estudo e modelagem de um anemômetro a fio

ESTUDO E MODELAGEM DE UM ANEMÔMETRO A FIO QUENTE OPERANDO
EM TEMPERATURA CONSTANTE
Leonardo Herz Monteiro
Projeto
Submetido
ao
corpo
docente
do
Departamento de Engenharia Elétrica da Escola
Politécnica da Universidade Federal do Rio de
Janeiro como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Engenheiro Eletricista
Orientador: José Luiz da Silva Neto
Rio de Janeiro
Fevereiro de 2015
i
ESTUDO E MODELAGEM DE UM ANEMÔMETRO A FIO QUENTE OPERANDO
EM TEMPERATURA CONSTANTE
Leonardo Herz Monteiro
PROJETO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA ELÉTRICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS PARA A
OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO ELETRICISTA.
Examinada por:
__________________________________________
Prof. José Luiz da Silva Neto, Ph.D. (Orientador)
_________________________________________
Prof. Sergio Sami Hazan, Ph.D
_________________________________________
Prof. Juliana Braga Rodrigues Loureiro, D. Sc.
_________________________________________
Prof. Daniel Onofre de Almeida Cruz, D. Sc.
_________________________________________
Prof. Alessandro Jacoud Peixoto, D. Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
FEVEREIRO DE 2015
ii
Monteiro, Leonardo Herz
Estudo e Modelagem de um Anemômetro a Fio
Quente Operando em Temperatura Constante/ Leonardo
Herz Monteiro. – UFRJ/ Escola Politécnica, 2015
XIX, 85 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: José Luiz da Silva Neto.
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/
Curso de Engenharia Elétrica, 2015
Referências Bibliográficas: p. 84-85
1. Instrumentação Eletrônica. 2. Anemometria
Térmica. 3. Escoamentos Turbulentos. 4. Anemômetro de
Temperatura Constante. I. Silva Neto, José Luiz. II.
Universidade Federal do Rio de Janeiro. III Estudo e
Modelagem de um Anemômetro a Fio Quente Operando
em Temperatura Constante
iii
“Você pode facilmente julgar o caráter de uma
pessoa pela maneira como ela trata aqueles que
não podem fazer nada por ela” – James D. Mills
iv
AGRADECIMENTOS
Este projeto final marca o fim de uma etapa muito importante de minha vida,
que foram os cinco anos que estudei engenharia elétrica na UFRJ. Venho, por meio das
palavras a seguir, expressão minha gratidão a todos que me ajudaram neste trajetória.
Agradeço a Deus e a todos os espíritos iluminados que me guiaram e protegeram
durante todo a minha vida até este momento.
Agradeço a minha mãe Mônica, meu pai Marcus, minha avó Erlinda e todos os
parentes e familiares próximos, vivos ou falecidos, que sempre cuidaram de mim com
muito amor.
Agradeço à minha psicóloga Bianca, por ter me ajudado a entender e lidar com
as dificuldades e os obstáculos ao longo do caminho.
Agradeço aos meus colegas do colégio Recanto, cujas valorosas amizades
fizeram e continuam fazendo parte da minha vida.
Agradeço aos meus colegas de engenharia da modalidade Ciclo Básico, que me
apoiaram fortemente nos dois primeiros anos de curso.
Agradeço aos meus colegas de engenharia da modalidade Elétrica, sem os quais
eu jamais teria tido forças para enfrentar os desafios deste curso.
Agradeço a todos os professores do Departamento de Engenharia Elétrica e
outros institutos da UFRJ, por todo o conhecimento e aprendizado transmitido.
Agradeço a meu orientador, José Luiz, por ter sido o melhor orientador que um
aluno poderia desejar, participando ativamente do desenvolvimento do projeto e estando
sempre disponível para tirar dúvidas, sempre com muita paciência e boa vontade.
Agradeço a equipe do NIDF, pelo apoio no desenvolvimento deste projeto,
através do fornecimento do espaço físico para realizar atividades e reuniões, e também
de materiais e dados cruciais para o sucesso das simulações.
v
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Eletricista.
ESTUDO E MODELAGEM DE UM ANEMÔMETRO A FIO QUENTE OPERANDO
EM TEMPERATURA CONSTANTE
Leonardo Herz Monteiro
Fevereiro/2015
Orientador: José Luiz da Silva Neto
Curso: Engenharia Elétrica
A anemometria térmica é um importante ramo de instrumentação eletrônica,
sendo responsável por possibilitar a medição da velocidade de escoamento de fluidos
gasosos, especialmente daqueles com características turbulentas, que possuem
componentes de velocidade de elevada frequência. Este trabalho propõe um estudo
detalhado do anemômetro de temperatura constante, considerado como o “estado de
arte” deste campo de pesquisa.
Para a realização desta tarefa, o anemômetro de temperatura constante passou
por um processo de modelagem teórica, envolvendo conceitos de diversas áreas de
estudo, como circuitos eletrônicos, sistemas de controle, física de escoamentos e
termodinâmica.
A partir da modelagem realizada, foram desenvolvidas plantas de simulação
computacionais, capazes de reproduzir o comportamento dinâmico do anemômetro de
temperatura constante, o que permitiu a realização diversos testes de desempenho e
qualidade. A partir dos resultados obtidos, foi possível validar o modelo teórico e
analisar diversos aspectos e características operativas do anemômetro.
Palavras Chaves: Escoamentos Turbulentos, Anemômetro de Temperatura Constante,
Anemometria Térmica, Instrumentação Eletrônica.
vi
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of
the requirements for the degree of Engineer
STUDY AND MODELING OF A HOT WIRE ANEMOMETER OPERATING IN
CONSTANT TEMPERATURE
Leonardo Herz Monteiro
February/2015
Advisor: José Luiz da Silva Neto
Course: Electrical Engineering
Thermal anemometry is an important area of electronic instrumentation, and is
responsible for enabling the measurement of the flow rate of gaseous fluids, especially
those with turbulent characteristics, which have high frequency components of velocity.
This paper proposes a detailed study of the constant temperature anemometer, regarded
as the "state of art" of this research field.
To carry out this task, the constant temperature anemometer underwent a
theoretical modeling process, involving concepts from different areas of study, such as
electronics, control systems, flow physics and thermodynamics.
From the performed modeling, computer simulation plants have been
developed, able to reproduce the dynamic behavior of the constant temperature
anemometer, enabling the realization of different quality and performance testing. From
the results obtained, it was possible to validate the theoretical model and analyze
various aspects and operating characteristics of the anemometer.
Keywords: Turbulent Flows, Constant Temperature Anemometer, Thermal
Anemometry, Electronic Instrumentation.
vii
Sumário do Texto
Capítulo 1 – Introdução .................................................................................................. 1
1.1 – Motivação..................................................................................................... 1
1.2 – Objetivo ........................................................................................................ 1
1.3 – Organização do Texto .................................................................................. 2
Capítulo 2 – Fundamentos Teóricos da Anemometria Térmica ..................................... 3
2.1 – Contexto da Medição da Velocidade de Fluidos.......................................... 3
2.2 – Princípio de Funcionamento dos Métodos Térmicos ................................... 4
2.3 – Modelagem do Filamento e do Fluido Gasoso ............................................ 9
2.4 – Lei de King para Fluidos Gasosos ............................................................... 11
2.5 – Aproximação Linear para a Lei de King ...................................................... 12
2.6 – Calibração Estática do Sensor e Medição de Velocidade ............................ 15
2.7 – O Anemômetro de Temperatura Constante – CTA...................................... 18
2.8 – Análise Estática do Circuito do CTA ........................................................... 22
2.9 – Modelagem Dinâmica do Circuito do CTA ................................................. 27
2.10 – Inclusão de Dinâmicas Adicionais no Modelo ........................................... 34
Capítulo 3 – Plantas de Simulação e Categorias de Parâmetro ...................................... 37
3.1 – Descrição das Plantas de Simulação Desenvolvidas .................................... 37
3.2 – Categorias de Parâmetro e Valores Reais Utilizados ................................... 40
Capítulo 4 – Resultados das Simulações ........................................................................ 42
4.1 – Resposta Transitória da Resistência
em Malha Aberta ........................... 42
4.2 – Resposta Transitória de Partida da Resistência
viii
em Malha Fechada ........ 43
4.3 – Resposta Transitória ao Degrau da Resistência
e da Tensão
em Malha
Fechada ........................................................................................................................... 49
4.4 – Resposta em Frequência da Resistência
4.5 – Resposta em Frequência da Tensão
em Malha Aberta ..................... 55
em Malha Fechada ......................... 57
4.6 – Calibração Dinâmica da Resposta em Frequência da Tensão
4.7 – Análise de Fourier da Resistência
4.8 – Análise de Fourier da Tensão
................. 67
em Malha Aberta............................... 69
e da Medição
em Malha Fechada ...... 70
Capítulo 5 – Comparação Entre Modelos do CTA......................................................... 74
5.1 – Comparação entre o Modelo Teórico e o Modelo de Simulação ................. 74
5.2 – Comparação com um Novo Modelo Teórico Modificado ........................... 79
Capítulo 6 – Considerações Finais ................................................................................. 82
6.1 – Avaliação de Desempenho ........................................................................... 82
6.2 – Desafios Futuros........................................................................................... 82
6.3 – Contribuição Efetiva .................................................................................... 83
Bibliografia ..................................................................................................................... 84
ix
Lista de Figuras
Figura 1 – Operação do anemômetro de fio quente........................................................ 4
Figuras 2a e 2b – Filamento acoplado à sonda (a), conjunto operando num túnel de
vento (b) .......................................................................................................................... 5
Figura 3 – Micro-manipulador desenvolvido no NIDF utilizado para fabricar os
filamentos ....................................................................................................................... 5
Figura 4 – Protótipo de circuito para o anemômetro CTA desenvolvido no NIDF ....... 6
Figura 5 – Circuito Básico de um CTA .......................................................................... 18
Figura 6 – Topologia do circuito desenvolvido no NIDF .............................................. 21
Figura 7 – Circuito equivalente simplificado do CTA ................................................... 23
Figura 8 – Conceito teórico de linearização de sistemas em torno de um ponto de
operação .......................................................................................................................... 31
Figura 9 – Circuito do CTA com a inclusão das indutâncias
e
............................ 34
Figura 10 – Malha de realimentação do CTA com vários amplificadores operacionais
em cascata ....................................................................................................................... 35
Figura 11 – Planta de simulação em malha aberta com corrente constante ................... 38
Figura 12 – Planta de simulação em malha aberta com tensão constante ...................... 38
Figura 13 – Planta de simulação em malha fechada com temperatura constante ........... 39
Figura 14 – Resposta transitória da resistência
em malha aberta............................... 42
Figura 15 – Resposta transitória de partida da resistência
em malha fechada – Caso 1
– Sobreamortecido .......................................................................................................... 45
Figura 16 – Resposta transitória de partida da resistência
em malha fechada – Caso 2
– Subamortecido ............................................................................................................. 45
x
Figura 17 – Resposta transitória de partida da resistência
em malha fechada – Caso 3
– Oscilação Sustentada ................................................................................................... 46
Figura 18 – Resposta transitória de partida da resistência
em malha fechada – Caso 4
– Operação Insustentável ................................................................................................ 46
Figura 19 – Resposta transitória da resistência
taxas de sobreaquecimento
em malha fechada para diferentes
........................................................................................ 47
Figura 20 – Resposta transitória ao degrau em malha fechada – Teste 1 – Entrada
Saída
........................................................................................................................... 50
Figura 21 – Resposta transitória ao degrau em malha fechada – Teste 1 – Entrada
Saída
–
........................................................................................................................... 53
Figura 27 – Resposta transitória ao degrau em malha fechada – Teste 2 – Entrada
Saída
–
.......................................................................................................................... 52
Figura 26 – Resposta transitória ao degrau em malha fechada – Teste 2 – Entrada
Saída
–
........................................................................................................................... 52
Figura 25 – Resposta transitória ao degrau em malha fechada – Teste 2 – Entrada
Saída
–
.......................................................................................................................... 51
Figura 24 – Resposta transitória ao degrau em malha fechada – Teste 2 – Entrada
Saída
–
........................................................................................................................... 51
Figura 23 – Resposta transitória ao degrau em malha fechada – Teste 1 – Entrada
Saída
–
.......................................................................................................................... 50
Figura 22 – Resposta transitória ao degrau em malha fechada – Teste 1 – Entrada
Saída
–
–
.......................................................................................................................... 53
Figura 28 – Frequências de corte obtidas na resposta em frequência do sistema em
malha aberta.................................................................................................................... 55
Figura 29 – Resposta em frequência da tensão
– Resultado do teste 1 para entrada
– Diagrama de Bode (Módulo) ....................................................................................... 58
xi
Figura 30 – Resposta em frequência da tensão
– Resultado do teste 1 para entrada
– Diagrama de Bode (Fase) ............................................................................................ 58
Figura 31 – Resposta em frequência da tensão
– Resultado do teste 1 para entrada
– Diagrama de Bode (Módulo) ....................................................................................... 59
Figura 32 – Resposta em frequência da tensão
– Resultado do teste 1 para entrada
– Diagrama de Bode (Fase) ............................................................................................ 59
Figura 33 – Resposta em frequência da tensão
– Resultado do teste 2 para entrada
– Diagrama de Bode (Módulo) ....................................................................................... 60
