Universidade Federal de Juiz de Fora

Universidade Federal de Juiz de Fora
Curso Introdutório a Física I
PET-Civil
CAP.1) Cinemática
1.1) Movimento em uma dimensão:
Divide-se em:

Movimento Retilíneo Uniforme (MRU):
- Velocidade constante (v = cte);
- Força resultante nula (Fr = 0);
- Aceleração nula (a = 0).
Fórmulas:
▪ Deslocamento: ∆x = x2 - x1
▪ Velocidade Média: Vm = ∆x/ ∆t
▪ Deslocamento em função do tempo: x = xο + v.t
Ex.1: Um carro percorre uma estrada retilínea. Os primeiros 40km são cobertos com velocidade
média de 80km/h e o deslocamento total é feito em 1,2h. Qual a velocidade média do carro nos 40km
finais do deslocamento?

Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV):
- Velocidade varia no decurso do tempo;
- Força resultante não nula (Fr ≠ 0);
- Aceleração constante (a = cte ≠ 0).
Fórmulas:
▪ Aceleração: a = ∆v / ∆t
▪ Velocidade em função do tempo: v = vο + a.t
▪ Deslocamento em função do tempo: x = xο + vοt + a.t²/2
▪ Equação Torricelli: v² = vο² + 2a ∆x
Gráficos do MUV:
Obs.: 1- O vértice da parábola do gráfico s x t corresponde ao instante em que o móvel muda de
sentido (velocidade escalar nula no gráfico v x t).
2- Antes do vértice da parábola o movimento é retardado e, após o vértice, é acelerado nos dois
casos considerados (α > 0 e α < 0). Portanto, quando um móvel em MUV muda de sentido, antes da
mudança ele tem movimento retardado e logo depois acelerado.
1
s = s0 + v0.t + ½ α.t²
v = v0 + α.t
α = a = constante
Ex.2: Um ônibus acelera a 1,5m/s², a partir do repouso, durante 12s. Depois, trafega a velocidade
constante durante 25s e, finalmente, alentece até parar com uma desaceleração de -1,5m/s². (a) Qual a
distância coberta pelo ônibus? (b) Qual a velocidade média do ônibus?
1.2) Movimento em duas dimensões:

Movimento dos projeteis:
- A velocidade na direção x é constante (vx = cte).
- Não há aceleração na direção horizontal (ax = 0);
- A velocidade na direção y (vy) é variável, pois há a aceleração da gravidade (ay = g).
Trajetória de um projétil e vetores velocidade.
Fórmulas:
▪ v0x = v0.cosθ0
▪ voy = v0.senθ0
▪ vy = v0y – gt
▪ x(t) = xo + v0x .t
▪ y(t) = y0 + v0 y.t – ½ g.t²
2
Ex.3: Uma gaivota, voando a 16m/s, sob um ângulo de 40° abaixo do horizonte, arremessa uma casca
de mexilhão contra um banhista que está na praia, à distância vertical de 8,5m. O mexilhão atinge o
alvo em cheio. (a) Qual a posição do banhista em relação à gaivota no instante de arremesso? (b) Qual
o tempo de vôo do mexilhão? (c) Qual a velocidade do projétil no instante do impacto com o banhista?
CAP.2) Leis de Newton

Primeira Lei: Um corpo em repouso permanece em repouso a menos que sobre ele atue uma
força externa. Um corpo em movimento desloca-se com velocidade constante a menos que
sobre ele atue uma força externa.

Segunda Lei: A aceleração de um corpo tem a direção da força externa resultante que atue
sobre ele. É proporcional ao módulo da força externa resultante e inversamente proporcional à
massa do corpo:
a = Fr/m
ou Fr = m.a
A força externa resultante é a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre o corpo:
Fr = ∑F

Terceira Lei: As forças sempre atuam aos pares de forças iguais, porém opostas. Se um corpo
A exerce uma força sobre outro B, este exerce sobre A uma força que tem módulo igual ao da
primeira, porém em sentido oposto.
Ex.4: Um astronauta, em um planeta desconhecido, deixa cair uma bola de chumbo, de 76,5g de
massa, do topo da nave até o solo, 18m abaixo, cronometrando em 2,5s o tempo de queda. O
astronauta tem a massa de 68,5kg. Qual o seu peso no planeta desconhecido?
Ex.5: Uma carga de 1000kg está sendo movimentada por um guindaste, presa a um cabo. Achar a
tensão no cabo quando (a) a aceleração da carga, para cima, é 2m/s², (b) a carga está sendo elevada a
velocidade constante, e (c) a carga está sendo suspensa com uma velocidade q diminui de 2m/s a cada
segundo.

