Material didático

FÍSICA
Ensino Médio
Subsídios para um estudo numa perspectiva histórica e experimental
Carlos Noel Mazia
Polônia Altoé Fusinato
APRESENTAÇÃO
Apresentamos o presente material visando uma contribuição para que, ao nos
apropriarmos do conhecimento físico, possamos compreender a ciência como construção
humana, isto é, uma construção que tem a dimensão histórica e social.
A história nos diz que um grande número de homens e mulheres não se contentaram
em apenas contemplar a beleza do universo, mas se embrenharam na busca incessante de
respostas às suas perguntas. E é graças aos seus trabalhos que hoje podemos nos apropriar de
conhecimentos com uma facilidade que eles não tinham durante o processo de elaboração da
ciência. Não é fruto do trabalho de uma única pessoa, mas de gerações. Newton afirmou isto
dizendo que estava assentado nos ombros de gigantes. Ao estudarmos a história da ciência,
veremos que aqueles que a elaboraram não eram gênios que viviam em redomas, mas seres
humanos imersos nas encruzilhadas das relações políticas, econômicas e sociais num
determinado período da história.
Apresentamos uma coletânea de subsídios para o estudo da mecânica através de
experimentos simples bem como para um aprofundamento no estudo da história, visando a
compreensão da evolução dos conceitos de força e movimento ao longo das gerações.
Para compreendermos a natureza, fazemos uso de sua representação que são as
equações matemáticas. A linguagem matemática aqui requerida é do nível do Ensino
Fundamental, portanto, do completo domínio do estudante.
As atividades propostas objetivam que você, juntamente com seu professor,
complementem este material, tornando-nos parceiros na busca do conhecimento.
SUMÁRIO
Apresentação............................................................................................................................02
Capitulo I
1.1 – Introdução......................................................................................................................07
Capitulo II
2.1 - Grandezas e suas medidas ............................................................................................ 12
2.2 – Sistema Métrico Decimal ............................................................................................ 19
A notação científica.................................................................................................................21
Capitulo III
3.1 - Estudo dos movimentos...................................................................................................28
3.2 - Uma visão histórica do movimento ................................................................................34
3.3 - Galileu e as leis domovimento.........................................................................................35
3.4 - Fundamentação teórica....................................................................................................43
3.5 – Resumo das equações do movimento............................................................................ 52
Capitulo IV
4.1 - Grandezas escalares evetoriais........................................................................................54
4.1.1 - Operações com vetores – cálculo vetorial....................................................................56
Capitulo V
5.1 - Interações........................................................................................................................ 63
5.2 - Quantidade de movimento...............................................................................................64
5.3 - Variação da quantidade de movimento........................................................................... 68
5.4 - Impulso de uma força......................................................................................................71
5.5 - Evolução histórica dos conceitos de força e movimento............................................... 73
5.6 - A teoria do ímpetus.........................................................................................................76
5.7 - Alguns tópicos dos trabalhos de Isaak Newton..............................................................79
5.7.1 - Segunda lei de Newton................................................................................................79
5.8 - Galileu Galilei e o movimento uniforme.......................................................................82
5.9 - Conservação da quantidade de movimento.e as leis do movimento..............................83
5.9.1 – Terceira lei de Newton............................................................................................. 91
5.9.2 – Primeira lei de Newton............................................................................................ 93
5.10 - Forças de resistências.................................................................................................. 97
5.11 – As forças de resistências na visão aristotélica............................................................ 98
5.12 - Forças de reação das superfícies de apoio...................................................................100
5.13 - Lei de Hooke – força elástica......................................................................................103
5.14 – Retomando o estudo das forças de atrito....................................................................107
5.14.1 – Plano horizontal com atrito.....................................................................................109
5.14.2 – Plano inclinado sem atrito...................................................................................... 112
5.14.3 – A decomposição da força-peso............................................................................... 114
5.14.4 - Plano inclinado com atrito........................................................................................118
Capitulo VI
6.1 – Trabalho e energia........................................................................................................126
6.2 – Energia cinética ...........................................................................................................128
6.3 – Energia potencial .........................................................................................................128
6.4 – Sinal do trabalho...........................................................................................................131
6.5 – Teorema da energia cinética.........................................................................................132
6.6 – Energia potencial gravitacional....................................................................................132
6.7 – Energia potencial elástica.............................................................................................132
6.8 – Energia mecânica..........................................................................................................133
6.9 – Principio da Conservação da energia............................................................................133
6.10 – Potência.......................................................................................................................134
6.11 – Um pouco de história..................................................................................................140
6.12 – René Descartes ...........................................................................................................141
6.13 – Gottfried Wilhelm Leibniz..........................................................................................142
6.14 – A polêmica..................................................................................................................143
Capitulo VII
7.1 – Gravitação universal.....................................................................................................146
7.2 – Contribuições históricas................................................................................................147
7.3 – Astrônomos da Grécia Antiga.......................................................................................149
7.4 - A teoria dos epiciclos................................................................................................... 154
7.5 - Sistema geocêntrico de Ptolomeu................................................................................. 155
7.6 - As claridades de um novo paradigma........................................................................... 156
7.7 – Definição V dos Princípios Matemáticos de Filosofia Natural de Isaak Newton ....... 171
Capitulo VIII
8.1 - Ação à distância ou campo mediador?.........................................................................179
8.2 – Conceito de campo......................................................................................................181
8.3 - Comportamentos de corpos lançados no campo gravitacional....................................181
8.4 - Lançamentos vertical, obliquo e horizontal.................................................................184
Capitulo IX
9.1 - Novas mudanças de paradigmas................................................................................. 189
9.2 - Teoria da relatividade restrita ou especial ..................................................................190
9.3 - Teoria da relatividade geral........................................................................................ 190
Bibliografia......................................................................................................................... 191
CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO
07
1.1 - INTRODUÇÃO
Caro estudante:
Dando-se continuidade ao estudo das Ciências Naturais nesta nova etapa de
construção do conhecimento, estudar-se-á os campos da Física, da Química e da Biologia,
oportunizando ampliar a compreensão da natureza e dos fenômenos que nela ocorrem.
Costuma-se classificar tais fenômenos em físicos, químicos e biológicos. Em nossas aulas de
física enfocaremos os fenômenos físicos, não perdendo de vista que o homem é a unidade do
todo, isto é, seus conhecimentos não são compartimentos estanques nas suas relações com o
mundo e com a sociedade.
Imagine um indivíduo de classe média e que no interior de sua casa pode-se encontrar:
computador, rádio, televisão, telefone, geladeira, forno de microondas, chuveiro elétrico, ferro
elétrico, máquina de lavar roupa, aparelho condicionador de ar, carro na garagem e outros.
Participando de um campeonato de balonismo, ele pode visualizar:
• modificação do meio ambiente devido à intervenção do homem tais como usinas
hidrelétricas, barragens, pontes, cidades e outros.
Reflita um pouco sobre os tópicos acima e a enorme quantidade de conhecimentos
embutidos nos produtos do trabalho humano. São apenas alguns exemplos da presença da
física perto de nós. Tudo que nos rodeia, que nos envolve constitui um mundo a ser
desvendado pela curiosidade que é inerente ao ser humano, pelos seus questionamentos, pela
busca de respostas aos seus problemas.
Desde seu nascimento até o presente momento, você interage com o mundo e com a
sociedade, construindo conhecimentos, elaborando teorias e propondo soluções. Mas estes
conhecimentos, estes pensamentos precisam ser reelaborados, reestruturados e sistematizados
para que possam se constituir em conhecimento científico. E isto passa pelo conhecimento
escolar.
Para facilitar nossa compreensão do mundo que aí está, apresentaremos na atividade
(1) algumas ações que o homem realiza e/ou produto do trabalho humano que utiliza,
relacionando-as com os respectivos ramos da física. Descreva nas respectivas colunas o ramo
da física à qual pertence e qual é o seu objeto de estudo.
08
ATIVIDADES – 1
Continuação da ATIVIDADE - 1
ATIVIDADE
-Jogar bola, andar de bicicleta,
apertar um parafuso.
-Perfurar o solo com bateestaca.
-Usar um elevador para
subir/descer em um edifício.
-Usar um carro para se
deslocar.
-O vento empurra um veleiro.
-Cozinhar alimentos ou assar
um bolo no fogão a gás.
-Usar agasalhos no inverno.
-Conservar alimentos usando
geladeira.
-Manter a caldeira alimentada
pelo fogo.
-Fotografar
pessoas
e
paisagens.
-Observar uma cultura de
bactérias no microscópio.
-Assistir a um filme no
cinema.
-Observar as cores do arco-íris
num dia de chuva e sol.
-Num dia seco e quente, o
asfalto da rodovia aparenta
estar molhado.
-Ouvir o som de um piano.
-A poluição sonora é um
incômodo.
-Falar ao telefone/celular.
-Ouvimos o estrondo de um
trovão bem depois do clarão.
-Assistir ou participar de um
campeonato de surf.
-Como o som da rádio chega
até nossos ouvidos.
-O efeito do impacto de uma
pedrinha
na
superfície
tranqüila de um lago.
RAMOS DA FÍSICA
OBJETO DE ESTUDO
09
ATIVIDADES
RAMOS DA FÍSICA
OBJETO DE ESTUDO
-Levar um choque elétrico ao
manusear um circuito.
-Um simples relê foi o
causador da queda do avião
da TAM, em 1999.
-Uma bússola não funciona
perto de cabos de alta tensão.
-Por que tem ímãs entre os
componentes de um motor
elétrico?
Você consegue imaginar a enorme quantidade de conhecimentos que a humanidade
acumulou desde o início da civilização até os dias de hoje, principalmente no campo da
Física? Quase tudo o que vemos e usufruímos é fruto do trabalho humano. É através do
trabalho
que o homem intervém na natureza, buscando respostas para suas perguntas e soluções para
seus problemas.
Mas, como era a relação do homem com a natureza nos primórdios da vida? Como ele
explicava os fenômenos naturais, como as descargas elétricas (raios), o fogo, as tempestades,
as enchentes dos rios etc? Dos seus estudos de História, você pode concluir que nossos
ancestrais buscavam a explicação na mitologia: interpretavam os fenômenos como
manifestações dos humores dos deuses. Adotavam uma atitude de reverência para com a
natureza.
À medida que os conhecimentos foram se acumulando, o homem passou a dominar a
natureza sem atentar para os seus limites. Até que ponto a natureza permite que a
subjuguemos? Será que a natureza não está cobrando a fatura pela não respeito aos seus
limites? Como podemos “elaborar” uma ciência no sentido de despertar a consciência para a
necessidade de uma “parceria” ou “aliança” com a natureza, tendo em vista que o homem é
parte dela?
Organizando-nos em grupos, desenvolveremos a atividade (2), procurando refletir
sobre o comportamento do homem, a partir de conhecimentos que você construiu ao longo da
vida.
01) Expliquem como era o habitat, o meio de subsistência e de defesa de alguns animais,
como os elencados abaixo:
10
ATIVIDADES - 02
ANIMAIS
NOS PRIMÓRDIOS DA
VIDA HUMANA
NOS DIAS ATUAIS
Felinos (onça, leopardo,
leão, jaguatirica e outros)
Répteis (cobras, lagartos e
outros)
Mamíferos
ruminantes
(bois, cabras, ovelhas e
outros)
Aves [de ninhos mais
elaborados
(joão-de-barro,
beija-flor e outros0]
Roedores (como o castor...)
Insetos
(como
abelhas,
cupins, formigas e outros)
Homem
02) O que se pode constatar da sua resposta ao item (01)?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
03) Animais como a abelha, o cupim, a formiga e o castor fazem uso de ferramentas e/ou
instrumentos não-naturais para realizar suas atividades? _________ E o homem?__________
04) Então, o que diferencia as atividades do homem das atividades dos outros animais?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
CAPÍTULO
II
GRANDEZAS E SUAS MEDIDAS
12
2.1 - GRANDEZAS E SUAS MEDIDAS
Para garantir alimentação e defesa contra os animais e outros inimigos e contra as
intempéries, o homem primitivo passa a agir intencionalmente sobre a realidade. Esta ação é
fruto da sua capacidade de observar, comparar e relacionar. A necessidade de fiscalizar seus
bens (animais do rebanho, por exemplo) obrigou-o a relacioná-los com um conjunto de
pedrinhas ou sementes, ensejando assim, a criação dos números. Observando e admirando os
céus, descobre a regularidade e a periodicidade dos corpos celestes e aprende a relacionar tais
períodos com o desenvolvimento das plantas (agricultura) e dos animais (pecuária). Surgiu
assim a tentativa de medição do tempo. A comparação dos tamanhos e massas (“pesos”) de
um peixe com outro, ou de animal com outro, abatidos na caça se constituiu num processo de
medição. Nestas épocas remotas, nos primórdios da civilização, a técnica desenvolvida pelo
homem era bastante rudimentar e primitiva, por isso os processos de medição usados eram
bastante simples. O ato de medir, de realizar trabalho e, portanto de intervir na natureza,
caracteriza o homem como um ser que faz cultura. Neste sentido, o ato de medir, de
comparar, de estimar está ligado ao começo da cultura humana.
Sendo o homem um ser social, houve um marco na sua evolução a partir do qual ele
passou a viver em grupos, com as necessárias regras para o convívio social. À medida que o
número de indivíduos cresceu, maior tornou-se a necessidade de medição. Inicialmente os
processos de medidas eram bastante simples, por basearem-se nas partes do próprio corpo:
comprimento do braço, comprimento da coxa, largura da mão, grossura do dedo e
comprimento do passo. Por isto, as unidades associadas a estes processos são chamadas de
antropométricas. Usavam-se também utensílios de uso cotidiano, como cuias e vasilhas.
Neste texto, as palavras tamanho (dimensões), tempo e massa ( “peso”) constituem
uma categoria chamada grandeza. Então: grandeza é tudo que pode ser medido.
Para melhor entendimento, respondamos algumas questões.
ATIVIDADES - 1
01) O que significa mensurar?
___________________________________________________________________________
13
02) O amor e o ódio entre as pessoas, o ciúme, a inveja, o cansaço, a coragem e o medo são
grandezas mensuráveis?________ Explique por quê?_________________________________
___________________________________________________________________________
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03) Você pode usar uma balança para medir o comprimento de uma rua?_______________
Por que?____________________________________________________________________
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04) Você pode usar o cronômetro para medir a massa de um corpo?______________Por que?
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05) O que significa então o ato de medir uma grandeza? Reflita, pesquise e escreva sua
resposta no retângulo abaixo:
2.1.1 - Medidas de comprimento
Os processos de medida baseados nas partes do corpo humano mostraram-se
inadequados com o surgimento das primeiras civilizações devido às diferenças anatômicas
entre os indivíduos e às diferenças entre os povos. É possível termos uma idéia de quão
confusas e difíceis eram as relações comerciais entre os indivíduos de uma mesma civilização.
Devido às suas diferenças anatômicas, as medidas de comprimento usadas nas transações
eram conflituosas. Para facilitar o comércio no interior de uma mesma comunidade, padrões
de medidas de comprimento foram criados, geralmente baseados nas medidas do corpo do rei.
Algumas dessas medidas padrão continuam sendo empregadas até hoje, principalmente na
Inglaterra e nos Estados Unidos. Veja alguns exemplos:
• Polegada: corresponde à largura do polegar
1 polegada = 2,54 cm
• Pé: corresponde ao comprimento do pé.
1 pé = 30,48 cm
1 pé = 12 polegadas
• Jarda: corresponde à distância entre o nariz e a ponta do polegar (cabeça
erguida, braço esticado e mão fechada).
14
1 jarda = 91,44 cm
1 jarda = 3 pés
• Braça: distância do dedo médio da mão esquerda ao dedo médio da mão
direita, braços e mãos esticados (Telecurso 2000 – aula 1).
1 braça ≈ 1,80 m
- terrestre = 1.609 m
• Milha
- marítima = 1.852 m
De acordo com Moscati (2005), a milha era uma medida de distância na Roma Antiga,
e correspondia à distância percorrida por um centurião romano ao completar mil passos
duplos em sua marcha.
Existem unidades padrão cujas fontes históricas são discordantes. É o caso do côvado
egípcio. Uma fonte nos diz que se trata de uma medida de comprimento cujo padrão é a
distância entre o cotovelo e a ponta do dedo médio, estando o braço e o antebraço dobrados
em ângulo reto e a mão esticada. 1 O padrão real correspondia a 7 palmos ou 28 dedos,
equivalendo atualmente a 52,3 cm. Outra fonte dá o nome de cúbito a esta medida. Das suas
aulas de ciências, você sabe que cúbito é um dos ossos do antebraço. Para esta mesma fonte,
côvado era uma medida padrão equivalente a três palmos, aproximadamente, 66 cm. 1 Era a
medida usada por Noé ao contruir a arca conforme relato do dilúvio bíblico. Uma terceira
fonte se refere a esta medida como braça. Segundo esta fonte, a braça foi a mais antiga
medida linear usada pelos egípcios, babilônios, hebreus e gregos. Os egípcios tinham dois
tipos de braça: a braça curta (17,7 polegadas = 0,45m) e a braça real (20,6
polegadas=0,524m). 2
1. Adaptado de material do Telecurso 2000 – aula 1.
2. Dados extraídos do site
http://paginas.terra.com.br/educacao/calculu/Artigos/Curiosidadesmat/medidas.htm
15
Os gregos introduziram o pé (pous) e os romanos o adaptaram.
Como veremos mais adiante, atualmente a unidade padrão de medida de comprimento
é o metro, o qual está materializado numa barra de platina iridiada, guardada na Agência
Internacional de Pesos e Medidas, em Sèvres, perto de Paris.
ATIVIDADE – 2
Conversando com seus professores de história, geografia e/ou português ou
pesquisando na internet, redija um pequeno texto sobre a expressão telha de coxa,
enfatizando seu caráter histórico e geográfico.
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2.1.2 - Medidas de tempo
O tempo é uma grandeza cujas medidas passaram a ter um “caráter de ciências” com
os trabalhos de Galileu Galilei, em seus estudos quantitativos do movimento, no século XVII.
Mas foi objeto de preocupação na Antiguidade e na Idade Média. Na Antiguidade, as pessoas
serviam-se do movimento periódico dos corpos celestes para estimar o tempo. Já no século II
a.C., os astrônomos, raciocinando sobre o movimento da Lua e dos demais astros e das
estações do ano, determinaram a duração do ano em dias. No século I d. C., o imperador
romano Julio César elaborou o calendário juliano, mais preciso do que o anterior. O
calendário juliano foi substituído pelo atual, o calendário gregoriano no século XVI. As
medidas de tempo não sofreram tantas mudanças ao longo da história como as medidas de
comprimento e de massa.
Em relação ao período medieval, algumas relíquias preservadas em museus atestam a
preocupação e a necessidade do homem em medir o tempo: relógios de água (clepsidras),
conhecidos pelos egípcios, relógios de areia (ampulhetas), relógios solares (gnomões) e os
relógios de combustão (velas e candeias).
Atualmente, a unidade padrão de medida de tempo é o segundo, cujas definições
vamos estudar mais adiante.
16
ATIVIDADE – 3
Galileu usou uma clepsidra para estudar experimentalmente o movimento. Em que
consistia tal dispositivo? Como era usado? Qual a técnica que Galileu usou para realizar esta
atividade experimental? Pesquise e apresente seus resultados para a classe.
2.1.3 - Medidas de massa (“peso”)
O instrumento usado para medir massa é a balança. Foi inventado no Egito entre 4000
a 5000 anos a. C. Para comparações de massa, eram usados pequenos objetos “padronizados”
com formato de animais. Usavam também pequenos cilindros de base côncava, com
aproximadamente 13 gramas. Muitos desses objetos foram encontrados nas pirâmides e nas
tumbas dos nobres egipcios. Usavam também grãos de cereais e sementes.
Na Roma Antiga a medida de massa (“peso”) era a onça (Oz) e era a menor unidade.
Atualmente, uma onça corresponde a 28,35 gramas. Os romanos usavam também a libra.
Libra é um vocábulo latino que significa balança. Tinham dois sistemas de libras: uma que
equivalia a 12 onças e outra que equivalia a 16 onças. Em inglês, libra = pound (lb) e onça =
ounce (Oz).
Não devemos confundir massa com peso. Massa de um corpo é a propriedade do
mesmo em resistir a qualquer mudança de seu estado de repouso ou de movimento. Peso de
um corpo é a força com que a Terra o atrai em direção ao seu centro. Atualmente, a unidade
padrão de medida de massa é o quilograma, o qual está materializado num cilindro de platina
iridiada e guardado na Agência Internacional de Pesos e Medidas em Sèvres, perto da capital
francesa.
Os sistemas de medidas dos povos da Antiguidade no Oriente Médio foram fortemente
marcados pela influência egípcia. A conquista da região pelos romanos ensejou a
disseminação do sistema egípcio pela Europa, vindo a evoluir para novas formas ao interagir
com os sistemas europeus.
Com o colapso do Império Romano e a invasão da Europa por tribos bárbaras houve
um grande retrocesso no aperfeiçoamento das medidas. Nesse período de trevas que
caracterizou a Idade Média, vários sistemas de medidas por pouco não teriam desaparecidos
17
se não fosse os esforços de alguns monarcas que reinavam nessa época. Mais tarde, os
sistemas de medidas e padrões unificados foram introduzidos pelos reis saxônicos.
Houve diversas tentativas objetivando racionalizar medidas, porém nenhuma delas
conseguiu uma utilização internacional e homogênea. A discordância entre as cópias e os
padrões, as falhas de interpretação e a má fé de alguns mercadores gestaram uma situação que
era uma verdadeira babel. A solução para este problema adveio de um acontecimento num
país do ocidente, que teve repercussão mundial. De acordo com o professor Alberto Gaspar,
...a França do século XVIII vivia uma situação caótica. E nesta situação
praticamente sem lei, os poderosos aproveitaram da ocasião para
oprimir os menos favorecidos.
A inexistência de um padrão único de medida possibilitava o uso
de “dois pesos e duas medidas”: um padrão para vender e outro para
comprar; um padrão para pagar e outro para receber (Gaspar, 2000,
p.23 ).
ATIVIDADE – 4
Escreva um pequeno comentário sobre o que simboliza a estátua de uma mulher com
os olhos vendados, segurando em uma das mãos uma espada e na outra, uma balança de dois
pratos, comumente vista nas repartições do poder judiciário.
O que caracteriza o homem enquanto ser que interfere na realidade, modificando-a, é o
trabalho humano. E na execução do trabalho, o homem faz uso das mais diversas ferramentas
e instrumentos de medida. No seu relacionamento com pessoas que trabalham, verifique que
tipos de instrumentos de medidas elas usam no exercício da profissão. Observe também
instrumentos de medida usados em casa. Para a próxima aula, traga alguns instrumentos
que puder encontrar.
18
INSTRUMENTOS DE MEDIDAS
ATIVIDADE 7
01) Vamos apresentar os instrumentos de medida, escrevendo o nome e explicando sua
utilidade.
TABELA - I
Nome do instrumento
Utilidade
19
2.2 - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
2.2.1 - Unidades de comprimento
Com o advento da Revolução Industrial e com o desenvolvimento do sistema
capitalista, o comércio internacional se intensifica, surgindo assim a necessidade de um
sistema de medidas com um maior grau de precisão e cujos padrões fossem aceitos por todos
os países.
Todos os padrões de medidas sofreram desgastes com o tempo. Surgiu então no século
XVII, um movimento para o estabelecimento de uma unidade que pudesse ser facilmente
copiada, baseada numa constante natural, isto é, não arbitrária, constituindo um padrão de
medida. Essa tarefa foi solicitada pelo governo francês à Academia Francesa de Ciências.
Faziam parte dessa instituição, nomes como Lavoisier, Laplace, Borda, Lagrange e outros.
Essa unidade deveria ter submúltiplos de acordo com o sistema decimal, sistema este
inventado na Índia quatrocentos anos antes de Cristo. A academia Francesa de Ciências
propôs uma unidade de comprimento que substituísse todas aquelas em uso no mundo todo.
Esta unidade padrão é o metro. Metro vem do grego (metron) e significa medir. Desses
estudos nasceu um projeto de sistema métrico decimal que foi apresentado por Talleyrand na
França e transformado em lei em 8 de maio de 1790 (Telecurso 2000, aula 1).
O Sistema Métrico Decimal foi o primeiro sistema planejado de pesos e medidas.
Fazia parte das reformas promovidas pela Revolução Francesa. Segundo Giorgio Moscati do
INMETRO, este sistema rompeu com os padrões antropomórficos, buscando padrões,
considerados estáveis na época.
Os astrônomos franceses Delambre e Mechain, utilizando a toesa como unidade,
mediram a distância entre Dunkerque (França) e Montjuich (Espanha). Através de cálculos,
obtiveram uma distância que foi materializada numa barra de platina de secção retangular de
4,05 X 25 mm. O comprimento dessa barra equivale ao comprimento da unidade padrão: o
metro. Logo, metro é a décima milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre.
2.2.2 – Unidade de massa
Ainda de acordo com as proposições da Academia Francesa de Ciências, as diferentes
unidades de massa [“peso”] (libra, onça, pecul, rotolo, etc.) deveriam ser substituídas pelo
20
grama. Este é definido como a massa de um centímetro cúbico de água a 4°C de temperatura,
pois nessa temperatura, a densidade da água é máxima.
O uso do Sistema Métrico Decimal se tornou obrigatório em território francês a partir
de 1840. Em 1870 começa a padronização em nível internacional, com os trabalhos realizados
na Convenção Internacional do metro. Nessa convenção foi instituído o Bureau
International de Pois et Mesures – BIPM (Agência Internacional de Pesos e Medidas), que
passou a guardar os padrões, feitos em platina iridiada e a fornecer cópias dos mesmos aos
paises membros.
Por volta do século XIX alguns pesquisadores perceberam as inconveniências de se ter
padrões ligados às dimensões da Terra e materializados na forma de objetos, como o metro
padrão e o quilograma padrão. Para a criação de um padrão permanente, recorreu-se à medida
da Terra (um quarto do meridiano terrestre). Mas será que as dimensões da Terra e o tempo
que ela gasta para dar uma volta são imutáveis? Posteriormente o cientista J. C. Maxwell,
definiu que a criação de padrões absolutamente permanentes não deve ser baseada nas
dimensões, movimentos ou massa do nosso planeta, mas no comprimento de onda, no período
de vibração e na massa absoluta das moléculas, pois elas são imortais, inalteráveis e idênticas
uma à outra (num mesmo elemento químico), de acordo com Giorgio.
Com o desenvolvimento da ciência e da técnica, as definições para o metro e para o
segundo sofreram diversas alterações. O sistema de unidades tem caráter dinâmico, “não
engessado”. Sofre modificações com o desenvolvimento científico. Na busca de melhor
definição, se necessário troca o padrão. Assim, novos instrumentos de precisão e novas
unidades de medida foram criados devido às descobertas científicas nos ramos da termologia,
da óptica e da eletricidade.
Em 1960, a 11ª Conferência Internacional de Pesos e Medidas substituiu o sistema
métrico pelo atual Sistema Internacional de Unidades (SI). Neste sistema, o metro e o
segundo foram redefinidos.
2.2.3 – Unidade de comprimento
A mais recente das várias definições apresentadas para o metro é a seguinte, tendo
em vista que todas as definições propostas somente estabeleceram com maior exatidão o valor
21
da mesma unidade. Metro é a distância percorrida pela luz no vácuo, no intervalor de
tempo de
1
do segundo.
299.792.458
2.2.4 - UNIDADE DE TEMPO
A unidade de tempo, o segundo, que era definida como sendo 86.400 avos do dia
solar médio passa a ser “o tempo necessário para que a radiação do elemento químico
césio 133 vibre 9.192.631.770 vezes”.
2.2.5 - UNIDADE DE MASSA
A unidade de massa é o quilograma. É definido como a massa de um cilindro
padrão de platina-irídio conservada no Bureau Internacional de Pesos e Medidas em
Sèvres, na França (Telecurso 2000, aula 2).
ATIVIDADE 8
01) Com os dados da página 10 e com as considerações históricas, complete a tabela abaixo
com as unidades do Sistema Internacional de Unidades (somente aquelas com as quais vamos
trabalhar nas primeiras partes da mecânica):
TABELA - 2
Grandeza
Nome da unidade padrão Símbolo da unidade padrão
de medida
Comprimento
Massa
Tempo
A NOTAÇÃO CIENTÍFICA
No estudo da física utiliza-se largamente a notação científica como recurso valioso e
eficiente, por agilizar os cálculos necessários à compreensão de conceitos físicos presentes
nos fenômenos naturais.
A maioria das calculadoras possui capacidade limitada de memória, dificultando a
operacionalização de números que são expressos por grandes quantidades de dígitos. Para
22
ocupar o menor espaço possível na memória da máquina, trabalhamos com a notação
científica.
A notação científica é baseada na conservação do valor do número pela aplicação
simultânea das operações multiplicação/divisão.
Notação científica: é a escrita de um númerona forma de um produto de dois fatores, sendo:
1° fator: um número real n maior ou igual a 1 e menor que 10.
1 ≤ n < 10
2° fator: uma potência de base 10, cujo expoente representa a
quantidade de dígitos a serem “saltados” pela virgula.
ATIVIDADES 9
01) Escreva os seguintes números em notação científica:
a) 1231 =
b) 822 =
c) 0,01 =
d) 0,0021 =
e) 1300 =
f) 0,0005 =
g) 0,0000019 =
h) 2170000000 =
i) 12,5.10 8 =
j) 0,0000004.10 −7 =
k) 52,3.10 −3 =
l) 0,102 =
02) Com a ajuda do professor(a) ou fazendo uma pesquisa bibliográfica, complete a tabela
seguinte:
TABELA - 3
Prefixo
Exa
Penta
Tera
Giga
Mega
Quilo
Hecto
Deca
Símbolo
Valor
Potência de 10
corresondente
23
Prefixo
Símbolo
Potência de 10
correspondente
Valor
Unidade
Deci
Centi
Mili
Micro
Nano
Pico
Femto
Atto
03) Escreva na TABELA – 4 abaixo, três múltiplos e três submúltiplos do metro:
Prefixo + metro
Símbolo
Valor
Potência de 10
1 metro
03) Complete as lacunas, usando notação científica:
a) 1 minuto corresponde a ___________segundos
b) 1 hora corresponde a ___________minutos ou a _______________segundos
c) 1 dia corresponde a _______horas ou a __________minutos ou a __________segundos
d) 1 mês corresponde a:
• _________________dias
• _________________horas
• _________________ minutos
• _________________segundos
24
e) 1 ano corresponde a:
• ________________meses
• ________________ dias
• ________________ horas
• ________________ minutos
• ________________ segundos
05) Complete a tabela abaixo, escrevendo pelo menos duas unidades usadas com freqüência
em sua vida diária, para medir as seguintes grandezas:
TABELA - 5
Grandeza
Unidade 1
Unidade 2
Comprimento
Área
Volume
Tempo
06)
a) Considere as seguintes unidades de tempo: hora (h), minuto (min) e segundos (s). Elas
constituem um sistema decimal?_______Explique. __________________________________
___________________________________________________________________________
b) Para você perceber que um sistema não decimal dificulta consideravelmente a realização
de operações matemáticas, resolva a questão seguinte: qual a duração de uma partida de
voleibol na qual o tempo de cada set foi:
1° set → 50 min 32 s
2° set → 49 min 45 s
3° set → 30 min 35 s
Apresente sua resposta em horas, minutos e segundos.
25
07) No quadro abaixo estão registradas três grandezas. Complete o quadro, escrevendo suas
respectivas unidades (de base) no S. I. na 2ª coluna e a qual sistema de numeração (decimal
ou sexagesimal) pertence a respectiva unidade de medida na 3ª coluna:
TABELA - 6
Grandeza
Unidade padrão do S. I.
Sistema de numeração
Comprimento
Tempo
Massa
08)
a) Suponha que a duração de um evento tenha sido 3,5 h (observe que estamos usando a
notação decimal). Esse intervalo de tempo é:
( ) maior que 3h 30 min
( ) menor que 3h 30 min
( ) igual a 3h 30 min
b) Considere um intervalo de tempo de 8,7 h. Expresse esse tempo na notação não decimal
(horas e minutos).
c) Expresse na notação decimal, usando a hora como unidade, um intervalo de tempo de
5h18min.
09) Que sistema de numeração expressa a tabela do exercício (13)?
( ) decimal
( ) sexagesimal
( ) binário
26
10)
a) O estabelecimento do Sistema Métrico Decimal na França decorreu de propostas surgidas
durante um acontecimento histórico de repercussão mundial. Qual foi ele?
___________________________________________________________________________
b) Qual era o imperador da França quando o ensino do Sistema Métrico Decimal tornou-se
obrigatório nas escolas daquele pais?
___________________________________________________________________________
11) a) Qual foi o país ocidental importante que deixou de participar da Convenção do Metro,
realizada em 1875, na França?
___________________________________________________________________________
b) Qual a conseqüência desse fato?
___________________________________________________________________________
12)
a) Como se denomina o sistema de unidades, estabelecido em 1960, usado mundialmente,
tendo como base o antigo Sistema Métrico Decimal?
___________________________________________________________________________
b) O que vem ocorrendo com relação a esse sistema nos países de língua inglesa?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
CAPITULO III
ESTUDO DOS MOVIMENTOS
28
3.1 - ESTUDO DOS MOVIMENTOS
ATIVIDADES PRÁTICAS – I
Objetivo: observar o movimento de carrinhos movidos a pilha.
Materiais utilizados
- Um carrinho movido à pilha, com ou sem controle remoto. Pode ser um trenzinho.
- Uma pista ou “trajetória”, confeccionada com três metros de papel craft ou oleado.
• Escolher um ponto situado aproximadamente na metade do comprimento do papel e associar
a este ponto o valor zero (origem das posições).
• À direita deste ponto zero, fazer marcas eqüidistantes sobre o papel (com canetão azul),
associando-lhes valores positivos, em ordem crescente. E à esquerda do ponto zero, fazer
também marcas eqüidistantes no papel (com canetão vermelho), associando-lhes valores
negativos, em ordem decrescente.
Procedimento
• Estender o papel craft no chão e fixá-lo com fita crepe. Colocar o carrinho sobre o papel e
acionar seu dispositivo eletromecânico. Observe o fenômeno.
01) Quais são as grandezas envolvidas no estudo do fenômeno que você observa?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
02) Das grandezas acima, quais delas são grandezas de base e qual delas é uma grandeza
derivada? Escreva suas respectivas unidades de medida (não precisa ser no S. I.).
Fig.01 - carrinho movido a pilha numa pista
confeccionada em papel craft. Acervo próprio.
03) Observando o conjunto como um todo, em que você se baseia para afirmar que o carrinho
está em repouso ou em movimento?
29
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
04)Se você está sentado (a) em sua carteira, você está em repouso ou em movimento em
relação a um observador postado na Lua?__________________________________________
05) Você está dirigindo um carro e seu (sua) amigo (a) está dirigindo outro carro. Ambos, um
ao lado outro, numa mesma rodovia, com a mesma velocidade e com o mesmo sentido. Em
relação a um observador parado à margem da estrada, você está em:
( ) repouso
( ) movimento
E em relação a seu(sua) amigo(a), você está em:
( ) repouso
( ) movimento
06) De suas respostas você pode concluir que:
( ) o estado de repouso ou de movimento é relativo, pois depende do
referencial do observador.
( ) o estado de repouso ou de movimento não depende do referencial do
observador.
07) O que você entende por trajetória?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
08) O filme Memphis Belle é uma história (da 2ª guerra mundial) sobre uma esquadrilha de
aviões bombardeiros B-29 .
