Lista de Exercícios nº 1 Soluções - Economia

24/03/2014
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
SETOR DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS
Departamento de Economia
DISCIPLINA: SE503 - TEORIA MACROECONOMICA
Prof. João Basilio Pereima Neto
E-mail: [email protected]
Lista de Exercícios nº 1
Parte I - Modelo de OA-DA Clássico
1. Modelo OA Clássico e Mercado de Trabalho
Considere um modelo algébrico OA-DA, com características clássicas, composto pelas
seguintes equações explícitas:
Oferta Agregada (Produção e Emprego)
(1) Função de produção agregada implícita
Y OA = AF ( K , N )
1


Y OA = A  αN − βN 2 
2


α,β > 0
(2) Função de produção agregada explícita
W 
N S = no + n1  
P
n0 , n1 > 0
(3) Oferta de mão de obra
Pede-se:
a.) Assuma de α=1 e β=0,2. Trace um gráfico da função de produção (use uma planilha)
para N=0 até 10.
b.) Calcule dY/dN e dY2/d2N e interprete. Explique a propriedade desta função de
produção em relação ao fator trabalho. Esta forma quadrática é adequada?
c.) Encontre a equação da demanda de mão de obra;
d.) Calcule a mão de obra e o salário real (W/P) de equilíbrio no mercado de trabalho,
fazendo Nd=Ns=N*;
e.) Encontre a curva de oferta agregada YOA;
∂Y OA
f.) Calcule a inclinação da curva de OA no plano Y,P (calcule
);
∂P
g.) Represente a curva YOA graficamente;
h.) Explique porque o preço desapareceu da função de produção e que implicações teóricas
isso tem.
Função de Produção (eq. 2)
SOLUÇÃO
A.) Gráfico para α=1 e β=0,2
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
YOA
0
0,9
1,6
2,1
2,4
2,5
2,4
2,1
1,6
PMgN = dY/dN
Y
3,00
2,50
2,00
0,900
0,700
0,500
0,300
0,100
-0,100
-0,300
-0,500
1,50
1,00
N
0,50
0,00
-0,50
0
2
4
6
8
10
12
-1,00
-1,50
1
9
10
11
12
0,9
0
-1,1
-2,4
-0,700
-0,900
-1,100
-1,300
Como pode ser visto, a função de produção começa na origem e apresenta o efeito dos
rendimentos decrescentes ao nível do fator trabalho. O produto marginal do trabalho é
decrescente como mostra a coluna PMgN. No início quando N é pequeno o acréscimo de
produção é grande (0,90) mas a medida que N aumenta a produção aumenta a taxas
decrescentes, atingindo o máximo quando N = 5. A partir deste ponto aumentos de N
diminuem a produção.
b.)
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑁𝑁
= 𝐴𝐴(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽𝛽𝛽) > 0
Neste caso, o valor somente será positivo abaixo de certo valor crítico N* cujo valor é:
𝐴𝐴(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽𝑁𝑁 ∗ ) = 0
𝑁𝑁 ∗ =
𝑑𝑑𝑑𝑑 2
𝑑𝑑 2 𝑁𝑁
𝛼𝛼
𝛽𝛽
= −𝐴𝐴𝐴𝐴 < 0
A derivada primeira só é positiva abaixo do valor crítico N* e portanto a propriedade de
rendimento decrescente somente tem validade o intervalo (0,N*). Acima disto a função não
tem sentido econômico. No entanto a derivada segunda tem validade em todo o domínio da
função.
c) Encontre a curva de demanda de mão de obra
Derivando a equação (2), a função de produção, em relação à N, obtemos o produtos
marginal do trabalho PMgN = dY/dP:
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 =
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽𝑁𝑁 𝑑𝑑
(4)
Para maximizar lucros uma firma competitiva deve calcular a receita e o custo marginal.
Neste caso como os fatores de produção são constantes e somente a quantidade de trabalho
e produto estão variando, então podemos diferenciar a equação de lucros da firma e igualar
à zero: como a seguir:
𝑝𝑝𝑝𝑝 − 𝑟𝑟𝑝𝑝𝑘𝑘 𝐾𝐾 − 𝑊𝑊𝑊𝑊 = 0
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 − 0 − 𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊 = 0
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑤𝑤𝑤𝑤𝑁𝑁 → 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
Resolvendo para dY/dN obtemos:
2
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
=
𝑤𝑤
𝑝𝑝
(5)
A equação (5) diz que o produto marginal do trabalho é igual ao salário real. Na teoria
macroeconômica isto é conhecimento como teoria do salário eficiência pois o salário real
depende exclusivamente neste caso, da produtividade da mão de obra. O PMgN acabou de
ser calculado em (4), portanto podemos igualar (4) e (5) e obter:
𝛼𝛼 − 𝛽𝛽𝑁𝑁 𝑑𝑑 =
𝑊𝑊
𝑃𝑃
(6).
Resolvendo (6) para Nd obtemos a demanda de mão de obra pelas firmas, como uma função
do salário real:
1
𝛽𝛽
𝑊𝑊
𝑃𝑃
𝑁𝑁 𝑑𝑑 = �𝛼𝛼 − �
(7)
Nd = Ns = N*
(8)
d.) Equilíbrio do mercado de trabalho
Considerando a situação de equilíbrio:
Onde, Nd é a demanda por trabalho, Ns é a oferta de trabalho, N* é o ponto de equilíbrio.
