2. Dinâmica do ponto material

NOTAS EM CONSTRUÇÃO (Física Geral I) Cap. 2
Augusto J.S. Fitas
2. Dinâmica do ponto material
SUMÁRIO: Os Problemas Fundamentais da Dinâmica; exemplos; Definição de algumas grandezas
fundamentais; Trabalho e Energia; Energia Potencial; Força de atrito; Exemplos; Problemas
2.1.
Os Problemas Fundamentais da Dinâmica; Exemplos
A Segunda Lei de Newton aplicada a um ponto material, (1.1), pode tomar a
forma
..
.
J = .>
(7@) = 7 ..>@ = 7<
2.1
onde a massa m não varia com o tempo e < œ <" 3  <# 4  <$ 5 representa o vector posição do
ponto em relação a um referencial inercial. O vector : œ 7@, quantidade de movimento,
passar-se-á a designar por momento linear. A expressão (2.1) é uma equação diferencial de
segunda ordem que, decompondo os vectores nas suas componentes, é equivalente ao
seguinte sistema de três equações:
..
. # <"
.
"
J" = .>
Ð7@" Ñ œ 7 .@
œ
7
ou J" œ 7< "
.>
.>#
..
. # <#
.
#
J# = .>
Ð7@# Ñ œ 7 .@
ou J# œ 7< #
2.2
.> œ 7 .>#
..
.@$
. # <$
.
J$ = .> Ð7@$ Ñ œ 7 .> œ 7 .>#
ou J$ œ 7< $
2.2.1.
O Primeiro Problema: Dadas as equações do movimento, determinar a força
capaz de o provocar.
Conhecidas as equações da trajectória, basta derivá-las em ordem ao tempo para
que se conheça a força. Do segundo membro do sistema (2.2), obtidos por duas derivações
sucessivas do vector <Ð>Ñ, passa a conhecer-se o primeiro membro e o problema está
resolvido.
2.1.2.
O Segundo Problema: Conhecida a força, determinar a equação do movimento
provocado.
Conhecida a força, basta proceder a uma integração para se conhecer a
velocidade, sujeitando esta última grandeza a uma outra integração chegar-se-á às equações
da trajectória. Do primeiro membro do sistema (2.2), por integração, acha-se o segundo
membro de todas as equações e o problema está resolvido. Deve, todavia, salientar-se que a
força em causa não tem que ser uma constante, pode ser uma função da posição, da
velocidade e do tempo, isto é
..
.<# .<$
"
7< " = J" (<" , <# , <$ , .<
.> , .> , .> Ñ
..
.<# .<$
"
7< # = J# (<" , <# , <$ , .<
2.3
.> , .> , .> )
..
.<" .<# .<$
7< $ = J$ (<" , <# , <$ , .> , .> , .> )
o que complica a pesquisa da solução. Para que este problema se possa resolver é necessário
definir as condições iniciais em que se encontra o ponto material, a sua posição e velocidade,
ou as condições em qualquer outro instante bem definido. Sem estes dados não se podem
determinar as constantes de integração, o seu conhecimento é uma condição necessária para a
determinação da solução < œ <(t).
2.1.3.
Exemplos
Exemplo 2.1:
Engª Civil/EngªInf./Engª Mec./Engª Quim./LCF  2005-06 Ð2ºsem.)
17
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Determinar a equação de movimento de um ponto material de massa m que se move ao longo
de uma trajectória rectilínea horizontal, com uma velocidade inicial v9 e sujeito à acção de
uma força que se opõe ao movimento e é, em cada instante, proporcional à velocidade.
A equação que traduz este movimento a uma dimensão (B ´ <" ) é
#
7 ..>B# œ J
2.4
onde J œ  5@, sendo 5 uma constante característica do meio onde se desloca o ponto
material, então
#
7 ..>B# œ 7 .@
.> œ  5@
Desta última expressão, tendo presente que inicialmente @ œ @9 , extrai-se a velocidade:
5
5
'@@ .@ œ  5 '0> .>
68 @@9 œ  7
>
@ œ @9 /  7 >
2.5
7
9 @
Finalmente, a segunda integração permite encontrar a posição, @ œ .B
.> ,
'9B .B œ @9 '9> / 75 > .>
B œ
7@9
5
5
Ð"  / 7 > )
2.6
Examinando os resultados, (2.5) e (2.6), conclui-se que a velocidade tende assintoticamente
9
para zero quando B p 7@
5 .
