Progressão Aritmética e Geomética

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Progressão Aritmética
1. (G1 - cftrj 2014) Disponha os números 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8 e 9 nas casas do tabuleiro abaixo de
modo que: o número 9 ocupe a casa central, os
números da primeira linha sejam todos ímpares e
a soma dos números de cada linha e cada coluna
seja sempre a mesma.
2 4 1 
a) Dada a progressão harmônica  , , ,...  ,
5 9 2 
encontre o seu sexto termo.
b) Sejam a, b e c termos consecutivos de uma
2ac
progressão harmônica. Verifique que b =
.
a+c
5. (Uneb 2014) Evite o excesso de álcool, pois ele
aumenta os efeitos do estrogênio. Algumas
pesquisas sugerem que beber apenas uma
unidade de álcool por dia aumenta o risco de
câncer de mama em 11%, aumentando para 24%
com duas unidades e 38% com três unidades
diárias.
(BREWER. 2013, p. 75).
2. (Espm 2014) Dois irmãos começaram juntos a
guardar dinheiro para uma viagem. Um deles
guardou R$ 50,00 por mês e o outro começou
com R$ 5,00 no primeiro mês, depois R$ 10,00
no segundo mês, R$ 15,00 no terceiro e assim
por diante, sempre aumentando R$ 5,00 em
relação ao mês anterior. Ao final de um certo
número de meses, os dois tinham guardado
exatamente a mesma quantia. Esse número de
meses corresponde a:
a) pouco mais de um ano e meio.
b) pouco menos de um ano e meio.
c) pouco mais de dois anos.
d) pouco menos de um ano.
e) exatamente um ano e dois meses.
3. (Uece 2014) Se a soma de k inteiros
consecutivos é p, então o maior destes números
em função de p e de k é
p k −1
a) +
.
k
2
p k
b) + .
k 2
p k +1
c) +
.
k
2
p k+2
d) +
.
k
2
4. (Unicamp 2014) Dizemos que uma sequência
de números reais não nulos (a1, a2 , a3 , a4 ,...) é
uma progressão harmônica se a sequência dos
 1 1 1 1

