Document

Física I
Disciplina
T (H)
TP (H)
P (H)
ECTS
Área Cient.
Sector
Física I
(Informática)
3
0
1,5
6,5
Física
DF
Regras
Funcionamento da disciplina
Aulas Teóricas em 2 blocos de 1,5 h cada (com resolução de
problemas)
Aulas Laboratoriais (Práticas) em blocos de 3h, sala 101 – edificio I
Bibliografia (também para Física II e III):
Halliday, Resnick & Walker, Fundamentals of Physics (6th ed)
Halliday, Resnick & Walker, Fundamentos de Física, vol.1, 2 (6ª ed)
Guiões, Manual e Problemas (enunciados) disponíveis no arquivo de
www.df.fct.unl.pt
Resoluções de alguns problemas e enunciados e resoluções de
exames de anos anteriores em www.df.fct.unl.pt
Site:
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
1
Física, Avaliação
Meios de avaliação
•
Relatórios de 5 trabalhos práticos, realizados nas aulas práticas, a que
corresponderá uma nota, NL , dada pela média das notas de todos os relatórios
(os relatórios não efectuados ficarão com nota igual a zero);
•
Dois testes de avaliação a que corresponderá as notas NT1 e NT2 e a sua média
aritmética NT.
1. T1 a 20Abr05
2. T2 a 1Jun05
•
Exame de Recurso, a que corresponderá uma nota, NE.
•
A Nota Final é NF
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
2
Regras de Avaliação
Critério de Frequência: NL ≥10
Nota: É reconhecida a frequência (i.e. NL - nota dos laboratórios positiva) obtida
em anos anteriores.
Critério de Aprovação:
Para os alunos que obtêm frequência em 2004/2005
NL ≥10 e NT ≥8 (desde que NT1 e NT2 ≥6) e NF ≥10
ou
NL ≥10 e NE ≥8 e NF ≥10
com NF =0,5 NL+0,5 NT ,
com NF =0,5 NL+0,5 NE ,
Para os alunos que obtiveram frequência de anos anteriores
NL ≥10 e NT ≥10 (desde que NT1 e NT2 ≥6) e NF ≥10 com NF =NT ,
ou
NL ≥10 e NE ≥10
com NF =NE
Cálculo das Notas; a nota NL será dada em unidades da escala (1 a 20); as outras notas
poderão ser dadas com aproximação às décimas ou centésimas; o arredondamento será feito
apenas na nota final.
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
3
Programa
Conceitos Gerais: Grandezas, medidas, incertezas, dimensões e unidades. O espaço
e o tempo. Referenciais. Os modelos da mecânica.
Cinemática: Os conceitos de velocidade e aceleração. Determinação da velocidade e
do vector posicional a partir da aceleração. Movimento relativo de translação uniforme,
transformação de Galileu.
Dinâmica da Partícula: Referenciais de inércia. Conservação do momento linear, do
momento angular e da energia de uma partícula. Referenciais não inerciais.
Interacção Gravitacional: Forças centrais. Leis de Kepler. Lei da gravitação universal.
Campo gravítico. Energia potencial gravítica. A terra como referencial não inercial:
efeito centrífugo e de Coriolis.
Dinâmica de Sistemas de Partículas: Centro de massa e referencial do centro de
massa. Conservação do momento linear, do momento angular e da energia. Colisões.
Sistemas de massa variável.
Introdução à Mecânica Estatística: Lei de distribuição de Maxwell Boltzman. Noções
estatísticas de temperatura e de entropia.
Dinâmica de Fluidos: Fluidos em repouso; leis de Pascal e Arquimedes. Fluidos em
movimento; equações de continuidade e de Bernoulli.
Movimentos Oscilatórios: Movimento oscilatório harmónico, amortecido e forçado
(ressonância).
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
4
Física I
Coordenadora de Física I: Profª. Adelaide Pedro de Jesus, [email protected]
Teóricas: Prof. Carlos J. Dias, Gab 104-I, [email protected]
Secretaria do Departamento de Física I, sala 202, edificio I
Inscrições nos testes e exames obrigatória.
Site Física IA
www.df.fct.unl.pt
Informática: http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
Inscrições manual nos turnos práticos: para todos aqueles que por algum motivo
não se tenham inscrito. Quarta-feira, 2Mar05 á tarde 14H-16H, sala 101, edificio I.
Aulas práticas começam a 07Mar05
Na 1ª aula prática preencher a ficha de aluno. É necessário uma fotografia. Não é
facultativo.
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
5
Leis da Física
O que é uma Lei Física?
Relação quantitativa entre grandezas físicas.
Por exemplo a relação entre a força e a aceleração.
F = ma
Natureza da lei física
A lei física é a melhor aproximação possível aos dados experimentais.
Quando existem dados os quais não são correctamente descritos por uma lei física
esta deve ser modificada de forma a incluir também os novos dados.
Este método, chamado científico, depende da medição de grandezas físicas.
Em que consiste uma medição?
Consiste na comparação de uma grandeza com uma unidade padrão.
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
6
Sistema Internacional de Unidades
Compreende sete grandezas fundamentais:
Comprimento
(metro [m])
Tempo
(segundo [s])
Massa
(quilo [kg])
Temperatura
(kelvin [K])
Intensidade de corrente eléctrica
(ampere [A])
Quantidade de matéria
(mole [mol])
Intensidade luminosa
(candela [cd])
Termómetro de gás
Padrão da massa
(entre parênteses estão as unidades e respectivas abreviaturas
utilizadas no sistema SI)
Todas as outras grandezas físicas são derivadas destas
grandezas fundamentais
As grandezas a itálico são aquelas que serão abordadas nesta
cadeira.
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
7
Unidades e Padrões
Porque é que precisamos de unidades de medida?
Inicialmente, para fins sociais, pois facilitava a troca de bens.
Hoje em dia, a forma de interagirmos com o mundo depende
em larga medida da exactidão com que determinadas
teorias explicam o mundo e predizem o seu comportamento
futuro.
Definições das unidades fundamentais
O metro é o comprimento da trajectória percorrida pela luz no vácuo durante um
intervalo de tempo de 1/299 792,458 de um segundo
Um segundo é o tempo gasto para que ocorram 9 192 631, 770 oscilações da luz (de
um comprimento de onda específico) emitidas por um átomo de Césio-133
O padrão SI de massa é um cilindro de Platina/Iridio mantido na Agência Internacional
de Pesos e Medidas.
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
8
Prefixos
Para expressar grandezas físicas muito grandes ou muito
pequenas, empregam-se prefixos ás unidades. Estes
prefixos encontram-se tabelados
Por exemplo um (milí)metro é 10-3m
Factor
Prefixo
Simbolo
1012
Tera-
T
109
Giga-
G
106
Mega-
M
103
Quilo-
k
10-2
centi-
c
10-3
Mili-
m
10-6
micro-
µ
10-9
nano-
n
10-12
pico-
p
10-15
femto-
f
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
9
Dimensões
As dimensões das grandezas derivadas
podem ser expressas em função das
dimensões das grandezas fundamentais.
Por exemplo,
Grandeza
Unidades SI
Dimensões
Comprimento
m
[L]
Tempo
s
[T]
Massa
kg
[M]
Frequência
Hz
[T-1]
Velocidade
m/s
[LT-1]
Força
N
[MLT-2]
Pressão
N/m2
[ML-1T-2]
Energia
J
[ML2T-2]
Exemplo
A força de atracção gravitacional entre
duas massas separadas da distância d
é dada por,
F =G
M 1M 2
d2
Quais as dimensões da constante
universal de gravitação G? E as suas
unidades no sistema SI?
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
10
Algarismos significativos
3 km é muito diferente de 3,00 km. Porquê?
O número de algarismos significativos informa-nos sobre a incerteza que
existe relativamente ao resultado experimental.
Regras
Contagem. Começa-se pela esquerda e ignorando os zeros. Contam-se os números até
áquele em relação ao qual temos dúvidas (mas incluindo-o). Se o primeiro algarismo do
número for 5, ou maior, conta por dois.
Numa soma ou subtracção retém-se o valor até à casa decimal sobre a qual existem
dúvidas
Num produto ou divisão o resultado deve ter um número de algarismos significativos
igual ao menos preciso dos factores
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
11
Unidades e Medidas. Problemas
8P. Nos Estados Unidos uma casa de bonecas está na escala de 1:12 em relação a uma
casa real (ou seja cada comprimento é 1/12 do correspondente numa casa real) enquanto
que uma casa-miniatura é construída numa escala 1:144. Suponha que uma casa real
(ver figura) possui uma largura de fachada de 20 m, uma profundidade de 12 m, uma
altura de 6,0 m e um telhado tradicional de duas águas (faces triangulares verticais nas
extremidades) com 3,0 m de altura. Em metros cúbicos, quais os volumes (a) da casa de
boneca e (b) da casa-miniatura? (R: 1,042 m3; 6,03x10-4 m3)
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
12
Unidades e Medidas. Problemas
13P. Cinco relógios estão sendo testados num laboratório. Exactamente ao meio-dia,
determinado pelo sinal WWV, as leituras dos relógios em dias seguidos de uma
semana são tabelados com se mostra a seguir. Classifique os relógios de acordo com o
seu valor relativo como bons cronómetros, do melhor para o pior. Justifique a sua
escolha. (R: C, D, A, B, E)
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
13
Unidades e Medidas. Problemas
15P. Uma unidade astronómica (UA) é a distância média do Sol á Terra,
aproximadamente 1,5x108 km. A velocidade da luz é aproximadamente 3,0x108 m/s.
Expresse a velocidade da luz em termos das unidades astronómicas por minuto. (R:
0,12 UA/min)
19E. A Terra possui uma massa de 5,98x1024kg. A massa média dos átomos que
compõem a Terra é de 40 uma (1 uma = 1/12 da massa de um átomo de carbono =
1,6605402x10-27 kg). Quantos átomos existem na Terra? (R: 9,0x1049 átomos)
21P. (a) Supondo que cada centímetro cúbico de água possui uma massa de
exactamente 1g, determine a massa de um metro cúbico de água em quilogramas. (b)
Suponha que demora 10,0h para esvaziar um recipiente com 5700 m3 de água. Qual a
taxa de escoamento mássico da água em quilogramas por segundo? (R: 103kg; 158
kg/s)
Qual a velocidade em m/s de um carro cujo velocímetro indica 90 km/h? E em mph
(i.e. milhas por hora; 1 mi=1,609 km)? (R: 25 m/s; 55,9 mph)
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
14
Cinemática a uma dimensão. Velocidade média
A velocidade média é,
vmed =
deslocamento
x − x ∆x
= 2 1=
intervalo de tempo t2 − t1 ∆t
x
Atenção que, físicamente,
o corpo está sempre
sobre o eixo do x.
Gráfico da posição de um corpo
no eixo x em função do tempo
x2
∆x
x1
∆t
t1
t2
t3
t
Q: Quando é que a velocidade é negativa?
R: Quando, no intervalo de tempo ∆t considerado, o valor algébrico do
deslocamento ∆x, fôr negativo.
NOTA: A velocidade NÃO DEPENDE da posição.
