Aula 4 - DE/UFPB

UNIVERSIDADE FEDERAL
DA PARAÍBA
MEDIDAS
DESCRITIVAS
Departamento de Estatística
Luiz Medeiros
http://www.de.ufpb.br/~luiz/
► Vimos
que é possível sintetizar os dados sob a
forma de distribuições de frequências e gráficos
gráficos..
► Pode
ser de interesse apresentar esses dados
através de medidas descritivas que sintetizam as
características da distribuição
distribuição..
► Para
representar um conjunto de dados de forma
condensada utilizaremos algumas medidas de
posição e de dispersão
dispersão..
MEDIDAS DE POSIÇÃO - MÉDIA
Média Aritmética Simples
Simples:: É a soma das observações dividida
pelo número de observações.
observações. Seus valores tendem a se
localizar em um ponto central dentro de um conjunto de dados.
dados.
Em geral é a medida de posição mais comum.
comum.
A média aritmética de X é dada por
por::
Para dados agrupados por valor:
Exemplo: Calcule a média da distribuição de
Exemplo:
frequência por valor
► PROPRIEDADES
DA MÉDIA ARITMÉTICA
► i)
A soma algébrica dos desvios de um conjunto de
números em relação a média aritmética é zero.
► ii)
Quando somamos ou subtraímos uma constante
aos valores de uma variável, a média fica
aumentada ou diminuída dessa constante.
► iii)
Quando multiplicamos ou dividimos todos os
valores de uma variável por uma constante, a
média fica multiplicada ou dividida por essa
constante.
►
PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA
►
IMPORTANTE: Quando um conjunto de dados contém
valores extremos não é aconselhável o uso da média para
representação dos dados.
►
EXEMPLO: A partir da distribuição de renda calcule a
renda média dos Engenheiros em uma Empresa.
►
2500 3300 5500 2700 4200 6000 3000 4800
7000 3200 5000 80000
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
►
Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas
as ocorrências têm exatamente a mesma importância ou o
mesmo peso
peso..
►
No entanto, existem casos onde as ocorrências têm
importância relativa diferente
diferente.. Nestes casos, o cálculo da
média deve levar em conta esta importância relativa ou
peso relativo
relativo..
Exemplo: As aplicações mais comuns no mercado financeiro são:
Exemplo:
são:
Poupança, Certificado de Depósito Bancário (CDB), Recibo de
Depósito Bancário (RDB) e os Fundos de Investimento.
Investimento. Uma
multinacional decide aplicar parte do seu lucro em três
diferentes aplicações no período de um ano.
ano. Segue abaixo o
montante aplicado em cada uma das aplicações no período.
período.
Tipos de Aplicações
Poupança
CDB
Valor das Aplicações
R$ 250.000,00
R$ 100.000,00
Rentabilidade
7%
11%
RDB
R$ 80.000,00
12%
Qual foi a rentabilidade média (em percentual) da empresa com
as aplicações no final do período? Justifique sua resposta.
resposta.
MEDIDAS DE POSIÇÃO - MEDIANA
Mediana: Ocupa a posição central de uma série de observações
Mediana:
ordenadas, ou seja, é o valor que divide os dados em duas
partes iguais (isto é, em duas partes de 50
50%
% cada)
cada).. É denotada
por Me
Me..
Caso 1 - “n” ímpar
ímpar:: Para a série de valores ordenados em ordem
crescente de grandeza (isto é, um rol), a mediana é o valor
central, isto é
Me = elemento que está na posição (n+1)/2;
Caso 2 - “n” par
par:: Para a série de valores ordenados em ordem
crescente de grandeza (isto é, um rol), a mediana é a média
aritmética dos valores centrais, isto é
Me = média aritmética entre os elementos das posições n/2 e (n/2)+1
MEDIDAS DE POSIÇÃO - MODA
Moda: É o valor (valores) mais frequente na distribuição de valores, e
Moda:
será denotado por MO.
a. Se todos os valores se repetem a mesma quantidade de vezes,
dizemos que não há moda, ou seja, a distribuição é amodal;
amodal;
b. Se um valor ocorre com mais frequência,
frequência, dizemos que a distribuição é
unimodal;;
unimodal
c. Se dois valores se repetem a mesma quantidade de vezes e com mais
freqüência, dizemos que a distribuição é bimodal.
bimodal.
d. Se mais de dois valores se repetem a mesma quantidade de vezes e
com a mesma freqüência, dizemos que a distribuição é multimodal.