inversos  ,
,
,
, ...  é uma progressão
 a1 a2 a3 a 4

aritmética (PA).
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Se as diferenças entre os percentuais que indicam
o risco de câncer de mama informados no texto
crescessem formando uma progressão aritmética,
à medida que o número de unidades de álcool
ingeridas por dia aumentassem, então uma
pessoa que ingerisse cinco unidades de álcool,
diariamente, teria um risco de desenvolver câncer
de mama de
a) 63%.
b) 65%.
c) 67%.
d) 69%.
e) 72%.
6. (Uem 2014) Em relação à sequência infinita de
números inteiros, cujo n-ésimo termo é obtido pela
fórmula an = 3n + 6, para todo inteiro positivo n,
assinale o que for correto.
01) Essa sequência é uma progressão aritmética
de razão 3.
02) Todos os termos dessa sequência são
múltiplos de 3.
04) a4 = 18.
08) Para todo inteiro positivo n, o termo an divide
o termo an+3 .
16) Para todo inteiro n > 2, vale a seguinte
igualdade a1 + a2 + ... + an−1 + an =
3n2 + 15n
.
2
7. (Fgv 2013) Um anfiteatro tem 12 fileiras de
cadeiras. Na 1ª fileira há 10 lugares, na 2ª há 12,
na 3ª há 14 e assim por diante (isto é, cada fileira,
a partir da segunda, tem duas cadeiras a mais que
a da frente).
O número total de cadeiras é
a) 250
b) 252
c) 254
d) 256
Página 1
e) 258
8. (Fgv 2013) Observe a tabela com duas
sequências.
Sequência
1
Sequência
2
1.º
termo
2.º
termo
3.º
termo
4.º
termo
...
3
7
11
15
...
-3
-82
-161
-240
...
Sendo Sn a soma dos n primeiros termos da
sequência 1, e bn o n-ésimo termo da sequência
2, então, Sn =| bn | para n igual a 1 ou
a) 26.
b) 29.
c) 38.
d) 43.
e) 46.
9. (Uepg 2013) Um total de n bolas está
distribuído em 20 caixas, de modo que a primeira
caixa contém 3 bolas, a segunda caixa contém 6
bolas, a terceira caixa contém 9 bolas e assim
sucessivamente, formando uma P.A. Sobre o
número n de bolas, assinale o que for correto.
01) n é um múltiplo de 6.
02) n > 600.
04) n é um múltiplo de 4.
08) n < 650.
10. (Mackenzie 2013) Em uma progressão
aritmética o primeiro termo é 2 e a razão é 4.
Nessa progressão, a média aritmética ponderada
entre o terceiro termo, com peso 2, e 10% da
soma dos cincos primeiros termos, com peso 3, é
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
11. (Ufmg 2013) Dentro dos bloquinhos que
formam uma pirâmide foram escritos os números
naturais, conforme ilustrado na figura abaixo, de
forma que:
— na primeira linha da pirâmide aparece um
número: 1;
— na segunda linha da pirâmide aparecem dois
números: 2 e 3;
— na terceira linha da pirâmide aparecem três
números: 4, 5 e 6;
— na quarta linha da pirâmide aparecem quatro
números: 7, 8, 9 e 10, e assim sucessivamente.
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Considerando essas informações,
a) DETERMINE quantos bloquinhos são
necessários para construir as 10 primeiras
linhas da pirâmide.
b) DETERMINE o último número escrito na
trigésima linha da pirâmide.
c) DETERMINE a soma de todos os números
escritos na trigésima linha da pirâmide.
Progressão Geométrica
1. (Espm 2014) A figura abaixo mostra a trajetória
de um móvel a partir de um ponto A, com
BC = CD, DE = EF, FG = GH, HI = IJ e assim por
diante.
Considerando infinita a quantidade desses
segmentos, a distância horizontal AP alcançada
por esse móvel será de:
a) 65 m
b) 72 m
c) 80 m
d) 96 m
e) 100 m
2. (Uel 2014) Leia o texto a seguir.
Van Gogh (1853-1890) vendeu um único quadro
em vida a seu irmão, por 400 francos. Nas
palavras do artista: “Não posso evitar os fatos de
que meus quadros não sejam vendáveis. Mas virá
o tempo em que as pessoas verão que eles valem
mais que o preço das tintas”.
(Disponível em:
<http://www.naturale.med.br/artes/4_Van_Gogh.p
df>. Acesso em: 2 out. 2013.)
Página 2
A mercantilização da cultura impulsionou o
mercado de artes nos grandes centros urbanos.
Hoje, o quadro Jardim das Flores, de Van Gogh, é
avaliado em aproximadamente 84 milhões de
dólares. Supondo que há 61 anos essa obra
custasse 84 dólares e que sua valorização até
2013 ocorra segundo uma PG, assinale a
alternativa que apresenta, corretamente, o valor
dessa obra em 2033, considerando que sua
valorização continue conforme a mesma PG.
a) 1,68 × 109 dólares.
b) 8,40 × 10 dólares.
c) 84,00 × 107 dólares.
d) 168,00 × 106 dólares.
e) 420,00 × 107 dólares.
x
lo
g
x
3. (Ufsm 2013) A tabela mostra o número de
pessoas que procuraram serviços de saúde,
segundo o local, numa determinada cidade.
Postos e
Centros de
Saúde
Clínicas
Privadas
Clínicas
Odontológi
cas
200
1
200
2
200
3
2004
2005
2.00
0
4.00
0
8.00
0
16.0
00
32.0
00
4.20
0
5.40
0
6.60
0
7.80
0
9.00
0
857
854
851
848
845
Supõe-se que esse comportamento é mantido nos
próximos anos. Partindo dos dados, fazem-se as
seguintes afirmações:
I. O número de pessoas que procuraram Postos e
Centros de Saúde cresceu em progressão
geométrica de razão 2.000.
II. O total de pessoas que procuraram atendimento
em Clínicas Privadas de 2001 até 2011 é igual
a 112.200.
III. Em 2011, o número de atendimentos em
Clínicas Odontológicas é igual a 827.
Está(ão) correta(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas I e III.
d) apenas II e III.
e) I, II e III.
4. (Uem 2013) Seja r um número inteiro positivo
fixado. Considere a sequência numérica definida
a =r
por 1
e assinale o que for correto.
an+1 = an + a1
{
01) A soma dos 50 primeiros termos da sequência
(a1, a2 , a3 , a4 , a5 , K) é 2500r.
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(a1, a2 , a4 , a8 , a16 , K) é 220 r.
16) A soma dos 30 primeiros termos da sequência
(a2 , a4 , a6 , a8 , a10 , K) é 930r .
5. (Fgv 2013) Um capital A de R$10.000,00 é
aplicado a juros compostos, à taxa de 20% ao
ano; simultaneamente, um outro capital B, de
R$5.000,00, também é aplicado a juros
compostos, à taxa de 68% ao ano.
Utilize a tabela abaixo para resolver.
9
Local \ Ano
02) A sequência (a1, a2 , a4 , a8 , a16 , K) é uma
progressão geométrica.
04) A sequência (a1, a3 , a5 , a7 , a9 , K) é uma
progressão aritmética.
08) O vigésimo termo da sequência
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0,
30
0,
48
0,
60
0,
70
0,
78
0,
85
0,
90
0,
96
Depois de quanto tempo os montantes se
igualam?
a) 22 meses.
b) 22,5 meses.
c) 23 meses.
d) 23,5 meses.
e) 24 meses.
6. (Ufg 2013) Dois experimentos independentes
foram realizados para estudar a propagação de
um tipo de fungo que ataca as folhas das plantas
de feijão. A distribuição das plantas na área
plantada é uniforme, com a mesma densidade em
ambos os experimentos.
No experimento A, inicialmente, 6% das plantas
estavam atacadas pelo fungo e, quatro semanas
depois, o número de plantas atacadas aumentou
para 24%. Já no experimento B, a observação
iniciou-se com 11% das plantas atacadas pelo
fungo e, seis semanas depois, o número de
plantas atacadas já era 85% do total.
Considerando-se que a área ocupada pelo fungo
cresce exponencialmente, a fração da plantação
atingida pelo fungo aumenta, semanalmente, em
progressão geométrica, e a razão desta
progressão é uma medida da rapidez de
propagação do fungo.
Neste caso, determine em qual dos dois
experimentos a propagação do fungo ocorre mais
rapidamente.
8