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
15
Velocidade Instantânea
A velocidade instantânea é o limite da velocidade média quando o intervalo
de tempo tende para zero.
x − x1
∆x dx
= lim
=
∆t →0 t − t1
∆t →0 ∆t
dt
v = lim
Gráfico da posição de um corpo
no eixo x em função do tempo
x
x1
t1
t
A velocidade é pois a derivada da posição x(t) em ordem ao tempo.
É o declive da tangente da curva x(t) no ponto t=t1
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
16
Aceleração a uma dimensão
A aceleração representa a taxa de variação da velocidade no tempo.
Aceleração média amed =
amed
a
v
∆t
t1
∆v
∆t
Aceleração (instantânea)
Atenção que, físicamente,
o corpo continua sempre
sobre o eixo do x.
a=
dv
dt
A aceleração é pois a derivada
da velocidade em ordem ao
tempo.
∆v
t
Q: Quando é que a aceleração é negativa?
R: Quando há uma variação algébrica negativa (∆v) da velocidade,
no intervalo de tempo considerado.
Q: O que é que se entende por desaceleração na linguagem
corrente?
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
Queda dos
graves
y
∆v
= −g
∆t
17
Determinação da Aceleração e da Velocidade
Se tivermos
A velocidade é dada por,
x = x(t )
v=
dx
dt
E a aceleração é dada por,
A velocidade é a primeira
derivada da posição
dv d 2 x
a=
=
dt dt 2
A aceleração é a segunda
derivada da posição
Suponha que a posição de um carro obedece á seguinte equação: x = 3t 2 + 4t + 2
Esquematize a posição num gráfico x(t).
Qual a velocidade e aceleração desse carro em função do tempo?
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
18
Velocidade e Posição a partir da Aceleração
E o inverso? Sabemos a aceleração e queremos saber a velocidade?
a=
dv
dt
⇒ dv = a dt e integrando
v
t
vo
to
∫ dv = ∫ a dt
t
⇒ v − vo = ∫ a dt
to
t
v = vo + ∫ a dt
to
Por analogia a posição do corpo pode ser determinada a partir da sua
velocidade,
dx
v=
dt
t
⇒
x = xo + ∫ v dt
to
vo e xo são respectivamente a velocidade e a posição do corpo no instante t=t0.
Chamam-se as condições iniciais do problema porque é frequente que t0=0.
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
19
Caso particular: quando a aceleração é constante
Se a=constante. Obtém-se para a velocidade,
Sabendo-se a velocidade, a posição é dada por,
t
x = xo + ∫ v dt
t
v − vo = ∫ a dt
to
to
t
x = xo + ∫ [vo + a(t − to )]dt
v − vo = a(t − to )
v = vo + a (t − to )
to
a(t − to )2
x = xo + vo (t − to ) +
2
Se t0=0,
(i.e. Se t0 coincidir com o inicio da
contagem dos tempos)
Aplicação à Queda dos graves
É costume, mas não obrigatório,
orientarmos o eixo para cima. Assim,
a = constante
v = vo + at ; recta
at 2
x = xo + vot +
; parábola
2
a = −g
v = vo − gt
gt 2
y = yo + vot −
2
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
y
∆v
= −g
∆t
20
Áreas
t
O deslocamento x-xo é, por definição:
x − xo = ∫ v dt
to
x-x0 é numéricamente igual á área delimitada pela curva da velocidade
entre os instantes to e t.
v
t
x − xo = ∫ v dt
to
t0
t
Casos particulares:
a) Velocidade constante.
b) Velocidade aumentando ou diminuindo linearmente no tempo.
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
21
Movimento rectilíneo. Problemas
2.1 Você dirige uma pick-up mal-conservada numa estrada recta de 8,4 km a 70 km/h,
quando a pick-up pára por falta de gasolina. Nos 30 min seguintes você caminha outros
2,0 km pela estrada até chegar a um posto de gasolina.
(a) Qual o deslocamento total desde a saída com a pick-up até chegar ao posto? (b)
Qual o intervalo de tempo desde o inicio da viagem até à chegada ao posto? (c) Qual a
sua velocidade média entre o inicio e o fim da viagem? (d) Determine numericamente e
graficamente. (e) Suponha que para colocar gasolina, pagar e voltar à pick-up leva 45
min. Qual a velocidade escalar média do inicio até ao instante em que chega de volta à
pick-up?
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
22
Movimento rectilíneo. Problemas
20P. Um electrão que move-se ao longo dos eixo dos xx tem a sua posição dada por
x=16 t e-t m, onde t está em segundos. A que distância da origem está o electrão
quando ele pára momentaneamente? (R: 5,89 m/s)
24P. A cabeça de uma cascavel pode acelerar até 50 m/s2 ao golpear uma vítima. Se
um carro pudesse ter essa aceleração, quanto tempo levaria para ele atingir uma
velocidade de 100 km/h partindo do repouso? (0,56 s)
33P. Um carro circulando a 56,0 km/h está a 24,0 m de uma barreira quando o motorista
pisa com força no travão. O carro bate na barreira 2,00 s depois. (a) Qual a
desaceleração constante do carro antes do impacto? (b) Com que velocidade se
desloca o carro quando se dá o impacto? (-3,56 m/s2; 8,44 m/s)
36P. No instante em que o sinal de trânsito fica verde, um automóvel parte com uma
aceleração a de 2,2 m/s2. No mesmo instante um camião, circulando com velocidade
constante de 9,5 m/s alcança e ultrapassa o carro. (a) A que distância do sinal é que o
carro ultrapassará o camião? (b) Qual será a velocidade do carro nesse instante? (82 m;
19 m/s)
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
23
Movimento rectilíneo. Problemas
11E. (a) Se a posição de uma partícula é dada por x = 4 – 12t + 3t2 (onde t está em
segundos e x em metros), qual a velocidade no instante t=1 s? (b) Nesse momento
exacto ela desloca-se no sentido positivo ou no sentido negativo do eixo dos xx? (c)
Qual o módulo da velocidade nesse instante? (d) O módulo é maior ou menor em
instantes posteriores? (Tente responder as próximas perguntas sem efectuar cálculos)
(e) Existe algum instante em que a velocidade se chegue a anular? (f) Existe um
tempo após t=3 s no qual a partícula se desloque no sentido negativo do eixo dos xx?
(R: -6 m/s; no sentido negativo; 6 m/s; primeiro é menor e depois é maior; sim (t=2);
não)
16E. Uma avestruz assustada move-se em linha recta com uma velocidade descrita
pelo gráfico velocidade-tempo da figura. Faça um esboço da aceleração versus tempo.
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
24
Movimento rectilíneo. Problemas.
42P. Um rapaz atira uma pedra para cima na direcção vertical com uma velocidade
inicial de 12,0 m/s do telhado de um prédio, 30,0 m acima do chão. (a) Quanto tempo
leva a pedra a chegar ao chão? (b) Qual a velocidade da pedra no instante do impacto?
(3,99 s; 27,1 m/s)
51P. Uma bola de argila húmida cai 15,0 m até ao chão. Ela fica em contacto com o
chão durante 20,0 ms antes de parar. Qual a aceleração média da bola até parar? (857
m/s2 para cima)
53P. Para testar a qualidade de uma bola de ténis você deixa-a cair de uma altura de
4,00 m. Ela pula de volta até uma altura de 2,00 m. Se a bola estiver em contacto com o
piso durante cerca de 12,0 ms qual a aceleração média durante o contacto.
(1,26x103m/s2 para cima)
55P. Está a pingar água de um dos furos de um chuveiro situado a 2,00 m de altura.
Caem gotas a intervalos regulares com a primeira gota batendo no piso no instante em
que a quarta gota começa a cair. Ache as posições em que se encontravam a segunda e
a terceira gotas quando a primeira bateu no piso. (22cm e 89 cm)
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
25
Vectores. Problemas.
r
6E. Um vector de deslocamento r no plano xy tem um comprimento igual a 15m
e tem a orientação mostrada na Figura. Determine (a) a componente x e (b) a
componente y do vector (R: 12.99; 7.5)
r
r
θ = 30°
10E. (p.44) Um carro dirige-se para leste numa distância de 50 km, em seguida
para norte ao longo de 30 km e depois numa direcção de 30º para o nordeste a
partir do norte durante 25 km. Construa o diagrama vectorial e determine (a)
módulo e (b) o ângulo de deslocamento total do carro desde o seu ponto de
partida. (63.8 km; 54º)
18P (p.45) São dados dois
vectores,
r
r
a = 4,0uˆ x − 3,0uˆ y m e b = 6,0uˆ x − 8,0uˆ y m
Quais são os módulos e os ângulos (relativos a û x )
r
r r
r r
r
r r
de
b
+
a
?
(g,h)
de
b
−
a
?
(i,j)
de
a
− b ? (k)
(a,b) do vector a ? (c,d) do vector b (e,f)
r r
r r
Qual o ângulo entre os vectores a − b e b − a ?
(R: 5; 36,9º; 10; 53,1º; 14,9; 47,7º; 5,38; -68,2º; 5,38; 111,8º; 180º)
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
26
Vectores. Problemas.
r r
31P.
Use a definição de produto escalar a ⋅ b e o facto de que,
r r
a ⋅ b = a x bx + a y b y + a z bz
para calcular o ângulo entre os
r dois vectores dados por,
r
a = 3,0uˆ x + 3,0uˆ y + 3,0uˆ z m e b = 2,0uˆ x + 1,0uˆ y + 3,0uˆ z m
(R: 22,2 º)
r
r
33P. Mostre que a área do triângulo delimitado por a e b e pelo segmento que
une as
r pontas destes vectores na Fig. 3.30 é igual a
r
1a
×b
2
r
b
φ
r
a
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
27
Equações do movimento uniformemente acelerado
Derivação
a = constante
v = vo + at ; recta
at 2
x = xo + vot +
; parábola
2
Integração
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
28
Equações do Movimento Uniformemente Acelerado
Derivação
a = constante
v = vo + at ; recta
at 2
x = xo + vot +
; parábola
2
Integração
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
29
Cinemática, Movimento a 2D e 3D.
Se o movimento da partícula for a três dimensões,
O vector posição em coordenadas cartesianas é,
r
r (t ) = x(t ) uˆ x + y (t ) uˆ y + z (t ) uˆ z
O vector velocidade é a derivada do
vector posição,
r
dr (t )
r
v (t ) =
dt
dx
dy
dz
r
v (t ) =
uˆ x + uˆ y + uˆ z
dt
dt
dt
r
v (t ) = v x (t ) uˆ x + v y (t ) uˆ y + v z (t ) uˆ z
O vector aceleração é a
derivada do vector velocidade,
r
dv (t )
r
a (t ) =
dt
dv y
dv
dv
r
uˆ y + z uˆ z
a (t ) = x uˆ x +
dt
dt
dt
r
a (t ) = a x (t ) uˆ x + a y (t ) uˆ y + a z (t ) uˆ z
Verificamos que a relação entre a posição, a velocidade e a aceleração em cada
eixo é independente do que se passa nos outros dois eixos. i.e.,
vx =
dx
dt
e ax =
dvx
dt
vy =
dy
dt
e ay =
dv y
dt
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
vz =
dz
dt
e az =
dv z
dt
30
Aplicação ao Movimento de Projécteis.
A aceleração da gravidade é 9,8 m/s2 no sentido de cima para baixo.
Se orientarmos o eixo dos y para cima será negativa.
r
vo
y
CONDIÇÕES INICIAIS
O corpo no instante t=0 tem a
velocidade inicial vro = vox uˆ x + voy uˆ y
g
r
ro
x
Integrando o movimento nas duas
direcções do espaço x e y, entre os
instantes 0 e t,
r
a (t ) = 0 uˆ x − g uˆ y
r
v (t ) = (vox ) uˆ x + voy − gt uˆ y
(
)
2