Exemplo 2.2:
Determinar a equação de movimento de um ponto material de massa m que se move à
superfície da Terra, ao longo de uma trajectória rectilínea vertical, com uma velocidade
inicial v9 e sujeito à acção de uma força que se opõe ao movimento e é proporcional à
velocidade.
Este movimento, admitindo que o ponto material se desloca na vertical para baixo
(sentido negativo  Fig.2.0 ), pode ser descrito, a uma dimensão (D ´ <$ ), pela equação
7 .@
2.7
.> œ  71  5@
A força aplicada ao ponto material,
F=  71  5@, é a resultante de dois efeitos:
o peso (  71) e a oposição ao movimento
(  5@). A força  5@ tem sentido positivo,
visto que a velocidade @ tem o sentido do
movimento (@  !, logo  5@  !).
Seguindo um raciocínio análogo ao do
exemplo anterior, virá, tendo presente as
condições iniciais,
'@@ .@ =  '9> .>
v
9 5 ' @1
@œ 
1
5'

5 '@9 1
5'
/5 '>
0
vo = 0
2.8
5
onde 5 ' œ 7
. De (2.8) conclui-se que à
medida que o tempo aumenta, a
velocidade tende para o valor limite
1
17
5 ' œ 5 , velocidade terminal (@> ). O
valor
da
velocidade
terminal
corresponde à existência de uma força
nula, o que se pode confirmar se se fizer
| vo |<| vt |
-g/k’
| vo |>| vt |
t
Fig.2.1:-Representação gráfica do Problema;
´
representação grafica
da expressão (2.8).
Engª Civil/EngªInf./Engª Mec./Engª Quim./LCF  2005-06 Ð2ºsem.)
18
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@ œ  5'1 em (2.6). Se a velocidade inicial é, em módulo, superior à velocidade terminal,
l@9 |>|@> |, então o ponto material começa a perder velocidade e esta aproxima-se da velocidade
terminal, a Fig.2.1 ilustra os diferentes casos possíveis.
A integração da última expressão, @ œ
D (> œ !) ´ 2, conduz ao resultado
D œ2
1>
5'
.=
.>

, tendo presente que
5 '@9 1
5 '#
Ð"  /5 '> )
a posição inicial
2.9
æ
2.2.
Definição de algumas grandezas fundamentais
Da segunda Lei de Newton, expressão (2.1), retira-se que J .> œ 7. @, então o
>
efeito total, entre o instante 1 e 2, da aplicação ao ponto material da força J será '>"# J
@
.> œ '@"# 7. @ ou
'>># J .> œ :#  :"
2.10
"
Designando por impulsão elementar a grandeza .M œ J .>, o resultado do integral calculado
é a impulsão, exprimindo-se na fórmula (2.10), e que corresponde ao seguinte enunciado: a
Impulsão total devido à acção das forças aplicadas a um ponto material entre dois instantes
e´ dada pela variação do momento linear entre os mesmos instantes.
´
Um ponto material move-se ao longo de uma trajectoria
com momento linear : œ 7@,
´
define-se o seu momento cinetico
em relação ao ponto O como sendo o vector P dado por
Pœ<‚ :
2.11
em que <t representa o raio vector do ponto em relação a O. Dada a força J , define-se
momento da força em relação ao ponto O como sendo o vector Q expresso por
Q œ < ‚ J
2.12
Partindo da expressão (2.11) e derivando-a em ordem ao tempo, ..>P = ..>< ‚ : + < ‚ ..>: ß
.:
como ..>< œ @ e
.> =J ( Segunda Lei de Newton), vemß para a equação anteriorß
.P
.> œ @ ‚ : + < ‚ J que, devido a (2.12) e a @ ‚ : œ 0 , é
.P
.>
=< ‚ J
2.13
´
Esta equação traduz o enunciado do Teorema do Momento Cinetico
:
´
A derivada em ordem ao tempo do momento cinetico
de um ponto material de
massa m em relação a um ponto O, e´ igual ao momento da força aplicada em relação ao
mesmo ponto.
æ
2.3.
Trabalho e Energia
Por acção de uma força J , um ponto material de massa m desloca-se, entre duas
posições, ao longo de uma trajectória. Define-se trabalho elementar da força J ao longo do
deslocamento elementar . < como sendo .[ œ J † . < . Esta grandeza pode ainda apresenterse do seguinte modo
.
J † . < œ m ..>@ † ..>< .> Ê J † . < œ m ..>@ † @ .> Ê J † . < œ 7# .>
(@ † @) Ê J † . <
7 .
