circuitos de corrente contínua

Departamento de Física da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa
Electromagnetismo A
2007/08
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CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA
1.
Objectivo
• Verificar as leis fundamentais de conservação da energia e da carga eléctrica em alguns
circuitos eléctricos simples funcionando em regime de correntes estacionárias.
• Utilizar o osciloscópio como instrumento de medida.
2.
Introdução
Os circuitos ou redes eléctricas mais simples são geralmente constituídos por elementos
dipolares (condutores com duas extremidades) ligados entre si por fios condutores de resistência
desprezável.
Os elementos dipolares classificam-se, de acordo com a sua natureza, em activos e passivos.
Os elementos activos são aqueles que fornecem a energia eléctrica ao circuito: fontes de tensão e
fontes de corrente. Os elementos passivos lineares são as resistências, os condensadores e os
indutores1.
Nos circuitos eléctricos designam-se por nós os pontos que ligam três ou mais elementos.
Designam-se por ramos o conjunto de elementos dipolares compreendidos entre dois nós. Dá-se o
nome de malha a um percurso fechado formado por ramos e que não passa mais de uma vez por um
mesmo nó.
2.1 Lei dos nós e das malhas
Em regime estacionário não existem acumulações de carga nos nós de um circuito eléctrico
e portanto a quantidade de carga que chega a um qualquer nó N desse circuito num certo intervalo
de tempo é exactamente igual à quantidade de carga que sai desse nó no mesmo intervalo de tempo.
Dividindo estas quantidades de carga pelo valor do intervalo de tempo obtêm-se as respectivas
intensidade de corrente eléctrica, as quais verificam a mesma identidade. A intensidade de corrente
que entra num nó (soma de todas as intensidades que entram através dos vários ramos que
convergem nesse nó) é igual à intensidade de corrente que sai (soma de todas as intensidades que
1
Estes elementos dizem-se lineares pois apresentam relações lineares algébricas (caso das resistências) ou
lineares diferenciais (caso dos condensadores e indutores) entre as tensões aos seus terminais e as correntes que os
atravessam.
Circuitos de Corrente Contínua
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saem pelos restantes ramos). A igualdade entre estas duas somas pode ser convertida numa relação
envolvendo um único somatório que se estende a todos os ramos que convergem no nó N e em que
se convenciona considerar como negativo o sentido das correntes que saem do nó e positivo o
sentido das correntes que entram. Resulta assim que a conservação da quantidade de carga no nó N
do circuito eléctrico considerado é traduzido pela expressão da lei dos nós:
∑i
=0
k k
(1)
É a lª lei de Kirchhoff ou lei dos nós: "É nula a soma algébrica das correntes de todos os ramos que
concorrem num nó".
i4
i3
A
i2
i1
Figura 1: No nó A do circuito a aplicação da 1ª lei de Kirchhoff conduz a: i1-i2-i3-i4=0
Consideremos uma qualquer malha de um circuito eléctrico, formada por ramos podendo
conter elementos passivos e activos.
O campo eléctrico da corrente estacionária é um campo conservativo, pelo que é possível
definir em cada ponto do circuito um potencial V tal que:
r
E = −∇V
(2)
O integral de linha desta equação ao longo de um ramo do circuito entre dois pontos A e B
representa o trabalho por unidade de carga eléctrica realizado no transporte de carga entre os dois
pontos e é dado pela queda de potencial entre esses pontos:
∫
r
E ⋅ dl = −∆V AB = VB − V A
Br
(3)
A
Assim, a circulação do campo eléctrico num determinado sentido ao longo de um percurso
fechado como a malha tem um valor nulo:
r
r
∫ E ⋅ dl
=0
(4)
Por outro lado esta circulação não é mais do que a soma algébrica de todas as quedas de
potencial Vk, que se verificam nos ramos da malha quando percorridos no sentido da circulação.
Resulta então que a conservação da energia na malha M do circuito eléctrico considerado é
traduzida pela expressão da lei das malhas:
2
Circuitos de Corrente Contínua
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∑V
k
k
=0
(5)
Note-se que se adoptou a convenção de somar as quedas de potencial, isto é, as diferenças de
potencial entre o ponto inicial e o ponto final Vk = Vkini − Vk fin (segundo o sentido adoptado para a
circulação): "É nula a soma algébrica de todas as quedas de potencial ao longo de uma malha".