gt
r
 uˆ y
r (t ) = ( xo + voxt ) uˆ x +  yo + voy t −
2 

e está na posição inicial
r
ro = xouˆ x + youˆ y
1. Os movimentos em x e em y são
independentes.
2. No eixo x o projéctil percorre distâncias
iguais em tempos iguais, i.e. a velocidade é
constante
3. No eixo y o movimento é acelerado e
portanto a velocidade varia,
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
31
Um caso particular do lançamento de projécteis
O objecto é projectado com uma velocidade vo com um ângulo de lançamento α e parte
da origem dos espaços.
Posição final
g
O corpo no instante t=0 tem a velocidade inicial,
y
( R ,0 )
r
vo = vo cosθ uˆ x + vo sin θ uˆ y
r
vo
θ
e está na posição inicial rro = 0
x
Integrando obtemos,
r
a (t ) =
0uˆ x − g uˆ y
r
v (t ) = (vo cosθ ) uˆ x + (vo sin θ − gt ) uˆ y
2

gt
r
 uˆ y
r (t ) = (vot cosθ ) uˆ x +  vot sin θ −
2 

Questões:
Mostre que o valor do alcance é
vo2 sin (2θ )
R=
g
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
32
Trajectória do movimento
A trajectória é a curva descrita por um
móvel no espaço.
Se o movimento se efectuar a duas
dimensões, elimina-se o tempo das eqs
x=x(t) e y=y(t) para obter uma função do
tipo y=y(x),
Mostre que a trajectória descrita por um
projéctil é uma parábola.
trajectória
y = y(x )
y
r
r
r + ∆r
r
r
r
∆r
∆y uˆ y
∆x uˆ x
x
O vector velocidade é tangente à
trajectória. i.e.
r
v (t ) = v(t )uˆt
Onde ut é o vector unitário tangente
á trajectória e v(t) o módulo da
velocidade.
Por definição
r
∆r
r
v (t ) = lim
∆ t → 0 ∆t
Quer dizer que o vector velocidade é colinear
r
∆r
com
que, por construção é
tangente á trajectória (ver figura).
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
33
Movimento a duas e três dimensões
17E. Uma carabina é apontada na horizontal para um alvo distante 30 m. A bala acerta
o alvo a 1,9 cm abaixo do ponto visado. Quais são (a) o tempo de voo da bala? (b) o
módulo da sua velocidade ao sair da carabina? (R: 62 ms; 480 m/s)
18E. Uma bola rola horizontalmente para fora do tampo de uma mesa de altura 1,2 m.
Ela toca o chão a uma distância de 1,52 m da extremidade da mesa medida na
horizontal. (a) Quanto tempo fica a bola no ar? (b) Qual a velocidade escalar no
instante em que ela sai da mesa? (0,495 s; 3,07 m/s)
22E. Nos Campeonatos Mundiais de Atletismo de Pista e de Campo de 1991 em
Tóquio, Mike Powell saltou 8,95 m, batendo o recorde 23 anos do salto em distância
estabelecido por Bob Beamon por 5 cm. Suponha que a velocidade de Powell ao sair
do chão foi de 9,5 m/s (quase igual à de um velocista) e que g=9,80 m/s2 em Tóquio.
De quanto é que o alcance horizontal de Powell era menor que o máximo possível para
uma partícula com a mesma velocidade escalar de 9,5 m/s. (0,26 m)
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
34
Movimento a duas e três dimensões
28E. Você arremessa uma bola em direcção a uma parede com uma velocidade
de 25,0 m/s fazendo um ângulo de 40,0 º acima da horizontal. A parede está a
22,0 m do ponto de lançamento da bola. (a) A que distância acima do ponto de
lançamento a bola bate na parede? (b) Quais as componentes horizontal e vertical
da sua velocidade quando ela bate na parede? (c) Quando ela bate, ela já passou
do ponto mais alto da sua trajectória? (12; 19,2ux+4,8 uy; não)
40P. Durante uma partida de ténis um jogador serve a bola a 23,6 m/s, com o
centro da bola deixando a raquete horizontalmente a 2,37 m acima da superfície
da quadra. A rede está afastada 12 m e tem 0,90 m de altura. Quando a bola
alcança a rede (a) ela consegue passar sem tocá-la? (b) Qual a distância entre o
centro da bola e o alto da rede? (c e d) Suponha agora que a bola sai da raquete
fazendo um ângulo de 5,00 º abaixo da horizontal. Responda ás questões (a) e (b)
nestas circunstâncias. (+20 cm; -85.4 cm)
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
35
Equações do movimento uniformemente acelerado, 3D
Aceleração
Velocidade
Posição
Derivação
r
a
a x uˆ x

a y uˆ y

a z uˆ z
r
r
v = ∫ adt
v x = vox + a xt

v y = voy + a y t

v z = voz + a z t
r
r
r = ∫ v dt
Integração
r
a
r
v
Integração
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
g
r
ro
Derivação
v x = vox