#
œ # .> (@ ).>
J † . < œ . ( 12 7@# )
2.14
Engª Civil/EngªInf./Engª Mec./Engª Quim./LCF  2005-06 Ð2ºsem.)
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O trabalho realizado pela força Ft
entre a posição 1 e a posição 2 será
dado pelo integral curvilíneo
2
a
Augusto J.S. Fitas
["# = '1 J † . <
b
2
1
c
2.15
que depende da trajectória seguida pelo
ponto material. Relembrando (2.14),
obtem-se
[12 œ ( 12 7@# )‘ #
0
"
Fig.2Þ2: -Representação de três possíveis
trajectórias de deslocamento do ponto material
da posição (1) para a posição (2).
1
2
7(@##
@"#
[12 =
- )
[12 œ X#  X" 2.16
em que X œ 12 7@# representa uma grandeza que se designa por energia cinética do
ponto material. A quantidade 7@# era denominada por Leibniz de força viva, daí que a
igualdade anterior, (2.0), traduza o Teorema das forças vivas: O trabalho efectuado
pelas forças aplicadas a um ponto material ao longo de um determinado deslocamento
é dado pela variação da energia cinética entre a posição final e inicial.
Se X" >X# , então [12 < 0, o ponto material realizou trabalho, o que implica uma
diminuição da Energia Cinética.
Exemplo 2.4:
´
Determinar o trabalho devido à acção de uma força elastica
aplicada a um ponto
t
t ao longo de uma trajectória entre a posição 1 e a posição 2.
material, F=  kr,
Tendo presente (2.15), o trabalho ao longo de uma trajectória, Fig.2.3
2
2
'
[12 = 1 J † .=t œ  5 '1 < † .=t onde .=t representa o deslocamento ao longo da
t
trajectória escolhida e < o vector deslocamento ao longo da mola. Ora (rt † ds)=rcos
)ds
e dscos)=dr, logo o trabalho é dado pela expressão
[12 œ  5 '1 <.< œ
2
1
#
2 5 (<"
 <## )
2.17
Fig.2.3:  Representação gráfica para o cálculo do trabalho devido à acção de uma força elástica e da
força gravítica, respectivamente.
Exemplo 2.4:
Engª Civil/EngªInf./Engª Mec./Engª Quim./LCF  2005-06 Ð2ºsem.)
20
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Augusto J.S. Fitas
´
Determinar o trabalho devido à acção de uma força elastica
aplicada a um ponto
t
t ao longo de uma trajectória entre a posição 1 e a posição 2.
material, F=  kr,
Tendo presente (2.15), o trabalho ao longo de uma trajectória, Fig.2.3
2
2
'
[12 = 1 J † .=t œ  5 '1 < † .=t onde .=t representa o deslocamento ao longo da
t
trajectória escolhida e < o vector deslocamento ao longo da mola. Ora (rt † ds)=rcos
)ds
e dscos)=dr, logo o trabalho é dado pela expressão
[12 œ  5 '1 <.< œ
2
1
#
2 5 (<"
 <## )
2.18
Exemplo 2.5:
Determinar o trabalho realizado por acção da força gravítica uniforme quando
aplicada a um ponto material.
Esta força e´ do tipo
J œ  71t
em que 1t representa a aceleração segundo a vertical, assim, Fig.2.3 ,
2.19
[12 = '1 J † .=t œ  '1 71t † .=t
2
2
t
Como (gt † ds)=g
cos) ds e dscos)=dz, o integral anterior conduz a
[12 œ  '1 71.D œ 71 ( D"  D# )
2
2.20
Conclui-se, expressões (2.17) e (2.20), que, para estes dois tipos de força, o
trabalho é independente da trajectória, depende exclusivamente da posição inicial e
final do ponto material.
æ
2.4.
Energia Potencial
Se existir uma força do tipo das descritas nos exemplos anteriores, isto é, tal
que o seu trabalho é independente da trajectória, dependendo exclusivamente da
posição inicial e final do ponto material, o resultado expresso em (2.17) e (2.19) pode
tomar a forma geral
2
[12 = '1 J † . < œ Y"  Y#
2.21
ou
2
[12 œ  '1 .Y
O trabalho é igual à variação de uma função Y que depende unicamente da posição do
ponto material. Esta função designa-se por Potencial ou Energia Potencial. Prova-se
que, matematicamente, a equação anterior é equivalente a esta outra
J œ  1<+. Y œ  fY
2.22
a força J deriva de um potencial, Y , de acordo com a relação escrita. Em coordenadas
rectangulares o vector fY escreve-se
1<+. Y œ
`Y
`Y
`Y
`B" 3+ `B# 4+ `B$ 5
fY œ !
