Introdução a Estatística Descritiva
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Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Professor Métodos Experimentais em Ciências Mecânicas Jorge Luiz A. Ferreira Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Pertencem ao grupo de ferramentas estatísticas que permitem caracterizar Medidas de Tendência Central • Médias um • Aritmética conjunto de dados sob ponto de • Harmônica vista da tendência central ou da • Geométrica dispersão dos dados estudados • Quadrática Medidas de Dispersão • Ponderada • Amplitude, Faixa, ou Range • Aparada (Trimmed) • Variância • Mediana • Desvio Padrão • Moda • Coeficiente de Variação • Quartis • Distância Interquartílica Medidas de Assimetria e Curtose Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Tendência Central Como o próprio nome já diz, medidas de tendência central são aquelas cujo valor tende a localizar-se no centro de uma série de dados. Freqüentemente, quando se analisa os valores de uma variável em uma amostra, constata-se que os dados não se distribuem uniformemente, havendo concentração em alguns pontos, notadamente próximos ao centro da distribuição. Qual a posição que melhor representa o centro destes dados ? Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Tendência Central e de Dispersão Valor Esperado – Expectância - Momento Se x(t) ou xk = Resultados de uma medição [ E (x − a ) n ] 1 T n = ∫ ( x(t ) − a ) dt T 0 1 K n = ∑ k = 0 ( xk − a ) K Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Tendência Central – Média Aritmética A Média Aritmética é o Valor Que Define o “ponto de equilíbrio” dos Dados de uma Distribuição. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Tendência Central – Média Aritmética Cálculo exato: (da população) 1 T µ = Lim ∫ x(t )dt T →∞ T 0 1 N = Lim ∑k =1 xk N →∞ N Estimativa: (da amostra) 1 T m = ∫ x(t )dt T 0 1 N = ∑k =1 xk N = ∑k =1 xk ⋅ f k K Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Tendência Central – Média Geométrica Média geométrica é a média dos elementos amostrais em relação à multiplicação. Sua estimativa é realizada por meio da seguinte expressão: mg = N ∏ N x k =1 k Exercício: Aplicar a função log na expressão acima e análisar resultado Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Tendência Central – Mediana A mediana é um número que caracteriza as observações de uma determinada variável de tal forma que a sua posição, em um grupo de dados ordenados, separe a metade inferior da amostra, população ou distribuição de probabilidade, da metade superior. Esta medida também é conhecida como média posicional ! 1 11 3 5 7 9 6= 8 7+5 2 4 11 9 8 7 5 11 9 8 7 5 3 4 3 1 1 Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Tendência Central – Mediana Estimadores da Mediana Dados não Agrupados Dados Agrupados N +1 Pos = 2 1 11 3 5 7 9 N − Fant Md = lsi + c ⋅ 2 f Md Onde: Pos = 4 lsi - Limite Inferior da Classe Mediana c – Intervalo de Classe N - Tamanho da Amostra fMd - freqüência absoluta da classe mediana Fant - freqüência acumulada anterior à classe mediana 6= 8 7+5 2 4 11 9 8 7 11 9 8 7 3 5 Pos = 4,5 4 3 1 1 5 Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Tendência Central – Média Aparada Uma média aparada, trimmed, não é mais do que uma “mistura” entre os conceitos de média e mediana por forma a combinar as qualidades de ambas. Podendo ser entendida também como uma média que é calculada excluindo uma certa proporção de observações em cada extremo da amostra. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Tendência Central – Moda A moda é o valor que detém o maior número de observações, ou seja, o valor ou valores mais freqüentes. A moda não é necessariamente única, ao contrário da média ou da mediana. É especialmente útil quando os valores ou observações não são numéricos, uma vez que a média e a mediana podem não ser bem definidas. 