v y = voy − gt


r
vo
y
Aplicação ao Lançamento de Projécteis, 2D
0

− guˆ y



a xt 2
 x = xo + vox t +
2


a yt 2
 y = yo + voy t +
2


azt 2
 z = zo + voz t +
2

r
r
 x = xo + vox t

gt 2

 y = yo + voy t −
2



x
36
Movimento Circular
O corpo descreve uma trajectória circular.
R – raio [m] do circulo descrito pelo corpo.
T – período [s]. Tempo necessário para completar um ciclo
No movimento circular uniforme, um
corpo descreve uma trajectória circular
levando sempre o mesmo tempo a
completar uma volta ou ciclo.
r
v
θ
f - frequência [Hz]. É o número de
ciclos por unidade de tempo
f =
R
1
T
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
37
Velocidade angular
A velocidade angular instantânea ω [rad/s] é o ângulo descrito por unidade de tempo.
ω=
dθ
dt
Se a velocidade angular fôr constante no tempo obtemos depois de
integrar,
θ
t
θo
to
r
v
∫ dθ = ∫ ωdt
θ − θ o = ω (t − to )
θ
R
Relação entre a velocidade angular e a frequência angular
ω=
θ −θo
t − to
=
2π
= 2πf
T
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
38
Aceleração angular
Se a velocidade angular ω variar no tempo então existe aceleração angular (α rad/s2)
α=
dω
dt
Se a aceleração angular fôr constante obtemos depois de integrar,
ω
t
ωo
0
∫ dω = ∫αdt
ω = ω o + αt
Nota: Nestas eqs. fixámos to=0
1
θ = θ o + ω ot + αt 2
2
Repare na correspondência com as expressões para
o movimento uniformemente acelerado 1D. Quais as
grandezas equivalentes ou análogas?
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
v = vo + at
at 2
x = xo + vot +
2
α é análogo a a
ω é análogo a v
θ é análogo a x
39
O módulo da velocidade no Movimento Circular
O módulo da velocidade ao longo do circulo, v (m/s), algumas vezes
imprópriamente chamada velocidade linear, está relacionada com a velocidade
angular e com o raio do circulo,
∆ l 2π R
=
= ωR
v=
∆t
T
r
v
O vector velocidade no movimento circular uniforme é:
1. Tangente á trajectória (como sempre)
2. Constante em módulo
3. Varia continuamente de direcção
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
40
Aceleração centrípeta
No movimento circular uniforme existe um tipo especial de aceleração chamada
centrípeta, responsável pela mudança na direcção da velocidade
uˆ t + ∆ uˆ t
A derivada da velocidade
r
v = vuˆt
r
duˆ
dv dv
= uˆt + v t
dt {
dt
dt
{
r
0
∆θ
ac
r
duˆ
duˆ
dv
= v t = v t (− uˆr )
dt
dt
dt
Qual a derivada de um vector unitário?
d 2
uˆt = 0
dt
duˆ
duˆ
d 2
d
uˆt = (uˆt ⋅ uˆt ) = 2uˆt ⋅ t = 0 ⇒ uˆt ⊥ t
dt
dt
dt
dt
( )
( )
û t
R
ûr
uˆ t + ∆ uˆ t = uˆ t = 1
A direcção do vector aceleração centrípeta
é perpendicular á tangente da trajectória. É
paralelo ao vector radial.
Tem o sentido negativo do vector radial
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
41
Aceleração centrípeta (cont.)
uˆ t + ∆ uˆ t
û t
r
duˆ
duˆ
dv
= v t = v t (− uˆr )
dt
dt
dt
2a
∆ût
∆θ
R
uˆ t + ∆ uˆ t
ûr
uˆ t + ∆ uˆ t = uˆ t = 1
 ∆θ 
2 sin 

∆uˆt
duˆt
v
∆θ 2
2 

= lim
= lim
=ω =
= lim
∆t → 0 ∆ t
∆t → 0
∆ t → 0 ∆t 2
dt
R
∆t
∆θ
2
û t
 ∆θ 
∆uˆt = 2 sin 