$
iœ"
`Y
`B3
2.23
?t3
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Às forças, ou ao campo de forças, que derivam de um potencial Y , isto é, em que o
trabalho por elas efectuado ao longo do deslocamento é independente da trajectória,
chamam-se forças conservativas, ou campo de forças conservativo, respectivamente.
De acordo com (2.22) e (2.23), as componentes da força são dadas por
`Y )BßCßDÑ
`B
JB œ 
JC œ 
`Y )BßCßDÑ
`C
JD œ 
`Y )BßCßDÑ
`D
2.24
o que implica determinar a força aplicada a partir do conhecimento da energia potencial.
Da expressão (2.21) pode retirara-se -Ft † drt œ dU, logo a diferença de
energia potencial, .Y , entre dois pontos que distam .< é dada por  Ft † drt œ F cos) dr,
logo .Y
dr œ Fcos) , isto é, a força corresponde à derivada direccional da energia
potencial. Prova-se que um campo de forças é conservativo (J œ  fY ) se e só se o
seu rotacional é nulo
f ‚ J œ !t
2.25
Esta proposição não demonstrada é 7?3>9 importante, pois permite verificar
analiticamente se um campo de forças J é conservativo.
Exemplo 2.6:
Se a energia potencial de um ponto material é dada pela função V œ 3x# y  xz  y,
determinar o campo de forças conservativo que actua sobre o ponto.
A expressão (2.23) permite escrever
`Y
`B
`Y
`C
œ 'BC  D
`Y
`D
œ $B#  "
œ B
logo
 JB œ 'BC  D
 JC œ $B#  1
 JD œ B
JB œ  'BC  D
JC œ  $B#  1
JD œ  B
ou
Exemplo 2.7:
Dada o campo de forças Ft œ (2xy  z$ )utx  x# uty  3xz# utz , verificar se é conservativo,
caso seja determinar U.
Para provar que o campo de forças é conservativo recorre-se ao resultado
(2.24), calcula-se f ‚ J queß como se sabeß é dado por
â
â utB
â
`
t â
f ‚ F=
`x
â
â 2xy  z$
â
utC
`
`y
#
x
â
utD â
â
` â
`z â
3xz# ââ
Resolvendo este determinante simbólico
f‚J œ ’
` ($BD # )
`y
-
` (B# )
`z
“ ?tB  ’
` ($BD # )
`B
-
` (#BCD $ )
`D
“ ?tC + ’
` (B# )
`B
-
f ‚ J œ c!d ?tB  c ($D # ) - ($D # ) d ?tC + c(#B)-(#B)d ?tD
` (#BCD $ )
`y
“ ?tz
conclui-se que o rotacional de J é nulo, logo o campo de forças é conservativo. Se o
campo de forças é conservativo, existe a função Y , dada pela relação expressa em
(2.21), que em seguida se vai calcular:
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22
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`Y
$
#
$
1ºpassoß  `Y
`B œ JB ,logo  `B œ #BC  D ,o que implica  Y œ B C  D B  <(y,z)à
`Y
`Y
#ºpassoß  `C œ JC ß então, de acordo com os dados do problema,  `C œ B# , mas o
`<
#
resultado anterior conduz a  `Y
`C œ B  `C , comparando estas duas
expres-sões conclui-se que ``C< œ !, isto é, < œ ;(D ), então -Y œ B# C  D $ B
 ;(z)à
$ºpassoß raciocínio análogo an anterios,  `Y
`z œ Jz ß então, de acordo com os dados do
`Y
#
problema, - ` z œ $BD , e, devido ao resultado anterior, - ``Uz œ $BD #  ``;z ;
comparando estas duas expressões, chega-se a ``;z œ 0, donde ; œ cte , ou
seja, a expressão da função
Y œ  ( B# C  D $ B)  cte
æ
2.5.
Força de atrito
Considerem-se dois corpos,
A e B, em contacto através das suas
superfícies exteriores, tome-se como
exemplo o caso de um livro colocado
sobre uma mesa. Pretende-se por acção
de uma força F deslocar o corpo A, o
livro, sobre o corpo B, a mesa, e
verifica-se que a acção de contacto
entre as duas superfícies oferece
resistência
ao
movimento;
essa
resistência ao movimento é tanto maior
quanto mais rugosa é a superfície da
mesa.
Fig.2.4:-Movimento do livro sobre a mesa.