5 1 11 7 3 9 8 4 Não Possui Moda 1 11 3 4 7 9 8 4 Possui Moda Igual a 4 Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Tendência Central – Moda Estimadores da Moda Dados não Agrupados Mo = xi = ponto médio da classe de maior freqüência Dados Agrupados Moda de King Mok = lsi + c ⋅ (f f pos ant + f post ) Onde: lsi = limite inferior da classe modal onde se localiza a moda c - intervalo de classe fmo- freqüência da classe modal fant- freqüência anterior à classe modal fpost - freqüência posterior à classe modal Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Tendência Central – Moda Estimadores da Moda Dados não Agrupados Mo = xi = ponto médio da classe de maior freqüência Dados Agrupados Moda de Czuber f mo − f ant Moc = lsi + c ⋅ 2 ⋅ f mo ( f ant + f post ) Onde: lsi = limite inferior da classe modal onde se localiza a moda c - intervalo de classe fmo- freqüência da classe modal fant- freqüência anterior à classe modal fpost - freqüência posterior à classe modal Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Idade dos Pessoal da Turma Média, Mediana, Moda – Aplicação 20 22 A média permite explicar muito bem o comportamento de resultados experimentais, A mediana também permite explicar muito bem o comportamento de resultados experimentais de fenômenos com eventos extremos, 25 20 24 30 24 25 21 28 20 20 50 24 Média = 25,2 Mediana = 24 Moda = 20 A moda é apropriada para representar o comportamento de dados ao nível nominal Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Idade dos Pessoal da Turma Média, Mediana, Moda – Aplicação 20 22 A média permite explicar muito bem o comportamento de resultados experimentais, A mediana também permite explicar muito bem o comportamento de resultados experimentais de fenômenos com eventos extremos, 25 20 24 30 24 25 21 28 20 20 50 24 Média = 23,3 Mediana = 24 Moda = 20 A moda é apropriada para representar o comportamento de dados ao nível nominal Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Numeração dos calçados do Pessoal da Turma Média, Mediana, Moda – Aplicação 38 35 A média permite explicar muito bem o comportamento de resultados experimentais, A mediana também permite explicar muito bem o comportamento de resultados experimentais de fenômenos com eventos extremos, 36 37 36 36 37 39 44 39 39 40 39 40 Média = 38,2 ??? Mediana = 35,5 Moda = 39 A moda é apropriada para representar o comportamento de dados ao nível nominal Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas Separatrizes – Quartis Um quartil é qualquer um dos três valores que divide o conjunto ordenado de dados em quatro partes iguais, e assim cada parte representa 1/4 da amostra ou população. 1o quartil = quartil inferior = é o valor aos 25% da amostra ordenada 2o quartil = mediana = é o valor até ao qual se encontra 50% da amostra ordenada 3o quartil = quartil superior = valor a partir do qual se encontram 25% dos valores mais elevados Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas Separatrizes – Quartis Um quartil é qualquer um dos três valores que divide o conjunto ordenado de dados em quatro partes iguais, e assim cada parte representa 1/4 da amostra ou população. Mediana = Q2/4 = 37,5 7 36 41 15 40 39 41 37,5 = 36 + 39 2 Q3/4 = 40 40 39 36 Q1/4 = 7 15 7 Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas Separatrizes – Decil e Percentil O Decil é responsável por dividir o conjunto em dez partes iguais. Já o Percentil (ou centil), é a Medida que dividirá o conjunto em cem partes iguais Medidas Separatrizes Mediana !-------------------!