 2 
A aceleração centrípeta é
perpendicular á direcção da
velocidade e aponta sempre para
dentro do circulo,
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
v2
r
ac = − uˆr
R
42
Aceleração tangencial e total
No caso geral:
r
v = vuˆt
r
duˆ
dv dv
= uˆt + v t
dt {
dt
dt
{
r
r
at
ac
Se o módulo da velocidade linear variar então existe
aceleração tangencial,
r dv
at = uˆt
dt
O vector aceleração tangencial é colinear com a velocidade
e portanto tangente à trajectória.
Aceleração total
O vector aceleração (total) é a soma
vectorial das acelerações centrípeta e
tangencial.
O seu módulo é dado por,
Movimento circular
r
a
r
at
r
ac
r
a = ac2 + at2
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
43
Movimento circular
34E. Um satélite terrestre move-se numa órbita circular a 640 km acima da superfície da
Terra com um período de 98,0 min. Quais são os módulos (a) da velocidade (b) e da
aceleração centrípeta do satélite? (7.49x103 m/s; 8,00 m/s2)
51P. Um garoto rodopia uma pedra num circulo horizontal com um raio de 1,5 m e a uma
altura de 2,0 m acima do nível do chão. O fio parte-se e a pedra desprende-se
horizontalmente e bate no chão após percorrer uma distância horizontal de 10 m. Qual o
módulo da aceleração centrípeta da pedra enquanto estava em movimento circular? (163
m/s2)
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
44
Movimento Relativo
Um passageiro (S2), viajando de comboio, atira uma bola para outro passageiro com
uma velocidade v2.
Qual a velocidade v1 da bola, relativa a um observador (S1) que esteja parado na
estação?
S1
S2
estação
r
v1
comboio
r
v2
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
45
Transformação de Galileu
Temos para os vectores posição,
r r
r
r1 = r21 + r2
comboio
S2
estação
S1
r
r1
Onde r21 é a posição do comboio
relativamente á estação.
r
r2
r
r21
Derivando em ordem ao tempo,
r
r
r
dr1 dr21 dr2
=
+
dt
dt
dt
Simplificando,
comboio
S2
estação
S1
r r
r
v1 = v21 + v2
r
v1
r
v2
r
v21
Esta é a Transformação de Galileu:
A velocidade num referencial 1 é igual á velocidade no referencial 2 mais a
velocidade relativa do referencial 2 relativamente a 1.
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
46
Aceleração no movimento relativo
Se um objecto tiver uma aceleração a2 no referencial S2 qual será a aceleração a1,
no referencial S1, sabendo-se que a velocidade relativa entre os referenciais é
constante (em módulo, direcção e sentido).
r r
r
v1 = v21 + v2
Derivando a equação das velocidades,
comboio
S1
r
r
r
dv1 dv21 dv2
=
+
dt
dt
dt
r
dv21
=0
dt
S2
estação
r
v1
r
v2
r
v21
se a velocidade relativa entre os referenciais é constante. Assim,
r r
a1 = a2
Este resultado é muito importante no contexto da leis de Newton.
Dois referenciais cuja velocidade relativa é constante medem a mesma aceleração.
(Não é necessário que estejam em repouso entre si)
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
47
Movimento Relativo
56E. Pelas regras do rugby um jogador pode passar a bola legalmente para um
companheiro de equipe desde que o passe não seja para a frente. Suponha que o
jogador corre paralelamente ao comprimento do campo e no sentido do golo da
equipe adversária com uma velocidade de 4,0 m/s, enquanto passa a bola á
velocidade de 6 m/s em relação a ele mesmo. Qual é o menor ângulo contado a
partir da direcção do avanço que mantém o passe legal. (48,2º)
61P. Dois navios A e B, saem do porto ao mesmo tempo. O navio A navega para o
noroeste a 24 nós e o navio B navega a 28 nós numa direcção sudoeste fazendo
40º com o sul. (1 nó é igual a 1 milha marítima por hora) (a) Quais são o módulo, a
direcção e o sentido da velocidade do navio A em relação a B? (b) Após quanto
tempo os navios estarão afastados de 160 milhas marítimas? (c) Qual será o rumo
de B (a direcção da posição de B) em relação a A nesse tempo? (38 nós 1,5º na
direcção nordeste medido a partir do norte; 4,2 h; 1,5º na direcção sudoeste,
medido a partir do sul)
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
48
Movimento Relativo
Um elevador eleva-se com uma aceleração de 4 ft/s2. No instante em que a
velocidade é 8 ft/s um parafuso cai do tecto do elevador situado a 9 ft do solo (1 m =
3.28 ft). Quanto tempo demora o parafuso a atingir o solo? Que distância viajou o
parafuso relativamente ao prédio até esse instante?
Uma pessoa sobe uma escada rolante parada, com 15 m de comprimento, em 90 s.
Se a escada rolante estiver em movimento a pessoa leva 60 s. Quanto tempo leva a
mesma pessoa a ser transportada até ao cimo da escada rolante se subir a escada ao
mesmo tempo que a escada rolante está em movimento? A sua resposta depende do
tamanho da escada? (36 s)
Está a cair neve verticalmente com uma velocidade de 7.8 m/s. (a) Qual o ângulo com
a vertical e (b) a velocidade dos flocos de neve relativamente a um carro cuja
velocidade é 55 km/h?
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
49
Leis de Newton
1ª Lei de Newton ou Lei da Inércia
Na ausência de uma força resultante não nula todos os corpos tendem a manter o seu
movimento.
Quer dizer que:
Estando o corpo em repouso, permanecerá em repouso.
Se estiver em movimento, continuará em movimento rectilíneo e uniforme.
No entanto,
Sob a acção de uma FORÇA RESULTANTE não nula, o vector velocidade do corpo
terá necessáriamente que variar.
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
50
Segunda Lei de Newton
A resultante das forças que actuam sobre um corpo isolado é igual ao produto da
massa pela aceleração do corpo, i.e.,
r
r
∑ F = ma
r
F5
m
r
F1
r
F2
r
a
r
F4
r
F3
Esta é uma equação vectorial e por isso compreende um sistema de três equações
escalares:
∑ Fx = max
∑ Fy = ma y
∑ Fz = maz
A massa m de um corpo é uma quantidade escalar e relaciona a força aplicada com
a aceleração de um corpo.
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
51
Terceira Lei de Newton
Para cada força de acção existe uma força de reacção igual e oposta.
Se F21 é a força aplicada no corpo 2 pelo corpo 1, então existe uma força F12 aplicada
no corpo 1 pelo corpo 2, igual à primeira em módulo e direcção, mas de sentido
contrário. Estas forças tomam o nome de par acção-reacção.
Corpo 1
r
F12
r
F21
Corpo 2
Sistema
MUITA ATENÇÃO: as forças F21 e F12 têm pontos de aplicação diferentes.
Chama-se sistema a um conjunto de dois ou mais corpos. As forças de interacção
entre corpos de um mesmo sistema chamam-se forças internas.
Forças aplicadas por corpos externos ao sistema denominam-se forças externas
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
52
Diagrama do corpo livre
Consiste em isolar no espaço o corpo que nos interessa, substituindo por forças as
interacções e ligações com os outros corpos, pela sucessiva aplicação da Terceira Lei
de Newton.
Diagrama do corpo livre do livro
Vamos isolar o livro assente sobre a mesa…
Força aplicada pela mesa
sobre o livro
r
r
Flm = N
Situação inicial
r
P Força gravítica aplicada pela
Terra sobre o livro
livro
mesa
Terra
r
Fml
Força aplicada pelo
livro sobre a mesa
Terra
Qual a resultante das forças aplicadas ao livro?
r r
N+P
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
r
−P
Força gravítica aplicada
pelo livro sobre a Terra
53
Força Gravitacional
Um corpo abandonado de uma altura h, acima da superfície terrestre cai em
direcção à Terra com a aceleração da gravidade. Porquê?
R: Porque de acordo com a Segunda Lei de Newton existe uma força que puxa o corpo
para baixo. Qual o valor desta força?
r
r
F
=
m
a
∑
r
P = −mg uˆ y
− g uˆ y
y
r
P
A Força Gravitacional aplicada pela Terra sobre o corpo está, aplicada no centro de
massa do corpo, orientada no sentido do centro da Terra e vale mg.
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
54
Peso aparente de um corpo
1. Qual o peso de uma pessoa dentro de um elevador que tem uma
aceleração para cima de 2 m/s2?
2. E se aceleração do elevador fôr para baixo e com o mesmo valor?
3. Em que condições é que existirá imponderabilidade?
r
Pap
r
Fg
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
55
Quantidade de movimento linear
Definição:
A quantidade de movimento linear é uma grandeza vectorial dada por,
r
r
p = mv
Qual a direcção e sentido da quantidade de movimento?
E as suas unidades?
A segunda Lei de Newton é na verdade escrita da seguinte forma:
r
dv d (mv )
=
=
=
F
ma
m
∑
dt
dt
r dpr
∑ F = dt
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
56
Conservação da quantidade de movimento
Resolvendo em ordem à quantidade de movimento obtemos,
r dpr
∑ F = dt
r
p
t
r
r
(
)
F
dt
=
p
∫∑
∫ dt
r
po
0
r r
p − po
123
variação da
quantidade de
movimento
t
r
= ∫ (∑ F )dt
0 424
1
3
impulsão
Se a resultante das forças aplicadas no corpo fôr nula então a quantidade de
movimento conserva-se.
r r
p = po = cte
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
57
Força e Movimento I
19E. Um trenó foguete experimental pode ser acelerado a uma taxa constante partindo
do repouso até atingir 1600 km/h em 1,8 s. Qual é o módulo da força resultante
necessária se o trenó possuir uma massa de 500 kg.
29P. Uma esfera de massa 3,0 x10-4 kg está suspensa por um fio. Uma brisa sopra
ininterruptamente na direcção horizontal empurrando a esfera de tal forma que o fio faz
um ângulo constante de 37º com a vertical. Determine (a) o módulo daquele empurrão
e, (b) a tracção no fio.
31P. Dois blocos estão em contacto sobre uma mesa sem atrito. Uma força horizontal
é aplicada ao bloco maior, como se mostra na figura. (a) Se m1= 2,3 kg, m2= 1,2 kg e
F=3,2 N, determine o módulo da força entre os dois blocos. (b) Mostre que se a força
for aplicada no sentido contrario mas no bloco menor a força entre os dois blocos é 2,1
N e portanto diferente do calculado na alínea anterior. (c) Explique a diferença
r
F
m1
m2
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
58
Força e Movimento I
35P. Uma pessoa de 80 kg salta de pára-quedas e sentindo uma aceleração de 2,5 m/s2. A
massa do pára-quedas é de 5,0 kg. (a) Qual é a força para cima que o ar exerce sobre o
pára-quedas aberto? (b) Qual a força para baixo que a pessoa exerce sobre o páraquedas?
36P. Na figura, três blocos estão ligados e são puxados para a direita sobre uma mesa
horizontal sem atrito por uma força com um módulo de T3=65,0 N. Se m1= 12,0 kg, m2=
24,0 kg, m3= 31,0 kg, calcule (a) a aceleração do sistema e as tracções (b) T1 e (c) T2 nos
fios de ligação entre os blocos.
43P. Um bloco de massa m1= 3,70 kg, sobre um plano inclinado de 30,0º está ligado por
um fio que passa por uma roldana sem massa e sem atrito a um segundo bloco de massa
m1= 2,30 kg, suspenso verticalmente (ver figura). Quais são (a) o módulo da aceleração de
cada bloco e (b) a direcção e sentido da aceleração do bloco suspenso? (c) Qual é a
tracção no fio?
m1
T1
m3
T2
m3
T3
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
59
Força e Movimento I
47P. Um macaco de 10 kg sobe por uma corda sem massa pendurada num galho de
árvore. A corda tem presa do outro lado num caixote de 15 kg no chão. Qual o módulo
da menor aceleração que o macaco deve ter para que consiga levantar o caixote do
chão? (b) Se depois do caixote ter sido levantado, o macaco parar de subir quais serão a
aceleração e (c) a tracção na corda?
56P. Uma lâmpada está suspensa na vertical por um fio num elevador que desce e
desacelera a 2,4 m/s2. (a) Se a tracção no fio é de 89 N, qual é a massa da lâmpada?
(b) Qual será a tracção no fio quando o elevador subir com uma aceleração para cima de
2,4 m/s2?
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
60
Atrito sólido-sólido
Fio que puxa
2ª Lei de Newton
Atrito depende da natureza das
superfícies e da força de ligação que
comprime uma superficie contra a outra.
y
Diagrama do corpo livre
r
N = N uˆ y
x
r
f s = − f s uˆ x
r
T = T uˆ x
r
P = − P uˆ y
r
r
F
∑ = ma
em y : N − P = 0 ⇒ N = mg
em x : T − f s = ma
Em y: não existe aceleração e
como o corpo em y está
inicialmente em repouso vai
continuar em repouso.
Em x: Para que o corpo se
movimente é necessário que a
tensão do fio T seja maior que a
força de atrito.
fs é a força de atrito e é sempre
contrária ao movimento
Porque é que a força de atrito é, em módulo, sempre menor que T?
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
61
Propriedades do Atrito Estático
As equações do movimento são:
em y : N − P = 0 ⇒ N = mg
em x : T − f s = ma
Enquanto o corpo estiver em repouso é
porque a força de atrito equilibra a força
T aplicada no corpo pelo fio, i.e.
fs
Força de atrito em função da
Tensão aplicada pelo fio
f s ,max = µ s N
fk = µk N
fs = T
T
T
fs
A força de atrito estático pode ter
qualquer valor até a um máximo que
depende das superficíes e da força
normal dado por:
f s ,max = µ s N
Então a partir do instante em que T>µsN
