
Página
em Branco.
(rascunho)
Página
em Branco.
(rascunho)
.
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