Nesse ponto de equilíbrio a oferta e demanda por trabalho é igual, ou seja, compartilham
o mesmo ponto. Para obter a quantidade de trabalho de equilíbrio entre oferta e demanda
de mão de obra, Nd=Ns=N* podemos tomar W/P da equação (6), que é o salário real que as
empresas estão dispostas a pagar em função da produtividade da mão de obra (PMgN) e
substituir W/P na equação de oferta de mão-obra (3) com o que obtemos:
𝑁𝑁 𝑠𝑠 = 𝑁𝑁 𝑑𝑑 = 𝑁𝑁 ∗ = 𝑛𝑛0 + 𝑛𝑛1 𝐴𝐴(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽𝑁𝑁 ∗ )
(9)
A equação (9) representa a quantidade trabalho de equilíbrio. Na quantidade N* as
empresas estão maximizando lucros ao mesmo tempo em que os trabalhadores estão
maximizando utilidade, ao nível de do salário real (W/P) vigente. Assim para calcularmos
a produção ou a oferta agregada basta substituir N da equação (9) na função de produção
(2). Isto será feito posteriormente.
O próximo passo é isolar N* para se obter a equação da quantidade de trabalho ofertada e
demandada no ponto de equilíbrio do mercado de trabalho. Assim,
N* = n0 + n1Aα – n1AβN*
N* + n1AβN* = n0 + n1Aα
N*(1 + n1Aβ) = n0 + n1Aα
N *=
(n0 + n1 Aα )
(1 + n1 Aβ )
(10)
Salário real de equilíbrio
Igualando (3) e (7), isto é, Ns = Nd, e resolvendo para W/P obtemos uma expressão para
encontrar o salário real (W*/P). Note que o salário real só depende de parâmetros do lado
da oferta, vindos da função de produção e do mercado de trabalho. Esta é uma
característica essencial do mercado de trabalho quando se assume flexibilidade total de
preços e salários nominais, como é o chamado caso clássico.
3
𝑛𝑛0 + 𝑛𝑛1
𝑛𝑛1
𝑊𝑊
𝑊𝑊 1
= �𝛼𝛼 − �
𝑃𝑃
𝑃𝑃
𝛽𝛽
𝑊𝑊 1 𝑊𝑊 𝛼𝛼
+
= − 𝑛𝑛0
𝑃𝑃 𝛽𝛽 𝑃𝑃
𝛽𝛽
𝑊𝑊
1
𝛼𝛼
�𝑛𝑛1 + � = − 𝑛𝑛0
𝑃𝑃
𝛽𝛽
𝛽𝛽
𝑊𝑊 𝑛𝑛1 𝛽𝛽 + 1
𝛼𝛼 − 𝑛𝑛0 𝛽𝛽
�
�=
𝑃𝑃
𝛽𝛽
𝛽𝛽
𝑊𝑊
𝑃𝑃
=
𝛼𝛼−𝑛𝑛0 𝛽𝛽
(11)
𝑛𝑛1𝛽𝛽+1
e.) Curva de oferta agregada
A curva de oferta agregada é obtida substituindo-se (10) em (2):
YOA = A(αN – ½ βN²)
Y
OA
 (n + n Aα ) 1  (n + n Aα ) 2 
− β 0 1  
= Aα 0 1
 (1 + n1 Aβ ) 2  (1 + n1 Aβ )  
(12)
Note que a variável endógena P não aparece na expressão acima.
f.) Calcule a inclinação da curva de OA, no plano Y,P
Tomando-se a derivada do produto em relação ao preço, a partir da equação (12) obtemos:
∂Y OA
=0
∂P
(13)
Como a variável P não aparece na equação (15) a derivada parcial em relação à P é zero e,
portanto, a curva de oferta é vertical no plano Y,P. O nível de oferta agregada será sempre
o mesmo, qualquer que seja o nível de preços. O fato de P não aparecer em (13) mostra que
após todos os ajustes no mercado de trabalho, com os deslocamentos da oferta e demanda
de mão de obra tendo se processado, o resultado final é que desajustes no mercado de
trabalho são corrigidos com variações nos salários nominais. Isto só é possível se o
pressuposto da flexibilidade dos salários nominais e preços for válido, como afirma a
teoria macroeconômica clássica.
g.) Represente a curva YOA graficamente
A curva de oferta agregada é desenhada no plano renda (Y) no eixo horizontal e nível de
preços (P) no eixo vertical. Assim,
P
YOA
Y
4
Como é possível observar no gráfico acima a curva de oferta agregada desse modelo é
vertical. O que indica que a variação de preços não afeta o produto por que não afeta o
mercado de trabalho na medida que as deduções foram feitas em cima do salário real
(W*/P). Dessa forma, a derivada da curva de oferta agregada em relação ao preço (P) será
zero. Este resultado deve-se ao fato de que os preços e salários variam juntos de forma a
manter o salário real constante.
2. Curva de Oferta Agregada com Rigidez de Salário Nominal
𝑌𝑌 𝑂𝑂𝑂𝑂 =
𝑁𝑁1− 𝛼𝛼
1− 𝛼𝛼
(2) Função de oferta agregada
M 
Y DA = φ0G − φ1T + φ2  
 P
a)
b)
c)
d)
(3) Função de demanda agregada
Encontre a equação de demanda por trabalho;
Encontra a curva de oferta agregada;
Calcule as inclinações das curvas de oferta e demanda agregada;
Represente graficamente o modelo OA-DA acima.
