escoamento incompressível de fluido não viscoso

ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL DE
FLUIDO NÃO VISCOSO
Em diversas situações, como nos escoamentos de fluidos de baixa viscosidade
longe de paredes, as forças de cisalhamento podem ser desprezadas e a
força de superfície por unidade de área agindo sobre cada face do volume de
controle diferencial é igual a pressão com sinal negativo.
Equação de Euler:


DV
ρ
 ρ g  grad P
Dt
ou



V


ρ
 V  grad V   ρ g  grad P
 t

1
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coordenadas cartesianas
Equação
de Euler
 u
u
u
u 
P
ρ  u
v
 w   ρg x 
x
y
z 
x
 t
 v
v
v
v 
P
ρ   u  v  w   ρg y 
x
y
z 
y
 t
 w
w
w
w 
P
ρ
u
v
 w   ρg z 
x
y
z 
z
 t
coordenadas cilíndricas
Direção
radial
2

u
P
 ur
 ur
 ur
 ur
θ


ρ
 ur
 uθ
 uz

 ρg r 
r
r θ
z
 t

r
r


Direção
angular
u u 
P
 u
u
u
u
ρ  θ  u r θ  uθ θ  u z θ  r θ  ρ g θ 
r
r θ
z
r 
r θ
 t
Direção
axial
P
u
u
u
u
ρ  z  u r z  uθ z  u z z  ρ g z 
r
r θ
z 
z
 t
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2
- Componentes em coordenadas ao longo de uma linha de corrente:


V  vs es
Na direção do escoamento - s:
v 
P
 v
ρ s  vs s   ρg s 
s 
s
 t
Na direção normal ao escoamento - n:
vs2
p

 g n 
R
n

k
Na direção do escoamento - s:
vs  V
V
V
1 P
V
 gs 
t
s
ρ s
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

es
ds dz
cos   sen 
dz
ds
 
 
z
g s  g  es   g k  es   g cos   g
s
V
 V 2 
V
  
s s  2 
3
Integração da Equação de Euler ao Longo de Uma Linha de
Corrente: Equação de Bernoulli
V
  V 2 
1 P
z
ds  
ds   
ds   g
ds



t
s 2
ρ s
s


V
V2
dP
ds 

 gz  constante

t
2
ρ
Equação de Bernoulli
a constante de Bernoulli é única ao longo de uma mesma linha de corrente
4
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Casos particulares:
 Escoamento incompressível,  constante:
V
V2 P
ds 
  g z  constante

t
2
ρ
 Regime permanente:
V2
dP

 g z  constante
2
ρ
 Regime permanente e incompressível:
V2 P
  g z  constante
2
ρ
V
2
2
V2 P2
V12 P1
  gz1 

 gz 2
2

2

V1
1
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2
5

Obs: Para escoamentos irrotacionais (   V  0 ) pode-se demonstrar que a constante de
Bernoulli tem um único valor em todo o campo de escoamento (ver seção 6.6.1)
OBSERVAÇÃO: Um escoamento não viscoso sofre somente a ação de força de corpo (força
volumétrica) e da força de superfície normal, devido a pressão. Portanto, é impossível induzir
uma rotação em um escoamento não viscoso. Se o escoamento não viscoso for irrotacional,
será sempre irrotacional, se for rotacional, será sempre rotacional.
Por outro lado, TODO ESCOAMENTO VISCOSO É ROTACIONAL.
IRROTACIONAL
ROTACIONAL
6
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Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica
Aplicando a equação de Bernoulli na mesma cota
de altura, temos
V 2
p
 po
2
p=
pressão estática ou
termodinâmica
po = pressão de estagnação
V 2
= pressão dinâmica
2
7
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Tubo de Pitot:
Medidor de velocidade
2
H
1
V22 P2
V12 P1

 gz1 

 gz2
2
ρ
P1 V 2 P2


ρ
2
ρ
2
p*
h
p*
ρ
P1  P2
V 2

ρ
P*  P1  ρ g h  ρ g H
P*  P2  ρm g h  ρ g H
V
P1  P2  ρm  ρ 

gh
ρ
ρ
2 ( ρm  ρ ) g h
ρ
8
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Exemplo 6.1: Determine a vazão volumétrica de ar através do duto de seção
transversal L = 0,1 m e altura H = 0,3 m. Tomadas de pressão são instaladas
numa curva do duto, cujo raio interno é R = 0,25 m. A diferença medida de
pressão entre as tomadas é de 40 mm de água [(P2-P1)=(H2O - ar ) g h]
Solução: As linhas de corrente acompanham a curva, sendo a direção normal às mesmas a
V2
p
direção radial. Aplicando a Eq. de Euler na direção normal (radial) temos  

