Relatórios

1
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO SERIDÓ – CERES
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS – DCEA
PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO Á DOCÊNCIA
(PIBID)
KALINE ARAÚJO DA SILVA
LUANA GONÇALVES DE LIMA
SUBPROJETO DE MATEMÁTICA-2014
ATIVIDADES DESENVOLVIDAS
CAICÓ/RN
2014
2
KALINE ARAÚJO DA SILVA
LUANA GONÇALVES DE LIMA
SUBPROJETO DE MATEMÁTICA-2014
ATIVIDADES DESENVOLVIDAS
Relatório
Maroni
apresentado
Lopes
do
à
curso
coordenadora
Matemática,
referente às atividades desenvolvidas no 2º
semestre pelo PIBID na turma do 8º ano do
turno vespertino da Escola Estadual Zuza
Januário.
CAICÓ/RN
2014
3
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO..........................................................................................4
2. ATIVIDADES DESENVOLVIDAS NA SALA DE AULA.............................5
ANEXOS
4
INTRODUÇÃO
Neste relatório anexaremos as atividades realizadas pelo Programa de
Iniciação à Docência - PIBID de matemática durante o período de 15 de agosto
de 2014 até 5 de dezembro de 2014 na turma do 8º ano vespertino da Escola
Estadual Zuza Januário. O trabalho foi uma revisão de todo o assunto dado pela
Professora Supervisora Marcilene, tendo como conteúdos apresentados:
Produtos notáveis, fatoração, frações algébricas (simplificação, operações de
adição, subtração, multiplicação e divisão) e sistemas de equações. Com o
intuito de reforçar a aprendizagem e melhorar o rendimento escolar dos alunos.
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ATIVIDADES DESENVOLVIDAS NA SALA DE AULA
PRODUTOS NOTÁVEIS
A expressão algébrica (a+b)² apresenta uma soma de dois termos, a+b, elevada
ao quadrado – por isso é denominada o quadrado da soma de dois termos.
Mas podemos formar a resposta sem precisar ficar multiplicando termo a
termo. Por isso, dizemos que é um produto notável.
Quadrado da Soma de Dois Termos
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo,
mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do
segundo termo:
Exemplos
Quadrado da Diferença de Dois Termos
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo,
menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do
segundo termo:
Exemplos
Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do
primeiro termo menos o quadrado do segundo termo:
Exemplos
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EXERCICIOS
1- Calcule:
a) (2x + 1)²
b) (a + 5)²
c) (a + 10)²
d) (2a + 5)²
e) (a + 2b)²
f) (5a + 3b)²
g) (2a + 9)²
h) (3x + 2y)²
i) (2xy + 4)²
j) (x + ½)²
k) (2a + 10)²
l)
(5x -3y)²
m) (5a – 3b)²
n) (3a – 2b)²
2- Calcule os produtos:
a) (x +1)(x+1)
b) (a + 5)(a - 5)
c) (3b + 7)(3b – 7)
d) (x² + 2)(x² - 2)
e) (3 – ab)(3 + ab)
f) (3x – 2y)(3x + 2y)
j) (7x + 6)(7x – 6)
k) (3x² - 4)(3x² + 4)
7
3- Resolva as expressões algébricas:
a)
(x + y)2 – 2xy =
b)
(5 – 2z)2 – (25 +10z) =
c)
(3x+1)2 + (3x-1)2 – 2 =
d)
(2 – 2x)2 + (3 – 2x)2 – 2(x – 3) =
e)
(x – 3)(x + 3) – x(x – 3y) =
f)
(5a + 3)2 + (5a - 3)2 – 2(a + 5) =
g)
(2x – 3)2 + (x – 5)(x + 5) – (x + 4)2 =
h)
(a - 1)² + a(3a + 2) =
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FATORAÇÃO
Fatorar um número significa escrevê-lo na forma de produto de números
primos. Por exemplo, a fatoração do número 36 consiste na multiplicação entre os
números 2 * 2 * 3 * 3.
Na fatoração de polinômios devemos escrever o mesmo através do produto
entre outros polinômios. As fatorações mais conhecidas são: fator comum em
evidência, agrupamento, diferença entre dois quadrados, trinômio quadrado perfeito e
trinômio soma e produto.
Fator comum em evidência.
Nesse modelo de fatoração temos que determinar o elemento comum aos
termos que formam o polinômio. Observe:
 No polinômio x² + 2x, temos que a variável x é comum aos dois termos. Ela será
o termo em evidência, a qual dividirá todos os termos do polinômio original.
Exemplos:
x² + 2x → x * (x + 2)
x² : x = x
2x : x = 2
4x³ – 2x² → 2x² * (2x – 1)
4x³ : 2x² = 2x
2x : 2x = 1
16x² + 8 → 8 * (2x² + 1)
16x² : 8 = 2x²
8:8=1
Fatoração por Agrupamento
Na fatoração por agrupamento, utilizamos inicialmente a fatoração por evidência e logo
em seguida agrupamos os termos sob certas condições também de evidenciação.
Exemplo:
2yx – x – 6y + 3, aplicar evidência entre 2yx e –x e entre –6y e 3.