SOLUÇÃO
𝑎𝑎) 𝑌𝑌 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝛽𝛽
𝑁𝑁 𝛼𝛼
𝑁𝑁1− 𝛼𝛼
1− 𝛼𝛼
𝜕𝜕𝑌𝑌 𝑂𝑂𝑂𝑂
𝜕𝜕𝜕𝜕
=>
𝑃𝑃
𝑃𝑃
= 𝛽𝛽
⇒ 𝑁𝑁 = �𝛽𝛽 �
𝑊𝑊
𝑊𝑊
=
(1− 𝛼𝛼)𝛽𝛽𝑁𝑁1− 𝛼𝛼−1
1− 𝛼𝛼
=
=
𝑌𝑌 𝑂𝑂𝑂𝑂 =
𝛽𝛽
(1−𝛼𝛼)
1
��
𝛽𝛽 𝛼𝛼
(1−𝛼𝛼)
�
𝑃𝑃
𝛽𝛽
𝑊𝑊
𝑃𝑃
𝑊𝑊
1
𝛼𝛼
1− 𝛼𝛼
� �
1− 𝛼𝛼
𝛼𝛼
=>
𝛽𝛽
𝑁𝑁𝛼𝛼
=
𝑊𝑊
𝑃𝑃
1�
𝛼𝛼
𝑏𝑏) Substituindo a equação anterior em 𝑌𝑌 𝑂𝑂𝑂𝑂
𝑌𝑌 𝑂𝑂𝑂𝑂
𝑊𝑊
𝑃𝑃
⇒
𝛽𝛽
(1−𝛼𝛼)
𝑃𝑃
� 𝛽𝛽
𝑊𝑊
1− 𝛼𝛼
𝛼𝛼
�
⇒
1− 𝛼𝛼
𝛽𝛽 𝛽𝛽 𝛼𝛼
(1−𝛼𝛼)
𝑃𝑃
�
𝑊𝑊
1− 𝛼𝛼
𝛼𝛼
�
Curva de oferta agregada
�
c.) Para calcular a inclinação da curva de oferta agrega fazemos dYOA/dP, onde para
simplificar definimos 𝜃𝜃 =
1
𝑑𝑑𝑌𝑌 𝑂𝑂𝑂𝑂
= 𝜃𝜃 �
�
𝑊𝑊
𝑑𝑑𝑑𝑑
1− 𝛼𝛼
𝛼𝛼
𝑃𝑃
1− 2𝛼𝛼
𝛼𝛼
1
𝛽𝛽 𝛼𝛼
(1−𝛼𝛼)
> 0
𝜙𝜙2 𝑀𝑀
𝑑𝑑𝑌𝑌 𝐷𝐷𝐴𝐴
= − 2 < 0
𝑃𝑃
𝑑𝑑𝑑𝑑
5
No caso, como θ > 0, temos uma função crescente em P, com Y reagindo positivamente a
P. Essa situação implica uma oferta agregada positivamente inclinada, de modo que
choques na demanda agregada sejam possuam efeitos em ambas a renda e o produto.
Além disso a equação será côncava ou convexa dependendo do valor se α > 0.5 ou α < 0.5.
Quando α = 0.5 temos um problema, por que P=1, na curva de oferta agregada.
d) Dada a equação de demanda, podemos perceber claramente que uma elevação em P
reduz Y, de modo que a curva seja negativamente inclinada. Um choque positivo de
oferta, por exemplo, conduz a um equilíbrio com renda maior e preço menor.
P
YOA
YDA
Y
3.
Oferta Agregada - testando valores
xxxxxxx
6
4.
Modelo IS-LM básico e uma versão dinâmica
Suponha que:
A função consumo é dada por C = 100 + 0,8Y e o investimento é dado por I = 50. Calcule:
a) Qual é o nível de equilíbrio da renda neste caso?
b) Qual é o nível de poupança?
c) Se I aumentar para 100, qual é o efeito sobre a renda de equilíbrio?
d) Qual é o valor do multiplicador?
e.) Monte uma tabela para 15 períodos e demonstre o mecanismo multiplicador atuando
sobre o consumo e renda, período a período. Compare a tendência da tabela com a
solução de equilíbrio obtida pela solução matemática do modelo.
Solução:
O exercício refere-se à uma economia fechada sem governo. É o caso mais simples de
uma formalização dos componentes da demanda agregada (curva IS). Então podemos
expressar o modelo como:
a) Renda de Equilíbrio
Y=C+I
Y = Co + cY + Io
Y-cY = Co + Io
Y =
Y eq
1
[C + I ]
(1 − c ) o o
1
[100 + 50] = $ 750
=
(1 − 0 ,8 )
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
b) Poupança
Como não há governo, a renda disponível (Y-T) é a própria renda agregada da economia.
Como a propensão marginal à poupar é 0,80, então 20% da renda agregada será
poupada.
S=Y–C
S = Y – (100 + 0,80Y)
S = 750 – (100 +0,8x750)
S = $ 50
c) Aumento do Investimento para $ 100
Retomando a equação (5)
Y eq =
1
[100 + 100] = $ 1000
(1 − 0 ,8 )
d) Multiplicador simples dos gastos
m=
1
1
1
=
=
=5
(1 − c ) (1 − 0 ,8 ) 0 ,2
7
e) Tabela com modelo dinâmico (consumo depende da renda anterior)
c1 = 0,8
Yt = Ct+It
Ct=co+c1.(Yt-1)
C(0) = 100
Mult =
5,00
I(0) = 50
∆I = 50
Yequil =
Yequil =
750,0
1000,0
33,33%
Período
C0
c1*(Yt-1)
Ct
dC/dt
It
Yt
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
...
n
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
...