Uma das cenas mostra os aviões despejando bombas (“burras”) sobre Wilhelmshafen,
uma das cidades mais industrializadas da Alemanha. A tripulação, de dentro do avião vê as
bombas explodindo ao tocar o solo e os telhados dos edifícios. Por que a tripulação consegue
visualizar as explosões? Ilustre sua resposta com um desenho esquemático.
30
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
09) Você está no solo observando um avião voando horizontalmente com velocidade
constante. Num dado instante, você percebe que um objeto se desprende do avião. Você verá
o objeto durante a queda descrever uma trajetória:
( ) retilínea e vertical
( ) retilínea e horizontal
( ) parabólica
( ) retilínea e inclinada
10) A tripulação do avião, por sua vez, verá o objeto em queda, descrevendo uma trajetória:
( ) retilínea e vertical
( ) retilínea e horizontal
( ) parabólica
( ) retilínea e inclinada
Explique por que._____________________________________________________________
11) De suas respostas, você pode concluir que a forma da trajetória de um móvel:
( ) depende do referencial do observador
( ) não depende do referencial do observador.
12) A forma da trajetória de um ponto da extremidade da hélice de um helicóptero em
movimento ascendente, para:
• o piloto é:
• um observador no solo é:
( ) parabólica
( ) parabólica
( ) circular
( ) circular
( ) helicoidal
( ) helicoidal
( ) elíptica
( ) elíptica
13) Considere uma pedra lançada verticalmente para cima por uma pessoa em pé sobre a
carroceria de um caminhão que se desloca em linha reta horizontal com velocidade não
variável. Despreze a resistência do ar.
31
a) Você poderá concluir que:
( ) a pedra cairá na frente do lançador.
( ) a pedra cairá na mão do lançador.
( ) a pedra cairá atrás do lançador.
b) Para o lançador, a pedra descreverá:
( ) uma linha reta vertical de subida e descida
( ) uma arco de parábola
( ) uma linha reta horizontal
c) Para um observador parado à beira da estrada, a pedra descreverá:
( ) uma linha reta vertical de subida e descida
( ) um arco de parábola
( ) uma linha reta horizontal
ATIVIDADES PRÁTICAS – II
i) Opção I
Objetivo: observar e comparar o movimento do carrinho a pilha sem controle remoto com o
movimento do carrinho a pilha com controle remoto.
Materiais utilizados
• Um carrinho a pilha, sem e com controle remoto e que se desloque em linha reta.
• Uma pista (ou trajetória) confeccionada em papel craft ou oleado.
Se o comércio de sua região dispõe apenas daqueles que mudam de direção
constantemente, o problema pode ser resolvido, imobilizando-se o dispositivo responsável
pelas mudanças de direção com DUREPOX. Cuidado para não imobilizar as engrenagens das
rodinhas.
Um opção a este carrinho seria um trenzinho a pilha.
Procedimento:
- Estenda a pista no chão, fixando-a com fita crepe.
- Coloque o carrinho a pilha sobre a pista e acione seu dispositivo eletromecânico. Observe
seu movimento.
32
- Faça o mesmo com o carrinho a pilha que possui controle remoto.
Fig.02 – carrinho movido a pilha, sem
controle remoto. Acervo próprio
Fig.03 – carrinho movido a bateria, com
controle remoto. Acervo próprio
01) Existe diferença entre os movimentos dos dois carrinhos?_________________ Comente .
___________________________________________________________________________
ii) Opção II
Na impossibilidade de encontrar o carrinho sem controle remoto ou o trenzinho, você
poderá providenciar uma mangueira transparente, com pelo menos um metro de
comprimento; enchê-la com água ou óleo, vedando suas extremidades, de modo que o
dispositivo contenha uma bolha de ar em seu interior. É aconselhável vedar com rolha de
borracha.
A mangueira poderá ser fixada ao longo de um sarrafo de madeira ou de uma barra de
alumínio. Na foto, para fixar a mangueira na madeira, foram usadas “cintas” ou “braçadeiras”
feitas de garrafa PET e percevejos.
Fig.04 – mangueira transparente,
contendo óleo e bolha de ar em seu interior. Acervo próprio
33
• Com canetas coloridas, fazer marcas eqüidistantes sobre a mangueira, tal como foi feito com
o papel craft.
• Coloque o dispositivo mangueira/bolha de ar numa posição levemente inclinada e observe o
movimento da bolha de ar.
02) Existe diferença entre o movimento da bolha de ar e o movimento do carrinho com
controle remoto? ____________ Comente._________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
ATIVIDADES PRÁTICAS – III
Objetivo: observar o movimento de corpos em movimento.
Materiais utilizados
- Um carrinho movido à bateria e com controle remoto.
- Uma pista feita com papel craft ou oleado.
- Duas lâmpadas fluorescentes com pelo menos um metro de comprimento cada, queimadas.
- Uma bolinha de aço (rolamento).
Procedimento:
• Improvise uma canaleta, unindo as duas lâmpadas lado a lado, pelas extremidades, com fita
crepe, conforme se verifica na fig. 7.
• Estenda a pista no chão, fixando-a com fita crepe.
• Disponha o carrinho sobre a pista e coloque-o em movimento, conforme fig. 6.
Fig.05 – carrinho com controle remoto em
pista “numerada”. Acervo próprio
Fig.06 – duas lâmpadas queimadas,
formando um “trilho”.Acervo próprio.
34
• Disponha a canaleta numa posição levemente inclinada, abandone a bolinha de aço na
canaleta, a partir da extremidade elevada .
• Observe o movimento do carrinho na pista e da esfera na canaleta.
01) Existe diferença entre o movimento do carrinho com controle remoto e o movimento da
esfera de aço dentro da canaleta?_______________Comente.__________________________
___________________________________________________________________________
3.2 - UMA VISÃO HISTÓRICA DO MOVIMENTO
Até agora estudamos o movimento em seu aspecto qualitativo. Pensadores da
Antiguidade, como Aristóteles (séc. IV a.C.), Hiparco (séc. II a. C.) etc), pesquisadores e
filósofos da Idade Média como Philoponus de Alexandria (séc. IV d.C.), Jean Buridan e
Nicolau Oresme (séc. XIV d.C.) etc) e do Renascimento como Galileu Galilei, Descartes
ocuparam-se em entender a natureza dos movimentos. Até então, seus estudos se restringiram
à visão qualitativa dos fenômenos. Durante este longo período, a física do movimento não
conseguia dar respostas aos problemas relativos aos movimentos, na base dos paradigmas
vigente, modelos de explicação da realidade.
De acordo com Frota e Sobrinho (1998), o século XIV trouxe consigo luzes que
deslocaram a visão qualitativa para uma visão quantitativa dos fenômenos naturais, utilizando
as lentes da matemática. Introduzindo a representação gráfica do movimento, Oresmes, da
Universidade de Paris concebeu uma nova técnica para o estudo do movimento. Alguns
historiadores defendem que as idéias de Oresmes propiciaram a origem da teoria cartesiana,
proposta por René Descartes.
Baseado nos trabalhos de Oresme, um grupo de pesquisadores do Merton College, da
Universidade de Oxford elaborou um método de cálculo do espaço percorrido por um móvel
com velocidade uniformemente variada:
O espaço percorrido por um corpo animado de
velocidade uniformemente variada desde o instante t = 0 até um instante
t, é igual ao espaço percorrido no mesmo tempo por um móvel com
velocidade instantânea igual à velocidade média do primeiro”(Batista e
Ferracioli, 1999, p.194).
De acordo com esta regra, chamada regra de Merton, para calcular o espaço percorrido
neste tipo de movimento, basta calcular a área de um paralelogramo de base igual a t (tempo)
e altura igual a v (velocidade média).
35
De acordo com Frota e Moraes (2001), no desenrolar da história, estava preparado o
terreno para a revolução científica (séc. XVI) a qual Galileu estava profundamente ligado,
juntamente com Bacon, Bruno, Copérnico, Campanella, Paracelso, Harvey, Kepler, Descartes,
entre muitos outros.
3.3 - GALILEU GALILEI E AS LEIS DO MOVIMENTO
O ambiente intelectual no qual se formou Galileu, no início do Renascimento, era
ainda fortemente marcado pela visão aristotélica de mundo, saber este incorporado à teologia
católica e ensinado nas universidades. Apesar de ser dono de uma vivíssima inteligência e
possuidor de um espírito irrequieto e questionador, Galileu ainda ficou preso às limitações do
contexto histórico-social. “É um homem de seu tempo”, como afirma o professor Marcos
César Danhoni Neves no livro “A Experimentação na Aprendizagem de Conceitos Físicos
sob
a Perspectiva Histórico-Social”. O pensamento aristotélico ainda o influenciará antes de
colocar em xeque o arcabouço intelectual vigente. Em sua obra De Motu (1590), ao se lançar
verticalmente uma pedra para cima, ele afirma que existem duas forças agindo sobre a
mesma:
a força impressa (ímpetus) transmitida à pedra pelo agente motor e o peso da pedra, sendo o
ímpetus maior do que o peso no instante do lançamento, (mais tarde faremos um estudo mais
detalhado sobre a teoria do ímpetus). À medida que a pedra sobe, o ímpetus diminui (força
auto-exaustiva). No ponto de altura máxima, o ímpetus se iguala ao peso, daí porque a
velocidade seria nula neste ponto. Na queda, o peso seria maior que o ímpetus, pois este
continuaria a se extinguir. Se o ponto de altura máxima fosse muito alto, o ímpetus se anularia
numa determinada altura durante a queda e, a partir daí a velocidade seria uniforme até chegar
ao solo. Com os recursos modernos poderíamos expressar esta equivocada idéia de Galileu da
seguinte forma:
v α (F–P)
onde F é a força impressa ou ímpetus (variável auto-exaustiva),
P, o peso do corpo
(constante) e α é um símbolo usado para representar proporcionalidade.
Devemos ter em mente que Galileu não nos deixou os resultados de seus trabalhos em
forma de expressões matemáticas.
36
De acordo com Neves, até 1604, Galileu acreditava que a velocidade de um corpo era
proporcional ao espaço percorrido.
I. B. Cohen afirma: Em sua obra “Duas Novas Ciências”...
Galileu admite explicitamente que acreditava na relação
vαd
e apenas mais tarde se converteu ao princípio correto
vαt
(Neves, 2000, pp. 94).
Galileu precisava dos valores do tempo de queda livre para estudar a relação
matemática entre o espaço percorrido pelo corpo e o tempo gasto no percurso. De acordo com
a história, descobrir essa relação constituiu-se na maior dificuldade de Galileu, pois o
movimento de queda livre é muito rápido e, se é muito difícil medir os tempos de queda
atualmente com o moderno cronômetro, podemos imaginar as dificuldades impostas pelas
limitações tecnológicas da época. É impossível medir os tempos de queda livre com um
relógio d’água (clepsidra). No site seguinte pode-se encontrar uma ilustração que representa o
aparato usado por Galileu.
http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/index.php?idSecao=9&idSubSecao=&idTec...
Possuidor de uma grande capacidade de abstração, Galileu percebeu que a solução
para esse problema seria a utilização do plano inclinado, pois neste, o movimento reproduz a
mesma estrutura da queda livre, pela diluição da força gravitacional, tornando mais fácil a
medida do tempo. E concluiu que os resultados obtidos seriam válidos em qualquer
inclinação, inclusive na queda livre.
Devido às limitações tecnológicas de medição da época, Galileu associou métodos
hipotéticos-dedutivos ao processo de medição experimental. Levantou a hipótese de que a
velocidade deveria ser proporcional ao tempo de queda e deduziu que o deslocamento deveria
ser proporcional ao quadrado do tempo. Em conseqüência, os deslocamentos efetuados em
intervalos de tempos iguais deveriam ser proporcionais à série de números ímpares – 1: 3: 5:
7: 9: 11:..., tornando possíveis medições com relógio de água. Isto significa, por exemplo, que
no 1° segundo o corpo cai de uma altura h, no 2° segundo, cai de uma altura 3h, no 3°
segundo, cai de uma altura 5h, no 4° segundo, cai de uma altura 7h e assim por diante.
Modernamente, poderíamos representar a relação entre o deslocamento e o tempo de queda da
seguinte forma:
S α t2
37
Em seu livro Diálogos Concernentes a Duas Novas Ciências Galileu escreveu que
“as distâncias percorridas aumentariam com os quadrados dos tempos de percurso SE a
velocidade do movimento fosse proporcional à primeira potência do tempo”.
Para sustentar esta proposição, Galileu deve ter se baseado nas técnicas da Geometria
Plana (Regra de Merton). Se a velocidade varia com a primeira potência do tempo, seu gráfico
será
uma
reta
passando
pela
origem
dos
eixos
v
e
t:
(www.feiradeciências.com.br/sala19/texto32.asp).
velocidade
v
0
t
tempo
Fig.07 – mostra a proporcionalidade entre velocidade e tempo sustentada por Galileu.
Dividindo o intervalo de tempo de 0 até t em um grande número de pequenos intervalos
de tempo, Galileu traçou linhas verticais, obtendo um grande número de retângulos finos e
compridos, de modo que a reta inclinada passasse pelo ponto médio da base superior de cada
retângulo.
Fazendo os intervalos de tempo cada vez menores, o conjunto dos pontos médios das
bases superiores dos retângulos tenderá a formar uma reta que coincidirá com a reta do
gráfico. Assim, soma das áreas dos retângulos se aproximaria da área do triângulo formado
pelo gráfico, a qual é, numericamente igual ao espaço percorrido pelo corpo no intervalo de
tempo de t = 0 até t qualquer:
1
x base x altura
2
espaço percorrido =
S=
1
.t.v
2
Mas por hipótese, a velocidade é proporcional ao tempo:
vαt
Introduzindo uma constante de proporcionalidade (aceleração), a relação acima se transforma
numa igualdade:
38
v =a.t
que combinada com a equação dos espaços nos dá:
S=
1
.a.t 2
2
que é a lei dos quadrados dos tempos. Logo v = a.t também é verdadeiro.
Foi a primeira vez que este método foi utilizado nos fenômenos físicos, embora fosse
objeto dos estudiosos de geometria desde a Antiguidade. Para compreender a natureza, os
cientistas a “geometrizaram”.
Analisando os eventos que ocorreram na experiência do plano inclinado, Galileu pode
formular as leis do movimento:
• Sob a ação de uma força constante (a gravidade), o espaço percorrido por um corpo é
proporcional ao quadrado do tempo empregado.
• Sob a ação de uma força constante (a gravidade), o corpo se desloca de modo que sua
velocidade, em todo instante, é proporcionalao tempo empregado.
A matematização da natureza que substituiu as descrições qualitativas da física
aristotélica medieval e a substituição da idéia de cosmos pela de universo aberto, indefinido e
mesmo infinito são os fatores fundamentais da revolução científica do século XVIII. A
concepção do movimento como um estado permanente dos corpos foi o caminho pavimentado
para que Newton elaborasse o princípio da inércia. Giordano Bruno, Galileu, Gassendi,
Descartes, Leibniz e outros foram os gigantes em cujos ombros Newton enxergou mais longe.
Para entendermos o parágrafo acima, devemos ter em mente que o universo
aristotélico era composto de esferas concêntricas, com a Terra no centro. Aristóteles pensava
este universo como dois mundos: o mundo sublunar e o mundo supralunar.
O mundo sublunar era o mundo no interior da esfera que continha a Lua. Era o mundo
da imperfeição, composto pelos elementos terra, fogo, água e ar. O movimento natural era
aquele pelo qual os corpos retornavam ao seu lugar natural. O movimento que retirava os
corpos do seu lugar era chamado de movimento violento ou forçado, próprio das coisas
imperfeitas.
O mundo supra lunar era o mundo da perfeição. O único movimento admitido era o
circular uniforme. O círculo e a esfera eram considerados o símbolo da perfeição na
Antiguidade Grega. Cada corpo celeste se movimentava numa superfície esférica,
descrevendo um circulo ao redor da Terra, a qual estava imóvel no centro do universo. A
39
última esfera era a das estrelas fixas, chamada esfera do firmamento. Acima dessa esfera
estava a morada dos deuses. A última esfera era movida pelo motor divino. Este movimento
era transmitido às demais esferas por atrito com o éter, substância incorruptível que preencia
os espaços celestes. O universo pensado por Aristóteles era um universo hierárquico, onde
cada coisa tinha o seu lugar próprio.
Para Aristóteles, um corpo só se movimentava enquanto houvesse uma força
impulsionando-o. Cessada a força, cessava o movimento. Não havia lugar para a inércia.
O pensamento grego foi combinado com a teologia hebraica na Idade Média,
originando a escolástica, saber elaborado principalmente por São Tomás de Aquino.
ATIVIDADE PRÁTICA – IV
Objetivo: Observar a relação entre o espaço percorrido por uma esfera e o tempo gasto para
percorrê-lo.
Materiais utilizados
- Uma canaleta formada por duas lâmpadas fluorescentes.
- Uma pequena esfera de aço (rolamento).
- Um cronômetro
01) Disponha a canaleta numa posição levemente inclinada, para diminuir um pouco a
velocidade da esfera e ficar mais fácil a medida dos intervalos de tempo. Faça marcas
eqüidistantes entre si de 25 cm sobre uma das lâmpadas, começando pela extremidade
elevada.
02) Meça o tempo gasto pela esfera ao percorrer, a partir da extremidade elevada, as
distâncias 25cm, 50cm, 75cm e 100cm. Cuidado com os erros de paralaxe e de discrepância
para não comprometer os resultados da pesquisa. Para uma medida repita a operação 10
vezes e preencha as tabelas seguinte:
TABELA – 7
Tempo
t1
t3
∆S1 = 25cm
∆S 2 = 50cm
∆S 3 = 75cm
∆S 4 = 100cm
40
Tempo
∆S1 = 25cm
∆S 2 = 50cm
∆S 3 = 75cm
∆S 4 = 100cm
∆t1 =
∆t 2 =
∆t 3 =
∆t 4 =
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t9
t10
Média
aritmética
03) Vamos fazer a normalização, dividindo a medida de cada distância pela medida da
primeira (25 cm) e dividindo a medida de cada intervalo de tempo pela medida do primeiro
intervalo, preenchendo a tabela seguinte:
TABELA - 8
Distâncias
Intervalos de tempo
∆s1 =
∆t1 =
∆s 2 =
∆t 2 =
∆s 3 =
∆t 3 =
∆s 4 =
∆t 4 =
Fig.08 – Visualização da canaleta de um plano superior. Acervo próprio.
41
04) Você consegue “visualizar” alguma relação entre a distância percorrida e o respectivo
tempo gasto para percorrê-la?____________Qual?__________________________________
___________________________________________________________________________
05) Seus resultados estão de acordo com as previsões históricas que estudamos?
___________________________________________________________________________
06) Que fatores podem ter influenciados seus resultados?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
ATIVIDADES PRÁTICAS – V
Objetivos: Observar a relação entre o espaço percorrido por três carrinhos diferentes e o
tempo gasto por cada um para percorrer os respectivos espaços.
Materiais utilizados
- Um carrinho de brinquedo à pilha, sem controle remoto.
- Um carrinho de brinquedo à bateria, com controle remoto.
- Um carrinho de brinquedo, simples, sem motor.
- Equipamento para aplicação de soro (equipo-soro).
- Fita adesiva.
- Arame ou madeira (espetinho p/ churrasquinho) para sustentação do equipo-soro.
- Corante para ser adicionado à água a ser usada no equipo-soro.
- Régua.
- Cronômetro
Procedimentos - Para os carrinhos motorizados (com e sem controle remoto).
a) Estenda e fixe uma faixa de papel de cor clara para servir de trajetória para os carrinhos.
b) Deslize o controlador de gotas do equipo-soro pela mangueira, de modo que fique em
contato com a base do reservatório de soro. Depois corte a mangueira, deixando um pedaço
suficiente para servir como pingador.
c) Com a fita adesiva, prenda o equipo-soro no arame (ou na madeira) e este no carrinho, de
modo que o equipo-soro fique na posição vertical.
42
d) Adapte à parte superior do reservatório de soro, um outro reservatório, feito, por exemplo,
com frasco plástico de Novalgina ou similar, vazio. Basta cortar o fundo do frasco e encaixar
seu bico na parte superior do equipo-soro.
e) Encha o reservatório do equipo-soro com a solução de água e corante.
f) Antes de colocar o carrinho em movimento, determine com o auxílio de um cronômetro, o
tempo gasto entre duas gotas sucessivas. Basta verificar o tempo gasto para o gotejamento de
uma determinada quantidade ( x ) de gotas. Depois divida este tempo por ( x – 1 ).
g) Coloque os carrinhos, um por vez, em movimento sobre a faixa de papel para percorrer
uma distância qualquer.
h) Conte o número de marcas deixadas pelas gotas e meça as distâncias entre elas.
Fig.09 – Carrinho à pilha
Acervo próprio
Fig.10-Carrinho à bateria
Acervo próprio
Para o carrinho não motorizado
a) Montagem e instalação do equipo-soro e contagem do tempo usando os mesmos
procedimentos anteriores.
b) Improvise uma rampa inclinada e forre-a com uma faixa de papel claro, com um
comprimento adequado para um bom número de marcas sobre o papel.
c) Coloque o carrinho equipado com o equipo-soro sobre a rampa e libere-o.
d) Conte o número de marcas e meça as distâncias entre elas.
01) Teoricamente, como seriam as distâncias entre as sucessivas marcas deixadas pelas gotas
no papel, nos seguintes casos:
a) carrinho à pilha sem controle remoto?
43
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b) carrinho à bateria com controle remoto?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
c) carrinho não motorizado, que se desloca sobre a rampa inclinada?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Fig.11– Carrinho não motorizado . Acervo próprio.
As sugestões apresentadas na ATIVIDADES PRÁTICAS – V foram desenvolvidas por
Welber Gianini Quirino e F. C. Lavarda – UNESP/Bauru, Estado de São Paulo.
3.4 - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Sabemos que a velocidade média de um móvel é dada pela razão (divisão) do
deslocamento efetuado pelo intervalo de tempo gasto em efetuá-lo. Sua expressão matemática
é:
vm =
∆x
∆t
∆x → deslocamento escalar
x 0 → posição inicial
∆x = x − x0
x→ posição final
onde
∆t → intervalo de tempo
∆t = t − t 0
t 0 → instante inicial
t →instante final
44
A unidade de medida de velocidade deriva da unidade de comprimento e da unidade de
tempo.
• No Sistema Internacional (SI) é m/s
• Outras unidades: cm/s; dm/s; km/min; km/h, etc.
Nas ATIVIDADES PRÁTICAS – I convencionamos que o sentido de orientação da
trajetória é da esquerda para a direita. Então:
(x)
• se o móvel se desloca no mesmo sentido de orientação da trajetória, os espaços, em relação
ao ponto O ( referencial), aumentam no decorrer do tempo. O sinal da expressão ∆x = x − x0
50
é positivo. Logo, a velocidade também é positiva. Neste caso dizemos que o movimento é
progressivo.
• Se o móvel se desloca em sentido contrário ao da trajetória, os espaços, em relação ao ponto
O (referencial), diminuem no decorrer do tempo. O sinal da expressão ∆x = x − x0 é negativo.
Logo, a velocidade também é negativa. Neste caso, dizemos que o movimento é retrógrado.
Em Física, não existe tempo negativo.
Quanto ao comportamento escalar (numérico) da velocidade, temos:
Movimento uniforme: ocorre quando o móvel efetua deslocamentos iguais, em intervalos de
tempo iguais. Ou seja, a velocidade não varia no decorrer do tempo. No cotidiano de nossa
vida este tipo de movimento é pouco comum e a velocidade instantânea coincide com a
velocidade média.
Movimento variado: ocorre quando a velocidade do móvel sofre variações no decorrer do
tempo.
Movimento uniformemente variado: ocorre quando a velocidade do móvel varia
uniformemente em intervalos de tempo iguais. Isto é, a velocidade cresce ou diminui de
maneira uniforme.
• Se a velocidade aumenta, a aceleração é positiva.
• Se a velocidade diminui, a aceleração é negativa.
45
Qual dispositivo do automóvel o motorista deve acionar para que ocorra aceleração
positiva?
__________________
E
para
ocorrer
aceleração
negativa?_____________________
Aceleração escalar média de um móvel é a razão (divisão) entre a variação da
velocidade do móvel pelo intervalo de tempo no qual ocorreu a variação. Sua expressão
matemática é dada por
am =
∆v
∆t
∆v → variação da velocidade
∆v = v − v 0
v 0 → velocidade inicial
v→ velocidade final
onde
∆t → intervalo de tempo
∆t = t − t 0
t → instante final
t 0 → instante inicial
Para que o movimento seja acelerado, são necessários que os sentidos (sinais) da
velocidade e da aceleração sejam iguais:
aceleração positiva e velocidade positiva
• movimento acelerado
ou
aceleração negativa e velocidade negativa
Para que o movimento seja retardado, são necessários que os sentidos (sinais) da
velocidade e da aceleração sejam contrários.
aceleração positiva e velocidade negativa
• movimento retardado
ou
aceleração negativa e velocidade positiva
A unidade de medida da aceleração é derivada da unidade de velocidade e da unidade
de tempo.
m
• No Sistema Internacional (SI) é s = m 2
s
s
46
• Outras unidades: cm
s2
, dm
km
s
2 ,
h
min
, km
h2
, etc.
ATIVIDADE 10
04) Pesquise na biblioteca de sua escola ou na internet, o significado de velocidade
instantânea.
RETOMANDO AS ATIVIDADES PRÁTICAS - IV
Carrinho sem controle remoto
05) Calcule a velocidade com que o carrinho percorreu cada uma das distâncias entre duas
marcas sucessivas. Elabore uma tabela na qual você possa registrar todas as distâncias entre
marcas sucessivas, os intervalos de tempo e os respectivos valores da velocidade.
06) O comportamento dos valores da velocidade estão de acordo com as previsões
teóricas?__________Comente.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
07) Calcule a velocidade média (não é a média das velocidades) com que o carrinho percorreu
desde a primeira marca até a última marca. Compare com os resultados do item (05) e
comente os resultados obtidos.
08) Numa folha de papel milimetrado ou quadriculado, construa um sistema de eixos
cartesianos, marcando no eixo horizontal, os valores do tempo, começando do instante inicial
t 0 = 0; no eixo vertical os valores da velocidade calculada no item (05) e depois construa o
gráfico v x t (velocidade como função do tempo). Se os pontos obtidos forem muitos
dispersos, trace uma reta entre eles de modo que quantidades iguais de pontos fiquem
localizados em ambos os lados da reta.
09) Por que este gráfico é uma reta horizontal?
___________________________________________________________________________
10) De acordo com a regra de Merton (UMA VISÃO HISTÓRICA DO MOVIMENTO),
determine a distância percorrida entre a primeira e a última marca. Depois compare este valor
com o valor medido diretamente.
47
11) A expressão que você usou no item (10), ∆x = v.t (área do retângulo), refere-se ao caso no
qual se supunha que o móvel partiu da posição x 0 = 0 no instante inicial t 0 = 0.
E se o móvel tivesse partido de uma posição inicial que, no instante inicial t 0 = 0, não
fosse x 0 = 0 e sim x 0 ≠ 0, como seria a expressão da posição como função do tempo?
Sugestão: na expressão ∆x = v.t , substituir ∆s por x – x 0 e isolar a variável x.
12) Numa outra folha de papel milimetrado ou quadriculado, construa outro sistema de eixos
cartesianos, marcando no eixo horizontal, os valores do tempo, fazendo o instante inicial, t 0 =
0. No eixo vertical, marque os valores das distâncias, fazendo a posição inicial, x O = 0.
Construa o gráfico da posição como função do tempo. Se os pontos obtidos forem muito
dispersos, a reta inclinada passando pela origem dos eixos deverá ser traçada de modo que
fiquem quantidades iguais de pontos em ambos os lados da reta.
13) Por que este outro gráfico é uma reta e não uma curva?
___________________________________________________________________________
E por que é uma reta inclinada e não uma reta horizontal?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Carrinho com controle remoto
14) Calcule a velocidade com que o carrinho percorreu cada uma das distâncias entre duas
marcas sucessivas. Elabore uma tabela na qual você possa registrar todas as distâncias entre
marcas sucessivas, os intervalos de tempo e os respectivos valores da velocidade.
15) O comportamento dos valores da velocidade está de acordo com as previsões
teóricas?__________.Comente.
48
16) Numa folha de papel milimetrado ou quadriculado, construa um sistema de eixos
cartesianos, marcando os valores do tempo no eixo horizontal, começando do instante inicial
t 0 = 0; no eixo vertical, marque os valores da velocidade, calculados no item (11). Calcule o
gráfico da velocidade como função do tempo. Os pontos obtidos se aproximam de uma reta
ou
de
uma
curva?
(Dê
uma
olhada
na
história
do
movimento
na
página
41)._________________________________
Você já sabe como proceder nos casos em que os pontos obtidos são dispersos.
17) Teoricamente, como deveria ser este gráfico: uma reta inclinada ou uma
curva?____________________. Por que? _________________________________________
18) Baseando-se na técnica descrita pela história do movimento, calcule a distância percorrida
desde a primeira e a última marca.
v = a.t
19) As expressões mencionadas na história do movimento
∆S =
1
.v.t (área do triângulo)
2
referem-se ao caso no qual se supunha que o móvel tenha
partido no instante t 0 = 0, da posição x 0 = 0 com a velocidade inicial v 0 = 0. Supondo que o
móvel não tenha partido do marco zero (x 0 = 0) e sim de um marco diferente de zero e com
uma velocidade que não seja nula (“o móvel partiu cantando pneus”), como seria a forma da
expressão que define a posição como função do tempo? Sugestão: Substitua ∆s por x – x 0 , v
por a.t e isole a variável x. Se precisar, peça ajuda ao seu professor de matemática.
20) Numa outra folha de papel milimetrado ou quadriculado, construa um sistema de eixos
cartesianos, marcando os valores do tempo no eixo horizontal, começando por t 0 = 0; no eixo
49
vertical, marque os valores das posições, começando por x 0 = 0. Construa o gráfico de x como
função de t.
21) O gráfico obtido é uma curva ou uma reta?_________Por quê?_____________________
___________________________________________________________________________
Carrinho não motorizado que se desloca numa rampa inclinada.
12) Calcule a velocidade com que o carrinho percorreu cada uma das distâncias entre duas
marcas sucessivas. Elabore uma tabela na qual você possa registrar todas as distâncias entre
marcas sucessivas, os intervalos de tempo e os respectivos valores da velocidade.
13) O comportamento dos valores da velocidade está de acordo com as previsões
teóricas?___________. Comente. ________________________________________________
__________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
24) Numa folha de papel milimetrado ou quadriculado, construa um sistema de eixos
cartesianos, marcando os valores do tempo no eixo horizontal, começando pelo instante
inicial t 0 = 0; no eixo vertical, marcar os valores da velocidade calculados no item (22),
começando pela velocidade inicial v 0 = 0. Construa o gráfico da velocidade como função do
tempo. Você já sabe quais os cuidados a serem tomados no caso de pontos dispersos.
25) Teoricamente, como deveria ser este gráfico: uma reta inclinada ou uma
curva?_________ Por que? _____________________________________________________
26) Baseando-se na técnica descrita pela história do movimento, calcule a distância percorrida
desde a primeira até a última marca.
27) Numa outra folha de papel milimetrado ou quadriculado, construa um sistema de eixos
cartesianos, marcando os valores do tempo no eixo horizontal, começando por t 0 = 0; no eixo
vertical, marque os valores das posições, começando por S 0 = 0. Construa o gráfico da
posição como função do tempo. De acordo com as previsões teóricas, este gráfico deve se
aproximar de uma reta inclinada ou de uma parábola?
___________________________________________________________________________
50
ATIVIDADES PRÁTICAS – VI
Objetivo: observar a relação entre a distância percorrida por uma bolha de ar e o tempo gasto
em percorrê-la.
Materiais utilizados
- Dispositivo feito com mangueira contendo óleo ou água e uma bolha de ar em seu interior
(ver ATIVIDADES PRÁTICAS – II, opção II, página 39).
- Cronômetro.
- Régua.
Fig.12 – Mangueira transparente contendo óleo e bolha de ar.
Acervo próprio
Procedimento
- Faça marcas eqüidistantes sobre a mangueira.
- Coloque o dispositivo numa posição inclinada, de modo que a bolha de ar tenha uma
velocidade compatível para a medida do tempo. Uma vez escolhido o ângulo de inclinação,
este não deve ser alterado.
- Com o cronômetro, meça o intervalo de tempo que a bolha de ar gasta para percorrer cada
distância entre duas marcas sucessivas, sempre começando do marco zero (x 0 = 0). Para cada
medida, repita o procedimento por um número adequado de vezes para obter um valor mais
próximo da realidade. Cuidado com os erros de paralaxe.
01) Elabore uma tabela na qual você possa registrar os valores das distâncias, os intervalos de
tempo e os valores da velocidade da bolha.
02) O comportamento dos valores da velocidade está de acordo com as previsões teóricas do
movimento uniforme?_______________ Comente. __________________________________
51
03) Calcule a velocidade média ( não a média das velocidades) com que a bolha percorreu do
início até a última marca.
04) Numa folha de papel milimetrado ou quadriculado, construa um sistema de eixos
cartesianos, marcando no eixo horizontal os valores do tempo e no eixo vertical, os valores da
velocidade, obtidos em (01). Em casos de pontos dispersos, você já sabe como proceder.
Construa o gráfico da velocidade como função do tempo. O seu gráfico se aproxima mais de
uma reta horizontal ou de uma eta inclinada?_______________________________________
05) Usando a regra de Merton (UMA VISÃO HISTÓRICA DO MOVIMENTO), determine a
distância percorrida pela bolha de ar.
06) Qual dos dois casos se aproximou mais do movimento retilíneo uniforme?
( ) carrinho a pilha, sem controle remoto
( ) bolha de ar num liquido encerrado dentro de uma mangueira
CONTINUAÇÃO DAS ATIVIDADES PRÁTICAS – IV ( esfera de aço que rola numa
canaleta).
07) Com os valores da tabela referente a esta experiência, calcule a velocidade com que a
esfera percorreu as distâncias :
25cm:
50cm:
75cm:
100cm:
08) Numa folha de papel milimetrado ou quadriculado, construa um sistema de eixos
cartesianos. No eixo horizontal marque os valores do tempo e no eixo vertical, os valores da
velocidade.
52
09) Usando a regra de Merton (UMA VISÃO HISTÓRICA DO MOVIMENTO), calcule a
distância percorrida pela esfera.
10) Em qual dos três casos, o movimento se aproximou mais de um movimento retilíneo
uniformemente variado?
( ) carrinho a bateria com controle remoto
( ) carrinho não motorizado que se desloca numa rampa inclinada
( ) esfera de aço que rola numa canaleta feita de lâmpadas fluorescentes
3.5 - RESUMO DAS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO
• Movimento Retilíneo e Uniforme (MRU)
vm =
x − x0
→ velocidade média
∆t
x = x 0 +v.t → função posição
• Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
am =
v − v0
→ aceleração média
∆t
v = v 0 + at → função velocidade
a.t 2
x =x 0 + v 0 .t +
→ função posição
2
v 2 = v02 + 2.a.d → equação de Torricelli
CAPITULO IV
GRANDEZAS ESCALARES
E VETORIAIS
54
4.1 - GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS
ATIVIDADES 11
01) Reflita e responda, considerando as seguintes situações:
a) Seu amigo lhe pergunta:
Que horas são?
Você lhe responde:
São 11h 20min.