Pode acontecer que, embora o corpo esteja sujeito à acção de J , o valor
desta não é suficiente para o colocar em movimento. Não havendo movimento ter-se-á
.# <
.># œ !, o que implica que pela Segunda Lei de Newton a resultante das forças
aplicadas seja nula (!J+: œ !) .
Para o caso do livro sobre a mesa, esquematicamente representado na
Fig.2.4, a Lei Fundamental da Dinâmica escreve-se
#
7 ..><# œ ! J+:
ou, de acordo com o sistema de eixos representado,
#
7 ..>B#" œ J  J+>
2.26
#
7 ..>B## œ V  T
J  J+> œ !
Não havendo movimento o sistema anterior é equivalente a œ
como,
V  T =0
por hipótese assumida, a existir movimento ele será segundo ut" , a acção da mesa sobre
o livro (R) será sempre igual ao peso do livro (P), R=P. Por outro lado, fazendo variar F
o livro não se movimenta, a força de atrito variará de tal modo que F=Fat , Fig.2.5.
Engª Civil/EngªInf./Engª Mec./Engª Quim./LCF  2005-06 Ð2ºsem.)
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NOTAS EM CONSTRUÇÃO (Física Geral I) Cap. 2
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Todavia, sabe-se que a partir de um determinado valor de F passa a existir movimento
do livro sobre a mesa. A força de atrito aumenta até atingir o seu valor máximo, valor a
partir do qual, F>(Fat )max , o livro entrará em movimento.
O valor máximo da força de atrito é dado pela lei de Coulomb que se exprime
matemáticamente por
J+/ œ ./ V
2.27
onde ./ é o coeficiente de atrito estático e depende da natureza das superfícies em
contacto.
Para
valores
de
F,
F=(Fat )max , o livro está prestes a entrar
em movimento, logo que F>(Fat )max
inicia-se o movimento. Havendo
movimento, o que acontecerá à força
de atrito existente entre as duas
superfícies? Esta força continua a
existir, reduzindo-se o seu valor para
Fig.2.5:-representação gráfica da relação entre
F e Fat .
Jac œ .- V
2.28
onde .- é o coeficiente de atrito cinético que depende da natureza das superfícies em
contacto, sendo este coeficiente inferior a ./ para as mesmas superfícies. Após entrar
em movimento o livro ficará animado de uma
ac
aceleração + œ J J
; se a força J diminuir de modo a F œ Fac , o corpo ficará
7
animado de movimento uniforme.
æ
2.6.
Exemplos
Exemplo 2.8 (Movimento do projéctil):
Determinar a equação de movimento de um ponto material de massa m que se move à
superfície da Terra, quando lançado com uma velocidade inicial vt9 qualquer e está
sujeito à acção de uma força vertical constante.
Para a trajectória do ponto material, <Ð>Ñ œ B" Ð>Ñ3  B$ Ð>Ñ5 , sujeito à acção
da força J œ  715 , a segunda lei de Newton para duas dimensões, expressão
(2.1), escreve-se
#
B" Ð>Ñ
7 . .>
œ!
7 .@.>" Ð>Ñ œ !
#
#
B$ Ð>Ñ
7 . .>
œ  71
7 .@.>$ Ð>Ñ œ  71
#
Tendo presente que a velocidade inicial pode tomar a forma
vt! =v! cos() )ut" +v! sen() )ut$ , obtem-se
7
.@" Ð>Ñ
.>
œ!
Ê
@" Ð>Ñ œ @! -9=() )
v
t
7 .@.>$ Ð>Ñ œ  71 Ê 'v!$sen()) .@$ Ð>Ñ=  1'0 .>
Ê
@$ Ð>Ñ œ @! =/8() )  1>
A velocidade do projéctil é dada por @Ð>Ñ œ @9 -9=() )3+Ð@9 =/8() )  1>)5
(admitindo que a posição inicial é <9 œ B9 3  D9 5 ), por integração chega-se às
equações paramétricas da trajectória
Engª Civil/EngªInf./Engª Mec./Engª Quim./LCF  2005-06 Ð2ºsem.)
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NOTAS EM CONSTRUÇÃO (Física Geral I) Cap. 2
7 .B.>" Ð>Ñ œ 7@9 -9=())
Ê
Augusto J.S. Fitas
' B" .B" Ð>Ñ œ @! -9=())' t .> Ê
B!
0
B" Ð>Ñ œ @9 > -9=())  B!
7 .B.>$ Ð>Ñ œ 7Ð@! =/8())  1>) Ê 'z!$ .B$ (>) œ '0 (@9 =/8())  1>).> Ê x$ (t) œ @9 >=/8())  12 1># +D!