r
r
dp
 V2

dr
r

p 2  p1
r
 ln 2
r1
 V2

Q  V ( H L)  ( H L)
p 2  p1
 ar ln( r2 / r1 )
9
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Exercício 6.4: Determine:
(i)a velocidade da água saindo como um jato livre.
(ii) a pressão no ponto A
Exercício 6.5 e 4.6: Água escoa
sob uma comporta. Determine a
força na comporta da figura.
D1=1,5 m
D2=0,0563 m
10
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V1 A1  V2 A2  V1 V2 A2 / A1  0
D1=1,5 m
P1  Patm   g D1  z 
D2=0,0563 m
P2  Patm   g D2  z 
z0
2
V1
P1
V22 P2
  gz1 
  gz2
2
ρ
2
ρ
Patm   g D1
ρ
V22 Patm   g D2


2
ρ
V22  2 g ( D1  D2 )


 


u d  u V nd A  m V2  V1    D2 W V22
F 

ext  t



VC

 SC
0

0
D1
D2
0
0
 F Rx   P1Wdz   P2Wdz  PatmW ( D1  D2 )
ext
11
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D1=1,5 m
D2=0,0563 m
D
P  Patm   g D  z 
D
D2
0 P Wdz  DW ( Patm  gD)  gW 0 zdz  PatmWD  gW 2

D2 / 2
D12
D22
 PatmWD2  gW
 PatmW ( D1  D2 )
 F Rx  PatmWD1  gW
ext
2
2
 D12 D22 

 F Rx  gW 

ext
2
2


 
u

V
nd A   D2 W V22   D2 W 2 g ( D1  D2 )

SC

 D12 D22  
Rx   Wg 2 D2 ( D1  D2 )  


2 
 2

12
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1
Exemplo 6.9: (i) Determine a velocidade da
água na saída da tubulação. Em uma
primeira aproximação, despreze o atrito e
considere regime permanente e D >> d
D
h
d
b
Equação da continuidade:
L
V2=?
2
 

 d    V  n d A  0

 t VC
SC
Hipóteses: 1) fluido incompressível , 2) volume indeformável
 
V
ndA 

0  V1 A1  V2 A 2
SC
mas V1  
dh
,
dt
2
 V1  V2 d  0
2
D
logo nível permanece constante, h  ho =cte
13
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2
Equação de Bernoulli:
2
2
V
p2
p1
V2
V1
ds




 g ( z2  z1 )  0
 t


2
2
p1 = p2 = patm

,
z2 = 0
V22
 g ho  0
2
2
V
d p V2
V1
ds



 g ( z2  z1 )  0
 t
 
2
2
,
z 1  ho
V2 
,
, V1  0 ; regime permanente
2 g ho
14
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1
Exemplo 6.9: (ii) Determine a variação com
o tempo da velocidade da água na saída da
tubulação, considerando que inicialmente a
tubulação encontra-se fechada. Novamente,
despreze o atrito e considere D >> d
Equação da continuidade:
D
h
d
b
L
V2=?
2
 

 d    V  n d A  0

 t VC
SC
Hipóteses: 1) fluido incompressível , 2) volume indeformável
 
 V n d A 
0  V1 A1  V2 A 2
SC
dh
mas V1  
,
dt
 V1  V2
d2
D
2
0
;
logo nível permanece constante, h  ho =cte
15
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2
Equação de Bernoulli:
p2
p1
V22
V12
ds 



 g (z 2 z1 )0



2
2
1 t
2 V
p1 = p2 = patm

,
z2 = 0
b V
ds


t
1



V1  0 
,
z 1  ho
V22
 
ds 

t
2
b



2 V
V1
0
t
2
V
d p V2
V1
ds



 g ( z2  z1 )  0
 t
 
2
2
V2
t
1
,
, V1  0 ; regime transiente
 g ho  0 
dV2
V22
L
 g ho  0
dt
2
2
 ds
b
D
h
d
b
L
V2=?
2
16
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
d V2
2
2 g h o  V2