Figura 34 – Resposta em frequência da tensão
– Resultado do teste 2 para entrada
– Diagrama de Bode (Fase) ............................................................................................ 60
Figura 35 – Resposta em frequência da tensão
– Resultado do teste 2 para entrada
– Diagrama de Bode (Módulo) ....................................................................................... 61
Figura 36 – Resposta em frequência da tensão
– Resultado do teste 2 para entrada
– Diagrama de Bode (Fase) ............................................................................................ 61
Figura 37 – Resposta em frequência da tensão
– Resultado do teste 3 para entrada
– Diagrama de Bode (Módulo) ....................................................................................... 62
Figura 38 – Resposta em frequência da tensão
– Resultado do teste 3 para entrada
– Diagrama de Bode (Fase) ............................................................................................ 62
Figura 39 – Resposta em frequência da tensão
– Resultado do teste 3 para entrada
– Diagrama de Bode (Módulo) ....................................................................................... 63
Figura 40 – Resposta em frequência da tensão
– Resultado do teste 3 para entrada
– Diagrama de Bode (Fase) ............................................................................................ 63
Figura 41 – Resposta em frequência da tensão
– Resultado do teste 4 para entrada
– Diagrama de Bode (Módulo) ....................................................................................... 64
Figura 42 – Resposta em frequência da tensão
– Resultado do teste 4 para entrada
– Diagrama de Bode (Fase) ............................................................................................ 64
xii
Figura 43 – Resposta em frequência da tensão
– Resultado do teste 4 para entrada
– Diagrama de Bode (Módulo) ....................................................................................... 65
Figura 44 – Resposta em frequência da tensão
– Resultado do teste 4 para entrada
– Diagrama de Bode (Fase) ............................................................................................ 65
Figura 45 – Equivalência de frequências de corte para as duas entradas distintas do
sistema ............................................................................................................................ 68
Figura 46 – Distorção harmônica da tensão
para diferentes amplitudes de estímulo
.................................................................................................................................... 72
Figura 47 – Resposta em frequência para diferentes ganhos do amplificador operacional
INA111 ........................................................................................................................... 74
Figura 48 – Resposta ao degrau completa dos 2 modelos comparados.......................... 77
Figura 49 – Aproximação visual do início da resposta dos 2 modelos comparados ...... 78
Figura 50 – Resposta ao degrau completa dos 3 modelos comparados.......................... 79
Figura 51 – Aproximação visual do início da resposta dos 3 modelos comparados ...... 80
xiii
Lista de Tabelas
Tabela 1 – Parâmetros conhecidos do sistema ............................................................... 40
Tabela 2 – Parâmetros calculados do sistema ................................................................ 41
Tabela 3 – Parâmetros ajustáveis do sistema.................................................................. 41
Tabela 4 – Parâmetros resultantes do sistema ................................................................ 41
Tabela 5 – Valores dos parâmetros ajustáveis utilizados em cada caso de resposta
transitória de partida da resistência
............................................................................ 44
Tabela 6 – Resultados da resposta transitória da resistência
taxa de sobreaquecimento
para diferentes valores de
.......................................................................................... 48
Tabela 7 – Valores dos parâmetros ajustáveis utilizados em cada teste de resposta
transitória ao degrau ....................................................................................................... 49
Tabela 8 – Resultados da resposta em frequência da resistência
Tabela 9 – Resultados da resposta em frequência da tensão
em malha aberta.... 56
em malha fechada ....... 66
Tabela 10 – Parâmetros e resultados do teste de otimização empírica da resposta em
frequência da tensão
em malha fechada .................................................................... 67
Tabela 11 – Resultados da análise de Fourier para a resistência
Tabela 12 – Resultados da análise de Fourier para a tensão
em malha aberta ... 69
e a velocidade medida
em malha fechada, testes 1 a 5 ....................................................................................... 71
Tabela 13 – Resultados da análise de Fourier para a resistência
em malha fechada . 73
Tabela 14 – Valores dos parâmetros ajustáveis utilizados para os modelos .................. 75
Tabela 15 – Valores de tensão
em regime permanente para os três modelos ............ 80
xiv
Lista de Símbolos e Siglas
– constante de calibração para medição de velocidade
– matriz de coeficientes genérica associada ao vetor de estados na equação de
derivadas dos estados do modelo de espaço de estados
– área da superfície total do fio quente
– constante de calibração para medição de velocidade
– matriz de coeficientes genérica associada ao vetor de entradas na equação de
derivadas dos estados do modelo de espaço de estados
– calor específico do fio quente
– calor específico do fluido gasoso à temperatura constante
– função de entrada constante de uma equação diferencial de 1ª ordem
– matriz de coeficientes genérica associada ao vetor de estados na equação da saída
do modelo de espaço de estados
– capacidade térmica do fio quente
– Constant Temperature Anemometer – Anemômetro de Temperatura Constante
– denominador da função de transferência
– matriz de coeficientes genérica associada ao vetor de entradas na equação da
saída do modelo de espaço de estados
– diâmetro do fio quente
– fator de desequilíbrio da ponte de Wheatstone
– frequência de corte do sistema em malha aberta com corrente constante
– frequência de corte do sistema em malha fechada com temperatura constante
– frequência de corte do sistema em malha aberta com tensão constante
xv
– derivada em relação ao tempo do estado
modelo dinâmico linearizado do CTA
– derivada em relação ao tempo do estado
modelo dinâmico linearizado do CTA
– ganho de tensão do amplificador operacional genérico
– ganho de tensão do amplificador operacional de saída
– constante associada à derivada no tempo do fio quente
– matriz identidade
– corrente de saída do circuito
– corrente que atravessa o fio quente – valor total
– corrente que atravessa o fio quente – valor médio
– corrente que atravessa o fio quente – valor de pequenas variações
– condutividade térmica do fluido gasoso
– constante que deve ser descoberta com auxilio de condição inicial de uma equação
diferencial de 1ª ordem
– constante de relação da ponte de Wheatstone
– comprimento do fio quente
– Laser Doppler Anemometry – Anemômetro a Laser Doppler
– Núcleo Interdisciplinar de Dinâmica dos Fluidos (COPPE – UFRJ)
– numerador da função de transferência
associado à entrada
– numerador da função de transferência
associado à entrada
– expoente de calibração para medição de velocidade
– potência acumulado no fio quente
– potência gerada pela corrente elétrica que atravessa o fio quente
– potência transferida do fio quente para o fluido
xvi
– resistência do fio quente à temperatura ambiente e fora de operação
– resistência do respectivo resistor inserido na ponte de Wheatstone
– resistência do respectivo resistor inserido na ponte de Wheatstone
– resistência do respectivo resistor inserido na ponte de Wheatstone
– resistência equivalente da ponte de Wheatstone
– resistência do fio quente em operação – valor total
– resistência do fio quente em operação – valor médio
– resistência do fio quente em operação – valor de pequenas variações
– resistência total do cabo que conecta o fio quente ao circuito.
– resistência equivalente em série com o fio quente.
– variável de Laplace no domínio da frequência
– área da seção transversal circular do fio quente
– tempo (variável independente)
– temperatura ambiente do filamento
– função de transferência equivalente do sistema obtida no modelo dinâmico
linearizado do CTA
– temperatura do filamento no ponto de operação
– taxa de sobreaquecimento do fio quente
– Total Harmonic Distortion – Distorção Harmônica Total
– vetor de entradas genérico do modelo de espaço de estados
– velocidade do fluido medida – valor total
– velocidade do fluido medida – valor médio
– velocidade do fluido medida – valor de pequenas variações
xvii
– velocidade do fluido incidente – valor total
– velocidade do fluido incidente – valor médio
– velocidade do fluido incidente – valor de pequenas variações
– tensão de saída do circuito – valor total
– tensão de saída do circuito – valor médio
– tensão de saída do circuito – valor de pequenas variações
– tensão de saída do amplificador primário – valor total
– tensão de saída do amplificador primário – valor médio
– tensão de saída do amplificador primário – valor de pequenas variações
– tensão de desequilíbrio da ponte de Wheatstone – valor total
– tensão de desequilíbrio da ponte de Wheatstone – valor médio
– tensão de desequilíbrio da ponte de Wheatstone – valor de pequenas variações
– tensão contínua de nível offset – valor total
– tensão contínua de nível offset – valor médio
– tensão contínua de nível offset – valor refletido equivalente que recebe o ganho do
amplificador primário
– tensão contínua de nível offset – valor de pequenas variações
– tensão aplicada sobre o fio quente – valor total
– tensão aplicada sobre o fio quente – valor médio
– tensão aplicada sobre o fio quente – valor de pequenas variações
– condição inicial de uma equação diferencial de 1ª ordem
– volume do fio quente
– vetor de estados genérico do modelo de espaço de estados
xviii
– função genérica que é solução de uma equação diferencial de 1ª ordem
– solução completa de uma equação diferencial de 1ª ordem
– vetor de saídas genérico do modelo de espaço de estados
– solução homogênea de uma equação diferencial de 1ª ordem
– solução particular de uma equação diferencial de 1ª ordem
– coeficiente de temperatura da resistividade do material do fio quente
– matriz equivalente à matriz
para modelo dinâmico linearizado do CTA
– matriz equivalente à matriz
para modelo dinâmico linearizado do CTA
– coeficiente de viscosidade dinâmica do fluido
– constante circular, cujo valor é aproximadamente igual a
– densidade do material do fio quente
– densidade do fluido gasoso
– constante de tempo genérica de uma equação diferencial de 1ª ordem
– constante de tempo associada ao amplificador de saída
– constante de tempo associada à resistência do fio quente
– constante de tempo do amplificador primário
– resistividade elétrica do material do fio quente
xix
Capítulo 1 – Introdução
1.1 – Motivação
A anemometria térmica é o ramo da instrumentação que estuda as técnicas
utilizadas para medir a velocidade de fluidos através de sensores/transdutores que
funcionam baseados nos princípios que relacionam eletricidade e temperatura. A
formulação deste tipo de sistema inclui a modelagem de escoamento dos fluidos e de
troca de calor entre os elementos físicos, que geralmente resultam em equações
diferenciais de característica não linear.
Dependendo do seu ponto de operação, um sistema deste nível de complexidade
pode apresentar diferentes formas de resposta dinâmica, que afetam diretamente seu
desempenho e capacidade de oferecer resultados consistentes e precisos.
A principal motivação deste trabalho é expandir e aperfeiçoar o conhecimento
sobre os sensores de anemometria térmica, através do estudo e validação dos modelos já
apresentados na bibliografia desta área de estudo.
1.2 – Objetivo
O principal objetivo deste trabalho é analisar de maneira abrangente o
funcionamento dos sensores de anemometria térmica, avaliando e comparando seu
comportamento em diversos pontos de operação.
O estudo será focado no sistema de um anemômetro CTA (Constant
Temperature Anemometer), que foi desenvolvido e colocado em operação no NIDF
(Núcleo Interdisciplinar de Dinâmica dos Fluidos), laboratório associado aos programas
de pesquisa da COPPE/UFRJ. As outras possibilidades de implementação de
anemômetros com circuito, que são representadas pelos casos de tensão constante e
corrente constante, não serão abordadas neste trabalho.
1
Para realizar esta missão, serão desenvolvidos modelos de simulação dinâmica
com apoio do software OrCAD. Através da simulação, será possível realizar uma série
de testes para analisar as dinâmicas do sistema, como a resposta no domínio do tempo, a
resposta no domínio da frequência e a análise de Fourier.
1.3 – Organização do Texto
Neste primeiro capítulo, foram apresentados a motivação e o objetivo deste
projeto. Agora serão descritos os conteúdos dos próximos capítulos.
No capítulo 2, serão apresentados os principais métodos de medição de
velocidade de fluidos, e na sequência, será apresentado em maiores detalhes o método
térmico, no qual este projeto está focado. Depois, será realizada a modelagem
matemática e dinâmica dos aspectos físicos e sistemáticos da anemometria térmica, que
incluem os elementos e fenômenos fundamentais, e o anemômetro de temperatura
constante (CTA), o mais importante desta área de estudo.
No capítulo 3 serão apresentadas as plantas de simulação construídas através do
software OrCAD, assim como os valores reais de parâmetros utilizados para
desenvolvê-las e operá-las.
No capítulo 4 serão apresentados os resultados obtidos para as simulações em
diversos tipos de configurações, que tinham por objetivo avaliar o desempenho e
qualidade dos sistemas de anemometria térmica. Os resultados apresentados incluem a
resposta transitória do sistema, a resposta em frequência do sistema e a análise de
Fourier dos sinais de saída.
No capítulo 5 será realizada uma comparação entre modelo teórico obtido ao
longo do capítulo 2 e o modelo de simulação desenvolvido.
Por fim, no capítulo 6 serão feitas as conclusões gerais sobre o projeto e suas
contribuições para a ciência, além de comentários sobre os desafios futuros referentes a
esta linha de pesquisa e atuação da anemometria térmica.
2
Capítulo 2 – Fundamentos Teóricos da Anemometria Térmica
2.1 – O Contexto de Medição de Velocidade dos Fluidos
O desenvolvimento de técnicas para medição de velocidade de fluidos sempre
foi um grande desafio para a ciência, pois os escoamentos possuem inúmeras
propriedades que provocam incertezas e imprecisões nos valores medidos e calculados.
Ao longo da história, diferentes métodos foram propostos, testados e validados. Cada
um deles possui vantagens e desvantagens em relação aos outros, sendo necessário
avaliar qual se encaixa melhor nos objetivos da medição. Tomando como base os
conceitos apresentados em [1], os principais métodos são brevemente descritos a seguir:
1) Métodos de partículas flutuantes – Trata-se da maneira mais simples de se
estimar a velocidade ao longo de um escoamento, e o princípio de medição é baseado no
acompanhamento de partículas flutuadoras ao longo da corrente de fluido. Elas podem
ser feitas de material sólido, capaz de manter-se na superfície do fluido, ou podem
simplesmente possuir a capacidade de provocar algum contraste, como poeira em
suspensão num gás. Destaca-se ainda o uso de bolhas de gases em líquidos.
2) Métodos rotativos – Baseados na transformação de um movimento relativo de
um rotor, submetido a um escoamento de um líquido ou de um gás. A leitura da
velocidade é facilmente adquirida por meios digitais, uma vez que sua calibração
depende da contagem da rotação de um rotor.
