Problema 1.01 (Dimensões e Unidades)

Problemas Resolvidos e Propostos
(Dimensões e Unidades)
Dimensões e unidades fundamentais dos Sistemas de Unidades SI (MLT:
kg, m, s), Gravítico (FLT: kg, m, s) e CGS (MLT: g, cm, s)
Problema 1.01
(Dimensões e Unidades)
Qual é a massa que pesa 1 kg em cada um dos sistemas e qual é o peso de uma
massa de 1kg em cada um dos sistemas?
Problema 1.02
(Dimensões e Unidades)
Calcular a pressão atmosférica normal (760 mmHg) em bar, kg/cm2 e psi.
Problema 1.03
(Lei de Newton, massa e aceleração)
Um carro de 800 kg deslocava-se a uma velocidade de 120 km/h e percorreu
uma distância de 100 metros até ser imobilizado por uma força constante.
a)
b)
c)
d)
Calcule o valor dessa força.
Calcule o tempo de paragem.
Calcule a força a que ficou sujeito o condutor.
Repita os cálculos supondo agora que o carro se imobilizou contra uma
parede, tendo a frente do carro ficado mais curta 80 cm.
e) A partir das dimensões que características de um cinto de segurança, estime a
pressão a que o peito do condutor ficaria sujeito, se toda a força fosse feita
pelo cinto.
f)
Qual o carro mais conveniente para chocar numa parede? (pesado ou
deformável?) e para chocar noutro carro?
Resolução
Pela lei de Newton conclui-se que o trabalho de uma força (ou da resultante das forças) aplicada
a um corpo de massa “m” é igual à variação da sua energia cinética (conservação da energia):

 
l2


 
  v2  v 2 
 
dv
dv dl
F m F m 
 F .dl  mv .dv   F .dl   md    WF  1 m v22  v12
2
dt
dl dt
 2
l1
v1

Teríamos chegado à mesma conclusão usando a definição de trabalho: Força interna do
deslocamento e usando esse conceito na lei de Newton e integrando:
v2
  e 2  dv   e 2  dv  
 
e1 Fde  e1  m dt  de  e1  m dt  vdt  v1mvdv   12 V22  V12 
e2
Conhecido o deslocamento e a variação da energia cinética, o cálculo da força é imediato.
Do mesmo modo, sendo o deslocamento rectilíneo, e a força constante, obtém-se:


t2
v2





dv
F  m  F .dt  mdv   F .dt   mdv  Ft  mv
dt
t1
v1
O mesmo valor seria obtido partindo do conhecimento de que o movimento é uniformemente
retardado (força constante implica aceleração constante) e que a velocidade evolui linearmente
entre a velocidade inicial e zero, o que implica que a velocidade média seja metade da inicial.
O condutor, se estiver amarrado ao carro (com cinto), fica sujeito à aceleração do carro e por
isso a uma força que é a sua massa vezes a aceleração do carro. Se não levar cinto o condutor
só parará quando bater em alguma coisa (e.g. no vidro) e por isso ficará sujeito a uma
aceleração muito superior.
No caso de o carro se imobilizar contra uma parede (indeformável) e a frente se deformar de
0.8 m, a aceleração será muito superior, pois o espaço percorrido é só 0.8 m. Neste caso a
resolução precisa de hipóteses sobre a força (deformadora) que imobiliza o carro. Se a força
fosse constante, a resolução seria semelhante à da alínea anterior.
Usando as equações da alínea anterior, com a hipótese de que o movimento é rectilíneo e a
força é constante e que a velocidade final é nula, obtém-se:
Fl 
v
2l
l  1 v 2  t 
2
t
v
A força a que o cinto fica sujeito é a massa do condutor vezes a aceleração. A pressão é esta
força a dividir pela área do cinto. Conclusão: é melhor não chocarem numa parede a 120 km/h.
Problema 1.04
(Lei de Newton, massa e aceleração)
Um martelo de 200g bate num prego com uma velocidade inicial de 1m/s. O
prego penetra na madeira 1cm.
a) Calcule a força a que o prego fica sujeito, admitindo que a aceleração foi
constante.
b) Explique porque razão é mais fácil pregar pregos previamente lubrificados.
c) Porque razão se usa martelos de borracha para encaixar peças de madeira?
Resolução
A resolução deste problema é idêntica à do problema anterior. No caso deste problema
poderemos usar o impulso para responder à pergunta “a”.
O prego e o martelo ficam sujeitos à mesma força (é o prego que aplica a força no martelo). Se
desprezarmos a força associada à aceleração do prego (a velocidade e a massa do prego são
baixas), conclui-se que a força de resistência ao avanço do prego é a força necessário para que
este abra o furo e para vencer a resistência de atrito. Minimizando o atrito fica disponível mais
força para abrir o buraco requerido pela penetração do prego.
Os martelos de borracha são deformáveis, o que tem duas vantagens para não deformar a
madeira: (i) são deformáveis e por isso reduzem a aceleração e por isso a força; (ii) como são
deformáveis a superfície de contacto com a madeira é sempre a secção do martelo, não
havendo consequências por usar o martelo “de lado”.
Problema 1.05
(Lei de Newton, massa e aceleração)
Considere uma massa de fluido m, deformável, que em cada instante ocupa um
volume V. Utilizando o princípio da conservação da massa (dM/dt = 0), o conceito
de massa volúmica e a noção de divergência da velocidade, escreva uma equação
de evolução para a massa volúmica. Escreva a equação nos referenciais euleriano
e lagrangeano.
Resolução
dM
d