o corpo iniciará o seu movimento.
Tabela de coeficientes de atrito estático e cinético
Superficies
µs
Madeira sobre Madeira
0,25-0,5 0,2
Vidro sobre Vidro
0,9-1,0
0,4
Aço sobre aço, sup. limpas
0,6
0,6
Aço sobre aço, lubrificadas
0,09
0,05
Borracha sobre betão
1,0
0,8
Teflon sobre Teflon
0,04
0,04
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
µk
62
Atrito cinético
Depois do corpo iniciar o seu movimento a força de atrito diminui para um
valor menor denominado o atrito cinético,
y
Diagrama do corpo livre
r
N = N uˆ y
x
r
f s = − µ k N uˆ x r
P = − P uˆ y
r
T = T uˆ x
fs
Força de atrito em função da
Tensão aplicada pelo fio
f s ,max = µ s N
fk = µk N
T
As equações do movimento do bloco deslizando nestas condições são,
em y : N − P = 0 ⇒ N = mg
em x : T − f k = ma ⇒ a =
T − µ k N T − µ k mg
=
m
m
A força de atrito cinético mantém-se presente enquanto o corpo se estiver em
movimento.
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
63
Atrito sólido-fluido http://www.engineeringtoolbox.com/21_627.htm
Um sólido que se desloque, no interior de um fluido, com uma velocidade v
suficientemente rápida, sente uma força de resistência FD oposta ao movimento.
r
FD
FD = − 12 Cd ρAv 2 uˆt
FD é a força de resistência do ar
Cd é o coeficiente de arrasto (drag coefficient).
ρ é a massa específica do fluido (exemplo: ar)
A é a área da secção transversal efectiva
v é a velocidade relativa entre o sólido e o fluido
r
v
r
P
Quais as unidades de Cd?
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
64
Coeficiente de arrasto e a forma dos objectos
OBJECTO
CD
Corpo aerodinâmico
0.1
Carro desportivo
0.2 - 0.3
Esfera
0.47
Carro (típico)
0.5
Station Wagon
0.6
Cilindro
0.7-1.3
Ciclista
0.9
Camião
0.8 - 1.0
Motorciclista
1.8
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
65
Coeficiente de arrasto e a Lei de Stokes.
No trabalho prático o escoamento do liquido em torno do sólido (esfera) é laminar
(i.e. sem remoinhos) dando lugar a uma dependência linear da força de atrito com a
velocidade do corpo,
r
r
FD = −(6πR )ηv
r
FD
r
v
Sendo η a viscosidade do meio.
Qual a unidade da viscosidade?
r
P
A força de resistência do ar quando o escoamento é laminar é do tipo viscoso.
Quando a velocidade aumenta acima de um certo limite a força de resistência é
essencialmente aplicada na massa de ar para que este saia do caminho.
A viscosidade da glicerina depende da temperatura sendo 1.49 Pa⋅sec a 20ºC, e
0.95 Pa⋅sec a 25ºC.
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
66
Velocidade terminal na queda livre dos graves
Um corpo que cai no ar, tem aplicadas três forças (ver figura):
1. Força da gravidade, P
2. Força de resistência do ar, D
3. Força de impulsão hidrostática, I (vamos considerá-la desprezável)
r
r
Pela Segunda Lei de Newton, ∑ F = ma
r r
r
P + D = ma
no eixo y : mg − 12 Cd ρAv 2 = ma
∴ a = g − 12
Cd ρAv
m
2
r
D
r
I ≈0
y
r
P
A aceleração no inicio da queda é 9,8 m/s2, e vai diminuindo á medida que
aumenta a velocidade. A aceleração será nula quando,
vterm =
2mg
Cd ρA
Velocidade terminal
Faça o cálculo da velocidade terminal de um pingo de chuva de raio 1,5 mm.
Suponha que Cd=0.6 e que a massa específica do ar é 1,2 kg/m3
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
67
Força centrípeta
Um corpo em movimento circular uniforme tem uma aceleração centrípeta:
v2
r
ac = − uˆr
r
Pela Segunda Lei de Newton, a Resultante das
Forças aplicadas nesse corpo terá
necessariamente que ser uma força centrípeta com
a mesma direcção da aceleração, (i.e. orientada
para dentro do círculo) e que verifica:
r
mv 2
Fc = −
uˆr
r
r
r
F
=
m
a
∑
c
ûr
r
mv 2
Fc = −
uˆr
r
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
68
Forças de Inércia
A Segunda Lei de Newton pode escrever-se da seguinte forma:
r
r
F
∑ − ma = 0
Se fizermos uma substituição de variáveis,
r
r
Fi = − ma ⇒
r r
∑ F + Fi = 0
Transformamos uma equação do movimento numa equação de equilíbrio de
forças. Chama-se a Fi força de inércia. Esta força tem a mesma direcão da
aceleração mas sentido contrário sendo o seu módulo igual a ma.
Aplicação ao movimento circular,
r r
∑ F + Fci = 0
r
mv 2
r
sendo Fci = −mac =
uˆr
r
A resultante das forças aplicadas e a força
centrifuga de inércia estão em equilíbrio
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
69
Referências inerciais
Uma pessoa, sobre a Terra, lança uma bola na
direcção Norte-Sul.
Essa pessoa vê um desvio da bola para oeste mas não
sabe a razão da variação do vector-velocidade.
Neste caso não é válida a Primeira Lei de Newton
Um referencial inercial é um referencial onde é válida a primeira lei de
Newton.
Em contraste nos referenciais não-inerciais a primeira Lei de Newton não é
válida pois possuem uma aceleração não nula.
A Terra, em rigor, não é um referencial inercial embora, para pequenos
movimentos, possamos assumir que é um referencial inercial.
Qual a aceleração de um corpo em repouso sobre a Terra a 45º de latitude?
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
70
Força e Movimento I
1E. Uma cómoda com uma massa de 45 kg, incluindo aí gavetas e roupas, está
apoiada sobre o chão. (a) Se o coeficiente de atrito estático entre a cómoda e o chão
for de 0,45 qual será a intensidade da força horizontal mínima que uma pessoa deve
aplicar para fazer com que a cómoda se comece a mover. (b) Se as gavetas e roupas,
que juntas possuem uma massa de 17 kg, forem removidas antes de a cómoda ser
empurrada, qual será a nova intensidade mínima? (200 N; 120 N)
2E. O coeficiente de atrito estático entre o Teflon e os ovos mexidos é de
aproximadamente 0,04. Qual o menor ângulo, medido em relação à horizontal, que
fará os ovos deslizarem no fundo de uma frigideira revestida com Teflon.
6E. Uma casa é construída no alto de um morro que apresenta um talude próximo de
45 º. Um estudo de engenharia indica que o ângulo do talude deveria ser reduzido,
pois as camadas superiores do solo do talude poderiam escorregar sobre as camadas
inferiores. Se o coeficiente de atrito estático entre as duas camadas é de 0,50, qual o
menor ângulo φ que o talude deveria ser reduzido, para evitar o deslizamento?
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
71
Força e Movimento I. Problemas.
8E. Na figura uma alpinista de 49 kg está a escalar uma chaminé entre duas paredes de
rocha. O coeficiente de atrito estático entre os seus sapatos e a pedra é 1,2 e entre as
suas costas e a pedra é de 0,80. Ela reduziu a força com que empurrava a pedra até que
suas costas e seus sapatos estivessem na eminência de deslizar. (a) Desenhe um
diagrama de corpo livre para a alpinista. (b) Qual a força com que ela empurra a pedra?
(c) Que fracção do seu peso é suportada pela força de atrito nos seus sapatos?
20P. Uma força P paralela à superfície inclinada de 15º
para cima da horizontal, actua sobre um bloco de 45 N,
como mostrado na figura. Os coeficientes de atrito entre
o bloco e a superfície são µs=0,50 e µk=0,34. Se o
bloco está inicialmente em repouso, determine o
módulo, a direcção e o sentido da força de atrito que
actua sobre o bloco para as seguintes intensidades da
força P: (a) 5,0 N, (b) 8,0 N e (c) 15 N.
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
72
Forças e Movimento. Problemas.
22P. Na figura dois blocos estão ligados por um fio que passa por uma polia. A massa
do bloco A é de 10 kg e o coeficiente de atrito cinético entre A e a rampa é de 0,20. O
ângulo de inclinação da rampa é de 30º. O bloco A desliza para baixo com velocidade
constante. Qual a massa do bloco B?
25P. Os dois blocos (com m=16 kg e M=88 kg) mostrados na figura não estão presos
um ao outro. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é de ms=0,38, mas a
superfície em baixo do bloco maior é lisa e sem atrito. Qual a menor intensidade da
força horizontal F necessária para evitar que os blocos escorreguem entre si? (490N)
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
73
Forças e Movimento. Problemas.
37E. Suponha que o coeficiente de atrito estático entre os pneus de um carro de corrida
de Fórmula 1 seja de 0,6 durante um Grande Prémio de Automobilismo. Que velocidade
deixará o carro na eminência de derrapar ao efectuar uma curva horizontal de raio 30,5
m de raio? (cerca de 48 km/h)
42P. Um ciclista desloca-se num circulo de raio 25,0 m a uma velocidade constante de
9,00 m/s. O conjunto bicicleta-ciclista possui uma massa total de 85,0 kg. Calcule a
intensidade (a) da força de atrito que a pista exerce sobre a bicicleta, (b) da força
resultante que a pista exerce sobre a bicicleta.
43P. Um estudante pesando 667 N passeia numa roda-gigante que gira a uma
velocidade constante ( o estudante está sentado com as costas erectas). No ponto mais
elevado, a intensidade da força normal N que o assento exerce sobre o estudante é de
556 N. (a) O estudante sente-se mais leve ou mais pesado nessa posição? (b) Qual a
intensidade de N no ponto mais baixo? (c) Qual a intensidade N se a velocidade com que
a roda gira for duplicada? (leve; 778 N)
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
74
Forças e Movimento. Problemas.
41P. Um disco de hóquei no gelo de massa m desliza sobre uma mesa sem atrito,
enquanto permanece ligado a um cilindro em repouso de massa M, pendurado por
um fio que passa por um buraco feito na mesa. Que velocidade do disco mantém o
cilindro em repouso?
Mgr m
47P. Como é mostrado na figura, uma bola de 1,34 kg está ligada, por dois fios de
massa desprezável, a uma haste que gira em torno de um eixo vertical. Os fios
estão ligados à haste e estão esticados. A tracção no fio de cima é de 35 N. (a)
Desenhe o diagrama de corpo livre para a bola. (b) Qual a tracção no fio de baixo?
(c) Qual a força resultante sobre a bola e (d) Qual a velocidade. (8,74 N; 37,9 N; na
direcção radial para dentro; 6.45 m/s)
Fig. 47P
Fig. 41P
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
75
Trabalho e Energia. Trabalho efectuado por uma Força.
r r
W1 = F1 s cos(θ )
Definição: O trabalho W1 realizado pela força F1 é,
r
r
r
F1
F
F2
2
θ
r
F1
1
r
F4
r
F3
r
s
r
F4
r
F3
θ1 é o ângulo entre a força F1 e o vector-deslocamento s
O Trabalho Total é a soma dos trabalhos individuais efectuados por cada uma das forças
Wt = ∑Wi
Unidades: As unidades de trabalho são N.m =Joule.
O trabalho é um escalar ou um vector?
NOTA: Embora a força seja invariante para todos os referenciais de inércia, o percurso s
não é invariante. Por isso, o trabalho pode variar de observador para observador inercial.
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
76
Exemplos de trabalhos efectuados por Forças constantes
r
N
1. Trabalho realizado pela Força Normal ao plano
r
N
s
WN = N cos(90) s = 0
O trabalho realizado pelas forças perpendiculares ao deslocamento é nulo.
2. Trabalho realizado pela Força de Atrito Cinético
r
Fa
WFa = Fa cos(180) s = − Fa s
r
Fa
s
O trabalho realizado pela força de atrito é negativa.
3. Trabalho realizado pela Força Gravítica
r
WP = P l cos(θ ) = mgl sin (α ) = mgh
a
b
O trabalho realizado pelo peso não depende do
ângulo do plano inclinado mas apenas do desnível
entre as posições inicial e final.
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
α
l
θ
h = l sin(α ) = l cos(θ )
r
P
77
Definição de trabalho infinitésimal
Quando a força varia no percurso considerado a definição de trabalho continua
válida mas agora apenas para um percurso infinitésimal.
Se o percurso em causa fôr infinitesimal,
r
F
θ
r
F
r
dr
r
dr = ds
r
r r
dW = F cos(θ ) ds = F ⋅ dr
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
78
Forças em Molas
0
0
x1
x2
0
Fm1
Fm2
A mola aplica no objecto uma força Fm no sentido contrário da sua extensão x,
de forma a repor o seu comprimento inicial.
Quanto mais se desloca do equilíbrio maior é a força aplicada pela mola, i.e.
Fm = −kx
Fm
x
Onde x é o deslocamento da extremidade da mola relativamente ao seu ponto
de equilibrio e
k é a constante da mola cujas unidades são N/m e mede a sua rigidez.
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
79
Trabalho efectuado pela força de uma mola
Qual o trabalho realizado pela força da mola sobre o objecto, quando este se
desloca de xi para xf?
0
r
dW = Fm cos(180) dx
xf
xi
dx x
f
Fm
∫ dW = ∫ kx(− 1) dx
xi
W =−
kx 2f
2
+
kxi2
2
Se a posição inicial for xi=0 (i.e. sem extensão inicial), o trabalho realizado pela
mola para elongar até x será,
kx 2
W =−
2
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
80
Energia cinética
De acordo com a segunda Lei de Newton,
r
r
dv
∑ F = m dt
Se o problema tiver uma dimensão:
dv
dt
(∑ F ) dx = m dv dx
dt
(∑ F ) dx = m dv dx dt
dt dt
(∑ F ) dx = mv dv dt
dt
∑F = m
( )
m d v2
(∑ F ) dx =
dt
2 dt
 mv 2 
(∑ F ) dx = d  
 2 
Integrando entre dois instantes t2 e t1,
x2
v2
 mv 2 
∫ (F1 + F2 + F3 + ...) dx = ∫ d  2 