3) Métodos de pressão – Permitem obter a velocidade de uma dada corrente de
um escoamento através da medição de duas pressões: a estática e a de estagnação. Uma
vez conhecido o valor dessas duas grandezas, é possível determinar a velocidade a partir
de cálculos que envolvem os conceitos de conservação de massa e energia.
4) Métodos térmicos – Conseguem medir a velocidade do fluido a partir da
variação de temperatura dos sensores (que refletem na variação de grandezas elétricas)
imersos no escoamento. É importante destacar que, dependendo do tipo de fluido e de
escoamento, o sensor deverá possuir características construtivas diferentes.
3
2.2 – O Princípio de Funcionamento dos Métodos Térmicos
A anemometria térmica é o campo da instrumentação eletrônica responsável por
utilizar os métodos térmicos para medir a velocidade de fluidos gasosos. Serão
apresentados agora seus principais conceitos e fundamentos, que serão bastante valiosos
para a compreensão dos capítulos seguintes.
A técnica de operação dos anemômetros térmicos é descrita a seguir.
Inicialmente, um pequeno filamento, atravessado por uma corrente elétrica, é colocado
no local onde há o escoamento de um fluido gasoso. A Figura 1 ilustra este
procedimento.
Figura 1 – Operação do anemômetro de fio quente
4
O filamento pode ser exposto ao escoamento do fluido gasoso com auxílio de
uma pequena sonda, conforme exibido nas Figuras 2a e 2b:
(a)
(b)
Figuras 2a e 2b – Filamento acoplado à sonda (a), conjunto operando num túnel de vento (b)
O filamento é muito pequeno, sendo seu diâmetro e comprimento da ordem de
micrômetros e milímetros, respectivamente. Para fabricá-lo de acordo com as
especificações exigidas, é necessária a utilização de um equipamento especial chamado
micro-manipulador, mostrado na Figura 3.
Figuras 3 – Micro-manipulador desenvolvido no NIDF utilizado para fabricação dos filamentos.
A passagem de corrente elétrica no fio provoca a geração de calor e um aumento
de temperatura a resistência do mesmo. Neste momento, dois fenômenos ocorrem com
o calor gerado desta maneira. Como a temperatura do fluido é menor do que a do
filamento, uma parte do calor gerado é diretamente transferida do filamento para o
5
fluido. Em geral, podemos considerar que o fluido funciona como um reservatório
térmico, de tal forma que sua temperatura não varia com o tempo, independente da
quantidade de calor que recebe do filamento. A outra parte do calor gerado se acumula
no filamento. Como será explicado mais adiante, a equação diferencial que determina o
comportamento do filamento é baseado neste balanço de energia.
Num primeiro instante, a resistência do fio quente sofrerá uma variação
significativa até atingir um valor de equilíbrio em torno de um ponto de operação
estável, que depende fortemente da velocidade média do fluido e da corrente imposta.
Em seguida, as eventuais perturbações de velocidade do fluido provocam pequenas
flutuações no valor da resistência do fio quente, e estas flutuações causam variações nos
valores da corrente e da tensão do fio, que podem ser medidas e registradas com um
circuito auxiliar. Um protótipo de circuito com esta função é exibido na figura 4.
Figura 4 – Protótipo de circuito para o anemômetro CTA desenvolvido no NIDF.
A partir de uma análise experimental, pode-se encontrar uma lei de calibração
que relacione a velocidade do fluido com alguma grandeza de saída do circuito,
permitindo assim a medição da velocidade.
É importante ressaltar que um filamento só consegue refletir as variações de
velocidade para uma única direção. Entretanto, um escoamento de fluido também pode
ser multidirecional, fazendo com que a sua velocidade em cada ponto do espaço seja
orientada por um campo vetorial que possui componentes de formação nas três direções.
Para este tipo de escoamento, caso exista interesse em medir as componentes de
velocidade em outras direções, é necessária a construção de um sensor com mais de um
filamento, de tal forma que eles estejam devidamente posicionados para este objetivo.
6
Além disso, também é interessante destacar que a medição de fluidos líquidos
através dos métodos térmicos segue exatamente o mesmo princípio. Porém, a
construção dos sensores neste caso é diferente, pois a exposição direta do filamento ao
fluido líquido resulta numa rápida oxidação, inviabilizando a medição. Para contornar
este problema, utiliza-se uma fina camada de filme que envolve por completo o
filamento, de tal forma que o mesmo fique protegido da ação corrosiva. Como
consequência, a adição desta camada faz com que a dinâmica de troca de calor entre o
sensor e o fluido líquido se torne mais complexa e diferente daquela observada para o
fluido gasoso.
Neste trabalho, a dinâmica do sensor térmico será apresentada em detalhes
apenas para o caso de medição de fluidos gasosos com escoamento unidirecional.
A anemometria de fio quente constitui-se em um método de medição pouco
intrusivo, devido às pequenas dimensões do elemento sensível. São essas pequenas
dimensões que, combinadas a um circuito eletrônico de controle, fornecem a esta
técnica uma elevada capacidade de resposta em frequência, podendo atingir a ordem de
centenas de kHz. Essas características fazem com que ela seja muito poderosa na
investigação e avaliação de escoamentos turbulentos.
Além da anemometria térmica, a única outra técnica capaz de produzir
resultados consistentes para este tipo de escoamento é a anemometria a laser Doppler,
conhecida também pela sigla LDA (Laser Doppler Anemometry), pois a mesma
também apresenta uma ótima capacidade de resposta em frequência.
Como mencionado em [2], o número e a qualidade dos resultados sobre
turbulência encontrados na literatura, obtidos através da utilização da anemometria de
fio quente, são de fato, um tributo inquestionável à robustez e à alta resolução espacial e
temporal que esta técnica oferece, colocando-a no estado de arte deste campo de
pesquisa. Além disso, ela é considerada uma técnica simples, fácil de utilizar, e de baixo
custo de aquisição e manutenção, o que se constitui em uma de suas grandes vantagens.
Entretanto, existem também algumas desvantagens. Embora de concepção
bastante simples, um anemômetro de fio quente é um instrumento extremamente
complicado. O filamento aquecido possui inércia térmica, e portanto, uma constante de
tempo associada. O circuito eletrônico também possui suas próprias constantes de
7
tempo, que interagem de modo não trivial com o filamento. O filamento fica exposto a
fenômenos aeroelásticos e termoelásticos, e é sensível a inúmeras perturbações espúrias
incluindo eventuais variações de temperatura no escoamento e contaminação por poeira.
Do ponto de vista de sistemas de controle, os anemômetros térmicos podem ser
operados como um sistema de malha aberta ou de malha fechada.
A operação do sensor em malha aberta é muito pouco utilizada na prática,
devido às suas desvantagens em relação à operação em malha fechada. Porém, ela
possui grande importância teórica, pois permite entender o comportamento básico do
sistema, sem a influência de outros elementos e parâmetros presentes na malha fechada.
Neste tipo de operação, o fio é submetido à tensão constante ou corrente constante, sem
qualquer tipo de realimentação. A sua grande desvantagem reside no fato de que
qualquer perturbação no sistema causa um desvio do ponto de operação original
A operação do sensor em malha fechada se consolidou como sendo a de melhor
desempenho, e por isso os estudos e pesquisas atuais na área da anemometria térmica
estão concentrados em melhorar ainda mais sua capacidade. Neste tipo de operação, um
ramo de realimentação é introduzido à topologia do circuito, com o objetivo de manter a
temperatura do fio quente constante. Como consequência direta, a resistência do fio
quente também é mantida constante. Este tipo de operação é implementada nos
anemômetros conhecidos como CTA (Constant Temperature Anemometer).
Na verdade, o que acontece na prática é que, para eventuais perturbações de
velocidade no fluido, a realimentação atua fortemente e o valor da resistência do fio
quente varia minimamente, pois uma nova condição de equilíbrio é rapidamente
atingida, e com isso, a temperatura praticamente não se altera. A sensibilidade de
temperatura é justamente uma das principais métricas de qualidade do CTA, ou seja,
quanto maior for a capacidade de impedir fortes flutuações de temperatura e mantê-la
constante, melhor será o anemômetro. Estudos específicos sobre a sensibilidade de
temperatura do CTA podem ser encontrados em [3].
As simulações desenvolvidas para este projeto contemplam os dois tipos de
operação, porém, devido a sua maior importância e complexidade, a operação em malha
fechada será analisada em maiores detalhes e sua respectiva simulação passará por mais
testes de validação.
8
2.3 – Modelagem do Filamento e do Fluido Gasoso
A dinâmica de acúmulo de calor no fio quente durante a operação do
anemômetro depende fortemente de constantes relacionadas com as dimensões do
filamento e com o material utilizado para produzi-lo.
As grandezas dimensionais do filamento que devem ser conhecidas são o
comprimento
volume
, área da seção transversal circular
, área da superfície total
eo
, enquanto as grandezas físicas do material e do filamento que devem ser
conhecidas são a resistência
, a resistividade
resistividade
, o calor específico
, a densidade
, o coeficiente de temperatura da
e a capacidade térmica
.
A área da seção transversal circular do filamento é calculada através da seguinte
fórmula:
(1)
Na prática, é comum o filamento se romper, e um novo deve ser obtido a partir
de um corte no final do rolo que originou o anterior. Neste momento, o comprimento do
novo fio não é determinado a partir de medição direta, pois há um elevado grau de
incerteza que pode introduzir erros de cálculo em etapas posteriores.
Para contornar este dificuldade, o comprimento é calculado a partir de sua
relação com a resistência do filamento, que pode ser medida com maior facilidade. A
relação é exibida a seguir:
(2)
9
Uma vez conhecido o comprimento, é possível calcular o volume e a capacidade
térmica do filamento:
(3)
(4)
A resistência do filamento varia com a temperatura de acordo com a equação a
seguir:
(
A taxa de sobreaquecimento
)
(5)
é definida como sendo a razão entre
(
e :
)
(6)
Por outro lado, a dinâmica de troca de calor entre o fluido gasoso e o fio quente
está fortemente relacionada com duas constantes fundamentais chamadas de
e , que
dependem tanto de propriedades dimensionais e físicas do filamento (já mencionadas)
quanto das propriedades físicas do fluido gasoso. As grandezas físicas do fluido gasoso
que devem ser conhecidas são a densidade
o coeficiente de viscosidade dinâmica
constante
, a constante de condutividade térmica ,
e o calor específico do fluido à pressão
.
As fórmulas utilizadas para calcular as duas constantes são exibidas a seguir:
(
10
(
)
)
(
(7)
)
(8)
Apesar da existência desta fórmula para realizar o cálculo direto das constantes,
muitas vezes é difícil de conhecer com precisão o valor das grandezas do fluido gasoso,
pois diversos fatores externos e internos do escoamento podem causar alterações nos
valores tabelados. Além disso, é muito comum que o fluido seja composto por uma
mistura de gases diferentes, o que complica ainda mais a estimativa destes parâmetros.
Devido a esta complicação, ao invés de calcular as constantes X e Y pela fórmula
diretamente, outra metodologia mais prática e simples, que utiliza as constantes de
calibração do sensor, pode ser aplicada para estimar seus valores. Ela será apresentada
mais adiante na seção de calibração estática do sensor.
2.4 – A Lei King para Fluidos Gasosos
Conforme explicado anteriormente, o comportamento do sistema é descrito e
modelado pelo balanço do fluxo de calor entre o fio quente e o fluido, que também pode
ser analisado como um balanço entre a potência gerada
potência acumulada
, a potência transferida
ea
. Conforme mostrado nas referências [4] e [5], este balanço é
caracterizado pela seguinte equação:
(9)
Onde os termos podem ser obtidos a partir das seguintes equações:
(10)
(
) (
)
(11)
(12)
11
Inserindo as equações individuais de cada forma de potência (10), (11) e (12) na
equação de balanço (9), encontramos a seguinte equação diferencial:
(
) (
)
(13)
A mesma equação também pode ser escrita em função da tensão no fio:
(
) (
)
(14)
Esta equação diferencial não linear, conhecida pelo nome de Lei de King, é a
equação que define o comportamento do filamento ao longo do tempo. Através desta
equação, percebemos que as variações de velocidade do fluido de fato causam um
impacto direto no valor da resistência do fio quente, e com isso, é possível desenvolver
técnicas que permitam relacionar uma grandeza com a outra para se medir as variações.
2.5 – Aproximação Linear para a Lei de King
É possível realizar uma aproximação linear para a equação (13) se for assumido
que os valores de algumas variáveis serão mantidos constantes, transformando-a numa
equação diferencial linear de 1ª ordem. É importante destacar que este procedimento
não é válido para a equação (14), pois há um termo onde a variável de saída
está
localizada no denominador. Os conceitos sobre a teoria de equações diferenciais
apresentados na análise a seguir podem ser encontrados em maiores detalhes em [6].
O modelo geral deste tipo de equação é apresentado a seguir:
(15)
Este tipo de equação possui duas soluções separadas, a homogênea, que depende
da natureza do sistema, e a particular, que depende da entrada imposta ao sistema.
12
Estas duas soluções genéricas para a equação (15) são exibidas a seguir:
(16)
,
A constante
sistema, ( )
deve ser calculada com auxilio de uma condição inicial do
. A solução completa é obtida a partir da soma das duas anteriores:
(17)
A partir da condição inicial, podemos determinar o valor da constante
( )
:
(18)
Finalmente, a solução completa da equação diferencial será:
( )
(
)
( )
,
(19)
Para realizar uma análise baseada no modelo geral e descobrir o valor das
grandezas através de uma inspeção direta dos termos, vamos linearizar a equação (13)
assumindo a corrente no fio quente e a velocidade de fluido como sendo constantes
(
e
) e reorganizá-la.
