Circuitos

Aula-7
Circuitos
Curso de Física Geral F-328
2º semestre, 2013
F328 – 2S2013
1
Circuitos
Resolver um circuito de corrente contínua (DC) é calcular o valor e o sentido
da corrente. Como vimos, para que se estabeleça uma corrente duradoura num
condutor, é necessário manter uma diferença de potencial entre suas extremidades.
No caso prático, isto é feito por um dispositivo chamado fonte de força eletromotriz
ε
(fem), cujo símbolo é:
+ -
Dentro da fonte, um elemento de carga positiva dq deve se mover de um ponto
de potencial mais baixo (–) para outro de potencial mais alto (+), necessitando de
uma energia para isso. Então a fonte deve realizar um trabalho dW sobre um elemento
de carga dq a fim de forçá-lo a ir do terminal (–) para o terminal (+).
Definição de fem:
ε
+ -
r
+ -
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ε
dW ⎛ J
⎞
ε=
⎜ = volt ⎟
dq ⎝ C
⎠
fem ideal : bombeamento de cargas sem nenhuma resistência
fem real: qualquer bateria na prática, sendo o movimento das
cargas afetado pela resistência interna r da bateria.
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Circuitos
Calculando a corrente em um circuito de malha única
a) Através da energia
,
A equação de potência ( P = Ri 2) estabelece que, em um intervalo de tempo dt ,
a energia Ri 2dt aparece no resistor do circuito, como energia térmica.
Durante este mesmo intervalo de tempo, uma carga dq = idt se move através da
bateria B, e o trabalho que esta realiza sobre a carga é:
dW = ε dq = ε i dt
Do princípio de conservação da energia temos:
ε i dt = R i 2 dt, que nos leva a ε = R i
Ou:
i=
ε
,
R
potencial
mais alto
potencial
mais baixo
cuja unidade é o ampère (A) .
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Circuitos
Calculando a corrente em um circuito de malha única
b) Através do potencial
Regra: A soma algébrica das variações de potencial encontradas ao longo
de um caminho fechado qualquer de um circuito deve ser nula (regra das malhas,
de Kirchhoff).
No circuito anterior, partido do ponto a no sentido da corrente:
i=
Va + ε − iR = Va ⇒ ε − iR = 0
No caso da bateria possuir uma
resistência interna r :
ε − ir − iR = 0 ∴
i=
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ε
i
ε
R
i
r+R
4
Circuitos
Associação de resistores em série
i
i
V
i
V
Uma mesma corrente passa através dos
resistores ligados em série. A soma das
diferenças de potencial entre as extremidades
de cada resistor é igual diferença de potencial
aplicada:
V = iR1 +iR2 = i (R1 + R2 )
Da figura : V = Req i
Comparando: Req = R1 + R2
Para três ou mais resistores em série:
Req = R1 + R2 + R3 + ... = ∑ Ri
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i
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Circuitos
Associação de resistores em paralelo
Todos os resistores ligados em paralelo
ficam submetidos à mesma diferença de
potencial:
i1
i
i2
V
i1 =
V
V
, i2 =
R1
R2
⎛1 1 ⎞
i = i1 +i2 =V ⎜⎜ + ⎟⎟
⎝ R1 R2 ⎠
i
V
V
Da figura : i =
Req
1
1
1
= +
Comparando:
Req R1 R2
Para três ou mais resistores em paralelo:
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1
1
1
1
1
= + + + ... = ∑
Req R1 R2 R3
i Ri
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Circuitos de várias malhas
Sejam:
ε1 = 3,0V, ε 2 = 6,0V
R1 = 2,0Ω, R2 = 4,0Ω
Calcular i1 , i2 , i3
Nó a:
Exemplo:
i3 = i2 + i1
(I)
(II)
(1)
Malha (I): sentido anti-horário a partir de a
ou:
− i1R1 − ε1 − i1R1 + ε 2 + i2 R2 = 0
4,0i1 − 4,0i2 = 3,0 (2)
Malha (II): sentido horário a partir de a
+ i3R1 − ε 2 + i3R1 + ε 2 + i2 R2 = 0
ou:
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4,0i2 + 4,0i3 = 0 (3)
Resolvendo (1), (2) e (3) teremos:
i1 = 0,50 A
i2 = − 0,25 A ⇒ 0,25 A
i3 = 0,25 A
Sinal negativo de i2 : o sentido real
da corrente i2 é contrário ao indicado
na figura.
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Amperímetros e voltímetros
a) Um instrumento usado para medir corrente elétrica é geralmente chamado
de amperímetro. Ele é sempre colocado em série no circuito onde se quer medir a
corrente. Para que a resistência do amperímetro (RA) não altere o valor da corrente a
ser medida, devemos ter na malha ao lado:
RA << (r + R1 + R2 )
b) Um instrumento usado para medir diferença de
potencial é chamado voltímetro. Ele é sempre colocado
em paralelo com o trecho onde se quer medir a diferença
de potencial. Condição de medida da diferença de
potencial entre os terminais de R1 em termos da
resistência do voltímetro ( RV ):
RV >> R1
c) Na prática, um único instrumento ( Multímetro) realiza as duas medidas
anteriores, além da medida das resistências.