Exemplo: Uma multinacional estuda implementar uma nova
Exemplo:
política de incentivo financeiro a suas equipes de vendas.
vendas. Com o
objetivo de estabelecer uma meta mínima a empresa estudou o
comportamento das vendas de três diferentes equipes durante
seis meses
meses.. Os valores obtidos (em milhões de R$) foram:
foram:
Equipes
A
B
C
Vendas
40
27
35
38
29
31
27
37
38
25
44
27
38
43
36
37
30
29
A equipe de qual região é a mais eficiente nas vendas?
b) Foi estabelecida uma remuneração extra para a equipe em que
o número de meses das vendas superiores a média geral seja,
no mínimo, 60
60%
%. Verifique se alguma equipe ganhou essa
remuneração.. Por quê?
remuneração
a)
►
Exemplo: De acordo com informações obtidas de uma
Exemplo:
multinacional, o salário dos funcionários que possuem
curso superior são:
são: R$ 2500,
2500,00 – 3200,
3200,00 – 1800,
1800,00 –
1600,,00 – 1900,
1600
1900,00 – 2100,
2100,00 – 2500,
2500,00 – 2000,
2000,00 –
4500,,00 – 4900,
4500
4900,00 – 1500,
1500,00 – 3300,
3300,00 – 2500,
2500,00
00..
Baseado nas informações da empresa determine
determine::
a)
Qual o salário médio dos funcionários que possuem
curso superior?
b)
Qual o salário mais frequente?
frequente?
c)
Qual o salário mediano?
MEDIDAS DE POSIÇÃO - QUARTIS, DECIS E
PERCENTIS
Em alguns casos, o pesquisador tem interesse em
conhecer outros aspectos relativos ao conjunto de
dados.. Nessa direção, os quartis
dados
quartis,, decis e percentis
podem fornecer informações relevantes à pesquisa
pesquisa..
►
Quartis: São as observações que dividem o rol em 4 partes
Quartis:
iguais e são denotadas por Q1, Q2 e Q3.
►
Decis: São as observações que dividem o rol em 10 partes
Decis:
iguais e são denotadas por D1,D2, . . . ,D9.
►
Percentis: São as observações que dividem o rol em 100
Percentis:
partes iguais e são denotadas por P1, P2, . . . , P99.
Note ainda que Q2 = D5 = P50 = Me.
ASSIMETRIA
►
Média = mediana = moda -> distribuição simétrica
►
Média > Mediana > Moda -> distribuição assimétrica positiva
►
Média < Mediana < Moda -> distribuição assimétrica negativa
MEDIDAS DE DISPERSÃO
► As
medidas de posição apresentadas fornecem a
informação dos dados apenas a nível pontual,
sem ilustrar outros aspectos referentes à forma
como os dados estão distribuídos na amostra.
amostra.
► As
medidas de dispersão são utilizadas para
avaliar o grau de variabilidade, ou dispersão,
dos valores.
valores.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Exemplo: Notas de três turmas de Estatística da UFPB
Observações importantes
i)
ii)
iii)
iv)
As três turmas possuem a mesma média.
As notas estão distribuídas sob diferentes formas.
A média resume o conjunto de dados apenas posição central.
A média não fornece informações sobre a variabilidade dos dados.
Solução: Apresentar junto da média uma medida que sumarize a
Solução:
variabilidade do conjunto de dados.
dados.
MEDIDAS DE DISPERSÃO – AMPLITUDE TOTAL
►
Amplitude Total:
Total: Uma forma simples de medir a
dispersão em um conjunto de observações é
através da amplitude total:
total:
AT = max
max(X
(X1, . . . ,X
,Xn) − min
min(X
(X1, . . . ,X
,Xn)
Verifica-se que a amplitude como medida de
Verificadispersão é limitada
limitada.. Essa medida só depende dos
valores extremos, ou seja, não é afetada pela
dispersão dos valores internos
MEDIDAS DE DISPERSÃO - VARIÂNCIA
►
a)
A variância de um conjunto de dados (amostra ou população) é
uma medida de “VARIABILIDADE ABSOLUTA”.
