Números primos - IME-USP

Números primos
¾
¾
¾
¾
Inteiro p > 1 é primo ù p é divisível apenas por 1 e por p.
E.g., 2, 3, 5, 7, 11, . . . .
À medida que os números se tornam longos, os primos ficam raros.
prob{inteiro n primo}B 1/ ln n. Por exemplo:
n
1
lnn
n
1
lnn
¾
1
100
1. 000
1/4. 6052 = 0. 21715 1/ ln 1000 = 1/6. 9078 = 0. 14476
10. 000
100. 000
1/ ln 10000 = 1/9. 2103 = 0. 10857 1/ ln 100000 = 1/11. 513 = 0. 08 6859
Essa probabilidade é corolário do Teorema de Números Primos que diz: se
^ÝxÞ denota o número de primos ² x, então
^ÝxÞ
lim
=1
x¸K x/ ln x
Z n e Z Dn
¾
¾
¾
¾
¾
¾
Conjunto de todos os inteiros é Z.
Conjunto dos inteiros modn é Z n . E.g, Z 10 = á0, 1, u 9â.
Conjunto dos inteiros modn que são relativamente primos a n é chamado
Z Dn .
E.g.. Z D10 = á1, 3, 7, 9â.
Note 0 6 Z D10 , pois mdcÝ0, 10Þ = 10.
A tabela de multiplicação para Z D10 é:
1 3 7 9
¾
-
2
1 3 7 9
3
3 9 1 7
7
7 1 9 3
9
9 7 3 1
É interessante notar que
só os inteiros em Z D10 ocorrem nesta tabela.
em cada linha (ou coluna) cada elemento de Z D10 ocorre 1 e 1só vez.
Teorema Z Dn é fechado sob multiplicação modn
-
¾
1
Função ® de Euler
¾
¾
¾
¾
¾
®ÝnÞ simboliza o número de elementos em Z Dn , também chamado ordem de
Z Dn .
E.g., ®Ý10Þ = 4, pois Z D10 = á1, 3, 7, 9â.
Se p for primo, ®ÝpÞ = p ? 1, pois Z D´p = á1, 2, 3, u p ? 1â.
Se n = p J com J > 0 e p primo, ®Ýp J Þ = p J ? p J?1 . E.g.,
®Ý3 2 Þ = 3 2 ? 3 1 = 6.
Se n = p × q, p e q primos (como no RSA),
®Ýp × qÞ = ®ÝpÞ®ÝqÞ = Ýp ? 1ÞÝq ? 1Þ. E.g.,
®Ý2 × 5Þ = Ý2 ? 1ÞÝ5 ? 1Þ = 4
k
¾
Se m =
< p ei , então ®ÝmÞ = <Ýp ei
i
i=1
¾
3
k
i
? p ei i ?1 Þ
i=1
Se n > 1 for composto, ®ÝnÞ ² n ? 2 (Wagstaff)
Gerador ou elemento primitivo de Z Dn
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¾
¾
¾
Seja a 5 Z Dn . A ordem de a, ordÝaÞ, é o menor inteiro positivo s tal que
a s = 1 modn.
E.g., em Z D5 , ordÝ2Þ = 4 pois 2 4 mod5 = 1.
Pode-se provar que se a r = 1 modn então s|r onde s = ordÝaÞ. Em
particular, s divide ®ÝnÞ (veja o Teorema de Euler adiante).
E.g., se n = 21 então Z D21 = á1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20â. Observe
que ®Ý21Þ = ®Ý3Þ®Ý7Þ = 2 × 6 = 12 = |Z D21 |. As ordens dos elementos em
Z D21 são listadas a seguir:
a 5 Z D21 1 2 4 5 8 11 13 16 17 19 20
ordÝaÞ
¾
1 6 3 6 2
6
6
2
6
6
2
Seja g 5 Z Dn , g > 1. Se ordÝgÞ = ®ÝnÞ, então g é gerador ou elemento
primitivo de Z Dn . E neste caso diz-se que Z Dn é cíclico. E.g., em Z D5 , 2 é
gerador:
2 1 mod 5 = 2, 2 2 mod 5 = 4, 2 3 mod 5 = 3, 2 4 mod 5 = 1.
¾
¾
4
Z D21 não contém gerador.
n = 8 é o menor inteiro para o qual Z D8 não possui gerador (Schroeder).
¾
Se Z Dn possui gerador, então existem ®ß®ÝnÞà geradores de Z Dn . E.g., em Z D6
®ß®Ý6Þà = ®ß®Ý2Þ®Ý3Þà = ®Ý2Þ = 1 e o gerador é 5. Veja a seguir:
a 5 Z D6
1
a ®Ý6Þ = 1 mod 6?
¾
3
4
5
não: 2 2 mod 6 = 4 não: 3 2 mod 6 = 3 não: 4 2 mod 6 = 4 sim: 5 2 mod 6 = 1
A seguir um resumo sobre geradores de Z Dn :
{Z Dn possui ³ 1 gerador}ù{n = 2, 4, p k ou 2p k }, onde p é um primo
ímpar e k ³ 1.
Em particular, se p é um primo, Z Dp possui ³ 1 gerador.
Se g 5 Z Dn é um gerador, g j modn também é um gerador de Z Dn
ù mdcÝj, ®ÝnÞÞ = 1.
E.g., Z D14 possui um gerador: g = 3.