100
600
600
640
672
698
718
734
748
758
766
773
779
783
786
789
791
793
794
795
796
797
798
...
800
700
700
740
772
798
818
834
848
858
866
873
879
883
886
889
891
893
894
895
896
897
898
...
900
0,0
40,0
32,0
25,6
20,5
16,4
13,1
10,5
8,4
6,7
5,4
4,3
3,4
2,7
2,2
1,8
1,4
1,1
0,9
0,7
0,6
...
1
50
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
...
100
750,0
800,0
840,0
872,0
897,6
918,1
934,5
947,6
958,1
966,4
973,2
978,5
982,8
986,3
989,0
991,2
993,0
994,4
995,5
996,4
997,1
997,7
1000,0
5. Modelo IS-LM com transferência e imposto de renda
Suponha um modelo com os seguintes dados de demanda agregada:
Yd = Y - T + TR
T = tY
C = 100 + 0,8 Yd
I = 50
G = 200
TR = 62,5
t = 0,25
a) Qual a renda de equilíbrio neste modelo mais completo?
b) Qual o valor do novo multiplicador?
c.) Por que é o multiplicador neste modelo é menor que o multiplicador do problema
anterior?
d.) Represente num único gráfico as curvas de demanda agregada dos modelos 1 e 2.
Utilize o gráfico com a curva(reta) de 45º que expressa as relações entre oferta
agregada, demanda agregada e nível de renda;
e.) Explique o gráfico e as diferenças observadas entre os dois modelos.
Solução:
Este modelo é uma expansão do caso anterior, introduzindo o governo o qual pode
realizar três tipos de políticas fiscais: gastos correntes (G), tributos variáveis (t); e
transferência de rendas (TR). Neste modelo a renda disponível é maior, pois uma parte
8
dos tributos arrecadados pelo governo retorna às famílias por programas de transferência
de renda (Ex. Bolsa Família). Os tributos, por suas variam conforme a renda, pois é
calculado como uma alíquota t sobre a renda total. Então temos:
a) Renda de Equilíbrio
Y=C+I+G
Y = Co + c(Y-tY + TR) + I + G
Y = Co + c(1-t)Y + cTR + I + G
C = 100 + 0,8(Y – tY + TR)
Y = 100 + 0,8[(1 – t)Y + TR)] + I + G
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Isolando Y em (5) para calcular a demanda agregada de equilíbrio obtemos:
Y = 100 + 0,8(1-0,25)Y + 0,8TR + I + G
Y – 0,6 Y= 100 + 0,8TR + I + G
0,4Y = 100 + 0,8TR + I + G
Y=
1
[100 + 0 ,8TR + I + G ]
0 ,4
Y = 2,5[100 + 0 ,8 × 62 ,5 + 50 + 200 ]
Y = $ 1000
b) Multiplicador
Resolvendo (3) para Y obtemos:
Y − c( 1 − t )Y = C0 + cTR + I + G
[1 − c( 1 − t )]Y = C0 + cTR + I + G
1
[C + cTR + I + G ]
Y=
[1 − c( 1 − t )] 0
m=
1
multiplicador
[1 − c( 1 − t )]
m=
1
= 2 ,5
[1 − 0 ,8( 1 − 0 ,25 )]
c) Diferença entre os multiplicadores
Porque no caso atual, o fato de o governo cobrar uma alíquota de imposto sobre a renda
diminui a renda disponível do consumidor. O multiplicador é afetado pela alíquota t que
também faz parte da fórmula do multiplicador.
9
d) Gráficos
YDA, YOA
YOA
Y1DA
Y2DA
C0 + cTR + I + G
Co + I o
Y
e.) Explicação do gráfico
O multiplicador do caso 1 é maior (vale 5) e portanto a curva de demanda agregada é
mais inclinada que o caso 2. O intercepto [ Co + I o ] do caso 1 é menor, pois possui menos
componentes e o valor é menor que o caso 2.
6. Modelo IS-LM, investimento e renda
C = 200 + 0,25 YD;
I = 150 + 0,25Y – 1000i
G = 250;
T= 200;
(M/P)d = 2Y – 8000i;
M/P = 1600
a) Determine a relação IS.( Dica: você quer uma equação com Y do lado esquerdo e todo o
resto do lado direito);
b) Derive a relação LM. (Dica: será conveniente para uso posterior escrever essa equação
com “i” do lado esquerdo e todo o resto do lado direito);
c) Determine o produto real de equilíbrio;
d) Determine a taxa de juros de equilíbrio;
e) Determine os valores de equilíbrio de C e I e verifique o valor obtido para Y somando
C, I e G;
f) Agora suponha que a oferta de moeda aumenta para M/P = 1840. Determine Y, i, C e I
e explique com palavras os efeitos de uma política monetária expansionista;
g) Defina M/P igual o seu valor inicial de 1600. Agora suponha que os gastos do governo
aumentem para G = 400. Resuma os efeitos da política fiscal expansionista sobre Y, i e
C.
Solução:
Este exercício foi resolvido em sala !!!
