Tema 26_Equações Exponenciais

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
CONTEÚDO

Equações exponenciais
AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS
Para discutir as equações exponenciais, vamos pensar sobre a seguinte situação:
Imagine que você tenha em mãos uma folha retangular.
Suponha agora que essa
folha será dobrada ao
meio
papel retangular
E mais uma
vez a folha
será
dobrada ao
meio
Em relação a quantidade de partes, podemos dizer que ao dobrar a folha ao meio,
obtivemos 2 partes. Ao dobrar ao meio pela segunda vez, obtivemos 4 partes. E se mais
uma vez fizéssemos uma dobra, obteríamos 8 partes.
Se a quantidade de partes obtidas for igual a 32, você saberia dizer quantas vezes a folha
foi dobrada?
Para responder essa pergunta, vamos pensar sobre a seguinte relação:
Quando dobramos a folha ao meio, obtivemos:
Ao dobrar ao meio novamente obtivemos:
Essas quantidades podem ser representadas por meio de uma potência, que neste caso,
terá como base o número 2.
1 dobra
2 partes
2¹ = 2
2 dobras
4 partes
2² = 4
3 dobras
8 partes
2³ = 8
Observe que o expoente de cada potência indica no número de dobras realizadas. E o
resultado da potência, representa a quantidade de partes obtidas após as dobras
realizadas.
Portanto, se há 32 partes, podemos, com essa informação, apresentar a seguinte equação:
2n = 32 ( n representa o número de dobras)
Esse tipo de equação, que temos uma incógnita no expoente, recebe o nome de equação
exponencial. Vejamos como resolver essa equação.
O primeiro passo para resolução é representar o número 32 por meio de uma potência de
base 2.
32
2
16
2
8
2
4
2
2
2
1
32 = 25
Substituindo o 32 pela potência, temos a equação: 2n = 25
Se 2n = 25 , essa igualdade só será possível se n for igual a 5. Portanto, n é igual a 5 e para
obter 32 partes é necessário dobrar a folha de papel 5 vezes.
Dica
Na resolução de equações exponenciais, muitas vezes aplicamos as propriedades de
potência, por isso, se desejar, faça uma visita no capítulo que falamos sobre potência.
Agora, que nós já sabemos quais equações são identificadas como equações exponenciais,
vamos resolver alguns exemplos.
1º - 5y = 125
Se, 125 = 5³
Temos: 5y = 53
Portanto, y = 3
2° - 3X = 1
Se 30 = 1,
Temos: 3x = 30
Portanto, x = 0
3º - 23x = 64
Se 64 = 2²
Temos = 23x = 26
Portanto, 3x = 6
Resolvendo a equação 3x = 6, encontramos x = 2.
3x = 6
4º - 103x.103x = 1.000.000
3x 6

3 3
Se, 1.000.000 = 106
x=2
Temos: 103x.103x = 106
Aplicando uma das propriedades de potência reduzimos 103x.103x = 106x
Assim, temos:
106x = 106
Portanto, 6x = 6
Resolvendo a equação 6x = 6, encontramos x = 1
5º - 44x =
1
16
Sabemos que:
Se, 16 = 4²
1
= 4-2
4²
Temos: 44x =
1
4²
Logo temos: 44x = 4-2
Resolvendo a equação 4x = - 2, encontramos x = 
1
.
2
Dica
Para rever as potências de expoentes negativos, faça uma visita ao capítulo sobre
potências.
6° - 3x + 3x + 2 = 270
Fatorando temos: 3x.(1 + 32) = 270
3x .10 = 270
3x =
270
10
Sabemos que : 27 = 3³
ATIVIDADES
1. Resolva as equações exponenciais:
a) 2x = 128.2
b) 16x = 24
c) 3 8x + 4 = 81x + 2
3x = 27
Logo temos: 3x = 33
x=3
2. (SARESP – 2005) Determine todos os números reais x tais que 2x² = 22x
a) 1
b) 2
c) 0 e 1
d) 0 e 2
3. Sabe-se que o número 5 elevado a um expoente x resulta em 625, determine o valor
desses expoentes.
4. A soma de duas potências de base 2, cujos expoentes são números naturais
consecutivos, é igual a 24. Determine qual é o valor desses expoentes.
INDICAÇÕES
Consulte os links indicados a seguir e estude um pouco mais sobre as equações
exponenciais.
Equações exponenciais
Disponível em: http://www2.anhembi.br/html/ead01/calculo_1/lu05/lo2/index.htm
O link apresenta uma breve discussão sobre o conceito que envolve as equações
exponenciais
Equações exponenciais
Disponível
em:
http://www.cursinhoparamedicina.com.br/video-aulas/aulas-
matematica/videoaula-equacoes-exponenciais/
O link traz um de vídeo que explora a resolução de equação exponencial.
REFERÊNCIAS
SMOLE, Kátia Stocco. DINIZ, Maria Ignez. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Giovanni;
JUNIOR, Giovanni. Matemática no Ensino Médio. v.1. 6º ed. São Paulo: Saraiva, 2010. p.
181 – 182.
SARESP.
1°
Ensino
Médio
–
Noite
-
2005.
Disponível
em:
<
http://saresp.fde.sp.gov.br/2005/Arquivos/Provas_EM_2005/1%C2%B0s%C3%A9rie%20E
M%20noite.pdf>. Acesso em: 27 set. 2016. 8h50min.
GABARITO
1.a) 2x = 27.21
2x = 27+1
2x = 28
x=8
b) 16x = 24
4 = 24
(24)x = 24
24x = 24
4x = 4
x=1
24x = 24
c) 81 = 34
38x+4 = 34.(x+2)
38x+1 = 34x + 8
8x – 4x = 8 – 4
4x = 4
8x + 4 = 4x + 8
x=1
2. A alternativa correta é a letra d.
Se 2x² = 22x , temos:
x² = 2.x ou x² - 2x = 0
Para determinar os possíveis valores de x, é necessário resolver a equação do 2º grau.
x² - 2x = 0
Por ser uma equação incompleta, em que não é apresentado o coeficiente c, vamos
resolver pela fatoração. Para relembrar esse método resolutivo, consulte o capítulo sobre
equações do 2º grau.
x(x – 2) = 0
x = 0 ou
x–2=0
x=2
Portanto, os possíveis valores para x são 0 e 2.
3. 5x = 625
625 = 54
5x = 54
x=4
4.Se a soma de duas potências de base 2, em que os expoentes são números naturais
consecutivos, é igual a 24, temos a seguinte equação:
2x + 2x + 1 = 24
Fatorando temos:
2x ( 1 + 21) = 24
2x = 23
x=3
2x.3 = 24
2x =
24
3
2x = 8