7. (Epcar (Afa) 2013) A sequência  x, 6, y, y + 
3

é tal, que os três primeiros termos formam uma
progressão aritmética, e os três últimos formam
uma progressão geométrica.
Página 3
Sendo essa sequência crescente, a soma de seus
termos é
92
a)
3
89
b)
3
86
c)
3
83
d)
3
Solução Progressão
Aritmética
Resposta da questão 1:
Calculando a soma de todos os naturais de 1 ao
(1 + 9 ) ⋅ 9
= 45.
9, temos:
2
Portanto, a soma de cada linha (coluna) será
45 : 3 = 15.
8. (Ufpe 2013) Um capital é aplicado a uma taxa
anual de juros compostos e rende um montante de
R$15.200,00 em 3 anos, e um montante de
R$17.490,00 em 4 anos. Indique o valor inteiro
mais próximo da taxa percentual e anual de juros.
9. (Ufsj 2013) Sabendo que a soma do 2º, 3º e 4º
termos de uma progressão geométrica (PG) é
igual a 140 e que a soma dos 8º, 9º e 10º termos
é 8960, é CORRETO afirmar que
a) a razão dessa PG é 10.
b) seu primeiro termo é 14.
c) a razão dessa PG é 2.
d) o quinto termo dessa PG é 320.
10. (Pucrj 2013) A sequência (2, x, y, 8)
representa uma progressão geométrica.
O produto xy vale:
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
11. (Espm 2013) Para que a sequência
( −9, − 5, 3) se transforme numa progressão
geométrica, devemos somar a cada um dos seus
termos um certo número. Esse número é:
a) par
b) quadrado perfeito
c) primo
d) maior que 15
e) não inteiro
12. (Uern 2013) A seguinte sequência representa
uma progressão geométrica:
5x, 9x − 5 5x, 16 5x. O valor de x, tal que
x = q2 − 2q − 3, sendo q a razão desta progressão
ex∈ é
a) 2.
b) 4.
c) 5.
d) 8.
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Resposta da questão 2:
[A]
Seja n o número de meses decorridos até que os
dois irmãos venham a ter o mesmo capital. Temse que,
n −1 
n −1