Lei de Hooke:
Se uma mola sofrer pequena compressão, ou pequeno esticamento, ∆x, a força que ela exerce é
dada por:
Fx = -k. ∆x
Ex.6: Um bloco de massa m = 2kg está apoiado em uma superfície horizontal lisa, encostado a uma
mola de constante elástica k = 32N/m. A mola está comprimida de x = 10cm e mantida nessa situação
por meio de um barbante amarrado a ela. Queimando-se o barbante, a mola se distende, empurrando o
bloco. Qual é a velocidade com que o bloco abandona a mola?
3
CAP.3) Aplicações das Leis de Newton
3.1) Atrito:
Força de atrito é a força que aparece entre duas superfícies de contato quando há deslizamento
(ou tentativa de deslizamento) relativo entre elas. É provocada pela interação das superfícies e depende
das irregularidades das superfícies de contato e da reação normal de uma superfície contra outra.
-Atrito estático: f s = μs.Fn
Pode variar de zero até certo valor máximo f s máx (f s≤ f s máx).
-Atrito Cinético: f k = μk. Fn
O gráfico mostra como varia a força de atrito exercida pelo solo sobre uma coisa nele pousada,
em função da força aplicada. A força de atrito equilibra a força aplicada até f s máx quando a caixa
principia a escorregar.
Ex.7: Um bloco de 5kg é mantido em repouso contra uma parede vertical por uma força horizontal de
100 N. (a) Qual a força de atrito da parede sobre o bloco? (b) Qual a força horizontal mínima que
impede o bloco de cair? O coeficiente de atrito entre a parede e o bloco é μs = 0,4 .
3.2) Movimento circular:

Aceleração centrípeta:
Uma partícula que se move com velocidade de módulo constante v sobre um círculo de raio r
tem aceleração de módulo v²/r dirigida radialmente para o centro do círculo. Esta aceleração é
denominada centrípeta, é responsável pela mudança de direção e sentido do vetor velocidade,
mas não pela variação do módulo do mesmo.
Fórmulas:
▪ ac = v²/r
▪ v = 2πr/T

Força centrípeta:
Como com qualquer aceleração, é preciso haver uma resultante de forças na direção da
aceleração para produzi-la. No caso da aceleração centrípeta, esta força é a força centrípeta.
Ex.8: Uma pedra de 0,75 kg, presa a um fio gira num círculo horizontal de 35 cm de raio, como um
pêndulo cônico. O ângulo do fio com a vertical e de 30°. (a) Calcular a velocidade v da pedra. (b)
Calcular a tensão no fio.
4
CAP.4) Trabalho e Energia
4.1)Trabalho:
Uma força realiza trabalho quando age sobre um corpo, deslocando-o, e há uma
componente da força na direção do deslocamento.
No caso de uma força constante, unidimensional, o trabalho é produto do módulo da
componente da força paralela ao deslocamento pelo módulo do deslocamento.
W = F.cosθ.Δx
Onde W é o trabalho, F é a força aplicada, θ é o ângulo entre a força e o eixo dos x e Δx é o
deslocamento. A unidade de W é Joule (J) ou N.m.(1J = 1N.m)
O trabalho total é igual ao trabalho da força resultante.
Wtotal = Fr x . Δx
ou
Wtotal = Σ W
Ex.9: Uma força constante de 80N atua sobre um corpo de massa 5,0kg que se move na direção da
força com a velocidade de 20m/s. Três segundos depois o corpo está com a velocidade de 68m/s.
Determinar o trabalho efetuado pela força.
4.2) Teorema da Energia Cinética:

Energia cinética:
K= ½ .m.v²

Teorema da Energia Cinética:
O trabalho total efetuado sobre uma partícula é igual à variação da energia cinética da partícula:
Wtotal = ΔK = ½ m.vf² - ½ mvi²
Ex.10: Um rapaz e uma moça apostam uma corrida. Inicialmente os dois tem a mesma energia
cinética. Quando o rapaz aumenta de 25% a sua respectiva velocidade, ambos têm a mesma
velocidade. Se a massa do rapaz for de 85kg. Qual será a da moça?
4.3) Potência:
A potência P proporcionada por uma força é a taxa temporal com que a força efetua trabalho.
P = W = F.v. cosθ
Δt
5
Ex.11: Um corpo de 4,0kg está inicialmente em repouso em x = 0 e é acelerado, a potência constante
de 8,0 W. Calcular a velocidade do corpo no instante t = 6,0s.
4.4) Energia Potencial:

Forças Conservativas:
Uma força é conservativa se for nulo o trabalho que ela efetua sobre uma partícula que
descreve uma trajetória fechada e retorna à posição inicial. O trabalho efetuado por uma
força conservativa sobre uma partícula não depende da trajetória da partícula ao passar de
um ponto para outro.

