Prova6

Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais
Prova de Física
Processo de Admissão para o Programa de Pós-graduação em Astrofísica do INPE
08/12/2014
Duração: 4 horas
Nome: ______________________________________________________________________
Instruções para realização do exame:
a) a prova é individual, sem qualquer consulta;
b) não é permitido o uso de telefones celulares;
c) é permitido o uso de calculadora científica, desde que não seja um aplicativo de celular;
d) a prova poderá ser feita a lápis, mas as respostas finais devem ser apresentadas em caneta;
e) escreva seu nome em cada folha de prova e use somente um lado da folha de respostas;
f) resolva uma questão por folha e numere as folhas, informando o total de folhas utilizadas (ex.: no
caso de 12 folhas utilizadas, ao terminar, numere as folhas em sequência 1/12, 2/12, 3/12, etc.);
g) todas as questões valem um (1,0) ponto, incluindo a questão “bônus” (11 questões no total);
h) se estiver fazendo a prova fora do INPE, use papel A4 e deixe margens de ~ 2 cm;
i) solicitamos que a prova seja enviada ao INPE por fax [55-12-3208-6811] e/ou por email, para os
endereços eletrônicos [email protected] e [email protected];
j) os originais devem ser enviados pelo correio, aos cuidados de André Milone, para o endereço abaixo.
INPE - Divisão de Astrofísica
Av. dos Astronautas 1758 - Prédio CEA I
Jardim da Granja - São José dos Campos, SP
Cep 12.227-010 Brasil
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1) Satélite artificial em órbita mínima circular. A altitude de tal tipo de satélite é de 160 km,
onde a resistência do ar é suficientemente reduzida para permitir ao satélite um tempo de
vida de algumas semanas antes cair de volta à Terra.
(a) Calcule a velocidade orbital vc aproximada para um satélite de massa m.
(b) Calcule seu período orbital Pc aproximado.
(c) Estime a velocidade de lançamento vl para colocá-lo em órbita e compare com a
velocidade de escape com respeito à Terra ve. Não considere resistência do ar nem a
massa do lançador.
DADO: RTerra = 6.370 km
RESOLUÇÃO
h = 160 km,
r = RTerra + h ≈ RTerra
g(r) ≈ g(RTerra)
ac(r) = vc2/ RTerra ! g(r) ≈ vc2/ RTerra
a) vc ≈ (g(RTerra).RTerra)1/2 ! vc ≈ 7,9 km/s
b) Pc = 2πr/vc = 2πr1/2/g1/2 ! P ≈ 5066 s = 84 min
c) Ki + Ui = Kf + Uf
! ve = 11,2 km/s
vl2 = vc2 + 2G.[MT/RT – MT/(RT+h)] ! 8,1 km/s
ou
vl2 = [2G.MT/RT – G.MT/(RT+h)] ! 8 km/s
vl < ve ! porque o corpo/satélite tem raio e velocidade orbitais finitos!
ou...
Let G be the gravitational constant and let M be the mass of the earth and m be the mass of the escaping
body. At a distance r from the centre of gravitation the body feels an attractive force
The work needed to move the body over a small distance dr against this force is therefore given by
The total work needed to move the body from the surface r0 of the gravitating body to infinity is then
This is the minimal required kinetic energy to be able to reach infinity, so the escape velocity v0 satisfies
which results in
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2) Astrônomo excêntrico. Um astrônomo de massa m = 80 kg resolve tomar banho de Sol na
superfície de uma cúpula esférica de R = 10 m em um observatório astronômico.
Calcule até qual distância a partir do topo da cúpula medida sobre a superfície ele pode ficar
sem deslizar até o solo, sabendo que o coeficiente de atrito entre a superfície da cúpula e a
esteira/toalha que usa é μe = 0,3.
RESOLUÇÃO
θ: ângulo entre a direção da gravidade e a normal à superfície da cúpula na posição do astrônomo
P: peso do astrônomo = m g
em situação de equilíbrio, Fatrito = P sen θ
Fatrito = µe Pnormal-à-superficie = µe P cos θ
equilíbrio, µe P cos θ = P sen θ
tg θ = µe ! θ = arctg(µe)
distância do topo da cúpula até a direção dada por θ (ângulo polar entre o topo e a posição do
astrônomo)
d = 2πR θ/360 ! 2,91 m
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3) O fluxo de energia da radiação eletromagnética solar recebido transversalmente pela
superfície da Terra é da ordem de 103 W/m2.