A informação que você lhe deu está completa?________Por que?_________________
___________________________________________________________________________
b) Num determinado dia do ano, o noticiário da TV nos informa que a temperatura ambiente
está em torno de 34°C na cidade de Curitiba.
É uma informação completa?_______Justifique sua resposta.__________________________
___________________________________________________________________________
c) O advogado pergunta ao engenheiro:
Qual é a área do 1° piso do novo fórum?
O engenheiro responde:
A área do 1° piso é de 350 m 2 .
A resposta do engenheiro constitui uma informação completa?________. Por quê?
___________________________________________________________________________
d) Uma mulher desabafa com sua amiga:
Nossa! Estou com 80 kg de massa.
É uma informação completa?________ . Por quê?_____________________________
___________________________________________________________________________
Nos exemplos citados, as informações dadas são completas, não deixam margens à
dúvidas. São chamadas de grandezas escalares.
Então: Grandezas escalares são aquelas que ficam plenamente definidas quando
são especificados seu valor (módulo) e a unidade de medida.
Para indicar uma grandeza escalar, escreve-se o seu símbolo seguido de uma unidade
de medida. Veja os exemplos:
55
• densidade: δ = 3 g
cm 3
• volume: v = 3 m 3
• tempo: t = 30 s
• massa: m = 50 kg
• temperatura: θ = 34°C
• área: A=125 m 2
e) Seu amigo lhe diz:
Fiz um deslocamento de 80 km com minha nova moto.
É uma informação completa?________ . Por quê?_____________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
f) Um motorista diz ao seu colega de profissão:
Na viagem de ontem, o máximo que pude atingir foi 80 km/h.
É uma informação completa?_________. Por quê?_____________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
g) Um passageiro afirma que o avião sofreu uma aceleração de 25 m/s em cada segundo.
É uma afirmação completa?_________ Por quê? ______________________________
___________________________________________________________________________
Nestes três últimos exemplos, as informações são incompletas. Para que ficassem
plenamente definidas, é necessário que lhes fornecêssemos, além do módulo e da unidade de
medida, uma direção e um sentido. Tais grandezas são chamadas de grandezas vetoriais.
Então, grandezas vetoriais são aquelas grandezas que, para ficarem plenamente
definidas necessitam, que além do módulo e da unidade de medida, sejam especificados
uma direção e um sentido.
Para indicarmos uma grandeza vetorial, escrevemos seu símbolo em negrito ou
encimado por uma pequena seta. Veja os exemplos:
ρ
ρ
• força: F ou F
• aceleração: a ou a
ρ
ρ
• velocidade: v ou v
• quantidade de movimento: Q ou Q
ρ
ρ
• campo elétrico: E ou E
• campo magnético: B ou B
Para se referir apenas ao módulo da grandeza vetorial, não se usa negrito nem seta,
apenas o valor numérico, a unidade de medida, desde que se especifiquem a direção e o
sentido.
Para se representar uma grandeza vetorial, faz-se uso do vetor, que é um ente
matemático que reúne em si, módulo, direção e sentido.
56
O vetor é representado por uma seta, um segmento de reta orientado. Tem os
seguintes elementos:
ρ
v
extremidade
Fig. 13 – Representação de um vetor.
origem
O vetor possui três características, definidas como se segue:
a) Módulo ou intensidade: é o número que indica quantas vezes a grandeza vetorial
considerada contém determinada unidade.
b) Direção: é o ângulo que sua reta suporte forma com um eixo de referência.
Reta suporte ou linha de ação é a reta que contém o vetor. Todo e qualquer vetor está
situado sobre uma reta, chamada reta suporte.
r
ρ
v
ρ
(reta suporte do vetor v , formando um ângulo α
com a reta horizontal)
)α
Fig.14 – Direção de um vetor.
c) Sentido: é a orientação do vetor sobre sua reta suporte.
ρ
b
ρ
a
r
Fig.15 – Sentido do vetor
Sobre uma reta, o vetor pode ter um dos dois sentidos.
4.1.1 – OPERAÇÕES COM VETORES
Um conjunto de vetores que agem sobre um ou mais pontos constituem um sistema.
Tais vetores podem ser substituídos por um único, chamado resultante e que produz os
mesmos efeitos que os demais produzem.
Vetores paralelos: são vetores que não se interceptam. Podem ser de mesmo sentido ou de
sentidos opostos.
57
a) Vetores paralelos e de mesmo sentido.
O ângulo entre eles é de 0°. r s
B) Vetores paralelos e de sentidos opostos.
O ângulo entre eles é de 180°.
r
s
ρ
a
ρ
b
ρ
b
ρ
a
Fig.16 – vetores paralelos
Fig. 17 – vetores
paralelos
O módulo do vetor resultante é dado
por
O módulo do vetor resultante é dado
por
R=a+b
R=a–b
ATIVIDADE 12
01) Exemplo: dois vetores força
F 1 = 2 newtons e F 3 = 3 newtons, ambos com a mesma
direção horizontal e de sentidos da esquerda para a direita, agem sobre um corpo. Determine
as características do vetor soma do sistema:
a) módulo
b) direção
c) sentido
02) Exemplo: Dois vetores, a = 10 unidades, horizontal, para a direita e, b = 4 unidades,
horizontal, para a esquerda, constituem um sistema. Determine as características do vetor
soma .
a) módulo
b) direção
c) sentido
Vetores concorrentes: são vetores que se interceptam num único ponto. Temos três casos:
a) Os vetores formam um ângulo qualquer entre si.
58
Processo gráfico: método do paralelogramo.
A soma vetorial é dada
Usando um esquadro e uma régua, redesenhamos
por
os vetores dados, de modo que suas origens sejam
R=a+b
coincidentes.
Analiticamente, a soma
é
Pelas suas extremidades, traçamos retas paralelas
dada por
aos vetores, de modo a completar um paralelogramo.
a
R
R= a 2 + b 2 + 2ab cos α
b
Fig.18 – Dois vetores formando um ângulo qualquer.
cos α representa o cosseno do ângulo entre dois vetores dados.
03) Dois vetores, a = 3m e b = 2 2 cm formam um ângulo de 45°. Sendo cos 45° =
2
,
2
determine o módulo do vetor soma do sistema.
04) Dois vetores, a = 5m e b = 8m, formam entre si um ângulo de 120°. Sendo cos 120°= –
determine o módulo do vetor resultante.
d) Os vetores são perpendiculares.
Processo gráfico: método do paralelogramo.
1
,
2
59
O processo é o mesmo do caso anterior. Basta
completarmos um paralelogramo (neste caso, um
A soma vetorial é indicada por:
ρ ρ ρ
R = a +b
retângulo) com os vetores fornecidos.
Analiticamente, a soma é dada por:
ρ
R
ρ
a
R=
a2 + b2
ρ
b
Fig.19 – dois vetores perpendiculares entre si.
A expressão acima é deduzida do Teorema de Pitágoras. Também, todos os quatro
casos podem ser resolvidos com a expressão R =
a 2 + b 2 + 2ab cos α , bastando substituir
cos α pelos seus respectivos valores.
05) Exemplo: duas forças F 1 = 6 newtons e F 2 = 8 newtons, formando entre si um ângulo de
90°, são aplicadas em um corpo. Determine o módulo do vetor força resultante.
Um recurso que nos será bastante útil em nossos estudos é a DECOMPOSIÇÃO DE
VETORES EM SEUS COMPONENTES ORTOGONAIS. É uma operação inversa da
adição de vetores.
Suponhamos que você queira determinar o módulo dos dois vetores ortogonais que
compõem um dado vetor V, o qual forma um ângulo α com a direção horizontal. A
decomposição consiste nos seguintes passos:
• desenhar o vetor dado sobre um sistema de eixos cartesianos, de modo que a origem do
vetor coincida com a origem dos eixos cartesianos e conservando a inclinação do vetor.
60
y
α(
VY
V
)α
0
VX
x
Fig.20 – Decomposição de um vetor em suas componentes ortogonais.
(Ver lançamento de martelo na primeira unidade do livro didático público)
• da extremidade do vetor V traçe uma linha tracejada, perpendicular ao eixo x. Fazendo isto,
você terá um triângulo retângulo, do qual o vetor V é a hipotenusa. O ponto de intersecção da
linha tracejada com o eixo x é a extremidade do vetor componente, V x . Esta componente,
que está sobre o eixo x e que tem origem coincidente com a dos eixos cartesianos, é um vetor
adjacente ao ângulo α. E a relação entre o vetor cateto adjacente e a hipotenusa é o cosseno do
ângulo α:
Vx
= cos α
V
IsolandoV x , temos:
V x = V.cos α
• novamente, pela extremidade do vetor V, trace uma perpendicular tracejada ao eixo y. Com
isto você tem outro retângulo retângulo, igual ao anterior, do qual o vetor V é a hipotenusa. O
ponto de intercecção de perpendicular tracejada com o eixo y é a extremidade do outro vetor
componente, V Y , do vetor V. Este vetor V Y é o vetor cateto oposto ao ângulo α. E a relação
entre o cateto oposto e a hipotenusa é o seno do ângulo α.
VY
= sen α
V
61
Isolando a variável V Y , temos:
V y =V.sen α
06) Exemplo: No esquema representado na figura abaixo, a força F tem módulo F = 200
newtons. Determine o módulo de seus componentes horizontal, F X , e vertical, F Y . São
dados: cos 37°= 0,80 e sen 37° = 0,60.
y
F
) 37°
0
x
CAPITULO V
INTERAÇÕES
63
5.1 - INTERAÇÕES
• Se um amigo(a) de quem você gosta muito estiver passando por uma fase muito
difícil, de que forma você INTERAGE com ele/ela?
Com certeza sua resposta seria: “Dando a ele/ela a maior força”.
• Se um líder político, religioso ou comunitário tem o carisma de aglutinar as pessoas
em prol de um projeto social, como é a INTERAÇÃO dessa pessoa com os cidadãos?
Dizemos que “ o carisma dele exerce FORÇA sobre as pessoas”.
• Em relação a um estudante que se dedica de corpo e alma aos estudos, dizemos que
existe uma INTERAÇÃO entre o estudante e o objetivo que ele deseja alcançar.
Dizemos que “essa pessoa tem FORÇA de vontade”.
• Uma pessoa é obrigada a tomar uma atitude devido a uma série de acontecimentos.
Qual seria uma outra forma de expressar esta frase?
Por FORÇA das circunstâncias, a pessoa é obrigada a tomar uma atitude.
Nos casos acima existe uma FORÇA, uma INTERAÇÃO entre uma ou mais pessoas,
ou entre uma pessoa e um objeto, mas não no sentido que os físicos lhe dão.
Agora vejamos as seguintes situações:
ATIVIDADE 13
01) Para acomodar o carro numa vaga do estacionamento, você utiliza alguns dispositivos do
carro. Escreva o por que do uso do:
Pedal do acelerador:___________________________________________________________
Pedal
do
freio:________________________________________________________________
Volante:____________________________________________________________________
02) Para decolar ou aterrisar um avião, o piloto utiliza o manete. Qual sua finalidade?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
03) Qual a finalidade da vela de um barco de competições? ___________________________
___________________________________________________________________________
04) Para que serve o leme de um barco ou de um avião? ______________________________
___________________________________________________________________________
64
Os dispositivos acima servem para controlar os movimentos, pois a mudança dos
mesmos não ocorre de maneira espontânea. Quando estes dispositivos são acionados, surgem
interações entre os corpos, que podem resultar em mudanças de direção dos movimentos, em
variações de velocidade ou deformações dos corpos. Na física, interações são forças que um
corpo aplica em outro.
5.2 - QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Em seus estudos filosóficos, vários pensadores do século XVII conceberam a idéia de
uma grandeza chamada quantidade de movimento. Para eles, a quantidade de movimento do
Universo deveria manter-se invariável, apesar da interação entre os corpos. René Descartes,
em seu livro PRINCIPIOS FILOSÓFICOS, publicado em 1644, faz as seguintes
afirmações:
“Cada coisa persevera no estado em que está, enquanto nada
muda”; “nenhuma coisa muda senão pelo encontro de outras”; Deus
criou a quantidade de movimento inicial do Universo e, a partir de
então, ela permanece sempre conservada, gerando dessa maneira, as leis
da natureza”. (TORRES, 2001, p.102-103).
ATIVIDADES PRÁTICA – VII
Objetivo: estudo qualitativo da quantidade de movimento.
Materiais utilizados:
• quatro pedaços de tubo de PVC, 3"
4
de polegada de diâmetro e que tenham
aproximadamente de 1,00m de comprimento.
• dois pedaços de mangueira de 1 polegada de diâmetro e que tenham 2,20 m de
comprimento.
• oito esferas de aço grandes e uma esfera de aço pequena
Procedimento
- introduza os quatro tubos nas extremidades das mangueiras.
- junte, lateralmente, as duas mangueiras, de modo a formar uma canaleta. Use cola de
secagem rápida.
- sobre uma das mangueiras faça marcas eqüidistantes entre si ou estique uma fita métrica ao
lado da mangueira sobre uma superfície horizontal.
65
Fig. 21 – Canaleta ou trilho condutor.
Acervo próprio
- Posicione a outra parte de modo que fique inclinada.
- na parte horizontal, coloque as esferas grandes em repouso, encostadas umas à outras.
- da extremidade elevada da canaleta, abandone uma esfera pequena e observe o
comportamento das esferas grandes durante e após o choque. Verifique se elas se deslocam e
de quanto foi o deslocamento da esfera que mais se afastou.
Lembrete: ao entrar na parte horizontal da canaleta, a esfera mantém a velocidade adquirida
na descida da parte inclinada.
- Abandone uma esfera grande da extremidade elevada da canaleta, fazendo as mesmas
observações.
- repita os procedimentos, abandonando as esferas de diferentes posições.
01) quais grandezas físicas afetaram os resultados da experiência? Como você relacionaria
estas grandezas entre si para explicar os fenômenos observados? Que hipóteses você e seus
colegas apresentariam?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
ATIVIDADES 14
Reflita sobre as seguintes situações:
66
Primeira:
• dois postes de concreto, idênticos, estão separados por uma certa distância.
• um deles é atingido frontalmente por um fusquinha de 600 kg de massa, que se deslocava a
72 km/h.
• o outro poste também é atingido frontalmente, mas por um caminhão de 4800 kg de massa,
que se deslocava também a 72 km/h.
01) Qual dos dois postes sofrerá maior destruição?___________________ Por que? ________
___________________________________________________________________________
Segunda:
• dois postes de concretos, idênticos, estão separados por uma certa distância.
• um deles é atingido frontalmente por um fusquinha de 600 kg de massa, que se deslocava a
54 km/h.
• o outro poste também é atingido por outro fusquinha de 600 kg de massa, mas que se
deslocava a 72 km/h.
02) Qual dos dois postes sofrerá dano maior?_______________________________________
Por que?____________________________________________________________________
Terceira:
• você atira uma pedra perpendicularmente contra uma parede, de maneira que ao chegar ela
tem velocidade de 8 m/s.
• você atira outra pedra igual à primeira contra a parede, mas numa direção não perpendicular.
A pedra atinge a parede com uma velocidade 8 m/s.
03) Você percebe que no primeiro caso, o estrago na parede foi maior. Por que? (Dê uma
olhada na decomposição de vetores).______________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Para podermos estudar estes fenômenos, é necessária uma grandeza que relacione a
massa do corpo com sua velocidade vetorial. A grandeza que nos permite esta análise é
a quantidade de movimento ou momentum linear. Costuma-se representá-la pela letra Q
ρ
ou P . Sua expressão é:
ρ
ρ
ρ
ρ
Q = m.v ou
P = m.v
A unidade de medida resulta do produto da unidade de massa pela unidade de velocidade. No
S. I. é kg.m/s
67
É uma grandeza vetorial, pois o produto de um número (massa) por um vetor
(velocidade vetorial) é também um vetor. Este vetor tem as seguintes características:
• direção: a mesma direção da velocidade v.
• sentido: o mesmo da velocidade v.
• módulo ou intensidade: Q = m.v
Para que dois ou mais corpos tenham quantidades de movimentos iguais, estas
quantidades deverão ser iguais em todas as três características: módulo, direção e sentido.
Nas situações mencionadas nos exemplos anteriores, usamos a quantidade de
movimento para medir o “poder de destruição” de um corpo em movimento. Mas seria correta
esta forma de tratar o problema?
Nas duas primeiras situações, a destruição maior foi causada pelo veículo com maior
quantidade de movimento. Mas, imaginemos outras duas situações:
- Primeira situação: o poste é atingido por um caminhão de massa 4800 kg, a 9 km/h.
- Segunda situação: um outro poste idêntico é atingido por um fusca de massa 600 kg, a 72
km/h.
Ambos têm a mesma quantidade de movimento. Neste caso, para descobrir qual deles
têm maior potencial destruidor, é necessário trabalharmos com o conceito de energia cinética,
pois o dano aos postes está relacionado com a energia cinética de um corpo e não com sua
quantidade de movimento.
Sistema constituído por mais de um corpo
Neste caso, a quantidade de movimento do sistema em cada instante é a soma vetorial
da quantidade de movimento de todos os corpos ou partículas:
ρ ρ ρ
ρ
ϖ
Q = Q1 + Q2 + Q3 + ... + Qn
05) Atividades: Duas pequenas esferas de massas respectivamente iguais a m 1 = 2kg e m 2 = 3
kg estão em movimento sobre a superfície horizontal de uma mesa com velocidades
respectivamente iguais a v 1 = 4 m/s e v 2 = 2m/s.
a) Determine a quantidade de movimento de cada esfera.
68
Nos casos seguintes, desenhe, na figura 2a, 2b e 2c o vetor velocidade e o vetor quantidade de
movimento de cada esfera bem como o vetor quantidade de movimento do sistema formado
pelas duas esferas, determinando seu módulo, direção e sentido, quando:
a) elas se movem na mesma direção e
b) elas se movem na mesma direção e
mesmo sentido
sentidos contrários
Fig. 22a
Fig.2 42b
c) elas se movem em direções perpendiculares
.
Fig. 22c
Figuras 43a, 43b e 43c: duas esferas em movimento
5.3 - VARIAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
ATIVIDADES PRÁTICAS – VIII
Objetivos: determinação da aceleração de um corpo, sua velocidade final e sua variação da
quantidade de movimento.
Materiais utilizados:
• canaleta feita com as lâmpadas fluorescentes ou com pedaços de tubo de PVC.
• esfera de aço.
• cronômetro.
69
Procedimentos:
- disponha a canaleta numa posição levemente inclinada.
- meça a distância a ser percorrida pela esfera dentro da canaleta.
- meça a massa da esfera.
- abandone a esfera na extremidade elevada da canaleta e determine o intervalo de tempo
gasto pela esfera para percorrer a distância medida de 25cm, 50cm, 75cm e 100cm (ou
aproveite os resultados das atividades práticas – III). Repita este procedimento e depois
determine o valor médio do tempo.
01) - usando simultaneamente a equação de Torricelli [ v 2 = v 02 +2.a.d] e a equação da
velocidade [v = v 0 + a.t], calcule a aceleração da esfera.
- de posse do valor do tempo e da aceleração, calcule a velocidade final da esfera.
02) - qual o módulo da quantidade de movimento da esfera no momento em que ela foi
abandonada?
___________________________________________________________________________
03) - calcule o módulo da quantidade de movimento da esfera ao término do percurso.
70
04) Qual foi a causa da variação da quantidade de movimento da esfera?
___________________________________________________________________________
Conforme vimos, um dos efeitos da ação de uma força sobre um corpo é a variação da
velocidade do corpo no qual a força atua.
05) Assinale a(s) característica(s) do vetor quantidade de movimento que sofreu/sofreram
variação/variações nesta prática:
( ) módulo ou intensidade
( ) direção
( ) sentido
ATIVIDADE PRÁTICA – IX
01) Obtenha uma bola de pingue-pongue ou outra parecida e atire-a perpendicularmente
contra uma parede. Assinale a(s) característica(s) do vetor quantidade de movimento da bola
que sofreu/sofreram variação/variações:
( ) módulo ou intensidade
( ) direção
( ) sentido
02) Agora, atire a bola contra a parede, mas numa direção não-perpendicular. Qual/quais
característica(s) do vetor quantidade de movimento sofreu/sofreram variação/variações?
( ) módulo ou intensidade
( ) direção
( ) sentido
03) Do seu dia-a-dia, o que você entende por impulso?
___________________________________________________________________________
04) Reflita sobre os fenômenos listados abaixo. Em todos eles vemos que ocorre uma variação
na quantidade de movimento, devido à ação de uma força resultante ( F ), num intervalo de
tempo ( ∆ t ). Geralmente nas colisões e nas explosões, as forças trocadas entre os corpos são
muitas intensas e de curta duração. Em cada caso, descreva a força exercida:
a) a bolinha de pingue-pongue que atinge uma parede. ___________________________
____________________________________________________________________
b) a bola que é desviada por um goleiro. ______________________________________
71
____________________________________________________________________
c) a flecha que é disparada por um arco. ______________________________________
____________________________________________________________________
d) um carro que é freado bruscamente num semáforo. ________________________________
___________________________________________________________________
5.4 - IMPULSO DE UMA FORÇA
Em cada fenômeno acima estão envolvidas as grandezas quantidade de movimento,
variação da quantidade de movimento intervalo de tempo e força.
O produto da força resultante que age sobre um corpo pelo intervalo de tempo em que
dura a ação da força é o impulso:
ρ ρ
I = F .∆t
Força é um vetor e tempo é um número escalar. Se o impulso é o produto da força pelo
intervalo de tempo, então o impulso é:
( ) uma grandeza escalar
( ) uma grandeza vetorial
direção: a mesma da força F.
sentido: o mesmo da força F.
módulo ou intensidade: I = F. ∆ t.
A unidade de medida do impulso é newton x segundo. ( N.s.)
O impulso de uma força provoca variação da quantidade de movimento de um corpo.
O Teorema do impulso diz:
ρ
ρ
O impulso I de uma força resultante F que age sobre um corpo de massa m é igual à
variação da quantidade de movimento do corpo, para um dado intervalo de tempo.
72
I
m
m
vi
F
vf
F
Fig. 23 – O impulso de uma força provoca variação da quantidade de movimento
ρ
ρ ρ
I = Q f − Qi
ATIVIDADES – 15
01) Um taco de bilhar acerta uma bola de 0,1 kg, inicialmente em repouso, exercendo uma
força média de 100N, durante 10 milisegundos. Usando o teorema do impulso, determine a
velocidade que a bola adquire após o impacto.
2) Um corpo de 20 kg de massa, deslocando se sobre uma superfície horizontal perfeitamente
lisa, sofre o impulso de uma força I = 60 N.s, no sentido do seu movimento, no instante em
que a velocidade do corpo era v i = 5 m/s. Sabendo ainda que a aceleração média sofrida pelo
corpo durante a atuação da força foi de 300 m
a) a velocidade final do corpo
s2
, determine:
b) o tempo de atuação da força c) calcule o valor médio da
(use v f = v i + a.t )
73
03) Deixamos para você o encargo de substituir, na expressão do impulso, I por F. ∆ t, Q i por
m.v i , Q f por m.v f ,
v f − vi
∆t
por a (aceleração) e, isolando a variável F, obter uma das
famosas leis de Newton. Faça uma pesquisa e escreva as unidades de medida desta grandeza.
A expressão que você deduziu relaciona força com a variação temporal da velocidade do
corpo (aceleração). Mas como os pensadores chegaram a esta expressão?
5.5 - EVOLUÇÃO HISTÓRICA DOS CONCEITOS DE FORÇA E MOVIMENTO
Vamos fazer resumidamente, uma reconstrução histórica da evolução do pensamento
sobre os conceitos de força e de movimento. Para isto, devemos começar nossa viagem pela
história da física partindo do antigo universo grego, tomando contato com o pensamento
aristotélico.
Aristóteles se preocupou em descrever e interpretar o mundo. O problema do
movimento foi objeto de rigoroso estudo e sistematização. O universo concebido por
Aristóteles era fechado e hierarquizado sendo constituído de esferas concêntricas centradas na
Terra. Neste, havia duas naturezas: uma celeste, acima da esfera que continha a Lua. Era o
mundo supra-lunar. Este mundo era movido pelo motor divino, o qual girava a esfera que
continha as estrelas e arrastava todos os corpos celestes: a Lua, o Sol, as estrelas e os planetas
ao redor da Terra. O espaço acima da esfera supra-lunar era constituído por uma
matéria
incorruptível, o éter. O movimento das esferas dos astros era considerado o movimento
perfeito, circular e uniforme. Sem começo nem fim, era considerado o movimento natural de
tudo que é perfeito.
A outra natureza, era o mundo sublunar, abaixo da esfera da Lua. Era constituído pelos
quatro elementos: terra, água, ar e fogo. Neste mundo, cada ser tinha uma natureza que lhe era
própria, possuindo seu lugar natural no universo, onde tudo era hierarquizado. O movimento
era uma ruptura do equilíbrio, pois retirava as coisas de seu lugar natural, de repouso. O
74
movimento cessava assim que as coisas voltassem ao seu lugar natural. Para Aristóteles havia
dois tipos de movimento:
• movimento natural: movimento que levava os corpos aos seus lugares naturais.
• movimento violento ou forçado: movimento dos corpos, causado pela ação contínua de um
agente externo.
Ao tirar os corpos de seus lugares naturais, emerge a idéia de força. O corpo era
animado de movimento somente enquanto durasse a força. Quando acabava a força, o corpo
procurava seu lugar natural.
Os movimentos eram sempre retilíneos. Uma pedra lançada com uma funda numa
direção inclinada, se moveria em linha reta inclinada enquanto durasse a força do ar que a
empurrava. Esgotada essa força, a pedra passaria a percorrer uma trajetória retilínea vertical
para baixo. Cessada a causa, cessava-se o efeito.
Como explicar então o fato de uma pedra continuar seu movimento, mesmo após ter
deixado o contato com a mão do lançador? Inicialmente, Aristóteles vale se da explicação
proposta por Platão, que afirmava que esse tipo de movimento se processava como
conseqüência da compressão do ar na frente do projétil e do empuxo aplicado à retaguarda do
mesmo devido ao refluxo do ar em torno do projétil, movendo-o assim mais rapidamente que
seu movimento natural. É o processo da antiperístasis.
Esta explicação não satisfaz Aristóteles. Conforme SOUZA CRUZ (1985), Aristóteles
elaborou uma outra teoria, explicando que um projétil, ao se mover, desloca uma quantidade
de ar. Esta quantidade de ar se movimenta para ocupar o espaço vazio deixado pelo projétil na
parte traseira, impulsionando-o.
De acordo com a concepção aristotélica, em todo movimento existem duas forças: a
força motriz ( F ) e a força de resistência ( R ). Para que ocorra movimento, a força motriz
deve ser maior que a força de resistência. Modernamente, poderíamos escrever:
F>R
Pelo trecho abaixo, podemos deduzir que a velocidade é inversamente proporcional à
resistência do meio:
“Seja o corpo A transportado através do meio B, durante o tempo
C e através do meio D, menos denso que B, durante o tempo E. Se B é
igual a D em comprimento, o tempo será proporcional à resistência do
meio... e assim tanto o meio é menos denso, fracamente resistente, mais
rápido é o transporte”(BAPTISTA e FERRACIOLI, 1999, p. 191).
75
Com os recursos modernos, o raciocínio de Aristóteles poderia ser expresso do
seguinte modo:
vα
1
R
Em seus escritos, Aristóteles reforça a idéia do contato constante do motor com o
móvel:
“Tudo que se move, deve ser movido por alguma coisa”
(BAPTISTA e FERRACIOLI, 1999, p. 191).
Aristóteles deixa de maneira clara o enunciado da lei da dinâmica:
“A velocidade de um móvel que se desloca num meio, é
diretamente proporcional à força aplicada ao corpo e inversamente
proporcional à resistência do meio” (BAPTISTA e FERRACILI, 1999,
P. 192).
Com os recursos modernos, podemos escrever este enunciado aristotélico como segue:
vα
F
R
Aristóteles defende a tese da inexistência do vácuo:
“O deslocamento natural... tem suas diferenças...de modo que os
objetos que naturalmente se movem são diferentes. Assim, não existe, por
natureza, nenhum deslocamento em nenhum lugar e por nenhuma coisa,
e, se isto existe, não existe de fato o vácuo”. (ARISTÓTELES, 1993, p.
12).
O ar, ao mesmo tempo em que impulsionava o corpo, resistia ao movimento.
Como já foi dito, para que ocorresse o movimento, a força motriz deveria vencer a resistência.
Quanto maior a força, mais rápido o movimento. Para que ocorresse o movimento
uniforme, era
necessário o equilíbrio entre a força motriz e a força de resistência.
Refletindo sobre essas idéias, chega-se à impossibilidade da existência do vácuo, pois
nele, não havendo resistência ao movimento, a velocidade seria infinita. Então, para explicar a
uniformidade do movimento dos corpos celestes, propunha que o espaço supra-lunar deveria
estar cheio de um meio: o éter. De acordo com o professor Marcos César D. Neves, esta
conseqüência pode ser deduzida da relação
vα
F
R
76
e concluir que a lei da dinâmica de Aristóteles não é valida em qualquer situação, por
isto...“ela não é uma afirmação universal das condições do movimento”. (NEVES, 2000, p.
61).
Para Aristóteles, a velocidade dos corpos em queda livre depende do peso e da
densidade do meio. Apesar de não ter noção de gravidade e de variação da velocidade no
decorrer do tempo, Aristóteles articulava as observações de que dispunha de maneira bastante
lógica.
Esta conclusão de Aristóteles de que corpos mais pesados cairiam mais depressa que
corpos mais laves de mesmo tamanho, foi confrontada e negada por Galileu na sua famosa
experiência (factual ou não) na Torre de Pisa. O pensamento aristotélico tinha um grande
poder de convencimento pela beleza e clareza dos argumentos deste grande expoente da
filosofia grega.
5.6 - A TEORIA DO ÍMPETUS
No caminhar da história surgiram contestações às idéias de Aristóteles, das quais a
mais controversa foi a antiperístasis.
Hiparco (séc. II a.C.) não aceitava esta teoria. Ele acreditava em uma
força impressa que passava ao corpo pelo agente motor, força que
diminuía à medida que o corpo se deslocava em um meio dissipativo
(NEVES, 1999, p. 36).
No século IV d. C., Philoponus, filósofo de Alexandria, rejeita a teoria aristotélica,
reconcebe a idéia de força impressa, de maneira independente de Hiparco. De acordo com
este filósofo, a única contribuição do meio era a resistência ao movimento, e a velocidade
seria proporcional à diferença entre a força motriz ( F ) e a resistência ( R ) do meio:
v α (F – R)
A teoria proposta por Philoponus foi o primeiro passo na concepção da existência de
movimento sem a influência motora do meio, pois, ao contrário da teoria aristotélica, a
existência do vácuo era uma possibilidade.
Com o colapso do Império Romano, o Ocidente perde o elo de contato com a cultura
grega. O sistema aristotélico-ptolomáico foi seu último grande legado. Tal império se reergue
sob a ação de Carlos Magno e com a atuação da Igreja. A religião passa a se transformar em
77
soberana absoluta das idéias e da vida das pessoas. Assim, dos séculos V a XII, a filosofia e a
ciência quase desapareceram.
Do século XII em diante a Europa passa por grandes transformações com a expansão
árabe, com o renascimento do comércio, com o surgimento de novas classes sociais como o
mercador, o moedeiro, os primeiros bancos e as grandes cidades.
Nesse cenário, a cultura árabe desempenhou um papel crucial para que o Ocidente,
retomando o contato com a cultura grega, se renovasse intelectualmente. Ao traduzirem as
obras dos filósofos, inúmeros pensadores árabes, principalmente Avicena, Avempace e
Averroes, contribuíram com idéias e comentários. O estudo de seus textos originou a tradição
escolástica e a criação das primeiras universidades da Europa, dentre elas, Bolonha, Paris e
Oxford.
Para os fins a que se propõe o presente trabalho, não é possível abordar toda gama de
contribuições geradas no período entre Aristóteles e Newton. Assim, vamos nos ater às
ponderações daqueles que, na opinião dos especialistas, foram os que apresentaram as mais
significativas contribuições sobre o estudo do movimento: Jean Buridan, Nicolau Oresmes,
Galileu Galilei e Isaak Newton.
• Jean Buridan ( 1300-1382), da Universidade de Paris, aperfeiçoou a noção de ímpetus,
independentemente dos trabalhos de seus antecessores. Para ele, o ímpetus seria uma força
transmitida ao corpo pelo agente motor, tornando-se uma força motriz incorpórea.Seria
permanente desde que não houvesse resistência externa. Nas idéias de Buridan, há resquícios
do pensamento aristotélicos: vencida a força impressa, o corpo procurava seu lugar natural
(cessant causa cessat efecttus).
Para Buridan, a contínua aceleração dos corpos em queda livre era devida à gravidade
que imprime ao corpo mais e mais ímpetus. À medida que o ímpetus aumenta, a velocidade
também aumenta.
Quando lançado verticalmente para cima, a velocidade inicial representa um ímpetus
impresso no corpo. À medida que o corpo sobe, este ímpetus diminui devido à gravidade até
anular-se no ponto de altura máxima. A partir daí a gravidade comunica-lhe velocidade e
ímpetus que crescem até atingir a velocidade de partida.
• Nicolau Oresmes (1325-1382) retoma a teoria do ímpetus de Buridan, rejeita a idéia do
ímpetus divino para o movimento eterno e constante dos céus e a idéia do ímpetus permanente
em um corpo, considerando-a auto-consumível. Daí que, nenhum movimento seria infinito,
admitindo assim, a existência do vácuo.
78
O desenvolvimento da física do ímpetus na história foi uma longa caminhada na qual
houve avanços e retrocessos. Teve períodos nos quais a física do ímpetus se viu
impossibilitada de dar respostas a um número sempre crescente de problemas ancorada no
paradigma vigente. Esta crise paradigmática obrigou a comunidade científica à busca de
novas teorias que lhe permitissem responder as grandes questões da época.
As luzes deste paradigma surgiram no século XIV, como você viu no texto “UMA
VISÃO HISTÓRICA DO MOVIMENTO”. Como comentou o historiador russo Koyré, as
contribuições dos inúmeros pensadores ao longo da história prepararam o caminho para que
Newton desenvolvesse a teoria sobre o movimento e suas causas.
ATIVIDADE 16
Resolva as seguintes cruzadinhas:
2
3
1
7
6
8
4
5
1 –único movimento admissível no mundo da perfeição aristotélica
2 – o que era impossível existir no universo concebido por Aristóteles
3 – “Cessada a causa, cessava-se o efeito” caracteriza a física de Aristóteles como
Não................
79
4 – fenômeno em que um corpo se movimenta impulsionado pelo próprio ar que o circunda de
acordo com a concepção de Aristóteles.
5 – filósofo cuja teoria admitia a existência do vácuo.
6 – Empédocles foi um filósofo grego que afirmava que o universo era constituído de quatro
elementos: terra, ar, fogo e .................
7 – povo cuja contribuição foi vital para a renovação intelectual do Ocidente.
8 – de acordo com a teoria de Jean Buridan, o ............................ é uma força transmitida ao
corpo pelo agente motor, tornando-se uma força motriz incorpórea, imanente.
5.7 - ALGUNS TÓPICOS DOS TRABALHOS DE NEWTON
Como uma tocha olímpica que um atleta passa ao outro numa maratona, assim é a
tocha da ciência. Os trabalhos dos pensadores são assumidos pelos que lhes sucedem,
discutidos, depurados e reelaborados. Newton retoma os trabalhos de Galileu, Descartes e de
muitos outros para elaborar o seu trabalho PRINCIPIOS MATEMÁTICOS DE
FILOSOFIA NATURAL.
