Em / /12 1. - Matemática IFBA

AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA
Curso Técnico Integrado em
Unidade 4
Turma:
Prof. Valdex Santos
Em
Aluno:
/
/12
1. (PUC-SP) Para definir módulo de um número real x podemos dizer que:
(a) é igual ao valor de x se x é real.
(b) é o maior valor do conjunto formado por x e o oposto de x.
(c) é o valor de x tal que x ∈ N.
(d) é o oposto do valor de x
(e) é o maior inteiro contido em x
OBS.: SOLUÇÃO NO SLIDE
2. (FGV-SP) Quantos números inteiros não-negativos satisfazem a inequação |x − 2| < 5?
a) infinitos
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Solução: |x − 2| < 5 ⇒ −5 < x − 2 < 5 ⇒ −3 < x < 7.
Como queremos o número de valores inteiros não negativos que satisfazem a inequação dada, queremos a quantidade de valores de 0 a 6(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), ou seja, no total
sete números.
Portanto, a alternativa correta é a e
3. Ache o conjunto solução das equações:
(a) |3x + 1| = 6
Solução: |3x + 1| = 6 ⇒ 3x + 1 = 6 ou 3x + 1 = −6.
5
Resolvendo a primeira equação 3x + 1 = 6 encontramos x = . Resolvendo a
3
7
segunda, 3x + 1 = −6, encontramos x = − .
3
5 7
Logo, o conjunto solução é S =
,− .
3 3
(b) |x|2 − |x| − 20 = 0
Solução: Para resolver a equação modular |x|2 − |x| − 20 = 0 vamos fazer primeiramente a substituição |x| = y, encontrando a equação quadrática y 2 − y − 20, a qual
tem soluções y ′ = 5 e y ′′ = −4.
Voltando a substituição |x| = y temos:
|x| = 5 ⇒ x = 5 ou x = −5.
Obs.: A solução da equação quadrática y ′′ = −4 não satisfaz pois |x| ≥ 0.
Portanto o conjunto solução da equação modular |x|2 − |x| − 20 = 0 é S = {−5, 5}.
c
Valdex
Santos
Boa Prova!
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Aluno:
2o exame
Turma:
4. A solução da equação 2x−1 − 2x+2 = −56 é um número:
(a) primo
(d) divisível por 7
(b) múltiplo de 3
(e) múltiplo de 5
(c) divisível por 4
Solução: Vamos resolver esta questão de duas maneiras, a primeira delas foi como
explicada nas turmas 411 e 412:
1a MANEIRA(Utilizando o Método da Substituição):
Utilizando as propriedades de multiplicação de potências de bases iguais e expoente
inteiro negativo temos que
1
− 2x ∗ 4 = −56.
2
Fazendo a substituição 2x = y obtemos a equação do primeiro grau:
y
− 4y = −56. Resolvendo, temos:
2
7
− y = −56
2
−7y = −112
2x−1 − 2x+2 = −56 ⇒ 2x ∗ 2−1 − 2x ∗ 22 = −56 ⇒ 2x ∗
y = 16.
Voltando a substituição 2x = y temos 2x = 16 ⇒ 2x = 24 ⇒ x = 4.
Assim a solução da equação é x = 4 que é divisível por 4.
Portanto a alternativa correta é a c.
2a MANEIRA: Utilizando as propriedades de multiplicação de potências de bases
iguais e expoente inteiro negativo temos que:
2x−1 − 2x+2 = −56 ⇒ 2x ∗ 2−1 − 2x ∗ 22 = −56 ⇒ 2x ∗
1
− 2x ∗ 4 = −56.
2
x
Colocando
temos:
a potência 2 em evidência,
−7
−56 ∗ 2
1
= −56 ⇒ 2x =
− 4 = −56 ⇒ 2x
⇒ 2x = 16 ⇒ 2x = 24 ⇒ x = 4.
2x
2
2
−7
Assim, a solução da equação é x = 4 que é divisível por 4.
Portanto a alternativa correta é a c.
5. (CEFET-PR) Sejam a e b as soluções da equação exponencial
32x − 10 ∗ 3x + 32 = 0
Então a + b pertence ao intervalo
A) [−1, 0[
c
Valdex
Santos
B) [0, 2[
C) [−3, −1[
Boa Prova!
D) [2, 3[
E) [3, 5[
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2o exame
AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA
Aluno:
Turma:
Solução:
Podemos reescrever a equação 32x − 10 ∗ 3x + 32 = 0 como (3x )2 − 10 ∗ 3x + 9 = 0.
Fazendo a substituição 3x = y obtemos a equação y 2 − 10 ∗ y + 9 = 0. Resolvendo-a,
encontramos as soluções y ′ = 9 e y ′′ = 1.
Voltando a substituição feita 3x = y temos:
3x = y ⇒ 3x = 9 ⇒ 3x = 32 ⇒ x = 2 e
3x = y ⇒ 3x = 1 ⇒ 3x = 30 ⇒ x = 0
Sendo a e b as soluções da equação dada, podemos designar a = 2 e b = 0 e dai
a + b = 2 + 0 = 2. Constatamos facilmente que 2 ∈ [2, 3[.