-------------------! Md Quartil !---------!---------!---------!---------! Q1 Q2 Q3 Decil Percentil !---!---!---!---!---!---!---!---!---!---! D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 !---!---!---!---!---!---!---!---!---!---! C10 C20 C30 C40 C50 C60 C70 C80 C90 Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Dispersão Variação ou dispersão é o grau com que os dados numéricos tendem a se espalhar em torno de um valor médio. Ou seja, medidas de dispersão são indicadores do grau de variabilidade demonstrada pelos indivíduos em torno das medidas de tendência central. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Dispersão - Amplitude É a Diferença entre o maior valor e o menor valor observado na Amostra Min. 22 28 20 20 24 25 20 50 24 20 20 21 22 24 24 24 25 25 28 Max. 30 21 20 Amplitude = Max. – Min. = 30 20 25 20 24 30 50 Amplitude =30 Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Dispersão – Usando o Conceito de Expectância [ E (x − a ) 2 ] T 1 = T ∫ 1 = K ∑ (x (x(t ) − a ) dt 2 0 K k =0 − xˆ ) 2 k a = 0 → E[(x-a)2] é o Desvio Médio Quadrático a = ^x → E[(x-a)2] é a Variância. [ ] r E ( x − xˆ ) ≡ Momento central do ordem r Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Dispersão – Desvio Padrão Cálculo exato: (da população) Estimativa: (da amostra) n n 2 ˆ x x ( − ) ∑ i 2 x ( − µ ) ∑ i x σ = lim n →∞ xi x̂ n µx i =1 n s= i =1 n −1 i-ésima indicação média Amostral (Base da Estimativa: "n" indicações) número de medições repetitivas efetuadas Média Populacional Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Dispersão – Desvio Padrão Desvio Padrão: É um valor que quantifica a dispersão dos eventos de uma determinada população, ou seja, a média das diferenças entre o valor de cada evento e a média central. A vantagem que apresenta sobre a variância é de permitir uma interpretação direta da variação do conjunto de dados, pois o desvio padrão é expresso na mesma unidade que a variável Apesar de ser a medida de dispersão mais usada, tal medida não tem uma interpretação intuitivamente óbvia. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Dispersão – Desvio Padrão Desiqualdade de Chebyshev: “Para qualquer conjunto de dados e qualquer constante h > 1, no mínimo 1 – (1/ h2) dos dados estarão situados dentro de um intervalo formado por h desvios padrões abaixo e acima da média.” Espécime Dimensão Espécime Dimensão 1 81 11 99 2 81 12 99 3 83 13 100 4 86 14 101 5 88 15 104 6 91 16 105 7 94 17 107 8 97 18 107 9 97 19 107 10 98 20 111 h Percentual Lim Inf. Lim. Sup. 1,5 55,6% 83,05 110,55 Espécime Dimensão Espécime Dimensão 1 81 11 99 2 81 12 99 3 83 13 100 4 86 14 101 5 88 15 104 6 91 16 105 7 94 17 107 8 97 18 107 9 97 19 107 10 98 20 111 Percentual de dados no interior do intervalo: 80% Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Dispersão – Coeficiente de Variação O coeficiente de variação de Pearson, cv, é uma medida relativa de variabilidade. É independente da unidade de medida utilizada. Estimador: 100 ⋅ s cv(%) = mˆ Karl Pearson D1857 - †1936 Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Dispersão – Coeficiente de Variação Por ser uma medida relativizada, o coeficiente de variação tem, portanto, aplicações na pesquisa para comparar a precisão de diferentes experimentos, quando a unidade de medição é diferente. Dicas para tomada de decisão: cv ≤ 15% Média dispersão: cv 15-30% Alta dispersão: cv ≥ 30% Baixa dispersão: Karl Pearson D1857 - †1936 Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Dispersão – Coeficiente de Variação Aplicação: Comparação de dispersão de resultado de experimentos realizados com unidades de medição diferentes Tipo de Lâmpada Incandecente (1) Fluorecente (2) 976 10271 Medidas Resumo Média Desvio Padrão C.V. 898 9710 1020 9939 Lampada (1) (2) 1004 9962 103 449 10.3% 4.5% Horas de Uso Até Falhar 1102 1096 1139 9729 10423 10001 825 10853 981 9845 1088 9448 913 9398 Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Dispersão – Distância Interquartílica É a diferença entre o 3º e o 1º quartis, Q3 - Q1. Ou seja, no intervalo interquartílico concentra-se metade das observações mais centrais. 50% Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Assimetria e Curtose As medidas de assimetria e curtose complementam as medidas de posição e de dispersão no sentido de proporcionar uma descrição e compreensão mais completa das distribuições de freqüências. Ampliando o conceito de Momento Estatístico: São medidas de caráter mais geral e dão origem às demais medidas descritivas, como as de tendência central, dispersão, assimetria e curtose. Conforme a potência considerada tem-se a ordem ou o grau do momento calculado. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Assimetria e Curtose - Momentos Momentos Simples ou Centrados na Origem, Mr 1 N mr = ⋅ ∑i =1 xir N = ∑i =1 c ⋅ f i Nclas r i N = tamanho da amostra, x = observação amostral, c = centro da classe da distribuição de freqüências de x f = freqüência relativa Nclas = número de Classes da distribuição de freqüências de x Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Assimetria e Curtose - Momentos Momentos ou Centrados na Média, Mr 1 N r M r = ⋅ ∑i =1 ( xi − xˆ ) N = ∑i =1 Nclas (ci − xˆ ) r ⋅ fi N = tamanho da amostra, xi = i-ésima observação amostral, f = freqüência relativa c = centro da classe da distribuição de freqüências de x Nclas = número de Classes da distribuição de freqüências de x r é um número inteiro positivo que define a ordem do momento m2 = Variância Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Assimetria e Curtose - Momentos Momentos Abstratos, αr Mr αr = r s s = Desvio Padrão Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medida de Assimetria – Coeficiente de Assimetria O coeficiente de assimetria quantifica o grau de desvio, afastamento da simetria ou grau de deformação de uma distribuição de freqüências. Estimadores: Coeficiente de Assimetria de Pearson Coeficiente Momento de Assimetria xˆ − Mo As = s Se As < 0 a curva será assimétrica negativa Se As > 0 a curva será assimétrica positiva Se As = 0 a curva será simétrica M3 α3 = 3 s Se |α3| < 0,2 a curva será simétrica Se 0,2 < |α3| < 1,0 a curva será assimétrica fraca Se |α3| > 1,0 a curva será assimetria forte. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medida de Assimetria – Coeficiente de Assimetria Assimetria positiva Coef.ass. >0 Quase simetria Coef.ass. ~ 0 Assimetria negativa Coef.ass. <0 Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Curtose ou de Achatamento Mostram até que ponto uma distribuição é a mais aguda ou a mais achatada do que uma curva normal, de altura média. Classificação: Mesocúrtica: É considerada a curva padrão. Leptocúrtica: É uma curva mais alta do que a normal. Apresenta o topo relativamente alto, significando que os valores se acham mais agrupados em torno da moda. Curva Platicúrtica: É uma curva mais baixa do que a normal. Apresenta o topo achatado, significando que várias classes apresentam freqüências quase iguais. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Curtose ou de Achatamento Mostram até que ponto uma distribuição é a mais aguda ou a mais achatada do que uma curva normal, de altura média. Estimadores: Coeficiente de Curtose Q3 − Q1 K= 2 ⋅ (P90 − P10 ) - K > 0.263 ⇒ distribuição Platicúrtica; - K = 0.263 ⇒ distribuição Mesocúrtica; - K < 0.263 ⇒ distribuição Leptocúrtica; Coeficiente Momento de Curtose M4 α4 = 4 s - α4 < 3 ⇒ distribuição Platicúrtica; - α4 = 3 ⇒ distribuição Mesocúrtica; - α4 > 3 ⇒ distribuição Leptocúrtica; Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Medidas Resumo Medidas de Assimetria e de Achatamento Atenção Numa amostra é quase impossível observar simetria e curtose puras. Por isso os coeficientes de assimetria e de curtose assumem valores quase sempre diferentes de zero, 0,263 e 3. Para termos uma ideia se a assimetria ou curtose é relevante devemos comparar o valor dos coeficientes com o erro associado. Se o coeficiente não exceder 2 ou 3 vezes o erro, o seu valor não será muito relevante, especialmente quando queremos extrapolar para a população. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Estatística Descritiva Tipos de Gráficos – Gráfico de Caixa – Boxplot Exemplo - Para ilustrar o uso do gráfico de caixa, consideremos os dados apresentados na tabela abaixo, que representam leituras de durezas obtidas por tipos diferentes de tratamento térmico realizados durante a fabricação de uma determinada peça. Dureza Brinell, HB [Mpa] (1) (2) (3) 220,2 214,9 203,3 235,0 225,6 204,9 238,3 226,7 216,7 253,8 227,8 219,5 254,9 241,8 222,8 259,0 244,6 224,5 266,7 246,2 270,0 Visualização dos Dados Dureza Brinell, HB [MPa] 300 250 200 150 1 2 Tratamento Térmico 3 Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Estatística Descritiva Tipos de Gráficos – Gráfico de Caixa – Boxplot Exemplo – Estatísticas descritivas Descriptives T3 Descriptives T1 Mean 95% Confidence Interval for Mean 5% Trimmed Mean Median Variance Std. Deviation Minimum Maximum Range Interquartile Range Skewness Kurtosis Lower Bound Upper Bound Statistic 24,6843 23,1842 5% Trimmed Mean Median Variance Std. Deviation Minimum Maximum Range Interquartile Range Skewness Kurtosis Std. Error ,6131 26,1844 24,7220 25,3800 2,631 1,6220 22,02 26,67 4,65 2,4000 -,586 -,594 Mean 95% Confidence Interval for Mean Lower Bound Upper Bound Statistic 22,3100 20,2493 Std. Error ,8422 24,3707 22,1594 21,9500 4,965 2,2282 20,33 27,00 6,67 1,9600 1,879 4,262 ,794 1,587 Descriptives ,794 1,587 T2 Mean 95% Confidence Interval for Mean 5% Trimmed Mean Median Variance Std. Deviation Minimum Maximum Range Interquartile Range Skewness Kurtosis Lower Bound Upper Bound Statistic 23,2514 22,1613 Std. Error ,4455 24,3416 23,2733 22,7800 1,389 1,1788 21,49 24,62 3,13 1,9000 -,138 -1,435 O que conseguimos Extrair do Gráfico e das Medidas Resumo ? ,794 1,587 Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Estatística Descritiva Tipos de Gráficos – Gráfico de Caixa – Boxplot Exemplo – Nova Representação Gráfica 280 280 7 260 240 Dureza Brinell, HB [MPa] Dureza Brinell, HB [MPa] 260 240 220 200 180 N= 220 7 7 7 A B C Tratamento Térmico O 200 T1 T2 Tratamento Térmico T3 que conseguimos Extrair do Gráfico ? Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Estatística Descritiva Tipos de Gráficos – Gráfico de Caixa – Boxplot Exemplo – Nova Representação Gráfica Condição de Assimetria + Outliers ou Dados Discrepantes ou Dados espúrios Máximo da Amostra, mas não mais do que Q1 + k·(Q3-Q1) 3o Quartil 2o Quartil - Mediana Valor Típico de k = 1,5 1o Quartil Mínimo da Amostra, mas não menos do que Q1 - k·(Q3-Q1) Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-graduação em Ciências Mecânicas Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva Estatística Descritiva Tipos de Gráficos – Gráfico de Caixa – Boxplot Exemplo – Nova Representação Gráfica Assimetria positiva Simetria Assimetria negativa Boxplot (Diagrama de Caixa) ou Box-whiskers (Diagrama de Bigode) – São gráficos que apresentam os valores centrais dos dados e alguma informação a respeito da amplitude deles.