Para obter o formato apresentado anteriormente na equação (15), inicialmente é
necessário separar os termos de ordem diferente:
(
)
[(
)
]
(20)
(
[(
)
]
[(
13
)
)
]
(21)
Comparando com os termos do modelo geral, é possível perceber que
(
( )
)
)
( )
(22)
]
será:
[(
Considerando que
)
[(
A constante de tempo do fio quente
será:
, a constante
(
(23)
]
será:
)
)
[(
]
)
[(
(24)
]
Por fim, a solução geral da equação linearizada é:
( )
)
[(
[(
)
]
[(
Uma vez estipulado o valor de regime
descobrir o valor da corrente
escoamento de velocidade
(
]
)
)
]
(25)
, é possível utilizar a equação (22) para
necessário para atingir essa condição sob um
. Isolando
e substituindo as resistências em função da
taxa de sobreaquecimento, obtemos:
√(
) (
)
(26)
Na etapa de simulação, este modelo aproximado será testado e comparado
diretamente com o modelo não linear operando em malha aberta.
14
2.6 – Calibração Estática do Sensor e Medição de Velocidade
Uma vez conhecida a dinâmica básica do sistema, é necessário compreender
como é feita a medição de velocidade na prática.
O elemento que reflete as variações de velocidade é a resistência do fio quente,
porém, medir o seu valor instantâneo diretamente é uma tarefa complicada. Ao invés
disso, a medição da velocidade de escoamento do fluido é dada por uma lei de
calibração que envolve a tensão de saída do circuito do anemômetro.
A equação de calibração é exibida a seguir:
(27)
Consequentemente, a medição em tempo real de velocidade do escoamento será
dada pela seguinte relação:
√
(28)
As constantes A, B e n são determinadas de maneira puramente empírica, e
dependem de todos os elementos e influências envolvidas na execução do experimento.
Para realizar o procedimento de calibração experimental, é necessário ter a disposição
um equipamento auxiliar capaz de medir e controlar o valor da velocidade do fluido no
escoamento de testes, de tal maneira que
.
Para cada valor médio de velocidade imposto, é realizada a medição da tensão
de saída média do circuito. Em seguida, os valores medidos de cada grandeza são
utilizados para calcular novos valores que possuem a mesma dimensão dos termos
presentes de equação de calibração:
,
15
(29)
A equação (27) assume a seguinte forma:
(30)
Após obter uma quantidade suficiente de pontos, é possível realizar uma
regressão linear, onde os coeficientes linear e angular da equação da reta ajustada são
exatamente os valores das constantes de calibração A e B, respectivamente.
É recomendado que os valores de velocidade escolhidos sejam próximos do
valor médio real da velocidade que se pretende medir na prática, pois valores muito
distantes entre si podem fazer com que a curva de ajuste perca sua característica linear e
forneça resultados imprecisos.
Como foi mencionado anteriormente, as constantes fundamentais X e Y do
sistema podem ser determinadas através de uma metodologia que as relaciona
diretamente com as constantes de calibração experimental A e B. Assumindo, por
exemplo, que a tensão sobre o fio quente possa ser representada a partir de um divisor
da tensão de saída envolvendo outra resistência em série do circuito, temos que:
(
(
)
)
(31)
Substituindo-se (31) em (30), obtemos:
(
(
)
)
(32)
Reorganizando-se a equação (32) em um novo formato:
(
(
16
)
)
(33)
Igualando-se as equações (14) e (33), encontramos:
(
) (
(
(
)
Isolando o termo envolvendo as constantes
(
)
) (
(
)
(34)
)
e , encontramos:
)
(
)
(35)
A partir de comparação direta, é possível concluir que:
(
) (
)
(36)
(
) (
)
(37)
Como já foi mostrado, o valor das constantes
e
depende apenas de
propriedades físicas do filamento e do fluido gasoso. Logo, qualquer alteração no valor
da velocidade
de
ou da corrente
(que por sua vez irão causar uma variação no valor
) não afetará o valor das constantes
e
ao longo do tempo.
Porém, o mesmo não é válido para o valor das constantes A e B, pois estas
dependem do valor médio destas variáveis do sistema. Isso significa que, para cada
ponto de operação do anemômetro, existe um valor para as constantes A e B que garante
a medição ótima de velocidade.
Com isso, qualquer mudança significativa no ponto de operação do sistema faz
com que as constantes percam sua validade, e com isso é necessário recalibrar o sistema
para restaurar a precisão da medição. A recalibração pode ser feita repetindo o método
da regressão linear.
17
O valor mais usual para a constante exponencial é
, mas ele pode ser
alterado de acordo com o viés dos resultados experimentais para oferecer uma melhor
medição.
2.7 – O Anemômetro de Temperatura Constante – CTA
Como já foi explicado, o CTA é um anemômetro de grande importância (pois, à
pricípio, é o que apresenta o melhor desempenho de resposta em frequência). Nesta
seção, ele será apresentado com mais detalhes.
A topologia básica do circuito do CTA é apresentada na Figura 5:
Figura 5 – Circuito básico de um CTA
18
O fio quente de resistência
é inserido numa configuração de ponte de
Wheatstone, junto com os resistores
em conta a resistência
,
e
. Nesta topologia, está sendo levada
do cabo que leva a corrente até o sensor.
Dizemos que a ponte está em equilíbrio quando a tensão
tensões
e
(diferença entre as
) é nula:
(38)
O fator de desequilíbrio da ponte
é definido da seguinte maneira:
(39)
É fácil provar que quando o fator de desequilíbrio for nulo, a tensão
também
será nula, e a ponte estará em equilíbrio:
(40)
O sensor onde se encontra o fio quente é colocado em operação, e logo a
resistência
atinge seu valor de regime permanente. O equilíbrio da ponte para um
determinado ponto de operação de resistência
alcançado através do ajuste do resistor
desejado pode ser facilmente
.
Para essa função, define-se a constante de relação da ponte como sendo a razão
entre as resistências opostas em condição de equilíbrio:
(41)
Como as resistências
e
não mudam de valor, elas são utilizadas para fixar
a relação da ponte.
19
Colocando-se a resistência
em função da taxa de sobreaquecimento, obtemos
a seguinte relação:
(42)
Logo, uma vez escolhido o valor aproximado de regime da resistência
calcula-se o valor da taxa de sobreaquecimento
ajustar o valor do resistor
correspondente, para em seguida
, pois a realimentação do sistema naturalmente se
encarregará de forçar a resistência
O resistor
,
a atingir o valor pretendido.
também é utilizado para compensar outras resistências que
geralmente não são contabilizadas nos modelos teóricos, como a resistência
Assumindo-se que esta última esteja em série com
(
.
, a equação (42) torna-se:
)
(43)
Como já foi visto, flutuações na velocidade do fluido resultam na flutuação do
valor da resistência
tensão
, e quando isso acontece, a ponte entra em desequilíbrio e a
deixa de ser nula. A tensão
é amplificada através de um amplificador
operacional primário com ganho elevado . A tensão na saída do primeiro amplificador,
chamada de
, é somada com uma tensão contínua e constante
através de outro
amplificador, geralmente de ganho unitário. A tensão de saída resultante, chamada de
, é definida como a variável de saída do sistema, e fica conectada diretamente na
entrada da ponte de Wheatstone, realimentando o circuito e estabelecendo uma malha
fechada.
Com isso, as eventuais variações de valor da resistência
registradas através de
são percebidas e
, que permite a medição da velocidade através da lei de
calibração, apresentada anteriormente. Além disso, a resistência
tende a se manter
praticamente constante, pois qualquer esforço de desvio é rapidamente minimizado pela
realimentação da tensão
A tensão
na entrada da ponte.
é necessária para iniciar o sistema, e influencia diretamente no valor
médio da resistência
. Além disso, ela também determina o valor em torno do qual a
20
tensão
flutuará durante a operação do anemômetro, devido às perturbações de
.
Esta última característica permite que a resposta em frequência e a calibração do
sistema possam ser testadas colocando-se uma fonte de amplitude e frequência variável
em série com
tensão
, de tal forma que a tensão produzida por esta fonte emule o efeito da
variando ao longo do tempo, justamente como se a resistência
estivesse
variando em função das perturbações de velocidade no fluido.
É importante destacar que os amplificadores operacionais utilizados no circuito
possuem suas próprias dinâmicas internas, que devem ser levadas em conta na
modelagem de equações diferenciais para o sistema.
A escolha dos parâmetros do circuito interfere diretamente em várias
características, como a resposta no domínio da frequência, a reposta no domínio do
tempo e a análise de Fourier da velocidade medida. Por isso, nas etapas de simulação,
realizaremos diversos ensaios para compreender como a variação dos valores destes
parâmetros influencia no desempenho do CTA.
A topologia do modelo desenvolvido NIDF é apresentada na Figura 6. Esta
mesma topologia foi utilizada para desenvolver o modelo de simulação, que será
apresentado no capítulo 3.
Ra
Rp
50
Rf
0.6
6.9
Rc
0
2
OP-27
INA105/BB
V1 = 0
V2 = 0.0
TD = 0.0005
TR = 0.00000001
TF = 0.00000001
PW = 0.0005
PER = 0.001
V4
Vi+
7
OS2
OUT
1k
+
+
V1
V+
R5
6
U4
-
4
5
OUT
REF
+
3
V-
-
4
INA111/BB
-
U3
SENSE
7
3
V+
2
V-
6
REF
+
OUT
1
7
V+
-
GS1
GS2 +
V-
3
15Vdc
U2
5
1
8
-
4
R6
500
0
150
0
Vi2
Rb
1k
OS1
8
Q1
6
0
1
R3
BDX53C
Va
1k
R4
1k
R2
10k
V2
0
0
Vq
V3
-15Vdc
5Vdc
0
Figura 6 – Topologia do circuito desenvolvido no NIDF
21
0
2.8 – Análise estática do circuito do CTA
Uma vez conhecidas as principais características do CTA, vamos agora
apresentar uma análise estática do circuito, ou seja, todas as dinâmicas envolvidas estão
sendo ignoradas, como se o sistema estivesse em regime permanente.
O objetivo desta análise é determinar uma expressão literal para as variáveis
e
, em função dos outros parâmetros do circuito. Para atingir o objetivo da análise, serão
utilizados conceitos de teoria de circuitos lineares, que podem ser consultados com
maiores detalhes em [7].
O circuito da seção anterior foi adaptado e tornou-se mais simples. A resistência
do cabo
foi desprezada e os amplificadores operacionais foram substituídos por uma
fonte de tensão controlada.
Além disso, a tensão
foi substituída por uma tensão equivalente
, que
recebe o efeito do ganho G, mas resulta no mesmo valor da anterior após a
multiplicação.
O resultado de todas estas transformações é exibido no circuito equivalente e
simplificado do CTA, apresentado na figura 7.
O procedimento inicial é determinar as tensões desconhecidas
notar que a tensão
é exatamente igual à tensão
e
. Vale
, aplicada diretamente sobre a
resistência do fio quente.
As equações nodais para cada uma destas tensões são apresentadas a seguir:
(
)
(
)
22
(44)
(45)
Figura 7 – Circuito equivalente simplificado do CTA
Resolvendo-se este sistema linear de duas equações, encontramos os valores de
e
em função das grandezas do circuito:
(
(
) (
)
)
(
(
(
) (
)
(46)
)
(47)
)
)
23
(
Conhecendo-se
e
, podemos calcular
:
(
(
) (
)
)
(
Substituindo-se alguns termos em função de
(
A tensão de saída
)
, a expressão de
) (
(48)
passa a ser:
(49)
)
é dada por:
(50)
Substituindo a equação (49) em (50), obtemos:
(
) (
(51)
)
Somando-se os termos para obter uma expressão de único denominador,
obtemos:
(
(
A corrente total
) (
) (
)
)
(52)
na entrada da ponte é dada por:
(53)
24
Onde
é a resistência equivalente da ponte vista pela corrente de entrada:
(
(
) (
)
)
(54)
Logo, substituindo (54) e (52) em (53), a expressão da corrente
(
) (
(
(
(
) (
)
) (
)
(55)
)
)
Simplificando-se a equação (55), a expressão final de
(
) (
(
Para encontrar a corrente
será:
será:
)
(56)
)
que atravessa o resistor
, fazemos o divisor de
corrente:
(
)
(
Substituindo-se o termo
(
(
) (
)
(57)
pela expressão encontrada em (56), obtemos:
)
)
(
(
25
)
)
(58)
Finalmente, encontramos a expressão final de
(
(
:
)
) (
(59)
)
Esta expressão é exatamente a mesma encontrando em [4], onde foram
consideradas as mesmas premissas utilizadas nesta análise. Note que outra maneira
muito mais simples de obter este mesmo resultado é simplesmente dividir a tensão
pela resistência
:
(
) (
(
)
)
(60)
Após a simplificação, o resultado obtido é o mesmo da equação (59):
(
(
)
) (
(61)
)
Por fim, vale destacar que quando a ponte de Wheatstone está em equilíbrio, as
expressões de
e
acabam se tornando muito mais simples, pois
A expressão simplificada de
e
.
será:
(62)
Enquanto a expressão simplificada de
:
(63)
26
2.9 – Modelagem dinâmica no espaço de estados do CTA
A última etapa teórica que será realizada é a análise dinâmica do CTA através do
modelo no espaço de estados, cuja teoria pode ser consultada em detalhes em [8].
Desenvolvimentos como esse já foram abordados em alguns trabalhos clássicos
[9] e [10]. No entanto a abordagem nestes trabalhos nem sempre adota adequadamente o
viés de controle, tornando-os invariavelmente confusos e distantes da realidade dos
operadores do instrumento.
A análise será baseada no circuito apresentado na figura 5 da seção 2.7, e para
simplificar a sua elaboração, vamos considerar que apenas o amplificador operacional
de primeiro estágio possui uma constante de tempo associada, pois seu ganho mais
elevado em relação aos outros amplificadores da malha faz com que sua dinâmica seja
dominante em relação às demais.