E
A
D
B
C
Figura 2: A malha ABCDEA de um circuito onde a seta indica o sentido da circulação na malha escolhido. A
aplicação da 2ª lei de Kirchhoff a esta malha conduz a: (V A − V B ) + (V B − VC ) + (VC − V D ) + (V D − V E ) + (V E − V A ) = 0 .
2.2 Condensador
Um condensador é um componente de dois terminais constituído por dois condutores
(geralmente designados por armaduras) separados por um dieléctrico com uma característica
tensão-corrente dada por:
VC (t ) =
1
1
Q(t ) =
C
C
t
∫ i(t ) dt
−∞
(6)
com C = constante. Esta característica pode apresentar-se na forma diferencial tendo-se:
i (t ) = C
dVC (t )
.
dt
(7)
A constante real e positiva C, independente da amplitude e da forma de VC (t ) e de i (t ) ,
designa-se por capacidade do condensador2. O modelo indicado na expressão (6) mostra que a
tensão aos terminais de um condensador nunca varia bruscamente. Por outro lado, a expressão (7)
mostra que um condensador se comporta como um circuito aberto ( i (t ) = 0 ), quando a tensão
aplicada aos seus terminais é constante no tempo.
2
No Sistema Internacional de Unidades (SI) a capacidade exprime-se em Farad (F). Os condensadores mais
utilizados têm valores na gama de 1 pF a 10 mF.
3
Circuitos de Corrente Contínua
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A distribuição de carga eléctrica entre as armaduras de um condensador é alterada pela
passagem da corrente eléctrica, aumentando a carga de uma delas de dQ enquanto a outra diminui
desse mesmo valor. A relação entre a tensão VC (t ) aos terminais do condensador e a carga Q numa
das armaduras (a outra tem então carga − Q ) obtém-se de (6), sendo dada por:
VC (t ) =
1
Q(t )
C
(8)
Em regime estacionário de corrente contínua as resistências são os únicos elementos
passivos que é necessário considerar já que idealmente os condensadores se comportam, neste
regime, como circuitos abertos e os indutores como curto-circuito. Pelo contrário no regime
estacionário de corrente alternada sinusoidal todos estes elementos são intervenientes.
Convém salientar que os elementos reais que compõem um dado circuito diferem
naturalmente dos seus correspondentes ideais. Este facto impede à primeira vista a representação de
um circuito real em termos dos parâmetros de elementos ideais: f.e.m., resistência, indutância,
capacidade. Existe, contudo, uma forma de representação equivalente dos circuitos reais que se
baseia no facto de sob um ponto de vista exterior cada elemento real se comportar aparentemente
como uma determinada associação de elementos ideais. Esta representação simplificada mas
equivalente dos elementos reais de um circuito tem o nome de "modelo de parâmetros
concentrados".
As fontes de alimentação reais são representadas neste modelo como possuindo para além
do elemento activo ideal, um ou mais elementos passivos ideais associados que constituem a sua
resistência ou impedância interna.
Para carregar um condensador é necessário despender energia. Essa energia fica armazenada
no campo eléctrico estabelecido entre as armaduras. Para um condensador de capacidade C que
possua uma diferença de potencial VC entre as armaduras (obtida por qualquer processo de carga) e
em cada uma delas possui uma carga Q, a energia U armazenada é dada por:
U=
1 Q2 1
= Q VC
2 C
2
(9)
Uma das formas possíveis de se obter a carga de um condensador, consiste em ligá-lo aos
terminais de uma fonte de tensão contínua ( ε ) através de uma resistência R (fig. 3, com o
interruptor na posição B). Por aplicação das leis de Kirchhoff ao circuito e por (6) obtém-se:
ε = V R (t ) + VC (t ) = R i (t ) +
4
1 t
i (t ) dt
C −∞
∫
(10)
Circuitos de Corrente Contínua
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Antes de t = 0 , ε = 0 , isto é não há tensão ε aplicada. Diferenciando a expressão anterior obtém-se:
i (t ) + CR
di (t )
=0
dt
para t > 0
(11)
A resolução desta equação diferencial permite determinar a corrente que passa no condensador, ou
seja:
i (t ) =
ε
R
e
−t
RC
(12)
B
A
Figura 3: Circuito para obter a carga (interruptor na posição B) e a descarga (interruptor na posição A) de um
condensador.
Então a tensão aos terminais do condensador durante a sua carga:
−t
VC (t ) = ε − V R (t ) = ε − i (t ) R = ε 1 − e RC 


(13)
As curvas i (t ) e Q(t ) = C VC (t ) estão ilustradas nas figura 4.