10
7. Modelos IS-LM algébricos - Comparando 3 casos
Considere os seguintes modelos IS-LM:
Modelo A
Y=C+I+G
C = C0 + c1(Yd)
Yd = Y – T
T = T0
I = I0 – b1i
(M/P)d = kY – hi
Modelo B
Y=C+I+G
C = C0 + c1(Yd)
Yd = Y – T
T = T0 + t1Y
I = I0 – b1i
(M/P)d = kY – hi
Modelo C
Y=C+I+G
C = C0 + c1(Yd)
Yd = Y – T
T = T0 + t1Y
I = I0 + b0Y – b1i
(M/P)d = kY – hi
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
a.) Encontre curva IS e LM para cada caso;
b.) Calcule o multiplicador dos gastos autônomos e determine comparativamente o
tamanho de cada um;
c.) Calcule as inclinações das curvas IS e LM de cada caso (utilize derivadas parciais)
d.) Represente graficamente os modelos num único gráfico (o gráfico ficará com uma
curva LM e três curvas IS. Observe que o gráfico deve reproduzir corretamente os
resultados calculados em c);
e.) Explique porque as inclinações são diferentes;
f.) Imagine uma política fiscal contracionista, levada à termo por dois canais distintos:
aumento de impostos e redução de gastos. Demonstre matematicamente qual o efeito
de cada uma delas sobre o nível de renda de equilíbrio, nos três modelos;
g.) Para cada caso das duas políticas fiscal, explique qual modelo produz um nível de
renda maior e por que isso acontece;
h.) Caso a política monetária não faça nenhuma acomodação das políticas fiscais acima,
calcule matematicamente qual será o efeito de cada política sobre a taxa de juros, no
modelo A.
Solução
a) Curva IS e LM
Modelo A
Y=C+I+G
C = C0 + c1(Yd)
Yd = Y – T
T = T0
I = I0 – b1i
(M/P)d = kY – hi
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Conjunto de equações que definem o lado da demanda
agregada. Substituindo as equações 2, 3, 4 e 5 dentro da
equação principal obtém-se a curva IS.
Demanda Real de Moeda – Determina a curva LM
Y = C0 + c1(Yd) + I0 – b1i + G
Y = C0 + c1(Y – T0) + I0 – b1i + G
Y - c1Y = C0 – c1T0 + I0 + G – b1i
Y=
1
(C − c1T0 + I 0 + G ) − b1 i (IS-A)
(1 − c1 )
(1 − c1 )
Curva IS – Relação entre Y e i no mercado
de bens
A curva LM pode ser obtida a resolvendo-se a equação para i, e assumindo que em
equilíbrio no mercado monetário a oferta e a demanda de moeda são iguais, MS = Md
então:
11
M/P = kY – hi
i=
1M 
k
Y−  
h P 
h
Curva LM – Relação entre Y e i no
mercado monetário (financeiro)
(LM-A)
Modelo B
No modelo B, a única mudança foi a introdução de uma tributação sobre a renda,
mudando a forma da equação (4). A mudança ocorrerá no multiplicador da curva IS,
sendo todo o restante do modelo igual ao anterior. Os mesmos procedimentos de
substituição nos levam então aos seguintes resultados:
Y=
i=
b1
1
(C − c1T0 + I 0 + G ) −
i (IS B)
[1 − c1 (1 − t )]
[1 − c1 (1 − t )]
k
1M 
Y−  
h
h P 
(LM- B)
Modelo C
No modelo C, incorpora a mudança do modelo B e também uma segunda mudança da
função investimento. Agora o investimento dependo do nível de renda e da taxa de juros.
A mudança modificou a equação (4), como antes, e também a equação 5. A nova
mudança alterará ono multiplicador da curva IS, sendo todo o restante do modelo igual
ao anterior. Os mesmos procedimentos de substituição nos levam então aos seguintes
resultados:
Y=
i=
b1
1
(C − c1T0 + I 0 + G ) −
i (IS C)
[1 − c1 (1 − t ) − b0 ]
[1 − c1 (1 − t ) − b0 ]
k
1M 
Y−  
h
h P 
(LM C)
b) Multiplicador dos Gastos Autonômos
mA =
1
1
1
> mC =
> mB =
[1 − c1 (1 − t ) − b0 ]
[1 − c1 ]
[1 − c1 (1 − t )]
c) Inclinações das curvas IS e LM
Modelo A
dY
di
di
dY
A
=−
IS
A= B =C
LM
Modelo B
b1
<0
[1 − c1 ]
=
dY
di
B
IS
=−
b1
<0
[1 − c1 (1 − t )]
Modelo C
dY
di
C
IS
=−
b1
<0
[1 − c1 (1 − t ) − b0 ]
k
>0
h
12
d) Gráfico
Pelo resultado obtido em c, sabemos que a inclinação da IS dos modelos A, B, C são:
dY
di
A
IS
>
dY
di
C
IS
>
dY
di
B
IS
i
LM
IS A
IS C
IS B
Y
Observe que os resultados matemáticos obtidos em c e as comparações em d significam
que no modelo A uma pequena variação da taxa de juros causará uma grande variação
na demanda agregada. Lendo o gráfico a partir do eixo vertical i em direção ao eixo
horizontal da renda (Y), podemos concluir que a curva ISA é mais horizontal olhando-se
de frente. Se estamos lendo na direção i --> Y, então de fato ela é mais vertical. Como o
valor de dY/di do modelo B é o menor de todos então a curva ISB é a mais horizontal a
partir do ponto de vista do eixo i.
e) Por que as inclinações são diferentes
Os modelos diferem por a inclusão dos parâmetros t no modelo B e b1 no modelo C afetam
o multiplicador dos gastos autônomos. A tributação diminui a renda disponível a medida
que o nível de renda aumenta e portanto diminui o consumo. Na medida em que o
investimento diminui quando aumenta a taxa de juros, então quando uma política fiscal
expansionista, que desloca a IS para direita aumentando a taxa de juros, este aumento de
juros terá um efeito contrário inibindo o investimento. Uma parte do efeito positivo de
uma política fiscal sobre a demanda agregada é anulada pelo efeito negativo sobre o
investimento via taxa de juros. Como consequência, temos que o multiplicador simples dos
gastos do modelo C é menor que o modelo B, que por sua vez é menor que o modelo A. O
modelo C, então é o mais completo, pois incorpora todos os efeitos.
f) Política fiscal contracionista
Como o modelo A não tem alíquota de imposto sobre a renda vamos comparar somente os
modelos B e C. Para calcular cada efeito basta tomar o diferencial de Y em relação à t e à
G em cada modelo e comparar os resultados. Note que dY/dt é calculado tomando-se o
diferencial de um quociente, pois t está no denominador.