No livro didático público que você recebeu do Estado, você encontrará alguns tópicos
deste trabalho (definições, comentários e leis).
5.7.1- SEGUNDA LEI DE NEWTON
ATIVIDADE 17
01) Nas linhas abaixo, copie as definições I e III (páginas 52 e 53):
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
02) Nas definições acima, Newton se refere a uma mesma grandeza, de duas maneiras
diferentes. Em linguagem moderna, que grandeza é esta?_________________Que
propriedade esta grandeza apresenta?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
80
03) Para você entender melhor:
Dois veículos, um caminhão de grande porte e um fusquinha deslocam-se com
velocidades iguais. Qual deles é mais fácil de ser freado?___________________________ __
Qual é a grandeza que resiste a esta variação do movimento (frenagem)?_________________
Portanto, a massa de um corpo tem a propriedade de se opor à variação da quantidade
de movimento. Por isto se diz que a massa é a medida da inércia do corpo. É o que emerge da
definição III: a massa é interpretada como uma força que se opõe à mudança de movimento.
De acordo com Otávio César Castellani, do Centro de Pesquisas Físicas,
...”o exercício dessa força (a vis ínsita) pode ser considerado sob duplo
aspecto: de resistência e de ímpeto. Resistência, enquanto, para
conservar o seu estado, o corpo se opõe à força impressa; ímpeto,
enquanto o mesmo corpo, dificilmente cedendo à força do obstáculo
oposto, esforça-se por mudar o estado deste...”(Extraído do comentário
de Isaak Newton sobre a definição III ).
05) Escreva nas linhas abaixo a definição IV (página 54).
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Agora veja o enunciado da segunda lei, chamada lei fundamental do movimento:
“A mudança do movimento é proporcional à força motora e é produzida na direção
da linha reta na qual aquela força é imprimida”.
De acordo com a definição IV, esta força é de curta duração. Age somente para alterar
o estado do corpo. Ela não permanece no corpo quando termina a ação. E é contra esta força
que a massa do corpo atua para conservar o movimento. Em situações como esta, a massa do
corpo é chamada de massa inercial.
Existem duas formas de expressar matematicamente esta segunda lei:
a) em termos da variação da quantidade de
b) em termos de massa e aceleração.
movimento.
F=
∆Q
∆t
F = m.a
81
Voltemos agora para a experiência da esfera que rola por uma canaleta. A força que
age sobre o corpo neste caso é a força de atração da Terra (força gravitacional), comumente
representa pela letra P (peso). E esta ação ocorre num intervalo de tempo muito grande. E a
segunda lei não se refere a este tipo de força. Neste caso, a massa do corpo não se caracteriza
como um obstáculo à variação do movimento, mas como uma reação do corpo à ação
gravitacional. Por isto é chamada de massa gravitacional.
O texto que se segue é a Definição VIII e seu comentário que Newton apresentou em
seu trabalho. Leia e sublinhe o trecho em que Newton dá a definição matemática do peso.
Definição VIII
A quantidade motora de uma força centrípeta é a medida da mesma, proporcional ao
movimento que ela gera em um dado tempo.
Comentário:
Assim, o peso é maior em um corpo maior e menor em um corpo menor; e, em um
mesmo corpo, é maior próximo à Terra e menor à distâncias maiores. Esse tipo ( * ), ou, como
posso dizer, seu peso; e é sempre determinada pela quantidade de uma força igual e contrária
de quantidade é uma propensão que o corpo inteiro tem de se dirigir para o centro exatamente
suficiente para impedir a queda do corpo.
A essas quantidades de forças podemos chamar, para sermos breves, pelos nomes de
força motora, acelerativa e absoluta; e para estabelecermos distinção, podemos considerá-las
com relação aos corpos que tendem para o centro, aos lugares desses corpos e ao centro de
força para o qual elas tendem; isto é, atribuo a força motora ao corpo como um esforço e
propensão do todo em direção a um centro, surgindo das propensões das diversas partes
tomadas em conjunto; a força acelerativa ao lugar do corpo, como um certo poder difundido
do centro para todos os lugares ao redor para mover os corpos que aí estiverem; e a força
absoluta ao centro, enquanto dotado de alguma causa sem a qual aquelas forças motoras não
se propagariam pelos espaços circundantes; quer seja aquela causa um corpo central (tal como
é o ímã no centro da força magnética, ou a Terra no centro da força gravitacional), ou
qualquer outra coisa que ainda não apareceu. Pois pretendo apenas proporcionar uma noção
matemática daquelas forças, sem considerar as causas e os fundamentos físicos. Portanto a
força acelerativa manterá a mesma relação com a motora que a celeridade com o movimento
Pois a quantidade de movimento é o produto da velocidade pela quantidade de matéria; e a
força motora é o produto da força acelerativa pela mesma quantidade de matéria. Pois a soma
82
das ações da força acelerativa sobre as várias partículas do corpo é a força motora do todo.
Assim é que, próximo à superfície da Terra, onde a gravidade acelerativa ou a força que
produz a gravidade em todos os corpos é a mesma, a gravidade motora ou o peso é como o
corpo. Mas se subíssemos a regiões mais altas, onde a gravidade acelerativa é menor, o peso
seria da mesma maneira diminuído, e seria sempre o produto do corpo pela gravidade
acelerativa. Assim, naquelas regiões onde a gravidade acelerativa é diminuída pela metade, o
peso de um corpo duas ou três vezes menor será quatro ou seis vezes menor.
Da mesma forma, denomino atrações e impulsos de acelerativos e motores, e uso as
palavras
atração,
impulso, ou
propensão
de
qualquer
tipo
na
direção
de um
centro,
indistintamente; considerando essas forças não fisicamente, mas matematicamente. Portanto o
leitor não deve imaginar que, por estas palavras, eu queira definir em qualquer parte do texto
o tipo, ou a maneira de qualquer ação, suas causas ou razões físicas, ou que atribua forças em
um sentido verdadeiro e físico, a certos centros (que são apenas pontos matemáticos), quanto
referir-me a centros como atrativos ou como dotados de poderes atrativos.
( * ) N. T. – No original, “centripetency”, caracterizando tendência para o centro,
“centripetência”.
06) Escreva, dentro do retângulo, a expressão matemática do peso de um corpo conforme o
trecho que você sublinhou.
5.8 - GALILEU GALILEI E O MOVIMENTO UNIFORME
Analisando o movimento de um corpo num plano inclinado, Galileu observou que:
• no caso de planos inclinados descendentes, existe uma força de aceleração.
• no caso de planos inclinados ascendentes, existe uma força de retardamento.
Então ele concluiu que nos casos dos planos horizontais não deve haver retardamento
nem aceleração no movimento do corpo. Ao longo de um plano horizontal, o movimento deve
ser permanente, desde que não hajam resistências ao movimento.
De acordo com NEVES (2000), o corpo está sujeito a ação constante de uma força em
direção ao centro da Terra. Portanto, não é inércia. O que permanece é a conservação do
momento angular, de todo desconhecido por Galileu (NEVES, 2000, pp.95-96).
83
5.9 - CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
E AS LEIS DO
MOVIMENTO
ATIVIDADES PRÁTICAS – X
Objetivo: Observar e descrever o movimento de esferas em um pêndulo composto
Materiais utilizados
• duas esferas de aço iguais (ver em depósito de ferro velho) ou de outro material qualquer.
• dois ou mais pedaços de linha de pesca, com 30 cm cada.
• fita crepe.
• cola Super Bond.
• “ripinhas” de madeira com 20 cm de comprimento cada. Que não seja muito larga, em torno
de 1,5 cm.
• Massa durepoxi
• doze espetinhos de madeira para churrasco.
Procedimentos
- com os espetinhos, durepoxi e super bonder, construa as arestas de um cubo.
- dobre cada pedaço de linha ao meio. Coloque a parte dobrada sobre a esfera e sobre ela
coloque um pingo de cola Super Bond e espere secar.
- com a fita crepe ou Super Bond fixe as extremidades livres da linha na “ripinha”, de modo
que a esfera fique pendurada pelo vértice de um V formado pela linha. Use uma “ripinha”
para cada esfera. Os “V” devem ser iguais.
- posicione as quatro ripinhas sobre uma das faces do cubo, de modo que fiquem
aproximadamente paralelas.
- regule a distância entre as ripinhas, de forma que as esferas se toquem levemente.
- levante uma bolinha e solte
Observe o que ocorre, reflita e elabore uma teoria para explicar o fenômeno para sua
turma.
84
Fig. 24 – Pêndulo composto
Acervo próprio.
ATIVIDADE PRÁTICA – XI
Objetivo: Observar e descrever o movimento de esferas antes e após as colisões.
Materiais utilizados
• duas esferas iguais de aço ( ver em depósito de ferro velho ) ou de outro material qualquer.
• quatro pedaços de tubo de PVC, com aproximadamente 1 m de comprimento cada e
pequeno diâmetro.
• dois pedaços de mangueira de 2,10m cada, aproximadamente, de diâmetro suficiente para
nela embutir os tubos de PVC
• cola para PVC ou Super Bond.
Procedimentos
- introduzir dois tubos em cada pedaço de mangueira, deixando um espaço livre na parte
central de cada pedaço de mangueira, permitindo a sua flexibilidade. Para redução de custo,
poderia ser usado cabo de vassoura, mas a madeira (geralmente o pinus) tem o inconveniente
de envergar.
- construa duas canaletas com as mangueiras, colando-as uma ao lado da outra.
- improvise com as canaletas, uma rampa inclinada seguida de outra horizontal sobre uma
mesa ou mesmo no chão.
- coloque uma esfera em repouso sobre a rampa horizontal num ponto um pouco afastado do
fim da rampa inclinada.
- abandone uma esfera a partir da extremidade elevada da rampa inclinada.
01)Observe o que ocorre, reflita e elabore uma teoria para explicar o fenômeno para a sua
turma.
85
Fig.25 – Plano inclinado articulado com um plano horizontal
Acervo próprio
ATIVIDADES PRÁTICAS – XII
Objetivo: Observar e descrever o movimento de carrinhos antes e depois das colisões.
Materiais utilizados
• dois carrinhos de aço de mesma massa.
• uma tábua leve e fina ou outro material similar, que tenha de 8cm a 10 cm de largura e de 80
cm a 100 cm de comprimento.
• quatro filetes ou baguetes de madeira (ripinhas) com o mesmo comprimento da tábua.
• cola branca.
• Cartolina
• fita durex.
Procedimentos
- com cola branca, fixe dois baguetes nas laterais da tábua, de modo a formar um corredor
para os carrinhos. Os corredores deverão ter larguras suficientes para os carrinhos: nem
“apertados” e nem “largos”.
- sobre uma mesa ou no chão, disponha a tábua numa posição inclinada, apoiada sobre livros
ou qualquer outro objeto. Fixe-a com fita crepe.
- fixe os outros dois baguetes na continuação da rampa inclinada, para que o corredor se
prolongue sobre o tampo da mesa ou sobre o piso.
- usando fita crepe, forre o corredor com cartolina para que ao passar da parte inclinada para a
parte horizontal, o carrinho não tenha que “saltar”.
- coloque um carrinho em repouso sobre o corredor horizontal, um pouco afastado do final da
rampa inclinada.
- abandone o outro carrinho a partir da extremidade elevada da rampa inclinada.
86
- na vida real, às vezes ocorre que numa colisão entre veículos, um fique grudado no outro.
Se você quizer reproduzir esta situação, cole um pedaço de fita crepe no pára-choque dos
carrinhos, enrolando a fita crepe, de modo a formar uma fita de dupla face.
01)Observe o que ocorre, reflita e elabore uma teoria para explicar o fenômeno para sua
turma.
Fig. 26 – Colisões de veículos.
Acervo próprio.
ATIVIDADES PRÁTICAS – XIII
Objetivo: Observação da conservação da quantidade de movimento e do fenômeno da ação e
reação.
Materiais utilizados
• balão (bexiga).
• linha de pesca.
• fita adesiva, de preferência, “Durex”.
• canudo de refrigerante.
Procedimentos
- encha o balão, provisoriamente, para escolher o local onde fixar o canudo, de modo que o
balão fique paralelo ao canudo. Fixe o balão no canudo com fita adesiva.
- passe a linha de pesca através do canudo.
- encha o balão e, com a linha esticada, solte-o.
01) Observe o que ocorre, reflita e elabore uma teoria para explicar o fenômeno para a sua
turma.
87
Fig. 27 – Ação e e reação e conservação da quantidade de movimento.
Acervo próprio
ATIVIDADES PRÁTICAS – XIV
Objetivo: Observação da conservação da quantidade de movimento e do fenômeno da ação e
reação.
Materiais utilizados
• embalagem de filme fotográfico (potinho plástico).
• tampa de garrafa PET.
• bicabornato de sódio.
• canudo de refrigerante.
• linha de pesca.
• fita crepe.
• água
Fig.28 – Ação e reação e conservação e conservação da quantidade de movimento.
Acervo próprio.
88
Procedimentos
- corte um pedaço de canudo do mesmo comprimento do potinho.
- fixe o canudo longitudinalmente ao potinho com fita crepe.
- encha um pouco menos da metade do volume do potinho com água.
- coloque bicarbonato de sódio na tampa de garrafa PET, o suficiente para que a tampa não
afunde ao ser colocada sobre a superfície da água.
- tampe o potinho, agite-o e, com a linha esticada, solte-o.
01) Observe o que ocorre, reflita e elabore uma teoria para explicar o fenômeno para sua
turma.
ATIVIDADES PRÁTICAS - XV
Objetivo: Observação da conservação da quantidade de movimento e do fenômeno da ação e
reação.
Materiais utilizados
• embalagem de filme fotográfico (potinho plástico).
• tampa de garrafa PET.
• bicarbonato de sódio.
• placa de isopor retangular fina ou outro material leve, de 10cm x 15cm.
• um pequeno pedaço de isopor para servir de calço para o potinho.
• fita crepe.
• nove espetinho para churrasco (bambu).
• cola Super Bond.
• massa durepoxi.
Procedimentos
- com os espetinhos, usando Super Bond e/ou Durepoxi, construa as arestas de um prisma
triangular reto.
- com a placa retangular e a linha, confecione um “balanço” suspenso pelos quatro cantos e
por uma das arestas laterais.
- coloque dentro do potinho uma quantidade de água menor que a metade do seu volume.
- coloque bicabornato de sódio na tampa da garrafa PET em quantidade suficiente para que
não afunde ao ser colocada na superfície da água.
- coloque o potinho sobre a placa retangular sobre um calço pré-colocado, de modo que fique
numa posição inclinada e que sua tampa não encontre obstáculo ao ser disparada.
89
Fig. 29- Ação e reação e conservação da quantidade de movimento.
Acervo próprio
.
- tampe o potinho, agite-o e libere o conjunto em repouso.
Observe o que ocorre e explique o fenômeno para a sua turma.
ATIVIDADES PRÁTICAS - XVI
Objetivo: Observar a conservação da quantidade de movimento e o fenômeno da ação e
reação.
Materiais utilizados
• um retângulo de madeira de 10cm por 15 cm, fino e leve.
• três pregos pequenos.
• um elástico para dinheiro.
• linha de costura.
• dois pedaços de barbante ou linha de pesca.
• nove espetinhos de churrasco ( bambu).
• cola Super Bond e/ou massa Durepoxi.
Procedimentos
- com os espetinhos, usando Super Bond e/ou massa Durepoxi, construa as arestas de um
prisma triangular reto.
- confecione um balanço com o retângulo e os pedaços de barbante ou linha de pesca, de
modo que o retângulo fique suspenso pelos quatro cantos e por uma das arestas laterais.
- em dois pontos situados próximos às extremidades do lado mais curto do retângulo espete
dois preguinhos. No centro da borda oposta, espete o outro prego.
- pelos dois pregos dos cantos da placa passe o elástico de dinheiro. Amarre no centro do
90
elástico um pedaço de linha. Puxe o elástico pela linha e amarre a no prego que está espetado
no centro da outra base mais curta da placa. O elástico tomará a forma de um V. Deve-se ter o
cuidado de não encostar o V do elástico neste prego; portanto, deixe um pequeno pedaço de
linha esticado segurando o vértice V no prego.
- coloque dentro do vértice do elástico um pequeno projétil, que não tenha atrito.
- com um fórforo queime a linha que está segurando o vértice do elástico.
01) Observe o que ocorre, reflita e elabore uma teoria para explicar o fenômeno para sua
turma.
Fig.30 – Ação e reação e conservação da quantidade de movimento
Acervo próprio
ATIVIDADES PRÁTICAS – XVII
Objetivo: Observar as forças de ação e reção.
Materiais utilizados
• dois skates .
• um pedaço de corda ( 2,5 metros aproximadamente).
Procedimento
- posicionar os skates numa mesma linha reta, distanciados entre de 3,0 m.
- solicitar que dois alunos, cada um segurando firmemente uma extremidade da corda, subam
sobre os skates e disputem um cabo de guerra.
- Sobre um skate, você é capaz de puxar seu colega sem sair do lugar? _________ Expique o
que você observa de acordo com as leis de Newton.
_________________________________________________________________________
91
Nos trabalhos práticos que vocês apresentaram, podemos constatar a atuação de forças
que aparecem aos pares:
• choque entre as esferas na canaleta: elas exercem forças iguais, uma sobre a outra, em
módulo e direção, mas de sentidos contrários.
• choque entre os carrinhos: na colisão, os carrinhos exercemforças iguais, um sobre o outro,
em módulo e direção, mas de sentidos contrários.
• o gás exerce força contra o potinho e o potinho exerce força contra o gás, ambas de mesmo
módulo, mesma direção e sentidos opostos.
• o elástico exerce força contra o projétil e o projétil exerce força contra o elástico.
• as forças trocadas entre os personagens na figura 62 são iguais em módulo e direção, mas de
sentidos opostos.
Interações entre corpos e/ou partículas como os que vocês registraram a partir
de seus trabalhos, foram estudadas por Newton. Baseado nestes estudos, ele formulou uma de
suas famosas leis em sua obra Princípios Matemáticos de Filosofia Natural, conhecida
como lei da ação e reação ou princípio da ação e reação:
5.9.1 - TERCEIRA LEI DE NEWTON
“A toda ação há sempre oposta uma reação igual, ou, as ações mútuas de dois
corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas às partes opostas”.
Em linguagem moderna, poderia ser enunciada como segue:
“Quando um corpo A exerce uma força F A num corpo B, este exerce em A uma
força F B , de mesmo módulo e direção de F A , mas de sentido oposto”.
A força de ação é aplicada num corpo e a de reação, no outro. Então, a resultante
destas forças não é nula. Se fosse nula, os corpos ficariam em repouso ou em movimento
retilíneo uniforme como foi demonstrado por Galileu.
Mas as quantidades de movimento dos objetos deste sistema podem ser somadas e a
soma é igual a zero, pois os vetores quantidade de movimento são iguais em módulo e
direção, mas de sentidos opostos.
Temos o antes e o depois. “No antes”, o sistema estava em repouso, portanto, a
quantidade de movimento é zero. “No depois” o sistema esteve em movimento. Temos então:
92
antes
=
0
=
depois
m A .v A + (– m B .v B )
O sinal negativo indica que o vetor tem sentido oposto ao do outro vetor. Da igualdade acima,
resulta:
ρ
ρ
Q A = QB
ρ
ρ ϖ
m B .v B = m A .v A ou
Não houve variação na quantidade de movimento do sistema. Mas isto só ocorre se
não houver nenhuma força resultante externa ao sistema agindo sobre ele. Se a resultante das
forças externas for nula, temos:
FR = 0
Mas
FR=
Então
QB − Q A
∆t
→
QB − Q A
=0
∆t
ρ
ρ
QB = Q A
ATIVIDADES 18
01) Um jovem estaciona seu barco com a proa (dianteira) perpendicular à margem de uma
lagoa de águas tranqüilas. O jovem caminha da popa (traseira) em direção à proa, com a
finalidade de descer do barco. Entretanto, ele não consegue seu intento. Como você poderia
explicar tal fato usando os princípios da física?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
02) Um remador e seu barco têm, juntos, massa de 150 kg. O barco está parado e o remador
salta dele com uma velocidade de 8 m/s. O barco afasta com uma velocidade contrária de 7
m/s. Calcule as massas do remador e do barco.
93
O raciocínio é o mesmo para um sistema isolado e constituído por um grande número
de partículas, colidindo ou não, continuamente entre si:
• as partículas trocam forças entre si (ação e reação). Tais forças são iguais em módulo e
direção, mas de sentidos opostos.
• Para cada par de forças (ação e reação) correspondem duas quantidades de movimento,
também de mesmo módulo e direção, mas de sentidos opostos. Por isto, num sistema isolado,
a quantidade total de quantidade de movimento se conserva desde que não haja interferência
de forças externas.
Assim, podemos pensar o universo como um sistema cuja quantidade de movimento
se conserva.
Mas agora pense num sistema constituído por um único corpo, que se desloca com
velocidade constante. É fácil perceber que neste caso ele não tem a sua quantidade de
movimento variada. Então:
m.v d = m.v a
m.v d – m.v a = 0
Colocando m em evidência e dividindo pelo tempo:
m (v d − v a )
=0
∆t
FR = 0
A expressão acima caracteriza o estado de inércia de um corpo. Se a resultante das
forças que atuam sobre um corpo for nula, o movimento do corpo deve ser permanente. Em
sua obra, Newton formulou esta conclusão galileana , chamada Lei da Inércia.
5.9.2 - PRIMEIRA LEI DE NEWTON
“Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em
uma linha reta, a menos que ele seja forçado a mudar aquele estado por forças
imprimidas sobre ele”.
ATIVIDADE – 19
Vejamos algumas situações nas quais podemos ver a presença desta lei:
O que ocorre com os passageiros de um ônibus quando:
94
a) o veículo é posto bruscamente em
b) o veículo é bruscamente freado ?
movimento?
__________________________________
_______________________________
Por que?
Por que?
_______________________________
__________________________________
_______________________________
__________________________________
_______________________________
__________________________________
c) o veículo faz uma curva em alta velocidade? _____________________________________
Por que?
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Vamos fazer mais alguns trabalhos práticos.
ATIVIDADES PRÁTICAS - XVIII
Objetivo: Observar a inércia dos corpos
Materiais utilizados:
• objeto levemente “pesado” (moeda, arruela, etc).
• um cartão de cartolina ou outro papel duro qualquer.
• um copo vazio.
Procedimento.
- coloque o cartão sobre o copo e, sobre o cartão coloque o objeto que você escolheu.
- puxe o cartão de maneira brusca.
01) Observe o que ocorre e explique o fenômeno para a sua turma.
Fig 31 – Ao puxar bruscamente o cartão, a moeda cai no copo. Acervo próprio.
95
ATIVIDADES PRÁTICAS - XIX
Objetivo: Observar a inércia dos corpos.
Materiais utilizados:
• uma pilha de jogo de dama ou discos de outros materiais ( madeira, acrílico, etc.).
• uma régua.
Procedimento.
- disponha os discos empilhados sobre sua mesa e com a régua dê um “golpe” num dos discos
do meio.
01) Observe o que ocorre e explique o fenômeno para sua turma.
ATIVIDADES PRÁTICAS – XX
Objetivo: Observar a inércia dos corpos.
Materiais utilizados:
• dois skates de tamanhos diferentes.
• um carrinho de brinquedo.
Procedimento.
- Coloque o skate menor sobre o maior. Coloque o carrinho sobre o skate menor.
- num primeiro momento, dê um empurrão brusco sobre o skate maior.
01) Observe o que ocorre e explique o fenômeno para sua turma.
- num segundo momento, com cuidado, coloque os três objetos em movimento, um sobre o
outro como foi feito no início. Durante o movimento, freie bruscamente o skate maior.
Fig. 32 – Inércia dos corpos: se o skate maior for bruscamente freado, o skate menor e o
carrinho permanecerão em movimento.
Acervo próprio
96
02) Observe o que ocorre e explique o fenômeno para sua turma.
ATIVIDADES PRÁTICAS - XXI
Objetivo: Observar a influência que o atrito exerce sobre o movimento de um corpo.
Materiais utilizados:
• um CD velho, que você não usa mais.
• uma tampa de garrafa PET.
• bexiga.
• caneta esferográfica esgotada, daquelas que possuem a tampinha vedante um pouco mais
alta que uma tampa de garrafa PET.
• fita crepe.
• cola Super Bond.
• se preferir, massa Durepoxi (para encher a tampa de garrafa PET).
Procedimentos:
- com cola Super Bond fixe pelo fundo, a tampinha vedante da caneta bem no centro da tampa
de garrafa PET, internamente. Se a tampinha for do tipo rosqueável, o espaço ao seu redor
poderá ser preenchido com massa Durepoxi.
- com cola super bond fixe, com a parte interna para cima, a tampa de garrafa PET bem no
centro do CD.
- com um alfinete aquecido até ficar rubro, faça um furo no centro da tampa de garrafa PET,
de modo que a tampinha da caneta também fique furada.
- adapte a bexiga à parte do fundo do tubo da caneta, prendendo-a com fita crepe.
- soprando pelo tubo da caneta encha a bexiga e encaixe o tubo na tampinha fixa no CDtampa de garrafa PET. Libere o dispositivo sobre o tampo horizontal de uma mesa,
registrando as suas observações.
97
Fig. 33 – Na interface CE/superfície de
Fig.34 – Idem
apoio há uma camada de ar suprida pelo balão - acervo próprio
No arranjo mostrado na fig.33 , a diminuição do atrito foi menos observável do que no
arranjo mostrado na fig.34. Nesta, o balão foi adaptado diretamente na tampa de garrafa PET,
ficando o conjunto livre do peso da caneta e da massa Durepoxi.
5.10 - FORÇAS DE RESISTÊNCIAS
ATIVIDADES 20
Vamos refletir um pouco sobre alguns fenômenos físicos:
Os fatos que observamos no nosso dia-a-dia parecem contrariar a lei da inércia.
Vejamos:
01) você chuta uma bola. Pela lei da inércia, a bola deveria continuar indefinidamente com
seu movimento. Mas ela pára após alguns segundos. Por que?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
02) a lei da inércia nos diz que para manter um corpo em movimento retilíneo e uniforme,
não é necessária a ação de nenhuma força sobre o corpo. No entanto, para você manter uma
mesa em MRU, você precisa exercer nela uma certa força. É uma contradição? Explique.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
03) Compare os resultados da última experiência que você fez com as situações acima e avalie
suas respostas.
___________________________________________________________________________
98
5.11 – AS FORÇAS DE RESISTÊNCIAS NA VISÃO ARISTOTÉLICA
Como você deve ter observado, o princípio da inércia não é observado devido a
interferência de forças de resistências ao movimento.
Estas forças de resistências já eram velhas conhecidas do homem desde épocas
remotas. Ao lançar projéteis contra animais e inimigos, nossos ancestrais observavam que o
movimento dos mesmos era de curta duração. Deslocavam-se por uma curta distância e
caiam.
Este comportamento dos corpos lançados tem sido objeto de estudo por aqueles que
observavam a natureza com mais atenção. Na Antiguidade, ao estudar o movimento,
Aristóteles sustentava que a velocidade dependia da força com que o corpo era lançado e da
resistência do meio.Para ele, a velocidade é diretamente proporcional à força ( F ) que movia
o corpo (força motora) e inversamente proporcional à resistência ( R ) do meio”.
vα
F
R
Pelos seus escritos e da relação anterior, é evidente que ele não acreditava na
existência do vácuo. Observando a natureza, ele não visualizava nenhum movimento infinito
e isto era devido à resistência R do meio. Se existisse o vácuo, a resistência R seria nula.
Matematicamente não existe divisão por zero, mas sim por números tão pequenos, tão
próximos de zero, que o quociente da divisão se torna um número muito grande. Com este
raciocínio matemático, podemos intuir que a velocidade de um corpo no vácuo seria infinita,
de acordo com a lógica de Aristóteles. Isto era um absurdo para ele, pois a sua visão de
mundo era de um universo limitado, onde não havia lugar para o movimento infinito. Numa
de suas obras, o grande filósofo escreveu: “A natureza abomina o vácuo”. Assim, ele
demonstrava, através de raciocínio, a tese da inexistência do vácuo. E tudo isto era reforçado
pela experiência de viver continuamente sob a atmosfera terrestre.
Mas como explicar o movimento uniforme dos corpos celestes? Para dar consistência
à sua teoria, Aristóteles e outros pensadores imaginavam que o mundo supra-lunar era
preenchido por uma substância chamada éter. A última esfera, a esfera das estrelas era movida
pelo motor divino. Devido ao atrito com o éter, este movimento era transmitido às demais
esferas. Esta substância oferecia uma resistência R ao movimento dos astros, de modo que
“equilibrando a força motora”, produziria o movimento uniforme.
Esta teoria sobreviveu soberanamente desde a Antiguidade por toda a Idade Média e
pelo Renascimento, vindo a ser derrubada pela teoria da Gravitação Universal elaborada por
99
Isaak Newton. Newton encontrou todo um terreno preparado pelos seus antecessores, entre
eles Tycho Brahe e Johannes Kepler, além de seus contemporâneos, entre eles, Robert Hooke.
ATIVIDADES PRÁTICAS - XXII (Física: Ciência e Tecnologia)
Objetivo: Observar a influência do atrito estático e do atrito cinético.
Materiais utilizados:
• um pequeno objeto “pesado” (bloco de madeira, latinha de massa de tomate usada, copo
etc.).
• um pedado de cartolina americana de 10cm x 20cm.
• um clipe.
• elástico.
• tesoura.
• um pedado de papel de cor clara, de tamanho suficiente para forrar o tampo da carteira.
• fita adesiva.
Procedimento.
- paralelamente ao lado mais curto , no meio da cartolina, faça um corte com a tesoura,
correspondente à largura do clipe.
- insira o clipe no corte.
- prenda o elástico à extremidade angulosa do clipe.
Fig.35 – Comparando o atrito estático com o atrito dinâmico
acervo próprio
- estenda o papel sobre o tampo da carteira e fixe-o com fita adesiva.
- apóie a cartolina sobre o papel de cor clara e, sobre ela, o objeto.
100
- estique o elástico mas sem forçá-lo. Marque sobre o papel o comprimento inicial do elástico.
Depois, puxe a extremidade do elástico, lentamente com cuidado até que o conjunto esteja na
iminência de entrar em movimento. Marque o novo comprimento do elástico.
- Depois que o conjunto entrou em movimento, continue puxando o elástico cuidadosamente.
Procure descobrir um jeito de marcar o novo comprimento do elástico.
01) Qual é o ente físico que tende a impedir o movimento entre duas superfícies de contato:
da cartolina e do papel que forra o tampo de sua mesa?
___________________________________________________________________________
02) há diferença de comprimento de elástico quando o conjunto está na iminência do
movimento e quando o conjunto está em movimento? ____________Comente.____________
___________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
03) Em que caso foi aplicada uma força de maior intensidade: para tirar o corpo do repouso
ou para mantê-lo em movimento retilíneo e uniforme?________________________________
___________________________________________________________________________
04) Como é chamado este ente físico que você definiu acima, quando o corpo está em:
a) repouso? (estático)
_________________________________________________________________________
b) movimento retilíneo e uniforme? (dinâmico)
________________________________________________________________________
5.12 - FORÇAS DE REAÇÃO DAS SUPERFÍCIES DE APOIO
ATIVIDADES PRÁTICAS – XXIII
Objetivo: Observar a força de reação de uma superfície de apoio.
Materiais utilizados:
• uma moeda.
• um cartão feito com papel duro
• um copo
Procedimento.
- coloque o cartão sobre o copo.
- coloque a moeda sobre o cartão.
- puxe bruscamente o cartão.
101
01) Antes de você puxar o cartão, a moeda estava em repouso sobre ele. Por que ela não
rompeu o cartão e não caiu dentro do copo?
Comentários:
Enquanto o cartão esta sob a moeda, esta não cai dentro do copo porque o cartão
exerce uma força sobre a moeda, perpendicularmente para cima. Toda força que é
perpendicular a uma superfície é chamada de força normal à superfície. Esta força é reação
à força que a moeda exerce sobre o cartão (terceira lei de Newton).
Mas por que a moeda exerce esta força sobre o cartão? A força ( P ) com que a Terra
atrai a moeda, faz com que esta exerça sobre o cartão uma força perpendicular em direção ao
Centro da Terra. É uma força normal à superfície do cartão. É comumente representada pela
letra N. A reação do cartão a esta força é uma força representada por –N.
A força com que a Terra atrai a moeda é comumente representada por P e é dirigida
para o centro da Terra. Em reação, a moeda atrai a Terra com uma força representada por –P.
Temos então dois pares de forças, chamados pares ação-reação. Desenhe, na figura
que se segue, os seguintes vetores força :
02) força peso do bloco ( P ): força com que a Terra atrai o bloco para o seu centro. Onde é
aplicada? ___________________________________________________________________
03) força com que o bloco atrai a Terra para si ( – P ). Onde é aplicada?
___________________________________________________________________________
04) força normal que o bloco exerce sobre o tampo da mesa ( –N ).
05) força normal que o tampo da mesa exerce sobre o bloco ( N ).
bloco
mesa
Terra
Fig.36 – Bloco apoiado sobre uma mesa e esta sobre a superfície terrestre.
102
06) O par de força P e –P constituem ação e reação?
( ) sim
( ) não
07) Por isto se anulam mutuamente?
( ) sim
( ) não
08) O par de forças N e –N constituem ação e reação?
( ) sim
( ) não
Por isto se anulam mutuamente?:
( ) sim
( ) não
10) O par de forças P e N constituem ação e reação?
( ) sim
( ) não
11) Por isto se anulam mutuamente?
( ) sim
( ) não
12) O par de forças –P e –N constituem ação e reação?
( ) sim
( ) não
13)Por isto, se anulam mutuamente?
( ) sim
( ) não
ATIVIDADE – 14
103
Baseado nos estudos que fizemos dos trabalhos de Newton, escreva as três leis da
Dinâmica.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
ATIVIDADE – 15
As Leis de Newton são válidas apenas em referenciais inerciais. Fazendo uma pesquisa
bibliográfica ou eletrônica (internet), redija um pequeno texto explicando esta assertiva.
5.13 - LEI DE HOOKE – FORÇA ELÁSTICA
Vamos desenvolver mais uma atividade prática para explorar simultaneamente o
conceito de forças de ação e reação e a lei de Hooke.
ATIVIDADES PRÁTICAS – XXIV
Objetivo: Observar a natureza da força exercida por uma mola sobre um corpo.
Materiais utilizados:
• um espetinho de churrasco (bambu).
• fita crepe.
• elástico de dinheiro.
• um clipe metálico.
• uma garrafa vazia de água mineral (pequena).
• uma seringa de 10 ml ou 20 ml.
• uma régua.
• água.
Procedimento.
104
- com a fita crepe, fixe o espetinho sobre o tampo da carteira, deixando a metade,
aproximadamente, do lado de fora do tampo. Pendure o elástico nesta parte livre do espetinho.
- corte a garrafa transversalmente ao meio. Faça dois furos em lados opostos e próximos à
borda e passe por estes furos um pedaço de linha resistente, para servir de “alça” do baldinho.
- passe o clipe por esta “alça” e pendure o baldinho na borrachinha.
- desentorte uma das extremidades do clipe para servir de ponteiro indicador de leitura.
- com fita crepe, fixe a régua na perna da carteira, na posição perpendicular, de modo que a
extremidade desentortada do clipe coincida com o zero da régua. Meça o comprimento do
elástico. Vamos chamá-lo de comprimento inicial e representá-lo por l 0 . Registre o valor
encontrado.
