Aritmética .2cm Unidade 15 - Parte 1 Resumo .5cm Congruências

MA14 - Aritmética
Unidade 15 - Parte 1
Resumo
Congruências
Abramo Hefez
PROFMAT - SBM
Aviso
Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da
disciplina e o seu estudo não garante o domı́nio do assunto.
O material completo a ser estudado encontra-se no
Capı́tulo 9 - Seção 9.1
do livro texto da disciplina:
Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT.
Colaborou na elaboração desses resumos Maria Lúcia T. Villela.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências
slide 2/15
Nesta unidade, apresentamos uma das noções mais fecundas da
aritmética, introduzida por Gauss no seu livro Disquisitiones
Arithmeticae, de 1801. Trata-se da realização de uma aritmética
com os restos da divisão euclidiana por um número fixado.
Seja m um número natural. Diremos que dois números inteiros a e
b são congruentes módulo m se os restos de sua divisão euclidiana
por m são iguais.
Quando os inteiros a e b são congruentes módulo m, escreve-se
a ≡ b mod m.
Exemplo
21 ≡ 13 mod 2, já que os restos da divisão de 21 e de 13 por 2
são iguais a 1.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências
slide 3/15
Quando a relação a ≡ b mod m for falsa, diremos que a e b não
são congruentes, ou que são incongruentes módulo m.
Escreveremos, neste caso, a 6≡ b mod m.
Exemplo
20 6≡ 17 mod 5, pois o resto da divisão de 20 por 5 é 0, enquanto
17 deixa resto 2 na divisão por 5.
Como o resto da divisão de um número inteiro qualquer por 1 é
sempre nulo, temos que a ≡ b mod 1, quaisquer que sejam
a, b ∈ Z.
Isto torna desinteressante a aritmética dos restos módulo 1.
Portanto, doravante, consideraremos sempre m > 1.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências
slide 4/15
Decorre da definição, que a congruência, módulo um inteiro fixado
m, é uma relação de equivalência;
Proposição
Seja m ∈ N. Para todos a, b, c ∈ Z, tem-se que
(i)
a ≡ a mod m,
(ii) se a ≡ b mod m, então b ≡ a mod m,
(iii) se a ≡ b mod m e b ≡ c mod m, então a ≡ c mod m.
Proposição
Suponha que a, b, m ∈ Z, com m > 1. Tem-se que a ≡ b mod m
se, e somente se, m | b − a.
Exemplo
13 ≡ 21 mod 4, pois 4 | 8 = 21 − 13;
25 6≡ 16 mod 6, pois 6 6 | −9 = 16 − 25.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências
slide 5/15
Sistema Completo de Resı́duos Módulo m
Note que todo inteiro é congruente módulo m ao seu resto pela
divisão euclidiana por m, e, portanto, é congruente a um dos
números 0, 1, . . . , m − 1. Além disso, dois desses números distintos
não são congruentes módulo m.
Chamaremos de sistema completo de resı́duos módulo m a todo
conjunto de números inteiros cujos restos pela divisão por m são os
números 0, 1, . . . , m − 1, sem repetições e numa ordem qualquer.
Portanto, um sistema completo de resı́duos módulo m tem m
elementos.
Exemplo
{a1 = 0, a2 = 1, a3 = 2}, assim como {b1 = 10, b2 = 11, b3 = 12}
são sistemas completos de resı́duos módulo 3, pois seus restos na
divisão por 3 são, respectivamente, 0, 1, 2 e 1, 2, 0.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências
slide 6/15
O que torna útil e poderosa a noção de congruência é o fato de ser
uma relação de equivalência compatı́vel com as operações de
adição e multiplicação nos inteiros, conforme veremos na
proposição a seguir.
Proposição
Sejam a, b, c, d, m ∈ Z, com m > 1.
i) Se a ≡ b mod m e c ≡ d mod m, então
a + c ≡ b + d mod m.
ii) Se a ≡ b mod m e c ≡ d mod m, então
ac ≡ bd mod m.
Corolário
Para todos n ∈ N, a, b ∈ Z, se a ≡ b mod m, então
an ≡ b n mod m.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências
slide 7/15
Exemplo: 45 | 133n + 173n , para todo natural ı́mpar n.
De fato,
133 = 132 · 13 ≡ 34 · 13 = 442 ≡ 37 ≡ −8 mod 45,
logo
133 ≡ −8 mod 45.
Portanto, como n é ı́mpar, pelo Corolário anterior,
133n ≡ (−8)n = −8n mod 45.
Por outro lado, como
173 = 172 · 17 ≡ 19 · 17 = 323 ≡ 8 mod 45,
segue-se que
173n ≡ 8n mod 45.
Assim, do item (i) da Proposição anterior,
133n + 173n ≡ −8n + 8n = 0 mod 45.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências
slide 8/15
Pequeno Teorema de Fermat
Com a notação de congruências, o Pequeno Teorema de Fermat se
enuncia como se segue:
Teorema (Pequeno Teorema de Fermat)
Se p é número primo e a ∈ Z, então
ap ≡ a
mod p.