Regra do Quociente: Seja uma razão
v.du − u.dv
u
. O Diferencial total será
.
v
v2
13
Aplicando está regra à
1
A temos u = 1.A; v=1 – c(1 – t); du/dt = 0; dv/dt = c.
1 − c( 1 − t )
Portanto o resultado será:
[1 − c( 1 − t )].0 − A.c = −
cA
2
[1 − c( 1 − t )]
[1 − c( 1 − t )]2
Aplicando esta regra aos dois modelos então temos o seguinte resultado final:
Modelo A
Via Diminuição de Impostos
Via Aumento de Gastos
***
dY
dG
dY
dt
Modelo B
dY
dt
Modelo C
B
=−
IS
C
=−
IS
dY
dG
cA
[1 − c( 1 − t )]
2
cA
[1 − c( 1 − t ) − b1 ]
2
dY
dG
A
=
1
1− c
=
1
1 − c( 1 − t )
=
1
1 − c( 1 − t ) − b1
IS
B
IS
C
IS
g) Política fiscal contracionista – modelo mais eficiente
Para calcular o efeito de uma política fiscal sobre a renda (dY/dG) nos três modelos e
comparar os resultados. Tomando-se os cálculos efetuados no item anterior (última
coluna acima) pode-se claramente constatar que a política fiscal exerce maior impacto na
renda no caso do modelo A, e menor impacto no caso do modelo B. As razões são as
mesmas explicadas no item e.
dY
dG
A
IS
>
dY
dG
B
IS
>
dY
dG
C
IS
h) Efeitos da Política Fiscal sobre a taxa de juros
O calculo será feito tomando-se apenas o modelo A, que é o mais simples. Para calcular o
efeito da política fiscal sobre a taxa de juros devemos partir da equação geral de
equilíbrio. Como queremos saber o impacto sobre i vamos substituir a IS na LM no
modelo A e resolver para i, com o que temos:
i=

k 1
(C − c1T0 + I 0 + G ) − b1 i  − 1  M 

(1 − c1 )  h  P 
h  (1 − c1 )
i=
k
1
(C − c1T0 + I 0 + G ) − kb1 i − 1  M 
h (1 − c1 )
h(1 − c1 ) h  P 
i+
kb1
k
1
(C − c1T0 + I 0 + G ) − 1  M 
i=
h(1 − c1 )
h (1 − c1 )
h P 
14

kb1  k
1
(C − c1T0 + I 0 + G ) − 1  M 
i 1 +
=
h P 
 h(1 − c1 ) h (1 − c1 )
 h(1 − c1 ) + kb1  k
1
(C − c1T0 + I 0 + G ) − 1  M 
i
=
h P 
 h(1 − c1 )  h (1 − c1 )
i=
h(1 − c1 ) k
1
(C − c1T0 + I 0 + G ) − h(1 − c1 ) 1  M 
h(1 − c1 ) + kb1 h (1 − c1 )
h(1 − c1 ) + kb1 h  P 
k
(C − c1T0 + I 0 + G ) − (1 − c1 )  M 
i=
h(1 − c1 ) + kb1  P 
h(1 − c1 ) + kb1
Equação de equilíbrio geral
para a taxa de juros em função
das demais variáveis exógenos,
entre elas o gasto do governo.
Então para calcularmos o efeito da política fiscal via aumento de gastos sobre a taxa de
juros, basta tomarmos o diferencia di/dG na equação acima. Fazendo isto obtemos:
k
di
>0
=
dG h(1 − c1 ) + kb1
8. Modelo IS-LM com funções implícitas
Considere os seguintes modelos IS-LM:
Modelo E
Y=C+I+G
C = C(Y-T)
I = I(i)
T = T(Y)
G = G0
(M/P)d = L(Y,i)
Modelo F
Y=C+I+G
C = C(Y-T)
I = I(Y,i)
T = T(Y)
G = G0
(M/P)d = L(Y ,i)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
a.) Encontre curva IS e LM para cada caso;
b.) Calcule as inclinações das curvas IS e LM de cada caso;
c.) Representa graficamente os modelos, um gráfico para cada modelo;
d.) Imagine uma política fiscal contracionista, levada á termo por dois canais distintos:
aumento e impostos e redução de gastos. Demonstre matematicamente qual o efeito
de cada uma delas nos três modelos;
e.) Para cada caso das duas políticas fiscal, explique qual modelo produz um nível de
renda maior e por que isso acontece;
f.) Caso a política monetária não faça nenhuma acomodação das políticas fiscais acima,
calcula matematicamente qual será o efeito sobre a taxa de juros em cada um dos
modelos.
a) Curva IS e LM
O caso deste modelo não altera as conclusões e análises já feitas anteriormente nos casos
nas questões 5 e 6. O que muda é ao invés de utilizarmos equações nas formas explícitas,
estamos agora usando equações na forma implícita. Isto significa dizer que podemos fazer
15
avaliações qualitativas dos modelos sem ter que entrar em detalhes sobre as formas
funcionais de cada equação. Quando dizemos que o investimento é uma função positiva
da renda e negativa da taxa de juros, sabemos o sinal da correlação entre as variáveis,
mas não sabemos a forma exata, se é linear ou não linear. Não podemos efetuar cálculos
exatos, mas podemos tirar conclusões genéricas importantes para o trabalho de
teorização. Quando o problema econômico recai sobre a estimação de um modelo, então
precisamos especificar que formato as equações dos modelos irão tomar. Para resolver este
tipo de modelo é necessário dominar as técnicas de diferenciação de funções implícitas.