- Com a seringa, coloque 10 ml de água no baldinho. Anote o novo comprimento do elástico
( l 1 ).
- Acrescente mais um volume de 10 ml de água no baldinho e anote o comprimento do
elástico ( l 2 ). E assim, sucessivamente, até obter uma quantidade razoável de dados.
A idéia é a mesma do arranjo mostrado na figura abaixo.
Fig. 37 – Aparato para o estudo da força de uma borracha
Acervo próprio
LEI DE HOOKE
Alguns cálculos
Pela densidade da água, sabemos que o volume de um litro de água corresponde à
massa de um quilograma de água. Isto é:
1 litro = 1000 ml
1 litro = 1000 g
105
01) Então, qual seria a massa de 1 ml de água?__________E de 10 ml de água?_________
Mas a Terra atrai esta massa de água que está dentro baldinho para o seu centro com
uma força (peso) dada por:
P = m.g
g → aceleração gravitacional. Em nossa região temos g = 9,8 m
s2
= 980 cm
s2
.
onde
m → massa de água
UNIDADES DE MEDIDA DE FORÇA
No Sistema Internacional, a unidade de medida de força é o newton:
1 N é a força que imprime a um corpo de 1 quilograma de massa a aceleração de
1m/s em cada segundo.
ou
1 newton é a força necessária para fazer com que a massa de 1 quilograma varie
sua velocidade de um metro por segundo em cada segundo.
m
1
s =1m .1
s
s s
e
1 N = 1 kg.1
m
s
s
Mas a medida de comprimento é dada em cm e a massa de água em gramas. Então
poderíamos trabalhar com a unidade de força chamada dina (dyn).
Um dina é a força que imprime a um corpo de 1 grama de massa a aceleração de 1
cm = 1 cm 2
s
s
s
02) Quantos dinas de peso correspondem a 10 ml de água?____________________________
03) Qual é o peso (em dinas) da massa total de água que você colocou no baldinho?
___________________________________________________________________________
04) Qual é o efeito desta força sobre a borracha?
___________________________________________________________________________
05) Podemos adicionar, indefinidamente, água no recipiente pendurado na borrachinha? Por
que?____________________________________________________________________
106
Pela sua vivência, você sabe que os elásticos (borrachas) e as molas têm um limite na
sua elasticidade. Se este limite não for respeitado, o material poderá se romper ou sofrer
deformações. Este limite depende, entre outros fatores:
• do material que constitui o corpo.
• da espessura do material.
A esta propriedade do material, nós chamamos de constante de elasticidade. Costumase representar esta propriedade pela letra k
TABELA
06) Elabore uma tabela que contenha os seguintes dados:
• o total de massa de água a cada acréscimo.
• o valor total da força-peso a cada acréscimo.
• o comprimento inicial do elástico ( l O ) bem como todos os novos comprimentos provocados
pela força-peso da água a cada acréscimo.
GRÁFICO
07) Numa folha de papel milimetrado ou quadriculado, construa um sistema de eixos
cartesianos, marcando no eixo vertical os valores da força-peso e no eixo horizontal, os
valores do comprimento do elástico. Depois construa o gráfico força X deformação.
Você deve ter percebido que para cada valor da força-peso corresponde uma
deformação no elástico. Se o elástico fosse homogêneo (situação idealizada), a divisão de
cada valor da intensidade de força pela correspondente deformação seria constante:
F
F1 F2 F3
= =
= ... = n = k
x1 x 2 x3
xn
Generalizando,podemos escrever:
k=
onde
F
x
k → constante de elasticidade do material (grandeza escalar)
ρ
x = l – l O → alongamento da borracha. (grandeza vetorial)
ρ
F → peso da massa total de água colocada no “baldinho”.
Com o que já trabalhamos, podemos escrever a lei de Hooke como segue:
107
A força elástica de uma mola (ou de um elástico) é proporcional à deformação
que a mesma sofre.
Sua expressão matemática é
F = k .x
08) Agora, faça um desenho esquemático do aparato que você construiu bem como os
seguintes vetores forças:
• a força-peso com que a Terra atrai a massa de água do baldinho.
• a força com que a massa de água do baldinho atrai a Terra.
• a força com que a massa de água deforma o elástico.
• a força com que o elástico “segura” a massa de água.
09) Dos vetores-forças, quais são os pares que:
a) constituem ação e reação?
_________________________________________________________________________
b) não constituem ação e reação?
_________________________________________________________________________
5.14 – RETOMANDO O ESTUDO DAS FORÇAS DE ATRITO
Vamos retomar nossos estudos sobre a força de atrito, enfocando agora seu aspecto
quantitativo e retomando o conceito de força normal a uma superfície.
Numa das atividades práticas que você fez, você puxou um corpo que estava em
repouso sobre um pedaço de cartolina usando um elástico e aplicando sobre o elástico, uma
ρ
força F . Você observou que este corpo só entrou na iminência do movimento quando o
elástico apresentou um certo alongamento ( x ). A intensidade desta força variou de zero até
um valor suficiente para tirar o corpo de seu estado de repouso.
10) De acordo com a lei de Hooke, que estudamos na última atividade experimental, a força
aplicada ao elástico deve atingir um determinado valor para tirar o corpo de seu estado de
repouso. Esta “dificuldade de colocar o corpo em movimento é devida a existência de uma
outra força. Você acha que esta outra força:
( ) atua a favor do movimento
( ) atua contra o movimento
( ) não interfere no movimento
108
Raciocinando em termos de pares de forças que constituem ação e reação e de pares
que não constituem, é possível inferir que a força aplicada ao elástico é igual à força que o
elástico aplica ao corpo. E que no instante em que o corpo entrou em movimento, a força que
o elástico lhe aplicou foi igual à força que resistia ao movimento, mas de sentido contrário.
Como o corpo estava em repouso, esta força que resistia ao movimento é chamada de força
de atrito estático ( f ae ).
11) Você deve ter observado também que, quando o corpo estava sendo mantido em
movimento, o alongamento do elástico foi menor do que aquele necessário para tirar o corpo
do estado de repouso. Isto significa que, para manter um corpo em movimento, a força
necessária para vencer a força de atrito é:
( ) maior que
( ) menor que
( ) igual
a força necessária para tirar o corpo do estado de repouso.
Como neste caso o corpo estava em movimento, a força de resistência ao movimento é
é chamada de força de atrito dinâmico ou força de atrito cinético ( f ac ).
12) Reflita um pouco sobre as situações vivenciadas no seu dia-a-dia, nas quais o atrito se faz
presente e que lhe chama a atenção. Nas linhas abaixo, relacione algumas destas situações:
a) quando o atrito é útil, benéfico e
b) quando o atrito é prejudicial e
desejável.
indesejável.
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
Vamos usar a visão matemática para entender a natureza neste caso do atrito.
Leonardo da Vinci, artista e sábio italiano, descobriu em 1508, que o atrito entre dois corpos:
• depende da força que comprime um corpo contra o outro.
• não depende da área das superfícies em contato.
Hoje, com os recursos modernos sabemos que a força de atrito depende:
• da força de reação normal ( N ) da superfície de apoio à força que o corpo exerce sobre esta
109
superfície ( –N ).
Se a superfície de apoio é horizontal e se a força que puxa o corpo também é
horizontal, então a força de reação normal tem o mesmo módulo do peso do corpo, isto é:
N=P
• do coeficiente de atrito ( µ ) entre as superfícies em contato.
5.14.1 – PLANO HORIZONTAL COM ATRITO
ATIVIDADES 21
13)
A figura 64 abaixo representa um bloco apoiado sobre uma superfície. Desenhe, na
ρ
ρ
figura, os vetores que representam as forças peso ( P ) e a reação normal ( N ) da superfície de
apoio.
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Fig. 38
A expressão da força de atrito é dada por:
a) força de atrito estático
ρ
ρ
f ae = µ e .N
b) força de atrito cinético
ρ
ρ
f ac = µ c .N
Alguns exercícios:
14) A figura 74 que se segue representa um bloco de massa m=2,0 kg sobre uma mesa plana
horizontal. Os coeficientes de atrito entre o bloco e o tampo de mesa são:
• coeficiente de atrito estático: µ e = 0,28
• coeficiente de atrito cinético: µ c = 0,25.
Uma força F horizontal, de intensidade variável, é aplicada sobre o corpo. Admita
g = 10 m
s2
a) Desenhe, na figura, os vetores que representam a força peso ( P ), a força normal ( N ) de
reação da superficie do tampo da mesa e a força de atrito ( f a ).
110
ρ
F
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
b) Determine as forças de atrito
Fig. 39
que atuam sobre o corpo:
•a força de atrito estático
• a força de atrito cinético
c) qual o valor mínimo da força necessária para:
•colocar o corpo em movimento
•manter o corpo em movimento
15) A figura 66 representa um bloco de 5 kg de massa que está em repouso numa superfície
horizontal. O coeficiente de atrito estático é µ e = 0,4 e o coeficiente de atrito dinâmico é µ d =
0,3. Considere g = 10 m
s2
.
a) Desenhe, na figura 66, os vetores que representam:
• a força-peso ( P ).
• a reação normal da superfície de apoio ( N ).
• a força de atrito ( f a ).
Fig.40
b) Determine a intensidade da força
de atrito estático.
c) Então, com que força horizontal o bloco deve
ser puxado para que fique na iminência do
movimento?
111
d) Uma força F igual a 30 N passa a atuar
e) A partir do momento que esta força F
sobre o bloco, formando um ângulo de 60°
passa a atuar, quais são as forças atuantes:
com a direção horizontal. Faça uma con-
• na direção do eixo x
figuração do problema, desenhando os
seguintes vetores que atuam no bloco:
• a força F
• a contribuição da força F na direção
• na direção do eixo y
horizontal (direção do eixo x)
• a contribuição da força F na direção
vertical (direção do eixo y)
f) Calcule a intensidade da componente
de F na direção do eixo x
( cos 60° =
1
)
2
h) Supondo o equilíbrio na direção do eixo
y (vertical), calcule a intensidade de N.
g) Calcule a intensidade da componente
de F na direção do eixo y
( sen 60° = 0,87)
i) Calcule a intensidade da força de atrito
dinâmico.
j) Compare a força que puxa o bloco horizontalmente para a direita com a força de atrito
dinâmico. Na sua opinião, o bloco se moverá?__________ Por que? ____________________
___________________________________________________________________________
112
5.14.2 - PLANO INCLINADO SEM ATRITO
ATIVIDADE - 22
Vejamos agora a seguinte situação:
• Você dispõe de uma canaleta improvisada com duas lâmpadas fluorescentes, inicialmente na
posição horizontal. Se você colocar nesta canaleta uma esfera em repouso, o que poderá
ocorrer? Dê uma olhada no texto Galileu Galilei e o movimento uniforme e na Primeira
Lei de Newton.
01) Se você elevar uma das extremidades da canaleta, que fenômeno você pode “prever” e
qual a causa?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
02) Complete:
De acordo com o enunciado da segunda lei de Newton, uma força F imprimida a um
corpo de massa m, produz neste corpo uma ..............................de movimento na
mesma........................... e no mesmo .................................
03) A direção da força gravitacional ( P = m.g ) é:
( ) horizontal.
( ) vertical.
( ) inclinada
04) O sentido da força gravitacional ( P = m.g ) é:
( ) dirigido para o centro da Terra.
( ) de baixo para cima.
( ) contrário ao movimento da Terra.
( ) o mesmo do movimento da Terra.
05) As características (direção e sentido) da força responsável pelo movimento de descida da
esfera são as mesmas que você assinalou nos dois últimos itens?_______________________?
06) Será que se trata de uma mesma força? Ou será que uma é derivada da outra?
Vimos no estudo dos trabalhos de Galileu Galilei que o motivo pelo qual ele usou o
plano inclinado se deve ao fato de que a força gravitacional é “diluída” mas conservada a
113
estrutura da queda livre. Você consegue “visualizar” alguma relação entre a força responsável
pelo movimento da esfera e a força gravitacional?
Para “modelar” esta diluição da força peso, fazemos uso do plano cartesiano. Neste, a
força peso é diluída em duas forças perpendiculares entre si. Uma delas é a que neutraliza a
força de reação normal da superfície de apoio (plano inclinado). A outra componente você já
observou o efeito que ela produz na esfera.
07) Na figura 77 seguinte estão representados um plano inclinado e uma esfera sobre o
mesmo. Para facilitar sua construção mental, usando a técnica de decomposição de vetores
sobre os eixos cartesianos, desenhe na figura, os vetores que representam:
a) a força peso da esfera ( P ) dirigida para o centro da Terra.
b) a componente da força peso ( P x ) responsável pelo movimento de descida da esfera ao
longo do plano inclinado.
c) a outra componente da força peso ( P y ) que equilibra a força de reação normal ( N ) da
superfície de apoio (plano inclinado).
d) a força de reação normal ( N )da superfície de apoio (perpendicular a esta superfície).
As origens dos vetores devem coincidir com a origem do sistema cartesiano.
Atribua um símbolo ao ângulo de elevação do plano inclinado.
Importante: adquira o hábito de trabalhar com régua e esquadro.
y
x
Fig. 41
Com os vetores que você desenhou foi construído um retângulo cuja diagonal é
representado pelo vetor peso ( P ). Esta diagonal corta o retângulo em dois triângulos iguais e
semelhantes ao triângulo formado pelo plano inclinado.
114
08) Trabalhando com ângulos alternos (interno e externo) identifique os dois ângulos que são
iguais ao ângulo que o plano inclinado faz com a horizontal.
09) Dos vetores que você desenhou, qual deles constitui um cateto adjacente ao ângulo de
elevação
e
qual
deles
constitui
a
hipotenusa
do
triângulo
retângulo
menor?
Cateto adjacente → ________________________________
Hipotenusa →
________________________________
10) Usando a relação trigonométrica entre cateto adjacente e hipotenusa, você pode deduzir
uma expressão matemática para o cálculo de qual força?
___________________________________________________________________________
11) Escreva esta expressão no retângulo abaixo.
12) Dos vetores que você desenhou, qual deles constitui um cateto oposto ao ângulo de
elevação do plano inclinado e qual deles constitui a hipotenusa do triângulo retângulo menor?
Cateto oposto → ________________________
Hipotenusa →
________________________
13) Usando a relação trigonométrica entre cateto oposto e hipotenusa, você pode deduzir a
expressão matemática para o cálculo de qual força?
___________________________________________________________________________
14) Escreva esta expressão no retângulo abaixo.
15) No sistema existem duas forças iguais em módulo e direção, mas de sentidos contrários.
Quais são?
___________________________________________________________________________
5.14.3 - A DECOMPOSIÇÃO (OU DILUIÇÃO) DA FORÇA PESO
A última expressão que você deduziu nos fornece o módulo da parcela da força peso que está
associada à aceleração da esfera ou de outro corpo qualquer em um plano inclinado. Ela é
dada por
ρ ρ
Px = P.senθ
ou
onde θ é o ângulo entre o plano e a horizontal.
ρ
ρ
Px = m.g.senθ
115
Baseado nesta expressão e em alguns valores do seno e do sosseno mostrados na
tabela seguinte, responda às perguntas que se seguem:
TABELA - 9
Valor do ângulo θ
sen θ
cos θ
tg θ
0°
0
1
0
30°
1
45°
60°
90°
3
2
2
3
2
2
1
2
1
2
3
3
1
2
2
0
3
∞
16) Quando o ângulo entre o plano e a horizontal é 0°, a posição do plano é
( ) horizontal
( ) inclinada
( ) vertical (queda livre)
17) Qual é o valor da parcela do peso, P x neste caso?_______________________________
18) Quando o ângulo entre o plano e a horizontal é 30°, qual é o valor da parcela do peso,
Px?
____________________________________
19) Quando o ângulo entre o plano e a horizontal é 45°, qual é o valor da parcela do peso,
Px?
____________________________________
20) Quando o ângulo entre o plano e a horizontal é 60°, qual é o valor da parcela do peso,
P x ? ____________________________________
21) Quando o ângulo entre o plano e a horizontal é 90°, a posição do plano é
( ) horizontal
( ) inclinada
( ) vertical (queda livre)
22) Qual é o valor da parcela do peso, P x ?
116
23) A figura 42 representa um corpo de massa 8 kg, que é abandonado sobre um plano
inclinado cujo ângulo de elevação é de 30°. O coeficiente de atrito entre o corpo e o plano é
desprezível. Admita g = 10 m
s2
e considere sen 30° = 0,50 e cos 30° = 0,86.
a) Desenhe, na figura 42, os vetores que representam:
• a força-peso do corpo ( P ).
• a componente da força-peso na direção do eixo y ( P y ).
• a força de reação normal da
superfície de apoio ( N ).
• a componente da força-peso na
direção do eixo x ( P x )
y
x
) 30º
Fig.42
b) Calcule a intensidade da componente da
força-peso na direção do eixo y ( P y ).
d) Calcule a intensidade da componente do
peso na direção do eixo x ( P x ).
c) Qual é a intensidade da força de reação
normal da superfície de apoio ( N ).
e) Calcule a aceleração do corpo ao descer o
o plano.
117
24) No esquema representado na figura 43, o bloco tem massa 0,5 kg e está em repouso sobre
o plano inclinado de 37° com a horizontal, preso pelo fio. Não há atrito entre o bloco e o
plano. Considere: g = 10 m
s2
, sen 37° = 0,6; cos 37° = 0,8; sen 53° = 0,8 e cos 53° = 0,6.
a) Desenhe, na figura 43, os vetores que representam:
• a força-peso ( P ).
• a componente da força-peso na direção do eixo y ( P y ).
• a força de reação normal da superfície de apoio ( N ).
• a componente da força-peso na direção do eixo x ( P x ).
• a força de tração ( T ) com que o fio segura o bloco.
y
x
B
A
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Fig. 43 – Forças agindo em um bloco sobre um plano inclinado
b) Se o bloco está em repouso, significa que
a intensidade da componente da
força-peso na direção do eixo x ( P x ) é:
( ) menor que a força de tração do fio.
( ) igual à força de tração do fio.
( ) maior que a força de tração do fio.
c) Calcule a intensidade da componente da
força-peso na direção do eixo x ( P x )
118
d) Então, qual é a intensidade da força de
tração ( T ) exercida pelo fio para
e) Se o fio se rompesse, qual seria a aceleração
do bloco? Calcule-a.
segurar o bloco?
5.15.4 - PLANO INCLINADO COM ATRITO
ATIVIDADE - 23
Coloque sobre sua mesa uma régua na posição horizontal e sobre a régua, uma
tampinha de garrafa PET, em repouso.
01) Eleve um pouco a extremidade da régua. A tampinha entrou em movimento? __________
Por que? ____________________________________________________________________
02) Se você continuar elevando a extremidade da régua, haverá um ângulo para o qual a
tampinha estará na iminência do movimento. Enquanto a tampinha não se movimenta, a força
que tende a deslocá-la para baixo ao longo do plano inclinado é
( ) maior que a força de atrito estático
( ) igual à força de atrito estático
( ) menor que a força de atrito estático
03) Na figura 44 abaixo está representado um corpo de massa m (tampinha de garrafa) em
repouso sobre um plano inclinado. Aproveitando a estrutura do caso anterior, desenhe na
figura, os vetores que representam :
y
x
Fig. 44 corpo em plano
inclinado com atrito
119
a) a força peso do corpo ( P )
b) a força componente do peso que tende a fazer com que o corpo desça o plano inclinado
( P x ).
c) a força componente do peso “situada” sobre o eixo y ( P y ).
d) a força de reação normal da superfície de apoio ( N ).
e) a força de atrito entre o corpo e o plano inclinado ( f ae ).
Como a estrutura do desenho é a mesma do caso anterior, as expressões para o cálculo
de P x e P y são as mesmas. Só que neste caso temos mais uma força atuando no sistema, que
é a força de atrito.
04) No caso anterior, você identificou duas forças que são iguais em módulo e direção, mas
de sentidos contrários, que são as forças N e P y . Então,na expressão da força de atrito
estático basta substituir N por P y . Fazendo isto, escreva no retângulo abaixo, a expressão da
força de atrito estático para o caso do plano inclinado:
05) O desenvolvimento que você acaba de fazer é para o caso do corpo estar em repouso e na
iminência do movimento sobre o plano inclinado. Se você aumentar o ângulo de inclinação
do plano inclinado, o corpo passa a se deslocar. Neste caso, supondo que o corpo desça o
plano inclinado com movimento uniforme, o módulo da componente da força peso
responsável pelo movimento do corpo é
( ) igual ao módulo da força de atrito cinético
( ) maior que o módulo da força de atrito cinético
( ) menor que o módulo da força de atrito cinético
06) Suponha que o corpo desça o plano inclinado com movimento acelerado. Neste caso, o
módulo da componente da força peso responsável pelo movimento do corpo é
( ) igual ao módulo da força de atrito cinético
( ) maior que o módulo da força de atrito cinético
( ) menor que o módulo da força de atrito cinético
120
07) Se você interpor entre o corpo e o plano inclinado aquele retângulo de cartolina com um
clipe no meio e puxar o conjunto através de um elástico, de modo que o conjunto execute um
movimento de subida, quais seriam os obstáculos a serem superados pela força elástica?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
08) Usando as mesmas estruturas do caso anterior, desenhe, na figura 45, os vetores que
representam todas as forças presentes no sistema, inclusive os obstáculos que você citou
acima.
y
x
Fig. 45 – corpo em plano inclinado
e respectivas forças
09) Neste caso, se o corpo subir o plano inclinado com movimento uniforme, o módulo da
força responsável pelo movimento de ascensão será
( ) maior que a soma do módulo da força de atrito com o módulo da componente P x
( ) igual à soma do módulo da força de atrito com o módulo da componente P x
( ) menor que a soma do módulo da força de atrito com o módulo da componente P x
10) E se o corpo subir o plano inclinado com um movimento acelerado, o módulo da força
responsável pelo movimento de ascensão será:
( ) maior que a soma do módulo da força de atrito com o módulo da componente P x
( ) igual à soma do módulo da força de atrito com o módulo da componente P x
( ) menor que a soma do módulo da força de atrito com o módulo da componente P x
121
11) A figura 46 se refere a um corpo que foi abandonado em repouso sobre uma rampa (é
desprezível a força resistiva do ar sobre o corpo e é constante a força de atrito com a rampa).
Ele passa a deslizar com velocidade cada vez maior conforme mostra a figura (repare no
comprimento do vetor).
Fig. 46 – movimento de um corpo abandonado em um plano inclinado.
Testes elaborados por Fernando Lang, Marco A. Moreira e Rolando Axt – Instituto de Física
– UFRGS.
Fonte: http://www.if.ufrgs.br/~lang/teste_Mecânica.pdf
Assim sendo, pode-se afirmar que a força exercida rampa abaixo:
A. ( ) é igual a força de atrito
B. ( ) é maior que a força de atrito e está crescendo
C. ( ) é constante mas maior que a força de atrito
12) Um corpo de massa 2 kg é abandonado livremente no plano inclinado da figura 47, com
ângulo de 30° e coeficiente de atrito cinético µ c = 0,2. Admita g = 10 m
sen 30° = 0,50.
a) Desenhe, na figura, os vetores que representam:
• a força-peso ( P ).
• a componente da força-peso na direção do eixo y ( P y ).
• a força de reação normal da superfície de apoio ( N ).
• a componente da força-peso na direção do eixo x ( P x ).
• a força de atrito cinético ( f c ).
s2
, cos 30° = 0,86 e
122
y
x
Fig. 47- Forças agindo sobre um bloco.
b) Determine a intensidade da componente
c) Qual é a intensidade da força de reação
da força-peso na direção do eixo y ( P x ).
normal da superfície de apoio ( N ).
d) Determine a intensidade da força de atrito
e) Determine a intensidade da componente da
força-peso na direção do eixo x ( P x )
f) Na direção do eixo x, as forças têm:
( ) o mesmo sentido
( ) sentidos opostos
Então, qual é o valor da intensidade da
força resultante.
g) Calcule a aceleração do corpo ao descer o
plano.
123
13) Um bloco de massa 10 kg sobe um plano inclinado com ângulo θ e com velocidade
constante, sob a ação de uma força F constante em módulo e paralela ao plano inclinado.
Considere: coeficiente de atrito dinâmico: µ d = 0,2; sen θ = 0,6; cos θ = 0,8 e g = 10 m
s2
a) Desenhe, na figura 48, os vetores que representam:
• a força-peso do bloco.
• a componente da força-peso na direçãodo eixo y ( P y ).
• a força de reação normal da superfície de apoio ( N ).
• a componente da força-peso na direção do eixo x ( P x ).
• a força de atrito dinâmico ( f d ).
y
x
F
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Fig. 48-forças agindo sobre um bloco
b) Calcule a intensidade da componente da
força-peso na direção do eixo y ( P y ).
d) Calcule a intensidade da força de atrito.
c) Qual é a intensidade da força de reação
normal da superfície de apoio ( N ).
e) Calcule a intensidade da componente da
força-peso na direção do eixo x ( P x ).
.
124
f) Na direção do eixo x, quantas forças:
• puxam para a direita? ____________
• puxam para a esquerda?___________
g) Então, qual é a intensidade da força F, já que
a velocidade é constante?
CAPITULO
VI
TRABALHO E NERGIA
126
6.1 – TRABALHO E ENERGIA
Vamos iniciar esta etapa com uma pequena atividade prática.
ATIVIDADE PRATICA – XXIV
Objetivo: observar as relações entre as grandezas no estudo da energia cinética e da energia
potencial.
Materiais utilizados
• dois pedaços de 3,50m de mangueira lisa, de diâmetro aproximadamente de uma polegada.
• quatro pedaços de tubo de PVC de diâmetro aproximado 3 de polegada e com um metro de
4
comprimento. Podem ser substituídos por cabos de vassoura, desde que não empenem.
• 16 parafusos de 2,5” de comprimento por 3" de diâmetro.
16
• cola de secagem rápida.
• uma esfera grande e uma pequena, de mesmo material.
• uma garrafinha PET vazia (água mineral, refrigerante...).
Confecção do looping
- introduzir os quatro pedaços de tubo de PVC ou madeira nas quatros extremidades das duas
mangueiras.
- fixar lateralmente as duas mangueiras, de modo a formar uma canaleta. Usar os parafusos
para fixar as partes rígidas e cola para a parte flexível.
- enrolar a mangueira de modo a formar um looping.
- as partes rígidas servirão de rampa de chegada e rampa de saída.
- com a garrafinha d’água vazia, confeccionar uma cestinha, a qual deverá ser pendurada no
ponto mais alto do looping.
Procedimento
- Pesquise em que ponto da rampa de descida poderá ser abandonada a esfera menor, de modo
que ela caia dentro da cestinha.
01) Por quê a esfera “consegue” subir uma parte da circunferência, após descer a rampa?
___________________________________________________________________________
02) Verifique o que ocorre com o movimento desta esfera se for abandonada de um ponto
mais alto da rampa de descida.
127
Fig.49 – Looping com a rampa de saída
na posição horizontal –acervo próprio
Fig. 50 – Looping com a rampa de saída
na posição inclinada – acervo próprio
( ) cai dentro da cestinha.
( ) percorre a circunferência do looping.
a) Do primeiro para o segundo item da experiência:
• a velocidade da esfera no final da rampa:
( ) variou
( ) não variou
• a massa da esfera:
( )variou
( ) não variou
• a altura de onde começou o movimento:
( ) variou
( ) não variou
03) Agora abandone a esfera maior a partir domesmo ponto em que foi abandonada a esfera
menor no item (01) da experiência. O que ocorre?
( ) a esfera cai dentro da cestinha.
( ) a esfera percorre a circunferência do looping.
a) Do primeiro para o terceiro item da experiência:
• a velocidade da esfera no final da rampa (lembre-se da observação de Galileu sobre a
velocidade final de dois corpos de pesos diferentes em queda livre, abandonados
simultaneamente de uma mesma altura):
( ) variou
( ) não variou
128
• a massa da esfera:
( ) variou
( ) não variou
• a altura de onde começou o movimento:
( ) variou.
( ) não variou.
A grandeza física que nos ajuda a entender o comportamento das esferas nesta
experiência é a energia. Não existe uma definição para energia. O que existem são estudos de
sua variação.
c) do item (01) para o item (02) da experiência, qual foi o ente responsável pela variação da
energia?
( ) a massa da esfera.
( ) a altura de onde começou o movimento.
( ) a velocidade da esfera.
d) do item (01) para o item (03) da experiência, a esfera maior tem a mesma velocidade da
esfera menor ao chegar ao final da rampa? _________________________________________
• qual é o ente responsável pela variação da energia neste caso?
( ) a massa da esfera.
( ) a altura de onde começou o movimento.
( ) a velocidade da esfera.
Nos fenômenos que ocorrem no presente caso, podemos constatar duas formas de
energia, cuja soma é chamada energia mecânica. E a massa é uma variável que figura em
todas elas. Estas duas parcelas são:
6.2 - ENERGIA CINÉTICA é a energia de movimento. Então, qual seria a outra variável
que, associada à massa neste caso nos permitiria achar seu valor?_______________________
6.3 – ENERGIA POTENCIAL é a energia de posição. Então, quais seriam as outras duas
variáveis que, associadas à massa nos permitiria achar seu valor? _______________________
Vamos verificar agora como estas variáveis se relacionam, trabalhando com a equação
de Torricelli:
129
v02 + 2.g .(h − h0 ) = v 2
v 0 → velocidade partida ou velocidade inicial
v → velocidade de chegada ou velocidade final
g → aceleração gravitacional
onde
h → ponto de chegada ou altura final
h 0 →ponto de partida ou altura inicial
As posições ocupadas pela esfera são contadas de cima para baixo. Então o valor de
h0 é zero. Então, cancelando o valor de h0 , escreva a nova expressão no retângulo seguinte:
expressão (1)
Agora, subtraia v02 de ambos os lado da expressão (1) e escreva a nova expressão
no retângulo seguinte:
expressão (2)
A esfera desce a rampa devido ao seu peso. A expressão do peso é P = m.g. Então,
na expressão (2) está faltando a letra m. Multiplique ambos os lados da expressão (2) por
m (massa) e escreva a nova expressão no retângulo a seguir:
expressão (3)
Agora divida por 2 ambos os membros da expressão (3), escrevendo a nova
expressão no retângulo ao lado:
expressão (4)
O membro da esquerda da expressão (4) representa o trabalho mecânico realizado
pela força-peso sobre a esfera, ao deslocá-la da posição h0 até a posição h . Vamos
representar o trabalho realizado por uma força que atua sobre um corpo pela letra graga
tau: τ. A expressão matemática para o trabalho da força-peso é então:
τ = m.g.h
ou
τ = p.h
O membro à direita na expressão (4) representa a variação da energia cinética da
130
esfera ao ser deslocada da posição inicial até à posição final. Para representar esta variação
usa-se o símbolo ∆EC . Sua expressão matemática é:
∆EC =
1
1
m.v 2 –
m.v 02
2
2
∆EC → variação da energia cinética
onde
1
.m.v 02 → energia cinética inicial
2
1
.m.v 2 →energia cinética num instante qualquer
2
A unidade de medida do trabalho é igual à unidade de medida de energia. No S. I. a
unidade de medida de trabalho é o joule (J). No sistema CGS é o erg.
ρ
Em outros tipos de interações, a expressão do trabalho que a força resultante FR
realiza sobre um corpo de massa m, ao deslocá-lo de uma posição A até outra posição B é
dada por:
ρ ρ
τ AB = FR .d AB
Trata-se do produto escalar de dois vetores. O trabalho e a energia são então
grandezas escalares. De uma forma generalizada, a expressão do trabalho é:
ρ ρ
τ AB = FR .d AB . cos θ
τ AB → trabalho da força ao deslocar um corpo da posição A até a posição B
ρ
FR → força resultante que atua no corpo
ρ
d AB → deslocamento efetuado entre as posições A e B
cos θ → cosseno do ângulo entre a força e o deslocamento
O trabalho é um processo de transferência de energia de um sistema para outro. Para
que ocorra esta transferência de energia, é necessário que:
• A distância percorrida pelo corpo não seja nula:
ρ
d AB ≠ 0
• A força resultante que atua sobre o corpo ou a sua componente na direção do movimento
não seja nula:
ρ
FR ≠ 0
131
Portanto, uma força resultante cuja direção é perpendicular ao deslocamento, não realiza
trabalho. Em física, você não realiza nenhum trabalho ao transportar seus materiais ao ir e
voltar da escola, pois a força-peso tem direção perpendicular ao seu deslocamento.
ρ
FR
ρ
FR
A
B
ρ
Fig.51 – A força resultante FR realiza trabalho sobre o corpo ao deslocá-lo da posição A até
a posição B.
6.4 SINAL DO TRABALHO
• Se θ for um ângulo agudo (menor que 90°), o trabalho será positivo e chamado de trabalho
motor.
• Se θ for um ângulo reto (igual a 90° ou 270°), o trabalho será nulo, pois cos 90 ° = 0 e
cos 270 ° = 0.
• Se θ for um ângulo obtuso (maior que 90°), o trabalho será negativo e chamado de trabalho
resistente.
ρ
F
ρ
F
ρ
d
Fig.52-Trabalho positivo
Fig.53-Trabalho nulo
ρ
F
ρ
d
ρ
d
Fig.54-trabalho negativo
Quando várias forças atuam num corpo, o trabalho total é dado pela soma algébrica
dos trabalhos de cada força:
τ T = τ 1 + τ 2 + τ 3 + ... + τ n
GRÁFICO F x d
O trabalho realizado por uma força ao deslocar um corpo da posição A até a posição B
ρ
pode ser obtido pelo cálculo da área delimitada pelo gráfico da força F como função do
ρ
deslocamento d .
132
Força
força
F
0
A
B
deslocamento 0
Fig.55-Trabalho de uma força constante
A
B
deslocamento
Fig.56-Trabalho de uma força variável
6.5 - TEOREMA DA ENERGIA CINÉTICA
ρ
O trabalho realizado por uma força resultante FR
sobre um corpo de massa m ao
deslocá-lo de uma posição para outra é igual à variação da energia cinética:
τ AB = ∆EC
6.6 - ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL
Quando você desloca um corpo contra o sentido “natural” de deslocamento, como é o
caso da elevação de um objeto no campo gravitacional terrestre, a sua força muscular realiza
um trabalho negativo, pois a força-peso do objeto forma um ângulo de 180° com a direção do
deslocamento. Como o campo gravitacional é um sistema conservativo, este trabalho negativo
é armazenado no objeto na forma de energia potencial. Através deste trabalho ocorre
transferência de energia do seu corpo para o objeto.
A energia potencial gravitacional depende da altura. Por isto ela é chamada de energia
de posição. Sua expressão matemática é dada por:
E P = m.g.h
ou
E P = p.h
O trabalho realizado pela força de atrito é negativo, pois a força de atrito tem sentido
oposto ao do deslocamento. Mas como o sistema não é conservativo, este trabalho é
transformado em energia térmica e não é reversível.
Um sistema não conservativo é também chamado de dissipativo.
6.7 - ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA
Quando você estica ou comprime uma mola, a sua força muscular realiza um trabalho
negativo, pois o deslocamento da extremidade da mola ocorre em sentido oposto ao de sua
133
força elástica. Como a mola constitui um sistema conservativo, este trabalho é armazenado na
mola na forma de energia potencial elástica. Através deste trabalho negativo, ocorre a
transferência da sua energia muscular para a mola. Esta força varia desde um valor zero até
um valor qualquer, diferente de zero. Então, a área delimitada pelo gráfico Fxd é a área de um
triângulo.
