t - IPS

Circuitos em Corrente
Alternada
Cursos de Engenharia Mecânica Energia
e Automóvel
2003/2004
Dulce Costa
[email protected]
Gabinete D311-B
1
Corrente Alternada
Porque é que se utiliza
Corrente Alternada (CA)
em vez de Corrente
Contínua (CC)?
2
Algumas Vantagens
A energia eléctrica é mais fácil de gerar,
com tensões elevadas em grandes geradores
de c.a., porque não há colector e as espiras
do induzido podem estar fixas, deslocandose apenas os pólos magnéticos suportes do
campo magnético indutor.
1.
Há maior facilidade de transmitir à
distância e fazer a distribuição local da EE,
porque graças aos transformadores, obtêmse em qualquer ponto da rede as tensões
3
mais convenientes.
2.
Algumas Vantagens
As máquinas eléctricas em c.a. são mais
fiáveis e duradouras, para potências iguais,
devido à ausência de colectores e
enrolamentos em movimento.
3.
Os motores de c.a. são mais notavelmente
mais robustos, simples e baratos. Estes
motores são adequados para a grande parte
dos accionamentos industriais.
4.
4
Gerador de C.A.
Na figura temos:
• um campo
magnético uniforme
• uma espira em
rotação, velocidade
angular ω (rad/s)
5
Gerador de C.A.
O fluxo magnético φ
abraçado em cada
instante pela espira é:
φ = φm cos α = φm cos ωt
6
f.e.m. Sinusoidal
α (rad) – ângulo descrito a partir do plano (y, z)
t (s) – tempo contado a partir do instante α=0
7
f.e.m. Sinusoidal
Pela Lei de Faraday a força electromotriz
induzida em cada instante na bobine é:
d (φm cos ωt )
dφ
e(t ) = −
=−
= ωφm senωt
dt
dt
Em cresce linearmente com o fluxo φm e com a velocidade
angular ω: Em = ω φm (Volts)
e(t ) = Em senωt
8
Geração de uma f.e.m. Sinusoidal
9
Geração de uma f.e.m. Sinusoidal
10
Geração de uma f.e.m. Sinusoidal
• 0º os condutores laterais movem-se em paralelo com as
linhas de força; não cortam as linhas de força do campo
magnético. Não existe uma tensão induzida na espira.
• a espira roda (no sentido anti-horário), os condutores
laterais irão cortar as linhas de força. Induz-se uma
tensão nos condutores laterais. A tensão aumenta.
• 90° a espira está horizontal com as linhas de força do
campo magnético. Os condutores laterais movem-se
perpendicularmente com as linhas de força (cortando
assim o maior número possível das linhas de força do
campo magnético). A tensão atinge o valor máximo.
11
Geração de uma f.e.m. Sinusoidal
• a espira continua a rodar, a tensão induzida
diminui.
• 180° a espira encontra-se novamente na posição
vertical. A tensão atinge o valor zero.
• 180º-360° Continuando a rotação da espira,
verifica-se que novamente é induzida uma tensão
na espira, mas de sentido contrário. Em 270º
atinge o valor negativo máximo.
12
Geração de uma f.e.m. Sinusoidal
13
Tensão Sinusoidal
A rotação da espira num campo magnético uniforme origina
uma f.e.m. sinusoidal: Em = ωφm senωt
Entre os terminais da espira aparece uma tensão sinusoidal:
u (t ) = U m senωt
14
Tensão Sinusoidal
Notação:
A tensão tanto aparece com a notação v
como u. Podem escolher a que vos for mais
familiar.
u (t ) = U m senωt
v(t ) = Vm senωt
15
Corrente Sinusoidal
Se os terminais estiverem ligados a
uma resistência R, esta será
percorrida por uma corrente
cuja intensidade será em cada
instante dada pela lei de Ohm:
u (t ) U m
i (t ) =
=
senωt
R
R
i (t ) = I m senωt
16
Circuito Resistivo CA
Aplicando a lei de Kirchhoff’s à
malha fechada:
u (t ) − i (t ) R = 0
u (t ) = U m sin ω t
u (t ) U m
i (t ) =
=
sin ω t = I m sin ω t
R
R
A tensão e a corrente
estão em fase, anulam-se
e atingem os valores
máximos e mínimos
simultaneamente
Um sin ωt
17
Amplitude, período e pulsação das
grandezas sinusoidais
x(t ) = X m senωt
Xm – amplitude da função
T – período (s)
Uma função sinusoidal tem valores iguais
periodicamente com o período T(s): x(t) = x(t+T)
Diz-se que durante o período T se descreveu um ciclo
completo.