Inversamente, se permitirmos que se verifique a descarga do condensador através de uma
resistência R, a corrente continua a ser dada pela expressão (12) e a tensão diminuirá segundo a lei:
VC (t ) = V0 e
−t
RC
(14)
onde V0 é a tensão inicial no condensador.
O estudo da carga ou da descarga de um condensador permite, nestas condições, o cálculo
da sua capacidade. Consideremos o momento t = τ = RC . τ é designado por constante de tempo do
circuito. Durante o processo de carga, a tensão no condensador neste momento tem o valor
(
)
VC (τ ) = ε 1 − e −1 ≈ 0.632 ε
Durante o processo de descarga, a tensão no condensador tem o valor
5
(15)
Circuitos de Corrente Contínua
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VC (τ ) = V0 e −1 ≈ 0.368V0
(16)
Uma vez determinado o valor de τ e conhecido o valor da resistência R , a capacidade do
condensador pode ser calculada:
C=
τ
(17)
R
Figura 4: Processo de carga de um condensador. A carga no condensador tende exponencialmente para o seu valor
máximo com uma constante de tempo τ . A corrente decresce exponencialmente com a mesma constante de tempo.
3.
Realização experimental
Material
Duas resistências (e.g. 2.2 kΩ e 10 kΩ), 2 condensadores (e.g. 4700 µF e 22 nF), 2
multímetros, 1 fonte de alimentação contínua, 1 gerador de sinal, 1 osciloscópio, fios de ligação,
pontas de prova.
Circuito 1
1.
Esquematize e construa um circuito constituído por 2 resistência em série com uma fonte de
alimentação contínua. Indique no seu esquema a posição do multímetro a funcionar como
amperímetro e as posições que o multímetro toma para medir a diferença de potencial aos extremos
das resistências. Meça com os multímetros a corrente no circuito e a diferença de potencial aos
extremos das resistências. Verifique a lei de Ohm nas duas resistências.
2.
Verifique a lei das malhas na única malha do circuito.
Circuito 2
3.
Esquematize e construa um circuito constituído por uma resistência e um condensador
6
Circuitos de Corrente Contínua
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ligados a uma fonte de alimentação contínua. Posicione o(s) interruptor(es) de modo a permitir
realizar a carga e em seguida a descarga do condensador. Indique no esquema a posição do
multímetro para medir a diferença de potencial aos extremos do condensador.
4.
Proceda a um processo de carga e descarga do condensador monitorizando no multímetro os
valores da tensão e escolha o intervalo de tempo mais adequado para o registo de valores de VC (t ) .
Usando o multímetro e o cronómetro obtenha a tabela ( t , VC ) no processo de carga. Que
combinação de R e de C deverá escolher para esta experiência?
5.
Proceda em seguida à descarga do condensador e faça o registo dos pares de valores ( t , VC ).
6.
Trace num mesmo gráfico as linhas correspondentes aos processos de carga e descarga do
condensador.
7.
Determine, a partir da linearização e regressão a constante de tempo RC do circuito e
compare com o valor calculado com base nos valores de R e C.
Circuito 3
Nos trabalhos de laboratório desta série vai utilizar o osciloscópio como importante
instrumento de medida. Vai começar por familiarizar-se com os controles do osciloscópio e em
seguida vai utilizar o osciloscópio para observar a carga e descarga de um condensador.
8. Ligar o osciloscópio e procurar a imagem do feixe electrónico no alvo (ponto luminoso).
Fazer variar a sua intensidade e focalizá-lo.
9. Aplicar aos pratos de deflexão vertical uma tensão contínua (pilha seca, fonte de tensão
contínua) e medir o seu valor. Ter em atenção a escala de amplificação utilizada (no osciloscópio).
10. Regule o osciloscópio de modo que aos pratos de deflexão horizontal fique aplicada uma
base de tempo (tensão em dente de serra).
11. Determine algumas velocidades de varrimento do ponto luminoso sobre o alvo, verificando
o acordo com a escala de tempos indicada no osciloscópio.
12. Ligue o osciloscópio ao gerador de sinais. Observe e meça com o osciloscópio a amplitude e
a frequência de alguns sinais aplicados.
13. Vai agora observar a carga e descarga do condensador com um osciloscópio e utilizar como
fonte de alimentação um gerador de sinal. Escolha valores R e de C que correspondam a uma
constante de tempo demasiado pequena para poder ser medida manualmente. Seleccione uma onda
quadrada. Meça a constante de tempo do circuito no ecrã do osciloscópio, como ilustrado na fig. 4.
7