Força elástica
F
A expressão matematica
da energia potencial elástica
é dada por:
1
E Pel = .k .d AB
2
0 A
B deslocamento
Fig. 57- Gráfico mostrando a relação entre a força F e a deformação sofrida pela mola.
E PEl → energia potencial elástica
k →constante elástica da mola
d AB → deformação sofrida pela mola
Sugestão de atividade prática.
A lata mágica. Física mais que divertida, p.17 . Professor Eduardo de Campos
Valadares. Ed. UFMG.
6.8 - ENERGIA MECÂNICA
É a soma da energia cinética com a energia potencial.
E M = EC + E P
E M → energia mecânica
1
EC = .m.v 2 → energia cinética
2
E P = m.g.h → energia potencial gravitacional ou
1
E P = .k .d AB → energia potencial elástica
2
6.9 - PRINCIPIO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA
134
Num sistema conservativo, a energia mecânica se conserva, isto é, a soma da energia
cinética com a energia potencial antes da ocorrência de um evento é igual à soma das duas
formas de energia depois da ocorrência do evento.
antes
depois
E C A + E PA = E C D + E PD
Esta expressão é uma espécie de contabilidade de energia. Em nossa experiência da
esfera no looping, à medida que a esfera desce a rampa, vai diminuindo a altura e aumentando
a velocidade. A energia cinética sofre um acréscimo na mesma proporção que a energia
potencial sofre um decréscimo, de modo que a soma das duas formas de energia se mantém
constante.
A energia não pode ser criada nem destruída, mas apenas transformada de uma forma
em outra. Assim, por exemplo, no choque entre dois veículos, a energia cinética que cada um
tinha antes da colisão é c0nvertida em trabalho ao deformar o veiculo, em energia sonora, em
energia térmica e outras.
Pense na altíssima velocidade de um meteoro no instante de seu impacto com a
superfície de um planeta. Se a velocidade “zera” repentinamente, isto não significa que a
energia total zeja zerada. Ela é convertida em outras formas de energia. Para se ter uma idéia,
assiste o filme Impacto Profundo.
Um meteoro caiu na superfície do planeta Júpiter. O local do impacto foi do outro lado
do planeta, de modo que não foi possível captar os efeitos do choque. Contudo, a energia
luminosa liberada iluminou uma das “luas” de Júpiter e o fenômeno foi captado pelos
telescópios da NASA. Na época, os jornais comentaram que a energia térmica liberada teve
um poder de destruição maior que o todo o arsenal nuclear da Terra.
6.10 - POTÊNCIA
É uma outra grandeza muito importante e muito presente no nosso dia-a-dia. Ela mede
a rapidez com que um trabalho é realizado. É obtida pela divisão do trabalho realizado por
uma força pelo intervalo de tempo gasto para realizar este trabalho. Sua expressão matemática
é:
P=
τ AB
∆t
ou
P=
F .d AB
∆t
ou
P = F .v
No Sistema Internacional, a potência é medida em watts (W). Um watt é o trabalho de
1 joule realizado por uma força em um segundo.
135
ATIVIDADES – 24
01) Trabalho e energia cinética
Um corpo de 10 kg de massa parte do repouso sob a ação de uma força constante,
paralela à trajetória e 5 segundos depois atinge 15 m/s. Determine:
a) sua energia cinética no
instante t=0 s
b) sua energia cinética no
c) o trabalho realizado pela
instante t=5 s
força neste intervalo de
tempo
02) Trabalho mecânico
i) Um passageiro, caminhando em linha reta pelo saguão do aeroporto, desloca sua mala de
viagem, aplicando através de um fio, uma força de intensidade T = 1.10 2 N, formando um
ρ
ângulo de 60° com a horizontal. Determine o trabalho realizado pela tração T num
deslocamento de 50 metros. Dados: cos 60° = 0,5 e sen 60° = 0,87.
ii) O gráfico representa a variação da intensidade
ρ
da força resultante F que atua sobre um corpo de
ρ
2 kg de massa em função do deslocamento ∆x .
ρ
Sabendo que a força F tem a mesma direção e
F(N)
Fig.58 Gráfico força
4
variável
sentido do deslocamento, determine:
a) a aceleração máxima adquirida pelo
corpo.
0
1
3 x(m)
ρ
b) o trabalho realizado pela força F entre as
posições x = 0 e x = 3m.
136
iii)Um objeto de 8 kg de massa deve ser
B
elevado a uma altura de 3m. São apresentadas duas trajetórias: uma vertical
de 3m e outra , ao longo de um plano
inclinado de 5m, sem atrito.
C
A
Fig.59 – Dois caminhos para o percurso do objeto. Os trabalhos serão iguais?
a) Se optarmos elevar o objeto via trajetória
b) Calcule o trabalho realizado pela força
vertical com velocidade constante, qual a
ρ
intensidade da força FAB a ser aplicada neste
neste caso.
caso? Considere g = 10 m/s 2 .
c) Se o caminho escolhido for o plano
d) Calcule o módulo da força necessária para des-
inclinado, a força aplicada seria:
locar o corpo ao longo do plano inclinado, para ir
( ) maior de FAB
de C até B. Dado: cos θ =
cat.adjacente
hipotenusa
( ) igual a FAB
( ) menor que FAB
e) Calcule o trabalho necessário para
f) Complete as lacunas:
ir de C até B pelo plano inclinado.
Num sistema conservativo, o ________________
realizado por uma força_____________________
_____________________do caminho.
03) Trabalho da força gravitacional
Uma pessoa levanta uma criança de 25 kg a uma altura de 2 metros, com velocidade
constante. Considere g = 10 m . Determine:
s
137
a) o trabalho realizado pela força-peso.
b) o trabalho realizado pela pessoa.
F(N)
50
04) Trabalho da força-elástica
Uma mola é esticada desde sua posição
inicial, não alongada ( x0 =0), até uma posição
30
20
em que o alongamento é x = 10cm . O gráfico
mostra a intensidade da força motora. Determine:
0
4
6
10
x(cm)
Fig.60 - grafico
a) a constante elástica da mola.
b) o trabalho realizadopela força tensora de
0 a 10 cm.
05) Potência
Um dispositivo eleva um corpo de 2000 kg de massa a uma altura de 200m em 10
segundos, com velocidade constante. Adote g = 10 m/s 2 . Determine:
a) o trabalho realizado pela força do dispositivo.
b) a potência empregada.
06) Energia potencial gravitacional
Um corpo de massa 6 kg encontra-se a uma altura de 8 metros do solo. Admitindo-se
138
g = 10 m/s 2 e considerando o solo como nível de referência, determine:
a) o trabalho para elevar o corpo.
b) sua energia potencial gravitacional.
07) Energia potencial elástica
Determine a energia potencial elástica armazenada numa mola de constante elástica k =
500N/m, quando ela sofre uma deformação de 40 cm.
08) Conservação da energia mecânica
i) Um corpo é lançado do solo, verticalmente para cima, com velocidade inicial de 30 m/s.
Admitindo-se g=10m/s 2 , determine:
a) a energia cinética e a energia b) a energia cinética e a energia
potencial no instante do lança -
potencial no ponto de altura
mento.
máxima.
c) a altura máxima atin gida.
ii) Um bate estaca abandona um cilindro de ferro de 1500kg de massa de uma altura de 20m
em relação ao solo. Considere g = 10 m/s 2 . Determine:
a) a energia cinética e a energia b) a energia cinética e a energia c) a velocidade do cilindro
potencial gravitacional do
potencial gravitacional do cilin-
cilindro no inicio da queda.
dro quando este atinge o solo.
ao atingir o solo.
139
ATIVIDADE PRÁTICA XXV
Objetivo: Observar o principio da conservação da energia mecânica.
Embora a sinceridade de uma pessoa não seja uma grandeza mensurável, você pode
verificar através deste experimento de física, se a pessoa está ou não dizendo a verdade. Para
isto, prenda uma das extremidade de um pedaço de barbante no teto da sala ou do laboratório
e na outra extremidade do fio prenda um objeto não muito pesado, para não romper o fio. É
um pêndulo simples.
Peça a uma pessoa sentar-se numa banqueta ou cadeira. Afaste o pêndulo de sua
posição de equilíbrio, posicionando o objeto a aproximadamente 5 cm do rosto da pessoa.
Pergunte à pessoa se a mesma confia nas leis da física e depois abandone o objeto (não
é lançamento). O objeto perfará um caminho de ida e volta. Se a pessoa afastar a cabeça estará
negando o que disse. Explique esta brincadeira à luz dos princípios da física.
ATIVIDADE PRÁTICA – XXVI
Objetivo: Observar o principio da conservação da energia
Materiais utilizados
• canaleta construída com mangueiras, nos experimentos anteriores.
• uma esfera ( de aço, preferencialmente)
• improvise o experimento abaixo:
Fig. 61 – Verificação do principio da conservação da energia de uma esfera que rola numa
canaleta. Acervo próprio.
Procedimento
- Com o auxílio de uma balança, meça a massa da esfera.
140
- Com o auxilio de um cronômetro, determine o tempo necessário para a esfera rolar desde
uma determinada altura até o inicio da parte horizontal da canaleta.
- Determine a velocidade da esfera ao chegar ao inicio da parte horizontal.
- Determine a energia potencial gravitacional da esfera correspondente à altura da qual foi
abandonada.
- Determine a energia cinética com a qual a esfera atinge o inicio da parte horizontal.
- Compare os valores das duas formas de energia. A que você atribui a diferença de valores?
6. 11 - UM POUCO DE HISTÓRIA
Fizemos uma abordagem da Segunda Lei de Newton, conhecida como Princípio
Fundamental da Dinâmica ou Relação Fundamental do Movimento a partir da igualdade entre
ρ
ρ
ρ
ρ ρ
impulso de uma força ( I = F .∆t ) e a variação da quantidade de movimento ( ∆Q = Q f − Qi ):
ϖ
ρ
ρ ∆Q
ρ
F .∆t = ∆Q
→
F=
∆t
A expressão acima nos informa como a força evolui no tempo.
Agora, recentemente, conhecemos uma das mais importantes leis que regem as
interações no universo, a lei que relaciona a variação da energia cinética com o trabalho
ρ
realizado por uma força F sobre um corpo de massa m, ao deslocá-lo de uma posição A até
uma posição B:
ρρ
1
1
F .d AB = m.v 2 − m.v02
2
2
→
F=
1
2.d AB
m.v 2 –m.v 02
A expressão acima nos informa como a força evolui no espaço.
Estas duas expressões não chegaram até nós de maneira pacífica, mas através de um caminhar
bastante tumultuado. De acordo com GASPAR (2000), Leibniz e Descartes e seus respectivos
seguidores divergiram seriamente numa inútil disputa sobre qual das relações seria a relação
fundamental do universo: o produto m.v 2 de Leibniz ou o produto m.v de René Descartes.
Assim, o século XVIII foi palco de uma acirrada polêmica a respeito da definição da “força
de um corpo”. Hoje, à luz da teoria de Newton e de seu aperfeiçoamento através dos séculos
que se seguiram, sabemos que força é uma grandeza física que atua sobre um corpo causando
variação da velocidade. Mas no período anterior aos trabalhos de Newton, nos séculos XVI e
141
XVII, o conceito de força (vis) ainda não estava depurado dos elementos aristotélicos da
filosofia medieval.
Vimos que Aristóteles afirmava que o movimento de um corpo era devido à força
interna, recebida do agente lançador. Eram forças inatas, intrínsecas ao corpo. A força
somente começou a ser percebida como algo extrínseco, externo ao corpo, com a elaboração
das leis do movimento por Newton. Antes disto, René Descartes, Leibniz e o próprio Newton
tinham o pensamento impregnado de conceitos que se traduziam por força intrínseca. Esta
concepção era reforçada pela observação do cotidiano de um corpo em movimento colocar
outros em movimento ou vencer resistências.Por isto raciocinavam que o corpo tinha força.
Um indicio desta forma de pensamento podemos ver na primeira dos Princípios Matemáticos
de Filosofia Natural, prefaciado em 8 de maio de 1686, em que Newton escreve:
“A força inata da matéria é um poder de resistir pelo qual cada corpo,
enquanto depende dele, preserve em seu estado(...)[Definição III].
Esta força era chamada de força viva por Leibniz e era imanente, isto é, interna ao
corpo. Ele a definia como sendo o produto da massa pelo quadrado de sua velocidade: m.v 2 .
René Descartes, por sua vez, sustentava por volta de 1644, que a força de um corpo era
determinada pelo produto da sua massa pela sua velocidade: m.v
6.12 – RENÉ DESCARTES
René Descartes seguia uma linha de pensamento herdado da filosofia grega, a da
imutabilidade como atributo da perfeição divina. Esta imutabilidade se traduz na conservação
do “chute inicial dado por Deus na criação do Universo”. De acordo com GASPAR
(2000),o que importava naquela época, era a busca de uma quantidade qualquer ligada ao
movimento que permanecesse constante.
De acordo com PONCZEK(2000), em Princípios Filosóficos, livro publicado em
1644, René Descartes nos apresenta um traço de seu pensamento:
“Cada coisa persevera no estado em que está o tempo que puder e não
muda este estado senão pela ação das outras e cada parte da matéria
jamais continua a mover-se segundo linhas curvas, mas sim, segundo
linhas retas.
O excerto acima atesta a visão mecanicista de mundo que Descartes possuía. E
Newton foi fortemente influenciado por esta visão. Compare este trecho com a Primeira Lei
de Newton ou Lei da Inércia de Galileu.
142
PONCZEK(2000) cita outro excerto da obra de Descartes:
“Se um corpo que se move encontra outro mais forte que ele, não perde
nada de seu movimento e se encontra outro mais fraco, a quem possa
mover, perde de seu movimento aquilo que transmite ao outro”.
• Verifique, na prática, a primeira parte deste excerto. Coloque uma bola de voley em contato
com outra bem menor em baixo e abandone-as simultaneamente de uma certa altura.
Fig. 62 – O que ocorre com a bola menor após o choque com o solo?
• Para verificar a segunda parte do excerto, inverta as posições das bolas e abandone-as,
simultaneamente de uma certa altura.
Fig.63 – Ambas continuarão com a mesma velocidade de antes, após o choque?
Conforme PONCZEK(2000), Descartes postula que Deus deu o empurrão inicial no
universo e que este movimento é conservado, gerando as leis da natureza. Neste postulado
metafísico de concepção do mundo, René Descartes sustenta que em todos os fenômenos que
ocorre na natureza, a força total de todos os corpos envolvidos é constante. Com os recursos
modernos da matemática poderíamos escrever:
Σm.v = cons tan te
A letra grega Σ (sigma) indica somatória ou totalidade.
6.13 - GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ
143
Procurando descobrir uma melhor maneira de determinar a verdadeira medida do
movimento, Leibniz concluiu que o impacto de um corpo pesado no solo seria maior que de
outro de menor peso, desde que ambos caíssem da mesma altura. Assim, ambos atingiriam a
mesma velocidade de acordo com os estudos de Galileu. A medida do impacto do corpo seria
uma maneira de encontrar a medida da força. De acordo com o principio de igualdade entre
causa e efeito, o impacto seria a própria força, uma vez que esta lhe é imanente. De acordo
com a filosofia de Leibniz, no choque do corpo com o solo estaria presente uma seqüência de
causas imanentes: a força que atrai o corpo ao centro da Terra, o impacto e a força que faz
com que o corpo se eleve logo após o impacto.
Estudando a colisão dos corpos, o físico holandês Cristian
Huygens (1629-1695), concluiu que o produto da massa do corpo pela
sua velocidade ao quadrado era uma quantidade muito especial. Leibniz
(1646-1716) demonstrou que esse valor era proporcional ao produto do
peso de um corpo pela sua altura de queda, denominando essa
quantidade especial de força viva (GASPAR, 2000, p.228).
6.14 - A POLÊMICA
A polêmica se acende quando em 1686 aprofundando o estudo da física dos choques,
Leibniz critica as concepções cartesianas em sua obra Discurso da Metafísica, argumentando
que aquela quantidade ligada ao movimento e que se mantinha constante em todos os
processos não era Σm.v e sim Σm.v 2 , a força viva total.
Em 1743, o enciclopedista D’Alembert apresentou em seu Tratado de Dinâmica a
1
m.v 2 determina até onde um corpo
2
ρ
pode manter-se em movimento sob ação de uma força de resistência FR e que a grandeza m.v
solução para esta controversa, explicando que a grandeza
determina até quando um corpo pode manter-se em movimento sob a ação da mesma força
ρ
FR .
Mais tarde, Thomas Young (1773-1829), físico e medico inglês, deu ao
produto m.v 2 o nome de energia em vez de foca viva, chegando à
conclusão correta de que o trabalho necessário para produzir um
movimento é proporcional à energia adquirida. A expressão energia
cinética foi introduzida por outro físico inglês, William Thomson, Lorde
1
Kelvin (1824-1907), há pouco mais de 100 anos. O fator
que
2
multiplica o produto m.v 2 apareceu a partir das leis do movimento, cuja
demonstração foi feita pela primeira vez pelo físico francês Gaspar de
Coriolis (1792-1843)[GASPAR, 2000, p.228].
144
Vamos deduzi-la.
ATIVIDADES 25
Imagine um corpo de massa m, situado no ponto A de sua trajetória e uma força
ρ
FAB que atua sobre este corpo, deslocando-o até outro ponto de sua trajetória, percorrendo
assim a distância d AB . Então, esta força realiza um trabalho sobre o corpo, dado pela
expressão:
ρρ
τ AB = F .d AB . cos θ
01) Suponha que no presente caso, a força tenha a mesma direção e o mesmo sentido do
deslocamento. Então, θ = 0° e cos 0 = 1. Substituindo o valor do cosseno de θ na expressão
acima, reescreva a expressão de forma simplificada no retângulo abaixo:
expressão (1)
ρ
02) Mas quando a força F atua sobre o corpo, sua velocidade varia da velocidade inicial (v 0 )
para a velocidade final (v). Então, isole a variável d AB na equação de Torricelli abaixo e
escreva a expressão para d AB no retângulo abaixo.
v02 + 2.a.d AB = v 2
expressão (2)
03) Mas a segunda lei de Newton diz que F = m.a. Então substitua a letra F da expressão (1)
por m.a e escreva a nova forma desta expressão no retângulo que se segue:
expressão (3)
04) Substitua a letra d AB da expressão (3) pelo seu valor da expressão (2), simplificando os
resultados e finalmente escrevendo a expressão do trabalho e da variação da energia cinética
no retângulo seguinte:
CAPITULO
VII
GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
146
7.1 - GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
Antes de iniciarmos o estudo da gravitação universal, vamos fazer uma rápida viagem
de volta no tempo, um breve estudo da história da Astronomia, para conhecermos a evolução
do pensamento sobre a concepção de universo.
• Você já parou para contemplar a beleza de um céu pontilhado de estrelas depois que o Sol se
põe?
• Você já percebeu que os corpos celestes têm cores de diversos matizes e brilhos de
diferentes intensidades?
• Você já prestou atenção no caminho percorrido pela sombra de sua casa/prédio projetada
pelo Sol durante as quatro estações do ano?
• Você já se perguntou por que há tempo para cada coisa: tempo de plantar e tempo de colher?
Desde remotas eras da pré-história, o homem se extasia diante da imensidão do
universo que o rodeia. Como é de sua natureza, sua curiosidade o leva a especular a respeito
do cosmo. Por isso, podemos dizer que a Astronomia é a mais antiga das ciências.
Sendo a ciência que estuda os corpos celestes, sua estrutura física, origens, posições e
movimentos, a Astronomia permitiu ao homem, por exemplo, relacionar as mudanças das
estações, as cheias dos rios com as posições ocupadas pelos corpos celestes na abóbada
celeste. Com os registros da regularidade e da periodicidade dos fenômenos celestes foi
possível ao homem estabelecer padrões naturais de tempo, permitindo a elaboração de
calendários para prever a época mais propícia ao plantio e à colheita. Na contemplação do céu
e na busca de respostas para seus problemas, começa a relacionar também os fenômenos
astronômicos com a matemática, ciência que estava começando a ser elaborada a partir das
necessidades humanas.
Além das atividades ligadas à agricultura, a Astronomia foi fundamental à navegação
marítima, pois a aparente posição fixa das estrelas serviam de referência e orientação aos
viajantes marítimos.
Como o homem primitivo não tinha ainda conhecimento das leis da natureza (física),
interpretava os astros como entes divinos ou espíritos, que periodicamente apareciam para
beneficiar ou castigar os homens e usavam os conhecimentos adquiridos com objetivos
ligados à astrologia, como a prevenção do futuro.
A história da Astronomia está ligada à própria história do Homo Sapiens, pois este é
capaz de se organizar em grupos social politicamente estruturados bem como construir
147
conhecimento a partir do que já foi elaborado por seus antecessores. Por isto vamos verificar
quais foram as contribuições das diversas civilizações da antiguidade para a evolução do
conhecimento do universo, bem como os processos de construção desta ciência até os tempos
atuais.
7.2 – CONTRIBUIÇÕES HISTÓRICAS
Mesopotâmia
Era um território situado entre os rios Tigre e Eufrates, onde é hoje a região do Iraque.
Neste território, vários milênios antes de Cristo existiu uma das mais antigas civilizações, os
sumérios. Também foi território dos babilônios e dos assírios.
Sumérios
De acordo com algumas fontes, foram os primeiros a cultivar a astronomia. A
princípio, observavam os corpos celestes por motivos místicos. Praticantes de uma teologia
astral, atribuíam aos deuses planetários um papel importante na mitologia e na religião dos
povos da região, surgindo a astrologia. Acreditavam que seus destinos estavam escrito nos
corpos celestes.
Com o tempo passaram de astrólogos para astrônomos, abandonando motivações
místicas nas observações dos astros e aplicando métodos matemáticos no estudo das variações
dos movimentos dos astros. Seus conhecimentos de astronomia tiveram forte influência na
sofisticação da astronomia dos babilônios.
Babilônia
Era uma cidade situada à margem esquerda do rio Eufrates, 70 km a sul da atual
capital do Iraque, Bagdá.
Os astrônomos desta cidade deixaram seus conhecimentos registrados em lápides de
barro, aproximadamente sete séculos antes de Cristo. Estando, neste período, sob o domínio
do império grego, acabaram passando para seus dominadores seus conhecimentos de
aritmética, envolvendo numeração de base sexagesimal bem como os conhecimentos sobre os
planetas visíveis e as constelações do zodíaco ( Áries, Touro, Gêmeos, Câncer, Leão,
Virgem,Escorpião, Sagitário, Capricórnio, Aquário e Peixes. Atualmente são treze, pois foi
acrescido Ofiúco).
Observavam atentamente os fenômenos da natureza, municiando-se de conhecimentos
que lhes eram estratégicos na precaução contra as manifestações hostis da natureza.
Elaboraram um calendário baseado nas fases da Lua, o qual constava de doze a trezes meses
148
lunares. O mês era dividido em quatro partes, correspondendo às quatro fases da Lua,
originando assim as semanas tal como as conhecemos hoje. O nome dos dias da semana fazia
referência ao nome do corpo celeste que era objeto de adoração em cada dia na Babilônia: 3
Mesopotâmia
Inglês
Francês
Espanhol
Dia da Lua
Dia de Marte
Dia de Mercúrio
Dia de Júpiter
Dia de Vênus
Dia de Saturno
Dia do Sol
Momday
Tuesday
Wednesday
Thursday
Friday
Saturday
Sunday
Lundi
Mardi
Mercredi
Jeudi
Vendredi
Samedi
Dimanche
Lunes
Martes
Miercoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo 4
Egito
O sistema de mundos dos egípcios era profundamente mitológico. Atribuíam um
significado muito grande aos astros em termos de misticismo e crença, em especial ao astro
rei, o Sol, conhecido como deus Rá. O Sol, os planetas e as estrelas mais brilhantes eram
considerados deuses e responsáveis pelas secas no verão e pelas cheias do rio Nilo. 6
As estrelas, além de orientar os egípcios na navegação e na agricultura, serviram
de referencial para a construção das famosas pirâmides. As quatro faces da grande pirâmide
de Gizé são voltadas para os quatro pontos cardeais. Quando foi construída, a estrela Sirius
passava pelo meridiano perpendicular à sua face. Devido à precessão dos equinócios, isto hoje
já não ocorre mais. Esta estrela, da constelação do Grande Dragão, era cultuada como a deusa
Sothis, divindade que anunciava a chegada das inundações do rio Nilo.
China
Tal como na Mesopotâmia, o interesse dos chineses para com os estudos dos corpos
celestes era místico e astrológico. É difícil de se reconstruir do pensamento chinês da
Antiguidade, pois todos os registros históricos foram destruídos no ano 213 a. C., por
determinação imperial.
Os chineses conseguiam prever os eclipses, graças ao conhecimento que tinham da
periodicidade desses acontecimentos. Elaboraram um calendário de 365 dias e deixaram
registros de anotações precisas de cometas e meteoros desde 700 a. C.
3. Adaptado do site www.astropt.com/ccviva/astronomia/h...
4. Ibidem.
5. Adaptado do site http://areadeproject12b.blogspot.com/2007/05/astronomia-naantiguidade.html
6.adaptado do site http://www.ccvalg.pt/astronomia/historia/antiguidade.htm
149
Grécia
O ápice da ciência na Antiguidade ocorreu na Grécia a partir do século VI a. C.
Herdando o conhecimento dos povos mais antigos, os gregos souberam afastar o sobrenatural,
a magia e superstição da interpretação dos fenômenos observados, especialmente no que se
refere aos acontecimentos celestes. As explicações dos fenômenos observados passam a ser
naturais, mecânicas e geométricas. 7
Quando seus conhecimentos não conseguiam explicar as observações, aí recorriam às
explicações mitológicas, dando origem a “novelas” protagonizadas por deuses, surgindo
assim a mitologia grega. 8
7.3 – ASTRÔNOMOS DA GRÉCIA ANTIGA
Ecola jônica de Mileto. Representantes: Tales, Anaximandro e
Anaxímenes.
Tales de Mileto (~ 624 – 547 a. C.)
Acreditava que a Terra fosse um disco circular achatado
flutuando num oceano, cujas águas seria o princípio de tudo e limitado
pela abóbada celeste. Esta idéia também era defendida por Homero.
É surpreendente que Tales tenha sido capaz de prever um eclipse
do Sol baseado em sua concepção de mundo. Mas é surpreendente
também que com suas observações feitas durante suas viagens, ele não
tenham percebido e nem deduzido a curvatura da Terra. Mas algumas
fontes afirmam que ele estava convencido da esfericidade do nosso
planeta pela observação do eclipse lunar.
Anaximandro de Mileto (~611 – 546 a. C.)
A terra seria um cilindro em equilíbrio no centro do Universo. O
céu seria esférico, formado por várias camadas a distâncias diferentes. A
esfera do Sol era a mais afastada e a das estrelas, a mais próxima. A
esfera da Lua ficava numa posição intermediária entre a esfera do Sol e
a das estrelas. (Gastão Bierrenbach Lima in: Astronomia de Posição).
Para Anaximandro, as estrelas eram orifícios numa esfera sólida, através dos quais
penetrava a luz.
Anaxímenes de Mileto (~585-526ª. C.)
7. Adaptado do site: www.ccvalg.pt/astronomia/história/antiguidade.htm
8. Ibidem.
150
Acreditava que a Terra seria um disco achatado flutuando no ar
e que as estrelas estariam fixas na esfera celeste e que esta seria um
sólido cristalino (Gastão Bierrenbach Lima in Astronomia de Posição).
Escola eleática. Representantes: Xenofanes de Colophon e Parmênides
de Elea. Viveram num período em que Atenas foi o maior centro
filosófico do mundo.
Xenofanes de Colophon (~570 – 478 a. C.)
Acreditava que a Terra era plana e sem limites e estaria
ancorada no infinito, com o ar acima também infinito. O Sol, as estrelas
e os cometas seriam “nuvens” condensadas na atmosfera. A trajetória
dos astros deveria ser retilínea. A aparência circular do movimento
diário seria uma ilusão devida à distância que nos separa desses astros.
(Gastão Bierrenbach Lima in Astronomia de Posição).
Parmênides de Elea (~504 – 450 a. C.)
Acreditava que a Terra era uma esfera. Dividiu-a em cinco
zonas: uma tropical (ou tórrida), duas temperadas e duas glaciais. Os
relatos de viajantes que descreviam estrelas visíveis no Sul mas invisíveis
na Grécia ou estrelas que se tornam circumpolar quando se viaja para o
norte devem ter contribuídos para sua crença na esfericidade da Terra.
Pensava o Universo como um conjunto de esferas concêntricas, com a
Terra no centro. Sabia que as estrelas vespertina e matutina (ou estrela
d’alva) eram o mesmo objeto (hoje, sabemos que se trata do planeta
Vênus) e que o brilho da Lua se deve à luz do Sol. Acreditava que o Sol e
a Lua seriam formados por matéria que havia se desprendido da Via
Láctea (o Sol, de matéria quente e a Lua, de matéria fria). Tal como
Anaximandro, Parmênides acreditava que as estrelas estariam mais
próximas da Terra que o Sol e a Lua. (Gastão Bierrenbach Lima in
Astronomia de Posição).
Escola pitagórica. Representantes: Pitágoras de Samos e Filolau, do
sul da Itália.
Nesta escola se descobriu que os planetas se movem do oeste
para o leste.
Pitágoras de Samos (580 – 497 a.C.)
A idéia principal da filosofia de Pitágoras era de que o Universo
era governado pela matemática. A regularidade dos movimentos celestes
e os intervalos regulares das harmonias musicais levou os pitagóricos à
conclusão de que cada um dos planetas, assim como as estrelas,
estariam em esferas cujos movimentos produziriam uma nota musical.
Esta música celestial seria impossível de ser escutada pelos seres
humanos.
151
O Universo seria formado por quatro elementos (terra, água, ae
e fogo) e teria uma forma esférica. A Terra também seria esférica e
localizada no centro. Pitágoras talvez tenha sido o primeiro a utilizar a
palavra “cosmo” (em grego, κοσµος ) para designar o firmamento.
Reconheceu que as “estrelas” matutina e vespertina eram o mesmo
corpo celeste (Vênus), que o brilho da luz era reflexo da luz solar e que a
trajetórias dos planetas era inclinada em relação ao equador celeste (os
planetas estão no plano da eclíptica. (Gastão Bierrenbach Lima in
Astronomia de Posição).
Filolau ou Philolaus (480 - ? a. C.)
Discípulo de Pitágoras. Sugeriu que a Terra não se encontra no
centro do Universo. Neste, existiria o fogo central,
Héstia ( Εστια ), em torno do qual giraria diariamente, mostrando
sempre a mesma face, o lado não habitável; a Europa e o mundo
conhecido dos gregos ficariam do lado fogo central. Esta teoria
implicava na rotação da Terra em torno de seu eixo, mas Filolau não
reconhecia este fato. A partir do fogo central teríamos a Terra, a Lua, o
Sol, Vênus, Mercúrio, Marte, Júpiter e Saturno. (Gastão Bierrenbach
Lima in Astronomia de Posição).
Sistema de Eudoxo
Eudoxo de Cnidus, Ásia Menor (480-355 a. C.)
Estudou vários meses com Platão. Possuía um observatório
próprio. Propôs um ciclo solar de quatro anos, com três anos de 365
dias e um ano de 366 dias. Três séculos mais tarde, este calendário foi
posto em prática pelo imperador romano Julio César. Eudoxo contribuiu
para as primeiras descrições sistemática das constelações.
Concebeu o sistema de esferas concêntricas, o que explicaria
teoricamente os movimentos irregulares dos astros. Acreditava que cada
planeta, o Sol e a Lua estavam fixos em esferas, com a Terra no centro.
Os movimentos circulares e regulares seriam o único tipo de movimento
permissível.
Cada planeta estaria ligado à varias esferas homocêntricas, e
não apenas uma. Cada esfera giraria de forma uniforme, mas o
movimento resultante da composição dos movimentos seria irregular.
Para os planetas, Eudoxo imaginou quatro esferas: a primeira
que gira em um dia tendo um eixo polar (isto reproduz o movimento
diário de leste para oeste); uma segunda esfera cujo eixo seria
perpendicular à eclíptica com rotação oposta à primeira (responsável
pelo fato dos planetas percorrerem a eclíptica de oeste para leste, e não
o equador celeste). Uma terceira esfera é necessária para produzir o
movimento retrógrado dos planetas e a quarta esfera, ligada à terceira,
seria responsável pela pequena inclinação dos planetas em relação à
152
eclíptica. Para o Sol e a Lua seriam necessários apenas três esféricas
homocêntricas.
Apesar de sofisticada, a teoria de Eudoxo era capaz apenas de
explicar o movimento dos planetas de modo aproximado. No caso de
Marte, a teoria das esferas homocêntricas apresentava grandes
divergências. Mas, esta teoria podia explicar relativamente bem as
diferenças de duração das estações do ano. (Gastão Bierrenbach Lima in
Astronomia de Posição).
Sistema de Aristóteles
Aristóteles de Estagira, Macedônia (384-322 a. C.)
Foi discípulo de Platão e tutor de Alexandre Magno da
Macedônia.
Acreditava que o Universo era esférico e finito, composto por
quatro elementos básicos: água, terra, fogo e ar. O centro do Universo
seria ocupado pela Terra, a qual era
imóvel e tinha forma esférica. Os planetas estariam fixos em esferas e
adotou o sistema de esferas homocêntricas de Eudoxo.
Acreditava que estas esferas eram reis, feitas de cristais transparentes.
Desenvolveu o sistema de Eudoxo acrescentando mais esferas a alguns
planetas, particularmente a Marte, melhorando assim, o acordo entre
observação e teoria.
O modelo de Universo de Aristóteles foi tão bem sucedido na
história que, atualmente aos nos referirmos a ele, dizemos modelo
aristotélico. (Gastão Bierrenbach Lima in Astronomia de Posição).
Aristóteles colocou a Terra no centro do Universo por que todos os corpos que eram
constituídos do elemento terra se dirigiam para este ponto, seu lugar natural. Este ponto seria
o centro do Universo. Movimento era sinônimo de imperfeição e só ocorria no interior da
esfera da Lua, o mundo sub-lunar. Neste mundo, existia dois tipos de movimento: o natural,
que conduzia o corpo ao seu lugar natural e o violento, quando um corpo era retirado do seu
lugar natural.
No mundo supralunar, os espaços entre as esferas eram ocupados por um elemento
incorruptível, o éter. O único movimento admissível era o movimento circular, símbolo da
perfeição.
De acordo com Aristóteles, as fases da Lua dependiam de quanto a Lua é iluminada
pelo Sol, para um observador na Terra. Aristóteles também explicava que os eclipses do Sol
ocorriam devido à sua ocultação pela Lua. Analogamente, um eclipse da Lua ocorria quando
esta passasse pela sombra da Terra.
153
Para sustentar a tese da esfericidade da Terra, Aristóteles argumentava com as
observações das formas esféricas da sombra da Terra projetada na Lua e pelo fato de que
algumas estrelas visíveis no Egito não o eram na Grécia.
Sistema híbrido de Heráclides
Heráclides de Pontus (388 – 315 a. C.)
Para Heráclides, a Terra girava em torno de seu próprio eixo que passava pelos pólos
celestes.
Na época havia muita controvérsia sobre as posições de Mercúrio e Vênus. Uns os
situavam acima do Sol, outros, entre a Lua e o Sol. Sustentando um meio termo, Heráclides
propôs que os dois planetas orbitavam ao redor do Sol, o qual por sua vez, giraria ao redor da
Terra. Com isto conseguia explicar a presença destes dois planetas sempre próximos ao Sol.