x1
v1 
mv22 mv12
−
W1 + W2 + W3 + ... =
2
2
W1 + W2 + W3 + ... = Ec 2 − Ec1
Chamamos energia cinética a:
mv 2
Ec =
2
NOTA: Pode-se provar que esta equação
é válida também para o movimento a três
dimensões.
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
81
Teorema do Trabalho-Energia: consequências
W1 + W2 + W3 = ∆Ec
WR = ∆Ec
1. O trabalho da força resultante é igual ao somatório dos trabalhos efectuados por
cada uma das forças aplicadas.
2. A soma do trabalhos efectuados pelas forças aplicadas, é igual á variação
da energia cinética da partícula.
Este é o teorema do trabalho-energia e também é válido a três dimensões.
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
82
Potência
A potência é o trabalho realizado por unidade de tempo: P =
A potência instantânea é dada por: P =
A potência de uma força F cujo
ponto de aplicação se movimenta
com velocidade v é dada por:
∆W
∆t
dW
dt
r r
r
dW F ⋅ dr r dr r r
P=
=
= F ⋅ = F ⋅v
dt
dt
dt
r r
P = F v cos(θ )
Unidades
A unidade SI de potência é o Watt = 1 J/s
Existem outras unidades de potência regularmente utilizadas como o cavalo-vapor,
1 Cv (hp) = 746 W
É costume definir uma unidade de trabalho/energia denominada kW.h que
corresponde á energia produzida/consumida durante uma hora á taxa de 1 kW. A
quantos Joules correspondem 1 kW.h?
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
83
Trabalho e Energia. Problemas.
11P. A Figura mostra três forças aplicadas a um baú que se move
3,0 m para a esquerda sobre um piso sem atrito. Os módulos das
forças são F1=5,00 N, F2=9,00 N e F3=3,00 N. Durante o
deslocamento, (a) Qual é o trabalho resultante que as três forças
realizam sobre o baú? (b) A energia cinética aumenta ou diminui?
r
F1
r
F2
60°
r
F3
17P. Um helicóptero eleva uma astronauta de 72 kg verticalmente,
15m a partir do oceano, por meio de um cabo. A aceleração da
astronauta é g/10. Qual o trabalho realizado sobre a astronauta? (a)
Pela força do helicóptero e (b) pela força gravitacional que age sobre
ela? Quais são: (c) a energia cinética e (d) a velocidade da
astronauta imediatamente antes de ela alcançar o helicóptero?
22P. Um bloco de 250 g é solto sobre uma mola vertical sem
deformação que possui uma constante da mola k = 2,5 N/cm. O
bloco passa a ficar preso à mola comprimindo-a 12 cm antes de
parar por um instante. Enquanto a mola estiver a ser comprimida,
qual o trabalho realizado sobre o bloco (a) pela força gravitacional
que age sobre ele e (b) pela força da mola? (c) Qual velocidade da
bloco imediatamente antes de acertar a mola? (Suponha que o atrito
seja desprezável) (d) Se a velocidade no impacto for duplicada qual
será a compressão máxima da mola?
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
84
Trabalho e Energia. Problemas.
30E. A cabine carregada de um elevador possui uma massa de 3,0 x 103 kg e sobe
210 m em 23 s com velocidade constante. Qual será a taxa média de trabalho
realizado pela força do cabo do elevador sobre a cabine?
33P. Uma força de 5,0 N actua sobre um corpo de 15 kg inicialmente em repouso.
Calcule o trabalho realizado pela força (a,b e c) no primeiro, no segundo e no terceiro
segundos, e (d) a potência instantânea devida à força actuante no final do terceiro
segundo.
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
85
Forças conservativas e Energia Potencial
Trabalho realizado pela força da gravidade
O trabalho realizado pelo peso é mgh como já vimos. É independente da
inclinação do plano inclinado e só depende do desnível entre as posições inicial e
final.
y
yi
yf
(
W = mg yi − y f
)
O trabalho só depende das posições inicial e final.
Se o corpo voltar à posição inicial qual será o trabalho total?
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
86
Trabalho realizado por uma mola
O trabalho efectuado por uma mola sobre um corpo, quando esta se elonga de xi
para xf, é dado por,
2
kxi2 kx f
W =
−
2
2
xi
xf
O trabalho só depende das posições inicial e final.
Se o corpo voltar à posição inicial qual será o trabalho total?
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
87
Trabalho realizado pela força de atrito cinético
É sempre negativo.
W = − Fac s
Mesmo que o corpo volte á posição inicial, o trabalho total não será nulo.
A que será igual o trabalho total realizado pela força de atrito cinético?
r
s
r
Fac
r
Fac
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
88
Forças Conservativas
Exemplos de forças conservativas
A força da gravidade e a força da mola são forças conservativas
A força de atrito é uma força não-conservativa.
Propriedades das forças conservativas
1. Num ciclo o trabalho de uma força conservativa é nulo.
2. O trabalho realizado por uma força conservativa depende apenas das posições
inicial e final e é independente do caminho utilizado.
3. O trabalho de uma força conservativa pode, ser expresso pela variação no valor
de uma função U(r), que depende apenas da posição da partícula. A esta função
chama-se a energia potencial.
r
U (r2 ) ≡ U ( x2 , y2 , z 2 )
r
U (r1 ) ≡ U ( x1 , y1 , z1 )
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
89
Energia Potencial
Por conveniência é costume definir-se essa função da seguinte forma:
W = U1 − U 2 = −(U 2 − U1 ) = −∆U
U2
U1
i.e. o trabalho realizado por uma força conservativa é o simétrico da variação da
energia potencial.
É portanto uma função pontual que depende apenas dos pontos inicial e final e não
do que se passa entre esses dois pontos.
Se a energia potencial diminui o trabalho realizado pela força é positivo
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
90
Energias Potenciais
W = −∆U = U1 − U 2
TAREFA: Tendo uma equação para o trabalho de uma força, deduzir a energia
potencial que faz com que a respectiva variação seja igual ao trabalho
realizado?
1
1
Wg = mghi − mgh f
Wm = kxi2 − kx 2f
2
2
h
hi
hf
Energia potencial gravítica
Energia potencial da mola
U g = mgh
1
U m = kx 2
2
xi
xf
Verifique também que a derivada da energia potencial numa determinada direcção
dá a componente da força nessa direcção. i.e.
r r
∂U
uˆr = Fr uˆr
dU = − F ⋅ dr ⇒ −
∂r
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
91
Conservação de energia
∆Ec = Wg + Wm + W3 + W4 + W5
Teorema do trabalho-energia,
Considerou-se por hipótese, que um dos trabalhos é realizado pela força da gravidade
e o outro pela força de uma mola.
W g = − ∆U g 
 ⇒ ∆Ec = − ∆U g + (− ∆U m ) + Wnc
Wm = −∆U m 
O trabalho Wnc é o somatório dos trabalhos excluindo os trabalhos das forças gravítica e
da mola.
(
Usando a definição de energia
potencial obtemos,
Expandindo e agrupando,
)
(Ec 2 + U g 2 + U m2 ) − (Ec1 + U g1 + U m1 ) = Wnc
Á soma das energias cinética e potenciais
denominamos energia mecânica,
Emec = Ec + U g + U m
Concluimos então que a variação da energia mecânica
é igual ao trabalho das forças não conservativas, i.e.,
∆Emec = Wnc
Se o trabalho Wnc, das forças não-conservativas fôr nulo então a energia mecânica
conserva-se,
∆Emec = 0
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
92
Energia potencial. Conservação de energia. Problemas.
11. (a) Que velocidade inicial mínima deve ser dada á bola para que ela
alcance a máxima posição vertical? (b,c) Qual então as velocidades: no
ponto mais baixo e no ponto do lado direito à mesma altura do ponto
inicial? (d) Se a massa da bola duplicasse as suas respostas às alíneas
anteriores aumentavam, diminuíam ou permaneceriam constantes?
13. Um camião desgovernado, cujo freio não funciona, move-se ladeira
abaixo a 130 km/h, imediatamente antes de o motorista desviá-lo em
direcção a uma rampa de emergência sem atrito e com inclinação para
cima de 15º. A massa do camião é de 5000 kg. (a) Qual o comprimento
mínimo L que deve possuir a rampa para que o camião pare ao longo
dela? (b) Esse comprimento varia com a massa do camião? (c) E com a
sua velocidade? (d) Esta rampa, em particular, serviria o propósito para
que foi construída?
16. A figura mostra uma pedra de 8,00 kg em repouso em cima de uma
mola. A mola está comprimida de 10,0 cm pela pedra. (a) Qual a
constante da mola? (b) A pedra é empurrada para baixo mais 30,0 cm e
é então solta. Qual a energia potencial elástica da mola comprimida
imediatamente antes de a pedra ser solta? (c) Qual a variação da energia
potencial gravitacional do sistema pedra-Terra quando a pedra se move
do ponto em que foi solta até à altura máxima? (d) Qual será essa altura
máxima, medida a partir do ponto em que a mola é solta?
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
93
Energia potencial. Conservação de energia. Problemas.
20. Na figura, quais são (a) a componente horizontal e (b) a
componente vertical da força resultante que age sobre o bloco no
ponto Q? (c) De que altura h, o bloco deve ser solto do repouso, de
modo que ele esteja na iminência de perder contacto com a pista no
ponto mais alto do loop? Faça um gráfico da intensidade da força
normal sobre o bloco no ponto mais alto do loop em função da altura
inicial na faixa de h=0 até h=6R.
21. Na Figura D, solta-se um bloco de 12 kg a partir do repouso numa
rampa de 30º sem atrito. Abaixo do bloco está uma mola que pode ser
comprimida 2,0 cm por uma força de 270 N. O bloco pára por um
instante, ao comprimir a mola de 5,5 cm. (a) Que distância percorre o
bloco ao longo da rampa até parar? (b) Qual a velocidade do bloco no
exacto momento em que toca a mola?
63P. Uma partícula pode deslizar ao longo de uma pista com as
extremidades elevadas e uma parte central plana de comprimento L
como se mostra na figura. Não há atrito nas partes curvas mas, na
parte plana, o coeficiente de atrito cinético é 0,2. A partícula é solta do
ponto A, a uma altura ho=L/2. Aonde a partícula irá parar?
A
ho
L
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
94
Energia potencial. Conservação de energia. Problemas.
37P. A energia potencial de uma molécula diatómica (um sistema de dois átomos
como o H2 ou o O2) é dada por,
A B
U = 12 − 6
r
r
onde r é a separação entre os dois átomos da molécula e A e B são constantes
positivas. Esta energia potencial está associada à força que mantém os dois átomos
juntos. (a) Encontre a separação de equilíbrio Ro, isto é a distância para a qual a
força de interacção não é nem repulsiva nem atractiva; (b) Se a distância entre os
dois átomos for maior que Ro a força de interacção é repulsiva ou atractiva?
61P. Uma pedra com peso igual w é lançada no ar para cima, na direcção vertical, a
partir do nível do solo com velocidade inicial vo. Se uma força constante f, devida á
força de arrasto do ar, actuar sobre a pedra do inicio ao fim do seu voo
(a) Mostre que a altura máxima alcançada pela pedra será,
vo2
h=
2 g (1 + f w)
(b) Mostre que a velocidade da pedra imediatamente antes do impacto contra o solo
será,
12
w− f 
v = vo 

