0.24 Indutância

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0.24
Indutância
0.24.1
Indutância mútua
Analisemos agora a possı́vel interacção entre dois circuitos: consideremos um circuito 1
percorrido por uma corrente I1 , possivelmente variável no tempo, responsável por um
campo magnético B1 em todo o espço. As linhas deste campo magnético atravessam, em
particular, a superfı́cie definida por um outro circuito fechado 2, em que supomos não
haver inicialmente corrente. No entanto, se houver uma variação de I1 com o tempo,
também B1 será variável, gerando um fluxo variável atrav’es do segundo circuito; de
acordo com a lei de Faraday, este fluxo é responsável por uma força electromotriz induzida
no segundo circuito, capaz de promover uma corrente induzida I2 .
De uma forma quantitativa, o campo gerado pelo primeiro circuito pode ser calculado
através da lei de Biot e de Savart, e é simplesmente proporcional à corrente I1 :
µ0
I1
B1 =
4π
dl1 · r̂
∝ I1
r2
(311)
o fluxo φ2 do campo B1 gerado pelo primeiro circuito através do segundo circuito é
assim também simplesmente proporcional à corrente I1 :
φ2 =
B1 · dS2 ∝ I1
(312)
O coeficiente de proporcionalidade entre o fluxo gerado no segundo circuito pela corrente que atravessa o primeiro depende apenas da geometria de ambos os circuitos e
designa-se indutância mútua dos circuitos, M21 , escrevendo-se assim:
φ2 = M21 I1
(313)
Da lei de Faraday, a força electromotriz E∈ induzida no segundo circuito devido a
variações de I1 com o tempo é:
E2 = −
φ2
I1
= −M21
dt
dt
(314)
É possível obter uma expressão para o cálculo da indutância mútua dos circuitos, que
exprime o seu carácter geométrico. Partindo da eq. (312) a atendendo a que B1 = ∇×A1 ,
temos:
107
0.24. INDUTÂNCIA
φ2 =
B1 · dS2 =
(∇ × A1 ) · dS2 =
A1 · dl2
(315)
Mas o potencial vector criado pelo circuito 1 escreve-se (da eq. 224):
µ0
A1 =
I1
4π
dl1
r
(316)
pelo que:
φ2 =
µ0
I1
4π
dl1
· dl2
r
(317)
e a expressão da indutância mútua dos circuitos vem:
M21
µ0
=
4π
dl1 · dl2
r
(318)
Esta expressão designa-se fórmula de Neumann e, para além de exprimir o carácter
puramente geométrico da indutância mútua entre circuitos, indica-nos também um outro
resultado muito importante e que justifica a designação indutância mútua: é que se considerarmos agora uma situação inversa da inicial, em que o circuito 1 é atravessado por
um fluxo φ1 devido a um campo magnético B2 gerado por uma corrente I2 no circuito 2,
o facto de proporcionalidade M12 entre φ1 e I2 é o mesmo:
M12 = M21
0.24.2
µ0
=M =
4π
dl1 · dl2
r
(319)
Auto-indutância
Um aspecto muito relevante das correntes variáveis reside no facto de estas não só produzirem uma força electromotriz em circuitos próximos, mas também no próprio circuito
onde circulam. Define-se assim, semelhantemente à indutância mútua entre circuitos, a
auto-indutância, L, de um circuito, através do coeficiente de proporcionalidade entre o
fluxo φ do campo que atravessa o circuito e a corrente I que o percorre:
φ = LI
(320)
108
A força electromotriz E induzida por uma variação de I com o tempo é assim:
E =−
φ
I
= −L
dt
dt
(321)
Note-se que o sinal negativo indica que esta força electromotriz se opõe sempre à
variação de fluxo, pelo que por vezes também recebe a designação de força contraelectromotriz.
Quer a auto-indutância como a indutância mútua entre circuitos se medem, no sistema
internacional, em Henry (H), sendo 1 H = 1 V s A−1 .
0.25
Energia em circuitos magnéticos
Estamos agora em condições de responder à pergunta que formulámos no inı́cio do
capı́tulo: qual é a energia necessária para colocar uma corrente em circulação num
circuito? Claramente, tratar-se-á da energia necessária para vencer a força contraelectromotriz que se produz pelo facto de, ao estabelecermos uma corrente num circuito, se
estabelecer um campo magnético que gera um fluxo através do próprio circuito. Mais uma
vez, sublinhamos dois aspectos importantes, antes de procedermos ao cálculo explı́cito da
energia:
• esta energia não se confunde com possı́vel energia necessária para manter uma
corrente num circuito resistivo, descrita pela lei de Joule;
• esta energia corresponde à energia necessária para vencer o campo eléctrico associado à força electromotriz: o campo magnético não realiza trabalho; esta energia
pode ser recuperada quando se desliga a corrente no circuito.