O modelo geral do espaço de estados é apresentado a seguir:
[
]
(64)
(65)
Como estamos lidando com um sistema originalmente não linear, ele deverá ser
linearizado em torno de um ponto de operação, como será mostrado mais a frente.
Como consequência, os elementos do modelo no espaço de estados serão compostos
apenas pelos termos correspondentes a valores de pequenas variações.
O modelo no espaço de estados pode ser construído identificando e
estabelecendo as entradas, as saídas e as variáveis de estado do sistema. Inicialmente,
devem ser levados em conta tanto os termos que representam os valores médios quanto
os termos que representam valores de pequenas variações.
27
As entradas do sistema são:
( )
( )
( )
( )
(66)
As variáveis de estado do sistema são:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(67)
A saída do sistema é:
(68)
Para montar a equação matricial do sistema, é necessário encontrar a expressão
da saída e de todas as derivadas das variáveis de estado, ambas em função das próprias
variáveis de estado e das entradas do sistema.
A dedução da equação para
é apresentada a seguir:
(69)
(
[ (
) (
) (
)
)
28
(70)
(
) ]
(71)
A dedução da equação para
é apresentada a seguir:
(72)
(
(
)
)
(73)
(
)
(74)
(75)
[(
) (
)]
(76)
A equação (75) exibe a relação de primeira ordem que foi escolhida para
representar o modelo dinâmico do amplificador operacional de primeiro estágio.
A expressão da saída
é simplesmente:
(77)
Uma vez conhecidas as equações necessárias para a construção do modelo, é
possível coloca-las no formato do modelo geral, apresentado nas equações (64) e (65).
A partir de agora, será considerado que o sistema já foi linearizado, e com isso,
as entradas, variáveis de estado e saídas do sistema corresponderão apenas a pequenas
perturbações em torno deste ponto de operação específico. Primeiramente, as equações
finais serão apresentadas, e logo depois, será mostrada a etapa de linearização que
resulta nestas mesmas equações.
29
A equação matricial das variáveis de estado é exibida a seguir:
[ ]
[
[
]
[
]
(78)
[
]
(79)
]
A equação matricial da saída é exibida a seguir:
[
As matrizes
e
]
são obtidas da seguinte maneira:
(80)
[
As funções
e
]
[
]
representam as derivadas temporais das variáveis de estado e
suas respectivas derivadas parciais possibilitam a linearização do sistema.
Em termos matemáticos, a linearização consiste em aproximar uma curva que
apresenta comportamento quase linear dentro de um intervalo pequeno, por uma
equação de reta tangente a um ponto (no nosso caso, o ponto de operação do
anemômetro) dentro deste intervalo.
É importante destacar que, se houver um distanciamento muito grande do
intervalo onde o ponto de operação se encontra, os resultados da aproximação se tornam
inválidos.
30
Este conceito é ilustrado na figura 8:
Figura 8 – Conceito teórico de linearização de sistemas em torno de um ponto de operação
Os coeficientes angulares das retas de aproximação são obtidos justamente pelas
derivadas parciais de
e
presentes nas matrizes
e . Para que isso seja possível, as
derivadas parciais devem ser avaliadas numericamente com os valores médios do ponto
de operação atual do sistema. Após este input, cada um dos elementos das matrizes do
sistema se tornarão números escalares.
As expressões de cada uma das derivadas parciais são apresentadas a seguir:
(
(
)
(
)
(
31
)
)
(81)
(
(
(
)
(82)
)
)
(83)
(
(
[(
(
)
(84)
)
) (
)
(
)]
(85)
)
(86)
(87)
(
)
(88)
Como já foi dito, as derivadas parciais devem ser avaliadas numericamente pelos
valores médios correspondentes ao ponto de operação. No caso, estes valores são
,
e
,
. Como, a princípio, podemos controlar as entradas do sistema, podemos
assumir que conhecemos os valores de
e
. Para descobrir os valores de
e
,é
necessário avaliar as equações (71) e (76) para o caso de regime permanente, ou seja,
32
quando todas as variações do sistema já desapareceram e os termos das derivadas estão
nulos.
Em outras palavras, para se obter
equações são justamente
e
e
, basta resolver o sistema cujas
. É extremamente importante destacar que o
sistema a ser solucionado é não linear, sendo necessários métodos numéricos iterativos
para resolvê-lo de forma aproximada, com um determinado grau de precisão desejado.
O modelo final do sistema exibe o comportamento apenas para pequenas
variações. Logo, para obter o valor total das grandezas, é necessário realizar a soma
entre os dois tipos de valores, como exibido nas equações (66), (67) e (68).
Após a construção completa do modelo, é possível ainda aplicar a equação de
equivalência para obter a função de transferência equivalente do sistema.
A fórmula de transformação para o modelo geral é apresentada a seguir:
( )
(
)
(89)
Aplicada ao sistema em questão, a equação (89) torna-se:
( )
(
)
(90)
Como o sistema possui duas entradas, a função de transferência será composta
por duas parcelas (em função destas mesmas entradas), onde ambas deverão possuir o
mesmo denominador:
( )
A expressão literal da
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(91)
é muito extensa, e por isso, será apresentada já com
valores numéricos avaliados no capítulo 5, onde será realizada uma comparação entre
este modelo teórico e o modelo da simulação.
33
2.10 – Inclusão de Dinâmicas Adicionais no Modelo
O modelo utilizado na análise anterior contempla apenas duas dinâmicas, no
caso, a dinâmica do fio quente e a dinâmica do amplificador operacional de primeiro
estágio, de tal forma que o sistema linear resultante é de segunda ordem. Porém, existe a
possibilidade de que outros elementos não considerados introduzam efeitos dinâmicos
adicionais.
Um dos efeitos que pode ser contabilizado é a presença da indutância do cabo
(conectada em série com a resistência
resistência
) e da indutância
(conectada em série com a
). Estas indutâncias começam a apresentar valores significativos quando o
comprimento dos condutores associados às resistências
e
se torna grande.
O circuito com a inclusão destas duas indutâncias é exibido na figura 9:
Figura 9 – Circuito do CTA com a inclusão das indutâncias 𝐿𝑃 e 𝐿𝐵
34
Neste caso, as correntes
e
devem ser utilizadas como novas variáveis de
estado, em adição às duas anteriores. Pelas leis de circuitos lineares, é fácil mostrar que
as novas equações assumem o seguinte formato:
(
)
(
(92)
)
(93)
As duas equações das variáveis de estado anteriores podem ser escritas em
função das duas novas:
(
) (
)
(94)
(
)
(95)
Outro efeito que pode ser contabilizado é a existência de outros amplificadores
operacionais na malha de realimentação do circuito, como mostrado na figura 10:
Figura 10 – Malha de realimentação do CTA com vários amplificadores operacionais em cascata
35
Pela mesmo raciocínio adotado na análise inicial, a tensão na saída do primeiro
estágio é dada por:
(96)
Para o segundo estágio, a tensão de saída segue o mesmo princípio:
(97)
Para cada amplificador contabilizado, é necessário introduzir sua tensão de saída
como uma variável de estado adicional. Generalizando-se para uma quantidade qualquer
de amplificadores em cascata, a tensão do estágio seguinte será:
(98)
Por fim, desprezando-se o efeito da constante de tempo
, a tensão de saída do
circuito será:
(99)
Para cada nova dinâmica adicionada, a ordem do sistema será elevada em uma
unidade. Todos os procedimentos de linearização e descoberta dos valores médios
apresentadas na seção 2.9, podem ser executados da mesma maneira, adaptando as
expressões para incluir as novas variáveis de estado.
Discussões a respeito das eventuais diferenças obtidas pela escolha da ordem do
sistema em função da modelagem do sistema podem ser encontradas em [11] e [12].
36
Capítulo 3 – Plantas de Simulação e Categorias de Parâmetro
3.1 – Descrição das Plantas de Simulação Desenvolvidas
Após realizar a modelagem matemática dos sistemas, foi possível idealizar e
desenvolver as plantas de simulações para executar e validar as formulações.
O software OrCAD foi escolhido para implementar as plantas de simulação
devido a grandes vantagens que o mesmo apresenta. Além de executar as simulações de
forma rápida, robusta e eficiente, o software ainda dispõe de diversos recursos extras de
grande utilidade.
O primeiro deles é a extensa biblioteca exclusiva de modelos de componentes de
circuito, que podem ser inseridos como um bloco de simulação. Cada modelo destes foi
desenvolvido com base nas próprias folhas de dados fornecidas pelas empresas
fabricantes, de tal maneira que a reprodução do comportamento do componente é
extremamente fiel à realidade prática.
Além disso, existem algoritmos prontos que permitem realizar diversas análises
de maneira automática. Um deles é o algoritmo de resposta em frequência, com o qual é
possível escolher uma entrada na planta para ser estimulada com um sinal senoidal para
uma faixa de frequências a ser escolhida, e logo em seguida avaliar o módulo e fase de
regime permanente em qualquer outro sinal de saída na planta. Outro algoritmo
interessante é o da análise de Fourier de qualquer sinal da planta, no qual é feita a
escolha da ordem dos harmônicos que se tem interesse, e logo em seguida é realizado o
cálculo automático de diversos fatores. No relatório de saída, são exibidos o índice THD
(Total Harmonic Distortion), o valor médio do sinal e os valores das amplitudes e fases
das componentes harmônicas, originais e normalizados.
As figuras 11, 12 e 13 mostram as três plantas de simulação desenvolvidas. As
duas primeiras plantas representam o sistema em malha aberta, com corrente constante e
tensão constante, respectivamente, enquanto a terceira e última planta representa o
sistema em malha fechada com temperatura constante.
37
Malha Aberta – Corrente Constante
OUT
0.00524
IN1
IN2
IN1
0
IN1
0.0886
PWR 2
IN
OUT
OUT
4.6
OUT
OUT
IN2
IN1
0.00475
U1
VOFF = 20
VAMPL = 0
FREQ = 0
AC =
OUT
IN2
OUT
PWR 0.45
IN
OUT
IN2
190072.84
IN1
OUT
OUT
IN2
1.0
4.6V
IN1
IN2
OUT
IN1
IN2
IN2
IN1
OUT
5.7769
OUT
5.24030
OUT
Umedido
PWR
IN
OUT
2.2222222
IN1
PWR 2
IN
OUT
OUT
IN2
OUT
50.6
OUT
R1
1
PWR -1
IN
OUT
0
Figura 11 – Planta de simulação em malha aberta com corrente constante
Malha Aberta – Tensão Constante
0.00524
OUT
IN1
IN2
IN1
0.00475
IN2
OUT
U1
IN1
VOFF = 20
VAMPL = 0
FREQ = 0
AC =
OUT
IN2
OUT
PWR 0.45
IN
OUT
4.6
OUT
-1
PWR
OUT
IN1
PWR 2
IN
OUT
OUT
IN1
OUTIN2
IN2
IN
0
0.6113
190072.84
OUT
1.0
4.6V
IN1
5.7769
OUT
5.24030
OUT
IN2
PWR 2
IN
OUT
IN1
OUT
OUT
50.6
IN2
IN2
OUT
IN1
IN2
OUT
IN1
PWR -1
IN
OUT
PWR
IN
OUT
Umedido
2.2222222
R1
1
PWR -1
IN
OUT
0
Figura 12 – Planta de simulação em malha aberta com tensão constante
38
Malha Fechada – Temperatura Constante
0.00524
X
OUT
IN1
IN1
Y
IN2
IN1
4.6
OUT
IN1
OUT
IN
OUT
IN2
If
Rf
190072.84
OUT
IN1
IN1
OUTIN2
PWR -1
OUT
IN
OUT IN2
IN1
PWR 2
IN
OUT
IN2
IN1
0
Vf
OUT
-1
PWR
IN2
VOFF = 10
VAMPL = 1
FREQ = 10
AC =
OUT
0.00475
U1
IN2
OUT
IN2
OUT
PWR 0.45
IN
OUT
1.0
4.6
Ra
IN2
OUT
IN2
IN1
5.258
OUT
2.2222222
IN1
B
OUT
8.074
OUT
Umedido
Ra
50
Vi-
R1
1
50
Rp
Rp
0.6
0
OUT
A
PWR
IN
OUT
OUT
PWR 2
IN
OUT
0.6
PWR -1
IN
OUT
OUT+
IN
0
OUT-
V1
V(%IN)
+
RC
1k
+
0
7
OS2
2
OP-27
-
4
OS1
V-
INA105/BB
8
Q1
6
0
1
R3
V1 = 0
V2 = 0.0
TD = 0.0005
TR = 0.00000001
TF = 0.00000001
PW = 0.0005
PER = 0.001
V4
Rb
150
+
OUT
1k
Vi+
0
6
U4
V+
5
OUT
4
INA111/BB
-
3
R5
REF
3
-
U3
SENSE
7
2
V-
+
OUT
6
V+
V+
GS1
GS2 +
4
3
-
REF
R6
500
-
V-
1
8
5
2
15Vdc
1
7
0
U2
BDX53C
Va
1k
R4
1k
R2
10k
V2
0
V3
Vq
-15Vdc
5Vdc
0
0
0
Figura 13 – Planta de simulação em malha fechada com temperatura constante
Como pode ser visto na figura 11, o modelo do CTA desta simulação inclui mais
de um amplificador operacional na malha de realimentação. Estes amplificadores
possuem objetivos específicos na melhoria do desempenho do anemômetro, e foram
contabilizados na simulação através dos modelos baseados nos componentes reais,
mencionados anteriormente. Como explicado no capítulo 2, é importante destacar que a
introdução destes amplificadores impõe dinâmicas adicionais no sistema, que devem ser
consideradas na etapa de análise dos resultados. Por fim, é importante ressaltar que o
amplificador de último estágio está configurado com um ganho
39
.