w
+
f


Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
95
Energia potencial entre dois átomos
0.5
0.4
Energia potencial
0.3
U=
0.2
A
r12
−
B
r6
0.1
0
-0.1
-0.2
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
distância
2.2
2.4
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
2.6
2.8
96
Energia potencial. Conservação de energia. Problemas.
10. A mola A é mais rígida do que a mola B; isto é kA>kB. Qual das molas realizará
mais trabalho se as molas forem comprimidas (a) da mesma distância? (b) pela mesma
força aplicada?
54. Um fardo de 4,0 kg começa a subir um plano inclinado de 30º com uma energia
cinética de 128 J. Até que distância ele conseguirá deslizar para cima do plano
inclinado se o coeficiente de atrito cinético entre o fardo e o plano inclinado for de 0,30?
26. Tarzan, que pesa 688 N, salta de um penhasco balançando-se na extremidade de
uma liana de 18 m de comprimento. Ele desce 3,2 m do alto do penhasco até ao ponto
mais baixo em que larga a liana. A liana rompe-se quando a força que actua sobre ela
excede 950 N. (a) Será que a liana se rompe? (b) Caso não se rompa, qual a maior
força que actua sobre a liana durante o balanço? (c) Caso se rompa, qual será o ângulo
com a vertical no instante da ruptura?
27. Duas crianças jogam tentando atingir uma caixa no chão com um berlinde lançado
por uma mola assente sobre uma mesa. A caixa está a uma distância de 2,20 m da
extremidade da mesa medida na horizontal. Sabendo que, quando Bobby comprimiu a
mola de 1,10 cm o berlinde ficou a 0,27 cm da caixa, de quanto deverá Rhoda
comprimir a mola para que o seu tiro seja certeiro?
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
97
Quantidade de Movimento Angular
Uma partícula que se move relativamente a um sistema de eixos tem,
Quantidade de Movimento Linear
r
r
p = mv
z
r
v
r
r
Tem também relativamente á origem do
sistema de eixos uma
y
Quantidade de Movimento Angular
r r r r
r
l = r × p = r × mv
x
O vector Quantidade de Movimento Angular é
perpendicular ao plano formado pelos vectores posição
e velocidade e o seu módulo é dado por:
φ
r⊥
l = r sen(φ ) mv = r⊥ p
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
r
v
r
r
Vista de topo em relação ao
plano formado pelos vectores
posição e velocidade
98
A Segunda Lei de Newton na forma Angular
Para uma partícula sabemos que,
r dpr
Fi =
∑
{
dt
r
Fres
i.e. A resultante das forças aplicadas é igual á taxa de variação da quantidade de
movimento linear. Se a resultante das forças for nula a variação também é nula.
Podemos mostrar que em relação á quantidade de
movimento angular,
r
Torque da força i
r r r
r dl
τ
τ
=
i = r × Fi
∑
i
{
dt
r
τ res
i.e. Para uma partícula a resultante dos torques é
igual á taxa de variação da quantidade de
movimento angular.
Corolário: Se o torque resultante for nulo a variação
também é nula.
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
z
r
r
r
r
F
2
F1
r
r
F
3
F4
y
x
φ
r
F
r⊥
τ = r sen(φ ) F = r⊥ F
99
Movimentos Linear (1D) e de Rotação (analogias)
Linear
Angular
Posição
x
θ
Velocidade
v
ω
Aceleração
a
α
Movimento velocidade constante
Velocidade
Posição
v = cte
ω = cte
x = xo + vt
θ = θ o + ωt
Movimento aceleração constante
Aceleração
a = cte
α = cte
Velocidade
v = vo + at
ω = ωo + αt
x = xo + vot + at 2 2
θ = θ o + ω ot + αt 2 2
Posição
Fisica ID, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
100
Rotação
2E. Qual a velocidade angular (a) do ponteiro dos segundos, (b) do
ponteiro dos minutos, e (c) do ponteiro das horas de um relógio
analógico. Responda em radianos por segundo.
6P. A roda da figura tem oito raios igualmente espaçados e um
diâmetro de 60 cm. Ela está montada num eixo mecânico fixo e está
girando a 2,5 ciclos/s. Você quer atirar uma flecha de 20 cm paralela
a este eixo que atravesse a roda sem acertar nenhum dos raios.
Suponha que a flecha e os raios sejam bem finos. (a) Qual a
velocidade mínima que a flecha deve ter? (b) Será importante saber
o lugar para onde você mira, entre o eixo e a borda da roda? Se for
qual o melhor lugar?
9E. O prato de um gira-discos girando a 33 1/3 rpm desacelera e
pára 30 s depois de o motor ser desligado. (a) Determine a sua
aceleração angular (constante) em rotações por minuto quadrado.
(b) Quantas voltas ele completa neste tempo?
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
101
Rotação
29P Na figura o volante de raio rA=10 cm está acoplado por uma
correia B a um volante C de raio rC=25 cm. Aumenta-se a
velocidade angular do volante A a partir do repouso a uma taxa
constante de 1,6 rad/s2. Determine o tempo para que o volante C
alcance uma rotação de 100 rpm supondo que a correia não
deslize.
32P. Um prato de um gira-discos gira a uma velocidade de 33 1/3 rpm. Uma semente
de melancia está sobre o prato a 6,0 cm do eixo de rotação. (a) Calcule a aceleração
da semente supondo que ela não desliza. (b) Qual o valor mínimo do coeficiente de
atrito estático entre a semente e o prato a fim de que a semente não deslize? (c)
Suponha que o prato atinge a sua velocidade angular partindo do repouso e sofrendo
uma aceleração angular constante durante 0,25 s. Calcule o coeficiente de atrito
estático mínimo necessário para que a semente não deslize durante o período de
aceleração.
18P. Uma roda girando em torno de um eixo fixo que passa pelo seu centro possui uma
aceleração constante de 4,0 rad/s2. Num certo intervalo de 4,0 s a roda descreve um
ângulo de 80 rad. (a) Qual a velocidade angular da roda no inicio do intervalo de 4,0 s?
(b) Supondo que a roda parte do repouso há quanto tempo ela estava em movimento
no inicio do intervalo de 4,0s?
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
102
Gravitação
Força gravitacional de interacção
G é a constante de gravitação. Determine as suas unidades. G= 6,67 x 10-11 N.m2/kg2
r
Mm
Fg = −G 2 uˆr
r
Terra
ûr
MT= 5,98x1024 kg
RT= 6,37x106 m
Distância Terra-Lua: 3,82x108 m
Lua
ML= 7,36x1022 kg
RL= 1,74x106 m
Qual a relação entre o peso e a força de atracção gravitacional?
Qual o valor da aceleração da gravidade g, em função da massa e do raio da Terra?
Qual o período de revolução de um satélite geostacionário? A que distância da Terra
se situa a órbita geostacionária?
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
103
Energia potencial gravitacional
A energia potencial de gravitação é,
Ug
U g = −G
Ec
Mm
r
Emec
r
U g = −G
Mm
r
Mostre que, á superfície terrestre, a variação
da energia potencial quando nos elevamos de
h é, aproximadamente, mgh.
Qual a energia cinética necessária a um projéctil para sair do campo gravitacional
terrestre?
Mostre que, (ver definição de força conservativa)
Fg = −
Fisica IA, Carlos Dias 04-05, http://sme.dcm.fct.unl.pt/u/dias/docencia/FISI/fisica1.htm
∂U g
∂r
104