Aristarco de Samos (310 – 230 a. C.)
Defendia que o centro do Universo era ocupado pelo Sol e que a Terra e os demais
planetas orbitariam ao redor do Sol. O movimento da Terra em torno de um eixo que passava
pelos pólos celestes era o referencial para explicar o movimento diário dos astros.
Esta idéia foi rejeitada, pois os gregos não viam evidências do movimento da Terra na
época. O movimento de rotação da Terra acarretaria uma velocidade muito grande para
qualquer ponto de sua superfície, fazendo que tudo o que estivesse na superfície da Terra
fosse lançado para o espaço. Além disso, não observavam a paralaxe das estrelas, que deveria
ocorrer, caso a Terra realmente se movesse.
Outra contribuição de Aristarco foi o desenvolvimento de um método para determinar
as distâncias da Terra ao Sol e à Lua.
Eratóstenes de Cirene ( atualmente Líbia: 276 – 194 a. C.)
Entre as várias contribuições para o desenvolvimento da ciência, está a elaboração de um
mapa do mundo, uma metodologia para a determinação dos números primos e a estimativa do
tamanho da circunferência da Terra.
Conhecer o tamanho e a forma da Terra era vital para o desenvolvimento da
astronomia.
Ao ler um papiro da biblioteca de Alexandria, soube que na cidade de Siena, no Egito
(atual Assuã) perto do trópico de Câncer, os raios solares incidiam perpendicularmente no
154
fundo de um poço ao meio dia no solstício de verão ( 21 de junho) enquanto que em
Alexandria, no mesmo dia e hora isso não ocorria. Assim, Erastótenes descobriu
experimentalmente que, se a Terra fosse plana, duas hastes posicionadas verticalmente, uma
em Siena e a outra, em Alexandria não haveriam de projetar sombra em nenhuma das duas
localidades ao meio dia do solstício de verão.
Um de seus auxiliares foi incubido de medir a distância entre as duas cidades. Para
calcular o comprimento da circunferência da Terra, Erastótenes dividiu 360° pela defasagem
angular entre as sombras, que era de 7° e multiplicou o quociente pela distância entre as duas
cidades. O resultado encontrado foi de aproximadamente 252000 stadia. Como cada stadium
correspondia a 158 metros, a circunferência media aproximadamente quarenta mil
quilômetros.
Além de determinar com precisão o diâmetro da Terra, determinou também com maior
precisão o valor da inclinação do eixo da Terra, a obliqüidade da eclíptica ( ε = 23°51’;
atualmente e ε = 23°43’30” na época ).
Hiparco de Nicea (Bitínia, Ásia Menor: 194 – 120 a. C.)
Iniciando seus estudos com 30 anos de idade, dedicou-se ao estudo das estrelas até a
sua morte. Produziu o primeiro catálogo com 850 estrelas, listando a latitude e a longitude em
coordenadas eclípticas. Adotou dos babilônios a divisão da circunferência por 360° ao invés
da divisão grega por 60°.
Descobriu a precessão dos equinócios, mostrando que as coordenadas das estrelas
variavam sistematicamente quando eram dadas em relação ao ponto vernal. Mostrou a
dependência do comprimento do ano da recorrência das estações (ano trópico) e não do
retorno das estrelas à mesma posição (ano sideral).
7.4 - A TEORIA DOS EPICICLOS
Próximo à estrela Polar está a constelação Grande Carro, a qual, junto com as demais
estrelas também próximas, parecem girar em torno da estrela polar. São as chamadas estrelas
circumpolar. Para um observador postado na Grécia, estas estrelas completam um círculo sem
desaparecerem no horizonte. Um verso de Homero diz que a constelação Grande Carro é a
única que não se banha no oceano. O mesmo ocorre com as estrelas próximas ao pólo Sul.
Nestes locais, se você armar uma câmara fotográfica mantendo o diafragma aberto durante 24
155
horas, o filme, revelado, mostrará a forma circular das “trajetórias” das estrelas.
De acordo com este verso, quem estivesse no Egito, um país situado mais ao Sul do
que a Grécia veria a constelação do Grande Carro mergulhar todas as noites no deserto, por
breve período de tempo. Em regiões mais próximas dos trópicos e do equador, as estrelas
“nascem” ao anoitecer e se “põem” ao amanhecer.
Estes fatos levaram Anaximandro a deduzir que a Terra não poderia ser um disco, caso
contrário, a constelação Grande Carro estaria sempre à mesma altura no horizonte. A Terra
seria esférica, imóvel no centro do Universo, com todos os corpos celestes girando ao seu
redor.
Mas o movimento dos planetas não ocorria de maneira simples. Ora era progressivo,
ora era retrógrado, se apresentando estacionário na inversão do sentido do movimento.
Para tentar explicar os movimentos dos corpos celestes, Eudoxo propôs o sistema de
esferas, já mencionado, tendo cada esfera seu próprio movimento. A composição dos
movimentos das esferas gradualmente deu origem à teoria dos epiciclos, cujas idéias já
estavam presentes no sistema híbrido de Heráclides, onde os planetas inferiores giravam em
torno do Sol, o qual por sua vez, girava em torno da Terra. Esta teoria teve um primeiro
tratamento de forma rigorosa por Apolônio de Perga, em 230 a. C.
No sistema de epiciclos, os planetas giravam em torno de um ponto no qual não havia
nada de material. Este círculo
descrito
pelo
planeta em torno deste ponto era
chamado de epiciclos.
Hiparco desenvolveu e aprimorou a teoria proposta por Apolônio, introduzindo o
conceito de excentricidade, o equanto, no qual a Terra não estava no centro do deferente. Esta
teoria exigia que o epiciclo fosse sempre menor que o deferente. Para que isto ocorresse,
Hiparco notou que era necessário a introdução de epiciclos suplementares para cada planeta.
7.5 - SISTEMA GEOCÊNTRICO DE PTOLOMEU
Cláudio Ptolomeu ( 90 – 165 d. C.)
Nasceu na cidade de Ptolomaida de Tebaida no ano 90 d. C. Foi o último dos grandes
astrônomos da Antiguidade. Viveu e trabalhou em Alexandria, no Egito. Como seus
antepassados lutaram ao lado de Alexandre Magno no século IV a. C., a dinastia ptolomaica
herdou e governou o Egito até a anexação romana sob o governo de Marco Aurélio. Algumas
fontes históricas porém sustentam que ele não tinha nenhum parentesco com a dinastia dos
156
faraós egípcios e que seu nome se deve tão somente à cidade onde nasceu.
Aperfeiçoou o catálogo de Hiparco, acrescentando 130 estrelas e aprimorou as
medidas das coordenadas. O acesso às obras de Ptolomeu devemos aos astrônomos árabes,
razão pela qual o catálogo de Ptolomeu é conhecido como Almagesto, do árabe Al-magisti, do
grego µεγιστη ( ‘magiste’ = magistral ).
Sustentava a tese da Terra como o centro do Universo e que o Sol, a Lua, os planetas e
as estrelas estavam contidos em esferas concêntricas com a Terra. A esfera mais afastada era a
esfera das estrelas fixas, porque as distâncias entre as estrelas não variavam. Todos os corpos
celestes giravam ao redor da Terra, em movimento circular uniforme. Para explicar a questão
dos movimentos variáveis dos planetas, imaginava que cada um deles seguia duas órbitas
circulares: uma pequena, chamada epiciclo e outra maior, em torno da Terra, chamada
deferente, seguida pelo centro da órbita menor.
Com o passar do tempo, as observações foram revelando um grau cada vez maior na
complexidade dos movimentos e, para dar consistência à sua teoria, foi necessário acrescentar
alguns epiciclos para um determinado planeta.
Esta teoria é representada por uma série de funções circulares (senos e cossenos) das
posições dos planetas. Não há nenhum problema do ponto de vista matemático e sim do ponto
de vista físico. Num referencial inercial, fisicamente não tem sentido corpos girarem em séries
de epiciclos em torno do nada. Mas isto não era preocupação para os gregos, para os quais, o
que importava era a descrição do Universo sem se preocupar com as causas do movimento.
Na visão dos gregos, o círculo era a única forma geométrica perfeita. Os epiciclos deveriam
ser círculos e os movimentos dos planetas deveriam ser circulares e uniformes. E no centro de
tudo, deveria estar a Terra, pois era uma obra divina.
Este paradigma obrigava Ptolomeu e seus seguidores a complicar a teoria dos
epiciclos para que ela pudesse ser sustentada na medida que as observações avançavam. O
sistema geocêntrico foi sustentado pela Igreja Católica, impedindo o avanço da astronomia
por um período de catorze séculos.
ATIVIDADE – 24
Leia o texto da página 32 do Livro Didático Público e responda as duas questões ali
propostas.
7.6 - AS CLARIDADES DE UM NOVO PARADIGMA
157
As concepções aristotélicas, organizadas e sistematizadas por Cláudio Ptolomeu, foram
assumidas pelos teólogos medievais porque era um sistema no qual a Terra continuaria sendo
o centro do Universo. Isto vinha de encontro à crença de que sendo o homem criado à imagem
divina, só poderia ocupar lugar no centro do Universo. Sustentando esta tese e com o poder
que acumulou ao longo do milênio, a Igreja não tolerava nenhum questionamento a respeito
de sua doutrina. A prisão e as fogueiras eram o destino daqueles que ousavam se aventurar
pelo mundo da ciência. No breve estudo que fizemos da história da teoria do ímpetus, foram
mencionados os nomes dos “físicos” João Filophono ( 490 – 566 ), Jean Buridan (1300 –
1358 ), reitor da Universidade de Paris, depois Cônego de Arras e Nicolau Oresmes ( 1323 –
1382 ) bispo de Lisieux. Eram pensadores vinculados e comprometidos com a Igreja Católica
e por isso estavam impedidos de publicar seus trabalhos e suas idéias. Mas alguns
historiadores sustentam que nos meios acadêmicos da época haveria uma “certa” liberdade em
debater idéias que não estavam de acordo com o magistério eclesiástico, desde que os escritos
fossem em latim, língua erudita e não falada pelo povo. Galileu Galilei publicou seus
trabalhos na língua do povo.
O advento do século XIV trouxe consigo vários acontecimentos que ensejaram o
fervilhar de novas idéias nos mais diversos campos do conhecimento humano. A invenção da
imprensa móvel por Johann Gutenberg
em 1451, a volta às fontes da cultura grega,
proporcionada pelos estudiosos que fugiram de Constantinopla para o Ocidente, devido à
tomada da cidade pelos turcos em 1543, as grandes navegações e a descoberta da América, o
desenvolvimento do comércio e a ascensão de uma nova classe social ( a burguesia )
impulsionaram a manifestação do Renascimento nas mais diversas áreas do conhecimento: na
arte literária por Dante Alighieri, William Shakespeare, etc; na pintura por Sandro Boticelli,
Leonardo da Vinci, Michellangelo, El greco, Boch e outros. Na astronomia, o principal
representante foi Nicolau Copérnico.
Com o Renascimento, novos ventos começaram a soprar e a sacudir as cinzas do
obscurantismo medieval. Neste movimento renovador, Nicolau de Cusa ( 1401 – 1464 ),
bispo de Brixen (Tirol), em sua obra De docta ignorantia (1440) atacou as concepções
milenares do paradigma aristotélico-ptolomáico propondo um universo ilimitado, sem pontos
prilegiados, onde o movimento se apresenta com um caráter essencialmente relativo. Suas
idéias, tão avançadas para a época, só pode encontrar guarida em pessoas de estirpe de
Leonardo da Vinci (1452 – 1519) e Giordano Bruno (1548 – 1600 ).
158
ATIVIDADE – 25
Leia o texto das páginas 33 e 34 e complemente com a pesquisa solicitada na página
33.
Nicolau Copérnico ( Mikolaj Kopernik)
Nasceu em 19 de fevereiro de 1473 em Torun, na Pomerânia. Aos dez anos de idade
perdeu o pai, ficando sob a tutela de seu tio Lucas Watzerolde. Em 1491 foi para o Collegium
Maius estudar medicina, matemática e astronomia, durante três anos. Esta instituição fazia
parte da Universidade Jagielonia em que foi transformada a Academia da Cracóvia. Em 1496
foi para a Itália estudar direito canônico. Em 1501 interrompeu os estudos para voltar à
Polônia, na cidade de Frauenburgo para assumir as unções de cônego. Retornou à Itália para
estudar medicina, mas seus interesses eram a astronomia e a matemática.
Retornando à Polônia em 1506, juntou-se ao seu tio em Heilsberg como
acompanhante. Construiu um pequeno observatório e começou a estudar o movimento dos
corpos celestes. Com os dados obtidos esboçou um breve comentário sobre movimento
celeste, onde apresentava o movimento heliocêntrico como uma hipótese. Foi lhe solicitado
pelo Papa Clemente VII Em em 1533 que expusesse sua teoria em Roma. E o Cardeal
Schönberg três anos depois o incentivou a publicá-la. Copérnico achou melhor elaborar uma
teoria completa, que superasse a do sistema ptolomáico.
Em 1540, um jovem astrônomo, Georg Joachin (1514-1574), conhecido como
Rheticus, enviou para publicação a obra completa de Copérnico, Das Revoluções dos Corpos
Celestes, cujo primeiro exemplar chegou às mãos de Copérnico quando este estava em seu
leito de morte, em 1543. Um pastor luterano, Andréas Osiander (1498-1552) interessado em
astronomia, substituiu o prefácio original, dedicado ao Papa Paulo III e modificou o titulo da
obra para As Revoluções do Orbe Celeste.
Copérnico demorou a publicá-lo por temer a reação da Igreja Católica. O ambiente era
permeado de hostilidade às idéias novas. Martinho Lutero dizia que “a razão era cortesã do
diabo” e os doutores do Concílio de Trento afirmavam que “a fé não só excluía qualquer
dúvida, mas o próprio desejo de submeter a verdade à demonstração”. A Terra como
centro do Universo proposta por Ptolomeu passou a se constituir um artigo de fé, confirmado
por passagens da Bíblia. Lutero, ao tomar conhecimento da obra de Copérnico, emitiu o
159
seguinte juízo: “...este tolo quer inverter toda a ciência da astronomia. Mas as Sagradas
Escrituras nos dizem que Josué ordenou ao Sol e não à Terra, que se detivesse em
Gibeão, e a Lua, no vale de Aijalon. E o Sol se deteve, e se deteve é porque anda.”
(Josué1,12-13).
Vimos que na Antiguidade Grega já pontuavam defensores da idéia do Sol como um
centro ao redor do qual girava a Terra. Mas Ptolomeu argumentava que, se a Terra se
movesse, haveria mudança na aparência das constelações (paralaxe). Para ele, a admissão do
movimento diário da Terra colocaria em xeque a idéia de ordem cósmica. De acordo com esta
idéia, tudo no universo tinha o seu lugar natural. A idéia de movimento se traduz em
imperfeição. Além disso, o movimento de rotação da Terra seria demasiado rápido e os
corpos que fosse lançados verticalmente para cima não cairiam no mesmo lugar de onde
foram lançados. Copérnico contra-argumentou que as estrelas estariam a uma distância muito
maior que o diâmetro da órbita da Terra e que por isto, a paralaxe seria imperceptível a olho
nu.
De acordo com FRANCIOTTI (1991), Copérnico combateu as argumentações
aristotélicas de Ptolomeu com os recursos com os quais estava municiado na época, que eram
as próprias noções aristotélicas, isto é, ele atacava Aristóteles adotando premissas
aristotélicas. Como Galileu Galilei, ele foi um homem preso às limitações de seu tempo. Ele
estava mais preocupado em compatibilizar a hipótese do heliocentrismo com a concepção de
mundo da época. Apesar do arrojo de suas idéias, comungava das idéias aristotélicas.
Como já vimos, conforme o modelo aristotélico, o universo é composto de inúmeras
esferas concêntricas. É um universo finito e hierarquizado. Tanto para Aristóteles como para
Copérnico, a última esfera é a esfera das estrelas fixas, limite do universo. Para Aristóteles
que pensava a Terra como estando imóvel no centro do Universo, a esfera das estrelas moviase uniformemente em círculo. Copérnico, por sua vez, ao postular que a Terra move-se ao
redor do Sol, deteve o movimento da esfera das estrelas fixas. Além disso, esta esfera pensada
por Copérnico tinha o raio muito maior que o da esfera pensada por Aristóteles. Faltou então
Copérnico dar um passo maior: passar de um universo finito muito grande para um universo
infinito. Quem deu este passo foi Giordano Bruno (1548 – 1600 ), queimado na fogueira da
Inquisição.
Também tanto para Aristóteles como para Copérnico, no mundo sublunar, limitado
pela esfera da Lua, existiam dois tipos de movimento: o natural e o violento (ou forçado). O
movimento forçado interrompe a organização da natureza, por isto o mundo sublunar onde
160
vive o homem é imperfeito. No mundo supra lunar, manteve as idéias de Aristóteles e de
Ptolomeu do movimento circular dos corpos celestes. Como na sua teoria, o movimento
circular não se ajustava com as observações, conservou o sistema de epiciclos. Enquanto o
sistema de Ptolomeu requeria cerca de oitenta círculos, o modelo de Copérnico requeria trinta
e quatro. Copérnico usa as concepções da física aristotélica para encaixar a tese da mobilidade
terrestre no arcabouço intelectual da época. A Terra é móvel porque é imperfeita, pois
mobilidade é próprio de sistemas imperfeitos. Talvez para suavizar atritos com a Igreja ele
afirmou:”Quem nesse explêndido templo colocaria a luz em lugar diferente ou melhor do
que aquele de onde ele pudesse iluminar ao mesmo tempo todo o templo”. Devido à sua
perfeição e importância como fonte de luz e vida, é o Sol que deve desempenhar no universo
o papel antes atribuído à Terra. Na teoria copernicana não ocorre nenhuma variação radical
das proposições aristotélicas, e sim uma complementação dos argumentos observacionais.
ATIVIDADE – 26
Leia os textos das páginas 34 e 35 do Livro Didático Público.
• Prepare subsídios para o debate proposto no alto da página 35.
• Procure responder as perguntas da atividade proposta na página 35.
Tycho Brahe
Foi o último grande astrônomo observacional antes da invenção do telescópio. Nasceu
em knudstemp (Schonen), na Dinamarca no dia 14 de dezembro 1546 e faleceu no dia 24 de
outubro de 1601, em Praga. Era o filho mais velho de uma família que tinha título de nobreza
mas que não era particularmente rica. Desde pequeno foi adotado pelo seu tio paterno Jorgen,
vice-almirante, que era casado, culto e muito rico, mas não tinha filhos. Queria que Tycho
seguisse a carreira jurídica, mas a paixão do jovem foi mesmo a astronomia.
Enviado para estudar direito e filosofia na Universidade de Copenhague com a idade
de 13 anos, ele presenciou a ocorrência de um elipse solar, em outubro de 1560. O que
impressionou o menino foi o fato dos astrônomos poderem prever a ocorrência de fenômenos
celestes. Teve de munir-se de uma grande obstinação para tornar-se um astrônomo diante da
oposição de seu tio. Durante o dia dedicava-se ao estudo do latim e das leis sob pressão do
tutor e à noite a estudar as estrelas e os livros de matemática e de astronomia que havia
comprado sem conhecimento de seu tutor.
161
Em 17 de agosto de 1563, ocorreu uma grande aproximação entre os planetas Júpiter e
Saturno. Houve erros de previsão para este fenômeno. Pelas tabelas alfonsinas, que eram
baseadas no sistema de Ptolomeu, ele observou um erro correspondente a trinta dias e nas
tabelas astronômicas de Copérnico, o erro corresponde era de vários dias. Achou então
necessário, um maior número de observações com mais rigor e precisão na determinação das
posições dos corpos celestes.
No dia 11 de novembro de 1572, foi vista uma pequena estrela na constelação de
Cassiopéia. Com o passar dos dias, seu brilho aumentou tanto, que superou o brilho do
planeta Vênus e a iluminar as noites tal qual a lua cheia. Era o nascimento de uma supernova.
Tycho determinou com extraordinária precisão a posição desta nova estrela a qual,
descobriu que estava a uma posição muito além da posição da Lua. Estava portanto, na esfera
das estrelas. A variação do brilho da estrela levou-o a romper com a tradição aristotélica, a
qual afirmava que a esfera celeste era imutável. Estas observações foram publicadas em seu
livro Sobre a Nova e Previamente Nunca Vista Estrela, em Copenhague em 1573. A
publicação do livro foi financiado pelo rei da Dinamarca, Frederico II que, lhe ofereceu
também, uma ilha chamada Hveen nas proximidades de Copenhague e uma considerável
pensão anual além de financiar a construção de seu observatório.
Tycho providenciou para que os instrumentos fossem construídos de modo a
fornecerem leituras mais precisas. Depois de prontos, eram comparados entre si para
determinação dos erros inerentes a cada um. Levando em consideração tais erros nos cálculos,
obtinha com maior precisão as medidas procuradas. E com esses instrumentos, Tycho
trabalou por vinte anos, medindo e anotando seus dados astronômicos, com grande precisão.
Mais tarde ele construiu outro observatório, o Stjerneborg, na mesma ilha doada por Frederico
II.
A preocupação de Tycho era a precisão das medidas das posições dos corpos celestes.
Não participou do embate entre os defensores da idéias copernicanas e ptolemáicas. Como
suas medições estavam em desacordo com o modelo de Ptolomeu, ele desenvolveu seu
próprio modelo do Sistema Solar, no qual os planetas orbitavam o Sol e este e a Lua
orbitavam a Terra. Era um sistema híbrido das idéias de Ptolomeu com as de Copérnico.
Frederico II reconhecia em Tycho um grande nome da astronomia e que seu trabalho
traria grande prestígio para a Dinamarca, cumulou-o de trânsito livre na corte. Mas com a
morte do rei, Tycho entrou em atrito com o sucessor, Cristiano IV e deixou o país devido à
162
redução de sua pensão e cortes de seus privilégios. Foi acolhido pelo rei Rodolfo II da
Boemia. Partiu para Praga, levando seus registros e vários instrumentos.
Ao morrer, deixou um conjunto de registros de suas observações, o qual foi recolhido
pelo seu mais brilhante assistente, Johannes Kepler. Com os dados deixados por Tycho,
Kepler consegue resolver o problema do movimento dos planetas.
ATIVIDADES 27
Leia o texto das páginas 36 e 37 e descreva um processo para desenhar uma elipse,
usando um lápis, um pedaço de barbante e dois pregos.
02) Resolva as seguintes cruzadinhas
11
12
13
1
14
2
3
4
5
6
7
8
9
10
01) “Teorias” baseadas em motivações místicas nos estudos dos astros.
02) Formato do universo na concepção dos gregos.
03) Rios cujas inundações eram anunciadas pela divindade Sothis.
04) Ramo da filosofia que trata do conhecimento das causas primeiras e dos primeiros
princípios.
163
05) Círculo que está contido no plano do Sol e sobre o qual ocorrem os eclipses solares.
06) Astrônomo medieval que retomou a defesa do sistema heliocêntrico.
07) Artifícios introduzidos na teoria geocêntrica, principalmente por Ptolomeu para explicar o
movimento irregular dos planetas.
08) Teoria segundo a qual o Sol ocupa o centro do Universo.
09) Modelo de Universo sustentado por Aristóteles e Ptolomeu.
10) Astrônomo que construiu instrumentos de grande precisão para melhorar os dados
observacionais.
11) Calendário baseado nas fases da Lua.
12) Forma da trajetória dos astros na concepção de Xenofanes de Colophon.
13) Povo que deu mais racionalidade às observações e aos estudos dos astros.
14) Estrelas que não têm nascentes nem ocaso.
Johannes Kepler
Nasceu em 27 de dezembro de 1571 em Weil der Stadt, Swabia, ao sul da atual
Alemanha. De nascimento prematuro, sempre foi de saúde frágil. Teve a visão prejudicada
pela varíola e outras enfermidades.
Com a idade de treze anos iniciou os estudos no seminário protestante de Adelberg.
Passou pelo seminário de Maulbronn e ingressou na universidade protestante de Tubingen,
passo decisivo em sua formação. Estudou teologia, filosofia, grego, hebreu, matemática, física
e astronomia. Seu professor de matemática, Padre Michel Mästlin, famoso astrônomo na
época, discretamente, ao lado da teoria geocêntrica, também ensinava a teoria heliocêntrica a
alunos particulares e de confiança, principalmente Kepler, pois era proibido ensinar as idéias
de Copérnico. Antes de completar seus estudos, recebeu oferta para trabalhar como professor
de matemática no seminário protestante de Graz, na Áustria. Desistiu da carreira eclesiástica
ao aceitar o cargo em abril de 1594.
Buscando um modelo geométrico para o sistema de Copérnico, chegou a uma teoria
sem base científica. Nesta teoria, ele advoga uma certa ligação entre os cinco sólidos
geométricos euclidianos regulares e os seis planetas conhecidos na época. Os sólidos se
encontrariam entre as esferas ( órbitas ) dos planetas. Internamente, os vértices dos sólidos
tangenciam a esfera e, externamente os pontos médios das faces dos sólidos tangenciam a
esfera.
164
dentro da esfera (órbita) de Vênus
• octaedro
sobre a esfera ( órbita ) de Mercúrio
dentro da esfera ( órbita ) da Terra
• isocaedro
sobre a esfera ( órbita ) de Vênus
dentro da esfera ( órbita ) de Marte
• dodecaedro
sobre a esfera ( órbita ) da Terra
dentro da esfera ( órbita ) de Júpiter
• tetraedro
sobre a esfera ( órbita ) de Marte
dentro da esfera ( órbita ) de Saturno
• hexaedro
sobre a esfera ( órbita ) de Júpiter
Os resultados deste trabalho coincidiram com a maior parte das precárias observações
da época, mas passou vinte anos de sua vida tentando o funcionamento desse modelo e, é
claro, não conseguiu. No entanto, a publicação desse trabalho na obra “Mysterium
Cosmographicum” ( Mistérios do Universo ) o tornou conhecido como cientista. Nessa obra,
ele defende corajosamente a teoria heliocêntrica. Galileu enviou-lhe uma carta elogiando o
trabalho e Tycho Brahe conseguiu do Imperador Rodolfo II o convite para que Kepler fosse
trabalhar como seu assistente em Praga, capital da Boemia.
Nesta época, a Europa era assolada por conflitos religiosos e, Kepler, por ser
protestante, foi expulso da universidade em 1600, sendo obrigado a deixar seu posto de
pesquisador em Graz, na Áustria. Tais acontecimentos fizeram com que ele aceitasse o
convite de Tycho Brahe.
165
Mas na capital da Boemia as dificuldades o perseguiam. Vaidoso, Tycho Brahe não
queria ser suplantado por Kepler. Por isso, colocou à disposição do assistente, dados
incompletos de sua tabela de observações na tarefa de determinar a órbita de Marte. Com a
saúde combalida, com o gênio difícil de Tycho Brahe, com os caprichos do imperador que
embargavam o trabalho, com o humilhante trabalho de fornecer horóscopos e toda sorte de
predições e a postura não confiável dos responsáveis pelas finanças do império, a vida de
Kepler em Praga não foi um mar de rosas.
Com a morte de Tycho em 1601, Kepler herdou o posto de matemático da corte e a
chefia do observatório. De posse de todos os dados e cálculos registrados por Tycho, que
incluía um conjunto de medidas das posições dos planetas ao redor do Sol, Kepler
compreendeu que as órbitas dos planetas eram uma função da atração do Sol e que não eram
circulares, mas sim elípticas. Em 1609, ao publicar seus trabalhos na obra Astronomia Nova,
Kepler disponibiliza ao mundo científico as duas primeiras leis que regem o movimento dos
planetas:
Primeira lei:
As órbitas dos planetas são elipses, onde o Sol ocupa um dos focos.
Esta Primeira Lei, extremamente simples, substituiu todos os ciclos e epiciclos dos
modelos ptolomaico, copernicano, tichônico, etc. e derrubou por terra a obrigatoriedade do
movimento círcular como símbolo da perfeição.
Segunda Lei:
Os planetas percorrem áreas iguais de sua órbita em intervalos de tempos iguais.
Com a Segunda Lei, Kepler mostrou que os corpos não têm velocidades ( módulos )
constantes, mas sim velocidades maiores quando próximos do Sol e velocidades menores
quando mais afastados do Sol.
Em 1619, Kepler publicou um outro livro, intitulado “Harmonices Mundi”
(Harmonia do Mundo), no qual apresenta a terceira lei, que relaciona o período orbital com as
distâncias:
Terceira lei de Kepler:
O quadrado do período orbital é proporcional ao cubo das distâncias planetárias
medidas a partir do Sol.
166
Em linguagem mais acessível:
“É constante, para todos os planetas, a razão entre o tempo ( T ) que um planeta leva para
dar uma volta completa em torno do Sol elevado ao quadrado e o raio médio ( r ) de sua
órbita elevado ao cubo.
T2
= k , em que k é uma constante.
r3
Como veremos mais adiante, Galileu Galilei escreveu e publicou uma obra sobre o
modelo heliocêntrico de Copérnico, atraiu para si a ira do tribunal do Santo Ofício. E quando,
na virulência deste ambiente, Kepler publicou sua obra de sete volumes, intitulada compêndio
de Astronomia Copernicana, teve a primeira parte desta obra colocada no Index, lista dos
livros proibidos pela Igreja Católica em 10 de maio de 1619.
Kepler teve uma vida bastante atribulada. Não bastassem as dificuldades financeiras
que sempre o acompanharam, além das atividades de pesquisa, teve que se preocupar com sua
mãe que fora presa acusada de bruxaria. Num ambiente de instabilidade política causada por
disputas religiosas, o desenvolvimento científico dependia do espírito de persistência dos
apaixonados pela ciência .
ATIVIDADE 28
Leia o texto das páginas 37 e 38 do Livro Didático Público e procure responder à
pergunta proposta nesta atividade.
02) O raio médio da órbita da Terra é 1,5.10 11 m; da órbita de Júpiter é 7,8.10 11 m. Calcule o
período de revolução de Júpiter em anos terrestres.
03) O período de Mercúrio em torno do Sol é da ordem de 1
4
do ano terrestre. O raio médio
da órbita de Plutão em torno do Sol é 100 vezes maior que o raio médio da órbita de mercúrio.
Calcule o valor aproximado do período de Plutão em torno do Sol, medido em anos terrestres.
167
Galileu Galilei
No estudo do movimento, fizemos uma rápida abordagem da contribuição de Galileu
Galilei a este campo do conhecimento, com a obra Diálogos Concernentes a Duas Novas
Ciências. Este trabalho ele publicou já quase no fim de sua vida, quando estava sofrendo as
penalidades impostas pelo tribunal da Santa Inquisição, devido à outra obra Diálogo Sobre os
Dois Maiores Sistemas do Mundo.
Iniciou seus estudos de Medicina na Universidade de Pisa em 1581, mais por pressão
paterna. A falta de interesse nesta área do conhecimento aliada à antiquada metodologia de
ensino (paripatética) fez com que ele abandonasse os estudos. Mudou-se para Florença em
1585, onde os estudos eram voltados para a solução de problemas relacionados à mecânica
usando recursos matemáticos.
Seus estudos lhe garantiram a nomeação, em 1589, como professor de matemática na
Universidade de Pisa, onde continuou os estudos sobre o movimento e a realização de
19experiências sobre a queda dos graves. Mas o ambiente acadêmico de Pisa irritava o
espírito de Galileu. Em 1592 foi nomeado para a cátedra de matemática na Universidade de
Pádua, considerada a melhor da Europa.
No fim da primavera (no hemisfério norte) de 1609, um viajante chegou a Veneza
vindo da Holanda e contou a Galileu que o holandês Hans Lippershein havia construído um
instrumento através do qual um objeto situado a uma grande distância podia ser visto como se
estivesse bem próximo do observador. Como detalhes descritivos desse instrumento eram
vedados pelo fabricante, Galileu viu-se forçado a descobrir um processo de construir um para
si. E conseguiu.
Munido de um desses instrumentos, passou a observar os céus a partir de 1609 e
descobriu tantas coisas impossíveis de serem vistas a olho nu. Publica, então, em 1610 uma
obra intitulada Siderius Nuncius (O Mensageiro Celeste), um livro de apenas 24 páginas, no
qual revela ao mundo, em linguagem simples e direta, os resultados de suas observações:
• Lua
Ao invés de uma esfericidade perfeita e regular de acordo com as concepções
aristotélicas, o que as lentes do telescópio revelaram foi uma superfície irregular, rugosa e
cheia de cavidades e de inchaços. Um mundo semelhante à Terra. Como continuar
sustentando a existência de diferença entre a matéria do mundo terrestre e a do mundo celeste
168
como ensinava Aristóteles? Que efeito esta revelação teve nos meios acadêmicos,
principalmente naqueles que hostilizavam Galileu?
• Vênus
Apresenta fases como a Lua: nova, crescente, cheia e minguante. Na fase cheia, o
planeta apresenta tamanho mínimo. Isto significa que Vênus está do outro lado do Sol. Isto é
uma evidência de que o planeta não tem luz própria, mas é iluminado pelo Sol e que órbita ao
redor da nossa estrela.
De acordo com o sistema de Ptolomeu, o máximo que o planeta se mostraria
iluminado seria um semicírculo voltado para a Terra enquanto que o sistema de Copérnico
previa que o planeta apresentaria fases como a Lua. Mais um pilar do sistema aristotélicoptolemaico é derrubado.
• Júpiter
Galileu descobre as quatro “luas” de Júpiter em 7 de janeiro de 1610. A cada dia de
observação, estes satélites apresentavam posições diferentes em relação a Júpiter. Depois de
uma série de observações, ele descobriu que estes corpos orbitavam ao redor de Júpiter. Como
não enxergar evidência neste caso, que a Terra não ocupa lugar central no Universo?
• Estrelas
Mirando as constelações, descobriu que a Via Láctea era um aglomerado de estrelas e
não exalações celestiais como afirmava Aristóteles. Como acreditar no dogma de que as
estrelas foram criadas para o deleite dos homens, se a maioria delas era invisível a olho nu?
• A Supernova de 1604
Esta estrela surgiu em outubro de 1604 e teve um brilho que aumentou rapidamente de
intensidade, até desaparecer no final de 1605.
De acordo com a concepção aristotélica, sustentada pela Igreja, Deus criou um
universo celeste perfeito. Neste sentido, uma estrela não podia nascer, ter luminosidade
variável e desaparecer. Como ela não se movia em relação às outras, significa então que ela
estava na região supra-lunar. Galileu concluiu então que os corpos celestes não eram
imutáveis.
• As manchas solares
Estas observações foram publicadas em “História das Manchas e Acidentes do Sol”
em 1613. A autoria da descoberta prioritária deste fenômeno foi alvo de disputa entre Galileu
e a ordem dos padres da Companhia de Jesus.
169
Estas descobertas, possibilitadas pelo telescópio, foram vitais para que Galileu
entrasse na briga pela defesa do sistema heliocêntrico, pois até à idade de 50 anos acreditava
na teoria geocêntrica.
Pessoas de mentes fechadas para o novo, como Martin Horky, Lodovico delle
Colombo e Francesco Sizzi publicaram artigos duvidando das observações de Galileu. E
como Kepler e os matemáticos do Colégio Romano (jesuítas) eram reconhecidos como as
autoridades científicas da época, obter o apoio de pelo menos um deles seria muito
importante. Então Galileu enviou a Johannes Kepler uma cópia do livro Siderius Nuncius,
solicitando-lhe sua opinião. Após ter lido o livro, Kepler enviou-lhe em 19 de abril de 1610,
uma longa carta em suporte às suas descobertas, publicada com o título Dissertation cum
Núncio Sidereo (Conversa Com o Mensageiro Sideral).