3.2 – Categorias de Parâmetro e Valores Reais Utilizados
Nas tabelas a seguir, são apresentados os parâmetros utilizados para executar as
simulações e construir os modelos teóricos para fins de comparação. Os parâmetros
estão divididos em quatro categorias: conhecidos, calculados, ajustáveis e resultantes.
Os parâmetros conhecidos foram obtidos a partir de informações tabeladas e
experimentos anteriores realizados nos laboratórios do NIDF. Os valores calculados
foram obtidos através das fórmulas apresentadas no capítulo 2, que utilizam os valores
dos parâmetros conhecidos como input. Os valores ajustáveis, ao contrário das duas
categorias anteriores, são livres para serem alterados durante as etapas de simulação,
com o objetivo de estudar os impactos de suas modificações nos resultados obtidos. Por
fim, os parâmetros resultantes são aqueles que dependem de todos os anteriores e
representam a saída e o desempenho do sistema. As tabelas de número 1 até 4 exibem
os quatro tipos de parâmetros e seus respectivos valores e unidades.
Tabela 1 – Parâmetros conhecidos do sistema
PARÂMETROS CONHECIDOS
Grandeza
Valor
Unidade
(
(
40
)
)
Tabela 2 – Parâmetros calculados do sistema
PARÂMETROS CALCULADOS
Grandeza
Valor
Unidade
*
(
*
)
Tabela 3 – Parâmetros ajustáveis do sistema
PARÂMETROS AJUSTÁVEIS
Grandeza
Valor
Unidade
Tabela 4 – Parâmetros resultantes do sistema
PARÂMETROS RESULTANTES
Grandeza
Valor
Unidade
*Valores obtidos através do método apresentado no capítulo 2, utilizando os valores das
constantes
e
e os respectivos parâmetros no ponto de operação correspondente.
41
Capítulo 4 – Resultados das Simulações
4.1 – Resposta Transitória da Resistência
em Malha Aberta
Nesta etapa de simulação, o objetivo foi observar a resposta transitória da
resistência
em malha aberta. Para isso, foi utilizada a planta de simulação do sistema
em malha aberta com corrente constante. O sistema foi ajustado para que a resistência
operasse com uma taxa de sobreaquecimento
Ω e atingindo o valor de regime
, partindo de seu valor inicial
Ω.
A corrente necessária para atingir esta condição foi calculada através da equação
(26), e o valor obtido foi
. Além disso, a equação (25), que representa um
modelo teórico de equação diferencial linear de 1ª ordem, também foi testada com as
mesmas configurações. Os resultados obtidos para ambos os casos são apresentados na
figura 14.
Figura 14 – Resposta transitória da resistência 𝑟𝐹 em malha aberta
42
Como é possível observar, as respostas transitórias obtidas foram coincidentes,
de tal maneira que podemos considerar que a planta de simulação representou
corretamente o resultado esperado pelo modelo da equação diferencial teórica. A
equação utilizada para gerar os resultados teóricos foi obtida a partir da substituição
direta dos parâmetros apresentados no capítulo 3 na equação (25), obtendo-se:
( )
(100)
A constante de tempo do fio quente calculada e medida para este caso foi
. Mais adiante, este valor será comparado com o valor obtido em
malha fechada para as mesmas condições de operação.
4.2 – Resposta Transitória de Partida da Resistência
em Malha
Fechada
Nesta etapa de simulação, o objetivo foi observar a resposta transitória de partida
da resistência
em malha fechada. Para isso, foi utilizada a planta de simulação do
sistema em malha fechada com temperatura constante. Como na seção anterior, o
sistema foi ajustado para que a resistência
operasse com uma taxa de
sobreaquecimento
, partindo de seu valor inicial
valor de regime
Ω. O resistor
Ω e atingindo o
necessário para atingir esta condição foi
calculado através da equação (43), e o valor obtido foi
. Dependendo da
escolha dos outros parâmetros ajustáveis, diferentes tipos de respostas transitórias foram
observados. Após testar o sistema com diversas configurações, foram encontrados
quatro tipos de respostas possíveis, apresentadas a seguir:
1) Caso Sobreamortecido – Neste caso, a resistência parte de seu valor inicial e
atinge o valor de regime sem ultrapassá-lo. Este tipo de reposta indica que o sistema
encontra-se num ponto de operação bastante estável.
2) Caso Subamortecido – Neste caso, a resistência parte de seu valor inicial,
ultrapassa o valor de regime e oscila suavemente até atingir o equilíbrio e estabilizar no
43
valor de regime. Este tipo de resposta engloba uma ampla faixa de operação do sistema,
porém, sabe-se que quanto mais fortes e prolongadas forem os oscilações, mais perto o
sistema estará de um ponto de operação instável.
3) Caso de Oscilação Sustentada – Neste caso, a resistência parte de seu valor
inicial e oscila infinitamente em torno do valor de regime, indicando uma clara condição
de instabilidade. Obviamente, este tipo de resposta impede o funcionamento do sensor,
e deve ser evitado.
4) Caso de Operação Insustentável – Neste caso, a resistência parte de seu valor
inicial, ultrapassa o valor de regime, e logo em seguida seu valor decai lentamente até
retornar ao valor inicial. Este fenômeno pode ser interpretado como uma incapacidade
do sistema de sustentar seu ponto de operação. Este tipo de resposta também impede o
funcionamento do sensor, e deve ser evitado.
Os valores dos parâmetros ajustáveis utilizados para obter o comportamento
observado em cada caso são apresentados na tabela 5:
Tabela 5 – Valores dos parâmetros ajustáveis utilizados em cada caso de resposta transitória de
partida da resistência 𝑟𝐹
Caso
Tipo de Resposta
1
2
3
4
Sobreamortecido
Subamortecido
Oscilação Sustentada
Operação Insustentável
(
)
20
20
200
20
( )
2,5
0,6
0,6
0,6
50
1000
1000
5000
1,5
1,5
1,5
1,5
Obviamente, existem outras combinações de valores dos parâmetros ajustáveis
que conseguem reproduzir os mesmos efeitos citados. Com a ajuda de testes isolados, é
possível perceber que o sistema tende a se tornar mais subamortecido (e
consequentemente, tende a operar mais próximo de uma condição de instabilidade)
através do aumento de
,
,
e da diminuição de
. As respostas transitórias
obtidas para cada um dos casos são exibidas nas figuras de número 15 até 18, na ordem
em que foram apresentadas.
44
Figura 15 – Resposta transitória de partida da resistência 𝑟𝐹 em malha fechada – Caso 1 –
Sobreamortecido
Figura 16 – Resposta transitória de partida da resistência 𝑟𝐹 em malha fechada – Caso 2 –
Subamortecido
45
Figura 17 – Resposta transitória de partida da resistência 𝑟𝐹 em malha fechada – Caso 3 – Oscilação
Sustentada
Figura 18 – Resposta transitória de partida da resistência 𝑟𝐹 em malha fechada – Caso 4 – Operação
Insustentável
46
A constante de tempo do fio quente medida foi
. Comparado
diretamente com o valor obtido na simulação em malha aberta, podemos perceber que o
sistema em malha fechada possui uma resposta transitória muito mais rápida, sendo essa
a primeira grande vantagem a ser destacada.
Além das simulações realizadas para identificar os possíveis tipos de respostas
transitórias, também foi realizada outra simulação específica para verificar o
desempenho da realimentação do sistema, avaliando se o ajuste do resistor
(que
controla o valor das taxas de sobreaquecimento) permite levar a resistência
até o
valor de regime permanente
diferentes valores de
esperado. Para isso, o sistema foi simulado para cinco
. Os resultados obtidos são exibidos na figura 19.
Figura 19 – Resposta transitória de partida da resistência 𝑟𝐹 em malha fechada para diferentes taxas de
sobreaquecimento 𝑇𝑅
Os valores dos parâmetros ajustáveis utilizados para reproduzir estes resultados
foram
,
quanto maior o valor de
e
. Pela observação das curvas, percebe-se
, mais tempo a resistência
de regime permanente.
47
demora para atingir seu valor
Os resultados númericos desta simulação são exibidos na tabela 6:
Tabela 6 – Resultados da resposta transitória da resistência 𝑟𝐹 para diferentes valores de taxa de
sobreaquecimento 𝑇𝑅
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
teórico
5,75
6,90
8,05
9,20
10,35
127
150
173
196
219
obtido
5,83
6,89
8,00
9,12
10,25
desvio
0,081
-0,006
-0,050
-0,080
-0,102
desvio %
1,4%
-0,1%
-0,6%
-0,9%
-1,0%
Como é possível observar, existe um pequeno desvio entre o valor teórico e o
valor obtido da resistência
. Este desvio acontece porque o sistema encontrou um
ponto de equilíbrio antes que a realimentação natural conseguisse levar a resistência
para o valor esperado. Como consequência, a tensão
da ponte de Wheatstone não se
torna nula.
Este desvio pode diminuir ou aumentar, dependendo da escolha dos outros
parâmetros ajustáveis, sendo possível ajustá-los em tempo real para obter o valor exato
da resistência
. Porém, este procedimento é inviável na prática, uma vez que é natural
que o valor de
apresente muitas variações rápidas ao longo do tempo.
Na verdade, o que pode ser feito é a introdução de um bloco integrador que
funcione em conjunto com um mecanismo de controle adaptativo, fazendo com que os
parâmetros
e
sejam alterados para garantir desvio nulo. Neste caso, a grandeza
controlada pelo sistema seria a própria tensão da ponte, que deveria ter sua referência de
valor fixada em
, de tal forma que o sistema se modificasse até atingir esta
condição sempre que o equilíbrio fosse perdido.
Porém, a introdução de um integrador na malha de controle pode fazer com que
o sistema se torne instável muito mais facilmente, e com isso, surgiriam grandes
limitações operativas. Na prática, desvios pequenos como estes podem ser desprezados,
uma vez que a calibração do sistema é capaz de incorporar as eventuais diferenças nos
valores das constantes de calibração
e
. Estudos sobre correção e compensação de
desvios de temperatura podem ser encontrados em [13] e [14].
48
4.3 – Resposta Transitória ao Degrau da Resistência
e da Tensão
em Malha Fechada
Depois de analisar a resposta transitória de partida, é interessante analisar
também a resposta transitória ao degrau, que representa justamente uma perturbação na
entrada do sistema quando o mesmo já opera em regime permanente.
Como foi visto na seção anterior, existem quatro possibilidades de resposta
transitória de partida, mas apenas duas permitem uma operação normal em regime
permanente: o caso sobreamortecido e o caso subamortecido. Sendo assim, foram
realizados dois testes, cada um com uma destas configurações possíveis.
Os valores dos parâmetros ajustáveis utilizados para obter as duas configurações
utilizadas em cada teste são apresentados na tabela 7.
Tabela 7 – Valores dos parâmetros ajustáveis utilizados em cada teste de resposta transitória ao
degrau
Teste
Tipo de Resposta
(
1
2
Sobreamortecido
Subamortecido
20
20
)
( )
2,5
1
1,5
1,5
200
500
Em cada teste, foram aplicados separadamente, pulsos de onda quadrada nas
duas entradas do sistema, que permitem analisar tanto um degrau de variação positiva
quando um degrau de variação negativa. Para realizar os testes, é necessario esperar a
resposta tansitória de partida acabar e o sistema atingir o equilíbrio, e só depois aplicar
os pulsos. Após um pulso completo, o sistema volta à condição incial. A entrada
recebeu um pulso de
, enquanto a entrada
Os sinais de saída observados foram o da resistência
recebeu um pulso
e o da tensão
.
.
Nas próximas páginas, são exibidos os resultados de todos os testes, nas figuras
de número 20 até 27.
49
Figura 20 – Resposta transitória ao degrau em malha fechada – Teste 1 – Entrada 𝑣𝑄 – Saída 𝑟𝐹
Figura 21 – Resposta transitória ao degrau em malha fechada – Teste 1 – Entrada 𝑣𝑄 – Saída 𝑣𝐴
50
Figura 22 – Resposta transitória ao degrau em malha fechada – Teste 1 – Entrada 𝑢𝑁 – Saída 𝑟𝐹
Figura 23 – Resposta transitória ao degrau em malha fechada – Teste 1 – Entrada 𝑢𝑁 – Saída 𝑣𝐴
51
Figura 24 – Resposta transitória ao degrau em malha fechada – Teste 2 – Entrada 𝑣𝑄 – Saída 𝑟𝐹
Figura 25 – Resposta transitória ao degrau em malha fechada – Teste 2 – Entrada 𝑣𝑄 – Saída 𝑣𝐴
52
Figura 26 – Resposta transitória ao degrau em malha fechada – Teste 2 – Entrada 𝑢𝑁 – Saída 𝑟𝐹
Figura 27 – Resposta transitória ao degrau em malha fechada – Teste 2 – Entrada 𝑢𝑁 – Saída 𝑣𝐴
53
Após analisar os resultados, podemos perceber que as respostas refletem o
comportamento esperado em função da natureza do sistema.
No caso de um degrau
de variação positiva, o valor da resistência
aumenta,
pois a corrente de entrada na ponte aumenta. No caso de um degrau de variação
negativa, o comportamento oposto é observado, pois a corrente de entrada na ponte
diminui. A tensão
responde com rápido salto e logo retorna a um valor bem próximo
do ponto de equilíbrio anterior, devido à rápida ação da realimentação.
No caso de um degrau
de variação positiva, o valor da resistência
diminui,
pois um aumento de velocidade no escoamento faz com que o mesmo absorva mais
calor gerado pela corrente elétrica, e com isso a resistência do fio quente tende a
diminuir. No caso de um degrau de variação negativa, o comportamento oposto é
observado, ou seja, o escoamento tem uma queda de velocidade, e com isso passa a
absorver menos calor do fio quente, aumentando o valor da resistência
. A tensão
consegue se sustentar num novo valor, distante do equilíbrio anterior.