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Circuito RC
Circuitos RC são aqueles que contêm resistores e capacitores. Eles são
interessantes porque neles as correntes e os potenciais variam com o tempo. Apesar
das fontes (fem) que alimentam estes circuitos serem independentes do tempo,
ocorrem efeitos dependentes do tempo com a introdução de capacitores. Estes
efeitos são úteis para controle do funcionamento de máquinas e motores.
a) Carregando um capacitor: chave S fechada
em t=0. Assim que S se fecha, surge uma corrente
dependente do tempo no circuito.
t = 0 ⇒ q (0) = 0 ; t ≠ 0 ⇒ q (t )
i
F328 – 1S20123
Resolver (estudar) este circuito é encontrar a
expressão da corrente i t que satisfaça à
equação:
()
q
ε − − iR = 0
C
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Carga no circuitos RC
q
dq
Como i =
, temos que ε − iR − = 0 implica:
dt
C
dq q ε
dq Cε
q
q −Cε
+
=
⇒
=
−
=−
∴
dt RC R
dt RC RC
RC
q
t
dq
1
∫0 q −Cε = − RC ∫0 dt
(faz −se u = q −Cε ∴du = dq )
t
⎛ q −Cε ⎞
ln ⎜
⇒ q −Cε = − Cε e −t / RC
⎟=−
RC
⎝ −Cε ⎠
q(t ) = Cε (1− e − t /RC ) = Q f (1−e −t /RC ) ,
onde Q f ≡ Cε
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é a carga final do capacitor
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Corrente no circuito RC
dq
i=
dt
ε
( i0 ≡
R
⎛ 1 −t / RC ⎞ ε −t / RC
− t / RC
i (t ) = Cε ⎜
e
=
e
=
i
e
⎟
0
RC
R
⎝
⎠
é a corrente inicial)
t = 0 ⇒ q(0) = 0, i (0) =
ε
R
t = ∞ ⇒ q( ∞) = Cε , i ( ∞) = 0
i (t )
ε
q (t )
Cε
R
tempo
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tempo
Observe que a corrente tem valor
inicial igual a ε R e decresce até
zero, quando capacitor se torna
completamente carregado.
Um capacitor em processo de
carga, inicialmente (t=0) funciona
como um fio de ligação comum em
relação à corrente de carga.
Decorrido um longo tempo, ele
funciona como um fio rompido.
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Circuito RC
Constante de tempo
O produto RC que aparece nas expressões de q(t) e i(t) tem
dimensão de tempo e é a chamada constante de tempo capacitiva do
circuito RC:
τ = RC
Se t = RC ⇒ q(t ) = 0,63 Cε
q
R
carga
corrente
i
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e i (t ) = 0,37
ε
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Exemplo de carga no capacitor
http://ngsir.netfirms.com/englishhtm/RC_dc.htm
(carga de um capacitor)
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Circuito RC
b) Descarregando um capacitor: chave S
fechada em t = 0. O capacitor (inicialmente
carregado com carga Q) vai se descarregar através
de R. Como variam agora q(t) e i(t) no circuito?
i
Neste caso:
−t
dq q
R + =0 ,
dt C
q(t ) = Qe RC
cujas soluções são:
dq
Q
−t
i (t ) = = −i0 e RC ; i0 ≡
dt
RC
t = 0 ⇒ q(0) = Q ; i (0) = −i0
No processo de descarga,
tanto a carga como a corrente
t = ∞ ⇒ q( ∞) = 0; i (∝) = 0
diminuem exponencialmente
com o tempo.
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Longo tempo
Carga do capacitor
diminuindo
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Exemplo
Um capacitor de capacitância C está descarregando através de uma resistência R.
a) Em termos da constante de tempo τ = RC , em que instante a carga no
capacitor será metade do seu valor inicial ?
1
1
−t / RC
q= Q e
= Q ⇒ e
=
2
2
1
t
ln = −
⇒ t = RC ln 2 ≅ 0,69τ
2
RC
−t
RC
b) Em que instante a energia armazenada no capacitor será igual à metade do seu
valor inicial ?2
2
2
q Q −2t RC 1
1Q
U=
=
e
= U0 =
2C 2C
2
2 2C
1
2t
1
ln = −
⇒ t = RC ln 2 ≅ 0,35τ .
2
RC
2
c) Qual é a energia dissipada no resistor durante a descarga do capacitor?
2
Q
. Por quê? ( Reobtenha esta resposta integrando dU = Ri 2 dt)
R: U =
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2C
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Desafio: Resolver o circuito abaixo
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Lista de exercícios do Capítulo 27
Os exercícios sobre Circuitos estão na página da disciplina :
(http://www.ifi.unicamp.br).
Consultar: Graduação à Disciplinas à F 328 Física Geral III
Aulas gravadas:
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi)
ou
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
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