B
t
A equação vectorial da trajectória é
<Ð>Ñ œ [@9 > -9=() )  B9 ]3  [@9 > =/8() )  12 1>#  D9 ]5
No caso de a posição inicial coincidir com a origem do referencial (B9 e D9 iguais a
zero) e eliminando o tempo nas equações paramétricas, extrai-se a equação cartesiana
da trajectória
B$ Ð>Ñ œ  12 [@! -9=1 ())]# [B" Ð>Ñ]# + B" Ð>Ñ >1() )
Esta expressão permite concluir que a trajectória é uma parábola cujo eixo é vertical e a
concavidade é dirigida para baixo Fig.2.6.
Fig.2.6:- Trajectória do movimento bidimensionalde queda de um grave
O ponto mais alto da trajectória é o ponto B representado na figura. Neste
ponto a componente da vertical segundo o eixo vertical é nula, logo
@9 =/8() )  1> œ !
Ê
>œ
@! =/8())
1
substituindo o valor de t obtido nas equações paramétrica, determinam-se as
coordenadas do ponto B
#
B" = (@291) =/8(#) )
(B9 œ !)
#
B$ = (@291) =/8# () )
(D9 =0)
Exemplo 2.9 (o pêndulo cónico):
Uma massa m encontra-se suspensa de um ponto O através de um fio indeformável e de
comprimento j,Fig.2-9 ,o ângulo que o fio faz com a vertical é ):
a) qual a velocidade angular = que se tem de comunicar à massa m para que
esta descreva com movimento uniforme um círculo horizontal
b) determine o momento cinético em relação ao ponto
c) mostre que se verifica o Teorema do Momento Cinético.
#
a) A segunda lei de Newton escreve-se
7 . .><Ð>Ñ
œ Xt +Tt em que Xt
#
representa a acção da corda sobre a massa m e Tt o peso desta. Para que o movimento se
Engª Civil/EngªInf./Engª Mec./Engª Quim./LCF  2005-06 Ð2ºsem.)
25
NOTAS EM CONSTRUÇÃO (Física Geral I) Cap. 2
Augusto J.S. Fitas
#
a) A segunda lei de Newton escreve-se
7 . .><Ð>Ñ
œ Xt +Tt em que Xt
#
representa a acção da corda sobre a massa m e Tt o peso desta. Para que o movimento se
processe unicamente no plano horizontal, a resultante (J œ Xt  Tt ) tem que ser um
vector que actua em m e pertence ao plano do movimento, o que implica que a
componente da resultante das forças segundo a direcção normal ao plano anula-se
X -9=) œ T ou X -9=) œ 71.
Como se pretende que o movimento
seja circular e uniforme, J possui a
direcção raio da trajectória e o seu valor
é dado por
@#
J œ 7 6 =/8
J œ 7=# 6 =/8)
)
onde = é a velocidade angular,
@ œ =6sen) . Da geometria expressa em
Fig.2-9 rapidamente se conclui que
F
P =tg); substituindo este resultado na
expressão anterior
^
Fig.2.7: Representação gráfica do pendulo
cónico
)
T >1) œ 71 =/8
-9=)
T >1) œ 7=# 6=/8)
ou
1
=# œ 6 -9=
)
Isto é, quanto maior for o ângulo ) , maior será a velocidade angular de circulação do
ponto material.
b) O momento cinético em relação ao ponto S é dado por (2.11), neste caso concreto
escreve-se P œ 6 ‚ 7@. Da geometria do problema conclui-se que t6 ¼ @, logo
P œ 76@ e a sua direcção é normal ao plano definido por P e @ .
A
B
^
Fig.2.8: A Sistema de eixos do pendulo
cónico; B Momento cinético em relação a O
Resolva-se esta mesma questão em termos gerais. O movimento do ponto
material (massa m) é descrito por <Ð>Ñ œ 6 =/8) -9=(=>)3  6 =/8) sen(=>)4, Fig.2.7,
admitindo que no instante inicial (> œ !) se encontra sobre B" ; o vector velocidade é
normal a <Ð>Ñ, logo assume a forma
@Ð>Ñ œ =6 =/8) -9=(=>  12 )3  =6=/8) =/8(=t+ 12 )4
@Ð>Ñ œ  =6 =/8) (=>)3+=6 =/8) -9=(=>)4
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26
NOTAS EM CONSTRUÇÃO (Física Geral I) Cap. 2
Augusto J.S. Fitas
O vector posição de m em relação a O é t6Ð>Ñ=6 =/8) -9=(=>)3+6 =/8)=/8(=>)4-6-9=)5 .