18
Amplitude, período e pulsação das
grandezas sinusoidais
x(t ) = X m senωt
O número de ciclos descritos em cada
segundo mede a frequência das
grandezas sinusoidais.
1
f = (Hz)
T
O ciclo magnético da f.e.m. corresponde a uma rotação
completa da espira num campo magnético criado por dois
pólos. Durante um ciclo a espira descreve um ângulo de 2π
radianos. A velocidade angular a que a espira roda será
dada por:
ω = 2π f
19
Valor eficaz das grandezas sinusoidais
x(t ) = X m senωt
Designa-se por valor eficaz de uma
grandeza periodica x(t), a raiz
quadrada do valor médio, num intervalo
de tempo t1, do quadrado dos valores
instantâneos da grandeza periódica.
X
ef
⎧1
= ⎨
⎩ t1
∫ [x ( t ) ]
t1
0
2
⎫
dt ⎬
⎭
1/ 2
No caso das grandezas eléctricas periódicas toma-se
como t1, o período T.
É habitual omitir-se o índice “ef”: Xef=X.
20
Valor eficaz de uma corrente sinusoidal
I ef
⎧ 1
= ⎨
⎩T
⇔ I ef
2
⇔ I ef
2
⇔ I ef
2
⇔ I ef
2
⇔ I ef
2
∫ [i ( t ) ]
T
0
2
⎫
dt ⎬
⎭
1/2
1 T
2
[
]
ω
I
t
dt
=
sin
m
∫
T 0
1 2 T
I m ∫ sin 2 ω t dt
=
0
T
2
I
1 m T 1 − cos 2 ω t
dt
=
∫
T 2 0
2
2
2
I
I
1 m
1 m
1
[sin 2 ω t ]T0
=
×T +
×
T 2
T 2
2ω
I m2
=
21
2
Valor eficaz de uma corrente sinusoidal
i (t ) = I m senωt
I ef
Im
=
2
O valor eficaz da corrente eléctrica
i(t), mede a intensidade de uma
corrente contínua que durante o
mesmo tempo T, dissiparia em calor
numa resistência R a mesma energia
eléctrica que é degradada pela
corrente peródica i(t)
i(t)= Im sin ωt
Im - amplitude da tensão (V)
ω - frequencia angular (rad/s)
f = ω/2π - frequencia (Hz)
T = 1/f = 2π/ω periodo (s)
22
Valor eficaz de uma tensão sinusoidal
u(t)= Um sin ωt
Um - amplitude da tensão (V)
ω - frequencia angular (rad/s)
f = ω/2π - frequência (Hz)
T = 1/f = 2π/ω periodo (s)
Um
U ef =
2
23
Circuito Indutivo Puro
Uma corrente eléctrica de intensidade i, que
percorre um condutor (A, B na figura) cria
um fluxo magnético φ que envolve o condutor.
O fluxo é proporcional à intensidade da corrente φ=L∗i.
L aparece como um coeficiente de proporcionalidade.
Pela Lei de Faraday:
dφ
di
e=−
= −L
dt
dt
e
L = −
di
dt
A grandeza L designa-se por coeficiente de
auto-indução e é a medida do fluxo
magnético induzido pela corrente que
percorre o circuito. Mede-se em henry (H).
24
Circuito Indutivo Puro
A figura representa um circuito em que uma
tensão sinusoidal, com valor instantâneo u(t)
é aplicado a uma bobine, L, de resistência
nula. A bobine é percorrida por uma
corrente de intensidade variável.