A publicação do livro Siderius Nuncius provocou efervescência no meio intelectual
da época. A produção científica de Galileu trouxeram-lhe enorme prestígio, mas não refletiu
na carreira de professor de matemática na Universidade de Pádua. Para superar os efeitos das
intrigas de seus colegas de Pádua e de Veneza, presenteou o grão-duque Cosme II de Médicis
de Florença com um telescópio e informando o nobre que as quatro “luas” de Júpiter foram
batizadas com nomes da família Médicis. O resultado veio na forma de nomeação de
“Principal Matemático da Universidade de Pisa e Filósofo do Grão-Duque”, com um salário
de mil escudos florentinos anuais.
Com o seu trabalho, Galileu conseguiu reunir evidências que fortaleciam a teoria
heliocêntrica. Ao escrever em italiano, língua do povo ao invés do latim, língua dos eruditos,
chamou a atenção da Inquisição. Em 19 de fevereiro de 1616, recebe uma advertência do
tribunal do Santo Ofício, através do Cardeal Bellarmino, proibindo-o de divulgar as idéias de
Copérnico. E na esteira deste acontecimento, as obras de Copérnico foram colocadas no
Index, sob a alegação de que contraria o que a Bíblia diz no Salmo 103:5 (Hebr. 104).
Galileu manteve-se afastado de atividades polêmicas por um bom tempo até que seu
amigo, o Cardeal Maffeo Barberini foi escolhido papa em 1623, com o nome de Urbano VIII.
Diante da insistência de Galileu, permitiu que este descrevesse abertamente as teses de
Copérnico, mas que ao mesmo tempo também descrevesse e de forma imparcial a teoria
ptolemaica.
Em 1632, publica a obra “Diálogo Sobre os Dois Principais Sistemas do Mundo”,
simulando um debate entre três personagens:
• Salviati que defende as teses de Copérnico, é sempre brilhante.
170
• Sagredo, um observador neutro e de mente aberta, que no final passa a concordar com
Salviati.
• Simplício, representado como um ridículo anti-copernicano.
A conseqüência veio com a mão pesada da Igreja sobre Galileu. O jesuíta Christopher
Scheiner, que disputou com Galileu a descoberta das manchas solares, empurrou Galileu para
a desgraça, acusando-o de retratar o papa na pessoa de Simplício. Como o livro foi escrito em
italiano, teve um caráter mais pedagógico-filosófico do que científico, pois era acessível a um
maior número de pessoas. O papa já estava enfrentando grande oposição política na época.
Ele praticava uma política anti-espanhola e por isto era atacado por aqueles que eram a favor
da terrível Inquisição Espanhola. Esta conjuntura forçou o pontífice a enviar o caso para a
Inquisição. Intimado a Roma, Galileu foi julgado e condenado por heresia em 1633. Foi
forçado a renegar suas teses para escapar da fogueira. A sentença de prisão perpétua foi
convertida em prisão domiciliar.
De um colégio composto por dez inquisitores, três votaram contra a condenação de
Galileu, entre eles, o próprio papa Urbano VIII. O maior inimigo de Galileu era o seu próprio
temperamento, explosivo e impaciente, que o impedia de lidar com a devida diplomacia em
situações delicadas.
ATIVIDADES 29
Desenvolver uma das seguintes atividades:
• assistir o filme desenho animado: Galileu Galilei
• dramatizar o processo de condenação de Galileu pelo tribunal do Santo Ofício.
Isaak Newton
ATIVIDADES 30
Consultando as páginas 38 a 43, redija nas linhas abaixo, um resumo do texto ali
apresentado.
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171
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Johannes Kepler, Galileu Galilei e René Descartes pavimentaram o caminho para que
Newton elaborasse a teoria da Gravitação Universal, uma das leis fundamentais de interação
no universo físico. Em seus desentendimentos com outro grande pensador, Robert Hooke,
escreveu-lh uma carta dizendo que se ele conseguiu enxergar mais longe, é porque estava
apoiado em ombros de gigantes. Disto podemos tirar uma lição: a autoria de uma invenção
pode ser de uma só pessoa ou mais, mas as teorias científicas envolvem o trabalho de várias
gerações de pensadores. E que os pensadores são pessoas humanas, e portanto movidos a
paixões e emoções. Não vivem em redoma de vidro e muitas vezes são vítimas das
conjunturas políticas e sociais.
O uso do telescópio possibilitou a Galileu a derrubada das crenças aristotélicas da
“perfeição” do mundo supra-lunar. Os trabalhos de Kepler, usando os dados de Tycho Brahe
foram fundamentais na determinação das órbitas dos planetas, desmoronando todo o artifício
baseado na teoria dos epiciclos. Os resultados destes trabalhos juntamente com o racionalismo
de Descartes possibilitaram a Newton a descoberta de uma lei que fosse a mesma para todo o
universo.
No resumo que você fez, vimos que Newton intuiu a existência de algo em comum
entre a queda de um corpo (maçã ?) próximo à superfície terrestre e a Lua orbitando em torno
da Terra. Este algo em comum é força que “puxava” tanto o corpo (maçã ) como a Lua para o
centro da Terra. Mas, por que a maçã cai e a Lua “não cai”?
Na sua obra Princípios Matemáticos de Filosofia Natural, Newton se refere a esta
força, a qual é dirigida para um ponto como centro:
7.7 – DEFINIÇÃO V
Uma força centrípeta é aquela pela qual os corpos são dirigidos ou impelidos,
outendem de qualquer maneira, para um ponto como centro.
Comentários que Newton faz desta definição
São forças desse tipo: a gravidade pelo qual os corpos tendem
para o centro da Terra; o magnetismo, pelo qual o ferro tende para a
magnetita; e aquela força, seja ela qual for, pela qual os planetas são
continuamente desviados dos movimentos retilíneos – os quais, em caso
172
contrário, eles perseguiriam – e obrigados a revolucionar em órbitas
curvilíneas.Uma pedra, girada numa funda, tende a escapar da mão que
a gira, e, por esta tendência, distende a funda, e o faz com força maior à
medida que é girada com velocidade maior, e assim que é liberada, voa
para longe. À força que se opõe a esta tendência, e pela qual a funda
puxa continuamente a pedra de volta para a mão e a mantém em sua
órbita, por ser dirigida para a mão como centro da órbita, chamo de
força centrípeta. O mesmo deve serdito com relação a todos os corpos
que girem em quaisquer órbitas. Todos tendem a se afastar dos centros
de suas órbitas; e se não fosse pela força contrária que os restringe e os
detém em suas órbitas, que, portanto, chamo de centrípeta, voariam para
longe em linha reta, com um movimento uniforme. Se não fosse pela
força da gravidade, um projétil não se desviaria em direção à Terra, mas
afastar-se-ia dela em linha reta, com movimento uniforme, se a
resistência do ar fosse removida. É por sua gravidade que ele é desviado
continuamente de seu curso retilíneo e forçado a desviar-se em direção à
Terra, mais ou menos de acordo com a força de sua gravidade e a
Velocidade de seu movimento. Quanto menor for sua gravidade, ou sua
quantidade de matéria, ou quanto maior for a velocidade com a qual é
arremessado, menos ele se desviará de uma trajetória retilínea, e mais
longe irá. Se uma bola de chumbo arremessado do topo de uma
montanha pelo uso de pólvora, com uma dada velocidade e uma direção
paralela ao horizonte, é levada a uma distância de duas milhas em uma
linha curva, antes de cair ao chão; a mesma bola, se a resistência do ar
fosse removida, lançado com o dobro ou o décuplo da velocidade, voaria
duas ou dez vezes mais longe. Aumentando a velocidade, podemos
aumentar arbitrariamente a distância à qual ela pode ser arremessada, e
diminuir a curvatura da linha que ela descreveria, até que finalmente ela
cairia a uma distância de 10, 30 ou 90 graus, ou mesmo poderia dar a
volta ao redor da Terra antes de cair; ou finalmente, poderia nunca mais
cair na Terra, mas iria em frente penetrando nos espaços celestes, e
continuaria em seu movimento in infinitum. Da mesma forma que um
projétil, pela força da gravidade, pode ser forçado a girar em uma órbita
e contornar completamente a Terra, também a Lua, quer pela força da
gravidade, se ela for dotada de gravidade, ou por qualquer outra força,
que a impulsione para a Terra, pode ser continuamente desviada em
direção à Terra, para fora do caminho retilíneo que, pela sua força
inata, ela perseguiria; e seria forçada a girar na órbita que agora
descreve; sem a existência de uma tal força, a Lua não poderia ser retida
na sua órbita. Se essa força fosse muito pequena, ela não seria
suficiente para remover a Lua de um curso retilíneo; se fosse muito
grande, a Lua seria desviada demais de sua órbita e cairia na Terra. É
necessário que a força seja de uma quantidade precisa, e cabe aos
matemáticos encontrar a força que pode servir exatamente para deter
um corpo em uma determinada órbita, com uma dada velocidade; e,
vice-versa, determinar a curva na qual um corpo é desviado a partir de
seu curso retilíneo natural por meio de uma força dada, quando
arremessado de um lugar conhecido, com uma dada velocidade.
173
A quantidade de qualquer força centrípeta pode ser de três tipos:
absoluta, acelerativa e motora.
São equivalentes perguntas do tipo seguinte:
• Por que uma jaca cai quando é cortado seu pedúnculo e a Lua não cai?
• Por que os astronautas “flutuam” no interior da nave espacial?
Raciocine à luz da Definição V de Newton:
→ atire uma bola de tênis, horizontalmente, de cima de sua mesa, com uma velocidade v.
Qual será a forma da trajetória que a bola vai seguir e onde ela cairá?
→ agora atire a mesma bola, horizontalmente, do alto do telhado da sua casa, com um
lançador que forneça o dobro da velocidade anterior. Qual será a forma da trajetória da bola e
onde ela cairá?
→ se você, do topo do prédio mais alto do mundo, com um potente lançador, lançasse a
mesma bola, horizontalmente, com uma velocidade muito superior, qual seria a forma da
trajetória da bola e onde ela cairá?
→ se você, dispondo de um lançador muito potente adaptado a um avião supersônico, voando
a uma altura próximo à da Lua, lançasse a mesma bola, horizontalmente, com uma velocidade
desta vez muito mais intensa, o que poderia ocorrer?
Em todos os passos, a trajetória é curva devido à força gravitacional da Terra. Se não
fosse a força gravitacional da Terra, a bola seguiria em Movimento Retilíneo e Uniforme, se
não houvesse a resistência do ar. Isto está de acordo com a Primeira Lei de Newton, a Lei da
Inércia.
À medida que aumentamos a altura e a velocidade de lançamento, maior é o alcance
da bola. Chegará a uma situação na qual a bola não mais se chocará com a Terra, mas ela
continuará a cair.
Quando uma nave é colocada em órbita, os computadores lhe imprimem uma
velocidade para superar a força gravitacional. Esta velocidade é chamada velocidade de
escape. A direção desta velocidade é perpendicular à força gravitacional, é uma velocidade
tangencial. O vetor força gravitacional continuamente modifica a direção do vetor velocidade
da nave. Como a nave ou a Lua está continuamente sob a ação da força gravitacional, ela está
em processo de queda livre.
174
Neste processo, a situação vivenciada pelos astronautas dentro da nave é o mesmo que
você sentiria ao entrar dentro de um elevador no topo do edifício mais alto do mundo e pedir
para o seu pior inimigo cortar os cabos de aço do elevador. O que acontecer com você durante
a queda do elevador é o que acontece com os astronautas dentro da nave.
O movimento da Lua e dos satélites artificiais é circular uniforme. Como a
velocidade tangencial não varia, não há nenhuma força atuando tangencialmente à
trajetória da Lua ou do satélite. A única força presente é a força gravitacional com que a
Terra atrai a Lua ou o satélite para o seu centro.
ATIVIDADE 31
Você já prestou atenção nos comentários feitos pelos apresentadores de telejornais ao
noticiar o “flutuar” dos astronautas em órbita? Que tipos de erros conceituais eles costuma
cometer?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Newton percebeu que as órbitas dos planetas eram devidas a existência de uma força
centrípeta, que originando do Sol, atuaria sobre cada planeta. No caso do sistema Terra-Lua,
esta força, originando na Terra, atua sobre a Lua. Pela terceira lei de Newton, a Lua também
atrai a Terra. De acordo com os trabalhos de Kepler, a órbita dos planetas tem a forma de
elipse, cuja excentricidade é pequena. Então podemos aproximá-la de uma circunferência.
02) Quando o corpo celeste completa uma volta, ele terá percorrido uma distância dada por
2. π .R, onde R é o raio da órbita, distancia entre o corpo central e o corpo orbitante. O tempo
gasto para uma volta completa é chamado de período e é representado pela letra T. Se
dividirmos o comprimento da circunferência (distância percorrida pelo corpo) pelo período,
obteremos a velocidade do corpo. Escreva a expressão correspondente :
v=
Expressão (*)
03) Eleve ao quadrado os dois membros da expressão:
v=
Expressão (**)
Na Definição V , Newton se refere à força centrípeta, cuja expressão matemática é
175
F = m.
v2
R
04) Na expressão (**) está faltando o fator
m
. Então multiplique ambos os membros desta
R
expressão pelo fator que está faltando e simplifique o segundo membro da expressão:
m.
v2
=
R
Expressão (***)
05) Na expressão (***), substitua o termo m.
v2
pela letra F:
R
F=
Expressão (****)
06) Escreva abaixo, a expressão da terceira Lei de Kepler:
Expressão (*****)
07) Da expressão acima, isole o termo T 2 :
T2=
Expressão ( ****** )
08) Substitua este valor de T 2 na expressão (****) e simplifique o segundo membro:
F=
O termo
4π 2
é constante e podemos representá-lo por G, que representa uma
K
constante de proporcionalidade e representa também a constante de gravitação universal.
Assim podemos dizer que a força F é diretamente proporcional à massa m de um dos corpos e
inversamente proporcional ao quadrado da distancia (R) que separa os dois corpos. Assim
podemos escrever:
Fα
m
( expressão 7)
R2
176
onde α simboliza proporcionalidade.
Mas Newton percebeu que a força F também é diretamente proporcional a massa (M)
do corpo central:
F α M (expressão 8)
Combinando as expressões (7) e (8), temos:
Fα
m.M
(expressão 9)
R2
09) Complete:
A força de atração entre dois corpos de massas m e M é diretamente_______________
ao produto das __________________ e________________ proporcional ao ______________
da distância entre os corpos.
10) Introduzindo a constante de proporcionalidade (de gravitação universal) na expressão (9),
ela se transforma numa equação. Escreva-a no retângulo abaixo e compare seus resultados
com a expressão que esta na página 39 do livro didático público do Estado:
F=
11) As figuras se referem a um satélite descrevendo movimento circular uniforme em torno da
Terra. As setas simbolizam as forças exercidas sobre o satélite. Qual das figuras melhor
representa a(s) força(s) sobre o satélite?
Fig. 64 – Corpo em órbita ao redor da Terra
Fonte: http://www.terra.com.br/fisicanet/testes/lnew/index.html.
Autores: Fernando Lang, Marcos A. Moreira e Rolando Axt
Instituto de Física – UFRGS
177
2) As figuras se referem a um menino que faz girar, em um plano vertical, uma pedra presa ao
extremo de um fio (Lembre-se que estamos no campo gravitacional terrestre). Em qual das
figuras a(s) força(s) sobre a pedra está(estão) melhor representada(s) pelas setas?
Fig.65 – Pedra girando ao redor de um ponto central. Teste elaborado por Fernando Lang.
Marco A. Moreira e Rolando Atx.
Fonte da imagem: http://terra.com.br/fisicanet/testes/Inew/index.html
Instituto de Física - UFRGS.
13) Duas pessoas de massas respectivamente iguais a 80 kg e 60 kg estão distantes 6 metros
uma da outra. Sendo G = 6,7.10 −11 N. m
entre ambas.
2
kg 2
, determine a força de atração gravitacional
CAPITULO VIII
AÇÃO A DISTÂNCIA
OU CAMPO MEDIADOR?
179
8.1 - AÇÃO A DISTÂNCIA OU CAMPO MEDIADOR?
Com sua obra Princípios Matemáticos de Filosofia Natural, Newton realizou a
grande síntese de toda a mecânica, que se tornou a base do desenvolvimento científico nos
séculos subseqüentes. A lei que diz que massa atrai massa com uma força F na razão
inversa do quadrado da distância entre elas é a mesma para todo o Universo.
Mas, como se dá a interação entre dois corpos que não se tocam?
Para que ocorra esta interação, é necessário que o comportamento de um afete o
comportamento do outro e vice-versa. É necessário que ocorra uma troca de informação entre
eles. A crença era de que esta troca de informação era instantânea, isto é, a informação
“viajava” com velocidade infinita. São estes os ingredientes para a concepção da idéia de
ação-a-distância.
Ao elaborar a teoria da gravitação universal, Newton se deparou com um grande
dilema. Ela torna claro a existência do vácuo. Se os planetas orbitam ao redor do Sol apenas
por inércia, então não pode haver nenhum tipo de atrito, caso contrário os planetas
desacelariam e cairiam em direção ao Sol. Inviabilizava-se assim, a sustentação da existência
do éter, concebido por Aristóteles.
Mas Newton, apesar de ser o autor das leis que “mataram” o éter não aceitava a idéia
da ação-a-distância. Num trecho de uma de suas cartas a Richard Bentley, datada de 25 de
fevereiro de 1693, ele dizia:
“...É inconcebível que a matéria bruta, inanimada, opere sem a
mediação de alguma coisa, não material, sobre outra matéria e a afete
sem contato mútuo, como deve ocorrer se a gravitação, no sentido de
Epicuro, for essencial e inerente a ela. E é por essa razão que desejei
que você não atribuísse a gravidade inata a mim. Que a gravidade
devesse ser inata, inerente e essencial à matéria, de modo que um corpo
pudesse atuar sobre outro a distância, através de um vácuo, sem a
mediação de qualquer coisa, por cujo intermédio sua ação e força
pudesse ser transmitida de um corpo a outro, é para mim um absurdo tão
grande que eu acredito que nenhum homem dotado de uma faculdade de
pensamento competente em questões filosóficas jamais possa cair nele. A
gravidade deve ser causada por um agente que atua constantemente de
acordo com certas leis; mas se esse agente é material ou imaterial é uma
consideração que
deixo para os meus leitores (GARDELLI, Daniel.Dissertação de
Mestrado:in Newton, carta a Bentley; in Thayer, 1953, p.54).
180
Mas a expressão matemática da lei da gravitação universal foi relevante para o
entendimento de diversos fenômenos, para os quais não haveria resposta sem esta lei. Então
Newton achou conveniente “aceitar” esta idéia, como encontramos no Escólio Geral na
segunda edição dos Princípios Matemáticos de Filosofia Natural, em 1713:
Até aqui explicamos os fenômenos do céu e de nosso mar pelo
poder da gravidade, mas ainda não designamos a causa desse poder. É
certo que ele deve provir de uma causa que penetra nos centros exatos
do Sol e planetas, sem sofrer a menor diminuição de sua força; que
opera não de acordo com a quantidade das superfícies das partículas
sobre as quais ela age (como as causas mecânicas costumam fazer), mas
de acordo com a quantidade de matéria sólida que elas contém, e
propaga sua virtude em todos os lados a imensas distâncias,
descrevendo sempre com o inverso do quadrado da distância. [...] Mas
até aqui não fui capaz de descobrir a causa dessas propriedades da
gravidade a partir dos fenômenos, e não invento nenhuma hipótese; pois
tudo que não é deduzido dos fenômenos deve ser chamado uma hipótese;
e as hipóteses, quer metafísicas ou físicas, quer de qualidades ocultas ou
mecânicas, não têm lugar na filosofia experimental. Nessa filosofia, as
proposições particulares são inferidas dos fenômenos, e depois tornadas
gerais pela indução. [...] E para nós é suficiente que a gravidade
realmente exista e atue de acordo com as leis que aplicamos e que são
suficientes para dar conta de todos os movimentos dos corpos celestes e
de nosso mar (Daniel Gardelli, dissertação de Mestrado: in Newton,
Princípios Matemáticos de Filosofia Natural, Escólio Geral, pp. 371-2).
Mas em 1717, Newton ressuscita o éter com outra fisionomia, ao apresentar seu
trabalho sobre a luz. Neste trabalho ele tenta explicar a gravidade utilizando o éter. Seria a
preparação do palco para a entrada em cena da idéia de campo como mediador das interações
entre corpos sem contato?
A idéia do éter foi um recurso para explicar a propagação das ondas eletromagnéticas
através do vácuo, no espaço sideral. Assim, a idéia de campo foi introduzida na física com os
trabalhos de Faraday e Maxwell em eletromagnetismo.
Em um de seus escritos, Maxwell diz:
Devo pedir-lhes que se dirijam para um território muito antigo e
que voltem sua atenção para uma questão que tem sido levantada de
tempos em tempos desde que os homens começaram a pensar. A questão
é aquela referente à transmissão da força. Sabemos que dois corpos
separados por uma certa distância exercem influência mútua sobre os
movimentos um do outro. Dependerá esta ação da existência de uma
181
terceira coisa, algum meio de comunicação ocupando o espaço entre os
corpos ou será que os corpos agem uns sobre os outros imediatamente,
sem a intervenção de nada?(Maxwell, Scientific Papers, v.2, in Ação-aDistância, p. 311).
Neste embate entre ação-a-distância e ação mediada pelo campo, em um de seus
escritos, Einstein deixou claro que acreditava na existência do éter, apesar dos resultados da
famosa experiência de Albert Michelson e E. Morley, realizada em 1887, comprovarem
definitivamente a inexistência do éter: ...A luz se propaga através do mar de éter, no qual a
Terra está se movendo. Em outras palavras, o éter está se movendo em relação à Terra
(Gardelli, 2004, p.98 in: Einstein, Como eu criei a teoria da relatividade, 1922).
Na elaboração da teoria da relatividade, Einstein nos diz que nenhum objeto pode ter
velocidade maior que a velocidade da luz, a qual é a velocidade máxima que um corpo pode
atingir. Assim, negando a impossibilidade da velocidade infinita, a idéia de campo se
fortalece.
8.2 – CONCEITO DE CAMPO
De acordo com a física atual, campo é a pertubação no espaço ao redor de todo corpo
devida à alguma propriedade intrínseca ao corpo. Se o corpo possui massa, gera campo
gravitacional. Se tem carga elétrica, gera campo elétrico. Se tem propriedades magnéticas,
gera campo magnético, etc. A troca de informações entre dois corpos ocorre pela interação
entre seus campos.
Para a física moderna, a interação entre campos ocorre através da troca de partículas
chamadas mediadores. No caso do campo gravitacional, o mediador é chamado de graviton.
Então, a força de atração entre a Terra e um objeto, por exemplo, é o resultado da
interação entre o campo gerado pelo objeto e a massa da Terra (GREF, 2000, p. 155).
8.3
-
COMPORTAMENTO
DE
CORPOS
LANÇADOS
NO
CAMPO
GRAVITACIONAL
ATIVIDADES 32
01) Vimos que no lançamento de um objeto, seja vertical, obliquo ou horizontal, a força de
lançamento deixa de existir assim que se desfaz o contato entre o objeto e o agente lançador.
Então, enquanto um corpo se desloca no campo gravitacional terrestre, qual(quais) é(são) a(s)
182
força(s) que atuam sobre o corpo?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
As questões 2, 3 e 4 referem-se ao enunciado seguinte.
Um menino lança verticalmente para cima uma bola. Os pontos A, B e C identificam
algumas posições da bola após o lançamento ( B é o ponto mais alto da trajetória). É
desprezível a força resistiva do ar sobre a bola.
Fig.66 – Menino lançando uma bola para cima.
Fonte: http://www.if.ufrgs.br/~lang/teste_Mecânica.pdf
Questões e desenhos elaborados por Fernando Lang, Marco A. Moreira e Rolando Atx.
Instituto de Física - UFRGS
02) No ponto A, quando a bola está subindo, qual dos desenhos melhor representa a(s)
força(s) sobre a bola?
Fig.67 – forças atuando na bola
03) No ponto B, quando a bola atinge o ponto mais alto da trajetória, qual dos desenhos
melhor representa a(s) força(s) sobre a bola?
183
Fig. 68 – forças atuando sobre a bola
04) No ponto C, quando a bola está descendo, qual dos desenhos melhor representa a(s)
força(s) sobre a bola?
Fig.69 – Forças atuando sobre a bola.
As questões 5, 6 e 7 referem-se ao enunciado abaixo.
05) Um menino lança uma pequena pedra que descreve uma trajetória como a representada na
figura (a força de resistência do ar sobre a pedra é desprezível). O ponto B é o ponto mais alto
da trajetória.
Fig. 70 –Menino atirando uma pedra
Fonte: http://www.if.ufrgs/~lang/teste_Mecanica.pdf
Questões e desenhos elaborados por Fernando Lang, Marco A. Moreira e Rolando Atx.
Instituto de Física - UFRGS
04) No ponto A, qual é o esquema que melhor representa a(s) força(s) sobre a pedra?
184
Fig.71 – Forças agindo sobre a pedra
06) No ponto B, qual é o esquema que melhor representa a(s) força(s) sobre a pedra?
Fig.72 – Forças agindo sobre a pedra
07) No ponto C, qual é o esquema que melhor representa a(s) força(s) sobre a pedra?
Fig.73 – Forças agindo sobre a pedra
8.4 - LANÇAMENTOS VERTICAL, OBLIQUO E HORIZONTAL
Quando um corpo é lançado com velocidade inicial v 0 , seu movimento é o resultado
da combinação de dois movimentos, independentes entre si, isto é, um ocorre como se o outro
não existisse:
• um na direção vertical
• outro na direção horizontal
185
O movimento na direção vertical é uniformemente retardado na subida e
uniformemente acelerado na descida. Na medida que ele ascende no campo gravitacional
terrestre, sua velocidade vai diminuindo, de modo que no ponto de altura máxima, sua
velocidade se anula instantaneamente, iniciando a partir daí seu movimento de queda.
O movimento na direção horizontal é uniforme e retilíneo.
Usando a noção de decomposição de vetores em sua componentes ortogonais,
podemos obter a velocidade na direção de cada eixo cartesiano.
ATIVIDADE 33
Componente horizontal da velocidade v x da velocidade v 0 de lançamento
01) O vetor v x é um cateto adjacente ao ângulo θ , o vetor v 0 é a hipotenusa. A relação entre
v x e v 0 é o cosseno do ângulo θ . Então:
vx =
expressão ( 1 )
y
ρ
vy
ρ
v
0
ρ
vx
x
Fig.74 – Decomposição do vetor velocidade
Componente vertical v y da velocidade v 0 de lançamento
02) O vetor v y é um cateto oposto ao ângulo θ. A relação entre v y e v 0 é o seno do ângulo θ.
Então:
vy=
expressão ( 2 )
Compare seus resultados com o contido na página 22 do livro didático público do
Estado do Paraná.
186
Consultando a tabela a seguir, faça uma análise do movimento do martelo proposto
pelo professor Kleber Sebastião Juliani na primeira unidade do livro didático público:
TABELA - 10
valor de θ
cos θ
sen θ
0°
1
0
30°
3
2
1
2
45°
2
2
2
2
60°
1
2
3
2
90°
0
1
3. No lançamento vertical
3.1 Qual é o ângulo que a direção do movimento forma com a direção horizontal?__________
3.2 Qual o valor da componente horizontal de 1.3 Reescreva a expressão para a componente
ρ
ρ
v0 para este caso
vertical de v0 para este caso.
4. No lançamento obliquo
4.1 Usando as expressões ( 1 ) e ( 2 ), reescreva as expressões para as componentes v x e v y
para os seguintes casos:
θ = 30°
θ = 45°
θ = 60°
187
4.2 Qual é a forma da trajetória do martelo para estes lançamentos?_____________________
4.3 Para qual referencial o martelo tem esta forma de trajetória?________________________
4.4 Por que o martelo descreve este tipo de trajetória?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
4.5 Suponha que o martelo seja lançado num local onde o Sol está a pino, isto é, seus raios
incidem perpendicularmente sobre os corpos. Que tipo de movimento a sombra do martelo
apresentaria no solo?_________________________ ? Por que?________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
4.5 Se fosse possível projetar perpendicularmente a sombra do martelo numa parede vertical,
que tipo de movimento a sombra apresentaria na parede?_____________________________
___________________________________________________________________________
Por que?____________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
5. No lançamento horizontal
5.1 Qual o ângulo que a direção do movimento forma com a direção horizontal?___________
5.2 Qual o valor da componente vertical da
velocidade de lançamento?
5.3 Reescreva a expressão para a velocidade
de lançamento na direção horizontal.
5.4 Neste caso, qual seria a forma da trajetória se o martelo fosse lançado horizontalmente do
alto de uma torre? ______________________________ Por que? ______________________
___________________________________________________________________________
CAPITULO
IX
TEORIA DA RELATIVIDADE
189
9.1 - NOVAS MUDANÇAS DE PARADIGMAS
Nas últimas décadas do século XIX, uma série de experiências nos campos da óptica,
da termodinâmica e do eletromagnetismo apresentaram resultados que não puderam ser
explicados pela teoria da gravitação universal de Newton e nem pela teoria
eletromagnética, cujos princípios foram propostos por Michael Faraday e resumidos nas
equações de Maxwell: o efeito fotoelétrico (Hertz), o espectro do hidrogênio (Balmer), os
raios X (Röntgen), a radioatividade (Becquerel), o elemento radioativo Rádio (Marie Curie).
A teoria quântica nasceu da tentativa de entender tais fenômenos.
Estas duas teorias propunham um universo com partículas e campos de força como
entes rígidos, mergulhados num espaço e tempo absolutos e de dimensões invariáveis. E o
referencial para as medidas do espaço, do tempo e para a determinação dos movimentos era o
éter cósmico, derrubado pelos resultados da experiência dos americanos Albert Abraham
Michelson e Edward Willians Morley, em 1887.
A mecânica elaborada por Isaak Newton, também chamada de mecânica clássica ou
mecânica newtoniana começa a perder seu caráter de inquestionalidade em 1883, com as
críticas do cientista alemão Ernst Mach. Ele apontou como ponto fraco da dinâmica de
Newton a concepção de espaço e tempo absolutos. De acordo com Mach, para medir o tempo,
necessariamente nos apoiamos no movimento repetitivo de um corpo ou sistema físico
(pêndulo ou movimento da Terra). Então, é claro que as propriedades do tempo de alguma
forma está relacionada com o movimento. Assim também, o conceito de espaço deve estar
intimamente ligado com as propriedades do sistema de medida. Não é algo absoluto.
Estas críticas encontraram fértil terreno no espírito do jovem físico Albert Einstein.
Para Einstein, a maneira de observar e realizar medidas físicas deve influenciar os coneitos
físicos.
A idéia de tempo e espaço absolutos foi duramente golpeada pela descoberta da
constância da velocidade da luz. Einstein tinha concebido a idéia de que as ondas luminosas
se deslocavam com velocidade constante para qualquer observador quer em repouso, quer em
movimento uniforme.
Inspirados por estes resultados, Georg Francis Fitzgerald e Hendrik Antoon Lorentz
elaboraram um conjunto de leis matemáticas, chamado de transformações de Lorentz. Nos
resultados destes trabalhos estavam as noções de contração do espaço e da dilatação do
190
tempo. Uma régua em movimento, tem seu comprimento diminuído e o tempo num relógio
em movimento flui mais lentamente.
9.2 - TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA OU ESPECIAL
Em 1905, Einstein publica a teoria da relatividade restrita, que se assenta sobre dois
postulados ou princípios gerais:
1° - Princípio da relatividade: as leis da física são iguais em todos os referenciais inerciais
que se movem com velocidade constante.
2° - Princípio da constância da velocidade da luz: a velocidade da luz no vácuo é constante
em todo sistema de referência inercial. Nenhum corpo material pode atingir a velocidade da
luz.
Ao contrário da mecânica newtoniana, onde o tempo e o espaço são entidades distintas
e absolutas, na teoria da relatividade estão interligados, formando o espaço-tempo, de quatro
dimensões. Cada ponto deste espaço-tempo é um evento.
9.3 - TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL
De acordo com a teoria da gravitação universal de Newton, a interação entre dois
corpos celestes era instantânea. Mas o professor Victor Rivelles, do Instituto de Física da USP
dá um exemplo de fenômeno (fictício), cuja explicação à luz da mecânica newtoniana mostrase insustentável à luz da teoria da relatividade: “Se pudéssemos mover o Sol de lugar, o que
ocorreria com a órbita da Terra?”
• Mecânica newtoniana: imediatamente a Terra alteraria sua órbita.
• Teoria da relatividade: como nenhum fenômeno pode se propagar com velocidade maior que
a da luz, a influência da mudança do Sol sobre a Terra demoraria de 6 a 7 minutos para
repercutir.
Para respeitar este limite, Einstein propôs a teoria da relatividade geral. O problema
está na concepção de espaço e tempo. Na teoria newtoniana, se não existisse a força
gravitacional entre o Sol e a Terra, ambos seguiriam caminhos independentes, os quais seriam
linhas retas de acordo com a lei da inércia, pois para Newton o espaço tinha estrutura
euclidiana.
No Ensino Fundamental você estudou a geometria euclidiana plana ou bidimensional.
No Ensino Médio você estuda a geometria euclidiana espacial ou tridimensional. Então você
191
sabe que o espaço euclidiano é caracterizado por linhas retas e que a menor distância entre
dois pontos é uma linha reta. Tanto o espaço euclidiano como o espaço-tempo da teoria da
relatividade restrita são planos.
Na teoria da gravitação universal de Newton, onde o espaço é euclidiano, é
“necessário” uma força que atua à distância e faz com a trajetória dos corpos seja curva.
Porém, na concepção de Einstein esta força não existe e a estrutura do espaço não é
euclidiana. A menor distância entre dois pontos é uma curva, chamada geodésica. E o que
provoca a curvatura do espaço-tempo é a presença de matéria e energia.
Imagine que a Terra fosse reduzida de tal forma que coubesse na
palma da mão. Seu campo gravitacional seria tão incrivelmente intenso
que nem mesmo a luz conseguiria escapar dele. Seria um buraco negro
(PARANA, 1998, p.367).
ATIVIDADE 34
01) Leia texto das páginas 43 e 44 do Livro Didático Público e explique com suas palavras o
que é um buraco negro?
02) Sugestões de atividades lúdicas:
• Jogo de Astronomia: Desbravando o Sistema Solar in: Divulgando a ciência: de brinquedos,
jogos e do vôo humano. Elaborado pelos professores Marcos César Danhoni Neves e Ricardo
Francisco Pereira.
• Jogo de Astronomia: Desbravando o Sistema Solar in: Da terra, da lua e além.Versão
revisada e modificada. Elaborado pelo professor Marcos César Danhoni Neves e equipe.
Contato: [email protected]
BIBLIOGRAFIA
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Movimento. Revista Brasileira de Ensino de Física. São Paulo, v21, n.1, pp.187-194, 1999.
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Florianópolis, 15 de dez. 1991.
FROTA, P. R. O.; MORAES, M. C. M.. Calculando com Galileu: os desafios da Ciência
Nova. Linguagem, Educação e Sociedade, Teresina, v.6, pp. 13-27, 2001.
FROTA, P. R. 0.; M. SOBRINHO, J. A. C.. Distância, velocidade e tempo-uma evolução
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