50 ⋅ n =  5 +
⋅ 5  ⋅ n ⇒ 10 − 1 −
=0

2

2
⇔ n = 19,
ou seja, um ano e sete meses, o que equivale a
pouco mais de um ano e meio.
Resposta da questão 3:
[A]
Último inteiro: x
Primeiro inteiro: x – k + 1
Calculando a soma desses inteiros, temos:
( x + x − k + 1) ⋅ k
2
x=
= p ⇔ 2x − k + 1 =
2p
⇔
k
p 1− k
+
k
2
Resposta da questão 4:
2 4 1

a) Se a progressão  , , , K  é harmônica,
5 9 2

5 9

então a sequência  , , 2, K  é uma
2 4

Página 4
progressão aritmética de razão
9 5
1
− =− .
4 2
4
Daí, seu sexto termo é dado por
a6 =
5
 1 5
+ 5⋅−  = .
2
 4 4
Em consequência, o resultado pedido é
[C]
A sequência 1 é uma progressão aritmética de
primeiro termo a1 = 3 e razão r1 = 7 − 3 = 4. Logo,
Sn =
4
.
5
b) Sabendo que em toda progressão aritmética
cada termo é igual à média aritmética do seu
antecessor e do seu sucessor (exceto o
primeiro e o último), tem-se
1 1
+
1 a c
2 a+c
=
⇔ =
b
2
b
ac
2ac
⇔b=
.
a+c
2 ⋅ 3 + (n − 1) ⋅ 4
⋅ n = 2n2 + n.
2
Por outro lado, a sequência 2 é uma progressão
aritmética de primeiro termo b1 = −3 e razão
r2 = −82 − ( −3) = −79. Desse modo,
bn = −3 + (n − 1) ⋅ ( −79) = −79n + 76.
Portanto,
Sn = | bn | ⇔ 2n2 + n = | −79n+ 76 |
2n2 + n ≥ 0, n ∈  ∗
⇒
e
2
(2n + n = −79n + 76 ou − 2n2 − n = −79n + 76)
Resposta da questão 5:
[D]
n∈ ∗
⇒
Para 4 unidades: 38% + 15% = 53%.
(n2 − 40n − 38 = 0 ou n2 − 39n + 38 = 0)
Para 5 unidades: 53% + 16% = 69%.
Resposta da questão 6:
01 + 02 + 04 + 16 = 23.
[01] Verdadeira, pois (9, 12, 15,...) é uma P.A de
razão 3.
[02] Verdadeira, pois 3n + 6 = 3 ⋅ (n + 2).
[04] Verdadeira, pois a4 = 9 + 3 ⋅ 3 = 18.
[08] Falsa, pois a2 = 12 não divide a5 = 21.
e
⇒ n = 1 ou n = 38.
Resposta da questão 9:
01 + 02 + 08 = 11.
Determinando o total de bolas na última caixa:
an = 3 + 19 ⋅ 3 = 60 (termo geral da P.A.)
Determinando agora o total n de bolas:
n=
( 3 + 60 ) ⋅ 20
2
= 630
[16] Verdadeira, pois
( 9 + 9 + (n − 1) ⋅ 3 ) ⋅ n 3n2 + 15n
=
.
2
2
Portanto, estão corretas as afirmações [01], [02] e
[08].
Resposta da questão 7:
[B]
Resposta da questão 10:
[D]
O número de lugares cresce segundo uma
progressão aritmética de primeiro termo igual a
10 e razão 2. Logo, o número total de cadeiras é
O terceiro termo da P.A. será dado por: a3 = 2 +
2.4 = 10
O quinto termo da P.A. será dado por: a5 = 2 + 4.4
= 18
A soma dos cinco primeiros termos será dada por:
5
S5 = ( 2 + 18 ) = 50.
2
Logo, a média M pedida será dada por:
 2 ⋅ 10 + 11⋅ 2 