Energia Potencial Gravitacional:
U = m.g.y

Energia Potencial Elástica:
U = ½ k.x²
4.5) Conservação da Energia Mecânica:
A soma da energia cinética K com a energia potencial U de um sistema é a energia mecânica
total:
Emec = K+U
Quando somente forças conservativas internas efetuam trabalho no sistema, a energia mecânica
Emec é constante.
Ex.12: Uma pedra é arremessada para cima sob um ângulo de 53° com a horizontal. A altura máxima
da pedra na respectiva trajetória é de 24m. Qual a velocidade inicial da pedra?
Ex.13: Uma pessoa de 60kg, com os pés presos a um elástico forte, pula de uma ponte que está a L =
310m de altura em relação à superfície de um rio. O comprimento do elástico é d = 50m e ele se
comporta como mola elástica com a constante de força k. No primeiro pulo, a pessoa quase toca na
superfície da água e depois de muitas subidas e descidas fica em repouso na altura h acima dessa
superfície. (a) Calcular a altura h. (b) Calcular a velocidade máxima da pessoa.
6
CAP.5) Sistemas de Partículas e Conservação do Momento
5.1) Centro de massa:
É o ponto do sistema que se move como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nele
e todas as forças externas ao sistema atuassem exclusivamente sobre ele.
Mx = m1.x1 + m2. x 2
Ex.14: Três pequenas esferas A(2,2), B(1,1) e C(3,0), com as massas de 3kg, 1kg e 1kg estão
montados nos vértices de um triângulo de hastes rígidas, muito leves. Que coordenadas tem o centro de
massa?
5.2) Conservação do Momento:
O momento linear p de uma partícula é o produto da massa pela velocidade da partícula. É uma
grandeza vetorial que pode ser imaginada como medida do esforço necessário para levar a partícula ao
repouso.
p= m.v
Se a resultante das forças externas que atuam sobre um sistema for nula o momento do sistema
permanece constante.
Ex.15: Um bloco de madeira e uma pequena arma estão firmemente presos nas extremidades opostas
de uma plataforma (massa desprezível) que pode deslizar sem atrito sobre uma mesa de ar. A massa da
arma é ma , a do bloco, mb , e a do projétil disparado, m p . A arma está apontada para o bloco e o
projétil, ao ser disparado, tem a velocidade v p em relação a um observador em repouso na mesa.
Vamos admitir que o desvio do projétil em relação à horizontal seja desprezível e que a sua penetração
do alvo seja pequena.(a) Qual a velocidade da plataforma deslizante imediatamente depois de a arma
ser disparada? (b) Qual a velocidade da plataforma imediatamente depois de o projétil ficar em
repouso no alvo? (c) Qual o deslocamento do bloco de madeira, em relação à sua posição inicial, no
instante que o projétil o atinge?
5.2) Colisões:
Numa colisão, os dois corpos se aproximam e interagem fortemente durante um intervalo de
tempo muito curto. Quando a energia cinética total dos dois corpos se conserva, tem-se a colisão
elástica; quando não se conserva, tem-se a colisão inelástica. Caso extremo é o da colisão
perfeitamente inelástica onde toda energia cinética relativo ao centro de massa se converte em energia
térmica ou interna do sistema e os dois corpos formam um só depois da colisão.

Impulso:
O impulso I de uma força é definido por:
I = F. Δt
7
O impulso da força resultante é igual à variação total do momento durante o intervalo de
tempo:
Ir = pf – pi = Δp
Ex.16: Quando uma bola de futebol, de 0,40kg, é rebatida de primeira, a sua velocidade pode variar
de -15m/s para +15m/s. (a) Qual o módulo do impulso proporcionado à bola? (b) Se o contato entre a
bola e a chuteira do jogador durar 8ms, qual a força média exercida sobre a bola?