O momento cinético Lt será
ou seja
â
â
3
4
5 â
â
â
t6 ‚ 7@= ââ
6=/8) -9=(=>)
6=/8) =/8(=>)
6-9=) â
â
â
0 â
â  7=6=/8) =/8(=t) 7=6=/8) -9=(=t)
P œ  72 =6# =/8(2) )-9=(=t)3+ 72 =6# =/8(2) )=/8(=>)4+7=6# =/8# ) 5
Na Fig.2.8A mostra-se a representação, no espaço, de P.
c) De acordo com (2.13),
.P
.>
= 6 ‚ J , e sabendo que a resultante das forças
é
J œ  7=# 6=/8) -9=(=>)3  7=# 6=/8) =/8(=>)4
calculem-se separadamente os dois membros da expressão. Assim para o primeiro
membro
.P
7 # #
7 # #
.> = 2 = 6 =/8(2) ) =/8(=>)3  2 = 6 =/8(2) )-9=(=t)4
enquanto que para o segundo
ou
â
3
â
â
6=/8) -9=(=>)
6 ‚ J= â
â
â  7=# 6=/8) -9=(=>)
6 ‚ J=
7 # #
2 = 6 =/8(2) )
â
4
5 â
â
6=/8) =/8(=>)
6-9=) â
â
 m=# 6=/8) =/8(=>)
0 â
=/8(=>) 3 
7 # #
2 = 6 =/8(2) )-9=(=t)4
Está assim provado o Teorema do Momento Cinético.
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27
NOTAS EM CONSTRUÇÃO (Física Geral I) Cap. 2
2.7.
Augusto J.S. Fitas
Problemas
1. O ponto material A desloca-se ao
longo de OX, enquanto que B se movimenta
circularmente com uma velocidade angular,
=, constante. Calcular a velocidade e
aceleração de A.
2. De acordo com a Fig.2.10 e
sabendo que os corpos A e B possuem as
massas 7" e 7# , respectivamente,
determine:
a)
a
aceleração
do
sistema
desprezando as forças de atrito;
b) a aceleração do sistema, admitindo
que o coeficiente de atrito cinético entre os
corpos A e B e a superfície e ..
3. Duas massas Q e 7 estão ligadas
por um fio através de uma roldana,
Fig.2.11. Admitindo que o fio é
´
inderfomavel,
sendo desprezável a sua
massa bem como a acção deste sobre a
roldana, determine:
a) a aceleração do movimento;
b) a tensão (X ) no fio.
4. Um corpo A de massa Q colocado
sobre um plano horizontal encontra-se
ligado, através de um fio, a um outro, B, de
massa variável que está suspenso, Fig. 2.12.
Os coeficientes de atrito estático e cinético
entre a superfície e A são 5" e 5# ,
respectivamente. Determine:
a) o valor mínimo da massa de B que
permite iniciar o movimento de A;
b) o valor mínimo da massa de B para
que o movimento de A seja uniforme.
5. Observe a Fig.2.14 onde Q e 7
são as massas de B e A, respectivamente; 5
é o coeficiente de atrito estático entre as
superfícies de contacto dos dois corpos.
Determine o valor mínimo da força J
aplicada em B que permite ao corpo A
deslocar-se sobre aquele.
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Fig.2.9
Fig.2Þ10
Fig.2Þ11
Fig.2Þ12
Fig.2.13
28
NOTAS EM CONSTRUÇÃO (Física Geral I) Cap. 2
6. Dois blocos Q =$51 e 7 œ #51
estão em contacto entre si e deslocam-se
sobre
uma
superficie
horizontal
(Fig.2.14). Uma força J œ &R actua
sobre o bloco Q , não havendo atrito
entre este e a superfície. Entre o bloco 7
e a superficie horizontal há uma força de
atrito constante e que vale #R Þ
Determine:
a) a aceleração dos dois blocos;
b) a força de contacto entre os dois
blocos.
Augusto J.S. Fitas
M
F
m
Fig.2.14
7. Observe o esquema representado
na Fig.2.15, admitindo que os fios são
inderfomáveis, sendo desprezável a sua
massa bem como a acção destes sobre as
roldanas, determine:
a) a aceleração do movimento das
massas 7" , 7# e 7$ ;
b) a tensão nos fios ligados às
Fig. 2.15
mesmas massas.