Io sin ωt
A corrente que percorre a bobine cria um fluxo variável φ e
a variação deste fluxo induz na própria bobine uma
f.e.m., e(t). Pela Lei de Kirchoff, percorrendo a malha
fechada: u(t)+e(t)=0.
di (t )
di (t )
⇔ u (t ) = L
⇔
u (t ) − L
dt
dt
d ( I m senω t )
u (t ) = L
⇔ u (t ) = ω LI m cos ω t ⇔
dt
π
u (t ) = ω LI m sen(ωt + )
2
25
Circuito Indutivo Puro
π
u (t ) = U m sen(ωt + )
2
Im sin ωt
U m = I mω L = I m X L (V)
X L = ω L (Ω )
Um Um
(A)
=
Im =
ωL XL
Verifica-se que a tensão u(t) está em
avanço em relação à corrente, um
ângulo de π/2 rad (90º).
Diz-se que u(t) e i(t) não estão em fase,
e estão desfasados de π/2 rad.
26
Circuito Capacitivo Puro
A carga eléctrica q de um condensador é,
em cada instante directamente
proporcional à tensão entre os
condutores que constituem o
condensador: q=Cu(t)
C aparece como um coeficiente de proporcionalidade.
Designa-se por capacidade e mede-se em farad (F)
A intensidade de corrente i(t) em qualquer secção do
condutor, define-se pela quantidade de electricidade
que em cada instante atravessa a secção.
dq
i (t ) =
dt
27
Circuito Capacitivo Puro
d (u )
dq
d ( Cu )
=
=C
⇔
i (t ) =
dt
dt
dt
Im
1
u (t ) =
i ( t ) dt =
sen (ω t ) dt ⇔
∫
∫
C
C
Im
cos( ω t )
u (t ) = −
ωC
Im
π
u (t ) =
sen(ωt − )
ωC
2
28
Circuito Capacitivo Puro
π
u (t ) = U m sen(ωt − )
2
Im
Um =
= I m X c (V)
ωC
1
Xc =
(Ω)
ωC
Um
I m = U mω C =
(A)
XC
Verifica-se que a tensão u(t) está em atraso em relação à
corrente, um ângulo de π/2 rad (90º).
Diz-se que u(t) e i(t) não estão em fase, e estão
29
desfasados de π/2 rad.
Reactâncias Indutivas e Capacitivas
O comportamento das bobines e condensadores em
circuitos eléctricos de C.A. pode ser descrito
através das suas reactâncias, que são dependentes
da frequência e medidas em ohms (Ω).
Reactância Indutiva:
XL =ωL
Reactancia Capacitiva :
1
XC =
ωC
A Lei de Ohm pode ser utilizada com as
reactâncias substitutindo-a por R
nas expressões que relacionam os
valores da tensão e corrente
V = IX
V
V X=
I=
I
X
30
Representação Vectorial de
Grandezas Sinusoidais
a(t)=Amsin (ωt+ϕ)
Na figura:
OM- segmento que faz o ângulo ϕ
com o eixo Ox, na origem dos
tempos
ϕ - fase na origem dos tempos
A sinusoide pode ser obtida fazendo rodar o segmento OM e tomando as
posições do segmento sobre o eixo Oy.
Decorrido o tempo t o segmento roda o tempo ωt, sendo ω=2πf a
pulsação da função.
Admitindo essa convenção, o segmento OM, contém a mesma informação
que a expressão analítica a(t)=Amsin (ωt+ϕ).
31
Representação Vectorial de
Grandezas Sinusoidais
a(t)=Amsin (ωt+ϕ)
Explicitamente o segmento OM dá-nos a amplitude máxima
da função, Am, e a fase, ϕ, na origem dos tempos.
Implicitamente contém os valores instantâneos da mesma
função.
Ao segmento OM corresponde o vector A que contém duas
informações, a amplitude e a fase.
Pode simbolizar-se este vector da seguinte forma: A=A,m∠ϕ.
32
Circuito RLC Serie - Exemplo
L=63,7 mH
C=634 µF
R=10 Ω
f = 50 Hz
I
Obtenha as expressões para as tensões em cada um dos elementos do
circuito, assim como para a tensão total.
Represente vectorialmente as tensões.