dt
dt
 dV    ddt dV     .v dV
O segundo termo representa a taxa de aumento do volume, uma vez que a divergência é a
taxa de aumento de volume por unidade de volume.
Admitindo um volume suficientemente pequeno para que as propriedades possam ser
consideradas uniformes no seu interior e referindo à unidade de volume vem:

d
 .v  0
dt
ou, num referencial euleriano:
 
  
 v .   .v
t
Problema 1.06
(Lei de Newton, massa e aceleração)
Suponha um escoamento de um fluido com uma velocidade v, através de uma
superfície de área A.
a) Qual a altura do paralelepípedo ocupado pelo fluído que passou pela área A,
durante um segundo?
b) Qual o caudal volúmico que passa pela área A?
c) Qual o caudal que passaria por uma área oblíqua em relação à velocidade?
d) Escreva uma expressão para o caudal, no caso de a velocidade não ser
uniforme.
e) Escreva a expressão geral do fluxo de uma propriedade genérica que
atravessa essa área.
f)
Escreva a expressão da resultante daqueles fluxos para uma superfície
fechada (mas permeável).
g) Relacione o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do
vector fluxo por unidade de área.
Resolução
a) É igual à velocidade.
b) O caudal volúmico é o volume que passa por unidade de tempo. O volume
que passa por unidade de tempo é o paralelepípedo da alínea anterior e
por isso o volume é a velocidade perpendicular à área, vezes a área.
c) Respondida na alínea anterior.
d) Se a velocidade não fosse uniforme seria necessário dividi-la em partes
onde a velocidade fosse uniforme e, em cada uma delas, considerar o
produto da componente da velocidade normal à área, pela área. O caudal
seria a soma das contribuições de cada uma das áreas. No caso de as
áreas serem infinitesimais, o caudal será:

Q   v.n dA
A
e) No caso de uma propriedade qualquer, aplica-se o mesmo raciocínio. O
resultado obtém-se tendo em conta que o fluxo de P por unidade de
tempo é igual ao produto do valor de P por unidade de volume, vezes o
volume por unidade de tempo:
P
v.n dA
Volume
A
P  
f)
No caso de uma superfície fechada, a expressão é igual. No entanto, nessa
superfície, quando o produto interno da velocidade pela normal exterior é
positivo, o fluxo sai do volume delimitado pela superfície, enquanto que no
caso de o produto interno ser negativo, o fluxo entra. Assim, o integral do
fluxo numa superfície fechada é igual ao que sai, menos o que entra.
g) A divergência define-se como o que sai, menos o que entra por unidade de
volume. Assim, o integral do fluxo sobre uma superfície fechada é igual ao
integral da divergência nesse volume. No caso de a divergência ser nula, o
que entra no volume é igual ao que sai.