®Ý14Þ = ®Ý2Þ®Ý7Þ = 6, e
3 5 mod14 = 243 mod14 = 5, 3 6 mod14 = 1.
mdcÝ5, ®Ý14ÞÞ = 1 e
5 é gerador: 5 6 mod14 = 1.
g 5 Z Dn é um gerador ù g ®ÝnÞ/p ® 1 modn para cada primo p divisor de
®ÝnÞ.
-
-
-
*
*
*
*
*
-
5
2
*
*
*
*
6
E.g., Z D14 possui gerador: g = 3
®Ý14Þ = 6
Os primos divisores de 6 são: 2, 3
3 6/2 mod14 = 13 e 3 6/3 mod14 = 9
Teorema de Euler
-a 5 Z Dn , a ®ÝnÞ = 1 mod n
Consequência: a ®ÝnÞ?1 modn é a inversa de a modn pois
a ®ÝnÞ?1 × a = 1 modn
No RSA, o módulo é m = p × q (onde p e q são dois primos ímpares distintos), e
temos que calcular a inversa da chave secreta s mod®ÝmÞ que é
s ®Ý®ÝmÞÞ?1 mod®ÝmÞ = s ®ßÝp?1ÞÝq?1Þà?1 mod®ÝmÞ
7
Resíduo quadrático mod n
¾
¾
¾
¾
¾
Seja a 5 Z Dn . a é um resíduo quadrático módulo n (ou um quadrado mod
n) se existir um x 5 Z Dn tal que x 2 = a modn.
Se tal x não existir, diz-se que a é um não-resíduo quadrático mod n.
O conjunto de todos os resíduos quadráticos mod n é Q n , e os não-resíduos
quadráticos é Q n . Observe que como 0 6 Z Dn , 0 6 Q n , 0 6 Q n
Seja g 5 Z Dp um gerador de Z Dp no caso particular de p > 2 ser um primo.
Neste caso, a 5 Z Dp é um resíduo quadrático ù a = g i modp para um i
inteiro par. Portanto, |Q p |= Ýp ? 1Þ/2 e |Q p |= Ýp ? 1Þ/2.
Por exemplo sendo g = 2 um gerador de Z D11 , tem-se:
i
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 i mod11 1 2 4 8 5 10 9 7 3 6
¾
¾
¾
8
Portanto, Q 11 = á1, 3, 4, 5, 9â e Q 11 = á2, 6, 7, 8, 10â.
Se n = p × q onde p > 2 e q > 2 são dois primos distintos, então {a 5 Z Dn é
um resíduo quadrático mod n}é áa 5 Q p e a 5 Q q â. Logo, deduz-se que
|Q n |= |Q p |×|Q q |= Ýp ? 1ÞÝq ? 1Þ/4 e |Q n |= 3Ýp ? 1ÞÝq ? 1Þ/4.
Por exemplo para n = 3 × 5 = 15, Q 3 = á1â e Q 3 = á2â, e Q 5 = á1, 4â e
Q 5 = á2, 3â. Q 15 = á1, 4â . Q 15 = á2, 7, 8, 11, 13, 14â. Verifique pela
tabela a seguir.
x
1 2 3
4
x
x 2 mod 3 1 1 0 1 = 4 mod 3
¾
¾
1 2 3 4 5 6
x 2 mod 5 1 4 4 1 0 1
Seja a 5 Q n . Se x 5 Z Dn satisfaz x 2 = a modn, diz-se que x é raiz
quadrada de a módulo n. Notação: a modn
Por exemplo, se n = 15 tem-se a tabela a seguir:
x=
a mod n 1 2 3 4
5
6 7 8 9 10 11 12 13 14
x 2 = a mod 15 1 4 9 1 10 6 4 4 6 10
1
9
4
1
Note: 1 possui 4 raízes quadradas; 4 também. 6, 9, 10 não são resíduos
quadráticos mod15, pois 6 Z D15 .
Quanto ao número de raízes quadradas, tem-se:
Se p > 2 é um primo e a 5 Q p , então a possui exatamente duas raízes
quadradas mod p. E.g., 3 mod11 = 5 e 6. Note que
5 = p ? 6 = ?6 mod11
Se n = p J1 1 p J2 2 u p Jk k onde os p j > 2 são primos distintos e cada J j > 0, e
se a 5 Q n , então a possui exatamente 2 k raízes quadradas distintas mod n.
¾
¾
¾
9
¾
E.g.,
as duas raízes quadradas de 5 mod 41 são 28 e 13 (13 2 mod41 = 5, e
28 2 mod41 = 5)
E as raízes quadradas de 16 mod 21 = 3 × 7 são: 4, 10, 11 e 17,
conforme a tabela a seguir.
-
-
1 2 mod 21 = 1
2 2 mod 21 = 4
3 2 mod 21 = 9
4 2 mod 21 = 16
5 2 mod 21 = 4
6 2 mod 21 = 15
7 2 mod 21 = 7
8 2 mod 21 = 1
9 2 mod 21 = 18 10 2 mod 21 = 16 11 2 mod 21 = 16 12 2 mod 21 = 18
13 2 mod 21 = 1
17 2 mod 21 = 16
10
14 2 mod 21 = 7 15 2 mod 21 = 15
16 2 mod 21 = 4
18 2 mod 21 = 9
20 2 mod 21 = 1
19 2 mod 21 = 4