33
Circuito RLC Serie
V − VR − VL − VC = 0
I
VR = IR = IR sin ω t = VR sin ω t
V = Vo sin ωt
VL = IX L = IX L sin(ω t + π / 2) = VL sin(ω t + π / 2)
VC = IX C = IX C sin(ω t − π / 2) = VC sin(ω t − π / 2)
Em que:
IR = VR
IX L = VL
IX C = VC
34
Números complexos
Equações algébricas do tipo x2=-3, não possuem solução no
campo dos números reais.
Podem apenas ser resolvidas com a introdução de uma
unidade imaginária, ou operador imaginário: j.
Por definição: j=√-1.
A soma de um número real com um número imaginário é
chamado de número complexo.
A = a + jb
Re {A } = a
Im {A } = b
Qualquer número complexo é
completamente caracterizado por
um par de números reais.
35
Números complexos
Representação de números complexos num sistema de
coordenadas cartesianas:
36
Números complexos
Existem quatro formas de representar
números complexos:
1.
Forma rectangular ou cartesiana
2. Forma exponencial
3. Forma polar
4. Forma trignométrica
37
Números complexos
Forma rectangular ou cartesiana:
A = a + jb
Para representar na forma exponencial utiliza-se a
identidade de Euleur: e jθ = cos θ + jsenθ
Ae jθ = A cos θ + jAsenθ
A cos θ = a
Asenθ = b
A= a +b
2
2
⎛b⎞
θ = arctg⎜ ⎟
⎝a⎠
38
Números complexos
Forma polar:
A = A∠θ
Forma trignométrica:
A = A cos θ + jAsenθ
39
Fasores
Forma polar:
A = A∠θ
Forma trignométrica:
A = A cos θ + jAsenθ
40
Fasores
Sejam: v = Vm senωt e i = I m sen(ωt − ϕ ) a tensão e corrente
num circuito indutivo.
A tensão e a corrente podem ser escritas de outra forma:
Vm j 0
I m − jϕ
V =
e = Vef e I =
e = I∠ − ϕ
2
2
41
Fasores
Vm j 0
I m − jϕ
V =
e = Vef e I =
e = I∠ − ϕ
2
2
42
Fasores
! Notar que:
O método fasorial só é aplicável a funções sinusoidais
Os módulos dos fasores, são valores eficazes
Todas as propriedades dos vectores são aplicáveis nos
fasores
43
Diagramas Fasoriais
As relações entre as diversas grandezas presentes
num circuito podem ser representads
convenientemente num diagrama vectorial
Em t = 0:
Em t:
44
Fasores
Resitência
Bobine
VL
I
I
condensador
I
VR
VC
Adicionando vectores:
VL – VC
V
φ
VR
V = V + (VL − VC )
2
R
2
V = I R 2 + ( X L − X C )2
ϕ = ângulo de fase
45
Impedância
A resistência e a reactância dos circuitos eléctricos,
podem ser combinadas, de forma a definirem uma
impedancia Z (medida em ohms):
V = IZ
em que
Z = R + (X L − XC )
2
2
X L − XC
tan ϕ =
R
XL-XC
Z
φ
R
Se XL = XC , φ = 0
and Z = R
(Condição de Ressonância)
46
Impedância
Reparar que a impedância, Z, não depende da tensão
nem da corrente, fica completamente definida
desde que sejam conhecidos R, L, C e ω.