2yx – x → x * (2y – 1)
–6y + 3 → –3 * (2y – 1)
2yx – x – 6y + 3 → x * (2y – 1) – 3 * (2y – 1) → (x – 3) * (2y – 1)
9
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS
A simplificação de frações é feita dividindo o numerador e o denominador pelo
mesmo número, isto seria o mesmo que eliminar todos os fatores comuns, obtendo uma
fração mais simples e equivalente. Observe os exemplos:
Com base nesse mesmo procedimento, simplificamos frações algébricas que apresentam
fatores em comum. Veja exemplos:
24𝑥 4 𝑦³𝑧
2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑦 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 2 ∗ 2 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ 𝑧 4𝑥²𝑧
=
=
=
4
2∗3∗3∗𝑥∗𝑥∗𝑦∗𝑦∗𝑦∗𝑦
3∗𝑦
3𝑦
18𝑥²𝑦
Para serem desenvolvidas, algumas simplificações requerem, primeiramente, o
uso de técnicas de produtos notáveis e fatoração.
Fator comum em evidência
𝑥² + 𝑥 𝑥(𝑥 + 1) 𝑥
=
=
2𝑥 + 2 2(𝑥 + 1) 2
Diferença entre dois quadrados
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Agrupamento e fator comum em evidência
Trinômio quadrado perfeito
Efetuando operações antes de simplifica
Exercícios
1 - Simplifique as frações algébricas:
a) 12x/15 =
b) 12m/6a =
c) 8x/10x² =
d) 4x³/10xy =
e) 4x⁴a/6x³ =
f) 6a⁵/7a³x =
g) 8ay/2xy³ =
h) 4x²y/10xy³ =
i) 8am/-4am =
j) -14x³c/2x =
k) 64a³n²/4an² =
2 – Simplifique as frações utilizando a técnica de fator comum em evidência:
a) (3a – 3b)/12 =
b) (2x + 4y)/2a =
c) (3x – 3)/(4x – 4) =
d) (3x – 3)/( 3x + 6) =
e) (5x + 10)/5x =
f) (8x – 8y)/(10x – 10y) =
g) (3a + 3b)/(6a + 6b) =
h) (15x² + 5x)/5x =
i) (6x – 6y)/(3x – 3y) =
j) (18x – 18)/(15x – 15) =
k) (x² - x)/(x – 1) =
l) (2x + 2y)/6 =
11
FRAÇÕES ALGÉBRICAS são aquelas em que aparecem incógnitas no denominador.
Só podemos adicionar ou subtrair frações algébricas de mesmo denominador, caso
elas possuam denominadores diferentes, precisaremos igualá-los.
Denominadores iguais
Para adicionarmos/subtrairmos frações de mesmo denominador, conservamos o
denominador comum e adicionamos/subtrairmos os numeradores.
Exemplos:
Denominadores diferentes
Se os denominadores forem diferentes, reduzimos ao menor denominador comum,
determinando o m.m.c. e efetuamos as operações seguintes do mesmo modo quando
somamos ou subtraímos frações com denominadores diferentes.
Exemplo 1:
M.m.c. (3, a, 4a²) = 12a²
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Exemplo3:
3/(x-2) + 5/(x + 2)
Temos m.m.c. = (x – 2) ( x + 2)
3/(x-2)+5/(x + 2) =
3(x +2) / (x – 2) ( x + 2) + 5(x - 2) / (x – 2) ( x + 2) =
3x + 6 + 5x -10 /(x – 2) ( x + 2) =
8x -4/ (x – 2) ( x + 2)
Exemplo 2:
Exercícios
1 – Resolva a soma e subtração das frações algébricas de denominadores iguais:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
y
1
+
2x
12c
a
3
x²y
3x
+
+
+
=
2x
3−5c
a
2
x²y
2x
=
=
=
y
y
4x+1
2x+2
2x
5
−
2x
=
7
+ =
x
x
a+b
2a+b
a²b
+
a²b
=
13
m+1
h)
x
a−1
i)
m
9a
l)
m)
o)
p)
q)
x
2a−1
−
=
b
b2 −a
x−y
x−y
4
1
k)
n)
−
b
a+b²
j)
4
− =
−
+
=
m
a
=
b²
b²
y−1
y+5
−
a+3
3x−1
a
2x+3
b
a−5
2a
x
x+y
−
−
=
a+3
3x+2
+
+
=
a
3x+1
b
4
2a
3x
=
=
=
x+y
=
2- Resolva a soma e subtração das frações algébricas de denominadores diferentes:
a) 10/x – 25/3x =
b) 5y/3x + 3y/2x =
c) 3/2x² - 8/x =
d) 5/yx – x/3y =
e) (a + 3)/4m + 1/2m =
f) (6x + 13)/2y + (x + 3) 3y =
g) 4 / (x + 1) + 2 /(x – 1) =
h) 4/x + 5/(x -2) =
i) 1/(x -3) – 6/ (x² - 9)=
j) (3x + 2) / (x² - 4) – 4 / (x + 2) =
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE FRAÇÕES NUMÉRICAS
Multiplicação
A multiplicação de frações é muito simples, basta multiplicarmos numerador por
numerador e denominador por denominador, respeitando suas posições. Observe:
14
Divisão
A divisão deve ser efetuada aplicando uma regra prática e de fácil assimilação, que diz:
“repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda”.
