22 - Curso Mentor

30's Volume 22
Matemática
www.cursomentor.com
20 de julho de 2015
Um homem de x + 65 m de altura está de pé próximo a um poste de
97
m. Neste momento, a sombra do poste é de x + 47
m. Neste
altura x + 50
5
caso qual a medida da sombra do homem neste exato momento, se ela tem
medida x + 42
m?
5
Q1.
Um triângulo ABC tem os pontos M e N sobre os lados AB e AC ,
respectivamente. Sabe-se que M N ∥ BC e que as áreas do triângulo AM N
e do trapézio M N CB são iguais. Calcule a razão entre a altura do triângulo
AM N e do triângulo ABC .
Q2.
Um trapézio possui uma base igual a 3 cm e a outra base com medida congruente à altura de medida x cm. Qual a medida da base maior, se
a área deste trapézio mede 35 cm2 ?
Q3.
Q4.
área.
Calcule a área de um círculo cujo valor do comprimento vale
5π
8
da
De um ponto P , exterior a uma circunferência traçam-se duas secantes
P B e P D, determinando ainda, os pontos A entre P e B e C entre P e
D. Calcule x, sabendo que P A = 2x, AB = x + 2, P C = x + 1 e CD = x + 5.
Q5.
Em um triângulo ABC , AM é bissetriz interna e AB = 2x + 10,
BM = 20 − x2 , CM = x2 + 15 e AC = 3x + 10. Calcule o perímetro deste
triângulo.
Q6.
Calcule o perímetro de um retângulo de lados 24 − x cm e x + 4 cm e
cuja diagonal vale 20 cm.
Q7.
1
Calcule a área de um√ triângulo
√ retângulo cujas projeções dos catetos
sobre a hipotenusa valem 2 cm e 3 cm.
Q8.
Prove que, em qualquer triângulo ABC cujos lados são AB = c, AC = b
b = α tem área vale S = b·c·sen α .
e BC = a e, cujo ângulo B AC
2
Q9.
Considere o quadrilátero ABCD da gura. Calcule a medida de BC
e a área do quadrilátero, sabendo que AD = 4.
Q10.
A
D
30◦
45◦
B
60◦
C
Em determinada pesquisa com 283 pessoas sobre a preferência por dois
canais de TV, A e B , vericou-se que:
Q11.
• 83 pessoas assistem apenas o canal A;
• 61 pessoas assistem o canal B ; e
• 29 assistem ambos os canais.
Pergunta-se:
a) Quantas pessoas assistem apenas um dos canais?
b) Quantas pessoas assistem apenas o canal B ou nenhum deles?
Encontre a expressão algébrica da função am que passa pelos pontos
(a + b, a − b), (ab, ab ), sendo ab ̸= 0.
Q12.
Encontre o maior retângulo que pode ser inscrito em um triângulo
equilátero de lado ℓ, estando um dos lados do retângulo apoiado sobre a base
do triângulo.
Q13.
Encontre
de interseção, se existirem,
entre as funções dadas
√
√ os pontos
√
√
√
√
√
√
por f (x) = x2 − ( 2 + 3)x + 6 e g(x) = x2 + ( 5 − 2)x + 7.
Q14.
2
Considere a função real f (x) = −2014x2 − x +
x2 . Encontre:
Q15.
1
2014
de raízes x1 e
a) x1 + x2 ;
b) x1 − x2 ;
c) x31 + x32 .
√
Considere as seguintes funções reais f e g dadas por f (x) = 2x + 1 e
g(x) = x4 −13x2 +42. Encontre as coordenadas do vértice da função g(f (x)).
Q16.
Q17.
Coloque em ordem crescente os números:
− 0, 01−1
0, 12
10−1
− 10−2
− (−0, 01)3
Q18.
Calcule:
Q19.
Classique cada sentença em VERDADEIRA (V) ou FALSA (F):
−22 × 22 ÷ 22 + 22
(2)−2 ÷ (−2)−2 + (−2)−(−2)
• Qualquer número elevado a zero vale 1.
• Qualquer número elevado a 1 vale zero.
• Zero elevado a qualquer potência vale zero.