Z = R + (XL − XC )
2
2
X L − XC
tan ϕ =
R
XL-XC
Z = Z∠ϕ
Z
φ
R
47
Impedância num circuito resistivo puro
Num circuito resistivo:
u (t ) = U m senωt e i (t ) = I m senωt
U = Ue j 0 = U∠0º (V )
I = Ie j 0 = I∠0º (V )
I
U
U
Z=
=
e Z = R2 = R
I
I
U
48
Impedância num circuito indutivo puro
Num circuito indutivo:
π
u (t ) = U m sen(ωt + ) e i (t ) = I m senωt
2
U = Ue
j
π
2
= U∠
π
2
(V )
U=jIωL
I = Ie j 0 = I∠0º (V )
U
U π
π
=
∠ e Z = jX L = jωL = X L ∠
Z=
I
I
2
2
I
49
Impedância num circuito capacitivo puro
Num circuito capacitivo:
π
u (t ) = U m sen(ωt − ) e i (t ) = I m senωt
2
U = Ue
−j
π
2
= U∠ −
π
2
(V )
I = Ie j 0 = I∠0º (V )
Z=
U
U
1
π
π
=
∠ − e Z = − jX c =
= X c∠ −
I
I
jωL
2
2
I
U=-jI/ωC
50
Impedância num circuito RLC série
Num circuito RLC:
I
U = U R + U L + U C = RI + jωLI − j
⇔
ωC
⎡
1 ⎞⎤
⎛
U = I ⎢ R + j ⎜ ωL −
⎟⎥
ωC ⎠ ⎦
⎝
⎣
U
1 ⎞
⎛
jϕ
Z=
= R + j ⎜ ωL −
⎟ = Ze
I
ωC ⎠
⎝
1 ⎞
⎛
Z = Z = R 2 + ⎜ ωL −
⎟
ωC ⎠
⎝
2
e ϕ = arctg
I
U
1
ωC
R
ωL −
51
Impedância num circuito RLC série
Num circuito RLC:
I
U = U R + U L + U C = RI + jωLI − j
⇔
ωC
⎡
1 ⎞⎤
⎛
U = I ⎢ R + j ⎜ ωL −
⎟⎥
ωC ⎠ ⎦
⎝
⎣
U
1 ⎞
⎛
jϕ
Z=
= R + j ⎜ ωL −
⎟ = Ze
I
ωC ⎠
⎝
1 ⎞
⎛
Z = Z = R 2 + ⎜ ωL −
⎟
ωC ⎠
⎝
2
e ϕ = arctg
I
U
1
ωC
R
ωL −
52
Potência em circuitos CA
Num circuito em corrente alternada os valores da tensão e
corrente variam periodicamente com o tempo.
As energias armazenadas nos campos eléctricos e
magnéticos associados aos condutores estão
periodicamente a variar.
As trocas de energia correspondentes não correspondem
a “consumo” nos receptores.
53
Energia no Campo Eléctrico
Quando se aplica a um
condensador de capacidade C
uma tensão é-lhe fornecida
uma energia We, dada por:
1 2
We = Cu
2
A energia entregue ao sistema fica armazenada
no campo eléctrico.
54
Energia no Campo Magnético
Quando uma corrente eléctrica
com intensidade i percorre um
condutor origina-se, no espaço
que o envolve, um campo
magnético. Nesse campo
magnético é armazenada a
energia Wm:
1 2
Wm = Li
2
55
Potência Activa e Potência Reactiva
Nos circuitos em corrente alternada é possível distinguir em cada
instante:
1 - a potência dita “activa”, que corresponde à conversão que se efectua
no receptor, da energia eléctrica noutra forma de energia;
Pr = RI 2
2 - a potência, Pc, que corresponde à variação da energia armazenada
nos campos eléctricos existentes no receptor e nos dispositivos que o
alimentam.
Pc =
dWe
du
= Cu
dt
dt
3 - A potência, Pm, que corresponde à variação da energia armazenada
nos campos magnéticos existentes no receptor e nos dispositivos que
o alimentam
dWm
di
Pm =
= Li
dt
dt
56
Potência Activa e Potência Reactiva
u (t ) = U m senωt = 2 U senωt
i (t ) = I m sen(ωt − ϕ ) = 2 Isen(ωt − ϕ )
p(t ) = u (t ) × i (t ) = 2UI × senωt × sen(ωt − ϕ ) ⇔
p(t ) = 2UI × senωt ( senωt cos ϕ − cos ωt sin ϕ ) ⇔
p(t ) = UI cos ϕ 2 sen ωt − UIsenϕ 2 senωt cos ωt ) ⇔
2
p(t ) = UI cos ϕ (1 − cos 2ωt ) − UIsen
ϕ
sen
2
ω
t
144424443 1442443
Pa ( t )
Pr ( t )
57
Potência Activa e Potência Reactiva
p (t ) = UI cos ϕ (1 − cos 2ωt ) − UIsen
ϕsen23
ωt
144424443 144244
Pa ( t )
Pr ( t )
A componente Pa oscila em
torno do valor VIcosϕ
com frequência angular
2ω, nunca mudando de
sinal.