dt
2L
0  V2  V2
integrando
 t

 tanh 
2 g ho 
2 L

2 g ho
0  t  t 
1.2
V2
1
V2/ sqrt(2 g ho)
Note que quando t→∞ 
V2  2 g h o (caso anterior)
e
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
t* sqrt(2 g ho) /(2L)
17
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1
Exemplo 6.9: (iii) Determine a variação com
o tempo da velocidade da água na saída da
tubulação, considerando que inicialmente a
tubulação encontra-se fechada. Novamente,
despreze o atrito e considere D ≈ d
Equação da continuidade:
D
h
d
b
V2=?
L
2
 

 d    V  n d A  0

 t VC
SC
Hipóteses: 1) fluido incompressível , 2) volume indeformável
 
 V n d A 
0  V1 A1  V2 A 2
SC
dh
mas V1  
,
dt
A2
d2
 V2
0
 V1  V2
2
A1
D
;
logo nível não permanece constante, h ≠ cte
18
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2
Equação de Bernoulli:
p2
p1
V22
V12
ds 



 g (z 2 z1 )0



2
2
1 t
2 V
p1 = p2 = patm
b
V
  t ds 
1
,
z2 = 0
, z1 = h
2
2
2
2
2
d V1 b
d V2 2
V2
V1
 ds  d t  ds  2  2  g h  0 
dt 1
b



,
; regime transiente
V
V2
V1
ds


gh0
 t
2
2
b
 A
d V2 A 2
d V2
h
L  1   2
d t A1
dt
  A1

2
V
d p V2
V1
ds



 g ( z2  z1 )  0
 t
 
2
2

2
   A2
d V2  A 2


h  L  1  
gh0

d
t
A
 2
 1
   A1

2
V22
2
d V1
d V2
V
V
h
L 2  1  gh 0
dt
dt
2
2



2
V22

gh0
 2

19
Angela Nieckele – PUC-Rio
2

 

A
2
2 g h  1   2   V2 

  A1  
dV2





dt
 A2


2
h  L

 A1


A2
dh

  V2

dt
A1


d2 h
dt 2
 
2
2
 



A
A
d
h

2 g h  1   2    1
  A1    A 2 d t 


2

A1  A 2
h

L


A 2  A1

condição inicial: 1) t = 0 , h = ho , 2) t = 0 , V2 = 0
Para resolver estas equações diferenciais ordinárias, o MatLab pode ser utilizado. As
equações serão resolvidas pelo método de Runge-Kutta.
Para utilizar o método de Runge-Kutta, deve-se resolver as duas equações de 1a. ordem para h
e V2, em vez da eq. de 2a. ordem para h
20
Angela Nieckele – PUC-Rio
Dois programas com a terminação *.m devem ser escritos. No primeiro, os
parâmetros do problema são especificados, assim como a condição
inicial. A preparação dos gráficos de saída também é feita neste
programa. Este primeiro programa, “chama” o segundo programa, no
qual as equações diferenciais a serem resolvidas são apresentadas.
Chamaremos, para este exemplo, o primeiro programa de “taque.m” e o
segundo programa será chamado de “bernoulli.m”.
As listagens dos programas são apresentadas a seguir.
Dados: d = 1 in = 0,0254 m ; D = 5 in = 0,127 m; L = 15 m ; ho = 5 m
ti = 0 s ;
tf = 18 s
;
g = 9,81 m/s2
2
dh
 d
    V2
 D
dt

 d  4 
 2 g h     1 V 2
2
D





d V2



dt
 d  2


2   h  L

 D 









21
Angela Nieckele – PUC-Rio
clc;
clear;
fim=0;
Arquivo: global L D1 d2 g ;
tanque.m
d2=0.0254;
D1=0.127;
L=15;
ho=5;
Vo=0;
g=9.81;
ti=0;
tf=18;
yo=[ho Vo];
periodo=[ti tf];
[t, y]=ode23('bernouli', periodo, yo);
figure(1)
plot(t,y(:,2));
title('Grafico de V2 x t');
xlabel('t (s)');
ylabel('Velocidade na Saida do Tubo
(m/s)');
figure(2)
plot(t,y(:,1));
title('Grafico de h (V1) x t');
xlabel('tempo (s)');
ylabel('Altura (m)');
end
clear
Arquivo:
bernouli.m
function ydot = bernouli(t,y)
global L D1 d2 g ;
dD = (d2 * d2 ) / (D1 * D1) ;
ydot(1) = - y(2) *dD;
ydot(2) = inv(2*(dD*y(1)+ L)) *(2*g*y(1)+(dD^2-1)*y(2)^2);
ydot=[ydot(1) ydot(2)]';
2
dh
 d
    V2
 D
dt