Colisões perfeitamente inelásticas em uma dimensão:
As duas partículas formam uma só partícula depois da colisão.
(m1 + m2).v = m1 v1 i + m2 v2 i

Colisões elásticas em uma dimensão:
As energias cinéticas inicial e final são iguais. A velocidade de recessão é igual a
velocidade de aproximação.
v2 f – v1 f = -(v2 i – v1 i)

Colisões perfeitamente inelásticas em três dimensões:
O vetor momento inicial total é igual à soma vetorial dos vetores momento iniciais de cada
corpo envolvido na colisão. Os corpos, depois da colisão, constituem um só corpo, e uma
vez que o momento final é igual ao inicial, movem-se na direção do momento total
resultante com a velocidade v dada por:
v = P/(m1 + m2)
Ex.17: Um corpo de 3 kg, a 4 m/s, colide elasticamente com outro corpo, estacionário, de 2 kg. Com
a conservação do momento e com a igualdade entre a velocidade relativa de recessão e a de
aproximação, calcular a velocidade de cada corpo depois da colisão. Verificar a resposta pelo cálculo
das energias cinéticas inicial e final de cada corpo.
CAP.6) Rotação
6.1) Velocidade angular e aceleração angular:
Imaginemos um disco que gira em tordo de um eixo fixo, perpendicular ao seu plano e que
passa pelo seu centro. Os pontos próximos à periferia do disco giram com velocidade maior do que os
pontos próximos ao centro.
Quando o disco gira o ângulo Δθ, uma partícula típica do disco descreve um arco circular de
comprimento:
Δs = r.Δθ
O deslocamento angular Δθ é positivo no sentido anti-horário.
A distância Δs varia de partícula para partícula, porém o ângulo Δθ, o deslocamento angular, é
o mesmo para todas as partículas do disco.
8
▪ Velocidade angular:
ω = Δθ/Δt
▪ Aceleração angular:
α = (ω – ω0)/ Δt
▪ Velocidade linear:
v = r.ω
▪ Aceleração tangencial:
at = r.α
▪ Aceleração centrípeta:
ac = r.ω²
▪ Equações da rotação com aceleração angular constante:
ω = ω0 + α.t
θ = θ0 + ω0.t + ½ α.t²
ω² = ω0² + 2α(θ - θ0)
Ex.18: Calcular a velocidade linear de um ponto de um disco compacto (a) a r = 2,4cm quando o
disco gira a 500rev/min e (b) a r = 6cm quando o disco gira 200rev/min.
6.2) Torque, Momento de Inércia, Segunda Lei de Newton para Rotação:

Torque:
O módulo do torque exercido por uma força sobre um corpo é definido como produto entre
a força e o braço da alavanca.
τ = F.l = F.r senφ

Momento de Inércia:
É a medida da resistência que um corpo oferece às modificações de seu movimento de
rotação. Depende da distribuição da massa no interior do corpo em relação ao eixo de
rotação.

Segunda Lei de Newton:
I = m.r²
τ = I. α
9
Ex.19: Uma roda montada num eixo que oferece atrito está inicialmente em repouso. Um torque
externo constante de 50N.m é aplicado à roda, durante 20s, atribuindo-lhe velocidade angular de 600
rev/min. O torque externo, depois desse tempo, é removido e roda pára em 120s. Calcular (a) o
momento de inércia da roda e (b) o torque do atrito, admitindo que seja constante.
6.3) Energia Cinética de Rotação, Potência e Momento Angular:

Energia Cinética de Rotação:
Krot = ½ I.ω²

Potência:
W = r.Δθ
P = τ. ω

Momento Angular:
L = I. ω
Ex.20: O tambor de um guincho tem a massa M e o raio R. Um cabo enrolado no tambor suspende
uma carga de massa m. O comprimento do cabo é L e a densidade linear (massa por unidade de
comprimento) é λ, e então a massa total é mc = L. λ. A carga, num certo instante, principia a cair,
desenrolando o cabo. Qual a velocidade de queda depois de ter caído a altura d?
6.4) Corpos que rolam:

Rolamento sem escorregamento:
Quando uma bola rola com uma velocidade v sem escorregar, a velocidade do topo é 2v e a
do fundo da bola, em contato com a superfície de rolamento, é momentaneamente nula. Se
houver força de atrito sobre a superfície da bola, o atrito será estático e não haverá
dissipação de energia.
A energia cinética de um sistema pode ser expressa pela soma da energia cinética do
movimento do centro de massa com a energia relativa ao centro de massa. Logo a energia
cinética de um corpo rolante é:
K = ½ Icm .ω² + ½ M.vcm²
Ex.20: Uma bola de boliche, com um raio de 11cm e massa m = 7,2kg, rola sem escorregar por uma
pista horizontal, a 2 m/s. Depois, sobre uma rampa, também sem escorregar, até a altura h e fica
momentaneamente em repouso. Calcular h.
10