Outro detalhe muito importante que deve ser constatado é a minúscula variação
da resistência versus um grande degrau de velocidade ou tensão. Isso mostra que a
realimentação do sistema é tão forte e rápida que, de fato, podemos considera-lo como
um sistema de temperatura constante.
Também é interessante destacar que a não-linearidade do sistema introduz
características antissimétricas nas respostas, pois um degrau de variação positiva
provoca uma resposta transitória diferente daquela provocada por um degrau de
variação negativa. Isso se torna mais claro quando analisamos os casos subamortecidos,
onde é possível visualizar um número diferente de oscilações para cada degrau do
mesmo pulso.
A resposta ao degrau é muito utilizada na prática para ajustar a calibração do
sistema a partir da entrada
flutuações de
, pois é a única interface capaz de emular possíveis
durante a etapa de testes.
54
4.4 – Resposta em Frequência da Tensão
em Malha Aberta
Nesta etapa de simulação, o objetivo foi observar a resposta em frequência da
resistência
em malha aberta. Para isso, foram utilizadas as plantas de simulação do
sistema em malha aberta com tensão e corrente constante. O sistema foi ajustado para
operar com
, independente do valor médio da velocidade de escoamento
.
O sistema foi simulado com um estímulo senoidal de amplitude
em torno de diferentes valores de
. Nos dados de saída da simulação, foi possível
procurar o valor de frequência que estivesse mais próximo da frequência de corte e
registrá-lo. Os resultados obtidos para cada sistema são exibidos na figura 28:
Figura 28 – Frequências de corte da resistência 𝑟𝐹 obtidas na simulação de resposta em frequência do
sistema em malha aberta
55
Os resultados numéricos da simulação são exibidos na tabela 8:
Tabela 8 – Resultados da resposta em frequência da resistência 𝑟𝐹 em malha aberta
(
)
10
12
14
16
18
20
( )
( )
0,544
0,560
0,575
0,588
0,600
0,611
0,079
0,081
0,083
0,085
0,087
0,089
(
753
797
831
880
918
945
)
(
375
391
420
438
458
471
)
2,01
2,04
1,98
2,01
2,01
2,01
Após analisar os resultados da tabela, pode-se perceber que para esta faixa de
valores de
, a frequência de corte do sistema em malha aberta encontra-se num
intervalo entre
e
. Mais adiante, este intervalo será comparado com os
intervalos obtidos nas simulações do sistema em malha fechada para as mesmas
condições operativas.
Vale destacar que, para cada caso, os diagramas de Bode para módulo e fase
resultantes assumiram o formato típico daqueles observados num sistema de 1ª ordem, o
que já era esperado, pois como foi visto na seção 4.1, a planta de simulação seguiu
perfeitamente o comportamento da equação (25), que é uma equação diferencial de 1ª
ordem.
Além disso, também é possível perceber que a frequência de corte da planta de
tensão constante é aproximadamente o dobro da frequência de corte da planta de
corrente constante. Este resultado pode parecer estranho, e para poder entendê-lo, é
necessário lembrar que nas baixas frequências (onde ainda não há corte no valor do
módulo de
), os dois sistemas são essencialmente os mesmos, pois para que o valor de
seja mantido constante em torno das oscilações, o par tensão/corrente deve ser o
mesmo em ambas as plantas de simulação, mas nas altas frequências (onde começa a
ocorrer o corte no valor do módulo), os sistemas podem se comportar de maneira
diferente e perder a equivalência, justamente como aconteceu.
56
4.5 – Resposta em Frequência da Tensão
em Malha Fechada
Nesta etapa de simulação, o objetivo foi observar a resposta em frequência da
tensão
em malha fechada. Para isso, foi utilizada a planta de simulação do sistema
em malha fechada com temperatura constante.
Assim como a resposta transitória no domínio do tempo, as respostas do módulo
e da fase no domínio da frequência dependem fortemente dos parâmetros ajustáveis.
Para realizar um estudo detalhado, as simulações foram segmentadas em quatro testes
principais. Em cada um dos testes, três dos parâmetros ajustáveis são mantidos fixos
num valor constante, enquanto o outro fica livre parar variar, permitindo que seu
comportamento seja avaliado de maneira isolada. Nos testes 1, 2, 3 e 4, os parâmetros
livres foram respectivamente
,
,
e
. Quando fixos, os outros parâmetros da
planta assumem os seguintes valores:
,
,
e
.
Em cada um dos testes, o sistema foi simulado com dois estímulos senoidais
diferentes, atuando em etapas separadas. O primeiro foi realizado em torno de
uma amplitude
amplitude
. O segundo foi realizado em torno de
, com
, com uma
.
Para cada estímulo, o parâmetro livre foi variado visando obter cinco pontos de
operação diferentes. A escolha dos valores dos parâmetros foi feita com o objetivo de
impedir a presença de sobressaltos no diagrama de módulo na região da frequência de
corte do estímulo
, facilitando assim a visualização e identificação da mesma. Além
disso, para cada ponto de operação, foi registrado o valor de
em condições de regime
permanente no tempo, para que fosse possível saber em torno de qual valor o sistema
estaria operando.
Os resultados gerados incluem os gráficos dos diagramas de módulo (dB) e fase
(graus) para os dois tipos de estímulo, além de uma tabela com dados numéricos sobre
cada teste, que incluem o valor da resistência
medida a partir da resposta ao estímulo de
e a frequência de corte
encontrada,
.
Nas próximas páginas, são exibidos os resultados de todos os testes, nas figuras
de número 29 até 44 e na tabela 9.
57
Figura 29 – Resposta em frequência da tensão 𝑣𝐴 – Resultado do teste 1 para entrada 𝑉𝑄 – Diagrama
de Bode (Módulo)
Figura 30 – Resposta em frequência da tensão 𝑣𝐴 – Resultado do teste 1 para entrada 𝑉𝑄 – Diagrama
de Bode (Fase)
58
Figura 31 – Resposta em frequência da tensão 𝑣𝐴 – Resultado do teste 1 para entrada 𝑈𝑁 – Diagrama
de Bode (Módulo)
Figura 32 – Resposta em frequência da tensão 𝑣𝐴 – Resultado do teste 1 para entrada 𝑈𝑁 – Diagrama
de Bode (Fase)
59
Figura 33 – Resposta em frequência da tensão 𝑣𝐴 – Resultado do teste 2 para entrada 𝑉𝑄 – Diagrama
de Bode (Módulo)
Figura 34 – Resposta em frequência da tensão 𝑣𝐴 – Resultado do teste 2 para entrada 𝑉𝑄 – Diagrama
de Bode (Fase)
60
Figura 35 – Resposta em frequência da tensão 𝑣𝐴 – Resultado do teste 2 para entrada 𝑈𝑁 – Diagrama
de Bode (Módulo)
Figura 36 – Resposta em frequência da tensão 𝑣𝐴 – Resultado do teste 2 para entrada 𝑈𝑁 – Diagrama
de Bode (Fase)
61
Figura 37 – Resposta em frequência da tensão 𝑣𝐴 – Resultado do teste 3 para entrada 𝑉𝑄 – Diagrama
de Bode (Módulo)
Figura 38 – Resposta em frequência da tensão 𝑣𝐴 – Resultado do teste 3 para entrada 𝑉𝑄 – Diagrama
de Bode (Fase)
62
Figura 39 – Resposta em frequência da tensão 𝑣𝐴 – Resultado do teste 3 para entrada 𝑈𝑁 – Diagrama
de Bode (Módulo)
Figura 40 – Resposta em frequência da tensão 𝑣𝐴 – Resultado do teste 3 para entrada 𝑈𝑁 – Diagrama
de Bode (Fase)
63
Figura 41 – Resposta em frequência da tensão 𝑣𝐴 – Resultado do teste 4 para entrada 𝑉𝑄 – Diagrama
de Bode (Módulo)
Figura 42 – Resposta em frequência da tensão 𝑣𝐴 – Resultado do teste 4 para entrada 𝑉𝑄 – Diagrama
de Bode (Fase)
64
Figura 43 – Resposta em frequência da tensão 𝑣𝐴 – Resultado do teste 4 para entrada 𝑈𝑁 – Diagrama
de Bode (Módulo)
Figura 44 – Resposta em frequência da tensão 𝑣𝐴 – Resultado do teste 4 para entrada 𝑈𝑁 – Diagrama
de Bode (Fase)
65
Tabela 9 – Resultados da resposta em frequência da tensão 𝑣𝐴 em malha fechada
Teste 1
Parâmetros Fixos
Parâmetro Livre
(V)
5
4
3
2
1
( )
7,19
7,07
6,95
6,83
6,71
( )
6.683
7.499
9.440
14.125
31.623
( )
7,42
7,19
7,10
6,98
6,91
( )
2.661
6.683
7.943
23.714
42.170
( )
7,19
7,05
7,00
6,98
6,96
( )
6.683
11.885
17.783
25.119
31.623
( )
6,16
7,19
8,28
9,39
10,51
( )
3.548
6.683
10.000
13.335
17.783
Teste 2
Parâmetros Fixos
Parâmetro Livre
(
)
2
20
50
200
500
Teste 3
Parâmetros Fixos
Parâmetro Livre
G
100
200
300
400
500
Teste 4
Parâmetros Fixos
Parâmetro Livre
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
66
Observando-se os resultados, é possível perceber que a variação isolada de cada
parâmetro faz com que as resposta em frequência do módulo e da fase se comportem de
maneira distinta e apresentem valores diferentes para a frequência de corte
capítulo anterior foi mencionado que o aumento de
,
,
. No
e a diminuição de
tornam o sistema mais subamortecido, colocando-o mais próximo de um ponto de
instabilidade. Porém, as simulações de resposta em frequência mostram que estas
mesmas ações fazem com que a frequência de corte e banda passante do sistema sejam
maiores. Logo, é possível concluir que a escolha de valor dos parâmetros ajustáveis
deve ser feita de maneira muito criteriosa, para que o sistema possua a maior resposta
em frequência possível sem entrar num ponto de operação instável.
4.6 – Calibração Dinâmica da Resposta em Frequência da Tensão
Para consolidar a importância da afirmação feita na última parte da seção
anterior, além dos testes principais no sistema de malha fechada, foi realizado também
um teste de otimização, cujo objetivo era encontrar de maneira especulativa e empírica
uma combinação de valores para os parâmetros que pudesse ampliar ao máximo a banda
passante e a frequência de corte do sistema, respeitando novamente a restrição de
impedir sobressaltos no diagrama de módulo na região da frequência de corte do
estímulo
.
Foram escolhidos três valores de velocidade média do fluido
200 m/s), e os outros três parâmetros,
,Ge
(2 m/s, 20 m/s e
foram alterados de maneira empírica
para tentar obter a melhor resultado possível. Os parâmetros escolhidos e os resultados
são apresentados na tabela 10:
Tabela 10 – Parâmetros e resultados do teste de otimização empírica da resposta em frequência da
tensão 𝑣𝐴 em malha fechada.
Caso
1
2
3
(
)
2
20
200
( )
1,5
2,8
4,3
500
500
300
67
1,5
1,5
1,5
( )
6,9
6,9
6,9
( )
44.452
71.140
110.218
Na prática, este procedimento de ajuste dos parâmetros, conhecido como
calibração dinâmica, é feito em tempo real visando obter o melhor desempenho possível
do anemômetro.
É possível constatar que a frequência de corte do sistema em malha fechada
pode residir dentro de um intervalo extenso, que varia da ordem de
ordem de
até a
, o que representa uma significativa vantagem em relação ao
sistema em malha aberta.
Também é muito importante destacar que, na prática, apesar de não haver
interface direta que permita saber a frequência de corte a partir do próprio sinal de
velocidade
, a mesma pode ser descoberta a partir de estímulos na tensão
, pois
apesar das respostas serem diferentes, a frequência de corte é a mesma.
A figura 45 mostra duas respostas genéricas, onde é possível ver que a
aproximação ou o afastamento da respectiva assíntota de Bode, para uma distância de
, ocorre exatamente na mesma frequência, marcada pela reta vertical.
Figura 45 – Equivalência de frequências de corte para as duas entradas distintas do sistema
68
4.7 – Análise de Fourier da Resistência
em Malha Aberta
Nesta etapa de simulação, o objetivo foi realizar a análise de Fourier da
resistência
em malha aberta. Para isso, foi utilizada a planta de simulação do sistema
em malha aberta com corrente constante. Como de costume, o sistema foi ajustado para
operar com
.
Para despertar os efeitos não lineares ocultos do sistema e analisar a distorção
harmônica resultante, o mesmo foi simulado com um estímulo senoidal
frequência
em torno de
de
para diferentes valores de amplitude. O
sinal de saída foi segmentado de forma a possuir nove períodos completos. Os
resultados obtidos são exibidos na tabela 11.
Tabela 11 – Resultados da análise de Fourier para a resistência 𝑟𝐹 em malha aberta
(
)
THD
8,116%
17,073%
28,353%
46,702%
178,878%
4
8
12
16
20
Como é possível observar, um aumento de amplitude do estímulo senoidal
implica diretamente num aumento do índice de THD. Além disso, à medida que o valor
da amplitude de
se aproxima percentualmente de
mais rápida e atinge valores consideravelmente elevados.
69
, o THD aumenta de maneira
4.8 – Análise de Fourier da Tensão
e da Medição
em Malha
Fechada
Nesta etapa de simulação, o objetivo foi realizar a análise de Fourier da tensão
e do sinal de medição
em malha fechada. Para isso, foi utilizada a planta de
simulação do sistema em malha fechada com temperatura constante.
