III.9 - A LEI DE AMP RE

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A LEI DE AMPÉRE
13.1 - A LEI DE AMPÉRE
De acordo com o exemplo 10.1 a densidade de fluxo B a uma distância r de um fio reto e longo é:
B=
µI
2 πr
(Wb / m 2 )
(13.1)
onde µ é a permeabilidade magnética do meio, e I a corrente que passa pelo condutor.
Se B for integrado ao longo de um caminho L circular de raio r, circundando o condutor, teremos:
G
G
µI
µI
(13.2)
∫ B. dL = 2πr ∫ dL = 2πr 2πr
l
l
G G
∫ B.dL = µI
(13.3)
l
A equação 13.3 é válida quando se considera qualquer caminho fechado L. Ela pode tornar-se
G
independente do meio utilizando-se o vetor intensidade de campo magnético, H , definido pela relação:
G
G B
H=
µ
(A / m)
(13.4)
portanto:
G
G
∫ H. dL = I
(13.5)
(A )
l
Essa relação é conhecida como a Lei de Ampére, e diz que:
G
A integral de linha do vetor intensidade de campo magnético H ao longo de um
caminho fechado L, é igual a corrente total envolvida por esse caminho
Conceito
Exemplo 13.1
Um condutor sólido e cilíndrico é percorrido por uma corrente I A, que se distribui uniformemente sobre
G
a seção circular do condutor. Encontre expressões para H dentro e fora do condutor. Esboce
G
graficamente a variação de H , em função de r, sendo r medido a partir do centro do condutor.
Solução
G
pois o caminho L engloba toda a corrente no
condutor.
Fora do condutor, H será:
G
I
H=
a φ
2πr
(A / m)
H
r
H
R
90
G
1 r2
I
H=
I 2 a φ =
ra φ (A / m)
2 πr R
2 πR 2
graficamente teremos:
H(A/m)
I/2πR
figura 13.1 - Condutor cilíndrico com corrente
uniforme
Para o interior do condutor a corrente envolvida
pelo caminho L será
R
I' = I
πr
 r
= I 
πR 2  R 
2
r(m)
2
(A )
figura 13.2 - Variação de H dentro e fora do
condutor
G
e a intensidade de campo magnético H será:
13.2 - LEI DE AMPÉRE APLICADA A UM MEIO CONDUTOR
O exemplo 13.1 envolveu o cálculo do vetor intensidade de campo magnético no interior de um
condutor. Para essas situações a lei de Ampére pode ser generalizada, substituindo a corrente I pela
G
integral de um vetor densidade de corrente J sobre uma superfície S. Portanto:
G
G
G G
∫ H. dL = ∫ J . dS
l
(13.6)
(A )
s
Essa generalização da lei de Ampére se constitui numa das equações de Maxwell.
Exemplo 13.2
Considere um condutor cilíndrico de raio R m, transportando uma corrente cuja densidade na seção
transversal é Jc = K.r (A/m2), onde K é uma constante e r é a distância ao centro do condutor.
Determine:
a) - O valor de B no interior do condutor.
b) - O valor de B exterior ao condutor
c) - Fazer o gráfico B = f(r)
Solução
a)
∫
l
G G
G G
B. dL = J . dS
∫
s
A indução magnética é constante ao longo do
círculo de raio r. Portanto:
r
B
.2 πr = 2 π
µ0
∫
B = µ 0 Kc
r2
3
0
Kc r 2dr
(T)
b)
B
µ0
r
2π
0
0
∫ dl = ∫ ∫ K
L
c . r . r . dr . dθ
fora do condutor, a corrente será a corrente total
:
91
I = Kc .
R3
(A )
3
H(A/m)
∫
B
. dL = I
l µ0
B =
(A )
R3
µ oI
Kc
2 πr
3
(T)
R
Portanto, dentro do condutor o campo magnético
varia com o inverso do quadrado da distância r, e
fora do condutor a variação é com o inverso da
distância.
r(m)
figura 13.3 - Variação de H dentro e fora do
condutor
13.3 - DENSIDADE DE ENERGIA
O conhecimento da Lei de Ampére nos permite agora calcular a densidade de energia no campo
magnético. A densidade volumétrica de energia, wm é definida como:
Wm
(J / m 3 )
v
wm =
(13.7)
Seja, por exemplo, um indutor de geometria simples. A indutância é dada por:
µN 2S
(H)
d
L=
(13.8)
e o volume é dado por:
v = S. d
(13.9)
(m3 )
De acordo com a equação 12.29, a energia armazenada no indutor é:
1 2
LI
2
Wm =
(13.10)
(J )
portanto :
wm =
Wm
1  NI 
µN 2SI 2 2d
=
= µ 
V
Sd
2  d 
2
( J / m3 )
(13.11)
Pela lei de Ampére :
G
G
∫ H.dL = NI
L
H =
NI
d
(A / m)
(13.12)
portanto:
wm =
1
µH 2
2
(J / m 3 )
(13.13)
92
Como B = µH , a densidade de energia também pode ser expressa como:
wm =
1 B2
2 µ
(J / m 3 )
(13.14)
EXERCÍCIOS
1) - Nas configurações abaixo, cada condutor conduz uma corrente I Ampéres. Qual é o valor da
G
integral do vetor intensidade de campo magnético H em cada caso ?
(a)
(b)
(c)
2) - Um condutor cilindrico de raio 0.02 m possui um campo magnético interno:
G
r
r2 
aφ A / m
H = (4,77 × 10 5 ) −
 2 3 × 10 − 2 
Qual é a corrente total no condutor ?
3) - Em coordenadas cartesianas a região -b ≤ z ≤ b m. suporta uma densidade de corrente constante
G
J = J0ây (A/m2) (figura abaixo). Use a lei de Ampére para obter H em todo o espaço.
z
b
x
b
figura 2 - figura do problema 2
4) - Um cabo coaxial com condutor interno de raio a m, condutor externo com raio interno b m e raio
externo c m, é percorrido por uma corrente I A uniformemente distribuída (as direções em cada
condutor são opostas entre si). Mostre que para b ≤ r ≤ c m :
G
1  c2 − r 2 

 a φ
H =
2 πr  c 2 − b 2 