 ⋅ 12 = 252.
2


Resposta da questão 8:
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Página 5
M=
(10 ⋅ 2 + 3 ⋅ 0,1⋅ 50 ) ( 20 + 15 )
5
=
5
= 7.
Resposta da questão 11:
a) O número de bloquinhos para construir as
10 primeiras linhas é igual à soma dos números
naturais de 1 até 10.
a2033 = a2013 ⋅ q20 = 84 ⋅ 106 ⋅ 102 = 8,4 ⋅ 109
Resposta da questão 3:
[D]
(1 + 10) ⋅ 10
S10 =
= 55.
2
b) O último número escrito na trigésima linha da
pirâmide é igual a soma dos 30 primeiros
números naturais
S30
a2013 = a1953 .q60 ⇒ 84 ⋅ 106 = 84 ⋅ q60 ⇒ q60 = 106 ⇒ q20 = 102.
(1 + 30).30
=
= 465
2
c) O último número escrito na trigésima linha é
465 e o primeiro é 465 – 29 = 436.
Calculando agora a soma dos 30 termos da
P.A. (436, 437, 438, ..., 464, 465)
436
( + 465 ) ⋅ 30
= 13515.
2
Solução Progressão
Geométrica
Resposta da questão 1:
[C]
Pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo
ABC, encontramos facilmente AC = 20 m.
[I]. Falsa. O número de pessoas que procuraram
Postos e Centros de Saúde cresceu em
progressão geométrica de razão 2.
[II]. Verdadeira. Observando que o número de
pessoas que procuraram clínicas privadas
cresce, anualmente, segundo uma progressão
aritmética de primeiro termo 4200 e razão
1200, concluímos que o total de pessoas que
procuraram atendimento nessas clínicas, de
2001 a 2011, é igual a
4200 + 4200 + 10 ⋅ 1200
⋅ 11 = 112.200.
2
[III]. Verdadeira. O número de atendimentos em
clínicas odontológicas decresce segundo uma
progressão aritmética de razão −3 e primeiro
termo igual a 857. Desse modo, o número de
atendimentos nessas clínicas em 2011 foi de
857 + 10 ⋅ ( −3) = 827.
Resposta da questão 4:
02 + 04 + 16 = 22.
[01] Incorreto. Temos
Os triângulos ABC, CDE, EFG, K são
semelhantes por AA. Logo, como a razão de
12 3
= , segue-se
AB 16 4
45
que AC = 20 m, CE = 15 m, EG =
m, K
4
constituem uma progressão geométrica cujo limite
da soma dos n primeiros termos é dado por
20
= 80 m.
3
1−
4
semelhança é igual a
CD
r + 50r
⋅ 50
2
= 1275r
≠ 2500r.
=
=
Resposta da questão 2:
[B]
Em 2013 o valor é de 84 milhões de dólares.
Admitindo que an seja o valor do quadro no ano n,
temos
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a1 + a2 + a3 + K + a50 = r + 2r + 3r + K + 50r
[02] Correto. De acordo com a lei de formação,
vem
(a1, a2 , a4 , a8 , a16 , K) = (r, 2r, 4r, 8r, 16r, K),
ou seja, a sequência (a1, a2 , a4 , a8 , a16 , K) é
uma progressão geométrica com primeiro
2r
termo igual a r e razão
= 2.
r
[04] Correto. De fato,
Página 6
(a1, a3 , a5 , a7 , a9 , K) = (r, 3r, 5r, 7r, 9r, K)
é uma progressão aritmética com primeiro
termo igual a r e razão 3r − r = 2r.
[08] Incorreto. Conforme [02], vem
Portanto, a soma dos elementos da sequência
será:
4 + 6 + 8 + 8 + 8/3 = 86/3.
Resposta da questão 8:
Sejam C e i, respectivamente, o capital e a taxa
de juros anual.
a20 = r ⋅ 220−1 = 219 r ≠ 220 r.
[16] Correto. Com efeito,
Temos 15200 = C(1 + i)3 e 17490 = C(1 + i)4 . Logo,
a2 + a4 + a6 + K + a60 = 2r + 4r + 6r + K + 60r
2r + 60r
⋅ 30
2
= 930r.
=
17490 = C(1 + i)3 (1 + i) ⇔ 17490 = 15200(1 + i)
⇔ i = 1749 − 1
1520
⇒ i ≅ 15,07%.
Resposta da questão 5:
[E]
Portanto, o resultado pedido é 15.
Temos MA = 10000 ⋅ (1,2)t e MB = 5000 ⋅ (1,68)t .
Logo,
Resposta da questão 9:
[C]
 a2 + a3 + a4 = 140
⇔