Portanto a resposta correta é a alternativa d.
6. (Mogi-SP) O número N de decibéis e a potência I de um som medida em watts por
N
centímetro quadrado estão relacionados pela fórmula I = 10−16 ∗ 10 10 . O número de
decibéis corresponde ao som provocado pelo tráfego pesado de veículos, cuja potência é
estimada em 10−8 watts por centímetro quadrado, é igual a:
(a) 40
(b) 80
(c) 60
(d) 120
(e) 200
Solução:
Pelo enunciado temos que I = 10−8 . Substituindo este dado na equação
N
I = 10−16 ∗ 10 10 , temos:
N
N
10−8 = 10−16 ∗ 10 10 ⇒ 10−8 = 10−16+ 10 ⇒ −8 = −16 +
Logo a solução é N = 80 e a alternativa correta é a b.
N
N
⇒8=
⇒ N = 80
10
10
7. Resolva as seguintes equações exponenciais:
(a) 81x+2 = 1
Solução:
Lembrando que o número 1 pode ser reescrito como 810 temos:
81x+2 = 1 ⇒ 81x+2 = 810 ⇒ x + 2 = 0 ⇒ x = −2.
Assim, S = {−2}
(b) 4x − 5 ∗ 2x + 4 = 0
c
Valdex
Santos
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AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA
Aluno:
Turma:
Solução:
Podemos reescrever a equação 4x − 5 ∗ 2x + 4 = 0 como (22 )x − 5 ∗ 2x + 4 = 0 ou
ainda (2x )2 − 5 ∗ 2x + 4 = 0.
Agora, fazendo a substituição 2x = y, obtemos a equação do segundo grau:
y 2 − 5y + 4 = 0, a qual tem soluções y ′ = 4 e y ′′ = 1. Retornando a substituição
2x = y temos:
2x = 4 ⇒ 2x = 22 ⇒ x = 2 e
2x = 1 ⇒ 2x = 20 ⇒ x = 0 .
Assim, S = {0, 2}
8. (QUESTÃO EXTRA)
Os biólogos afirmam que, sob condições ideais, o número de bactérias em uma certa
cultura cresce de tal forma que a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes no inicio do intervalo de tempo considerado. Suponha que 2 000 bactérias esteja presentes inicialmente em uma certa cultura e que 4 000 esteja presentes
30 minutos depois. Escreva uma lei(função) que represente a quantidade de bactérias
presentes nesta cultura t horas depois de iniciada a contagem.
Solução:
SOLUÇÃO 1:Podemos relacionar o tempo t em minutos com a quantidade de bactérias b da seguinte maneira:
0
t = 0 ⇒ b(0) = 2000 = 2000 ∗ 1 = 2000 ∗ 20 = 2000 ∗ 2 30
30
t = 30 ⇒ b(30) = 4000 = 2000 ∗ 2 = 2000 ∗ 21 = 2000 ∗ 2 30
60
t = 60 ⇒ b(60) = 8000 = 2000 ∗ 4 = 2000 ∗ 22 = 2000 ∗ 2 30
90
t = 90 ⇒ b(90) = 16000 = 2000 ∗ 8 = 2000 ∗ 23 = 2000 ∗ 2 30
120
t = 120 ⇒ b(120) = 32000 = 2000 ∗ 16 = 2000 ∗ 24 = 2000 ∗ 2 30
..
.
Assim, podemos perceber que a fórmula geral (a função) que representa a situação
problema, ou seja, que nos fornece o número de bactérias em função do tempo em
minutos é dada por
t
b(t) = 2000 ∗ 2 30
SOLUÇÃO 2: Podemos relacionar o tempo t em horas com a quantidade de bactérias b da seguinte maneira:
c
Valdex
Santos
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Aluno:
2o exame
Turma:
t = 0 ⇒ b(0) = 2000 = 2000 ∗ 1 = 2000 ∗ 20 = 2000 ∗ 22∗0
t = 0.5 ⇒ b(0.5) = 4000 = 2000 ∗ 2 = 2000 ∗ 21 = 2000 ∗ 22∗0.5
t = 1 ⇒ b(1) = 8000 = 2000 ∗ 4 = 2000 ∗ 22 = 2000 ∗ 22∗1
t = 1.5 ⇒ b(1.5) = 16000 = 2000 ∗ 8 = 2000 ∗ 23 = 2000 ∗ 22∗1.5
t = 2 ⇒ b(2) = 32000 = 2000 ∗ 16 = 2000 ∗ 24 = 2000 ∗ 22∗2
..
.
Assim, podemos perceber que a fórmula geral (a função) que representa a situação
problema, ou seja, que nos fornece o número de bactérias em função do tempo em
horas é dada por
b(t) = 2000 ∗ 22∗t
Disponível em waldexifba.wordpress.com
Fim da avaliação