Admita que os campos elétrico e magnético oscilantes sejam polarizados, tal que no caso de
uma onda EM se propagando na direção x seus módulos sejam:
Ey(x , t) = Ey0 cos[2π/λ (x – c.t)]
e
Bz(x , t) = Bz0 cos[2π/λ (x – c.t)].
Calcule:
(a) a amplitude do campo elétrico
(b) a amplitude do campo magnético
(c) densidade média de energia
(d) densidade média de momento
(e) pressão da radiação
DADO: permeabilidade no vácuo µ0 = 4π x 10-7 T.m/A
RESOLUÇÃO
Vetor de Poynting fornece diretamente o fluxo de energia EM, S = (E x B)/µ0
Campos polarizados, |S| = Ey.Bz/µ0
<|S|> = 103 W/m2
<|S|> = (Ey0 Bz0 /µ0) <cos2[2π/λ (x – c.t)]> = ½ (Ey0 Bz0 /µ0)
Bz0 = Ey0 / c
Ey0 = (2.µ0.c.<|S|>)1/2
(a) Ey0 = 9 x 102 V/m
(b) Bz0 = 3 x 10-6 T
(c) Densidade de energia = <|S|>/c ! 3,3 x 10-6 J/m3
(d) Densidade de momento = <|S|>/c2 ! 1,1 x 10-14 kg.m/s.m3
(e) Pressão de radiação = <|S|>/c ! 3,3 x 10-6 N/m2
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4) No decaimento beta uma partícula fundamental se transforma numa outra partícula
fundamental emitindo um elétron ou um pósitron.
(a) Quando um próton sofre decaimento beta transformando-se num nêutron, qual partícula
é emitida além do neutrino? Justifique.
(b) Quando um nêutron sofre decaimento beta transformando-se num próton, qual partícula
é emitida além do neutrino? Justifique.
RESOLUÇÃO
(a) Pósitron, por causa da conservação de carga.
(b) Elétron, por causa da conservação de carga.
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5) Duas pequenas esferas condutoras idênticas, de massa m, carga q e raio r, estão penduradas
por fios não-condutores de comprimento L, como mostrado na figura abaixo. Admita que o
ângulo θ é tão pequeno que tg θ possa ser substituído por sen θ.
(a) Mostre que no equilíbrio a separação x entre as esferas é dado por
x = (q2.L/2πεom.g)1/3
sendo g: aceleração da gravidade.
(b) Sendo L = 120 cm, m = 10 g, e x = 5,0 cm, calcule o módulo de q.
(c) Qual será a nova separação de equilíbrio x após uma das esferas ser descarregada?
DADO: constante de permissividade εo = 8,9 x 10-12 C2/N.m2
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RESOLUÇÃO da 5a
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6) Cancelando a atração gravitacional entre a Terra e a Lua usando cargas elétricas.
(a) Qual seria o valor da carga positiva que teria que ser colocada igualmente na Terra e na
Lua, de modo a cancelar a atração gravitacional entre eles?
(b) É necessário conhecer a distância Terra-Lua para resolver este problema?
(c) Qual seria a massa de hidrogênio ionizado para fornecer a carga necessária?
DADOS:
constante de permissividade εo = 8,9 x 10-12 C2/N.m2
carga do elétron e = 1,60 x 10-19 C
RESOLUÇÃO
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7) Obtenha para o vácuo as equações de Maxwell na forma integral a partir de seus análogos
na forma diferencial mostrados abaixo. Apresente uma interpretação física sucinta para cada
uma das equações.
RESOLUÇÃO
Interpretação na forma diferencial:
- Lei de Gauss pro campo elétrico, ou seja, o fluxo elétrico através de qualquer superfície
fechada é devido à densidade de cargas dentro da região delimitada pela superfície.
- Lei de Gauss pro campo magnético. Inexistência de monopólo magnético.
- Lei de Ampere. Corrente elétrica e/ou campo elétrico variável no tempo induzem a um
campo magnético.
- Lei de Faraday. Campo magnético variável no tempo produz campo elétrico.
No vácuo, ρ e Q = 0 & J ou i = 0
Interpretação na forma integral pro vácuo:
- Não há fluxo elétrico através de qualquer superfície fechada porque o volume delimitado
por ela não contém cargas.
- Não há fluxo magnético através de qualquer superfície fechada.