Curva IS – Modelo E
Diferenciando totalmente as duas equações a seguir obtemos:
Y = C(Y-T) + I(i) + G
T = T(Y)
dY = C'dY – C'dT + I' di + dG
dT = T'dY
dY = C'dY – C' T'dY + I'di + dG
Isolando dY obtemos:
dY - C'dY + C' T'dY = I'di + dG
dY(1 - C' + C' T') = I'di + dG
dY[1 - C'(1 + T')] = I'di + dG
dY =
onde
C' é a derivada da função consumo C(.)
T' é a derivada da função tributos T(.)
I' é a derivada da função investimento I(.)
C' significa a variação do consumo em função da
renda disponível, isto é, dC/d(Y-T)
Sabemos da teoria econômica que:
C' > 0; T' > 0; I' < 0;
1
I'
dG +
di (7)
1 − C' ( 1 + T' )
1 − C' ( 1 + T' )
Curva IS – Modelo F
Observe que na versão F do modelo a função investimento possui duas variáveis
explicativas, Y e i, portanto isto significa que ela possui duas derivadas diferentes. A
primeira é a derivada do investimento em relação à renda (dI/dY) e a segunda é a
derivada em relação à i (dI/di). Vamos chamar a primeira de I1 e a segunda de I2. Note
que isso é diferente do que ocorre na função consumo onde temos C(Y-T), que possui uma
única derivada, que é a derivada dC/d(Yd) = dC/d(Y-T). A função consumo só tem um
termo (Y-T) e a função investimento dois termos (Y,i).
Y = C(Y-T) + I(Y,i) + G
T = T(Y)
dY = C'dY – C'dT + I1 dY + I2 di + dG
dT = T'dY
dY = C'dY – C' T'dY + I1 dY + I2 di + dG
Sabemos da teoria econômica que:
I1 > 0 e I2 < 0;
Isolando dY obtemos:
dY - C'dY + C' T'dY - I1 dY = I2 di + dG
dY(1 - C' + C' T' - I1 ) = I2 di + dG
dY[1 - C'(1 + T')- I1 ] = I2 di + dG
16
dY =
I2
1
dG +
di
1 − C' ( 1 + T' ) − I 1
1 − C' ( 1 + T' ) I 1
(8)
Curva LM– Modelo E e F
A curva LM é igual nos dois modelos. Observe que a demanda de moeda é uma função
L(.) que depende de duas variáveis, Y (motivo transação) e i(motivo especulação de
Keynes) e que portanto, ao diferenciar esta função teremos dois diferenciais distintos: o
primeiro é L1 =
acima, obtemos:
d (M P )
d (M P )
e o segundo é L2 =
. Usando diferenciação total, como
dY
di
Md Ms M
=
=
= L( Y , i )
P
P
P
em equilíbrio
M 
d   = Ll dY + L2 di
 P
Sabemos da teoria econômica que:
L1 > 0 e L2 < 0;
M 
L2 di = − Ll dY + d  
 P
Ll
1
dY +
L2
L2
di = −
M 
d 
 P
Curva LM dos modelos E e F.
(9)
b) Inclinação das Curvas IS-LM
dY
di
E
-
=
IS
I'
<0
1 − C' ( 1 + T' )
dY
di
=
F
IS
=
-
I2
<0
1 − C' ( 1 + T' ) I 1
+
+
di
dY
E ,F
LM
Note que L1 > 0 e L2 < 0, portanto, o
resultado final será inequivocamente
positivo.
L
=− l >0
L2
c) Gráfico
i
LM
IS E ,F
Y
d.) *** e.) *** f.) ***
17
9. Modelo IS-LM, uma caso especial de Armadilha da Liquidez
Considere uma economia com uma curva IS próxima da posição vertical e uma curva LM
próxima da posição horizontal. Represente graficamente:
a.) Graf. 1 – o efeito de uma política fiscal expansionista;
b.) Graf. 2 – o efeito de uma política monetária expansionista;
c.) Caso você fizesse parte da equipe econômica do governo e supondo que o país está
enfrentando um processo de aumento da inflação, que medidas econômicas você
adotaria para reduzir a taxa de inflação. Justifique.
a.) Gráf. 1 – Política Fiscal Expans.
i
i1
i0
A
LM
B
b) Gráf. 2 – Política Monetária Expans.
i
i1
i0
IS1
IS0
Y0
Y1
LM0
LM1
A
B
IS
Y
Y0 Y1
c.) Combate à inflação
Os dois gráficos acima mostram que a política monetária é ineficaz, pois uma expansão
monetária faz cair a taxa de juros mas não aumenta muito pouco o nível de renda (graf.