 d  4 
 2 g h     1 V 2
2
 D 

d V2 

dt
 d  2


2   h  L

 D 









22
Angela Nieckele – PUC-Rio
Caso ii) D > > d
d = 1 in = 0,0254 m
ti = 0 s
D = 100 in = 8,33 ft = 2,54 m
tf = 18 s
L = 15 m
g = 9,81 m/s2
ho = 5 m
Note que ao atingir o regime permanente V2  2 g h  9,90 m / s
o
23
Angela Nieckele – PUC-Rio
Caso iii) D  d  o tanque irá esvaziar
d = 1 in = 0,0254 m ;
D = 5 in = 0,127 m ;
L = 15 m
;
ho = 5 m
ti = 0 s
tf = 18 s
g = 9,81 m/s2
24
Angela Nieckele – PUC-Rio
Exercício: Um escoamento de água (H20=1000 kg/m3)é descrito pelo campo de velocidades



V  A x i  A y j , isto é, u = Ax e v =- Ay ; onde A = 3 s-1 , x e y são medidos em


metros. Sabe-se que g  g k , onde g = 9,81 m/s2.
i) Calcular a aceleração de uma partícula de fluido no ponto (x, y, z) = (1, 5, 2) .



 Du  Dv  Dw 
 DV
a
 ax i  ay j  az k 
i
j
k
Dt
Dt
Dt
Dt
D u u 
ax 

 V  u
D t t
ax 
u
u
u
u
u
v
w
 0  Ax A  0  0  A 2 x
t
x
y
z
ay 
v
v
v
v
u
v
w
 A2y
t
x
y
z



2
2
a A x i A y j
então
e
az 
w
w
w
w
u
v
w
0
t
x
y
z



a(1 , 5, 2)  9 i  45 j
25
Angela Nieckele – PUC-Rio
i) Calcular a aceleração de uma partícula de fluido no ponto (x, y, z) = (1, 5, 2) .
Avaliaroo gradiente
gradiente de
que
a viscosidade
é desprezível
ii)i) Avaliar
de pressão
pressãono
nomesmo
mesmoponto,
ponto,sabendo
sabendo
que
a viscosidade
é desprezível
Equação de Euler :

DV


  g  grad p 
Dt


g  gzk ; gz   g
p  p  p 
grad p 
i
j
k
x
y
z
p
  a x   A 2 x
x

,


DV

grad p   g  
Dt
p
  a y   A 2 y
y

grad p    A 2 x i   A 2 y j   g k
,
p
  g
z







3
grad p   9000 x i  9000 y j  9810 k  grad p(1,5,2)   10 (9 i  45 j  9,81k)
26
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iii) Determine a variação de pressão entre a origem e o ponto (1, 5, 2)
i)i) Determine
Determine aa variação
variação de
de pressão
pressão entre
entre aa origem
origem ee oo ponto
ponto (1,
(1, 5,
5, 2)
2)
i) Determine a variação de pressão entre a origem e o ponto (1, 5, 2)
22
 pp
x
x
2
2

p  A
A 2 x2x 
 pp   A
A 2 2 x 2  ff11((yy,, zz))
 xx   A x  p   A 22
 f1 ( y, z)
x
2
 pp
yy22 2
2
2
2
2

p  A
y  ff22((xx,, zz))
A yy 
 pp   A
A
 yy   A 2 y  p   A 2 22
 f 2 ( x , z)
y
2
pp
 p  gg 
 pp   ggzz  ff33((xx,,yy))



g
 p   gz  f 3 ( x,y)
zz
z
 xx22 2 yy22 2
2
2

pp  A
A   x  yggzz  C
C
 gz  C
 p  A2 
  22 2  


25
11 25
pp11,,55,, 22 pp00,, 00,, 00  pp11  pp00  9910
9810
 
1033 3  1  25
981022  00  11,,37
3710
1055 Pa
Pa

p1, 5, 2  p0, 0, 0  p1  p 0  9  10  22    9810  2  0  1,37  105 Pa
 2 
27
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i) Se este campo de velocidade for irrotacional a diferença de pressão poderia ter sido
calculada com a aplicação da equação de Bernoulli







  rot V    V  0     x i   y j   z k ,
u = Ax ; v = - Ay


v
u
z 

 0  é irrotacional
para escoamento plano    z k
;
x
y
Equação de Bernoulli
2
p1 V1

 g z1 

2
(V = módulo do vetor velocidade)
p 0 V02

 g z0 

2
 V 2

2
V


1
0
p1  p 0    

 g  z 1  z 0 

 2

2



Origem: (x, y, z) = (0, 0, 0)  V0 = 0, z0 = 0
Ponto 1: (x, y, z) = (1, 5, 2) 