8. Um ponto material com a massa 7 move-se ao longo de uma trajectória
rectilínea horizontal, com uma velocidad inicial @9 e encontra-se sujeito à acção de uma
força que se opõe ao movimento e é, em cada instante, proporcional ao quadrado da
velocidade. Para o instante t, determinar:
a) a aceleração do ponto material;
b) a velocidade do ponto material;
c) a posição do ponto material.
9. Lançado do solo um projéctil tem que passar por cima de uma parede de altura
2, encontrando-se esta à distância =, na horizontal, do ponto de lançamento. Qual o
valor menor possível da velocidade que permite ao projéctil saltar o obstáculo? Neste
caso qual o angulo de lançamento?
10. O vector posição de um corpo de massa %kg é dado por
<Ð>Ñ œ (2>#  4>) 3  3>$ 4  2> 5
determine:
a) a força que actua no corpo;
b) o momento das forças em relação à origem;
c) o momento linear e o momento cinético do corpo em relação à origem;
.:
.P
d) verificar as relações J œ .>
t e Q œ .> .
11. Uma partícula material de massa 7 está sujeita à acção de uma força
´
J œ J9 =/8=>, determine a sua trajectoria,
sabendo que para > œ 0 se tem < œ 0 e
@ œ 0.
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NOTAS EM CONSTRUÇÃO (Física Geral I) Cap. 2
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12. Um ponto material está sujeito à acção de um campo de forças
J =(C# -2BCD $ )3+(3+2BC -B# D $ ) 4 + (6D $ -3B# CD # )5
a) verifique que este campo é conservativo;
b) caso seja determina a função potencial, Y , associada ao campo J ;
c) determine o trabalho quando um ponto material se desloca por acção deste
campo entre a posição (2,-1,2) e (-1,3-2).
13. Um ponto material está sujeito à acção de um campo de forças
J =(3B#  6CD )3+(2C +3BD )4  (1  4BCD # )5
a) verifique que este campo é conservativo;
b) caso seja determina a função potencial, Y , associada ao campo J ;
c) determine o trabalho quando um ponto material se desloca por acção deste
campo entre a posição (0,0,0) e (0,1,1).
14. Dado o campo de forças J œ 5<$ <
a) verifique que este campo é conservativo;
b) caso seja determina a função potencial, Y , associada ao campo J .
15. Um ponto material, de massa 2 kg, está sujeito à acção de um campo de forças
J =(24># )3+(36>-16)4  (12>)5
sabendo que no instante t=0 a sua velocidade é nula, determine:
a) a energia cinética nos instantes > œ 1 e > œ 2;
b) o trabalho feito pelo campo de forças quando o ponto se desloca entre as
posições correspondentes aos instantes > œ 1 e > œ 2;
c) a impulsão entre os instantes > œ 1 e > œ 2;
d) o momento da força em relação à origem;
e) o momento cinético em relação à origem.
16. Um projéctil é lançado com uma velocidade inicial horizontal @! do topo de
um prédio de altura h. Admitindo o movimento no plano OX" X# :
a) determine o momento cinético e o momento das forças aplicadas em relação à
base do edifício;
!
b) mostre que se verifica .P
.> œ Q9 .
17. Numa estrada o declive de uma curva cujo raio é 300m, foi calculado para
uma velocidade de 25m/s.
a) Determinar o declive da curva;
b) O atrito entre os pneus e a estrada é tal que permite, no máximo, que a força
tangencial seja 0,4 da da força normal à estrada; qual o valor máximo da velocidade do
carro para que possa fazer a curva sem derrapar?
18. Dado um pêndulo cónico constituido por uma massa de 20kg cuja velocidade
angular de rotação em torno do seu eixo é =, determine a tensão da corda e o ângulo
desta com a vertical. [j=1,16m ==30 rad.s" ]
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NOTAS EM CONSTRUÇÃO (Física Geral I) Cap. 2
Augusto J.S. Fitas
19. Provar que diferentes pêndulos cónicos suspensos do mesmo ponto e com
diferentes comprimentos, mas girando no mesmo plano horizontal, possuem o mesmo
período.
20. Uma massa Q está suspensa de
um fio, passando através de um pequeno
tubo, que possui na outra extremidade
uma outra massa 7 animada do movimento de um pêndulo cónico
(Fig.2.16).
a) Escreva as equações dinâmicas
que se aplicam a cada massa;
b) Mostre que a massa 7 percorre
uma órbita no intervalo de tempo dado
67
por #1Š 1Q
‹
"Î#
Þ
Engª Civil/EngªInf./Engª Mec./Engª Quim./LCF  2005-06 Ð2ºsem.)
l
θ
m
M
Fig 2.16
31