Forças Centrais
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F415–TurmaA Prof.AlexandreFontesdaFonseca afonseca@ifi.unicamp.br ForçasCentrais 1 Sistemaisolado:2corposm1em2 1)ParDculas–consideradaspuntuais 2)Sóforças,F12eF21,conservaHvasecentrais 3)AsforçaspodemserobHdasdeumpotencialU(r1,r2) 4)De2):U(r1,r2)=U(|r1–r2|)=U(r) 2 Sistemaisolado:2corposm1em2 Qualoproblema? Resolveradinâmicadedoiscorpos:acharomovimento. 3 Sistemaisolado:2corposm1em2 r=|r|=|r1–r2| 4 Sistemaisolado:2corposm1em2 5 Escolhemos:sistemaderef.doCM Onde: Problemadeumcorpo! EquaçãodeEuler-Lagrange: 6 MomentoAngular:conservação Sistemaisolado Simetriaesférica Omomentoangulartotaléconservado! Noref.deCM: 7 OMovimentoé,então,em2D 8 Duasequaçõesdemovimento(variáveisreθ) Primeiraintegraldemovimento AoutraequaçãodeEuler-Lagrange: 9 2ªleideKepler:velocidadearealéCTE Vetorr(t)varreaáreadotriangulo: 10 Conservaçãodeenergia:2ªctedemov. ComonãoháforçasdissipaHvas Mas 11 Daconservaçãodeenergia:eqs.demov. Mas,eθ(t)? 12 Daconservaçãodeenergia:eqs.demov. Naverdade,θ(t)nãoéinteressante,massimθ(r)... 13 Mesmacoisa,masdaeq.deEuler-Lagrange ou Deverdecasa:estudaradeduçãodaseguinteequação: 14 Órbitasemumcampocentral Asraízesdoradicalindicamospontos,r,taisque:ou Em geral, há duas raízes: rMIN e rMAX. Isto é, o movimento é confinadonaregião: QuandoE,U(r)el,sãotaisquesóháumaraiz,,levaa umasoluçãodoHpor=CTE,quesignificaórbitacircular. 15 Órbitasemumcampocentral:mov.periódico Considereocaso: Aórbitapodeserperiódicaouaberta. Seráperiódicoseapósumnúmerofinitodeexcursõesentre rMINerMAX,omovimentoserepeHrexatamente. 16 EnergiacentrífugaepotencialefeHvo Nasexpressõesanterioresparadr/dteΔθ,oseguintetermo aparecia: Se interpretarmos o termo “a mais” dentro da raiz como uma“energiapotencial”: Onde a força FC é chamada (inapropriadamente) de “força centrífuga”eUCde“energiapotencialcentrífuga”. 17 EnergiacentrífugaepotencialefeHvo Doestudodomov.em1D: Comparando as expressões acima, vemos que podemos definirumaenergiapotencialefeBvaV(r): 18 EnergiacentrífugaepotencialefeHvo Paraocasodaforçacentraldaleidoinversodoquadradoda distância: 19 EnergiacentrífugaepotencialefeHvo 20 EnergiacentrífugaepotencialefeHvo 21 Movimentoplanetário–problemadeKepler Quando a força central é do Hpo da lei do inverso do quadradodadistância: Aintegralpodeserfeitaescolhendotransformaçãodevariáveisderparau=l/r.(exercício2dalista,temqueprovarque aCTE=-π/2).Impõeacondiçãoqueθ=0quandor=rMIN.O “soluHons”nãofazessaúlHmaparte... 22 Movimentoplanetário–problemadeKepler Quando a força central é do Hpo da lei do inverso do quadradodadistância: 23 Movimentoplanetário–problemadeKepler Definindoasconstantesαeεacima,aequaçãor(θ)ouθ(r) fica: Essaéumaequaçãodeumaseçãocônicacomum dosfocosnaorigem. 24 Movimentoplanetário–problemadeKepler 25 Movimentoplanetário–problemadeKepler 26 Movimentoplanetário–problemadeKepler Uma seção cônica é o lugar geométrico dos pontos P cuja distância a um ponto fixo F (chamado fóco da cônica) é uma constante (chamada excentricidadeε=r/r’)vezesa distânciadePaumalinhafixa (chamada diretriz da cônica). Se 0 < ε < 1, obtemos uma elípse,seε=1aparábola,ese ε>1,ahipérbole. 27 Movimentoplanetário–problemadeKepler 28 Movimentoplanetário–problemadeKepler 29 Movimentoplanetário–problemadeKepler os casos em que 0 < ε < 1 correspondem aos movimentos planetários(órbitaselípHcas): PeP’sãoosfocosdaelipse 30 Movimentoplanetário–problemadeKepler Distâncias apsidais (rMIN e rMAX medidasaparHrdosfocos): 31 Movimentoplanetário–problemadeKepler PeríododomovimentoelípHco: Deverdecasa A3aLeideKepleré100%correta? 32 Dinâmicaorbital 33 Dinâmicaorbital Eq.8.42 Porquê-? Energia de órbita em torno doSolcomraio=raioTERRA 34 Dinâmicaorbital v1: velocidade de órbitaigualadaTerra vt1: velocidade de órbita elítpHca que interceptaMarte 35 Dinâmicaorbital Volta Ida onde: 36