2
2
V1  V1  V12  Vx2,1  Vy2,1  A x   A y  32  152  234
p1 - p0 = - 103 (234 / 2 + 9,81 . 2) = -1,37 . 105 Pa
28
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•
Exercício: Um escoamento de um jato contra uma parede para ser
representado por   10 x y

 v u
V  0   k  0 

0
x y


u
 10 x , v  
  10 y
y
x
irrotacional
V2
p

gz constante
então

2
onde
V 2  u 2  v 2  10 x    10 y
2
2
p ; U
Aplicando entre um ponto na parede e ao longe
2
p V 2 p U



 2

2
ao longo da parede y = 0,
2L
logo
V 2  u 2  v 2  10 x
2
U
p p   
  50 x 2
2
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2
29
A força é
U 2
F    p b dx    ( p   
  50 x 2 ) b dx 
2
L
L
L
L
L
2 
3


U
U 2
50 L2 
x
 ( b 2 L)   50 b
 ( b 2 L)
F   p   
  p   

2 
3
2
3 


L
30
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

Exercício: Um vórtice é definido pelo seguinte campo de velocidade V  u e  , onde o
componente angular é u 
K
2 r
, sendo K a intensidade do vórtice constante (K=-10 m2/s).
(i) Determine se o escoamento é irrotacional.
(ii) Determine a função de corrente que representa o escoamento
(iii) Determine a diferença de pressão entre os pontos (1) e (2) e entre (1) e (3), sabendo que o
fluido é ar [=1,2 Kg/m3]. O ponto (1) possui coordenadas (ri = 2 ; 1 = 00) , enquanto o
ponto (2) e (3) possuem coordenadas (r2 = 2 ; 2 = 900) e (r3 = 4 ; 3 = 900)


V  u e 
u 
K
2 r

1  r u  
1  ur

 0  é irrotacional.


V

É irrotacional:
?  z=
r
r
r

31
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
1  r u  
1  ur
 o escoamento
 0 
 a V
 ? decorrente
É irrotacional:
z= que representa
(ii) Determine
função
r
r
r
1
A função de corrente é definida como u r 
r 
ur 
1 
 0    f (r )
r 
;
u  

é irrotacional.

, u  
, logo
r
K
K



ln r  Cte

r 2  r
2
zero
(r1 = 2 ; 1 = 00) ; (r2 = 2 ; 2 = 900) e (r3 = 4 ; 3 = 900)
Os pontos (1) e (2) estão sob a mesma linha de corrente, a qual é igual a 1 = 2 = 1,103
A função de corrente associada ao ponto (3) é3 = 2,206
32
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Como o escoamento é irrotacional, logo podemos encontrar a diferença de pressões entre
quaisquer pontos utilizando a Equação de Bernoulli
V2
V32
V12
V22
p
p1
p2
p3

g z constante 






2

2

2

2
;
 K 

V 2  
2  r
2
2
2

 V2
V



K
1
1


2
1
 = zero

 
p1  p 2   




2
2
2 
2  2   r
 2
r1 


 2
2
2

 V2
V



K
1
1


3
1
 = -0,285 Pa

 
p1  p 3   




2
2
2 
2  2   r
 2
r1 


3
33
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1a Questão: Considere o escoamento de ar de baixa velocidade entre dois discos paralelos conforme
mostrado. Admita que o escoamento é incompressível e não viscoso, e que a velocidade é
puramente radial e uniforme em qualquer seção. A velocidade do escoamento é V = 15 m/s em R =
75 mm. Estime a força líquida de pressão que atua na placa superior entre r = ri e r = R. Sabe-se
que ri = R/3
34
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2a Questão: A distribuição de velocidade num escoamento bi-dimensional, permanente, não viscoso,



no plano x-y, é V  3 x  6 i  4  3 y  j ,


A aceleração da gravidade é g  g k , e a massa específica é 825 kg/m3.
(i)
Isto representa um possível escoamento incompressível?
(ii)
Determine os pontos de estagnação do campo de escoamento.
(iii)
O escoamento é irrotacional?
Avalie a diferença de pressão entre a origem e o ponto (x, y, z) =(2, 2, 2).
35
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