A metodologia de testes adotada para esta análise é praticamente a mesma
utilizada na etapa de simulação da resposta em frequência, com algumas poucas
diferenças. Além das quatro categorias de testes adotadas no capítulo anterior, foi
incluído um quinto teste adicional, no qual o estímulo senoidal
em torno de
passou a ser um novo elemento variável. Novamente, a metodologia pressupõe que em
cada teste, quatro dos parâmetros são mantidos fixos num valor constante, enquanto o
outro fica livre parar variar, permitindo que seu comportamento seja avaliado de
maneira isolada. Nos testes 1, 2, 3, 4 e 5, os parâmetros livres foram respectivamente
,
, ,
e
,
. Quando fixos, os outros parâmetros assumem os seguintes valores:
,
,
e
simulação de malha aberta, a frequência do estímulo de
. Assim como na
foi mantida fixa em
e
a segmentação do sinal de saída foi mantida em nove períodos completos.
A análise de Fourier da tensão
pode ser feita de maneira direta e simples em
todos os testes. Porém, o mesmo não é válido para o sinal de medição
parâmetro resultante depende das constantes de calibração
e
, pois este
, e conforme foi
explicado no capítulo 3, quaisquer mudanças significativas no ponto de operação fazem
com que estas constantes percam sua validade. Para contornar este problema, as
constantes
e
foram recalibradas para cada novo ponto de operação através da
metodologia do ajuste polinomial, utilizando como pontos de teste os valores
,
e
(em
), todos próximos do valor fixo do parâmetro
,
,
. Nos
testes 2 e 5, que envolvem parâmetros variáveis oriundos apenas da velocidade total do
fluido
, não foi necessário realizar a recalibração das constantes, pois os valores
escolhidos para os testes foram suficientemente próximos ou coincidentes com os
valores dos pontos utilizados no ajuste polinomial, respeitando a restrição de
proximidade operativa. Os resultados obtidos são exibidos na tabela 12.
70
Tabela 12 – Resultados da análise de Fourier para o sistema em malha fechada, testes 1 a 5
Teste 1
Parâmetros Fixos
Parâmetro Livre
( )
5
4
3
2
1
8,0740
7,5753
7,0450
6,4705
5,8442
5,258
5,146
5,029
4,9111
4,7898
THD
0,912%
0,912%
0,909%
0,906%
0,909%
THD
0,025%
0,023%
0,016%
0,012%
0,011%
5,258
5,258
5,258
5,258
5,258
THD
1,133%
1,010%
0,912%
0,832%
0,759%
THD
0,026%
0,024%
0,025%
0,023%
0,018%
3,2589
5,258
6,9543
8,4131
9,7071
THD
0,929%
0,912%
0,909%
0,911%
0,906%
THD
0,057%
0,025%
0,015%
0,012%
0,008%
5,258
5,2446
5,2418
5,2403
5,2408
THD
0,912%
0,908%
0,908%
0,908%
0,908%
THD
0,025%
0,014%
0,009%
0,010%
0,008%
Teste 2
Parâmetros Fixos
Parâmetro Livre
(
16
18
20
22
24
)
8,0740
8,0740
8,0740
8,0740
8,0740
Teste 3
Parâmetros Fixos
Parâmetro Livre
1,25
1,5
1,75
2
2,25
6,6345
8,0740
9,4793
10,809
12,053
Teste 4
Parâmetros Fixos
Parâmetro Livre
100
200
300
400
500
8,0740
7,0142
6,6239
6,4228
6,2949
71
Teste 5
Parâmetros Fixos
Parâmetro Livre
(
)
4
8
12
16
20
A
8,074
8,074
8,074
8,074
8,074
B
5,258
5,258
5,258
5,258
5,258
THD
3,688%
7,637%
12,253%
18,556%
36,619%
THD
0,095%
0,189%
0,281%
0,365%
0,380%
Como é possível observar, o teste 5 apresentou resultados diferenciados, e por
essa razão, a forma da tensão
para cada uma das cinco saídas é apresentada na figura
46, onde a legenda indicada pela letra “a” representa a amplitude do estímulo
:
Figura 46 – Distorção harmônica da tensão 𝑣𝐴 para diferentes amplitudes de estímulo 𝑢𝑁
72
Observando os resultados, é possível perceber que nos testes 1, 2, 3 e 4, os
índices de THD para
para
ficaram todos em torno de
ficaram todos abaixo de
enquanto os índices de THD
, indicando um desempenho satisfatório do
anemômetro e da metodologia de recalibração.
No teste 5, entretanto, foram observados índices bem maiores em relação ao dos
outros testes, pois como já havia sido mencionado na seção anterior, um aumento de
estimula as não linearidades presentes no sistema, que distorcem fortemente os sinais de
saída do mesmo. Como é possível ver no gráfico da figura 46, a característica
antissimétrica do sistema é novamente destacada, pois há um forte afunilamento da
parte inferior da senóide na medida em que a amplitude de
aumenta.
Para o teste 5, também foi realizada a análise de Fourier para a resistência
,
permitindo uma comparação de desempenho com o sistema em malha aberta. Os
resultados são mostrados na tabela 13:
Tabela 13 – Resultados da análise de Fourier para a resistência 𝑟𝐹 em malha fechada
(
)
4
8
12
16
20
THD
5,337%
11,078%
17,888%
27,460%
60,417%
Após analisar os resultados, percebemos mais uma vez a clara vantagem de
desempenho do sistema em malha fechada em relação ao sistema de malha aberta, pois
a distorção harmônica é muito menor.
73
Capítulo 5 – Comparação Entres os Modelos do CTA
5.1 – Comparação entre o Modelo Teórico e o Modelo de Simulação
Neste capítulo será realizada uma comparação entre o modelo teórico
linearizado obtido no capítulo 2 e o modelo da planta de simulação. No capítulo 3, as
equações do modelo teórico foram mantidas totalmente literais, pois os valores típicos
dos parâmetros utilizados ainda não haviam sido apresentados. Porém, a partir de agora,
os valores numéricos dos parâmetros serão inseridos nas suas respectivas equações.
O valor da constante de tempo
do amplificador de primeiro estágio utilizado
no modelo teórico foi estimado a partir da folha de dados do amplificador INA111, que
foi o modelo de amplificador utilizado no primeiro estágio da simulação. O gráfico da
resposta em frequência para o ganho do amplificador é apresentado na figura 47.
Figura 47 – Resposta em frequência para diferentes ganhos do amplificador operacional INA111
Para o ganho de
, a constante de tempo equivalente obtida foi
74
Após analisar o gráfico, é possível descobrir a frequência de corte. A partir da
mesma, o valor de constante tempo foi estimado como sendo
.
Uma análise mais detalhada sobre a influência dos ganhos dependentes de
frequência na estabilidade dos anemômetros CTA pode ser encontrada em [15].
Os valores dos parâmetros ajustáveis utilizados em ambos os modelos são
exibidos na tabela 14.
Tabela 14 – Valores dos parâmetros ajustáveis utilizados em ambos os modelos
(
( )
)
20
2,5
1,5
100
Como explicado no capítulo 2, um sistema não linear envolvendo as equações
e
deve ser solucionado para obter os valores de
e
. Após o input de
todos os valores numéricos, as equações (71) e (76) que compõe o sistema se tornam:
(
)
(
)
(101)
) (
(
)
(102)
Resolvendo-se este sistema para as condições impostas pelos parâmetros, os
valores médios das variáveis de estado encontrados para o ponto de operação são
e
. Este procedimento deve ser realizado toda vez que
algum parâmetro do circuito for alterado.
75
Após inserir estes novos valores médios e todos os outros parâmetros
necessários, as matrizes do modelo no espaço de estados assumem a seguinte forma:
[
]
(103)
[
]
(104)
(105)
Uma vez conhecidas as matrizes, podemos utilizar a equação (90) para obter a
função de transferência equivalente.
Conforme prometido no final capítulo 2, o resultado é exibido a seguir:
( )
( )
(
)
( )
(106)
Realizando-se uma inspeção direta neste resultado, podemos identificar cada
termo da equação (91):
( )
(107)
( )
(108)
( )
(109)
76
Os pólos e zeros (referentes ao numerador
) do sistema são exibidos a seguir:
(110)
(111)
Para realizar a análise comparativa entre os modelos, foi realizado um teste de
resposta ao degrau com entrada
, seguindo as mesmas condições de teste
apresentadas na seção 4.3.
O resultado deste teste é exibido na figura 48.
Figura 48 – Resposta ao degrau completa dos 2 modelos comparados
Como é possível observar, as respostas transitórias dos dois modelos foram
praticamente coincidentes, assumindo a mesma forma da resposta observada na figura
21. Uma inspeção mais profunda revela que a única diferença significativa ocorreu
justamente no pico da tensão que acontece no início da resposta.
77
Uma aproximação visual deste momento da resposta é exibida na figura 49.
Figura 49 – Aproximação visual do início da resposta dos 2 modelos comparados
No modelo teórico, foi considerada apenas a dinâmica do amplificador de
primeiro estágio, enquanto que no modelo da simulação, além do primeiro estágio de
amplificador, existem outros dois estágios adicionais antes da tensão de saída
.
Conforme explicado nas seções 2.7 e 2.10, os amplificadores operacionais possuem
dinâmicas próprias, de tal maneira que suas constantes de tempo associadas podem
causar impacto na resposta transitória. Portanto, a mais provável explicação da
diferença observada é justamente a presença destes efeitos dinâmicos oriundos de
amplificadores não modelados.
78
5.2 – Comparação com um Novo Modelo Teórico Modificado
Para investigar a hipótese apresentada no final da seção anterior, um terceiro
modelo será testado junto com os dois primeiros. Neste modelo, será usada como base a
função de transferência do modelo teórico, mas com a adição de um novo par de pólos
complexos conjugados não dominantes no denominador para tentar representar os
efeitos dos amplificadores.
Os novos pólos são exibidos a seguir:
(
)
(
)
(112)
Com isso, o novo denominador da função de transferência se tornará:
( )
(113)
O resultado do novo teste é exibido na figura 50 a seguir.
Figura 50 – Resposta ao degrau completa dos 3 modelos comparados
79
A tabela 15 exibe os valores de regime permanente da tensão
para cada um
dos modelos:
Tabela 15 – Valores de tensão 𝑉𝐴 em regime permanente para os 3 modelos
Teórico Original
Teórico Modificado
Simulação
Podemos perceber que a discrepância entre os valores é praticamente
desprezível, da ordem de grandeza de apenas alguns milivolts. Como já era de esperar, a
resposta do modelo teórico modificado foi praticamente coincidente com a resposta dos
dois modelos testados anteriormente, e novamente, a única diferença expressiva
aconteceu no início da resposta, durante o pico da tensão.
Uma aproximação visual deste momento da resposta é exibida na figura 51.
Figura 51 – Aproximação visual do início da resposta dos 3 modelos comparados
80
Como é possível observar, o modelo teórico modificado apresentou uma
semelhança maior com o modelo da simulação do que o modelo teórico original, pois de
fato, os amplificadores operacionais exercem uma influência na dinâmica inicial da
resposta.
81
Capítulo 6 – Considerações Finais
6.1 – Avaliação do Desempenho Geral
Após a realização de todos os testes e validação dos respectivos resultados
obtidos, é possível concluir que as três plantas de simulação desenvolvidas
apresentaram um desempenho bastante satisfatório, representando com coerência e
fidelidade o comportamento esperado pela modelagem teórica prevista pelas principais
literaturas de referência do campo da anemometria térmica. Os arquivos das plantas de
simulação e os arquivos de dados utilizados para geração de resultados estão
armazenados digitalmente, e poderão ser disponibilizados para eventuais consultas ou
auditorias.
6.2 – Desafio Futuros
Apesar da grande extensão deste texto, muitos tópicos interessantes não foram
trabalhados, pois os mesmos acabam elevando significativamente o nível de
complexidade do sistema como um todo, e para lidar com esse problema, seria
necessário um maior aprofundamento teórico e a busca técnicas e métodos mais
avançados, resultando num desvio do escopo escolhido para o desenvolvimento do
projeto.
A seguir, serão apresentadas algumas sugestões de desafios que poderiam ser
abordados no futuro, revisando e reconstruindo os modelos teóricos e a plantas de
simulação:
– A inclusão de possíveis indutâncias presentes no circuito, como a indutância
do cabo que conecta o fio quente ao circuito e a indutância do resistor ajustável da
ponte, na planta de simulação, tornando o sistema mais próximo da realidade.
82
– A inclusão de um filtro passa baixas na saída do circuito, para eliminar os
harmônicos da tensão de saída e da velocidade medida, melhorando a qualidade dos
resultados.
– A realização de novas simulações utilizando um filamento de material e
dimensões diferentes (o que resultaria na mudança dos valores dos parâmetros
conhecidos), abrindo novas possibilidades de conhecimento para a construção de um
modelo real.
– O desenvolvimento de um sistema supervisório, capaz de alterar em tempo real
os valores dos parâmetros, garantindo uma operação flexível e de acordo com o
desejado para a resposta em frequência e compensação de variação de temperatura em
tempo real.
– O estudo da possibilidade de incluir circuito ativo para a linearização da ponte.
– O aprofundamento teórico e desenvolvimento de uma nova planta de
simulação para anemômetros multidimensionais, possibilitando medições mais
avançadas e completas, e também para sensores térmicos capazes de medir a velocidade
de fluidos líquidos, expandindo ainda mais a aplicabilidade da metodologia
desenvolvida neste projeto.
6.3 – Contribuição Efetiva
Conclui-se que a simulação apresentou um elevado grau de equivalência com os
modelos teóricos, de tal forma que seu modelo podendo ser considerado válido para
executar diversos tipos de teste e análise. As plantas de simulações desenvolvidas foram
devidamente validadas e estão prontas para serem utilizadas em diversas aplicações, e
com isso, é possível concluir que o objetivo do projeto foi cumprido.
Espera-se que as plantas possam contribuir efetivamente para grandes avanços
na área de estudo da anemometria térmica, servindo de base para o estudo de diversas
questões e desafios ainda não abordados e gerando cada vez mais conhecimento e
resultados para aplicações práticas reais.
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Bibliografia
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