2). Por outro lado, o nível de emprego é mais sensível ao deslocamento da curva IS,
portanto, para se combater um processo inflacionário numa economia como está deve-se
recorrer à política fiscal contracionista, pois o impacto sobre a retração da demanda
agregada é maior com um impacto negativo maior, ao fim, sobre a inflação.
10. Modelo IS-LM, Multiplicador do Orçamento Equilibrado
Resposta à elaborar
11. Modelo IS-LM Dinâmico
Resposta à elaborar
12. ANPEC (2005 – Q.3)
No modelo IS–LM:
( V ) Excluindo o caso limite da armadilha pela liquidez, o impacto de uma queda nos
preços sobre a demanda será tanto maior quanto mais elástico for o investimento à
taxa de juros real.
( V ) Quando a economia é afetada por choques reais, a volatilidade da renda é menor
quando a autoridade monetária fixa a quantidade de moeda do que quando fixa a
taxa de juro.
( F ) Caso a elasticidade juro da demanda de moeda seja nula e a elasticidade-juro do
investimento seja infinita, uma expansão monetária alterará apenas a taxa de juro
de equilíbrio, em nada influenciando a renda.
18
( F ) Dados os parâmetros que definem a inclinação da curva LM e a sensibilidade-juros
do investimento, a política monetária será tão mais potente para elevar a renda
quanto maior for a propensão média a poupar da sociedade.
( V ) Em uma situação de armadilha da liquidez, a política fiscal é eficaz para tirar a
economia da recessão.
13. ANPEC (2005 – Q.4)
Considere o modelo Keynesiano básico para uma economia fechada e sem governo.
Sabendo-se que, a partir de uma posição de equilíbrio, um aumento de 100 reais no
investimento provoca um aumento de 500 reais no PIB, julgue as assertivas:
( F ) A propensão média a poupar é 0,2.
( F ) O aumento de consumo gerado pelo aumento do investimento é de 400 reais e a
propensão média a consumir é 0,8.
( V ) Tendo o aumento de consumo sido de 400 reais, o multiplicador Keynesiano é 5.
( * ) Mantida a propensão marginal a poupar e admitindo-se que o multiplicador não é
instantâneo, se a poupança inicial gerada no momento em que foram realizados os
investimentos fosse de 200 reais, o impacto total do aumento do investimento sobre
o PIB teria sido de 1.000 reais. (Anulada)
( V ) Supondo-se que haja governo e que o orçamento seja mantido em equilíbrio, um
aumento de 100 reais nos gastos públicos provocará um aumento de 100 reais no
PIB.
14. ANPEC (2006 – Q.3)
Avalie as afirmativas. No modelo IS-LM:
( F ) Quando o Banco Central fixa a taxa de juros, a política fiscal tem efeito nulo sobre
a renda.
( F ) A renda não se altera quando o governo aumenta tributos e gastos na mesma
proporção, tal que o déficit primário fique inalterado.
( F ) Quando a economia é afetada por choques na curva IS, a volatilidade da renda será
menor se a taxa de juros for fixa.
( F ) Quando a economia é afetada por choques na curva LM, a volatilidade da renda
será menor se a oferta de moeda for fixa.
15. ANPEC (2008 – Q.3)
Considerando o modelo IS/LM para uma economia fechada e com governo, são corretas as
afirmativas:
( F ) O efeito deslocamento (crowding-out) é máximo em presença da “armadilha da
liquidez”.
( V ) A eficácia da política fiscal é nula no chamado caso clássico.
( V ) Quanto maior for o multiplicador dos gastos autônomos, menos inclinada será a
curva IS, o que, tudo o mais constante, aumenta a eficácia da política monetária.
( F ) Quanto mais elástica for a demanda por moeda à taxa de juros, mais inclinada será
a curva LM.
( F ) Uma redução de gastos públicos acompanhada de contração da oferta de moeda
reduz a taxa de juros e a renda.
19
16. ANPEC (2015 – Q.2)
Com base no modelo IS-LM, classifique as afirmativas como verdadeiras (V) ou falsas
(F):
( V ) Uma política monetária expansionista levará a uma queda da taxa de juros e
aumento da produção.
( V ) Na ocorrência de efeito deslocamento (crowding out) total dos gastos privados
pelos gastos públicos, uma expansão fiscal resulta em aumento do produto e dos juros.
( F ) Quanto maior a sensibilidade do investimento agregado a flutuações na taxa de
juros, mais inclinada será a curva IS.
( V ) Quanto mais inclinada for a curva IS, o impacto de uma política monetária
expansionista será: i) menor sobre o nível de produto; e ii) maior sobre a taxa de juros.
( F ) Em uma situação de armadilha da liquidez, a política monetária é eficaz para tirar
a economia da recessão.
17. ANPEC (2013 – Q.1)
Com base no modelo IS/LM em uma economia fechada, classifique as afirmativas abaixo
como Verdadeiras (V) ou Falsas (F):
( F ) Se a demanda por moeda for positivamente relacionada com a renda disponível,
então um aumento dos tributos provoca um aumento da taxa de juros real de equilíbrio.
( F ) Um pacote fiscal que envolva uma redução dos gastos do governo e dos impostos no
mesmo montante não afeta a renda de equilíbrio.
( V ) Reduções de impostos para os mais pobres têm maior impacto expansionista sobre a
renda do que reduções de impostos para os mais ricos.
( F ) Se a demanda por moeda for independente da renda, então a política fiscal não tem
efeito sobre a renda de equilíbrio.
( F ) Aumento da propensão marginal a consumir tende a reduzir a taxa de juros e a
renda.

20