- Lei de Ampere. Apenas uma variação temporal de campo elétrico induz a um campo
magnético.
- Lei de Faraday. Uma variação temporal de campo magnético produz um campo elétrico.
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8) Colisão relativística. Uma partícula de massa de repouso mo e energia cinética K colide com
outra partícula de mesma massa de repouso que se encontra parada, e toda massa é
combinada em uma nova partícula. A velocidade relativa é próxima da velocidade da luz, de
modo que efeitos relativísticos não são desprezíveis. Calcule a massa de repouso e a
velocidade combinada da partícula que se formou como resultado da colisão.
RESOLUÇÃO
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9) Um sistema é composto por uma esfera de raio R, cuja carga tem simetria esférica, e um
meio circundante de densidade volumétrica de carga ρ = α/r, onde alfa é constante e r é a
distância ao centro da esfera.
Determine a carga da esfera que assegure que o módulo do campo elétrico seja independente
da distância. Qual é a intensidade deste campo?
RESOLUÇÃO
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10) Um recipiente de volume V = 30 litros contém um gás perfeito à temperatura de 0 oC.
Deixa-se escapar deste recipiente uma certa quantidade de gás, mas sem que a temperatura
seja alterada. A pressão, no entanto, tem um decréscimo de 0,78 atm.
Calcule a massa de gás que deixou o recipiente. Sabe-se que a densidade deste gás em
condições normais é de 1,3 g/l.
RESOLUÇÃO
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QUESTÃO BÔNUS
11) Uma comunidade pratica controle de natalidade na seguinte forma peculiar: cada casal
continua a ter filhos até que nasça um menino. Pergunta-se: qual seria a razão número-demeninos/número-de-meninas nesta comunidade se, na ausência de controle de natalidade,
50% dos bebês nascidos são do sexo masculino?
RESOLUÇÃO
Resposta: razão meninos/meninas = 1
Prova:
Suponha que uma sociedade sem aquele tipo de controle de natalidade. Se estudarmos, por
exemplo, todas as possibilidades para se ter até 4 filhos teremos as 16 possibilidades
seguintes.
MMMM
MMMF
MMFM
MFMM
MMFF
MFMF
MMFF
MFFF
FMMM
FMMF
FMFM
FFMM
FMFF
FFMF
FMFF
FFFF
Que dariam 50% (32 casos) de meninos (M) e 50% (32 casos) de meninas (F).
Agora vamos estudar a sociedade com aquele controle de natalidade peculiar. Os casos acima
se reduziriam a:
MMMM --> M
MMMF --> M
MMFM --> M
MFMM --> M
MMFF --> M
MFMF --> M
MFFM --> M
MFFF --> M
FMMM --> FM
FMMF --> FM
FMFM --> FM
FFMM --> FFM
FMFF --> FM
FFMF --> FFM
FFFM --> FFFM
FFFF --> FFFF
Que continuam dando 50% (15 casos) de meninos (M) e 50% (15 casos) de meninas (F).
Ele só afeta o número total, de 64 para 30.
Esta demonstração poderia ser feita para qualquer número de filhos dos casais.
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Formulário
Constantes físicas
c = 2,99 x 1010 cm.s-1
mpróton = 1,67 x 10-24 g
k = 1,38 x 10-16 erg / K
mnêutron = 1,67 x 10-24 g
h = 6,63 x 10-27 erg.s
melétron = 9,11 x 10-28 g
G = 6,67 x 10-8 dyn.cm2.g-2
σStefan-Boltzmann = 5,67 x 10-5 erg.cm-2.s-1K-4
e = 4,80 x 10-10 esu
R = 8,31 x 107 erg/mol.K (const. gás perfeito)
Permissividade elétrica = 1
Permeabilidade magnética = c-2
ke=1
1 erg = 10-7 J
Dados Astronômicos
Massa da Terra = 5,98 x 1027 g
Raio da Terra = 6,37 x 108 cm
Massa do Sol = 1,99 x 1033 g
Raio do Sol = 6,96 x 1010 cm
Luminosidade do Sol = 3,9 x 1033 erg/s
1 unidade astronômica = 1,50 x 1013 cm
1 parsec (pc) = 3,08 x 1018 cm
Fatores de conversão
1 statC = 1 esu = 3,3 x 10-10 C
1 u.m.a. = 1,6605 x 10-24 g
1 eV = 1,60 x 10-12 erg
1 Å = 10-8 cm
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