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS
Multiplicação
Para multiplicar frações algébricas, multiplique os numeradores entre si e os
denominadores também entre si.
Exemplos:
a/b . x/y = ax/by
3a /x . 7/5y = 21a /5xy
2x/5c . 4x² /3c = 8x³/15c²
(x + y)/ 4b . (x – y)/ m = (x² - y²) / 4bm
Nos casos em que o numerador e o denominador têm fatores comuns, podemos cancelálos antes de efetuar a multiplicação.
Exemplos:
a/3x . 2x/5 = 2a /15
(3x – 2) / 5 . 7a / (3x -2) = 7a / 5
Divisão
15
Para dividir frações algébricas, conserve a primeira fração e divida-a pelo inverso da
segunda.
Exemplos:
2x/a : 3m/5c = 2x/a . 5c/3m = 10cx/3am
5x²/ 3a : 7b/2x = 5x²/3a . 2x/7b = 10x³/21ab
a/(x + y) : m/(x + y) = a/(x + y) . (x +y)/m = a/m
EXERCÍCIOS
1) Efetue as multiplicações de frações algébricas:
a) 3 a / x . y/2 =
b) 2x/5 . 4a/x =
c) 3/a .5y/y =
d) 2 a/x . 5b / y =
e) 7 a /m² . 2 a/5m =
f) m/x² . 6a³/7x=
g) 3x/2y . x²/4 =
h) 3xy/5 a . 2x³ / a²y =
i) 5x²/3y . 2x / y³ =
j) 4 / (x + y) . ( x + y ) / 5 =
k) 1 / (x – y) . 1 /(x + y) =
l) ( x + 1) / ( x – 5) . ( x – 1) / ( x + 5) =
m) 8m / ( m -1) . m / (m + 1) =
n) ( x² - 9) / 5 . 10/(x – 3) =
2) Calcule as divisões de frações algébricas:
a) 2a/ b : x/y =
b) 3x/4 : 5y/7 =
c) 3x/2 : 6x²/4 =
d) 2y/x : 10x/3y=
f) 2a / 3x² : 5a² / 9xy =
g) x/2 : 5x²/8 =
h) 2x³/ y² : 4x / y⁵ =
i) (x + 1) /5x : a / (x -1) =
j) am/(x + y) : m/( x + y) =
k) ( x² - 1) / (5x + 5) : ( 5x – 5)/ (x + 1) =
16
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas, por exemplo,
4x + 3y = 0, os valores de x e de y é preciso relacionar essa equação com outra ou outras
com
as
mesmas
incógnitas.
Essa
relação
é
chamada
de
sistema.
Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: duas equações de
1º grau com duas incógnitas diferentes em cada equação. Veja um exemplo:
Para encontramos o par ordenado solução desse sistema é preciso utilizar dois
métodos para a sua solução.
Esses dois métodos são: Substituição e Adição.
Método da substituição
Esse método consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das incógnitas e
substituir na outra equação, veja como:
Dado o sistema , enumeramos as equações.
Escolhemos a equação 1 e isolamos o x:
x + y = 20
17
x = 20 – y
Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 – y.
3x + 4 y = 72
3 (20 – y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72
-3y + 4y = 72 – 60
y = 12
Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equação
x = 20 – y.
x = 20 – y
x = 20 – 12
x=8
Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12)
Método da adição
Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das
incógnitas seja zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas
vezes as duas equações ou apenas uma equação por números inteiros para que a soma de
uma das incógnitas seja zero.
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Dado o sistema:
Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que
multiplicar a primeira equação por – 3.
Agora, o sistema fica assim:
Adicionando as duas equações:
- 3x – 3y = - 60
+
3x + 4y = 72
y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o valor
de y encontrado:
x + y = 20
x + 12 = 20
x = 20 – 12
19
x=8
Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12).
Se resolver um sistema utilizando qualquer um dois métodos o valor da solução será
sempre o mesmo.
Exercícios
1- Encontre o conjunto solução dos sistemas de equações pelo método da adição:
2 x  5 y  13
a) 
 2 x  7 y  23
 x  4 y  9
b) 
2 x  4 y  6
16r  2s  10
c) 
 16r  s  13
7m  2n  6
d) 
5m  2n  6
13  3a  b
e) 
 5  b  3a
2- Encontre o conjunto solução dos sistemas de equações pelo método da
substituição:
4 x  5 y  21
a) 
7 x  2 y  17
3a  5b  8
b) 
5a  3b  32
9m  6n  12
c) 
4m  5n  10
2 p  11q  5
d) 
7 p  3q  24
20
ANEXOS
21
Gincana realizada por todos os PIBIDs que atuam na EEZJ – 17/10/2014
22
Alunos do PIBID-Matemática resolvendo exercícios propostos em sala de aula –
07/11/2014