ABSOLUTA”. Ela mede a
variabilidade do conjunto em termos de desvios quadrados em
relação à média aritmética.
aritmética. É uma quantidade sempre não
negativa e expressa em unidades quadradas do conjunto de
dados, sendo de difícil interpretação.
interpretação.
Para dados agrupados por valor:
MEDIDAS DE DISPERSÃO – DESVIO PADRÃO
É uma outra medida de dispersão mais
comumente empregada do que a variância, por
ser expressa na mesma unidade de medida do
conjunto de dados.
dados. Mede a "DISPERSÃO
ABSOLUTA" de um conjunto de valores e é obtida
a partir da variância
variância..
S=
2
S
MEDIDAS DE DISPERSÃO – COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
É uma medida de “VARIABILIDADE RELATIVA”, útil para comparar a
variabilidade de observações com diferentes unidades de medida.
medida. É
definida por:
por:
Exemplo:
VALORES
MÉDIA
D.P.
C.V.
1-2-3
2
1
50 %
100 - 200 - 300
200
100
50 %
101 - 102 - 103
102
1
1%
►
É importante expressar a variabilidade em termos relativos porque, por exemplo,
um desviodesvio-padrão igual a 1 pode ser muito pequeno se a magnitude dos dados
é da ordem de 1.000, mas pode ser considerado muito elevado se esta
magnitude for da ordem de 10.
►
Observe também que o coeficiente de variação é adimensional e por este motivo
permite a comparação das variabilidades de diferentes conjuntos de dados.
CONSIDERAÇÕES GERAIS
►
O conjunto de todos os possíveis elementos de uma determinada
pesquisa constitui uma população estatística.
estatística. Sua média é a média
populacional, usualmente representada pela letra grega µ. Na grande
maioria das situações práticas, a média populacional é desconhecida e
deve ser estimada a partir de dados amostrais.
amostrais. Se a amostra for
extraída de forma adequada, a média amostral X
é uma boa
estimativa de µ.
►
A amplitude, apesar de ser muito fácil de calcular, tem a desvantagem
de levar em consideração apenas os dois valores extremos (máximo e
mínimo) da massa de dados, desprezando os demais
demais..
►
A variância populacional é representada por σ2. Usualmente, a
variância populacional é desconhecida e deve ser estimada a partir dos
dados amostrais.
amostrais. Se a amostra foi extraída de forma adequada, a
variância amostral S2 é uma boa estimativa de σ2.
►
e S tomadas na amostra, denominadas
ESTATÍSTICAS, são estimativas dos PARÂMETROS POPULACIONAIS µ,
As
medidas X ,
S2
σ2 e σ (supostos desconhecidos)
desconhecidos)..
CONSIDERAÇÕES GERAIS
Curtose
Exemplo: Na tabela abaixo encontraExemplo:
encontra-se a estrutura do
produto interno bruto do Brasil, em bilhões de reais,
segundo as atividades econômicas.
econômicas.
a)
Em qual dos setores ocorre a maior variabilidade?
PERÍODO
AGROPECUÁRIA
INDÚSTRIA
SERVIÇOS
2002
6,6
27,1
66,3
2003
7,4
27,8
64,8
2004
6,9
30,1
63
2005
5,7
29,3
65
2006
5,5
28,8
65,8
2007
5,6
27,8
66,6
Exemplo: Uma certa empresa que fabrica duas linhas de
Exemplo:
produtos (A e B) necessita reestruturar sua produção.
produção. Foi
realizado um estudo para tal finalidade e uma das variáveis
consideradas foi VENDA (quantidade mensal) de cada tipo
de produto (A e B).
B). Para este estudo foi tomado como
referência o primeiro semestre de determinado ano, onde
foram verificados as seguintes VENDAS
VENDAS::
a)
b)
PRODUTO A
13
32
28
25
24
25
PRODUTO B
25
20
29
30
26
20
Em relação a esta variável, qual dos produtos (A ou B)
apresentou maior estabilidade nas VENDAS mensais?
A empresa decide penalizar a equipe que obteve, em
algum mês, um volume de venda inferior a X -1,5S.
Alguma equipe foi penalizada?