• O valor de 23 é o mesmo de 43 .
4
2
• Potências sempre dão, como resultado, números positivos.
Q20.
Existem valores para os quais temos xy = y x . Calcule-os.
Q21.
Resolva:
Q22.
Q23.
1
1611x−13 ÷ 89+7x = 32x+1 · 4 2 x
Resolva o sistema a seguir:
{ x y
3 · 2 = 24 · 3
x
+ 3y = 10
2
Resolva:
2014x + 2014−x = 2
3
Q24.
Resolva:
Sugestão: Faça 2
x
Q25.
23x − 5 · 22x + 6 · 2x = 0
= y.
Em determinada pesquisa sobre o hábito de fumar, vericou-se que:
• 1791 dentre as pessoas entrevistadas são homens;
• 1525 dentre as pessoas entrevistadas são fumantes;
• 1923 dentre as pessoas entrevistadas são mulheres; e
• 2189 dentre as pessoas entrevistadas não fumam.
Se todas as pessoas abordadas responderam à pesquisa, pergunta-se:
a) Quantas pessoas são mulheres ou fumantes?
b) Quantas pessoas são homens fumantes ou mulheres não fumantes?
√ √Encontre a expressão algébrica da função am que passa pelos pontos
( a, b), (a2 , b2 ), sendo a e b números reais positivos.
Q26.
Encontre o retângulo de maior área que pode ser obtido, sendo a soma
de 3 dos lados do retângulo igual a k ∈ R∗+ .
Q27.
Encontre √
os pontos
se existirem,
√ de√interseção,
√
√ entre
√ as funções
√
√ dadas por f (x) = 2 + 3x + 5 + 7 e g(x) = −( 2 + 3)x − 7 + 11.
Q28.
Q29.
Considere a função real f (x) = x2 −13x+37 de raízes x1 e x2 . Encontre:
a) x31 + x32 ;
b)
1
x1
+
1
;
x2
c) x41 − x42 .
Considere as seguintes funções reais f , g e h dadas por f (x) = 23 x + 35 ,
. Encontre a raiz da função g(f (h(x))).
g(x) = −x + 47 e h(x) = − −11x+1
3
Q30.
4
Gabarito Volume #22
Q1.
x√ =
2
2
Q2.
Q3.
250
13
7 cm
256
5π√
1+ 7
Q5.
2
Q4.
Q6.
Q7.
2p = 105
56
cm√
√
4
Q8.
24+ 4 54
2
Trace a partir de B a altura relativa ao lado BC , que chamaremos de h.
Veja que sen α = hc . Como a área vale S = b·h
, basta substituir o h = c·sen α.
2
√
√
Q10. BC = 2 2; 4(1 +
3)
Q9.
Q11.
a) 86
b) 200
Q12.
y=
Q13.
x=
x=
Q14.
a−ab+b2
·
b[ab−(a+b)]
√
ℓ 3
ℓ
;y=2
√4 √
√6−√7
3+ 5
x+
a2 b2 −ab3 −a2 +2ab2 −ab
,
b[ab−(a+b)]
ab ̸= a + b
Q15.
1
a) − 2014
√
5
b) − 2014
4
c) − 2014
3
Q16.
Q17.
Q18.
Q19.
Q20.
Q21.
Q22.
Q23.
Q24.
( 11
, − 14 )
4
−0, 01−1 < −10−2 < −(−0, 01)3 < 0, 12 < 10−1
0
Todos os itens são falsos.
(x, y) = (a, a), a ∈ R∗
x = 84
59
(x, y) = (2, 3)
x=0
x = 1 ou x = log2 3
Q25.
a) 2556
5
b) 1734
Q26.
Q27.
Q28.
√
√b · x +
y = ab2 −
− a
k
x = k4 ; y =
√ 2 √
2
(x, y) = (
√
√
2a2 −a2 b−b2 a
√
,
a2 − a
a ̸= 1
√ √
√ √
11− 5−2( 2+ 7)
5+ 11
√
,
)
2
2 3
Q29.
a) 754
b)
13
37
√
c) 1235 21
Q30.
x=
61
770
6