Além disso, se p 6 | a, então
ap−1 ≡ 1
PROFMAT - SBM
mod p.
Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências
slide 9/15
Exemplo: Qual o resto da divisão de 23728 por 13?
Certamente, calcular a potência 23728 , para depois dividir o
resultado por 13, não é o melhor caminho.
Note que 237 ≡ 3 mod 13, pois 3 é o resto da divisão de 237 por
13.
Pelo Pequeno Teorema de Fermat, segue-se que
23712 ≡ 1 mod 13.
Pelo Corolário anterior,
23724 = (23712 )2 ≡ 12 = 1 mod 13.
Analogamente, temos que
2374 ≡ 34 = 81 ≡ 3 mod 13.
Segue, do item (ii) da Proposição anterior, que
23728 = 23724 · 2374 ≡ 1 · 3 = 3 mod 13.
Portanto, o resto da divisão de 23728 por 13 é 3.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências
slide 10/15
Proposição
Sejam a, b, c, m ∈ Z, com m > 1. Tem-se que
a+c ≡b+c
mod m ⇐⇒ a ≡ b
mod m.
A seguir, um resultado relacionado com o cancelamento
multiplicativo;
Proposição
Sejam a, b, c, m ∈ Z, com m > 1. Temos que
ac ≡ bc mod m ⇐⇒ a ≡ b mod
m
.
(c, m)
Corolário
Sejam a, b, c, m ∈ Z, com m > 1 e (c, m) = 1. Temos que
ac ≡ bc mod m ⇐⇒ a ≡ b mod m.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências
slide 11/15
Exercı́cio: Dê os inteiros tais que 7(X 2 − 1) ≡ 21 mod 8
Solução
Temos que
7(X 2 − 1) ≡ 21 mod 8 ⇐⇒ 7(X 2 − 1) ≡ 7 · 3 mod 8.
Como (7, 8) = 1, pelo Corolário anterior, podemos cancelar o fator
7 obtendo
X 2 − 1 ≡ 3 mod 8 ⇐⇒ X 2 ≡ 4 mod 8.
Analisamos na seguinte tabela todas as possı́veis congruências
módulo 8, lembrando que se x ≡ r mod 8, então x 2 ≡ r 2 mod 8,
inteiro
x
x2
congruência módulo 8
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 4 1 0 1 4 1
Portanto, x ≡ 2 mod 8 ou x ≡ 6 mod 8, isto é, x = 8k + 2 ou
x = 8k + 6, com k ∈ Z.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências
slide 12/15
A seguir, propriedades adicionais das congruências relacionadas
com a multiplicação:
Proposição
Sejam a, b ∈ Z. Se m, n, m1 , . . . , mr são inteiros maiores do que 1,
temos que
i) se a ≡ b mod m e n|m, então a ≡ b mod n;
ii) a ≡ b mod mi , ∀ i = 1, . . . , r ⇐⇒
a ≡ b mod [m1 , . . . , mr ];
iii) se a ≡ b mod m, então (a, m) = (b, m).
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências
slide 13/15
Exemplo
Qual o menor múltiplo positivo de 7 que deixa resto 1 quando
dividido por 2, 3, 4, 5 e 6?
Queremos achar a menor solução positiva u do seguinte sistema de
congruências:
7X ≡ 1
mod 2,
mod 3,
mod 4,
mod 5
e
mod 6.
Pela Proposição anterior item (ii), temos que toda solução
simultânea das congruências acima é solução da congruência
7X ≡ 1
mod [2, 3, 4, 5, 6],
e reciprocamente.
Portanto, devemos achar a menor solução positiva u da
congruência 7X ≡ 1 mod 60.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências
slide 14/15
Continuação do Exemplo
Por outro lado, resolver a congruência 7X ≡ 1 mod 60 é
equivalente a resolver a equação diofantina 7X − 60Y = 1.
Pelo algoritmo euclidiano estendido, temos que
60 = 7 · 8 + 4
7=4·1+3
4 = 3 · 1 + 1.
Portanto,
1 = 4 − 3 · 1 = 4 − (7 − 4) = 2 · 4 − 7 = 2(60 − 7 · 8) − 7
= 7 · (−17) − 60 · (−2).
Logo, x0 = −17 e y0 = −2 é uma solução particular da equação
diofantina 7X − 60Y = 1 e a sua solução geral é x = −17 + t60 e
y = −2 − t7, com t ∈ Z.
Portanto, o menor valor positivo de u de modo que exista v para
os quais u, v é uma solução da equação diofantina 7X − 60Y = 1
é u = −17 + 1 · 60 = 43.
Segue-se, então, que o número procurado é 7 · 43 = 301.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 15 - Parte 1 - Resumo - Congruências
slide 15/15