Energia armazenada numa auto-indutância
Consideremos então o trabalho necessário para estabelecer uma corrente I num circuito
de auto-indutância L. Para tal, necessitamos de variar a corrente desde zero até ao seu
valor final. Na situação em que o circuito se encontra percorrido pela corrente i(t), que
se faz variar à taxa di(t)/dt, é necessátio realizar o trabalho −E por unidade de carga
a vencer a forç contra-electromotriz E. A potência necessária, por unidade de carga, é
então:
dW
di(t)
= −E i(t) = L
i(t) ⇒ W =
dt
dt
I
L i(t)di
0
Obtém-se assim a energia armazenada na auto-indutância:
(322)
109
0.25. ENERGIA EM CIRCUITOS MAGNÉTICOS
1
W = L I2
2
(323)
Energia expressa em função do potencial vector e das correntes
Podemos reescrever a expressão (323) atendendo a que, conforme vimos, o fluxo φ que
atravessa o circuito de auto-indutância L percorrido pela corrente I, é:
φ = LI =
B · dS =
(∇ × A) · dS =
A · dl
(324)
Então:
1
1
1
W = L I2 = I φ = I
2
2
2
1
A · dl =
2
A · Idl
(325)
Esta expressão é análoga da expressão (87) que encontrámos na electrostática para
a energia electrostática numa densidade de carga sujeita a um potencial electrostático.
Podemos reescrevê-la facilmente para o caso de densidades superficiais ou volúmicas de
corrente:
1
W =
2
A · KdS
(326)
1
W =
2
A · Jdτ
(327)
Energia expressa em função do campo magnético
Podemos ainda obter uma forma particularmente importante de exprimir a energia armazenada numa densidade de corrente J, responsável por um campo magnético B. A
partir da expressão (327), temos:
1
W =
2
1
A · Jdτ =
2
1
A · Jdτ =
2µ0
A · (∇ × B) dτ
(328)
onde usámos a lei de Ampère ∇ × B = µ0 J da magnetostática. Atendendo ainda à
relação, conhecida do cálculo vectorial, ∇·(A × B) = B·(∇ × A)−A·(∇ × B), obtemos:
110
1
W =
2µ0
1
B · (∇ × A) dτ −
2µ0
∇ · (A × B) dτ
(329)
Os dois termos deste resultado podem ser analisados separadamente. O segundo termo
pode reescrever-se com um integral de superfı́cie recorrendo ao teorema de Gauss:
1
2µ0
1
∇ · (A × B) dτ =
2µ0
τ
(A × B) · dS
(330)
S
onde S é a superfı́cie que delimita o volume percorrido pela densidade de corrente J.
no entanto, da expressão (327), é absolutamente claro que o integral pode ser estendido
sem qualquer problema a todo o espaço e não precisa de ser limitado ao espaço percorrido
pela corrente, uma vez que a contribuicção da parte do espaço onde J = 0 é nula. Assim,
a superfı́cie em causa no integral (330) pode ser estendida para infinito, dependendo então
dos valores do potencial A e do campo B no infinito. Ora, em qualquer situação fı́sica,
estas duas quantidades tendem para zero no infinito, pelo que o integral (330) é nulo.29
A expressão da energia reduz-se assim ao primeiro termo, desde que estendamos o
integral a todo o espaço. Atendendo a que B = ∇ × A, este termo pode ser reescrito na
forma:
1
W =
2µ0
B 2 dτ
(331)
Esta expressão traduz assim a energia magnetostática armazenada num campo
magnético. A densidade correspondente é:
1 2
B
2µ0
(332)
Esta energia é designada magnetostática não por se dever a trabalho realizado por
B, mas por ser a energia necessária para criar a distribuição de correntes que origina B.
Esta expressão é a equivalente da expressão (92) que encontrámos na electrostática. No
caso em que E ou B variam no tempo, estas duas expressões continuam válidas, mas em
conjunto, conforme veremos mais adiante:
W =
29
0 2
1 2
E +
B dτ
2
2µ0
(333)
Mais uma vez, cumpre recordar que as situações que por vezes consideramos em que as distribuições
de correntes se estendem até ao infinito, constituem apenas aproximações extraordinariamente úteis.