A componente Pr oscila com
idêntica frequência,
possui um valor médio nulo
e um valor máximo e um
valor máximo VIsinϕ.
58
Potência Activa e Potência Reactiva
Podem definir-se as grandezas:
Potência Activa : P = UI cos ϕ (watts)
Potência Reactiva : Q = UI sin ϕ (VAr)
59
Factor de potência
A grandeza
potência
cos ϕ
designa-se por factor de
A potência activa, P, é o valor médio da potência instantânea
e, por conseguinte, corresponde à potência que é
efectivamente transferida.
A potência reactiva, Q, é o valor máximo da componente
da potência que oscila entre o gerador e a carga, cujo
valor médio é nulo, resultante da variação da energia
magnética ou eléctrica armazenada nos elementos
indutivos ou capacitivos, da impedância de carga.
60
Variação da potência com o tipo de carga
O ângulo ϕ pode variar entre -π/2 (carga capacitiva pura) e
π/2 (carga indutiva pura).
A potência activa é sempre positiva, ou nula para circuitos
capacitivos ou indutivos puros.
A potência reactiva pode ser positiva ou negativa. Será
positiva quando a carga for indutiva, ϕ> 0; negativa se a
carga for capacitiva ϕ<0; nula se a carga for resistiva
ϕ=0.
Em linguagem corrente costuma dizer-se que uma carga
indutiva “absorve” potência reactiva e uma carga
capacitiva “gera” potência reactiva.
61
Potência Complexa Aparente
A potência complexa S é definida pelo produto do fasor
tensão pelo conjugado do fasor corrente:
S = U I ∗ = Ue jδ × Ie − jβ = UIe j (δ − β ) = UIe jϕ ⇔
S = UI cos ϕ + jUIsenϕ
S = P + jQ
62
Potência Complexa Aparente
O módulo da potência complexa S = P + jQ é a
potência aparente:
S = P +Q
2
2
A potência aparente é medida em VA (volt-ampére)
63
Trânsito de Potência Reactiva nas Linhas
As perdas de Joule num circuito são dadas por:
(
R P +Q
P = RI =
U2
2
2
2
)
Se R for a resistência de uma linha de transmissão que
transmite a potência activa P, sob a tensão U, as perdas
na transmissão são fortemente influenciadas pela
potência reactiva, Q.
64
Trânsito de Potência Reactiva nas Linhas
(
2
2
R
P
+
Q
P = RI 2 =
U2
)
Se Q=0; senϕ=0; cosϕ=1 as perdas por efeito de Joule
têm o valor mínimo possível.
Qaundo o factor de potência é unitário, o trânsito de
energia reactiva é nulo e a transmissão de energia faz-se
com perdas mínimas, reduzindo-se também as quedas de
tensão.
65
Trânsito de Potência Reactiva nas Linhas
Tendo em conta a figura: tgϕ=Q/P, ou, de outra forma
Q=P∗tgϕ. Vemos que a potência reactiva, para uma
dada potência activa transmitida, cresce linearmente
com tgϕ.
66
Compensação do Factor de Potência
P é proporcional a OA e Q é proporcional a AB.
Se junto da carga se ligar um condensador com capacidade
C, este é percorrido por uma corrente Ic, em avanço 90º
relativamente a U.
Neste caso a corrente que percorre o circuito passa a ser I’
67
Compensação do Factor de Potência
No ponto D somam-se as duas correntes
I ' = I + Ic
A intensidade I’ que percorre o sistema de transmissão até
à carga, reduziu-se, reduzindo-se assim também a
potência reactiva veiculada pelo sistema de transmissão.
68
Circuitos Ressonantes Série
À frequência para a qual XL=XC chama-se frequência de
ressonância:
Para esta frequência o circuito comporta-se como um
circuito puramente resistivo
69