a8 + a9 + a10 = 8960
t
 1,68 
10000 ⋅ (1,2)t = 5000 ⋅ (1,68)t ⇔ 
 =2
 1,2 
⇔ log(1,4)t = log2
⇔ t ⋅ (log2 + log7 − log10) = log2
⇒ t ⋅ (0,3 + 0,85 − 1) ≅ 0,3
0,30
⇔t≅
0,15
⇔ t ≅ 2.
Portanto, os montantes se igualarão,
aproximadamente, após 2 anos (ou 24 meses).
Resposta da questão 6:
4
24 = 6. ( qA ) ⇒ qA = 4 4 ⇒ qA = 2 = 23 = 6 8
6
85 = 11.(qB ) ⇒ qB 
 a (1 + q + q2 ) = 140
2
,

2
a8 (1 + q + q ) = 8960
onde q é a razão da P.G.
Dividindo a segunda equação pela primeira,
temos:
q6 = 64 ⇔ q = 2.
Resposta da questão 10:
[E]
Sabendo que o produto de termos equidistantes
dos extremos é igual a uma constante, temos que
x ⋅ y = 2 ⋅ 8 = 16.
6
6 7,73
Como qA > qB então, a velocidade de propagação
no experimento A é maior que a velocidade de
propagação no experimento B.
Resposta da questão 7:
[C]
Resposta da questão 11:
[C]
Seja x o número procurado.
Temos
( −5 + x)2 = ( −9 + x) ⋅ (3 + x) ⇔ 25 − 10x + x 2 = −27 − 6x + x 2
⇔ x = 13,
P.A. (x, 6, y) ⇒ x + y = 6 ⋅ 2 ⇒ x = 12 – y
2
P.G. (6, y, y + 8/3) ⇒ y – 6y – 16 = 0 ⇒ y = 8 ou
y = –2
y=8 ⇒ x=4
y = –2 ⇒ x = 14 (não convém, pois a sequência é
crescente).
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ou seja, um primo ímpar menor do que 15.
Resposta da questão 12:
[C]
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Sabendo que
5x, 9x − 5 5x, 16 5x é uma
progressão geométrica e fazendo
5x = α, vem
2
2
  9α

 9α 2


− 5α  = α ⋅ 16α ⇔ α 2 ⋅  
− 5  − 42  = 0



 5


 5



 9α
  9α 
⇔ α2 ⋅ 
− 9 ⋅ 
− 1 = 0
 5
  5

5
⇔ α = 0 ou α = 5 ou α = .
9
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Portanto, como
9α 2
− 5α
9α
q= 5
=
− 5,
α
5
segue-se que só pode ser x = 5, com
x = q2 − 2q − 3.
Página 8
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